f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 =

Transkript

1 Řešení vzorové písemky z předmětu MAR Poznámky: Řešení úloh ze vzorové písemky jsou formulována dosti podrobně podobným způsobem jako u řešených příkladů ve skriptech U zkoušky lze jednotlivé kroky postupu komentovat stručněji 2 V řadě případů lze postupovat i jiným způsobem, než jak je uvedeno ve vzorových řešeních

2 Je dána funkce 4 b a Vypočtěte limity: lim f, + funkce f Řešení vzorové písemky z MAR příklad f = arccotg 2 lim f, lim f, 0 + lim f Určete všechny asymptoty grafu 0 4 b b Najděte všechny body grafu funkce f, v nichž je tečna grafu kolmá k přímce o rovnici 5 y + = 0 5 b c Určete všechny maimální intervaly, na nichž je f ryze konvení, resp ryze konkávní, a všechny inflení body grafu funkce f Řešení a Zřejmě Df = R \ {0} =, 0 0, + Protože lim = lim =, lim = 2 2 =, lim = = +, dostaneme lim f = lim f = arccotg = + 4 π, lim f = lim arccotg z = π, lim 0 + z f = lim arccotg z = 0 0 z + Ze spojitosti funkce f a z hodnot vypočtených limit vyplývá, že jedinou asymptotou grafu funkce f je přímka y = 4 π pro + i pro + [Přímka = 0 není asymptotou grafu funkce f, neboť obě jednostranné limity funkce f v bodě 0 jsou vlastní] b Rovnici dané přímky označme ji p lze psát ve tvaru y = 5 +, tudíž má směrnici k p = 5 Tečna t grafu funkce f má být kolmá k přímce p, tedy pro její směrnici k t platí k p k t = ; odtud k t = 5 Označme T = [, f ] hledaný bod dotyku Pak k t = f, a tedy hledáme všechna čísla Df, pro něž f = 5 Vypočteme f = = = , pak = = 0 = = Body grafu funkce f s požadovanou vlastností jsou dva: c Vypočteme Platí T = [, arccotg ], T 2 = [, arccotg ] f = [ ] = = f = 0 = Znaménko čísla f pro každé Df =, 0 0, + zapíšeme do tabulky:, 0 0,, + f 0 + Odtud a z toho, že funkce f je spojitá v bodě, plyne: Inflením bodem grafu funkce f je bod f je ryze konvení na intervalu h, +, f je ryze konkávní na intervalech, 0 a 0, i [, f] = [, arccotg ] = [, 4 π] Df; , Df

3 Řešení vzorové písemky z MAR příklad 2 2 Je dána množina M všech pětiúhelníků daného obvodu m, které jsou sjednocením obdélníku a rovnostranného trojúhelníku, přičemž obdélník a trojúhelník mají jednu společnou stranu 5 b a Najděte funkci S proměnné a, která vyjadřuje závislost obsahu pětiúhelníku z množiny M v m 2 na délce a strany příslušného trojúhelníku v metrech 2 b b Určete definiční obor DS a vypočtěte derivaci S funkce S 5 b c Najděte bod a 0 DS, v němž má funkce S globální maimum Ověřte, že jde opravdu o globální maimum Určete oba rozměry obdélníkové části pětiúhelníku z množiny M, který má maimální obsah Řešení a Pětiúhelník z množiny M je sjednocením obdélníku o rozměrech a, b v metrech a rovnostranného trojúhelníku o straně délky a Veličiny a, b jsou na sobě vzájemně závislé, neboť pro obvod o pětiúhelníku platí o = a + 2b = Obdélník má obsah rovnostranný trojúhelník má obsah a obsah pětiúhelníku je S = ab, S 2 = 2 a a sin 60 = Hledanou funkci S získáme tak, že z vyjádříme a toto vyjádření dosadíme do 2: 4 a2 S = S + S 2 = 4[ 4ab + a 2 ] 2 b = 2 a Sa = 4[ 2a a + a 2 ] = 4[ 2a a 2 ] b Definiční obor DS funkce S určíme z podmínek a > 0, b > 0 Podle je a tedy Vypočteme c Vypočteme Protože < < 2, je a > 0 b = 2 a > 0 0 < a <, DS = 0, S a = 4[ 2 2a ] = 2[ a ], a DS S a = 0 a = a 0 = 5 = < a 0 = < 2 = 4,, neboli i intervalu DS = 0, a tedy vypočtené číslo a 0 je prvkem intervalu 5, 4 Znaménko čísla S a pro každé a DS = 0, zapíšeme do tabulky: a 0, a 0 a 0 a0, S a + 0 Odtud vyplývá, že funkce S je rostoucí na intervalu 0, a 0 i a klesající na intervalu ha 0,, a proto má v bodě a 0 globální maimum Rozměry obdélníkové části pětiúhelníku z množiny M, který má maimální obsah, jsou v metrech a 0 = = 6 +, b 0 = a 0 2 = 5 22

4 Řešení vzorové písemky z MAR příklad Nechť λ R je parametr Jsou dány vektory u =,, 4, u 2 =, λ, 6, u = 6, 9, λ, v =, 7, 2 5 b a Najděte množinu M všech hodnot parametru λ, pro něž je tříčlenná skupina vektorů hu, u 2, u i bází vektorového prostoru R b b Pro λ = 9 vyjádřete vektor v jako lineární kombinaci dvojčlenné skupiny hu, u 2 i 5 b c Najděte všechny hodnoty parametru λ, pro něž vektor v není lineární kombinací tříčlenné skupiny hu, u 2, u i Řešení a Vypočteme,, 4, λ, 6 6, 9, λ = λ λ λ = λ 2 2λ + 26 = λ 9λ 4 Protože dim R =, tříčlenná skupina hu, u 2, u i je bází vektorového prostoru R, právě když je lineárně nezávislá; to nastane, právě když je determinant nenulový, tj právě když λ 9 λ 4 Tedy M = R \ {9, 4} b Nechť λ = 9, tj u 2 =, 9, 6 Hledáme čísla α, α 2 R tak, aby platilo α u + α 2 u 2 = v Tato vektorová rovnice je ekvivalentní se soustavou tří lineárních rovnic s neznámými α, α 2 V rozšířené matici této soustavy jsou složky vektorů u, u 2, v zapsány ve sloupcích; dostaneme,, 9 7, 0, 0 0, 0, 0 0 4, 6 2 0, 0 0 Soustava má řešení α 2 =, α = 2 Tedy α + α 2 = 0α 2 = 0 v = 2u + u 2 c Z a víme, že pro λ R \ {9, 4} je tříčlenná skupina hu, u 2, u i bází vektorového prostoru R, a tedy libovolný vektor z R je lineární kombinací báze Z b víme, že pro λ = 9 je daný vektor v lineární kombinací dvojčlenné skupiny hu, u 2 i, a tedy i tříčlenné skupiny hu, u 2, u i např v = 2u + u 2 + 0u Nechť λ = 4, tj u 2 =, 4, 6, u = 6, 9, 4 Vektor v je lineární kombinací tříčlenné skupiny hu, u 2, u i, právě když eistují čísla β, β 2, β R taková, že β u + β 2 u 2 + β u = v Tato vektorová rovnice je ekvivalentní se soustavou tří lineárních rovnic s neznámými β, β 2, β Pro rozšířenou matici této soustavy dostaneme,, 6,, 6,, 6, 4, 9 7 0, 5, 5 0 0, 5, 5 0 4, 6, 4 2 0, 0, 0 0 0, 0, 0 0 Protože matice soustavy má hodnost h = 2, zatímco rozšířená matice soustavy má hodnost h =, soustava nemá řešení, a tedy pro λ = 4 vektor v není lineární kombinací skupiny hu, u 2, u i Závěr: Vektor v není lineární kombinací skupiny hu, u 2, u i, právě když λ = 4

5 Řešení vzorové písemky z MAR příklad 4 4 V prostoru jsou dány body A = [,, ], B = [ 2, 0, ], C = [, 4, ], D = [8,, 5] 4 b a Určete vzájemnou polohu přímky p procházející body A, B a přímky q procházející body C, D 4 b b Vypočtěte obsah trojúhelníku ABC 4 b c Najděte bod D souměrně sdružený s bodem D podle roviny ϱ procházející body A, B, C Řešení a Směrový vektor přímky p je např vektor u = B A =,, 4, směrový vektor přímky q je např vektor v = D C = 5,, 6 Protože dvojice vektorů u, v je lineárně nezávislá, přímky p, q jsou buď různoběžné, nebo mimoběžné Označme w = C A = 2,, 2 Je-li trojice u, v, w lineárně závislá, jsou přímky p, q různoběžné, v opačném případě jsou mimoběžné O lineární závislosti, popř nezávislosti trojice vektorů u, v, w rozhodneme např výpočtem determinantu:,, 4 5,, 6 = = 26 2,, 2 Protože tento determinant je nenulový, trojice u, v, w je lineárně nezávislá, a tedy přímky p, q jsou mimoběžné b Pro obsah S trojúhelníku ABC platí Vypočteme S = 2 B A C A = 2 u w, 4 u w =, 2,, 4 2, 2,, 2, = 4, 4, 7 = 72, 2, Odtud S = 2 72, 2, = = 2 7 = 2 2 c Protože vektor n ϱ = 2, 2, je normálový vektor roviny ϱ, lze obecnou rovnici této roviny psát ve tvaru 2 2y + z + d = 0; dosadíme-li do ní souřadnice např bodu B, dostaneme d = Obecná rovnice roviny ϱ tedy je 2 2y + z + = 0 Hledejme nejprve kolmý průmět R bodu D do roviny ϱ Přímka r procházející bodem D a kolmá k rovině ϱ má vektorovou rovnici X = [8,, 5] + t2, 2, Průsečíkem přímky r s rovinou ϱ je hledaný bod R = [8 + 2t, 2t, 5 + t], kde t je řešením rovnice po úpravě 9t + 8 = 0, a tedy t = 2 Odtud t 2 2t t + = 0, R = [4, 7, ] Pro bod D souměrně sdružený s bodem D podle roviny ϱ platí D = R + R D = [4, 7, ] + 4, 4, 2 = [0,, ]