Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava Hornicko-geologická fakulta Institut ekonomiky a systémů řízení Modelování a simulace Ostrava 2012 Ing. Lukáš Otte, Ph.D.
Obsah Otázky... 3 1. Úvod... 3 1.1. Základní pojmy... 2 2. Význam, účel a výhody uplatnění simulačních modelů... 3 3. Simulační proces... 6 4. Matematické modely... 11 4.1. Klasifikace matematických modelů... 11 4.2. Příklad tvorby matematického modelu analytickým způsobem... 12
Otázky Předmět: zkoušející: Modelování a simulace Ing. Lukáš Otte, Ph.D. 1. Význam, účel a výhody uplatnění simulačních modelů 2. Fáze simulačního procesu 3. Matematické modely, jejich klasifikace, zavádění zjednodušujících podmínek 4. Typy dynamických systémů a jejich matematická formulace 5. Způsoby tvorby matematických modelů spojitých dyn. systémů - identifikace systémů 6. Strejcova metoda 7. Identifikace soustav s kmitavou odezvou a dopravním zpožděním 8. Identifikace soustav s dopravním zpožděním. 9. Matematické modely lineárních spojitých systémů 10. Matematické modely prvků s operačními zesilovači 11. Matematické modely regulačních obvodů 12. Analytický způsob tvorby matematického modelu metodika postupného vytváření relací 13. Teoretický počítačový model 14. Metoda nepřímého programování 15. Metoda přímého programování 16. Dynamické přizpůsobení počítačového modelu 17. Citlivostní analýza modelu 1. Úvod V dnešní době je nutné, aby podniky a firmy využívaly své finanční prostředky a různé další zdroje efektivně. Pro efektivní využití všech zdrojů je vhodné, aby jejich použití bylo dobře naplánováno. Ke správnému plánování je zapotřebí spousta informací a někdy tyto informace nemůžeme získat jinak, než tím, že budeme modelovat něco, co ještě nenastalo. Tímto způsobem si můžeme ověřit nebo i vyvrátit případné hypotézy dalšího průběhu, který může ovlivnit chod celého podniku či firmy. Podobné je to i s řízením a teď ne podniku či firmy, ale spíše strojů a zařízení. Pokud chceme řídit nějaký stroj či zařízení, obecně systém, pak je vždy nutné vědět, jaké vlastnosti tento systém má a jak se bude chovat v některých situacích. Ve výsledku jde o snahu o neustálé zvyšování produktivity práce s úkolem hledat nové pracovní postupy s minimální spotřebou času a nákladů, kdy jednotlivé pracovní úkony musí být co nejkratší a nejjednodušší, aby vyžadovaly minimum lidských sil. Zároveň jde o nalezení vhodného řešení technických úloh bez toho, aby došlo k ohrožení funkčnosti systému. I v této otázce nám může pomoci modelování a následná simulace systému. Díky modelování reálného systému a následně na modelu provedeným simulacím můžeme s tímto modelem experimentovat tak, jako s reálným systémem a to bez rizika zničení či poškození. Můžeme se
tak vyvarovat chybám, které by při práci v reálném prostředí vedly třeba i k finančním škodám. V praxi je cílem pochopit jevy a chování zkoumaného reálného systému a následně je napodobit, tedy simulovat je na vlastním modelu s možností nalézt způsob, jak ovlivnit chování reálného systému požadovaným způsobem, např. pomocí jeho vnitřních stavů. Je zde snaha nejprve o formální popis, následně matematický popis reálného systému a v neposlední řadě také simulace prováděné na modelu v reálném čase, např. na počítači. 1.1. Základní pojmy Proto, abychom si mohli lépe vysvětlit pojmy modelování a simulace, však potřebujeme znát některé základní pojmy, bez kterých se neobejdeme. Již několikrát byl zmíněn výraz systém. Systém je množina prvků či objektů, které společně s vazbami mezi nimi vytvářejí funkční celek, který vykazuje určité chování. Každý systém má interakce s okolím. Tyto si můžeme vysvětlit jako vstupní a výstupní veličiny, případně jako podněty na systém a následné odezvy systému. Obrázek 1 - Systém Vstupní veličina je nezávisle proměnná veličina, kdy jde o působení okolí na systém, veličina má deterministický charakter a vyvolává odezvu systému (z hlediska řízení jde o akční veličinu u(t) působící na systém). Výstupní veličina je závisle proměnná veličina, která reprezentuje odezvu systému, kdy systém působí na okolí (z hlediska řízení jde o regulovanou veličinu y(t)). Počáteční podmínky tyto je možno definovat u každého systému a vyjadřují hodnoty dynamických veličin (výstupních, případně vnitřních veličin) na počátku působení vstupní veličiny tedy v čase t = 0. Poruchové veličiny reprezentují vliv okolního prostředí na systém a mají náhodný nebo neočekávaný charakter. 2
2. Význam, účel a výhody uplatnění simulačních modelů Problematika modelování a simulace na počítačích je důležitá nejen pro oblast automatického řízení, respektive automatické regulace, ale její význam je značně širší a uplatňuje se nejen v technických oborech, ale i v oblastech netechnických (např. životní prostředí, biologie, atd.) Simulační, modely realizované na počítači jsou nezbytným prostředkem, jak v oblasti vědeckého výzkumu, tak i ve výrobní sféře, kde se uplatňují nejen v přípravě výroby při projektování investičně náročných zařízení a technologií, ale i v jejich přímém řízení. Uplatnění nachází modelování a simulace i ve vzdělávacím procesu, v adaptivních a samoučících se systémech. Doplnění počítačové simulace o grafickou animaci, z ní vytváří mocný komunikační prostředek pro inženýry, operátory a management. Počítačové modelování a následná simulace jednotlivých variant řešení je základem a současně nejefektivnějším prostředkem pro studium (analýzu) složitých dynamických systémů a jejich procesů, ale také pro syntézu řídicích systémů technologických procesů. Optimální řízení výroby, respektive technologického procesu, se tak může opírat o simulační modely umožňující i predikci vývoje stavů a procesů v jednotlivých variantách. Z hlediska praktické použitelnosti a obecnosti je složité, až téměř nemožné matematickým modelem vyjádřit dynamické vlastnosti reálných systémů se všemi vazbami a interakcemi. Proto se zavádí tzv. zjednodušující předpoklady, které umožní vytvořit zjednodušený fyzikální model. Reálný systém je tak nahrazen zjednodušeným fyzikálním modelem a výsledný matematický model se odvodí z fyzikálních zákonů aplikovaných na tento fyzikální model. Druhým způsobem, jak získat matematický model reálného systému, je využití metod experimentální identifikace na základě měření vstupů a výstupů zkoumaného dynamického systému. Modelování a simulace na počítačích nachází uplatnění v těchto oblastech: a) Analýza složitých procesů a vývoje jejich stavů (predikce vývoje procesů), které jsou charakterizovány vlastnostmi: - velká rozsáhlost systému; - neúplnost požadovaných informací; - nejen kvantitativní, ale i kvalitativní charakter parametru; - velká dynamičnost probíhajících procesů; - složitý charakter vztahů mezi jednotlivými prvky systémů. Může jít například o modelování chování skupiny obyvatel tedy o systémy humanitního zaměření, či o modely počasí. Lze sem také zařadit například modelování krajiny formou virtuální reality, či modelování chování hladiny jezera pro predikci její změny vlivem změny klimatu. b) Syntéza řídicích systémů jedná se o návrh struktury řídicích systémů na základě požadavků na dosažení určitého chování. Může jít například o složité logické systémy či systémy regulačního charakteru. c) Optimalizace procesů jde např. o modelování změny a úpravy parametrů systému pro možnost zlepšení konečných výsledků technologického procesu. Například 3
optimalizace časového průběhu technologického procesu prostřednictvím zjištění kritické cesty metodou CPM či PERT za pomocí nástroje MS Project či OCOW. d) Řízení technologických procesů a výroby e) Řízení kvality produkce f) Testování nových technologických metod g) Projektování strojních a technologických zařízení Základní princip: Chování reálného systému bez možnosti jeho poškození lze nepřímo studovat prostřednictvím simulačního modelu daného systému na základě jeho podobnosti. Poznatky o chování simulačního modelu lze pokládat za hypotézy o charakteru chování originálního, tedy reálného systému. Tyto hypotézy se v rámci simulačního procesu ověřují a dále korigují (upravují). Je nutné si však uvědomit, že součástí tvorby modelu jsou i zjednodušující předpoklady, hypotézy a různá omezení, která je nutno upravovat v případě nesouladu validity, tedy neplatnosti modelu. Definici modelu lze tedy specifikovat takto: Modelem se nazývá účelově definovaný systém na základě podobnosti dvou systémů, který umožňuje, nebo usnadňuje řešení úlohy definované na originálu. Podle vzájemné podobnosti originálního systému a jeho modelu se tyto dva systémy klasifikují jako podobné si ve struktuře a v chování. Dva systémy jsou si podobné ve struktuře, jestliže každému prvku jednoho systému lze jednoznačně přiřadit prvek druhého systému a současně každému vztahu mezi prvky jednoho systému je jednoznačně přiřazen vztah mezi odpovídajícími prvky systému druhého. Takovéto dva systémy se nazývají homomorfní. Pokud toto platí i při vzájemné záměně systémů, pak jsou tyto systémy izomorfní. Dva systémy jsou si podobné v chování, jestliže podněty na jejich vstupu vyvolávají u obou systémů stejné reakce (odezvy) na výstupu. Dva systémy, které jsou si podobny ve struktuře, jsou si rovněž podobny v chování, ale neplatí to naopak. Zjednodušeně lze tedy říci, že místo toho, abychom sledovali dynamické chování nějakého procesu, který nás zajímá (reálného objektu), a jeho reakce na provedené změny (ať už organizační či technické), sledujeme chování jeho modelu. S modelem souvisí i pojem simulace. Provedeme-li nějaké řízené pozorování na reálném objektu, pak hovoříme o provedení experimentu. Provedeme-li obdobné řízené pozorování na modelu reálného objektu, pak již hovoříme o simulaci. Tedy simulace je specifický proces pozorování, kdy je zkoumaný systém nahrazen modelem a s tímto jsou prováděny experimenty za účelem získání informací o původním zkoumaném systému. 4
Simulace na modelu reálného objektu provádíme proto, že se často s modelem pracuje snadněji než s originálem, experimentování s modelem je méně nákladné, nebo i méně nebezpečné. Příklad: Při výcviku řidičů v autoškole se často nejprve používá silniční trenažér, který je schopen simulovat chování dopravního prostředku. Důvodem je zajištění bezpečnosti v simulovaných situacích, kdy provádění výuky daných situací v reálném provozu a v reálném vozidle (originálu) by bylo nebezpečné a rovněž nákladné. Mezi výhody použití simulačních modelů patří: Možnost experimentování s modelem experimenty s reálným systémem (originálem) mohou být nákladné, nebo i nebezpečné či nemožné; možnost komplexního studia problému (systému) z důvodu systémového přístupu tvorby simulačního modelu; možnost studia systému v reálném, zpomaleném, či případně zrychleném čase; možnost studia modelovaného systému i z hlediska potřebných detailů; možnost posouzení stanovených hypotéz a výběr optimální varianty; možnost nepřímého měření hodnot a identifikace; predikce vývoje stavů reálného systému; znalost vlastností zaváděných výrobků, či technologií ještě před jejich první aplikací. Identifikaci lze definovat jako proces ztotožňování poznatků o zkoumaném systému (analyzovaném objektu) se skutečností. Cílem a výsledkem procesu identifikace je matematický model, který reprezentuje dynamické chování zkoumaného systému. Jinak řečeno Identifikace je určení systému z dané třídy systémů, ke kterému je testovaný systém (analyzovaný objekt - originál), na základě vstupů a výstupů, ekvivalentní tedy odpovídající. Z hlediska identifikace systému je výhodná simulace i v případech, kdy je sice známá struktura systému, a tedy i soustava rovnic, ale často není známo jejich analytické řešení, nebo nejsou známy konkrétní hodnoty konstant a parametrů. 5
3. Simulační proces Obrázek 2 - Simulační proces Simulační proces je možné rozdělit do pěti základních fází, které na sebe vzájemně navazují. Jsou jimi: 1) Vydělení objektu simulace a definice problému 2) Syntéza simulačního modelu 3) Verifikace validity počítačového modelu 4) Simulace v užším slova smyslu 5) Aplikace získaných poznatků Ad1) Tato fáze vychází z hrubé dekompozice systému a zahrnuje rozpoznání existence problému a vytýčení cílů. Formulace problému není vždy jednorázová činnost, ale neustále se v průběhu dalších fází zpřesňuje a vyjasňuje. Formulace problému zahrnuje i stanovení 6
základních a stěžejních hypotéz, které by měly být samotnou simulací potvrzeny nebo vyvráceny. Ad2) Fáze syntézy simulačního modelu zahrnuje několik dílčích kroků: a) Analýzu tím je myšlena analýza problému, analýza cílů, struktury a chování systému v čase. Provedení důkladné analýzy je nutnou podmínkou správného řešení simulačního modelu. b) Sběr dat a informací o modelovaném systému při tomto kroku vycházíme z dostupných informací o realitě (např. literatura, technické zápisy, manuály, výrobní informace, případně konzultace s odborníky). Mnohdy však nejsme schopni tyto informace získat jinak, než provedením experimentů a experimentálních měření. Mnohdy je možné tuto fázi zahrnout pod samotnou analýzu. c) Formulace předpokladů a hypotéz při řešení simulační úlohy mohou být stanoveny některé zjednodušující předpoklady a hypotézy pro případ, kdy například neexistují dostupné informace o zkoumaném problému, anebo rovněž pro jeho složitost. Musí však dojít k ověření zda toto nemá podstatný vliv na konečné řešení při respektování výchozích hypotéz a cílů. d) Tvorba matematického modelu tento krok vyžaduje široké znalosti z oblasti matematiky, statistiky, fyziky, chemie a jiných oborů, které jsou provázány se zkoumaným systémem. Je totiž nutné specifikovat matematické, fyzikální a jiné zákonitosti, které se účastní dynamických projevů ve zkoumaném systému. Zároveň je nutné specifikovat všechny proměnné, konstanty a parametry včetně jejich označení, popisu, rozměru, jednotky a definičního oboru. Matematický model se formuluje buď analytickým způsobem (s využitím metody postupného vytváření relací) nebo experimentálně (pomocí metod experimentální identifikace). Experimentální identifikace se používá v případech, kdy složitost systému je příliš velká a překračuje možnosti analytického přístupu, nebo nejsme schopni rozpoznat strukturu systému. e) Tvorba teoretického počítačového modelu mnohdy nazývaného abstraktní počítačový model jde o obecný program výpočtu, který může být reprezentován například formou vývojového diagramu, obecné počítačové sítě apod. f) Realizace počítačového modelu v simulačním prostředku jde o implementaci simulačního modelu na konkrétním počítači na základě teoretického počítačového modelu. Ad3) Fáze verifikace modelu náleží mezi nejobtížnější fáze a to proto, že je potřeba ověřit, zda při nastavení stejných parametrů jak na modelu tak dříve na systému, je následně model schopen dosáhnout shodných výsledků. Je-li to tedy možné, aplikuje se tzv. historie reálného objektu na modelu a následně se hodnotí, jak dobře model kopíruje minulé chování modelovaného systému. 7
Obrázek 3 - Verifikace modelu Zdroj: VÁCLAVEK, P. Modelování a simulace, Ad4) Fáze simulace v užším slova smyslu spočívá v samotném experimentování se simulačním modelem přímo na počítači. I tato fáze by měla mít pevně stanovaný řád a je určena následujícími čtyřmi kroky: 1) Návrh a plánování experimentů, kdy je nutné stanovit - výběr počátečních hodnot parametrů modelu - výběr intervalu změn parametrů - určení počtu úrovní experimentů - určení faktorů z hlediska poznatelnosti a řiditelnosti modelu, přesnosti experimentu a ovlivňování cílové funkce 2) Opakování řešení simulační úlohy 3) Srovnání výsledků simulace provádíme srovnání očekávaného chování simulačního modelu s jeho skutečným chováním. Podle určitých zvolených kritérií může na základě výsledků simulace dojít k úpravám (korigování) parametrů modelu. Je potřeba dosáhnout určité míry platnosti modelu vzhledem k chování reálného systému. 4) Vyhodnocení simulačního modelu Všechny výše uvedené fáze lze spatřovat ve zjednodušené formě na následujícím obrázku níže. 8
Analýza: Obrázek 4 - Zjednodušená forma simulačního procesu - Specifikace dějů probíhajících v procesu - Vymezení působících vlivů - Určení veličin popisujících proces - Rozhodnutí o zapojení jednotlivých prvků do modelu - Zavedení zjednodušujících předpokladů Některé zjednodušující předpoklady: - Rozdělení systému na jednodušší subsystémy - Zavádění neexistujících forem (ideální plyn apod.) - Předpoklad nezávislostí (např. zanedbání závislosti látek na teplotě tepelná roztažnost) - Zanedbání ztrát - Linearizace nelineárních závislostí - Použití empiricky zjištěných vztahů a závislostí Teoretický model (ne Teoretický počítačový model) - Je přehledný a jednoduchý, vyjadřuje stručně princip funkce a základní parametry - Umožňuje snazší řešení matematického modelu (výsledných rovnic) - Nepopisuje zcela přesně skutečnost Obrázek 5 - Příklady teoretického modelu 9
Tvorba matematického modelu Využíváme matematické rovnice vyjadřující známé zákony a vztahy (fyzikální, fyzikálně chemické a chemické). Postupujeme ve třech krocích: 1) výběr matematického popisu zákonitostí 2) vytvoření modelových rovnic (včetně doplnění zjednodušení) 3) určení podmínek řešení (počáteční a okrajové podmínky) Volba simulačního programu Postupujeme ve třech krocích: 1) volba metody řešení modelových rovnic 2) zpracování modelových rovnic 3) sestavení výpočetního programu Realizace simulačního modelu Výsledkem je vytvoření počítačového modelu použitelného v praxi. Je potřeba provést následující kroky: 1) Identifikaci modelu - nalezení neznámých parametrů 2) Verifikaci modelu - kontrola správnosti modelu Příklad 1: Je třeba analyticky popsat a simulačně ověřit proces hromadění (akumulaci, skladování) materiálu na skládce. Analýza systému a teoretický model: m(t) [kg] celkové množství materiálu na skládce q 1 (t) [kg*s -1 ] dovážené množství q 2 (t) [kg*s -1 ] odvážené množství Výběr matematického popisu zákonitostí: Bilanční rovnice: dm t) q ( t) dt q ( t) dt ( 1 2 Vytvoření modelových rovnic dm( t) Úpravou získáme lineární diferenciální rovnici: q1( t) q2( t) dt Určení podmínek řešení Počáteční podmínka říká, že množství na skládce nemůže být záporné, a že na počátku již m( 0) m 0 nějaké množství na skládce bylo 0 Integrací vztahu při uvažování počátečních podmínek získáme: t m( t) q q d m 0 1 2 0 10
4. Matematické modely Matematické modely se používají především v přírodních vědách a inženýrských disciplínách, jako jsou fyzika, biologie či elektrotechnika. Jako další oblasti využití matematických modelů lze uvést například oblast sociálních věd (ekonomie, sociologie a politické vědy). Nejčastěji však matematické modely využívají fyzici, inženýři, informatici a ekonomové. V teorii formalizace a modelování je originální systém pro řešení nahrazen matematickým modelem a pro účely experimentování pak simulačním modelem realizovaným na počítači. Matematický model je soubor matematicko-logických vztahů vyjádřených rovnicemi, nerovnostmi, nebo i blokovými schématy, vývojovými diagramy, grafy či tabulkami, pro popis dynamického stavu systému. Kromě soustavy rovnic, musí matematický model obsahovat i definiční obor proměnných a cílovou funkci, pro kterou je vytvořen. Jde tedy zjednodušeně o matematický zápis, který slouží k popisu chování originálního systému. Obrázek 6 - Příklad vyjádření matematických modelů Obecně lze matematický model popsat jako vyjádření vztahu mezi vektory veličin vstupních X(t), stavových Q(t) a výstupních Y(t). ( ) [ ( ) ( )], kde T je vektor transformace funkční závislost. Matematický model systému je vytvářen na základě určité rozlišovací úrovně určené potřebami podrobnosti zkoumání a cílovou funkcí, pro kterou je výsledný model určen. Je vhodné, aby výsledný model byl co do složitosti a robustnosti úměrný potřebám popisu predikce chování zkoumaného systému, požadavkům na kvalitu výstupních dat a výkonu použitého hardware. 4.1. Klasifikace matematických modelů Při modelování je vždy vhodné jasně určit, do které skupiny námi hledaný/vytvářený model spadá. Toto určení provádíme již při analýze a docílíme tím lepšího a snadnějšího pochopení vlastností a struktury původního systému. 11
Matematické modely můžeme klasifikovat několika způsoby, např. na: Deterministické a Stochastické podle toho, zda do modelu zahrnujeme náhodné veličiny; Lineární a Nelineární podle toho, zda jsou funkce, podmínky a omezení reprezentované lineárními rovnicemi, a nebo je zde možnost, že se může vyskytnout alespoň jedna podmínka, nebo omezení popsané formou nelineární rovnice Statické a Dynamické podle vztahu k průběhu času Spojité a Diskrétní ve vztahu ke spojitosti Modely statické - model zobrazuje a analyzuje systém bez zřetele k jeho časovému vývoji. Zobrazení se týká zpravidla určitého časového intervalu (týden, měsíc, rok, apod.). Modely dynamické - model zobrazuje a analyzuje systém v průběhu času. Zobrazení může být typu ex post nebo ex ante a respektovat krátký či delší časový horizont. Modely deterministické - všechny proměnné, konstanty a funkce v modelu jsou deterministické (nenáhodné) veličiny nebo funkce. Deterministický model vykazuje po opakování pokusu za stejných počátečních podmínek shodné chování. Modely stochastické - alespoň jedna proměnná, konstanta nebo funkce v modelu je náhodná veličina nebo náhodná funkce a při opakování experimentu při stejných podmínkách není vždy zaručen shodný výsledek experimentu. 4.2. Příklad tvorby matematického modelu analytickým způsobem Jako příklad si ukážeme popis dynamického chování elektrického obvodu s jednou indukčností. Jde o jeden z nejjednodušších příkladů, na kterém lze ukázat obecné principy nalezení matematického modelu zkoumaného systému a na kterém lze následně provést i jednoduchý způsob simulace. Největší pozornost musíme věnovat teoretickým poznatkům, které jsou vázány ke zkoumanému systému. Použijeme-li hned na začátku určitou míru zjednodušení, pak můžeme předpokládat, že hovoříme o jednoduchém idealizovaném elektrický obvodu, složeném ze zdroje stejnosměrného konstantního napětí, spínače, rezistoru (odporu) a induktoru (ideální cívky). Ideální zdroj napětí je aktivní elektrotechnický prvek, na jehož svorkách najdeme za všech okolností konstantní hodnotu napětí (není to akumulátor, který se časem vybíjí, ani malý adaptér, ze kterého dostaneme proměnný průběh napětí tzv. pulzující napětí). Je to čistě ideální zdroj napětí, přičemž neuvažujeme jeho vnitřní odpor. 12
Rezistor je ideální pasivní elektrotechnický prvek, jehož jedinou vlastností je za všech okolností konstantní elektrický odpor. Podobně induktor je ideální elektrotechnický pasivní prvek, jehož jedinou vlastností je opět za všech okolností konstantní indukčnost. Situace je silně zidealizovaná: ideální zdroj, jehož napětí nezávisí na zatížení ani na čase, ideální rezistor a induktor, jejichž parametry se nemění s teplotou, proudem nebo působením dalších vlivů. Spínač je do obvodu zapojen z jednoduchého důvodu: existuje totiž pravidlo - fyzikální zákon, který popisuje vznik indukovaného napětí: Při průchodu elektrického proudu cívkou vzniká magnetické pole. Po sepnutí spínače se s rostoucím proudem zvětšuje magnetická indukce vznikajícího pole. Magnetické pole je tedy nestacionární a je příčinou vzniku indukovaného elektrického pole v cívce. Podle Lenzova zákona působí toto pole svými účinky proti změně, která ho vyvolala: na koncích cívky proto vzniká napětí opačné polarity, než je napětí zdroje. To způsobí, že proud nedosáhne okamžitě plné hodnoty, ale narůstá postupně až na hodnotu určenou odporem cívky a dále se již nemění. Nastává ustálený stav a indukované elektrické pole zaniká. Indukované napětí se tedy indukuje na prvku zvaném induktor a jeho velikost závisí na indukčnosti induktoru a na časové změně proudu (vyjádřeno derivací proudu podle času). Ve stejnosměrném obvodu se tedy vliv indukčnosti může projevit jen při změně velikosti proudu v obvodu. Ideální zdroj napětí a k němu připojený ideální rezistor nejsou schopny změnu proudu zajistit. Proto je do obvodu zapojen spínač, kterým je posléze připojen obvod s nulovým proudem ke zdroji konstantního napětí. Další fyzikální zákony, které zde využijeme, jsou základní zákony spojené s elektrickými obvody, tedy Ohmův a Kirchhofovy zákony. Konkrétně se jedná o druhý Kirchhofův zákon, který říká, že součet napětí v uzavřené smyčce elektrického obvodu je roven nule. Obvod v našem příkladu se skládá z právě jedné smyčky, a proto tedy platí: z toho vyplývá vzhledem k obrázku výše Uplatňujeme zde tzv. napěťovou konvenci, kdy zdroj napětí dává proud, který teče z plusové svorky zdroje obvodem ve směru k mínusové svorce (směrem ven) a na pasivních prvcích, tedy na rezistoru a induktoru, proud vyvolá úbytek napětí orientovaný ve směru protékajícího proudu. Následně uplatníme Ohmův zákon, který říká, že úbytek napětí na rezistoru je přímo úměrný proudu procházejícímu rezistorem: Na základě tří zmíněných zákonů lze následně sestavit matematický model systému popsaného na obrázku výše. Základem je napěťová rovnice dle Kirchhofova zákony, do které 13
dosadíme úbytky napětí na rezistoru u R a na induktoru u i, které působí proti napětí stejnosměrného zdroje U. Veličinou vstupující do systému je napětí a výstupní veličinou ze systému, tedy sledovanou veličinou, je proud procházející obvodem. Z hlediska tvorby operátorového přenosu prvku jde o diferenciální rovnici proporcionálního prvku prvního řádu: Diferenciální rovnice ( ) ( ) ( ) Obrazová rovnice ( ) ( ) ( ) Operátorový přenos ( ) ( ) ( ) Simulaci takového systému pak lze provést hned několika způsoby. Jednak prostřednictvím matematického prostředku Matlab a jeho prostředí Simulink a druhou možností je pak si tento model naprogramovat ve vhodném prostředí. Výsledek simulace naleznete na obrázku níže. Druhým způsobem simulace, který si na tomto jednoduchém příkladu vyzkoušíme, je naprogramování dané diferenciální rovnice. K tomu je však ještě nutné udělat jisté kroky úpravy na této diferenciální rovnici. Využijeme k tomu jednokrokovou numerickou metodu řešení diferenciální rovnice tzv. Eulerovu metodu. 14
Časovou změnu proudu na induktoru vyjádříme jako rozdíl proudů za určitý časový okamžik. Nový stav systému v čase t i+1 vždy vypočítáme na základě předcházejícího stavu systému: ( ) ( ) K samotnému naprogramování lze využít možností, které nabízí aplikace Microsoft Excel společně s doplňkem pro vývojáře Visual Basic for Application. V otevřeném sešitu lze zadat do buněk potřebné parametry simulace (odpor R, indukčnost L a napětí zdroje U), aby bylo možné je posléze měnit bez zásahu do těla programu. Pro možnost spuštění simulace je zapotřebí vložit na plochu sešitu ovládací prvek tlačítka. V prostředí Visual Basic for Application pak lze provést naprogramování procesu simulace. Nezbytná je deklarace proměnných, nastavení nulových počátečních podmínek a nastavení výpočtů do těla cyklu For. Posledním krokem je pak vytvoření grafu z hodnot simulace. Vše je na obrázcích níže. 15
16