SYLABUS 9. PŘEDNÁŠKY Z GEODÉZIE 2 (Výpočet výměr) 1. ročník bakalářského studia studijní program G studijní obor G doc. Ing. Jaromír Procházka, CSc. duben 2016 1
Geodézie 2 přednáška č.9 VÝPOČET VÝMĚR PARCEL A POZEMKŮ (skripta Geodézie 2, str. 86) Pozemek je přirozená část zemského povrchu, oddělená od sousedních částí hranicí územní správní jednotky nebo hranicí katastrálního území, hranicí vlastnickou, hranicí druhů pozemků, popřípadě rozhraním způsobu využití pozemků. Parcela je obraz pozemku, který je geometricky a polohově určen, zobrazen v katastrální mapě a označen shodně ve všech částech katastrálního operátu parcelním číslem. Výměra je vyjádření plošného obsahu průmětu pozemku do zobrazovací roviny ve stanovených jednotkách. Velikost výměry vyplývá z geometrického určení pozemku a zaokrouhluje se na celé metry čtvereční. Výměra parcely není závazným údajem katastru nemovitostí pro právní úkony týkající se nemovitostí vedených v katastru nemovitostí. Jednotkou plošného obsahu je metr čtvereční 1 m 2, vedlejší jednotkou je 1 hektar 1 ha = 10 000 m 2. Starší jednotky plošného obsahu 1 ar = 100 m 2 (již nepoužívaná) a dále jednotky v sáhové míře (Geodézie 1, přednáška č.1). Při určování výměr z map se postupuje následovně: z mapy se odměřují potřebné veličiny k výpočtu výměr, přičemž nejjednodušším způsobem je rozložení složitých obrazců na jednodušší, výměra parcely se zjistí plochoměrnou pomůckou, tzv. planimetrem, sejmutí souřadnic lomových bodů parcely tzv. digitizérem s následným výpočtem vhodným sofwarem, nasnímání mapového listu scannerem, opět s následným výpočtem vhodným výpočetním programem na PC. Kvalita výměry je v souboru popisných informací (SPI) katastru nemovitostí označena číselným kódem, v závislosti na způsobu určení (skripta Geodézie 2, str. 87). Výpočet výměry z původních měr Pro výpočet výměr se rozkládá obecný obrazec na nejjednodušší geometrické obrazce, tedy trojúhelník, lichoběžník a čtyřúhelník, pro něž platí známé matematické vzorce, kterých je možno použít i pro výpočet výměr z veličin odměřených z mapy. Výměra obecného trojúhelníka (obr.1) a) ze základny c a výšky v : 2P = c.v., b) ze tří stran a, b, c (Heronův vzorec) : ( ) ( ) ( ), kde, c) ze dvou stran b, c a jimi sevřeného úhlu α:, d) ze strany c a přilehlých úhlů α, β: ( ) ( ). 2
Nejčastější způsob výpočtu je ze vzorce a), při polárním zaměření vrcholů trojúhelníka pak ze vzorce c). Výměra rovnoběžníka a lichoběžníka (obr.2 a 3) a), b), c). Vztahy pro výpočet rovnoběžníka a), lichoběžníka b) i zvrhlého lichoběžníka c) jsou prakticky stejné s tím, že znaménko kolmice k 2 je záporné. Výměra čtyřúhelníka Plocha obecného čtyřúhelníka se vypočte jeho rozdělením na dva trojúhelníky jednou z úhlopříček. Úhlopříčka tvoří základnu obou trojúhelníků a pomocí příslušných výšek se vypočte výměra čtyřúhelníka ze vztahů uvedených v obr.4.. 3
Výměra mnohoúhelníka Při výpočtu výměry mnohoúhelníka se tento obrazec rozdělí nejprve na čtyřúhelníky a trojúhelníky a v nich se změří příslušné veličiny:, ( ). Výpočet výměr ze souřadnic Základní vzorce jsou odvozeny z uzavřeného polygonového pořadu, neboli mnohoúhelníka o vrcholech 1 až 5 = n (obr.6), které jsou dány svými souřadnicemi x a y. Spolu se stranami mnohoúhelníka vytváří jednotlivé lichoběžníky, jejichž součet dává dvojnásobnou výměru mnohoúhelníka. Vztahy platí jak pro souřadnice získané z přímo měřených veličin, tak pro souřadnice získané odměřením z mapy. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Při dodržení číslování bodů ve směru pohybu hodinových ručiček, vycházejí souřadnicové rozdíly ( ) ( ) záporné a je možné výpočetní vztah zapsat ve formě ( ) ( ). Roznásobením rovnice dostaneme vztah:. Součiny y i x i (se stejnými indexy) se vzájemně vyruší a rovnice se upraví na tvar : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), nebo ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Obecně lze předchozí rovnice zapsat ve tvaru: ( ) nebo ( ) Uvedené vzorce se nazývají l Huilierovy (čte se Lilierovy). 4
Při zaměření lomových bodů pozemku polárními souřadnicemi (obr.7), se výměra vypočte z ploch trojúhelníků, a to ze vztahu: ( ) Přesnost výpočtu výměr z přímo měřených hodnot Vzhledem k tomu, že v 1. semestru byly probrány pouze základy vyrovnávacího počtu, je zde uvedena jen ukázka odvození směrodatné odchylky σ P, charakterizující přesnost v určení výměry nejjednoduššího obrazce, tedy obdélníka, jehož plochu lze vyjádřit součinem dvou délek a, b (obr.7): P = a.b. (* Prostřednictvím zákona hromadění náhodných a směrodatných odchylek (přednáška č.11, Geodézie 1) se odvodí vztah mezi směrodatnými odchylkami měřených délek σ a, σ b a směrodatnou odchylkou σ P výměry P. Vztah pro směrodatnou odchylku σ P výměry obdélníka, vyjádřený totálním diferenciálem, je následující: ( ) ( ). Po výpočtu parciálních derivací z rovnice (* se vztah upraví na tvar : ( ) ( ). Z uvedeného vztahu lze odvodit vliv přesnosti měření jednotlivých délek na přesnost určení výměry. Stanovíme-li si předpoklad stejného vlivu obou členů pod odmocninou, bude platit:. Odtud plyne požadavek přesnějšího měření kratší délky (v daném případě b), která má na přesnost výměry větší vliv, jak je zřejmé i z grafického vyjádření v obrázku 8. Vzorce platí též pro hodnoty odměřené z mapy, ovšem s uvážením přesnosti odměřených veličin (zde délek), v závislosti na přesnosti jejich zobrazení v mapě, měřítku mapy, pravděpodobné srážce papíru, na kterém je mapa vyhotovena a způsobu odměření z mapy. 5
Přesnost výpočtu výměr určených ze souřadnic Za předpokladu určení souřadnic se směrodatnou odchylkou souřadnicovou σx,y je směrodatná odchylka výměry mnohoúhelníka dána vzorcem: (skripta Geodézie 2, str.93). Tak jako v předchozím případě může být vzorec použit i pro souřadnice získané z mapy, avšak opět s uvážením stejných vlivů, znehodnocujících přesnost určení výměry. Deformace (srážka) map (skripta Geodézie 2, str.99) Přesnost výměr při jejich určení z mapy je negativně ovlivňována deformací papíru nebo fólie, na kterých jsou mapy zobrazeny. Rozměr papíru se časem mění, přičemž se zpravidla smršťuje a proto se hovoří o jeho srážce. To znamená, že měřítko mapy neodpovídá zcela skutečnosti a délky naměřené na mapě je nutno opravit o korekci ze srážky mapy, zjištěné porovnáním známého rozměru mapového listu s rozměry naměřenými. Srážka papíru se zjišťuje v navzájem kolmých směrech a bývá různá, což je třeba při určení plošné srážky vzít v úvahu. Podrobnější informace o určení srážky jsou uvedeny ve skriptech Geodézie 2 a jsou obsahem předmětu Mapování. Nitkový planimetr Nitkový planimetr rozděluje i parcely velmi složitého tvaru rovnoběžkami na úzké proužky (lichoběžníky obr.9) o šířce a (vzdálenost rovnoběžek) a střední příčce y. Plošný obsah lichoběžníků se vypočte ze vztahu: pi = a. yi, přičemž celková plocha parcely P je dána výrazem:. Na obrázku č.9 je zachycen nitkový planimetr Alderův, který byl používán při určování výměr z katastrálních map 1:2880 (popř. 1:1000). V kovovém rámu je napjata osnova barevných žíní (černých, červených a žlutých), střídajících se v pravidelném intervalu a. Toto uspořádání umožňuje pracovat s trojí šířkou proužků, podle členitosti parcely. Nitkový planimetr je možno nahradit soustavou rovnoběžek narýsovaných nebo fotograficky nanesených na průhledné umělohmotné fólii. 6
Součtovým kružítkem (odpichovátkem) s nastavitelným maximálním rozvorem r (obr.10), odpovídajícím konstantní celé hodnotě (např. 100 sáhů čtverečních) se odměřují střední příčky lichoběžníků, které se postupně sčítají podle výše uvedeného vzorce. Sečte se počet celých rozvorů součtového kružítka a zbytek se odměří na příčném měřítku (obr.9). Polární planimetr Polární planimetr se skládá ze dvou ramen, a to tzv. ramene pólového, zakončeného hrotem se závažím (pól), který se zapíchne do mapy a ramene pojízdného, kloubově uloženého do ramene pólového. Pojízdné rameno je na konci opatřené hrotem (lupou), kterým se objíždí obvod parcely. Výměra se načítá na valivém kolečku se stupnicí a vernierem (obr.11). Zavedením digitizérů a scannerů bylo určování výměr planimetry prakticky vyloučeno z používání. 7