Parabola a přímka

Transkript

1 755 Parabola a přímka Předpoklad: 755, 756, 75, 75, 753 Pedagogická poznámka: Na probrání celého obsahu je třeba tak jeden a půl vučovací hodin Pokud tolik času nemáte, je potřeba buď rchle proběhnout úvodní část nebo vnechat poslední příklad a zadat ho na domácí přípravu Čeká nás poslední hodina o parabolách a stále ještě nevíme, proč se satelitní anténě říká parabola nejvšší čas rozřešit tuto záhadu Př : Na obrázku je nakreslena parabola vrcholem [ ;] Bod [ ; ] = p s ohniskem, řídící přímkou a je libovolný bod parabol různý od vrcholu Označ patu kolmice vedené bodem na přímku jako Y Rozhodni na základě vlastností parabol, zda vzniklý trojúhelník Y je obecný nebo má speciální vlastnosti (rovnostrannost, rovnoramennost, pravoúhlost ) Dokreslíme kolmici a její patu do obrázku: Y Z definice parabol vplývá: = = Y trojúhelník Y je rovnoramenný se základnou Y

2 Y Př : (BONUS) Střed úsečk Y z předchozího příkladu označ Z Odhadni a poté dokaž, kolik společných bodů má přímka Z s parabolou = p Podle obrázku se zdá, že nakreslená přímka má s parabolou jediný společný bod a je její tečnou Y Z Důkaz je jednoduchý Nakreslíme si libovolný bod přímk Z různý od Trojúhelník Y je rovnoramenný přímka Z je jeho osou a ted i osou stran Y všechn bod této přímk jsou stejně vzdálené od krajních bodů a Y = Y Zkontrolujeme, zda bod splňuje podmínku pro bod Z parabol: = = Y Y Y Z obrázku je vidět, že platí: Y < Y = < bod určitě není bodem parabol Proč jsme to všechno dělali? Z našeho obrázku už je možné snadno odvodit rovnici tečn parabol Teď už snadno ukážeme, proč chtáme satelit pomocí parabol

3 Přímka Z je osou trojúhelníku dělí úhel Y na dvě stejné polovin všechn tři vznačené úhl jsou stejné (věta o vrcholových úhlech) Y Z Protože tečna udává směr parabol v bodě, udává i rovinu, od které se odráží paprsek, který v tomto místě dopadne na parabolu značené úhl pak ukazují, že paprsek rovnoběžný s osou parabol se odrazí do jejího ohniska Y Z Bod jsme volili libovolně pravidlo o odrazu platí pro všechn bod parabol Parabola u satelitu soustřeďuje paprsk signálu (které pocházejí z velmi vzdáleného zdroje a tak jsou praktick rovnoběžné) do svého ohniska (kde je namontovaný přijímač) Obráceně funguje parabola u reflektorů ohnisku parabolického zrcadla je umístěna žárovka a parabolické zrcadlo odráží paprsk z žárovk do vodorovného proudu světla rátíme se k tečnám parabol Nebudeme si je odvozovat z předchozích obrázků, použijeme nápodobu s tečnami elips a kružnice Hledáme tečnu parabol ( m) = p ( n) v bodě [ ; ], který na ní leží Rovnice parabol ve vrcholovém tvaru: ( m) = p ( n) Rozložíme závork s neznámými: ( m)( m) = p ( n) + p ( n) (závorku na pravé straně nemůžeme rozložit na součin, protože není na druhou Můžeme ji však napsat jako součet, protože je násobená dvěma) žd jednu neznámou nahradíme souřadnicí bodu : ( m)( m) p ( n) p( n) Kupodivu to funguje = + Pedagogická poznámka: Pro odvození rovnice tečn u parabol jsem zvolil předchozí postup ze těchto důvodů: Klasické odvození je dlouhé, studenti ho příliš nesledují a sami ho nejsou schopni provést Zbývá tak málo času na počítání příkladů Klasick se odvozuje pouze rovnice pro speciální polohu parabol s vrcholem 3

4 v počátku soustav souřadnic Pro čtři různé tvar vrcholové rovnice, máme čtři různé tvar rovnice tečn považuji za užitečnější ukázat postup, jak získávat tto rovnice z rovnic parabol, ab se studenti zbtečně nesnažili zapamatovat si čtři vzorce Pro každý z druhů parabol eistuje odpovídající rovnice tečn v jejím bodě [ ; ] ( m) = p ( n) ( m)( m) = p ( n) + p( n) ( m) = p( n) ( m)( m) = p ( n) p ( n) ( n) = p( m) ( n)( n) = p( m) + p( m) ( n) = p( m) ( n)( n) = p( m) p( m) : Př 3: Najdi rovnici tečn dané parabol v daném bodě: a) ( + ) = ( + ) ; [ ] ;? b)?; Správnost dosazení ověř výpočtem průsečíků přímk s parabolou = ; [ ] a) ( + ) = ( + ) [ ] ;? Určíme druhou souřadnici bodu ( ) = + + = = : ( ) ( ) + = + Hledáme tečnu parabol ( + ) = ( + ) v bodě [ ; ] zorec pro tečnu: ( + )( + ) = ( + ) + ( + ) Dosadíme bod [ ] : ( )( ) ( ) ( ) ; + + = = + + = Rovnice tečn: = Určíme společné bod dosazením, z rovnice tečn vjádříme : = Dosadíme do rovnice parabol: ( ) ( [ ] ) + + = b) ( ) + = + + = = jediný průsečík s -vou souřadnicí = (bod ze zadání) = [?;] Určíme druhou souřadnici bodu : = = ; = = Hledáme tečnu parabol ( ) = ( ) v bodě [ ] zorec pro tečnu: ( )( ) Dosadíme bod [ ;] :

5 = + / = + Tečná má rovnici: + = Určíme společné bod dosazením, z rovnice tečn vjádříme : = Dosadíme do rovnice parabol: ( ) + = = ( ) = jediný průsečík s -ovou souřadnicí = (bod ze zadání) Poznámka: Rovnici tečn v bodě b) můžeme samozřejmě zapisovat rovnou bez dosazování souřadnic počátku [ ; ] takto: = = Pedagogická poznámka: Části studentů bude působit obrovské problém dopočítání zbývající souřadnice Tuto část příkladu je lepší odtajnit brzo Př : Urči vzájemnou polohu parabol + = a přímk 3 = + = zájemná poloha určíme průsečík řešíme soustavu rovnic: 3 = Nejjednodušší je vjádřit z druhé rovnice a dosadit do první (je tam pouze jedenkrát): 3 = = 3 ( ) + = 3 + = 5 + = = dva kořen: ( )( ) = = = P [ ;] = = = P [ ; ] P a [ ] = 3 3 = 3 3 Přímka má s parabolou dva průsečík [ ] ; Př 5: Je dána parabola ( ) ( ) [ 3;] P ;, je ted její sečnou = Najdi tečn této parabol procházející bodem Bod neleží na parabole nemůžeme použít vzorce pro tečn stejný postup jako u ostatních kuželoseček: všechn přímk bodem a z nich vbereme t s jedním průsečíkem 3; = k + 3 a přímka = 3 Přímk procházející bodem [ ]: ( ) ( ) jádříme a dosadíme do rovnice parabol: = k + 3k + ( k + 3k + ) = ( ) ( )( ) k + 3k k + 3k = k + 3k k + 3k + 9k 3k k 3k + = k + 6k k + 9k 6k + = k + 6k k + 9k 6k + 3 = 5

6 ( ) k k k k k = Abchom mohli dosadit do vzorce, musíme prozkoumat možnost k = = Dosadíme: ( ) = = - jediný průsečík pro k = má přímka = k + 3k + = s parabolou jediný průsečík Nní předpokládáme k, určíme diskriminant rovnice: D b ac ( k k ) k ( k k ) ( 3k k ) k ( 9k 6k + 3) = / : ( 3k k )( 3k k ) k ( 9k 6k + 3) = = = = k 3k 3k 3k + k + k 3k + k + 9k + 6k 3k = 8k + k + = 8k k = ( ) ( ) 8 ( ) b ± b ac ± ± 6 k, = = = a k = = tečna ( ) = ( + 3 ) 6 / = = 6 k = = tečna ( ) = ( + 3 ) 6 / = 3 + = ýsledek není úplně bez problémů Očekávali jsme dvě tečn, ale všl nám tři přímk: = + 5 = + = Kde se stala chba? Nakreslíme si obrázek: = = = Přímka = rozhodně nevpadá jako tečna, i kdž má s parabolou pouze jeden průsečík, za tečnu ji nepovažujeme (asi bchom potřebovali přesnější definici tečn, ale nebudeme to zatím řešit) 6

7 Každým bodem, který se nachází ve vnější oblasti parabol, procházejí tří přímk, které mají s parabolou jediný společný bod: dvě tečn, přímka rovnoběžná s osou parabol Př 6: Petáková: strana 9/cvičení 8 c) strana 9/cvičení 8 b) strana 3/cvičení 87 strana 9/cvičení 9 d) strana 9/cvičení 9 a) Shrnutí: Z bodu ležícího ve vnější oblasti parabol je k parabole možné sestrojit tři přímk s jediným společným bodem, kromě dvou tečen i rovnoběžku s osou parabol Ostatní vztah mezi přímkou a parabolou jsou analogické situaci u elips 7