IV. MKP vynucené kmitání

Transkript

1 Jří Máca - katedra mechaky - B35 - tel maca@fsv.cvut.cz IV. MKP vyuceé kmtáí. Rovce vyuceého kmtáí. Modálí aalýza rozklad do vlastích tvarů 3. Přímá tegrace pohybových rovc 3. Metoda cetrálích dferecí 3. Newmarkova metoda 3.3 Wlsoova metoda 3.4 Stablta a chyby umercké tegrace 3.5 Příklad metoda cetrálích dferecí 4. Aalýza ve frekvečí oblast 4. Ustáleé kmtáí přímé řešeí 4. Ustáleé kmtáí rozklad do vlastích tvarů 5. Příklady 5. Odezva základu turbosoustrojí a harmocké zatížeí 5. Zavěšeý most áhlé přerušeí závěsu 3DY0 Dyamka stavebích kostrukcí

2 IV. MKP vyuceé kmtáí. Rovce vyuceého kmtáí Soustava je zatížea budcím sílam p(t) Cílem je staovt dyamckou odezvu systému pohybové rovce počátečí podm. K u( t) C u( t) M u( t) p( t) u(0) u u(0) u 0 0 soustava N dferecálích rovc II. řádu (N počet st. volost) ezámé: u(t) časový průběh posuutí (MKP: u(t) ~ r(t) vektor uzlových posuutí) řešeí - modálí aalýza (rozklad do vlastích tvarů) - přímá tegrace pohybových rovc - aalýza ve frekvečí oblast 3DY0 Dyamka stavebích kostrukcí

3 IV. MKP vyuceé kmtáí 3. Modálí aalýza rozklad do vlastích tvarů základí dea: odezva se staoví jako kombace vlastích tvarů kmtáí pomocí modálích souřadc q (t) ( =, N) N u( t) q ( t) Φq( t) dosazeí do pohybových rovc K u( t) C u( t) M u( t) p( t) K Φ q( t) C Φ q( t) M Φ q( t) p( t) Φ K Φ q( t) Φ C Φ q( t) Φ M Φ q( t) Φ p( t) pro ormovaé vlastí tvary dále platí Ω q Φ C Φ q I q Φ p ( t) ( t) ( t) ( t) obecě eí dagoálí matce 3DY0 Dyamka stavebích kostrukcí

4 IV. MKP vyuceé kmtáí 4. Modálí aalýza rozklad do vlastích tvarů Klascký útlum Φ C Φ je dagoálí matce, jejíž prvky jsou tj. vlastí tvary jsou ortogoálí též k matc útlumu - koefcet poměrého útlumu -tého vlast. tvaru - -tá vlastí frekvece ( ) Ω q t Φ C Φ q( t) I q( t) Φ p( t) q ( t) q ( t) q ( t) p( t) soustava N ezávslých rovc pro q (t) řešeí - apř. Duhamelův tegrál (vz soustava s SV). výhoda obvykle =, P P N. výhoda počet uvažovaých vl. tvarů P je dá frekvečím složeím zatížeí 3DY0 Dyamka stavebích kostrukcí

5 IV. MKP vyuceé kmtáí 5. Modálí aalýza rozklad do vlastích tvarů Rayleghův útlum klascký, proporcoálí útlum C M K leárí kombace matc tuhost a hmotost Φ C Φ Φ M Φ Φ K Φ koefcety α, β lze určt, záme-l součtele poměrého útlumu ξ a ξ j pro dvě rozdílé vlastí frekvece ω a ω j /, / j j j záme-l součtel útlumu ξ pouze pro prví vl. frekvec ω a předpokládáme-l, že ejméě je tlume. tvar, platí: 3DY0 Dyamka stavebích kostrukcí

6 IV. MKP vyuceé kmtáí 6. Modálí aalýza rozklad do vlastích tvarů Neklascký útlum Iterakce kostrukce a podloží Sestaveí matc pro systém kostrukce - podloží C M K C M K f f f f f Jý příklad eklasckého útlumu dskrétí tlumče (matce útlumu může být dagoálí) 3DY0 Dyamka stavebích kostrukcí

7 IV. MKP vyuceé kmtáí 7. Modálí aalýza rozklad do vlastích tvarů Volé kmtáí útlum klascký, ormovaé tvary kmtáí K u( t) C u( t) M u( t) 0 u(0) u0 u(0) u0 N u( t) q ( t) q ( t) q ( t) q ( t) 0 q (0) q q (0) q 0 0 řešeí modálí rovce vz soustavy s SV: q (0) (0) ( ) t q q t e q (0)cosDt sdt D D 3DY0 Dyamka stavebích kostrukcí

8 IV. MKP vyuceé kmtáí 8. Modálí aalýza rozklad do vlastích tvarů Počátečí podmíky pro modálí souřadce q (0) ; q (0) N u( t) q ( t) M N M u t M ( ) q ( t) vzhledem k podmíkám ortogoalty platí: Mu( t) Μ q ( t) q () t Mu() t Μ pro ormovaé tvary platí: q ( t) Mu( t) q q (0) Mu(0) (0) Mu(0) 3DY0 Dyamka stavebích kostrukcí

9 IV. MKP vyuceé kmtáí 9 3. Přímá tegrace pohybových rovc základí dea: pohybové rovce se postupě řeší jedotlvých okamžcích t, t +, časová osa se rozdělí pomocí délky tegračího kroku t t t dervace se ahradí dferecem, soustava dferecálích rovc se převede a rovce algebracké ozačeí: p p( t ) u u( t ) u u( t ) u u( t ) Μu Cu Ku p Mu Cu Ku p ezámé: u u u metody řešeí: eplctí pohybová rovce se používá v čase t mplctí pohybová rovce se používá v čase t + 3DY0 Dyamka stavebích kostrukcí

10 IV. MKP vyuceé kmtáí 0 3. Přímá tegrace pohybových rovc stejý postup se použje pro modálí aalýzu pro obecý eklascký útlum K u( t) C u( t) M u( t) p( t) N u( t) q ( t) Φq( t) Φ K Φ q( t) Φ C Φ q( t) Φ M Φ q( t) Φ p( t) ˆK Ĉ ˆM pˆ( t) Kˆ q( t) Cˆ q( t) Mˆ q( t) pˆ ( t) Mˆ q Cˆ q Kˆ q pˆ Mˆ q Cˆ q Kˆ q pˆ ezámé: q q q modálí rovce výhoda řešeí: obvykle malý počet modálích rovc P ( =, P) příklad eklasckého útlumu: terakce kostrukce s podložím 3DY0 Dyamka stavebích kostrukcí

11 IV. MKP vyuceé kmtáí 3. Přímá tegrace pohybových rovc 3. Metoda cetrálích dferecí eplctí metoda pohybové rovce přímá tegrace u f p M, C, K M, C, K modálí aalýza q f pˆ M, C, K Mˆ, Cˆ, Kˆ t t apromace rychlost a zrychleí M C K f M C K f t t pohybová rovce v čase t M C f K M M C t t t t t soustava N algebrackých rovc 3DY0 Dyamka stavebích kostrukcí

12 IV. MKP vyuceé kmtáí 3. Přímá tegrace pohybových rovc 3. Metoda cetrálích dferecí pro dagoálí matce M a C (C=0 ebo C=αM) se soustava rozpadá a ezávslé rovce výhoda délka tegračího kroku. metoda je podmíěě stablí délka tegračího kroku je omezea ejkratší perodou M (závsí a rozměru ejtužšího prvku) t M. v modálí aalýze délka je též závslá a perodě J ejvyššího uvažovaého vl.tvaru t J 0 3. je uté správě apromovat zatížeí, apř. akcelerogramy jsou obvykle udáváy pro časový krok 0.0 s. 3DY0 Dyamka stavebích kostrukcí

13 IV. MKP vyuceé kmtáí 3 3. Přímá tegrace pohybových rovc 3. Newmarkova metoda mplctí metoda t 0.5 t t t t apromace posuutí a rychlost M C K f pohybová rovce v čase t t M t C t K f C t K t 0.5 t soustava N algebrackých rovc délka tegračího kroku metoda je stablí pro vhodou volbu parametrů γ = / a β = /4 (metoda průměrého zrychleí) délka tegračího kroku je však omezea M t ejkratší perodou M zatížeí 0 3DY0 Dyamka stavebích kostrukcí

14 IV. MKP vyuceé kmtáí 4 3. Přímá tegrace pohybových rovc 3.3 Wlsoova metoda mplctí metoda délka tegračího kroku t t t metoda je epodmíěě stablí pro,37 t t 6 t apromace posuutí a rychlost M C K f pohybová rovce v čase tt soustava N algebrackých rovc metoda zavádí tzv. umercký útlum - v případě etlumeého kmtáí se v čase výchylky sžují - potlačuje se (ežádoucí) vlv vysokých vlastích tvarů a frekvecí a odezvu systému 3DY0 Dyamka stavebích kostrukcí

15 IV. MKP vyuceé kmtáí 5 3. Přímá tegrace pohybových rovc 3.4 Stablta a chyby umercké tegrace J t more accurate tha ( t 0.55 J ) J t 3DY0 Dyamka stavebích kostrukcí

16 IV. MKP vyuceé kmtáí 6 3. Přímá tegrace pohybových rovc 3.4 Stablta a chyby umercké tegrace volé kmtáí: 0 (0) ad (0) 0 ( ) cos mu ku u u u t t ( t 0. ) Chyby: sžováí ampltudy (AD) prodlužováí perody (PE) PE 3DY0 Dyamka stavebích kostrukcí

17 IV. MKP vyuceé kmtáí 7 3. Přímá tegrace pohybových rovc 3.5 Příklad metoda cetrálích dferecí 7 E 3.43*0 kn / m, I 3 bh 0.3* * m m a g ( t) / g k m 3.0m m /0. 30m 3.0m k 3.0m sec 7 EI *3.43*0 *6.75*0 k * * 3 4 L 3. m 60kN sec / m k k K k k 0.58sec 0.sec kN / m m M m DY0 Dyamka stavebích kostrukcí

18 IV. MKP vyuceé kmtáí 3DY0 Dyamka stavebích kostrukcí Příklad metoda cetrálích dferecí Eplctí metoda tegrace etlumeé kmtáí * (,)* (,)* (,) * (,)* (,)* (,) (,) (,) (,) (,) (,) 0 0 (,) K K f M t K K f M t K K K K f f M M t K f M t M f K M M t t t

19 IV. MKP vyuceé kmtáí 3DY0 Dyamka stavebích kostrukcí 9 sezmcké zatížeí zrychleí v základové spáře ) a(t * (,)* (,)* (,)* (,) * (,)* (,)* (,)* (,) K K a M M t K K a M M t * 3780* 8640* 60* 60 * 8640* 8640* 60* 60 a t a t pro daou úlohu ezámé 3.5 Příklad metoda cetrálích dferecí

20 IV. MKP vyuceé kmtáí 3.5 Příklad metoda cetrálích dferecí t 0.0sec 0 3DY0 Dyamka stavebích kostrukcí

21 IV. MKP vyuceé kmtáí 3.5 Příklad metoda cetrálích dferecí t 0.05sec 3DY0 Dyamka stavebích kostrukcí

22 IV. MKP vyuceé kmtáí 3.5 Příklad metoda cetrálích dferecí m 0. t 0.08sec t crt 0.07 esprávé řešeí esprávé řešeí 3DY0 Dyamka stavebích kostrukcí

23 IV. MKP vyuceé kmtáí Příklad metoda cetrálích dferecí t 0.09sec t crt establí řešeí establí řešeí 3DY0 Dyamka stavebích kostrukcí

24 IV. MKP vyuceé kmtáí 4 4. Aalýza ve frekvečí oblast základí dea: ) zatížeí se převede z časové oblast pomocí Fourerovy trasformace do oblast frekvečí ) provede se výpočet odezvy a jedotlvé harmocké složky zatížeí 3) pomocí verzí Fourerovy trasformace se odezva převede z frekvečí oblast do časové oblast p(t) Fourerova trasformace zatížeí p(ω) harmocká odezva u(t) verzí Fourerova trasformace odezvy u(ω) 3DY0 Dyamka stavebích kostrukcí

25 IV. MKP vyuceé kmtáí 5 4. Aalýza ve frekvečí oblast Odezva a harmocké zatížeí ustáleé kmtáí: - přímé řešeí vyjádřeím odezvy pomocí ampltudy a fáze - řešeí rozkladem do vlastích tvarů kmtáí 4. Ustáleé kmtáí přímé řešeí p( t) ps st pc cost K u( t) Cu( t) M u( t) p( t) u( t) u st u cost ( ) K M u Cu p S C S Cu K M u p S ( ) C C k-tá složka vektoru u(t) u S ; u u ( t) u st u cost u s( t ) k Sk Ck k k výhoda: lbovolá matce útlumu C S C soustava N algebrackých rovc (N = počet st. volost) u u u k Sk Ck k arcta u u Ck Sk 3DY0 Dyamka stavebích kostrukcí

26 IV. MKP vyuceé kmtáí 6 4. Aalýza ve frekvečí oblast 4. Ustáleé kmtáí rozklad do vlastích tvarů Pro ormovaé vlastí tvary a klascký útlum platí: K u( t) Cu( t) M u( t) p( t) q ( t) q ( t) q ( t) p( t) q q S C S q q S C C q t q t q t q t ( ) s cos s S C výhoda: obvykle P N p p u( t) q ( t) q N p( t) p st p cost S q ( t) q st q cost S S C ; q C C N soustav algebrackých rovc pro ezámé (N = počet st. volost) q q q S C soustav rovc pro ez. arcta q q C S 3DY0 Dyamka stavebích kostrukcí

27 IV. MKP vyuceé kmtáí 7 5. Příklady 5. Odezva základu turbosoustrojí a harmocké zatížeí rezoačí křvka 3DY0 Dyamka stavebích kostrukcí

28 IV. MKP vyuceé kmtáí 8 5. Příklady 5. Zavěšeý most áhlé přerušeí závěsu statcká hodota časový průběh ohybového mometu v bodě A 3DY0 Dyamka stavebích kostrukcí