Přednáška 7, 14. listopadu 2014

Transkript

1 Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že. (Dirichletovo kritérium) když lim a = 0 a b má omezeé částečé součty, pak a b koverguje a 2. (Abelovo kritérium) když b koverguje, pak a b koverguje. Peter L. Dirichlet ( ) byl ěmecký matematik (dokázal, že každá aritmetická posloupost a, a + m, a + 2m,..., kde a, m N jsou esoudělá čísla, obsahuje ekoečě moho prvočísel) a Niels Herik Abel ( ) byl orský matematik (dokázal obecou eřešitelost rovic pátého stupě v odmociách). Příkladem řady, jejíž kovergece plye z Dirichletova kritéria, je si 2 si()/ = si + + si (Návod: omezeost poslouposti (si + si si ) dokažte ze vzorce pro tyto součty, který odvodíte sečteím vztahů e iϕ = cos ϕ + i si ϕ, ϕ =, 2,..., ). Dokážeme, jak jsme slíbili, že pro s > je ζ(s) < +, tedy že s koverguje. Nechť N je dáo a r N je libovolé číslo, pro ěž 2 r+ >. Pak, ozačíme-li q = 2 s <, s = i= i s r 2 k+ i < s i=2 k r 2 k r (2 k ) = s (2 s ) k < q k = q, podle vzorce pro součet geometrické řady. Posloupost částečých součtů s < s 2 <... má tedy horí mez /( 2 s ) a s koverguje. (Proč platí prví a druhá erovost? Sčítací obor i =, 2,..., jsme pokryli disjuktími itervaly 2 k, 2 k +,..., 2 k+, kde k = 0,,..., r. Počet sčítaců /i s v k-tém itervalu je 2 k+ 2 k + = 2 k a ejvětší z ich je /(2 k ) s. Je to podobá metoda jako v důkazu divergece harmoické řady. Geometrická řada zde triumfuje ad zeta fukcí.) Argumet se lehce ásledově zobecí.

2 Tvrzeí (Cauchyho kodezačí kritérium). Když a a 2 a 3 0, pak řada 2 a 2 = 2a 2 + 4a 4 + 8a koverguje, právě když koverguje řada a. Důkaz. Úloha kdo pochopil předchozí důkaz, ebude mít s tímto žádý problém. Porováváí řad, hlavě s geometrickou. Zapišme si užitečé pozorováí: když pro dvě poslouposti (a ), (b ) R platí a = b pro každé > 0, pak řada a koverguje, právě když koverguje řada b. (Jsou-li totiž s a t částečé součty těchto řad, pak pro každé > 0 je s = t + (s 0 t 0 ), takže se poslouposti (s ) a (t ) pro idexy > 0 liší je přičteím kostaty s 0 t 0. Takové dvě poslouposti současě kovergují či současě divergují.) Tvrzeí (srováí řad). Reálá čísla a, b buďte ezáporá.. Když pro každé > 0 je a b a řada b koverguje, pak koverguje i a. 2. Nechť lim a /b = l. Pak (i) pro 0 < l < + máme, že a koverguje b koverguje, (ii) pro l = 0 máme, že b koverguje a koverguje a (iii) pro l = + máme, že a koverguje b koverguje. Důkaz.. Částečé součty řad a a b ozačíme jako s a t. Podle hořejšího pozorováí můžeme předpokládat, že erovost a b platí dokoce pro každé =, 2,... (prvích 0 sčítaců mohu libovolě změit). Takže i s t pro každé. Podle předpokladu existuje c > 0, že t < c pro každé. Tedy i s < c pro každé a řada a koverguje. 2. (i) Pro > 0 je l/2 < a /b < 2l, tedy a < 2lb a b < (2/l)a. Ekvivalece kovergecí řad a a b tedy plye z prví části (a tvrzeí o lieárí kombiaci řad). (ii) Pro > 0 je a /b <, tedy a < b a použijeme prví část. (iii) Pro > 0 je < a /b, tedy b < a a použijeme prví část. Věta (odmociové kritérium). Reálá čísla a buďte ezáporá.. Když existuje q, 0 < q <, a 0, že pro > 0 je a / < q, pak řada a koverguje. 2. Když lim sup a / <, pak řada a koverguje. 2

3 3. Když lim a / <, pak řada a koverguje. 4. Když lim sup a / 5. Když lim a / >, pak řada a diverguje. >, pak řada a diverguje. Důkaz.. Pro > 0 je tedy a < q a podle tvrzeí o srováí řad řada a koverguje (srováváme ji s kovergetí geometrickou řadou). 2. Podle defiice limsupu existuje 0 a číslo q <, že pro > 0 je < q, takže podle části jsme hotovi. 3. Když limita existuje, rová se limsupu, jsme hotovi podle 2. 4 a 5. Zde je jasé, že existuje q >, že pro ekoečě moho idexů (v části 5 dokoce pro každé > 0 ) je a / > q. Pro tato tedy a > q > a eí splěa utá podmíka kovergece řady, že lim a = 0. a / Věta (podílové kritérium). Reálá čísla a buďte kladá.. Když existuje q, 0 < q <, a 0, že pro > 0 je a + /a < q, pak řada a koverguje. 2. Když lim sup a + /a <, pak řada a koverguje. 3. Když lim a + /a <, pak řada a koverguje. 4. Existuje posloupost (b ), b > 0, že lim sup b + /b > a řada b přesto koverguje. 5. Když lim a + /a >, pak řada a diverguje. Důkaz.. Jak víme, prvích 0 čleů řady lze libovolě změit (aiž by se cokoli stalo s kovergecí), a můžeme tak předpokládat, že a + /a < q platí pro každé N. Vyásobeím erovostí a a, a 2 /a < q, a 3 /a 2 < q,..., a /a < q dostaeme erovost a a q a jsme hotovi díky tvrzeí o srováí řad (opět srováváme s kovergetí geometrickou řadou). 2 a 3. Dokazuje se stejě jako v předešlé větě. 4. Nechť (a ) = ((/2) ) (geometrická posloupost, pro každé je a /a = /2) a posloupost (b ) získáme z (a ) tak, že si zvolíme libovolou posloupost idexů < < 2 <..., ovšem splňující i+ > i + (tj. žádé dva zvoleé idexy esousedí), a pro i položíme b = a a pro = i položíme b = 4a. Pro = i pak je b /b = 4a /a = 2, takže 3

4 lim sup b /b 2 (fakticky se rová dvěma). Ovšem a je kovergetí geometrická řada (s kvocietem q = /2) a pro každé je b 4a, takže i b koverguje. 5. Máme q > a 0, že pro > 0 je a + /a > q. Podobě jako v části můžeme předpokládat, že že a + /a > q platí pro každé N. Vyásobeím erovostí a a, a 2 /a > q, a 3 /a 2 > q,..., a /a > q dostaeme erovost a a q a > 0 řada a diverguje, protože eí splěa utá podmíka kovergece řady, že lim a = 0. Důležitá pozámka: když limsup popř. limita z a / či a + /a vyjde, pak kritéria eříkají ic a řada může kovergovat ebo divergovat. Např. ζ(s) = a = s má pro každé pevé s R lim a / = lim a + /a = (dokažte si to). Odmociové kritérium se často spojuje se jméem A.-L. Cauchyho a podílové se jméem Jeaa-Baptisty le Roda d Alemberta (77 783), podle Wikipedie fracouzského matematika, mechaika, fyzika, filosofa, hudebího teoretika a ecyklopedisty. Přerováí řad. Přerováím řady a rozumíme řadu a p() = a p() + a p(2) + a p(3) +... daou ějakou permutací p možiy přirozeých čísel N = {, 2,... }, což je jakákoli bijekce p : N N (bijekce je zobrazeí, jež je prosté i a). Prostě ějak zpřeházíme sčítace v a. Věta (Riemaova o přerováí řad). Nechť řada a koverguje, ale e absolutě. Pak pro každé α R ebo α = ebo α = + existuje permutace p : N N, že ap() = α. Důkaz. Je azačeý. Nechť b, resp. c, je podřada řady a sestávající z ezáporých, resp. záporých, sčítaců a. Pak b = + a c =, avšak lim b = lim c = 0. Nechť α R, pro ekoečé α se ásledující postup sado upraví. Ze b vezmeme takový ejkratší částečý součet t m, že t m > α. Pak ze c vezmeme takový ejkratší částečý součet u, že t m + u < α. Ze zbytku b vezmeme takový ejkratší částečý součet t m2 t m, m < m 2, že t m + u + (t m2 t m ) > α. Ze zbytku c vezmeme takový ejkratší částečý součet u 2 u, < 2, že t m +u +(t m2 t m )+(u 2 u ) < α. Takto postupujeme dále. Vziklá řada je přerováí a, jehož částečé součty kovergují k α. 4

5 Příkladem řady, a íž se vztahuje Riemaova věta, je třeba střídavá harmoická řada = log 2. Věta (o přerováí AK řady). Nechť je řada a absolutě kovergetí. Pak pro každou permutaci p : N N je přerovaá řada a p() absolutě kovergetí a má týž součet jako a. Důkaz. Příště. 5