Další polohové úlohy

Transkript

1 alší polohové úlohy Předpoklady: 5115 Průniky přímky s tělesem Př. 1: Je dána standardní krychle. Sestroj průnik přímky s krychlí pokud platí: leží na polopřímce, =, leží na polopřímce, =. Příklad se určitě protne s pravou i levou boční stěnou, ale tyto body můžeme nalézt pouze jako průsečíky dvou přímek podobný problém jako v minulé hodině s průsečíkem přímky a roviny podobné řešení: zvolíme si vhodnou rovinu, které obsahuje přímku, sestrojíme řez této roviny s krychlí (a tedy průsečnici roviny se stěnami), průniky řezu a přímky jsou hledanými body. Pomocnou rovinu můžeme volit mnoha způsoby, snadno nakreslíme například svislou rovinu, která obsahuje přímku. 1

2 Př. : Vyřeš předchozí příklad pomocí jiné pomocné roviny, než kterou jsi použil v původním řešení. Jako pomocnou rovinu můžeme zvolit rovinu, která obsahuje přímku a je kolmá k zadní (přední) stěně krychle, nebo rovinu, která přímku obsahuje také. Pedagogická poznámka: Je zajímavé, že řešení pomocí roviny není příliš časté (i když je konstrukčně nejjednodušší). Příčina je zřejmě v tom, že rovina není konstruována přímo z bodů a tudíž není tak zřejmé, že oba tyto body opravdu obsahuje.

3 odatek: Stejně jako v minulé hodině i nyní se můžeme položením obou obrázků na sebe rychle přesvědčit, že jsme v obou případech získali stejné body. Postup při hledání průsečíků přímky s tělesem Zakreslíme těleso a přímku. Sestrojíme řez tělesa libovolnou (ale vhodně zvolenou) rovinou, která obsahuje přímku. Průsečíky přímky s jednotlivými stranami řezu jsou hledanými body. Př. : Je dána standardní krychle. Sestroj průnik přímky s krychlí pokud platí: leží na polopřímce, =, leží na polopřímce, =. Příklad opět můžeme řešit pomocí různých pomocných rovin. rovina svislá rovina obsahující přímku

4 rovina obsahující přímky kolmá k bočním stěnám 4

5 Př. 4: Je dán trojboký jehlan V. Sestroj průnik přímky s tímto jehlanem, jestliže platí: leží na polopřímce, =, je středem úsečky spojující těžiště trojúhelníku s bodem V. V T Nejvýhodnější pomocnou rovinou je rovina V, která obsahuje také bod T (leží na přímce V). V T Příčky mimoběžek Mimoběžky nemají společný bod Příčka mimoběžek přímka, která protíná obě mimoběžky je jich nekonečně mnoho přidává se další podmínka, aby se omezil jejich počet. odatek: Někdy bývá jako příčka mimoběžek označována pouze úsečka, s krajními body na mimoběžkách. 5

6 Př. 5: Je dána standardní krychle. Urči všechny příčky mimoběžek a procházející dvěma vrcholy krychle. Z obrázku je zřejmé, že jde o přímky,, a. Př. 6: Je dána standardní krychle. Urči všechny příčky mimoběžek a procházející bodem S. S 6

7 ledaná příčka prochází bodem S a má průsečík s přímkou (je s ní různoběžná) musí ležet v rovině S leží v přední stěně jejím průsečíkem s přímkou je vrchol jde o přímku S. S Př. 7: Je dána standardní krychle. Urči všechny příčky mimoběžek a procházející bodem. Postupujeme stejně jako v předchozím případě. 7

8 ledaná příčka prochází bodem a má průsečík s přímkou (je s ní různoběžná) musí ležet v rovině průsečíkem roviny s přímkou je vrchol přímka však není příčkou přímek a, protože je s přímkou rovnoběžná a nikdy se s ní neprotne. Zkusíme uplatnit postup od přímky (a tušíme, že také nevyjde). ledaná příčka prochází bodem a má průsečík s přímkou (je s ní různoběžná) musí ležet v rovině rovina je však rovnoběžná s přímkou a nemá s ní žádný průsečík nemůžeme najít příčku přímek a, která by procházela bodem. Neexistuje příčka přímek a, která by procházela bodem. 8

9 Př. 8: Je dána standardní krychle. Urči všechny příčky mimoběžek a rovnoběžné s přímkou. Postupuju podobně jako v předchozím případě. ledaná příčka je rovnoběžná s přímkou a má průsečík s přímkou (je s ní různoběžná) musí ležet v rovině obsahující přímku a rovnoběžné s přímkou příčka leží v rovině průsečíkem roviny s přímkou je vrchol máme příčku určenou jako rovnoběžku s procházející bodem, jejím průsečíkem s přímkou je bod P. P 9

10 Př. 9: Je dána standardní krychle. Urči všechny příčky mimoběžek a rovnoběžné s přímkou. Postupuju podobně jako v předchozím případě. ledaná příčka je rovnoběžná s přímkou a má průsečík s přímkou (je s ní různoběžná) musí ležet v rovině obsahující přímku a rovnoběžné s přímkou příčka leží v rovině tato rovina nemá průsečík s přímkou (je s ní rovnoběžná) neexistuje příčka přímek a rovnoběžná s přímkou. Zkusíme uplatnit postup od přímky (a tušíme, že také nevyjde). ledaná příčka je rovnoběžná s přímkou a má průsečík s přímkou (je s ní různoběžná) musí ležet v rovině obsahující přímku a rovnoběžné s přímkou příčka leží v rovině tato rovina nemá průsečík s přímkou (je s ní rovnoběžná) neexistuje příčka přímek a rovnoběžná s přímkou. 10

11 Př. 10: Petáková: strana 9/cvičení 1 b) strana 9/cvičení 14 b) d) Shrnutí: Průsečíky přímky s tělesem hledáme pomocnou rovinou jako průsečíky přímky s rovinou. 11