R8.1 Zobrazovací rovnice čočky

Fyzika pro střední školy II 69 R8 Z O B R A Z E N Í Z R C A D L E M A Č O Č K O U R8.1 Zobrazovací rovnice čočky V kap. 8.2 je ke konstrukci chodu světelných paprsků při zobrazování tenkou čočkou použit jen geometrický postup. Velikost obrazu a jeho polohu však můžeme určit také výpočtem. Zvětšení, popř. zmenšení velikosti obrazu ve vztahu k velikosti zobrazovaného předmětu udává měřítko optického zobrazení Z (často se pro tuto veličinu používá termín příčné zvětšení). Jestliže označímevýškupředmětu yavýškuobrazu y,platí Z= y y. Význačné paprsky na schématu optického zobrazení spojkou o ohniskové vzdálenosti f vymezují několik podobných trojúhelníků(obr. R8-1). Z nich pro měřítko optického zobrazení vyplývá, že Z= y y = a a = f a f = f a f, kde ajevzdálenostpředmětuodčočkyaa jevzdálenostobrazupředmětu. B y A F O a f f f a a F a f A y B Obr. R8-1 Znaménko minus ve vztazích vyjadřuje tzv. znaménkovou konvenci. Podle ní dohodou stanovíme znaménko u jednotlivých veličin tak, aby bylo možné rozhodnout, zda je obraz vzpřímený nebo převrácený. Při konstrukci obrazu obvykle volíme vzdálenost předmětu od čočky jako kladnou veličinu, tzn. +a. Vzdálenostobrazu a má kladnouhodnotu,kdyžobraz vzniknevkladném směru postupu světla prošlého čočkou a zápornou hodnotu, když se nachází

R8 ZOBRAZENÍ ZRCADLEM A ČOČKOU 70 v opačném směru(zdánlivý obraz). Převrácený obraz má pak záporné znaménko(y <0)avzpřímenýobrazmákladnéznaménko(y >0). Při dodržení znaménkové konvence platí: Z <0obrazpřevrácený Z >0obrazvzpřímený Z =1obrazstejněvelkýjakopředmět Z >1obrazzvětšený Z <1obrazzmenšený Ze vztahu pro měřítko optického zobrazení vyplývá rovnice a a = a f, f kterouupravímedotvaru a f + af = aa,dělímesoučinem aa f azískáme zobrazovací rovnici čočky: 1 a + 1 a = 1 f Zobrazovací rovnice vyjadřuje vzájemnou souvislost polohy předmětu aaobrazu a přizobrazováníčočkouoohniskovévzdálenosti f. Obdobná rovnice platí i pro zobrazování kulovými zrcadly. Příklad Předmět o výšce 1cm je zobrazen spojnoučočkou o ohniskovévzdálenosti 4 cm. Určete výpočtem polohu obrazu, jeho zvětšení a velikost obrazu. Řešte pro vzdálenosti předmětu od čočky a) 12cm, b) 6cm, c)2cm. Řešení y=1cm, f =4cm,a) a=12cm,b) a=6cm,c) a=2cm; a =?, y =?, Z=? a) Ze zobrazovací rovnice úpravou najdeme a = af a f = 12 4 12 4 cm=6cm. Zvětšení obrazu najdeme ze vztahu Z= y y = f a f = 4cm (12 4)cm = 1 2,

R8.2 Mikroskop 71 takže y = Zy= 0,5cm. Obrazjevevzdálenosti6cmodčočkyvesměrupostupusvětla,jeskutečný, zmenšený a převrácený. Velikost obrazu je 0,5 cm. Obdobným postupem určíme: b) a =12cmay = 2cm;obrazjeskutečný,zvětšenýapřevrácený, c) a = 4cmay =2cm;obrazjezdánlivý,zvětšenýavzpřímený. Otázky a úlohy 1 Předcházející příklad řešte pro rozptylku o ohniskové vzdálenosti 4 cm. [ ] 2 Svítící žárovka je ve vzdálenosti 1 m od spojné čočky, která vytvořila ostrý obraz na stínítku ve vzdálenosti 0,25 m od čočky. Určete ohniskovou vzdálenost čočky. [20 cm] 3 Svíčka je umístěna 15 cm od spojné čočky s ohniskovou vzdáleností 10cm.Jakdalekoodčočkymusímeumístitstínítko,abynaněmvznikl ostrý obraz plamene svíčky? [30 cm] 4 Spojnáčočkavytváříobraz,prokterýplatí Z 1 = 2.Jestližeknípředmět přiblížímeo15cm,je Z 2 = 5.Určeteohniskovouvzdálenostčočky. [50 cm] 5 Čočka o ohniskové vzdálenosti 25 cm vytvořila na stínítku obraz se zvětšením 1.Jakébudezvětšeníobrazu,kdyžpředmětposunemeo20cm blíže k čočce? [ 5] R8.2 Mikroskop Mikroskop slouží ke zvětšení zorného úhlu při pozorování velmi malých objektů, např. mikroorganismů. Konstrukce přístroje je výsledkem úsilí několika učenců konce 16. a začátku 17. století a mikroskop sehrál významnou úlohu v rozvoji řady vědeckých oborů(biologie, mineralogie, lékařství aj.). Moderní mikroskopy dosahují zvětšení až 1 000krát a speciálními mikroskopy, které již nepoužívají k zobrazení světlo(elektronové mikroskopy), lze dosáhnout ještě větších zvětšení.

R8 ZOBRAZENÍ ZRCADLEM A ČOČKOU 72 Mikroskop charakterizují dva základní optické prvky: objektiv (blíže pozorovanému předmětu objektu) a okulár(blíže oku). Optická soustava mikroskopu je na obr. R8-2. Objektiv i okulár mikroskopu jsou spojné soustavy, které se liší především ohniskovými vzdálenostmi. Objektiv má malou ohniskovou vzdálenost f 1 a předmět je umístěn v blízkosti ohniska objektivu. Na rozdíl od lupyaletak,že a > f aobjektivvytvoří skutečný, převrácený a zvětšený obraz y vohniskuokuláru.okulármá většíohniskovouvzdálenost f 2 ajeto vlastně lupa, kterou prohlížíme obraz vytvořený objektivem. Z obr. R8-2 je patrné, že mezi obrazovým ohniskem F 1 objektivuapředmětovýmohniskem F 2 okuláru je určitá vzdálenost ( = = F 1 F 2),kterásenazýváoptickýinterval. Funkci mikroskopu při pozorování malých objektů charakterizuje veličina úhlové zvětšení γ. Je definováno vztahem y 0 0 F 1 F 2 F 0 1 y okulár f 2 f 1 objektiv Obr. R8-2 γ = τ τ, kde τ je úhel, pod kterým bychom viděli pozorovaný objekt v konvenční zrakovévzdálenosti d(d=25cm),aτ jeúhel,podkterýmobjektovelikostiy vidímevokulárumikroskopu.proúhel τjezobr.r8-3patrné,žetg τ = y/d aponěvadžúhel τjevelmimalý,jetgτ τ. y τ d Obr. R8-3

R8.3 Dalekohled 73 Proúhel τ,podkterýmvidímeobjektvmikroskopu,najdemezobr.r8-2 vztah tgτ τ = y f 2 = y f 1 f 2 a pro úhlové zvětšení mikroskopu platí: γ = τ τ = f 1 d f 2 Otázky a úlohy 1 Objektiv mikroskopu má ohniskovou vzdálenost 2,5 mm a okulár má ohniskovou vzdálenost 7,5 mm. Určete úhlové zvětšení mikroskopu, jestliže jeho optický interval je 150 mm. [2 000] 2 Školní mikroskop má následující parametry: zvětšení objektivu 50, zvětšení okuláru 10, optický interval 160 mm. Určete a) celkové zvětšení mikroskopu, b) ohniskovou vzdálenost objektivu, c) ohniskovou vzdálenostokuláru. [ (a)500;b)3,2mm;c)25mm)] R8.3 Dalekohled Přístroj, který zvětšuje zorný úhel, pod nímž vidíme velmi vzdálené předměty, je dalekohled. Také dalekohled má dlouhou historii. Na jejím počátku byl především dalekohled, jehož autorem je GALILEO GALILEI CD, a který znamenal revoluční krok v poznávání vesmíru. Největší uplatnění v astronomii však našel dalekohled zkonstruovaný na počátku 17. století astronomem JOHANNEM KEPLEREM CD. Keplerův dalekohled se skládá z objektivu o poměrně velké ohniskové vzdálenosti f 1 aokuláru,kterýmápodstatněmenšíohniskovouvzdálenost f 2 (obr.r8-4).propolohuohnisekobjektivuaokuláruplatí F 1 = F 2.Poněvadžje pozorovaný předmět velmi daleko, vstupuje objektivem do dalekohledu svazek rovnoběžnýchpaprskůavobrazovémohniskuobjektivuvznikáobraz y.ten pozorujemeokulárempodzvětšenýmzornýmúhlemτ.okulárjenastaventak, žezněhovystupujesvazekrovnoběžnýchpaprsků,takžeobraz y pozorujeme při minimální akomodaci oka.

R8 ZOBRAZENÍ ZRCADLEM A ČOČKOU 74 f 1 f 2 0 A y 0 0 B 0 Obr. R8-4 Jestliže např. pozorujeme dalekohledem na noční obloze dvě blízké hvězdy, přicházejí do objektivu dalekohledu dva svazky rovnoběžných paprsků. Jeden svazek paprsků má směr optické osy objektivu a druhý svazek paprsků svírá s optickou osou úhel τ. Úhel τ tedy představuje úhlovou vzdálenost obou objektů při pozorování bez dalekohledu. V ohniskové vzdálenosti objektivu tomu odpovídají obrazy dvou hvězd, které pozorujeme pod zvětšeným úhlem τ.jestližejsouúhly τa τ malé,najdemeproněpodleobr.r8-4vztahy τ = y /f 1 a τ = y /f 2.Proúhlovézvětšenídalekohledupakplatí γ = τ τ = y f 2 : y f 1 = f 1 f 2. Jak vyplývá z chodu paprsků na obr. R8-4, vidíme okulárem Keplerova dalekohledu sledovaný objekt převrácený. Při astronomickém pozorování to nevadí, ale pro pozorování pozemských objektů je třeba Keplerův dalekohled upravit, abychom v okuláru viděli objekt ve vzpřímené poloze. Dalekohled, který splňuje tento požadavek, se nazývá triedr(obr. R8-5). Konstrukční řešení triedru spočívá v tom, že se za objektiv triedru umístí dvojice odrazných hranolů, pomocí nichž se chod paprsků změní tak, že obraz vytvořený objektivem je vzpřímený. Současně se dalekohled celkově zkrátí. okulár odrazný hranol objektiv Obr. R8-5

R8.3 Dalekohled 75 Dalekohledy, u nichž se jako objektiv používají čočky, jsou refraktory, poněvadž se zde využívá zobrazení lomem světla, čili refrakcí. Astronomickými dalekohledy se pozorují vesmírné objekty, z nichž k pozorovateli přichází velmi málo světla. Proto by měly mít objektivy dalekohledů co největší průměr. Např. největší refraktor na observatoři Yerkes v USA má objektiv o průměru 102 cm a ohniskovou vzdálenost 19,8 m. Zvětšování rozměrů refraktorů má i další omezení, takže se dnes používají jen pro méně náročná astronomická pozorování. V astronomii se používají především zrcadlové dalekohledy s dutými zrcadly velkých rozměrů. Proto se tento typ dalekohledu označuje jako reflektor. Plocha zrcadla však není kulová, ale má tvar rotačního paraboloidu. Chod paprsků v zrcadlovém dalekohledu, jehož princip navrhl ISAAC NEW- TON CD, je patrný z obr. R8-6. Rovnoběžné paprsky přicházející ze vzdálené hvězdy jsou zrcadlem soustředěny do ohniska zrcadla. Aby bylo možné obraz hvězdy pozorovat, jsou paprsky odchýleny rovinným zrcadlem mimo tubus dalekohledu, kde je umístěn okulár, nebo častěji citlivá kamera se snímačem CCD, která obraz převede do elektronické podoby. okulár F rovinné zrcadlo duté zrcadlo Obr. R8-6 Zrcadla reflektorů na astronomických observatořích mají průměr i několik metrů. Největší zrcadlový dalekohled SUBARU byl vyroben v Japonsku a je vprovozuodroku1999naobservatořimaunakea(havaj)vevýšce4200m. Jehozrcadlomáprůměr8,2m,ohniskovouvzdálenost15mahmotnost22,8t (obr. R8-7). Mezi zrcadlové dalekohledy patří i Hubbleův dalekohled(obr. R8-8), který se od roku 1990 pohybuje ve vzdálenosti přibližně 600 km nad povrchem Země. Jeho zrcadlo má ve srovnání s pozemskými dalekohledy menší průměr (2,4 m). Poněvadž však světlo vesmírných objektů není pohlcováno ovzduším, jsou výsledky pozorování tímto dalekohledem srovnatelné s pozemským dalekohledem, jehož zrcadlo by mělo průměr 10 m.

R8 ZOBRAZENÍ ZRCADLEM A ČOČKOU 76 Obr. R8-7 Obr. R8-8 Otázky a úlohy 1 Uvažte, proč jsou pro astronomická pozorování potřebné dalekohledy s tak velkým průměrem objektivu? [ ] 2 Proč je nebezpečné pozorovat Slunce přímým pohledem do dalekohledu? [ ] 3 Keplerův dalekohled má objektiv o ohniskové vzdálenosti 1,2 m a okulár má optickou mohutnost 20 D. Urči: a) Jaké je zvětšení dalekohledu? b) Jaká je celková délka dalekohledu? [a) 24; b) 1,25 m] 4 Keplerův dalekohled, jehož objektiv má ohniskovou vzdálenost 24 cm, je nastavený na nekonečno. O jakou vzdálenost je třeba posunout okulár pro zaostření na vzdálenost 10 m? [ ] R8.4 Dataprojektor Dataprojektor je v podstatě projekční přístroj a z hlediska optického zobrazení se liší od snímacího přístroje především tím, že předmětem je obrazová předloha malých rozměrů a na projekční ploše vzniká její skutečný, převrácený a zvětšený obraz. Dataprojektory se liší zejména konstrukcí části, v níž se převádějí data z počítače na obraz, který je promítnut objektivem na projekční plochu. Ukážeme si to na příkladu tzv. transmisivní technologie, při níž je intenzita světla ovlivněna miniaturními panely LCD. Schematicky je princip tohoto dataprojektoru zobrazen na obr. R8-9. Bílé světlo výkonné halogenové žárovky nebo xenonové výbojky je zvláštním optickým prvkem rozděleno do tří svazků paprsků v základních barvách RGB a jejich průchodem přes panely LCD se získají tři barevné složky výsledného obrazu. Pak jsou barevné složky spojeny do jednoho svazku paprsků a objektivem jsou promítnuty na projekční plochu.

R8.4 Dataprojektor 77 3 panely obrazových buněk LCD zdroj bílého světla rozklad bílého světla R G spojení barevných světel projekční objektiv B Obr. R8-9 Aktivní plochu panelu LCD tvoří matice obrazových bodů(pixelů), jejichž počet určuje rozlišení panelu dané počtem obrazových bodů v řádku počet řádků. Např. dataprojektor na obr. R8-10 má rozlišení obrazových bodů 1024 768,tzn.celkem786432pixelů.Čímjerozlišenívětší,tímkvalitnějšíje zobrazení na projekční ploše. Obr. R8-10 Obr. R8-11 Jinou technologií používanou v dataprojektorech je tzv. reflektivní technologie založená na odrazu světla. Označuje se jako technologie DLP(Digital Light Processing). Základním prvkem projektoru je křemíkový čip se soustavou miniaturních čtvercových zrcátek(obr. R8-11). Zrcátka mají délku strany jen16 µmapůsobenímelektrostatickýchsilsenaklápějío10.každézrcátko odpovídájednomuobrazovémubodu,takžejetořádově10 5 zrcátek.mezi zdrojem světla a čipem se zrcátky je umístěn rotující kotouč se třemi výsečemisbarevnýmifiltryrgbačipjerychlezasebouosvětlovánčerveným,

R8 ZOBRAZENÍ ZRCADLEM A ČOČKOU 78 zeleným a modrým světlem. Průběhem obrazového signálu se ovlivňuje elektrické pole, které elektrostatickou silou působí na zrcátka a naklápí je. Tím se dosáhne, že na projekční plochu směřuje v určitém okamžiku jen světlo určité barvy a vytvářejí se obrazové pixely dané barvy. Zbývající barevné složky jsou odkloněny a jsou pohlceny v černém absorbéru světla uvnitř projektoru.