Časops pro pěstováí matematky a fysky Euge Buckj Pozámka k čláku O tegrac úplých dferecálů Časops pro pěstováí matematky a fysky, Vol. 72 (1947), No. 3, 131--136 Persstet URL: http://dml.cz/dmlcz/121554 Terms of use: Uo of Czech Mathematcas ad Physcsts, 1947 Isttute of Mathematcs of the Academy of Sceces of the Czech Republc provdes access to dgtzed documets strctly for persoal use. Each copy of ay part of ths documet must cota these Terms of use. Ths paper has bee dgtzed, optmzed for electroc delvery ad stamped wth dgtal sgature wth the project DML-CZ: The Czech Dgtal Mathematcs Lbrary http://project.dml.cz
časops pro pěstováí matematky a fysky, roč. 72 (1947) Pozámka k čláku O tegrac úplých dferecálů' 4. 1 ) Evže Buckj, Praha. (Došlo de 20. říja 1946,) I. V tomto čláku jde o fukce reálých proměých, u chž předpokládáme spojtost parcálích dervací těch řádů, jež se v dalším vyskytují. Je-l <p (x x,...,:r ) homogeí fukce stupě -tého, je, jak zámo, Xl 5z + ": + X dx = k<p ( Xl ' >**) ( l ) Budž yí du = 2X(*>...,*)dx u (2) =l totálím dferecálem (utou a postačující podmíkou je, jak zámo,. dx^dx; w dxt dxs pro, j = 1, 2,..., ), a předpokládejme, že fukce X jsou homogeí fukce stupě Jfc-tého. Potom jest (sčítá se od 1 do ) d(lxx) = 2Xdx + 2^dX^ <., 2^ť dx = 2(Z*tg ' dícj = Sl-S-g-^^ld^v = k ^X* dav, a tedy v, dcžxx) = (* + l) 2Zd; t, (4) t.j. d(2-3-" ť^) = (fc+l)d(7. l ) Vz Časops 57 (1928), 87-94. / 9* 131
Jfe-l tedy A: =j= -1, je fukce U z rovce (2) dáa výrazem U= Y í (X 1 x 1 +... + X x ) + C, ^ (5) kde C je kostata. To je jedoduchý vzorec pro tegrováí úplého dferecálu (2), platý pro k = = 1, který byl odvoze v ctovaém čláku. V tomto čláku se soustředíme a zbývající případ k = 1. Buďte tedy X L v (2) homogeí fukce stupě 1, takže po substtuc jest u, = (v = 2, 3,...,) (6) x X= (f(u 2,..., u ) ( = 1,..., ); (7) x 1 podle (4) je pak yí ^XÍXÍ = A (A kostata). (8) Odtud. A 1 -K! = - 2 <M^2>., ^) Xv, X x X 1 v = 2 takže pravou strau v (2) lze psát ve tvaru. dx t, sr, v x A dx v x v dx*. A * + 1<PÁU 2,..., U) 2, U*l v=2 X ačež (vz ještě (6) a (7)) lze (2) psát ve tvaru,. ' du = d (A log 1^1) -f 2<Pv(u 2,. -, u ) du. (9) v=2 Součefc 2 9^2,.., w ) du v, (10) r=2 do ěhož za w, a za du, dosadím podle {6), je tedy rozdílem dvou úplých dferecálů a je tedy sám úplým dferecálem. Ale souče$.;(lg) jest úplým dferecálem také tehdy, jsou-l u t,.'.., u ezávsle proměým; eboť z (6), (7) plye dx v 1 d<p v '.* dx M x^ du M pro JA = 2, 3,...,, takže podle (3) je m d<p, typu wr^[fx ' v=2 ' z '-' ) -
Exstuje tedy fukce tp (u 2 ), takže (2) ebol (9) lze psát též mající úplý dferecál (O), áu = d (A log Kl) + JT dt*,, (11) kde u v jsou všude určea vzorc (6). A aopak: je-l \p (u 2 ) jakákolv fukce, je pravá straa rovce (11) úplým dferecálem, v ěmž koefcety $lř dx j sou homogeí fukce stupě 1. Neboť píšeme-l -5 - <Pv(U 2 ), lze rovc (11) podle (6) hed psát ve tvaru ITT " 1 "V 1 X% X \ X- úx v x v úx% du = h2w~ > r #1 ~ 2 \«#1/ Xj 2 x Tedy: Rovce (11), v íž p (u 2 ) je lbovolá fukce, př čemž za u 2,..., u ; du %,..., du dosazujeme x l9..., x ; dx x,..., dx podle vzorců u p =, du, - (x t dx v - x y dx*), rv* /*» 43 * - -' ám dává ejobecější totálí dferecálí rovc tvaru (2) s homo-' geím koefcety stupě 1. Parcálí dervace fukce %p, t. j. fukce <p, ovšem mohou, ale emusí být homogeí. 2- Jsou-J X v (2) homogeí řádu Ic 4= 1, lze tegrac rovce (2) hed provést vzocem (5). Ale pro k = 1 je tomu jak, eboť rovce (11) ukazuje, že U (x x,...,x ) emůžehé obdržet bez užtí obvyklých způsobů tegrace úplých dferecálů. Neboť z (11) plye ^L<p v (u 2 )du v (I?) /,--2 kde pravá straa začí výsledek tegrace úplého dferecálu (10), v ěmž za u 2 je dosazeo podle (6). Pojmu-l tedy do fukce \p (u 2,..., u ) addítví tegračí kostatu, plye z (12) U(x lt..., x) - A log K = y>h,..., j). (13) \X X X^f Najdu-l tedy ějakým způsobem fukc U, je tím alezea fukce y> (u t,..., u ) a aopak. Itegrace totálího dfe^ttcáltt (2) s homogeím koefcety X stupě 1 je tedy úkol právě tak obtížý
j^ko tegrace totálího dferecálu (10) s lbo volým koefcety <p* a s -- 1 ezávsle proměým (a př. pro = 2 je tegrace tot. dferecálu (10) ekvvaletí s výpočtem tegrálu JV 2 (u 2 ) du 2 ). 3. Rovce (11) dává ejobecější tvar totálí rovce (2) s homogeím koefcety stupě k = 1. Rozřešme podobou Wohu pro k4= 1. Rovce (5) říká, že U je až a kostatu C homogeí fukce / (x lf...,x ) stupě k + 1, takže (2) má tvar kde / je homogeí fukce stupě k + 1. Naopak, je-l / (x l9..., x ) homogeí stupě k + 1, jsou koefcety př dx* v (14) homogeí stup* k. Tím je úloha řešea. 4. Jako aplkac vyšetřujme dferecálí homogeí rovc X(x, y)dx+ Y(x, y) dy = 0, (15) kde levá straa je totálí dferecál a fukce X, Y jsou homogeí stupě k. Je-l k =)= J, je obecý tegrál podle (5) dá vzorcem X.x+Y.y = (k+l)c = C l9 kde C resp. Cj začí tegračí kostatu. Budž za druhé k = 1, takže podle (8) je X. x + Y. y = <%, (a kostata), ačež JT = a. ar- 1 Yy. x~ l a (15) abude tvaru.ale podle předpokladu (x dx, ^r -r dv wda: f-t = 0. x Y(x, *= L AÍ takže substtuce u = y. ar -1 vede k rovc & da?. + 9>Mdw -= 0, t. j. a log g + f<p(u) du = C, kde, po výpočtu tegrálu jest dosadt u = y. ar -1. Je patro, že v tomto případě k = 1 eposkytuje teto způsob žádých výhod prot obvyklé methodě. ^ 5. Příklady. 1. Najděte fukc U, vyhovující rovc 134, : r7 /2a? 3s8 yh z 2y*. z\ A. du = (< - T ^cos s Ida; + ;.. \ x l x k x *x* xj
, ty - 2,. /3z 2, t/ 2 z\, Koefcety př dx, dy, dz (jež zde v ásledujícím příkladě ozačíme X, Y, Z) splňují podmíky tegrablty a rovc Xx + Yy + Zz = = 2, ačež áu = ^dx+y xdy - vdx + Z xáz - záx ; X X X dosadím-l za Y, Z a položím-l y. xr- 1 = v,z. xr~ l = t, obdržím: 2 dí7 = (dx + 2v s t dv + (U 2 + v 2 cos t) d*. x Posledí dva cley tvoří totálí dferecál, ale jeho koefcety ejsou homogeí fukce. ítegrujeme-l obvyklým způsobem a zavedeme-l akoec opět x, y, z, obdržíme í7=21ogи+^.s± y + ^ + o ' * *v& \*\ rr 2. V rovc dí7 = (2a;z 2 sfy 3y 2 z) dx + \ (x 2 + 2yz) dy + X X + ^(y 2 2xz)dz jsou rověž splěy podmíky tegrablty a jest Xx + Yy + + Zz = 0. Obdobým způsobem jako v předešlém případě obdržíme du = (1 + 2vť) dv + (v 2 2t) dt. Zde pravá straa je součtem tří totálích homogeích" dferecálů stupě 0, 1, 2, totž dl7 = dt; 2t dt + (2vt dv + v 2 dt); tegruj-l každý čle podle vzorce (5), obdržím t.j. rт 2í 2 2vt. v + v 2. t. U - v + J H G, П = У Z * -4- yч 4- O U x-x* + lŕ +G - 136
Remarque à l'artcle Sur Ptégrato des dfféretelles totales" 1 ). (Résumé de l'artcle précédet.) Cosdéros l'équato (2), où les X< sot des foctos homogèes du degré k satsfasat aux codtos (3). S k 4= 1, l'tégrale de (2) est doée par (5) et l'équato (2) la plus géérale de ce gere est de la forme (14), où f(x l9..., x ) est ue focto homogèe quelcoque du degré k + 1. Pour k = 1, les choses sot plus complquées: la forme la plus géérale de l'équato (2) est doée par (11), où A est ue costate quelcoque et où p(u z ) est ue focto arbtrare; les u v, du v sot défs par (6). L'tégrato de (2) pour k = 1 exge doc l'tégrato d'ue dfféretelle totale (10) (à 1 varables) qu peut être absolumet arbtrare. (O suppose partout la cotuté des dérvées partelles retrat das le calcul.) 136 *) Cf. Časops 57 (1928), 87 94.