n=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0

Transkript

1 Nekoečé řady, geometrická řada, součet ekoečé řady Defiice Výraz a 0 a a a, kde {a i } i0 je libovolá posloupost reálých čísel, azveme ekoečou řadou Číslo se azývá -tý částečý součet Defiice Nekoečá řada tvaru s : a 0 a a a, 0,,, a aq aq aq aq, kde a, q R jsou pevě zvoleá čísla, se azývá geometrická řada Číslo q se azývá kvociet geometrické řady Defiice Existuje-li vlastí ita s s, potom říkáme, že ekoečá řada a koverguje k číslu s, ebo také že má součet s, a píšeme a s Existuje-li evlastí ita s ±, potom říkáme, že ekoečá řada a diverguje k ±, a píšeme a ± Pokud ita s eexistuje, potom říkáme, že ekoečá řada a osciluje Věta 4 Bud te a, b kovergetí řady a echt a s, b t Pak je kovergetí i řada a b a platí a b s t Věta 5 Jestliže řada a koverguje, pak pro libovolé k R koverguje téže řada k a a platí ka k a Věta 6 Součet geometrické řady Necht je geometrická řada s kvocietem q Je-li q <, pak tato řada koverguje a platí q q q Je-li q, pak tato řada diverguje k Je-li q, pak tato řada osciluje

2 Věta 7 Nutá podmíka kovergece Jestliže řada a koverguje, pak platí a 0 Příklad 8 Určete součet ekoečé řady Řešeí Nejprve rozložíme zlomek a parciálí zlomky Platí Platí s 6 4 Součet ekoečé řady defiujeme jako itu poslouposti částečých součtů, tj s, tedy součet zadaé ekoečé řady je Příklad 9 Určete součet ekoečé řady 4 Řešeí Nejprve rozložíme zlomek a parciálí zlomky Platí Platí s [ ] 4 4

3 Součet ekoečé řady pak je s 4 Příklad 0 Určete součet ekoečé řady 5 Řešeí Nejprve rozložíme zlomek a parciálí zlomky Platí Platí s 6 [ Součet ekoečé řady pak je s Příklad Určete součet ekoečé řady Řešeí Nejprve rozložíme zlomek a parciálí zlomky Platí Ozačme s -tý částečý součet Platí s [ Součet ekoečé řady pak je s ] ]

4 Příklad Určete součet ekoečé řady 6 Řešeí Kovergují-li řady a, pak koverguje i řada a platí Vidíme, že se jedá o geometrické řady s kvociety a Podle věty 6 platí a Odtud dostáváme 6 Příklad Určete součet ekoečé řady Řešeí Platí Kritéria kovergece ekoečých řad s ezáporými čley Věta Srovávací kritérium Necht {a } a {b } jsou poslouposti ezáporých čísel, pro které platí 0 a b pro všecha N, N, N, pro ějaké N N {0} 4

5 i Jestliže b koverguje, potom také koverguje řada a ii Jestliže a diverguje, potom také diverguje řada b Věta Itegrálí kritérium Necht a je ekoečá řada s ezáporými čley Necht fx je fukce defiovaá a itervalu [N, pro ějaké N [0,, která je a tomto itervalu ezáporá, erostoucí a platí Potom a koverguje f a pro všecha N a diverguje k N fx dx koverguje, N fx dx Věta Podílové kritérium Necht a je ekoečá řada s kladými čley a předpokládejme, že existuje vlastí i evlastí ita Potom a q a i tato řada koverguje, pokud je q < ii tato řada diverguje k, pokud q > ebo q iii teto test elze rozhodout, pokud je q Věta 4 Odmociové kritérium Necht a je ekoečá řada s ezáporými čley a předpokládejme, že existuje vlastí i evlastí ita Potom i tato řada koverguje, pokud je q < a q ii tato řada diverguje k, pokud q > ebo q iii teto test elze rozhodout, pokud je q Příklad 5 Rozhoděte o kovergeci či divergeci ásledujícíh řad l, arctg, 5

6 Řešeí Ai jeda z uvedeých řad ekoverguje, ebot esplí utou podmíku kovergece Všechy divergují k Příklad 6 Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí Tato řada koverguje, což lze ukázat apříklad použití itegrálího kriteria Nevlastí itegrál [ x dx ] x koverguje, a proto koverguje i zadaá řada Příklad 7 Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí S úspěchem lze užít srovávací kritérium Zcela jistě pro každé N platí přičemž řada, je geometrická řada s kvocietem Tato geometrická řada je kovergetí, a proto i původí řada koverguje Příklad 8 Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí Každý čle je jistě, a proto emůže být splěa utá podmíka kovergece Popřípadě můžeme použít podílové Příklad 9 Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí Použijeme podílové kriterium Platí a a!!!!!! 6

7 Odtud l e e l Limitu l lze spočítat pomocí l Hospitalova pravidla Platí Pak l tedy zadaá řada koverguje l L H a a e <, Příklad 0 Vyšetřete kovergeci, resp divergeci ásledující řady Řešeí Použijeme odmociové kritérium Platí a, a proto daá řada koverguje Příklad Vyšetřete kovergeci, resp divergeci ásledující řady π arccos Řešeí Použijeme odmociové kritérium Platí a π arccos π arccos Jedá se o eurčitý výraz typu, proto ho upravíme tak, abychom mohli použít l Hospitalovo pravidlo Platí π arccos e l π arccos a pro itu v expoetu již můžeme použít l Hospitalovo pravidlo l π arccos π arccos π π Hledaá ita je e π <, tj daá řada koverguje Příklad Určete, pro která x R kovergují daé ekoečé 7

8 x, x 7, log x, 4 x Řešeí Jedá se geometrickou řadu s kvocietem x Ta koverguje právě tehdy, když x <, což astae právě tehdy, když x 0, Jedá se o geometrickou řadu s kvocietem x 7, přičemž erovice x 7 < emá řešeí, tedy zadaá řada diverguje pro všecha x R Je to geometrická řada s kvocietem log x Tato řada koverguje právě tehdy, když log x <, což astae právě tehdy, když x 0, 0; 0, 4 Jed se o geometrickou řadu s kvocietem x Tato řada koverguje právě tehdy, když x <, což astae právě tehdy když x R [, ] Příklad Řešte rovice s ezámou x R x 9x 0, 4x 8x, log x log x log x 6 log x, 4 l x l x l 4 x l 8 x Alterující řady Defiice Necht {a } je posloupost ezáporých čísel Potom se ekoečá řada a 0 a a a a 4 azývá alterující řada a 8