Vysoká škola ekonomická v Praze Fakulta Financí a účetnictví. Katedra Bankovnictví a pojišťovnictví Studijní obor: Finance.

Vysoká škola ekonomická v Praze Fakulta Financí a účetnictví Katedra Bankovnictví a pojišťovnictví Studijní obor: Finance Opční strategie Autor bakalářské práce: Viktor Foukal Vedoucí bakalářské práce: doc. RNDr. Jiří Witzany, Ph.D. Rok obhajoby: 2012

Čestné prohlášení: Prohlašuji, že bakalářskou práci na téma Opční strategie jsem vypracoval samostatně a veškerou použitou literaturu a další prameny jsem řádně označil a uvedl v přiloženém seznamu. V Praze dne Viktor Foukal

Poděkování: Rád bych tímto poděkoval panu doc. RNDr. Jiřímu Witzanymu, Ph.D. za jeho rady a pomoc při psaní této bakalářské práce.

Abstrakt Hlavním cílem této práce je seznámit čtenáře se základními druhy opčních strategií, s principy jejich chování, základními postupy při sestavení a analyzování těchto strategií. Praktická část této práce je zaměřena na vyhodnocení testovaných opčních strategií, stanovení podmínek pro vstup do strategií, predikování budoucího vývoje indexu S&P 500 pomocí Monte Carlo simulace a zkoumání vztahů mezi implikovanou volatilitou opcí a samotným podkladovým aktivem. Abstract The main objective of this thesis is to acquaint the reader with the main types of option strategies, with the principles of functioning, with the methods of creating and analyzing these strategies. The practical part focus on valuation of tested option strategies, determination of the conditions for entry into strategies, prediction of future development of index S&P 500 by Monte Carlo simulation and finding relation between implied volatility of options and underlying asset itself.

Obsah 1. ÚVOD... 7 2. ZÁKLADY TEORIE OPCÍ... 8 2.1 Rozdělení opcí podle typu podkladového aktiva... 9 3. VLASTNOSTI OPCÍ... 10 3.1 Vnitřní a časová hodnota opce... 11 3.2 Put-call parita... 12 3.3 Aplikace put-call parity... 13 4. BLACK-SCHOLES MODEL... 15 4.1 Určení vstupujících proměnných... 15 4.2 Předpoklady pro Black-Scholesův model... 17 4.2.1 Geometrický Brownův pohyb... 18 4.2.2 Monte Carlo simulace na S&P500... 20 4.3 Výpočet implikované volatility... 21 5. IMPLIKOVANÁ VOLATILITA... 23 5.1 Rozdíl implikovaných volatilit u call a put opcí... 23 5.2 Volatility smiles a volatility skews... 24 5.3 Volatility surface... 26 5.4 Predikce pomocí implikované volatility... 27 6. OPČNÍ STRATEGIE... 30 6.1 Spekulace na růst podkladového aktiva... 30 6.1.1 Syntetic call... 30 6.1.2 Bull spread... 30 6.2 Spekulace na pokles podkladového aktiva... 33 6.2.1 Syntetic put... 33 6.2.2 Bear spread... 33 6.3 Spekulace na nepokles podkladového aktiva... 35 5

6.3.1 Covered call writing... 35 6.3.2 Ratio put spread... 37 6.4 Spekulace na nerůst ceny podkladového aktiva... 39 6.4.1 Covered put writing... 40 6.4.2 Ratio call spread... 40 6.5 Spekulace na neutrální očekávání... 43 6.5.1 Long Butterfly spread... 43 6.5.2 Calendar spread... 46 6.5.3 Short Straddle, Short Strangle... 47 6.6 Spekulace na zvýšenou volatilitu... 48 6.6.1 Straddle... 48 6.6.2 Strangle... 49 7 APLIKACE A VYHODNOCENÍ VYBRANÝCH STRATEGIÍ... 51 7.1 Aplikace strategií pro spekulaci na růst či pokles podkladového aktiva... 52 7.1.1 Aplikace Bull/Bear spread strategií na S&P500... 53 7.2 Aplikace strategií na základě vývoje implikované volatility... 54 7.2.1 Aplikace strategií na neutrální očekávání... 57 7.2.2 Aplikace strategií spekulujících na zvýšenou volatilitu... 59 8. ZÁVĚR... 61 SEZNAM POUŽITÉ LITERATURY... 63 PŘÍLOHY... 65 6

1. ÚVOD V mé bakalářské práci se věnuji problematice opcí. Oceňování opcí a sestavování opčních strategií pro různé učely jako je spekulace, arbitráže nebo hedging je velmi obsáhlé a komplexní téma. Z tohoto důvodu jsem se zaměřil pouze na různé typy spekulací. Výhoda spekulací pomocí opcí tkví v možnosti kombinovat různé typy opcí, čímž lze vytvořit zajímavé výnosvé křivky. Důvod, proč jsem si téma opčních strategií vybral, byl zejména kvůli motivaci naučit se techniky oceňování opcí a lépe pochopit využití opcí ve financích. Na finanční deriváty je ve financích kladen stále větší důraz, jelikož tyto odvozené cenné papíry jsou levnější, ale také rizikovější spekulační instrument než samotné podkladové aktivum, což je způsobeno pákovým efektem finančních derivátů. Rozlišujeme prodejní (put) a nákupní (call) opce, které je možno nakupovat nebo prodávat (vypisovat). Spekulovat lze na růst či pokles podkladového aktiva, ale také na jeho stagnaci či zvýšenou volatilitu. Na poslední dva zmíněné typy spekulací (spekulace na stagnaci a na zvýšenou volatilitu podkladového aktiva) se v praktické části zaměřím více. U každého typu spekulace vyberu zajímavé strategie, které budu dále analyzovat. U strategií budu konstruovat výnosové křivky, určím maximální možný výnos a maximální možnou ztrátu. Zároveň také vyčíslím body zvratu, které určí, kdy se strategie s kladnými počátečními peněžními toky plynoucí z vytvoření strategie dostává do ztráty, a kdy se strategie se zápornými počátečními peněžními toky dostává do zisku. Jako podkladové aktivum budu v bakalářské práci uvažovat americký akciový index S&P 500. Testované strategie budu tedy sestavovat z evropských opcí obchodované na burze CBOE zvané SPX index options s peněžním plněním, které proběhne budoucí pracovní den po expiraci. Ve své praktické části budu analyzovat volatilitu indexu S&P 500 pomocí regresní analýzy (Metoda nejmeněích čtverců), dále budu zjišťovat, jak přesně implikovaná volatilita opcí predikuje budoucí vývoj volatility indexu S&P 500 a také budu odhadovat budoucí vývoj samotného podkladového aktiva pomocí Monte Carlo simulace. Hlavním cílem této práce je formulování podmínek pro vstup do strategií s daným typem spekulace a ověřit správnost mých úvah. Mým předpokladem je sestavování strategií spekulujících na stagnaci podkladového aktiva v době vysoké implikované volatility, což by mi mělo zajistit dostatečně vysokou obdrženou opční prémii, což posune body zvratu, čímž strategie bude méně riziková. Stejný předpoklad využiji při sestavování strategií spekulujích na zvýšenou volatilitu za nízké implikované volatility, což by se opět mohlo projevit snížením rizika ztráty. 7

1100 1130 1160 1190 1220 1250 1280 1310 1340 1370 1400 1430 2. ZÁKLADY TEORIE OPCÍ Opce jsou druhem finančních derivátů, které zajišťují budoucí cenu podkladového aktiva v současnosti. Z držby opce plyne právo koupit či prodat podkladové aktivum za stanovenou cenu ve stanoveném čase, na rozdíl od forward nebo futures kontraktů ze kterých plyne povinnost koupit či prodat. Další zásadní odlišností opcí je nelineární závislost ceny opce na podkladovém aktivu 1. Opce lze rozdělit podle druhu práva obsaženého v samotné opci. Opce může být s kupním či prodejním právem. Kupní opce (call opce) dává držiteli právo koupit podkladové aktivum za předem dohodnutou cenu (realizační cena) v předem dohodnutém termínu (datum splatnosti opce). Protistrana neboli vypisovatel, který vydá ( vypíše ) opční kontrakt se zavazuje uspokojit držitele opce v případě, že se držitel rozhodne opci uplatnit. Pokud se obě strany dohodnou na uzavření opčního kontraktů, vypisovatel opce inkasuje od držitele opční prémii. Držitel se v době expirace opce rozhodne, zda opci využije nebo zda ji nechá propadnout. Z hlediska možnosti plnění lze rozlišovat opce evropského a amerického typu 2. Americká opce může být uplatněna kdykoliv po uzavření kontraktu až do doby splatnosti opce, zatímco evropská opce lze uplatnit pouze v době expirace opce. Americká opce je zpravidla dražší, než evropská. Vypisovatel americké opce nezná přesný termín plnění, a proto požaduje vyšší opční prémii. Graf 2.1: Výnosová křivka call opce (3.1.2011, splatnost 18.6.2011, K=1275) zisk/ztráta 140 90 40-10 St -60-110 Zdroj: Vlastní animace; ivolatility.com 1 Witzany Jiří; International Financial Markets; strana 111 2 Mandel, Martin; Durčáková Jaroslava; Mezinárodní finance; strana 196 8

1100 1130 1160 1190 1220 1250 1280 1310 1340 1370 1400 Kupní opce (call opce) je uplatněna pouze v případě, kdy cena podkladového aktiva v době expirace je vyšší než předem sjednaná realizační cena (Graf 2.1). Pokud je cena podkladového aktiva v době expirace opce nižší než realizační cena, investor realizuje ztrátu, která je rovna opční prémii (tržní cena opce). Prodejní opce (put opce) je naopak uplatněna pouze v případě, kdy cena podkladového aktiva v době expirace je nižší než předem sjednaná realizační cena (Graf 2.2) Graf 2.2: Výnosová křivka put opce (3.1.2011, splatnost 18.6.2011, K=1250) zisk/ztráta 140 90 40-10 St -60-110 Zdroj: Vlastní animace; ivolatility.com Pokud okamžité uplatnění opce by bylo ziskové (call opce: S 0 >K; put opce: S 0 <K), opce se nazývá v penězích (in-the-money) 3. Opce zvané mimo peníze (out-of-the-money) jejíž okamžité uplatnění by bylo ztrátové (call opce: S 0 <K; put opce: S 0 >K). Opce zvaná na penězích (at-the-money) jejímž okamžitým uplatněním by zisk byl nulový (S 0 =K). 2.1 Rozdělení opcí podle typu podkladového aktiva Opce lze vypsat téměř na jakýkoliv druh podkladového aktiva. Akciové opce a opce na futures jsou nejčastěji obchodovány na burzách, zatímco měnové opce nebo opce na akciový index jsou obchodovaný mimoburzovně, tedy decentralizovaně. Já se v této bakalářské práci budu zabývat pouze opcemi evropského typu na akciový index. Konkrétně na americký akciový index S&P 500 s peněžním plněním, což znamená, že vypořádání protistran neprobíhá fyzicky, ale pouze peněžním vyrovnáním zisků a ztrát. 3 Witzany Jiří; International Financial Markets; strana 112 9

3. VLASTNOSTI OPCÍ Cena opce je určena pěti různými proměnnými, kterými jsou spotová cena podkladového aktiva S 0, realizační cena K, doba do expirace opce T, volatilita podkladového aktiva, bezriziková úroková míra r f a očekávaná dividenda vyplacená během životnosti opce, kterou budu v tomto případě opcí s peněžním plněním zanedbávat. Změna těchto proměnných ovlivňuje cenu opce různým způsobem a různou velikostí. Tab. 3.1:Vliv proměnných na hodnotu opce Vstupující proměnné Evr. call Evr. put Am. Call Am. put spotová cena + - + - realizační cena K - + - + doba do expirace opce T?? + + volatilita + + + + bezriziková úroková míra r f + - + - příjem z držby aktiva - + - + Zdroj: Witzany, Jiří; Financial Derivatives and Market Risk Management V tabulce 3.1 jsem znázornil, jak změny proměnných ovlivní daný druh opce. Růst spotové ceny podkladového aktiva zvýši hodnotu nákupní (call) opce a naopak sníží hodnotu prodejní (put) opce. Opačný efekt má realizační cena, a tedy čím vyšší realizační cena opce, tím nižší hodnota call opce a vyšší hodnota put opce. Delší doba do splatnosti zvýší hodnotu amerických opcí z důvodu větší pravděpodobnosti, že se tyto opce dostanou tzv. do peněz (in-the-money). U evropských opcí je tento vliv nejednoznačný a záleží na očekávaném vývoji ceny podkladového aktiva. Pokud se futures na podkladové aktivum se stejnou splatností jako má opce nachází v současnosti nad spotovým trhem, je očekáván růst podkladového aktiva. Z čehož plyne, že efekt delší doby do splatnosti na hodnotu evropské opce je pozitivní. Situace je opačná, pokud se futures cena nachází v současnosti pod spotovou cenou podkladového aktiva. Zvýšená volatilita podkladového aktiva zvýší hodnotu opce bez ohledu na to, zda je opce kupní nebo prodejní. Pokud domácí úroková míra pozitivně ovlivní očekávaný růst podkladového aktiva, poté její růst zvýší hodnotu call opce a sníží hodnotu put opce 4. Očekávané dividendy nebo jiné příjmy z držby podkladového aktiva mají negativní vliv na kupní opce, jelikož snižují spotovou cenu. 4 Witzany, Jiří; Financial Derivatives and Market Risk Management; strana 91 10

1150 1175 1200 1225 1250 1275 1300 1325 1350 1375 1400 1450 1500 3.1 Vnitřní a časová hodnota opce Faktory ovlivňující hodnotu opce neboli prémii lze rozdělit na vnitřní a časovou hodnotu opce 5. Na vnitřní hodnotu opce lze nahlížet jako na arbitrážní zisk, který může držitel opce realizovat uplatněním této opce. Vnitřní hodnota nákupní (call) opce je definována jako rozdíl ceny podkladového aktiva a realizační ceny opce. Vnitřní hodnota call opce nabývá nulové hodnoty, pokud rozdíl mezi spotovou a realizační cenou je záporný. 3.1 Vnitřní hodnota prodejní (put) opce je rovna rozdílu realizační ceny opce a spotové ceny podkladového aktiva. Pokud je tento rozdíl záporný, hodnota prodejní (put) nabývá nulové hodnoty. 3.2 Časovou hodnotu opce lze definovat jako rozdíl opční prémie a vnitřní hodnoty opce. Časová hodnota je ovlivněna pravděpodobností, že se opce dostane in-the-money. Tato pravděpodobnost je určena dobou do splatnosti T, volatilitou podkladového aktiva, bezrizikovou úrokovou mírou r f a především vzdáleností mezi spotovou a realizační cenou. Graf 3.1:Vnitřní a časová hodnota call opce (10.1.2011, splatnost 19.3.2011, S 0 =1269,75) 140 120 100 80 60 40 20 0 ask cena opce vnitřní hodnota realizační ceny opcí Zdroj: Vlastní animace; ivolatility.com 5 Mandel, Martin; Durčáková Jaroslava; Mezinárodní finance; strana 200 11

1100 1150 1175 1200 1225 1250 1275 1300 1325 1350 1375 1400 1425 1450 Graf 3.2: Vnitřní a časová hodnota put opce (10.1.2011, splatnost 19.3.2011, S 0 =1269,75) 200 150 ask cena vnitřní hodnota 100 50 0 Zdroj: Vlastní animace; ivolatility.com Z grafů 3.1 a 3.2 lze vidět, že čím dál je opce out-of-the-money nebo in-the-money, tím je časová hodnota opce nižší. Nejvyšší časovou hodnotu mají opce, které jsou tzv. na penězích (at-the-money). Opce, které jsou mimo peníze (out-of-the-money) jsou obchodovány za velmi malé částky, protože hodnota opcí mimo peníze (out-of-the-money) a na penězích (at-the-money) je tvořena pouze časovou hodnotou opce 6. 3.2 Put-call parita realizační ceny opcí Nákupní i prodejní opce lze vyjádřit portfoliem, které se chová totožně jako samotná opce. Call opci lze opsat portfoliem, které je vytvořeno z dlouhé pozice podkladového aktiva S 0, dlouhé pozice put opce a krátké pozice peněžních jednotek o velikosti 7. Vytvořené portfolio se chová jako call opce o stejné realizační ceně jako má nakoupená put opce. 3.3 Z rovnice 2.3 lze jednoduše odvodit portfolio pro put opci, které bude obsahovat dlouhou pozici call opce, dlouhou pozici v peněžních jednotkách o velikosti a krátkou pozici podkladového aktiva S 0. 3.4 Ze vztahu mezi put a call opcí lze tedy odvodit rovnici, která se nazývá put-call parita. Pokud tato parita není splněna, vyskytují se na trhu arbitráže, které mohu využít k arbitrážnímu zisku. Arbitráž spočívá v nakoupení podhodnoceného portfolia a prodejem 6 http://www.1option.com 7 Hull, John; Options, futures and other derivatives 7th edition; strana 208 12

Arbitrážní výnos (%) relativně nadhodnoceného portfolia. Pro přehlednost upravím rovnici put call parity následovně: 3.5 3.3 Aplikace put-call parity Možnost arbitráží jsem zjišťoval u opcí na akciový index S&P 500, které jsou evropského typu s peněžním plněním (viz příloha č.1). Na grafu 3.3 jsou znázorněny výnosy, kterých bych dosáhl při zobchodování všech nadhodnocených či podhodnocených portfolií. Z celkového počtu 8036 call a put opcí (14 různých realizačních cenách a 5 různých splatnosti) byla put-call parita držena pouze v 94 případech. V ostatních případech byla tedy možnost arbitrážního zisku. Graf 3.3: Výnosy z arbitráží (procentuální vyjádření) 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 27.1.2011 24.2.2011 30.3.2011 4.5.2011 17.6.2011 8.8.2011 12.10.2011 19.12.2011 Datum Zdroj: Vlastní animace i výpočty Při počítání put-call parity se ovšem zanedbávají veškeré poplatky při nákupu či krátkém prodeji investičního instrumentu. Pokud tyto poplatky budu brát v úvahu, počet možných arbitráží se výrazně změní. Navíc musím uvažovat zápůjční úrokovou míru, kterou je nutno využít v případě vypůjčení peněžních prostředků na koupi podkladového aktiva a také v případě krátkého prodeje podkladového aktiva. Další poplatky plynou z koupě a prodeje opce. Uvažuji-li všechny tyto náklady na vytvoření portfolia, počet arbitrážních příležitostí se sníží na daleko nižší počet. Na grafu 3.3 to jsou výnosy výrazně přesahující hranici ostatních výnosů z arbitráží. Těchto 14 arbitráží s výrazným výnosem by však nebylo možné uskutečnit, jelikož při dohledání cen opcí vhodných pro tyto velmi ziskové arbitráže 13

jsem zjistil nulovou cenu těchto opcí a nulový počet otevřených opčních kontraktů 8. Tyto opce by tedy nebylo možné koupit. Vyšší arbitrážní zisky jsou u opcí s delšími splatnostmi, což lze také vypozorovat z grafu 3.3 (klesající arbitrážní zisky v průběhu roku 2011, jelikož data obsahují nejpozdější expiraci 21.1.2012). U těchto arbitrážních strategií s delší splatností jsou však také vyšší poplatky například z důvodu dlouhodobější držby krátké pozice v podkladovém aktivu. Dalším poznatkem je daleko častější zaujetí dlouhé pozice levé strany rovnice (nákup call opce a uložení peněžních prostředků) a krátké pozice pravé strany rovnice (krátký prodej podkladového aktiva a vypsání put opce). Na zkoumaných datech jsem v 97,5% případech zaujal dlouhou pozici levé strany a krátkou pozici pravé strany rovnice. 8 Open interest vyjadřuje celkový počet uzavřených opčních kontraktů. 14

4. BLACK-SCHOLES MODEL Black-Scholes formule je základním vzorcem pro výpočet ceny opce. Do vzorce vstupuje pět proměnných a to: spotová cena podkladového aktiva, realizační cena opce, splatnost opce, bezriziková úroková míra a volatilita. Každá z těchto proměnných samozřejmě působí na cenu opce jinak a v jiné míře, což již bylo zobrazeno v tabulce 3.1. Pro opce na akciový index by však bylo vhodnější použít Mertonův model, který uvažuje spojitou dividendu 9. Mertonův model je odvozen od Black-Scholesova modelu s tím rozdílem, že spotová cena podkladového aktiva vyplácející spojitou dividendy je převedana na spotovou cenu podkladového aktiva nevyplácející dividendu. Tím docílím, že spotové ceny podkladového aktiva vyplácejícího a nevyplácejícího dividendu se v době expirace rovnají. V mém případě však budu používat klasickou Black-Scholesovu formuli, jelikož podkladové aktivum (akciový index S&P 500) ve skutečnosti nevyplácí žádnou dividendu. Dividendami, které vyplácí jednotlivé společnosti obsažené v indexu, je však ovlivněn vývoj spotové ceny indexu. 4.1 Určení vstupujících proměnných Při oceňování opce je tedy nutné znát hodnoty těchto proměnných. Realizační cena a splatnost opce vychází ze samotné vlastnosti opce, spotová cena podkladového aktiva a bezriziková úroková míra lze poměrně snadno zjistit či dohledat. Za bezrizikovou úrokovou míru se často dosazuje vnitřní výnosová míra státního dluhopisu s nulovými kuponovými platbami, který má stejnou dobu do splatnosti jako opce 10. 4.1 Odtud vyjádřím bezrizikovou úrokovou míru r f 4.2 Při výpočtu jednoleté bezrizikové úrokové sazby jsem použil diskontované státní dluhopisy vydávané 11. 11. 2011 za 19 600Kč a splatné 12. 11. 2012 ve své jmenovité hodnotě 20 000Kč 11. Jednoletá bezriziková úroková sazba vyšla 2,02%. 9 Hull, John; Options, futures and other derivatives 7th edition; strana 322 10 Málek, Jiří; Opce a futures; strana 44 11 http://www.mfcr.cz 15

Logaritmovaný výnos Problémy s oceněním však nastanou při zjišťování volatility. Black-Scholes formule používá historickou volatilitu jako anualizovanou směrodatnou odchylku časové řady podkladového aktiva, která je počítána následovně: 4.3 kde 4.4 4.5 Jelikož uvažuji spojité úročení, používám logaritmický výnos za jednu periodu. Na grafu 3.1 jsou logaritmované výnosu indexu S&P500 za rok 2011, z vývoje křivky lze vyvodit vyšší rozptyl výnosů v druhé půli roku 2011. Graf 4.1: Vývoj logaritmovaných výnosů indexu S&P500 za rok 2011 0.06 0.04 0.02 0-0.02-0.04-0.06-0.08 3.1.2011 15.3.2011 26.5.2011 8.8.2011 18.10.2011 30.12.2011 Datum Zdroj: Vlastní animace; finance.yahoo.com Průměr těchto logaritmických výnosů představuje výběrový očekávaný výnos, který by měl být roven nule, pokud výnosy mají normované normální rozdělení 12. Historickou 12 Sinclair, Euan; Volatility Trading; strana 17 16

volatilitu poté zjistím anualizací směrodatné odchylky, tedy přenásobením odmocniny z počtu pozorování. Na zkoumaných datech (3.1.2011-30.12.2011) akciového indexu S&P500 vyšla roční volatilita 0,2333. Dále jsem pomocí Matlabu počítal historické volatility pro jednotlivé opce během jejich životnosti (viz příloha č.2), které budu dále porovnávat s trhem očekávanou (implikovanou) volatilitou na začátku životnosti opce. Analýzu historické a implikované volatility použiji při spekulaci na určitý vývoj volatility podkladového aktiva v kapitole 6. Na závěr přidávám tabulku ročních historických volatilit od roku 2000 pro porovnání jejího vývoje. Tabulka 4.1: Vývoj ročních historických volatilit 2000 2001 2002 2003 2004 2005 0,2221 0,2121 0,2595 0,1674 0,1109 0,1025 2006 2007 2008 2009 2010 2011 0,0987 0,1599 0,4102 0,271 0,18 0,2333 Zdroj: Vlastní výpočty; Thomson Reuters 4.2 Předpoklady pro Black-Scholesův model Výpočet ceny opce pomocí Black-Scholesovy formule provádím na základě sedmi restriktivních předpokladů. Black-Scholesův model je omezen následujícími předpoklady 13 : 1) Depozitní a zápujční úroková sazba je stejná (bezriziková úroková míra) 2) Neexistuje nákupní/prodejní spread 3) Je možné zaujmout krátkou pozici podkladového aktiva bez poplatků 4) Lze koupit jakékoliv množství podkladového aktiva (včetně části akcie) 5) Vývoj ceny podkladového aktiva na základě Geometrického Brownova pohybu 6) Opční trhy jsou maximálně likvidní 7) Neexistují arbitrážní příležitosti a opční trhy jsou efektivní V následujících podkapitolách se budu věnovat vybraným předpokladům. Budu předpokládat slabě efektivní trh a tedy situaci, kdy vývoj historické ceny nijak neovlivňuje cenu budoucí. Pokud by tento předpoklad nebyl pravdou, technická analýza by přinášela investorům nadprůměrné výnosy. Existuje pouze pár záznamů, které by to dokazovaly. Budu tedy předpokládat, že veškeré minulé informace jsou v ceně již obsaženy. 13 James, Peter; Option theory, strana 51 17

Zda je trh bezarbitrážní jsem zjišťoval na datech indexu S&P500 z roku 2011 a to pomocí put-call parity (kapitola 3.3.) 4.2.1 Geometrický Brownův pohyb V této části se budu zabývat Geometrickým Brownovým pohybem, který vychází z Wiener stochastického procesu, a který je předpokladem pro model implikované volatility. Geometrický Brownův pohyb předpovídá budoucí cenu podkladového aktiva na základě očekávané volatility, očekávaného výnosu, spotové ceny a samozřejmě budoucí cenu ovlivňuje také náhodná (stochastická) složka 14. V modelu je také zahrnuto, čím déle podkladové aktivum držím, tím je větší rozptyl simulovaných cen na konci zvolené periody. Geometrický Brownův pohyb předpokládá určité vlastnosti pro cenu podkladového aktiva, které zmíním v následujících třech podkapitolách. 4.2.1.1 Kontinuálnost cen podkladového aktiva v čase Tato první vlastnost předpokládá kontinuální obchodování podkladového aktiva a tudíž neustále se měnící cena. Tento předpoklad není dodržen, protože trhy jsou během víkendů zavřené a obchoduje se pouze během obchodních hodin. Nicméně předpoklad kontinuálního obchodování je zde pouze pro zjednodušení. 4.2.1.2 Ceny podkladového aktiva vychází z Markovského procesu Tato vlastnost podkladového aktiva je v zásadě totéž jako slabá forma efektivnosti trhu, která tvrdí nenávaznost budoucích cen podkladového aktiva na cenách historických 15. Markovského proces nahlíží na pohyb cen akciového indexu jako na náhodnou procházku. Podlé této teorie je v dlouhodobosti nemožné tzv. překonat trh, protože nelze určit nadhodnocené a podhodnocené akcie, jelikož všechny informace jsou v ceně již zahrnuty. Stochastické Markovské procesy vychází z předpokladu, že určité změny se dějí s určitou pravděpodobností, která je ovlivněna právě náhodnou složkou a kde výskyt stavu v určitém okamžiku je závislý na výskytu stavu v předešlém okamžiku 16. Pravděpodobnost změny určím jako očekávaný výnos podkladového aktiva a velikost této změny jako očekávanou volatilitou. Časový okamžik je diskrétní spočetná množina 17, kterou v mém případě stanovím na 60 obchodních dnů. 14 Hull, John; Options, futures and other derivatives 7th edition; strana 266 15 Sengupta, Chandan; Financial Modeling Using Excel and VBA; strana 287 16 Kořenář, Václav; Stochastické procesy; strana 8 17 Nejedná se tedy o proces se spojitým časem, minimalizací jednotlivých period v množině se můžeme spojitému procesu přiblížit. 18

4.2.1.3 Výnosy podkladového aktiva mají normální rozdělení Tento stochastický proces simuluje změnu ceny podkladového aktiva v malých časových intervalech t 18. 4.6 kde představuje očekávaný výnos aktiva za jednotku času, je standartizované normální rozdělení Φ(0,1) se střední hodnotou rovné 0 a se směrodatnou odchylkou, která je rovna 1 a je konstantní volatilita podkladového aktiva za určité mnou zvolené období. Součin je tedy celkový očekávaný výnos za celou periodu a součin je právě stochastická (náhodná) složka výnosu, kde je směrodatná odchylka za krátkou periodu t. Tuto směrodatnou odchylku je možné jednoduše upravit na rozptyl a očekávaný výnos z aktiva bude logicky figurovat jako střední hodnota tohoto výnosu. Po této úpravě získávám toto normální rozdělení. 4.7 Ze vzorce je patrné, čím vyšší je střední hodnota, která je závislá na očekávaném výnosu a periodě, tím je pravděpodobnější, že změna ceny podkladového aktiva bude kladná, a je tedy očekáván růst ceny podkladového aktiva. Rozptyl, který je určen anualizovanou volatilitou a časovou periodou, určuje rozmezí a váhu náhodné složky. Podobné vlastnosti lze odvodit u rozptylu. Čím delší je perioda neboli čím větší je volatilita, tím větší roli v odhadu hraje náhodná složka, a proto je cena podkladového aktiva hůře predikovatelná. 18 Sengupta, Chandan; Financial Modeling Using Excel and VBA; strana 288 19

Hustota rozdělení Graf 4.2: Histogram logaritmovaných výnosů S&P 500 za rok 2011 80 70 60 50 40 30 20 10 0-0.05-0,04-0.03-0.02-0.01 0 0.01 0,02 0.03 0.04 0.05 Rozdělení výnosů Zdroj: Vlastní animace; finance.yahoo.com 4.2.2 Monte Carlo simulace na S&P500 Monte Carlo lze poměrně snadno simulovat v Excelu či Matlabu (viz příloha č.3). Budu tedy simulovat několik vývojů indexu S&P500 pro periodu 3 měsíců (0,25 roku). Jako aktuální cenu si zvolím uzavírací cenu indexu z 3. 1. 2012, za očekávaný roční výnos dosadím průměrný roční výnos za poslední dva roky (2010-2011) a za směrodatnou odchylku dosadím anualizovanou volatilitu ze stejného období. Výnos indexu S&P 500 z období 2010-2011 byl roven 6,32%. Průměrný roční výnos jsem vypočítal jako podíl uzavírací ceny indexu z 30.12.2011 a open cenu z prvního obchodního dne v roce 2010 (4.1.2010). Průměrná roční historická volatilita za sledované období byla 0,2067. Časovým okamžikem bude obchodní den, kdy byla burza otevřena. Těchto časových okamžiků (obchodních dnů) je ve zvolené tříměsíční periodě 60, tudíž. Již jsem uvedl, že v Markovském procesu je výskyt stavu v určitém okamžiku závislý na výskytu stavu v předešlém okamžiku, a proto obě složky určené Geometrickým Brownovým pohybem jsou v Monte Carlo simulaci závislé na simulované spotové ceně z předešlého časového okamžiku t. 20

S&P 500 Graf 4.3 : Simulované ceny akciového indexu S&P500 1500 1450 1400 1350 1300 1250 1200 1150 1100 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 čas Zdroj: Vlastní animace i výpočty Spotová cena simulovaného aktiva je určena v každém okamžiku t (v každém obchodním dni). Graf 3.3 je výstup 10 simulovaných cen. Černá čára v grafu slouží ke snazšímu posouzení vývoje akciového indexu po dobu 3měsíců. Abych však mohl udělat o vývoji S&P 500 nějaký závěr, musím tuto simulaci provést určitě více než desetkrát. Simulaci vývoje akciového indexu S&P 500 jsem provedl na 100 000 pozorování. Vývoj indexu jsem rozdělil do pěti scénářů po-dle procentní změny indexu na konci simulované periody (30.3.2012). Následná tabulka demonstruje očekávaný vývoje indexu S&P 500 dle Monte Carlo simulace. Tabulka 4.2: Pravděpodobnosti vývoje S&P 500 (3.1.2012-30.3.2012) Silně klesající Mírně klesající Stagnující Mírně rostoucí Silně rostoucí S T < -6% -6% S T < -3% -3% S T 3% 3% < S T 6% S T > 6% 0,153 0,122 0,314 0,141 0,270 Zdroj: Vlastní výpočty Akciový index S&P500 dle Monte Carlo simulace bude s pravděpodobností 0,725 neklesající. 4.3 Výpočet implikované volatility Ve skutečnosti však tržní cenu opce tvoří trhem očekávaná volatilita podkladového aktiva během životnosti opce, která se také nazývá jako implikovaná, což je důvod proč se liší tržní a modelová cena opce. Implikovanou volatilitu lze spočítat vyjádřením této neznámé 21

z Black-Scholes vzorce. Za hodnotu opce je možno dosadit cenu, za kterou se opce obchoduje na burze. 4.8 4.9 kde 4.10 Pravá strana rovnice pro call opci se skládá ze dvou výrazů 19. První člen znázorňuje velikost dlouhé pozice akcií, kdy počet akcií je určen členem N(d), což je kumulativní distribuční funkce standardního normálního rozdělení 20. Druhý člen rovnice udává velikost krátké pozice v bezrizikových dluhopisech (velikost bezrizikové výpůjčky). 19 Málek, Jiří; Opce a futures; strana 44 20 Toto rozdělení má nulovou střední hodnotu a rozptyl roven 1, proto distribuční funkce normálového rozdělení pro hodnoty menší než 0 je rovna pravděpodobnosti 0,5 22

5. IMPLIKOVANÁ VOLATILITA Implikovanou volatilitu lze chápat jako trhem předpokládanou volatilitu podkladového aktiva s časovým horizontem určeným dobou do splatnosti opce. Pokud průběh volatility je brán jako stochastická veličina, pak je implikovaná volatilita opce chápána jako průměrná volatilita podkladového aktiva 21. Vztah mezi implikovanou volatilitou a cenou opce je nelineární. Téměř lineární vztah platí pouze pro opce, které jsou at-the-money, to však neplatí pro opce out-of-the-money nebo in-the-money. Tato citlivost změny volatility na změnu ceny podkladového aktiva lze vypočítat 22. Pro opce, které jsou ATM, je tato citlivost poměrně vysoká, protože tyto opce se můžou jednoduše ocitnout v ITM nebo OTM i v případě nízké volatility. 5.1 Rozdíl implikovaných volatilit u call a put opcí Implikované volatility u evropských opcí se stejnou expirací by měli vyjít totožně u nákupních i prodejních opcí bez ohledu na to, zda jsou out-of-the-money nebo in-the-money. Na reálných datech však mohu ukázat, že různé typy opcí s různými realizačními cenami mají rozdílné volatility. Já se však nyní zaměřím na odlišnosti implikované volatility mezi nákupními a prodejními opcemi. Obecně vzato, pokud je implikovaná volatilita u call opcí vyšší než u put opcí, lze říci, že call opce jsou relativně dražší než put opce. Tato situace značí očekávání trhu v býčí trend nebo pokračování býčího trendu podkladového aktiva. Tato anomálie je způsobena tím, že do oceňovacího modelu nevstupuje očekávaná nebo spíše futures cena podkladového aktiva, ale spotová cena. Stejně tak pokud implikovaná volatilita u put opcí je vyšší než u call opcí, trh očekává pokles ceny podkladového aktiva. Implikovanou volatilitu u at-the-money opcí však není příliš jednoduché zjistit. Ve skutečnosti je téměř nereálné najít at-the-money opci, protože spotová cena podkladového aktiva se přesně nerovná některé z realizačních cen, které se na burze obchodují 23. Budu tedy hledat realizační cenu, která se nachází nejblíže spotové ceně podkladového aktiva (viz příloha č.4). 21 Carol, Alexander; Market Models: A Guide to Financial Data Analysis; strana 22 22 Tato citlivost se nazývá vega a její hodnoty jsou nejvyšší u at-the-money opcí. 23 Sinclair, Euan; Volatility Trading; strana 48 23

Implikovaná volatilita Graf 5.1: Vývoj implikovaných volatilit at-the-money call a put opcí, splatnost 19.3.2011 0.18 0.17 implikovaná volatilita call implikovaná volatilita put 0.16 0.15 0.14 0.13 0.12 7.1.2011 14.1.2011 24.1.2011 31.1.2011 7.2.2011 14.2.2011 Datum Zdroj: Vlastní animace; ivolatility.com Graf 5.1 popisuje vývoj implikovaných volatilit at-the-money put a call opcí s expirací 19.3.2011, což značí trhem očekávanou volatilitu podkladového aktiva během doby do splatnosti opcí. Z grafu lze také vypozorovat, že v období od 15-18. ledna 2011 trh začal očekávat vyšší cenu podkladového aktiva v době expirace opcí. Situace se změnila 29.1.2011 v očekávání poklesu ceny podkladového aktiva, kdy at-the-money put opce jsou relativně dražší, než at-the-money call opce. Tento poznatek později využiji při spekulaci na růst či pokles podkladového aktiva a ověřím správnost očekávání trhu. 5.2 Volatility smiles a volatility skews V předcházející části, jsem potvrdil, že při dosazování konstantní volatility do Black- Scholesovy formule vyjde odlišná cena opce od tržní ceny opce. Opce na stejné podkladové aktivum s různými realizačními cenami mají různé implikované volatility. Empirickým sledováním těchto volatilit byly zjištěny určité tvary, které pro většinu podkladových aktiv platí. Implikovaná volatilita pro out-of-the-money opce je vyšší než pro opce, které jsou atthe-money. Black-Scholesova formule předpokládá pro podkladové aktivum Geometrický Brownův pohyb, který předpokládá konstantní volatilitu a normální rozdělení výnosů z podkladového aktiva. Pokud je však volatilita stochastickou veličinou nebo pokud výnosy z podkladového aktiva nemají normální rozdělení, vznikají pak diskrepance mezi modelovou a tržní cenou 24. Náhlé výkyvy volatility můžou způsobit, že out-of-the-money opce se mohou snadněji dostat do zisku. Dále pokud výnosy podkladového aktiva jsou vychýleny 24 Carol, Alexander; Market Models: A Guide to Financial Data Analysis; strana 30 24

1100 1150 1175 1200 1225 1250 1275 1300 1325 1350 1375 1400 1450 1500 Implikovaná volatilita z normálního jako ve mnou zvoleném případě 25, jsou samozřejmě také ovlivněny ceny opcí, které jsou out-of-the-money nebo in-the-money. A právě toto zjištění, že opce s určitou realizační cenou jsou relativně dražší, než opce s jinou realizační cenou nelze zahrnout do Black-Scholesovy formule jinak než jako zvýšená volatilita. Symetrický volatility smile a tedy symetricky rostoucí volatilita u OTM a ITM opcí je typická pro měnové opce na devizovém trhu. Volatility skew popisuje tvar s vyšší volatilitou u nižších realizačních cen a postupné klesání implikované volatility s rostoucí realizační cenou. Podle autorky Alexander Carol (2001) je volatility skew typický pro akcie a akciové indexy, tento předpoklad opět ověřím na zvolených datech. Tento fakt podpírá zejména těmito dvěma argumenty 26 : 1) Akciové trhy nejsou symetrické. Obecně lze říci, že u akcií je kladně brán pouze vzestup ceny akcie. Naopak je tomu na komoditním trhu, kdy pokles ceny určité komodity je brán pozitivně. ITM call opce jsou žádanější než OTM call opce, jsou sice dražší, ale méně rizikové. OTM put opce jsou žádanější než ITM put opce, protože se používají zejména jako zajištění proti poklesu. 2) Akciové trhy po prudkém pádu se stávají mnohem volatilnějšími než po stejně velkém růstu. Zvýšená volatilita zvyšuje cenu opcí a zejména pravděpodobnost, že se call opce opět vrátí do zisku. Graf 5.2: Volatility skew u call opcí (10.11.2011, splatnost 21.1.2012) 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 Realizační cena Zdroj: Vlastní animace; ivolatility.com 25 Odhad střední hodnoty zlogaritmovaných výnosů indexu S&P500 za sledované období 2011 byl -0,45% 26 Carol, Alexander; Market Models: A Guide to Financial Data Analysis; strana 31 25

1100 1150 1175 1200 1225 1250 1275 1300 1325 1350 1375 1400 1450 1500 Implikovaná volatilita Na grafu (5.2) je typický tvar implikované call opce se splatností 21.1.2012 ve vybraný obchodní den pro různé realizační ceny. Tvar křivky je klesající, až od určité realizační ceny implikovaná volatilita začíná velmi mírně růst. V drtivé většině případů se u opcí na akciový index S&P 500 vyskytoval útvar volatility skew. Pouze v sedmi případech z celkových 574 (246 obchodních dnů, 5 různých expirací) 27 se u opcí vyskytoval útvar volatility smile (graf 5.3). Tento útvar jsem si při zjišťování definoval alespoň pěti rostoucími implikovanými volatilitami u opcí s realizačními cenami vyššími, než byla spotová cena (viz příloha č.5). Těchto sedm volatility smile se nacházelo pouze u opcí s kratší splatností než tři měsíce, což dále ověřím při modelování volatility surface. Graf 5.3: Implikovaná volatilita pro různé realizační ceny, 28.1.2011 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 Realizační ceny Zdroj: Vlastní animace; ivolatility.com Při růstu implikované volatility u opcí s vyššími realizačními cenami roste cena call opcí out-of-the-money a put opcí in-the-money, což může značit zvýšenou spekulaci na pokles podkladového aktiva během doby do splatnosti opce. 5.3 Volatility surface Sleduji-li vztah implikované volatility s realizačními cenami a dobami do splatnosti, dostanu trojrozměrný graf známý jako volatility surface. V tomto trojrozměrném grafu (5.4) je možno vidět rostoucí implikovanou volatilitu s rostoucí realizační cenou pouze u opcí s krátkodobou splatností. Volatility surface jsem modeloval 3.1.2011 pro implikované volatility opcí na akciový index S&P 500 ve třech níže uvedených splatnostech. 27 Ve všech obchodních dnech se neobchodovaly stejné splatnosti 26

Implikovaná volatilita Graf 5.4: Volatility surface (3.1.2011, splatnosti 19.3.2011, 18.6.2011 a 17.9.2011) 0.26 0.24 0.22 0.2 0.18 0.16 0.14 0.12 1500 1450 1400 1375 1350 1325 1300 1275 1250 1225 1200 1175 1150 1100 75 166 257 Realizační cena Doba do splatnosti (dny) Zdroj: Vlastní animace; ivolatility.com 5.4 Predikce pomocí implikované volatility Jak jsem již zmínil dříve, na implikovanou volatilitu lze nahlížet jako na očekávanou průměrnou volatilitu během životnosti opce. Trh však nemůže mít tušení, jaká bude volatilita v budoucím období, a proto je implikovaná volatilita mnohdy ovlivněna aktuální situací na trhu. Dle autora McMillan, Lawrance G (2002) byla implikovaná volatilita na jím zkoumaných datech vyšší než ta historická (aktuální), a tudíž opce byly systematicky nadhodnocovány 28. Historickou volatilitu lze porovnávat s implikovanou volatilitou. Měření historické volatility je však nutné provést za období zbývající životnosti opce. K porovnání jsem použil index VIX (CBOE Volatility Index), který zobrazuje očekávání trhu během následujících 30 dnů. VIX index je počítán z implikovaných volatilit krátkodobých call i put opcí pro různé realizační ceny na podkladové aktivum S&P 500. 29 Původní VIX index byl počítán z indexu OEX a pouze pro at-the-money opce. Očekávaná volatilita během následujících 30 dnů jsem ex post ověřil s historickou volatilitou za toto období. 28 McMillan, Lawrance G.; Options as a Strategic Investment; strana 737 29 http://www.cboe.com 27

Volatilita Graf 5.5: Porovnání implikované (VIX) a historické (aktuální) volatility 0.5 0.45 historická volatilita VIX 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 16.5.2011 28.6.2011 10.8.2011 22.9.2011 3.11.2011 Datum Zdroj: Vlastní animace; Reuters Thomson Z grafu 5.5 lze vyvodit, že očekávaná volatilita je ovlivňována aktuální volatilitou na trzích. Dne 28.6. 1.8.2011 se očekávána volatilita pohybovala v rozmezí 0,15-0,25. Ve skutečnosti však volatilita na trzích dosahovala hodnoty až 0,42, což se promítlo do trhem očekávané volatility S&P 500 na další měsíc. Od 11.8.2011 se volatilita na trzích ustálila, avšak implikovaná volatilita vykazuje stále vysoké hodnoty. Z čehož lze vyvodit závěr, že opce jsou nadhodnocené. Pokud by rozdíl mezi implikovanou a historickou volatilita osciloval kolem nuly, implikovanou volatilitu lze považovat jako dobrý prediktor budoucí volatility 30. Z grafu 5.6 lze vypozorovat velké diskrepance mezi implikovanou a historickou volatilitou dosahujících hodnot 0,2. U opcí na S&P 500 z roku 2011 můžu udělat závěr, že implikovaná volatilita nebyla dobrým prediktorem budoucího vývoje volatility, čehož využiji u strategií spekulujících na budoucí volatilitu. Lze také říci, že implikovaná volatilita se pravidelně pohybuje nad historickou (aktuální) volatilitou. Dle autora Sinclar, Euan (2008) 31 je nutné s tímto zásadním poznatkem dále pracovat. Tato systematická odchylka historické (aktuální) volatility a implikované (trhem očekávané) volatility značí vyšší skeptičnost opčního trhu, což je zahrnuto ve vyšší ceně opcí. Tento poznatek je možno také vidět na grafu 4.6. V situacích, kdy implikovaná volatilita je podstatně vyšší (v určitých situacích téměř dvojnásobná) než historická (aktuální), by bylo výhodné opce vypsat a inkasovat relativně vysokou opční prémii. 30 McMillan, Lawrance G.; Options as a Strategic Investment; strana 742 31 Sinclair, Euan; Volatility Trading; strana 42 28

Rozdíl volatility Graf 5.6: Rozdíl implikované a historické volatility 0.2 0.1 0-0.1-0.2 16.5.2011 28.6.2011 10.8.2011 22.9.2011 3.11.2011 Datum Zdroj: Vlastní animace; Thomson Reuters 29

6. OPČNÍ STRATEGIE Opční strategie se tvoří pro různé účely, jako jsou arbitráže, zajištění nebo spekulace 32. Arbitráže jsem zjišťoval u put-call parity a spekulacemi se budu zabývat v celé této kapitole. Různou kombinací opcí a samotného podkladového aktiva lze vytvořit speciální výnosové křivky, a tedy odlišné druhy spekulací. Spekulovat je možné samozřejmě na vzrůst či pokles podkladového aktiva, ale také na sníženou či zvýšenou volatilitu. Při tvorbě těchto strategií uvažuji pouze evropské opce a předpokládám, že opce lze obchodovat v jakékoliv realizační ceně 33. Dále zanedbávám poplatky, daně a obchodování přes maržový účet u brokera. 6.1 Spekulace na růst podkladového aktiva Tento typ spekulace je využíván, pokud očekávám silný růst podkladového aktiva, v mém případě indexu S&P 500. Pro dlouhou pozici je možno využít klasickou call opci, syntetickou call opci anebo méně agresivní strategii jakou je Bull spread, kterou se budu zabývat podrobněji. Vstup do strategie spekulující na vzestup ceny podkladového aktiva načasuji pomocí implikovaných volatilit at-the-money put a call opcí. 6.1.1 Syntetic call Syntetic Call strategie je spekulací na silný býčí trh a kombinuje put opci a podkladové aktivum. Syntetic call má identickou výnosovou křivku a vlastnosti jako klasická call opce. Liší se pouze tím, jak je tato výnosová křivka vytvořena. To, že call opci lze vyjádřit portfoliem, které je tvořeno dlouhou pozicí v put opci a dlouhou pozicí v podkladovém aktivu je využíváno hlavně při oceňování opcí. Tento vztah jsem již podrobněji vysvětlil v kapitole Put-Call parita. 6.1.2 Bull spread Tato strategie využívá dvou stejných opcí s různými realizačními cenami tak, že opce s nižší realizační cenou K 1 je nakoupena a opce s vyšší realizační cenou K 2 je vypsána (prodána). Strategie lze tedy vytvořit, jak z call opcí, tak z put opcí. Tyto opce mají stejnou splatnost. Jak již bylo zmíněno výše, Bull spread je možno vytvořit nákupem call opce s nižší realizační cenou, což je pro investora peněžní výdaj a prodejem (vypsáním) call opce s vyšší realizační cenou, což je peněžní příjem. Call opce s vyšší realizační cenou jsou vždy levnější než call opce s nižší realizační cenou, a proto je tedy strategie Bull spread (Call) spojena 32 Witzany, Jiří; Financial Derivatives and Market Risk Management; strana 98 33 Malkiel, Burton; Quandt, Richard; Strategies and Rational Decisions in the Securities Options Market 30

1225 1325 s počátečním záporným peněžním tokem 34. Navíc nakupuji za cenu ASK a prodávám za cenu BID, a tudíž tento spread tvoří další, mnohdy nezanedbatelný, peněžní výdaj. Graf 6.1: Výnosová křivka Bull spread (3.1.2011, K 1 =1225, K 2 =1325, S 0 =1271,87) zisk/ztráta 120 100 80 60 40 20 0-20 -40-60 -80 St Zdroj: Vlastní animace; ivolatility.com Z výnosové křivky (graf 6.1) lze vyvodit, že pokud se cena podkladového aktiva v době splatností opcí nachází pod nižší realizační cenou (S T K 1 ), nacházím se ve ztrátě, kterou určím právě počátečními peněžními toky a tedy rozdílem mezi cenou vypsané a nakoupené call opce, což je náklad této strategie. Pokud se cena podkladového aktiva v době splatnosti opcí nachází mezi realizačními cenami call opcí (K 1 S T K 2 ), peněžní pozici lze kvantifikovat jako výnos z nakoupené call opce (S T - K 1 ) po odečtení počátečního peněžního výdaje při tvoření této strategie. A konečně pokud se cena podkladového aktiva vyšplhá nad realizační cenu vypsané call opce (S T K 2 ), strategie realizuje zisk, který se rovná rozdílu realizačních cen call opcí po odečtení počátečního peněžního výdaje zaplaceného při tvorbě této strategie. Tento zisk odvodím z následujícího výrazu: (S T K 1 ) (S T K 2 ) 35, kde první závorka výrazu představuje náš výnos z nákupu opce s realizační cenou K 1 (právo koupit podkladového aktivum za cenu K 1 ) a druhá závorka představuje povinnost, která plyne z vypsání call opce s realizační cenou K 2 (povinnost prodat podkladové aktivum za cenu K 2 ). 6.1 6.2 34 Hull, John; Options, futures and other derivatives 7th edition; strana 222 35 Výraz (S T K 1 ) (S T K 2 ) platí pouze za předpokladu, kdy S T K 2 31

Zisk u strategie Bull spread tvořené call opcemi je tedy generován pouze nakoupenou call opcí s realizační cenou K 1, která je využita za předpokladu, že se spotová cena S T dostane nad úroveň realizační ceny K 36 2. Maximální možný zisk z této strategie tvořené put opcemi je generován peněžním tokem z vypsané put opce, která nebude kupujícím využita za stejného předpokladu a tedy, kdy S T K 2. Tvorba této strategie Bull spread-put je tedy spojena s kladným počátečním peněžním tokem, který je roven maximálnímu možnému výnosu. 6.3 6.4 Ztráta u této strategie tvořené put opcemi je kvantifikována jako rozdíl peněžního výdaje, který plyne z povinnosti odkoupit podkladové aktivum za předem stanovenou cenu K 2 a peněžního příjmu, který plyne z možnosti prodat podkladové aktivum za cenu K 1. K této ztrátě, podobně jako strategie tvořené call opcemi, je přičten počáteční peněžní příjem (rozdíl z vypsané a nakoupené put opce). Tento rozdíl bude vždy kladný, protože cena put opce s 37 nižší realizační cenou K 1 bude vždy nižší, než cena put opce s vyšší realizační cenou K 2 Dále lze rozlišit tři typy bull spread strategií podle realizačních cen opcí 38 : 1) Obě opce jsou out-of-the-money 2) Jedna opce je out-of-the-money, druhá je in-the-money 3) Obě opce jsou in-the-money Bull spread s nejvyšším potencionálním ziskem je vytvořený ze dvou out-of-themoney opcí. Tyto opce jsou vždy levnější a je zde malá pravděpodobnost, že se spotová cena v době expirace opcí dostane nad úroveň realizační ceny K 2 a tedy okamžik, kdy strategie dosahuje maximálního možného výnosu. Logicky, čím více jsou call opce hlouběji v out-ofthe-money, tím je strategie méně náročná na počáteční náklady strategie, čímž minimalizuji nejvyšší možnou ztrátu. Na druhou stranu však roste pravděpodobnost, že tato strategie bude ztrátová v době expirace opcí. Nejvíce konzervativní je naopak bull spread vytvořený z inthe-money opcí, o čemž svědčí umístění bodu zvratu vypovídající o tom, kdy se investor 36 Cohen, Guy; The Bible of Options Strategies; strana 99 37 put (S 0, K 1, T) < put (S 0, K 2, T); K 2 >K 1 38 Hull, John; Options, futures and other derivatives 7th edition; strana 223 32

dostává do ztráty. Čím více jsou opce hlouběji in-the-money, tím níže se posunuje bod zvratu a tím méně je strategie rizikovější. 6.5 6.6 Pomocí rovnice 6.5 určím výsledný výnos či ztrátu ze strategie Bull spread, která je tvořena pomocí call opcí a rovnice 6.6 určí konečný výnos či ztrátu strategie tvořenou put opcemi. Těmito rovnicemi budu zjišťovat na mých datech výnosy této strategie. 6.2 Spekulace na pokles podkladového aktiva Pokud je mým předpokladem, že nastane tzv. medvědí trend zaujmu krátkou pozici v samotném podkladovém aktivu, koupit put opci, syntetickou put opci anebo vytvořit konzervativnější strategii zvanou Bear spread. Poslední jmenovanou strategii rozeberu podrobněji a opět budu její výnosnost testovat na reálných datech. 6.2.1 Syntetic put Rovněž jako call opci, tak i put opci lze vytvořit portfoliem, které se skládá z krátké pozice v podkladovém aktivu a z dlouhé pozice call opce a uložení peněžních prostředků vyjádřené spojitě odúročenou realizační cenou opce. 6.2.2 Bear spread Podobně jako Bull spread, tak i tato strategie je tvořena pomocí dvou opcí se stejnou splatností a s různými realizačními cenami. K vytvoření této strategie lze využít jak call opce, tak put opce. Na rozdíl od Bull spread, opce s nižší realizační cenou K 1 je vypsána a opce s vyšší realizační cenou K 2 je koupena 39. Nejdříve popíši Bear spread tvořený put opcemi. U put opcí platí, čím menší je realizační cena, tím je cena put opce nižší, jelikož vnitřní hodnota put opce je rovna rozdílu 39 Cohen, Guy; The Bible of Options Strategies; strana 95 33

1225 1325 realizační a spotové ceny (K-S 0 ) a proto Bear spread put je spojen se záporným počátečním peněžním tokem, tedy s nákladem plynoucím z vytvoření této strategie. Opak platí u Bear spread call, kde počáteční peněžní toky jsou kladné, protože call opce s nižší realizační cenou K 1, která je vypisována, má vyšší hodnotu. Tento kladný peněžní tok je však snížen o BID- ASK spread, což je rozdíl mezi nákupní a prodejní cenou. Graf 6.2: Výnosová křivka Bear spread (3.1.2011, K 1 =1225, K 2 =1325, S 0 =1271,87) Zisk/ztráta 120 100 80 60 40 20 0-20 -40-60 -80 S T Zdroj: Vlastní animace; ivolatility.com Výnosovou křivku Bear spread (Graf 6.2) je možné rovněž jako Bull spread rozdělit na 3 části podle výše ceny podkladového aktiva v době expirace opcí. Cena S T může být menší než realizační cena K 1, může být větší než realizační cena K 1 a zároveň menší než realizační cena K 2 anebo nad úrovní realizační ceny K 2. Z výnosové křivky je patrné, že pokud je cena podkladového aktiva v době splatnosti opcí nižší než realizační cena K 1 (S T K 1 ), strategie realizuje maximální možný zisk, který se rovná rozdílu realizačních cen po odečtení nákladu na vytvoření této strategie 40. 6.7 6.8 Pokud pro cenu podkladového aktiva platí (K 1 S T K 2 ), výnos ze strategie lze kvantifikovat jako rozdíl realizační ceny K 2 a ceny podkladového aktiva v době expirace opcí po odečtení nákladů na vytvoření strategie (K 2 -S T -náklady strategie). Je to situace, kdy vypsaná put opce s realizační cenou K 1 má nulovou vnitřní hodnotu a koupená put opce 40 McMillan, Lawrance G.; Options as a Strategic Investment; strana 330 34