Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...
|
|
- Naděžda Marcela Pešková
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Obsah 1 Mocié řady Defiice a vlastosti mociých řad Rozvoj fukce do mocié řady Aplikace mociých řad
2 Kapitola 1 Mocié řady 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad Defiice Necht (a + je reálá resp. komplexí posloupost a echt a je reálé resp. komplexí číslo. Pak řadu + a (x a azýváme mociou řadou se středem v bodě a. Možiu všech reálých resp. komplexích čísel x, pro která mociá řada koverguje, azýváme obor kovergece mocié řady, s(x pak ozačuje součet mocié řady pro x z oboru kovergece. Poslouposti (a + a bodu a přiřazujeme fukci s(x. Je-li s a (x = + a (x a a s 0 (x = + a x, pak s a (x = s 0 (x a. Stačí tedy studovat vlastosti mociých řad se středem v bodě 0. Uved me si ěkolik příkladů reálých mociých řad. (1 + + x = 1 1 x ( 1 + +! = s(x, obor kovergece je ( 1, 1. 1 x = e x = s(x, obor kovergece je R.! (! + +! x koverguje pouze pro x = 0. Věta Pro každou mociou řadu + a (x a existuje ρ R, ρ 0 takové, že i pokud x a < ρ, pak + a (x a koverguje absolutě; ii pokud x a > ρ, pak + a (x a diverguje. Důkaz. Stačí ověřit platost dvou tvrzeí: 1. když je posloupost ( a (x 0 a omezeá, pak pro každé x takové, že x a < x 0 a, řada + a (x a koverguje absolutě,. když je posloupost ( a (x 0 a eomezeá, pak pro každé x takové, že x a x 0 a, řada + a (x a diverguje, 1
3 a pak položit { ρ = sup x 0 a ; posloupost ( a (x 0 a } je omezeá. Předpokládejme, že v ějakém bodě x 0 je posloupost ( a (x 0 a omezeá. Tedy existuje K > 0 takové, že a (x 0 a K pro každé N. Pak pro x a < x 0 a dostaeme ( x a ( x a a (x a = a x a = a x 0 a K. x 0 a x 0 a Posloupost a pravé straě je geometrická s kladým kvocietem < 1, proto podle srovávacího kritéria řada + a (x a koverguje. Druhé tvrzeí je zřejmé, protože eomezeost ( a (x 0 a implikuje eomezeost ( a (x a pro x a x 0 a a eí tedy splěa ai utá podmíka kovergece řady. Defiice řady. Číslo ρ z předchozí věty azýváme poloměr kovergece mocié Věta Poloměr kovergece mocié řady + a (x a je rove ρ = 1 lim sup a, přičemž klademe ρ = 0, když limes superior je +, a ρ = +, když limes superior je 0. Důkaz. Z důkazu předchozí věty víme, že ρ = sup M, kde M = { y : (a y je omezeá}. Popíšeme prvky možiy M. Zřejmě 0 M. Uvažujme proto y 0. Pro eulové y platí lim sup a y = y lim sup a. Když lim sup a y > 1, pak existuje ε > 0, že pro ekoečě moho idexů je a y > (1 + ε, a tedy posloupost (a y eí omezeá. Máme tedy implikaci y lim sup a > 1 = y / M. Když lim sup a y < 1, pak od jistého idexu počíaje je a y < 1, a tedy posloupost (a y je omezeá. Platí tedy y lim sup a < 1 = y M.
4 Z těchto dvou implikací sado už odvodíme: jestliže lim sup a = +, pak M = {0} a ρ = sup M = 0, jestliže lim sup a = 0, pak M = 0, + a ρ = sup M = +, jestliže lim sup a = L (0 +, V obou případech je ρ = 1/L. pak M = 0, 1/L ebo M = 0, 1/L. Pozámka. Z Cauchyova vzorce (viz Matematická aalýza I plye, že když existuje lim a a +1, pak je tato limita rova ρ. x. Poloměr ko- Příklad Zkoumejme obor kovergece komplexí řady + =1 vergece je 1 ρ = lim sup 1 = 1 Pro x z vitřku kruhu se středem 0 a poloměrem 1 řada koverguje absolutě, vě kruhu řada diverguje. Zbývá proto určit, co se děje a kružici. Každé x z jedotkové kružice má tvar x = cos φ + i si φ, φ 0, π. Proto =1 x = + =1 cos(φ + i =1 si(φ Z Dirichletova kritéria víme, že pro φ 0 obě řady kovergují. V bodě x = 1, tj. pro φ = 0 řada diverguje. Obor kovergece zkoumaé mocié řady je kruh se středem v bodě 0 a jedotkovým poloměrem včetě hraičí kružice vyjma bodu 1. Pozámka. Protože lim = 1, dostaeme ihed tvrzeí, že mocié řady a (x a, a (x a, =1 a (x a a =1 a (x a mají stejý poloměr kovergece. Obory kovergece mohou však být růzé. Dokladem toho jsou apř. řady + =1 x a + x. Věta Necht + a (x a je reálá mociá řada s kladým poloměrem kovergece ρ. Ozačme její součet s(x. Pak pro každé x (a ρ, a + ρ platí s (x = =1 a (x a 1. 3
5 Důkaz. Zvolme pevě bod x 0 (a ρ, a + ρ a kladé ρ 1 R, ρ 1 < ρ tak, aby platilo x 0 (a ρ 1, a+ρ 1. Podle předchozí pozámky řada + = a ρ1 koverguje. Ozačme její součet K. Pak pro libovolé x (a ρ 1, a + ρ 1 platí s(x s(x 0 = Proto s(x s(x 0 x x 0 = 1 a = =1 =1 a ( (x a (x 0 a = (x x 0 a (x 0 a 1 = 1 a = 1 a =1 (x a k (x 0 a 1 k. ( (x a k (x 0 a 1 k (x 0 a 1 ( (x 0 a 1 k (x a k (x 0 a k k=1 }{{} (x x 0 k 1 i=0 (x ai (x 0 a k 1 i < x x 0 Z věty o limitě sevřeé fukce dostaeme po limitím přechodu x x 0, že = s(x s(x 0 lim = a (x 0 a 1. x x 0 x x 0 =1 a ρ 1 K x x 0. Vlastost, kterou jsme ted dokázali, lze shrout heslem Mociou řadu lze uvitř oboru kovergece derivovat čle po čleu a formálě zapsat ( + + ( a (x a = a (x a. Protože derivováím se eměí poloměr kovergece, lze mociou řadu s kladým poloměrem kovergece derivovat ekoečěkrát, přičemž s (k (x = =k ( 1(... ( k + 1a (x a k. Speciálě s (k (a = k!a k. Věta Necht + a (x a je mociá řada s kladým poloměrem kovergece. Ozačme s(x její součet. Pak pro každé N {0} platí a = s( (a!. Pozámky. Uved me dva důsledky předchozí věty. 4
6 1. Dvě růzé mocié řady + a (x a a + b (x a s kladým poloměrem kovergece emohou mít stejý součet.. Polyom a k(x a k je -tým Taylorovým polyomem fukce + a (x a za předpokladu, že tato mociá řada má poloměr kovergece ρ > Rozvoj fukce do mocié řady Vyjádřeí reálé fukce reálé proměé jako řady f(x = a (x a pro každé x J azýváme rozvojem fukce do mocié řady se středem v bodě a D f, kde iterval J je takový, že a J o a J D f. Jako J uvažujeme zpravidla ejvětší iterval s touto vlastostí. Z předchozí věty víme, že utou podmíkou pro alezeí rozvoje fukce do mocié řady se středem v bodě a je existece f ( (a pro každé N a že jediým kadidátem pro rozvoj fukce je mociá řada f ( (a (x a.! Tuto řadu azýváme Taylorovou řadou fukce f. Z Taylorova vzorce f(x = f (k (a (x a k + R (x k! defiujícího zbytek R (x plye, že f(x = f ( (a (x a lim! R (x = 0. + Ověřováí podmíky lim R (x = 0 ebylo vždy jedoduché. Pomáhal ám k tomu Lagrageův a Cauchyův tvar zbytku. Možost derivováí mocié řady ám umoží získat saději vyjádřeí fukce f pomocí mocié řady. Příklad v bodě 0. Protože Nalezěme rozvoj fukce f(x = arctg x do mocié řady se středem f (x = ( arctg x + 1 = x + 1 = ( 1 x pro každé x ( 1, 1, 5
7 dostaeme ( arctg x = ( + ( 1 x +1 pro každé x ( 1, Když dvě fukce mají stejou derivaci a itervalu, pak se tyto fukce liší aejvýš o kostatu. Existuje proto kostata c taková, že arctg x = ( 1 x c pro každé x ( 1, 1. Když dosadíme do pravé a levé stray rovosti x = 0, dostaeme c = 0. Otázkou zůstává, jak vypadá maximálí možia těch x, pro které platí rovost mezi mociou řadou a fukcí arctg x. Protože poloměr kovergece mocié řady se derivováím eměí, je zřejmé, že pro x v absolutí hodotě větší ež 1 emůže rovost platit. Zbývá tedy diskutovat body x = 1 a x = 1, ve kterých řada koverguje. Odpověd ám poskyte ásledující věta. Věta 1... (Abelova Reálá mociá řada je spojitá v celém svém oboru kovergece. Důkaz. Uvažujme reálou mociou řadu s(x = + a (x a. Je-li ρ = 0, eí co dokazovat. Proto uvažujme ρ > 0. Pro x takové, že x a < ρ, existuje koečá derivace s (x, a tedy je fukce s spojitá v x. Zbývá tedy diskutovat případ ρ (0, + a ukázat a podobě a ρ koverguje lim a x = a ρ x ρ a ( ρ koverguje lim a x = a ( ρ. x ρ + Dokážeme pouze prví z těchto implikací, druhá se dokazuje obdobě. Zvolme libovolé kladé ε. Jelikož platí R a ρ = lim + ( 0 +p a k ρ k ( ε > 0( 0 ( p N alezeme k ε příslušé 0. Budeme odhadovat výraz a x a ρ 0 = (a x a ρ + = 0 +1 a ρ < ε (( x a ρ 1. ρ = 0 +1 }{{} H 6
8 Protože polyom 0 a x je fukce spojitá v každém bodě, a tedy i v bodě ρ, platí ( ( ε > 0( δ > 0( x R x ρ < δ 0 a (x ρ < ε. Abychom odhadli hodotu H, uvažujeme libovolé p N a použijeme Abelovu sumaci 0 +p = 0 +1 b c = B 0 +pc 0 +p + 0 +p 1 = 0 +1 B (c c +1, kde B = k= 0 +1 ( x b k, b = a ρ, a c = 1. ρ O výrazu B pro > 0 víme, že B = k= 0 +1 a kρ k < ε. Protože ás zajímá limita x ρ, uvažujeme x < ρ. Pro taková x je posloupost (c klesající a c < 1. Dostaeme 0 +p = 0 +1 a ρ (( x ρ 1 B0 +p. c 0 +p + 0 +p 1 = 0 +1 B (c c +1 < 0 +p 1 ε + ε (c c +1 = ε + ε(c 0 +1 c 0 +p < 3ε. = 0 +1 Posledí odhad platí pro každé p N, proto i H 3ε. Celkově máme ( + ( ε > 0( δ > 0( x R, ρ δ < x < ρ a x a ρ < 4ε. To už zameá jak jsme chtěli dokázat. lim a x = a ρ, x ρ Pokračováí příkladu 1..1 Nyí můžeme dokočit rozvoj fukce arctg x do mocié řady. Už víme, že arctg x = ( 1 x pro x ( 1, 1. Jelikož řada apravo koverguje pro x = ±1 a fukce arctg x je spojitá v bodech 1 a 1, 7
9 dostaeme z Abelovy věty arctg (1 = ( a arctg ( 1 = ( Tedy a závěr arctg x = ( 1 x pro x 1, 1. Příklad Stejým způsobem odvodíme rozklad fukce l(1 + x do mocié řady. Využijeme toho, že Proto platí ( + 1 l(1 + x = 1 + x = ( 1 x pro každé x ( 1, 1. l(1 + x = c + ( 1 x pro x ( 1, 1. Po dosazeí x = 0 dostaeme c = 0. Jelikož řada koverguje i pro x = 1 a fukce l(1+x je spojitá v bodě x = 1, lze platost rozvoje rozšířit a iterval J = ( 1, 1. V kapitole Taylorův vzorec jsme odvodili, že (1 + x α = ( α x pro x ( 1, 1. K tomu jsme použili Cauchyův tvar zbytku a techicky áročé odhady. Ted ukážeme, jak lze stejý výsledek elegatě získat pomocí metody eurčitých koeficietů. Příklad Chceme rozviout fukci f(x = (1 + x α do mocié řady. Protože f (x = α(1 + x α 1, platí (1 + xf (x = αf(x a f(0 = 1. Hledejme proto mociou řadu s(x = + a x s kladým poloměrem kovergece ρ takovou, aby platilo s(0 = 1 a (1 + xs (x = αs(x a 0 = 1 a (1 + x =1 a x 1 = α a x. To implikuje a 1 + (( + 1a +1 + a x = αa 0 + =1 =1 α a x. 8
10 Jelikož dvě mocié řady mají stejý součet pouze v případě, že všechy jejich koeficiety jsou stejé, dostaeme a 1 = αa 0 = α a ( + 1a +1 + a = αa pro každé N, tj. a +1 = α + 1 a. Tedy a = α + 1. α + 1. α α 1. α 1 =: ( α pro každé N {0}. Řada s(x = + ( α x má poloměr kovergece 1, protože lim a a +1 vysvětlit, proč se s(x = (1 + x α. Derivujme pro x ( 1, 1 = 1. Zbývá ( s(x (1 + x α = s (x(1 + x α s(xα(1 + x α 1 (1 + x α. Mociou řadu jsme kostruovali tak, aby čitatel zlomku byl ideticky rove ule. Tedy s(x = kostata pro x ( 1, 1. (1 + x α Jelikož jsme a 0 volili tak, aby avíc s(0 = 1 = 1 α, je kostata rova 1. Proto s(x = ( α x = (1 + x α pro x ( 1, 1 a libovolé α R. Zbývá tedy určit maximálí možiu těch x, pro která předchozí vztah platí. Možia těchto x bude záviset a α. Pro α N {0} je fukce (1 + x α polyomem. I řada + ( α x má pouze koečý počet eulových čleů. Rovají-li se dva polyomy v ekoečě moha hodotách, rovají se pak pro každé x R. Proto I. α N {0} : (1 + x α = ( α x = α ( α x pro x R. Pro α / N {0} je ( α 0 a o kovergeci řad + ( α ( 1 a + ( α lze rozhodout pomocí Gaussova resp. modifikovaého Gaussova kritéria. Protože dostaeme ( α = 1 α, ( α 1 II. α > 1, α / N : (1 + x α = ( α x pro x 1, 1, 9
11 III. α (0, 1 : (1 + x α = IV. α < 0 : (1 + x α = ( α x pro x ( 1, 1, ( α x pro x ( 1, Aplikace mociých řad 1 Sčítáí ekoečých sum Určeme ekoečý součet s = 1 3 ( + 1 Odmociovým kritériem sado zjistíme, že se jedá o kovergetí řadu. Defiujme Protože f (x = f(x := x x = 1 1 x = 1 (1 + x + 1 (1 x = 1 (, l(1 + x l(1 x dostaeme f(x = 1 ( l(1 + x l(1 x. Součet s vyjádříme sado pomocí hodoty fukce s = ( 1 3 f 3 = l Sčítáí koečých sum Abychom sečetli (, k uvažujeme souči dvou mociých řad a zobecěý biomický vzorec ( α x. ( β x = (1 + x α (1 + x β = (1 + x α+β = ( α + β x. 10
12 Pomocí součiové řady dostaeme ( α x. ( β x = x ( ( α β k k Tedy platí ( ( α β = k k ( α + β pro každé N, α, β R Zvolíme-li = α = β, dostaeme ( = k ( ( = k k ( pro každé N. 3 Řešeí rekuretích vztahů Chceme ajít ezámou posloupost (d N vyhovující rekuretímu vztahu 1 1 d 1 = 1 a d = d k d k pro. Defiujme fukci f(x := k=1 =1 d x. Vyásobeím rekuretího vztahu hodotou x a sumací přes =, 3, 4,... dostaeme d x = 1 x = = k=1 d k d k. Pravá straa představuje součiovou řadu. Proto můžeme psát f(x x = f(x.f(x Řešeím této kvadratické rovice pro ezámou f(x je f 1, (x = 1 ± 1 4x 1 Teto rekuretí vztah vzike z úlohy určit počet všech možých uzávorkováí součiu čísel a 1.a... a. Počet uzávorkováí je ozačem d. Např. d 4 = 5, protože čtyři čísla lze uzávorkovat pěti způsoby: a 1. ( a.(a 3.a 4, a 1. ( ( ( (a.a 3.a 4, (a1.a.a 3.a4, a1.(a.a 3.a 4, (a 1.a.(a 3.a 4 11
13 Jelikož z defice fukce f plye, že f(0 = 0, vyhovuje ám řešeí f(x = 1 1 4x = 1 1 ( 1/ ( 4x = 1 =1 ( 1/ ( 4 x. Rozvoj fukce do mocié řady je jedozačý, proto porováím koeficietů u stejých moci dostaeme po malé úpravě d = 1 ( 1/ ( 4 = Čísla (d se azývají Catalaova čísla. 1 (. 1 Belgiča E. Ch. Catala ( zkoumal, kolika způsoby lze pomocí eprotíajících se uhlopříček rozdělit pravidelý -úhleík a trojúhelíky. Řešeím je právě číslo d 1. 1
je číselná posloupnost. Pro všechna n položme s n = ak. Posloupnost
Číselé řady Defiice (Posloupost částečých součtů číselé řady). Nechť (a ) =1 je číselá posloupost. Pro všecha položme s = ak. Posloupost ( s ) azýváme posloupost částečých součtů řady. Defiice (Součet
Více6. Posloupnosti a jejich limity, řady
Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme
Vícen=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0
Nekoečé řady, geometrická řada, součet ekoečé řady Defiice Výraz a 0 a a a, kde {a i } i0 je libovolá posloupost reálých čísel, azveme ekoečou řadou Číslo se azývá -tý částečý součet Defiice Nekoečá řada
VícePřednáška 7, 14. listopadu 2014
Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.
Vícen=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1
[M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti
VíceBudeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)
Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a
Více(3n + 1) 3n Příklady pro samostatnou práci
... 4. 5. 6. 0 0 0 a q koverguje pro q < geometrická řada diverguje harmoická řada koverguje srovejte s teleskopickou řadou + + utá podmíka kovergece + 4 + + 7 ití srovávací kritérium, srováí s ití podílové
VíceŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil
ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická
VíceZnegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace:
. cvičeí Příklady a matematickou idukci Dokažte:.! . Návody:. + +. + i i i i + + 4. + + + + + + + + Operace s možiami.
Vícea logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n.
Matematická aalýza II předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Semestr letí 2005 6. Nekoečé řady fukcí V šesté kapitole pokračujeme ve studiu ekoečých řad. Nejprve odvozujeme základí tvrzeí o
VíceZS 2018/19 Po 10:40 T5
Cvičeí - Matematická aalýza ZS 08/9 Po 0:40 T5 Cvičeí 008 Řešte erovice v R: 8, log 3 ( 3+3 0 Částečý součet geometrické řady: pro každé q C, q, a N platí 3 Důsledek: +q +q + +q = q+ q si+si+ +si = si
VíceKomplexní čísla. Definice komplexních čísel
Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují
Více3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie
3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se
Víceje konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n
8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Pedagogická pozámka: Tuto a tři ásledující hodiy je možé probrat za dvě vyučovací hodiy. V této hodiě je možé vyechat dokazováí limit v příkladu 3. Opakováí
VíceMatematická analýza I
1 Matematická aalýza ity posloupostí, součty ekoečých řad, ity fukce, derivace Matematická aalýza I látka z I. semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia a další 2 Matematická
Více5. Posloupnosti a řady
Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru
Víceje konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n
8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Opakováí z miulé hodiy: 8 Hodoty poslouposti + se pro blížící se k ekoeču blíží k a to tak že mezi = posloupostí a číslem eexistuje žádá mezera říkáme že
Více11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy.
11. předáška 16. prosice 009 Úvod do komplexí aalýzy. Tři závěrečé předášky předmětu Matematická aalýza III (NMAI056) jsou věováy úvodu do komplexí aalýzy. Což je adeseá formulace eboť časový rozsah ám
VíceDefinice obecné mocniny
Defiice obecé mociy Zavedeí obecé mociy omocí ity číselé oslouosti lze rovést ěkolika zůsoby Níže uvedeý zůsob využívá k defiici eoeciálí fukce itu V dalším budeme otřebovat ásledující dvě erovosti: Lemma
Více1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie
1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho
VíceMatematika I, část II
1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího
VíceAbstrakt. Co jsou to komplexní čísla? K čemu se používají? Dá se s nimi dělat
Komplexí čísla Hoza Krejčí Abstrakt. Co jsou to komplexí čísla? K čemu se používají? Dá se s imi dělat ěco cool? Na tyto a další otázky se a předášce/v příspěvku pokusíme odpovědět. Proč vzikla komplexí
VíceI. TAYLORŮV POLYNOM ( 1
I. TAYLORŮV POLYNOM Připomeňme si defiice elemetárích fukcí: a si( = 2+ = ( (2+! b cos( = 2 = ( (2! c e = =!. Dokažte, že Taylorův polyom k-tého řádu v bodě pro fukce f je rove polyomu P : (tyto výsledky
VíceMocninné řady - sbírka příkladů
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Mocié řady - sbírka příkladů Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Iveta Bebčáková, Ph.D.
VíceMasarykova univerzita Přírodovědecká fakulta
Masarykova uiverzita Přírodovědecká fakulta Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák NEKONEČNÉ ŘADY Bro 00 c Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák, Masarykova uiverzita, Bro, 998, 00 ISBN 80-0-949- 3 Kapitola 3 Řady absolutě
VíceP. Girg. 23. listopadu 2012
Řešeé úlohy z MS - díl prví P. Girg 2. listopadu 202 Výpočet ity poslouposti reálých čísel Věta. O algebře it kovergetích posloupostí.) Necht {a } a {b } jsou kovergetí poslouposti reálých čísel a echt
VícePosloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b
Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a
Více1 Základní pojmy a vlastnosti
Základí pojmy a vlastosti DEFINICE (Trigoometrický polyom a řada). Fukce k = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrický polyom. Řada = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrická řada. TVRZENÍ (Ortogoalita).
VícePetr Šedivý Šedivá matematika
LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími
Více11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel
KAPITOLA : Číselé řdy MA-8:P.] Ozčeí: R {, +} R R C {} C rozšířeá komplexí rovi evlstí hodot, číslo, bod U ε {x C x < ε } pro C, ε > 0 U K {x C x > K } pro K 0 defiujeme pro C: ±, je pro 0, edefiujeme:
VíceMATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce
MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost
Více1 Nekonečné řady s nezápornými členy
Nekoečé řady s ezáporými čley Příklad.. Rozhoděte o kovergeci ásledující řady Řešeí. Pro každé N platí Řada tg. tg. diverguje, a proto podle srovávacího kritéria diverguje také řada tg. Příklad.. Určete
VíceNMAF061, ZS Zápočtová písemná práce skupina A 16. listopad dx
NMAF06, ZS 07 08 Zápočtová písemá práce skupia A 6. listopad 07 Jedotlivé kroky při výpočtech stručě, ale co ejpřesěji odůvoděte. Pokud používáte ějaké tvrzeí, ezapomeňte ověřit splěí předpokladů. Jméo
VíceI. TAYLORŮV POLYNOM. Taylorovy řady některých funkcí: Pro x R platí: sin(x) =
Taylorovy řady ěkterých fukcí: I. TAYLORŮV POLYNOM Pro R platí: si) = 2+ = ), cos) = 2 2+)! = ), 2)! e = =.! Pro, : log + ) = = ) Pro, ) a a R: + ) a = a ) =, kde ) a = a a ) a 2) a +).!. Nalezěte Taylorův
VíceSTEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ
STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Ztím ebylo v těchto textech věováo příliš pozorosti kovergeci fukcí, t jko limit poslouposti ebo součet řdy. Jik byl kovergece poslouposti fukcí ebo řdy brá jko bodová kovergece.
Vícec) Pomocí Liouvillovy věty dokažte, že Liouvillovo číslo je transcendentí. xp 1 (p 1)! (x 1)p (x 2) p... (x d) p e x t f(t) d t = F (0)e x F (x),
a) Vyslovte a dokažte Liouvillovu větu o šaté aroximovatelosti algebraického čísla řádu d b) Defiujte Liouvillovo číslo c) Pomocí Liouvillovy věty dokažte, že Liouvillovo číslo je trascedetí 2 a) Defiujte
VíceDERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM
Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře
VíceKapitola 5 - Matice (nad tělesem)
Kapitola 5 - Matice (ad tělesem) 5.. Defiice matice 5... DEFINICE Nechť T je těleso, m, N. Maticí typu m, ad tělesem T rozumíme zobrazeí možiy {, 2,, m} {, 2,, } do T. 5..2. OZNAČENÍ Možiu všech matic
VíceUžitečné zdroje příkladů jsou: Materiály ke cvičením z Kalkulu 3 od Kristýny Kuncové:
Užitečé zdroje příkladů jsou: Materiály ke cvičeím z Kalkulu 3 od Kristýy Kucové: http://www.karli.mff.cui.cz/~kucova/historie8. php K posloupostem řad a fukcí Ilja Čerý: Iteligetí kalkulus. Olie zde:
VíceMatematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti
Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 2012 / 13 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti
Vícejako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých
9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie
VíceKapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a
Kpitol Nekoečé číselé řdy Defiice. Nechť { } je posloupost reálých čísel. Symbol ebo + 2 + 3 +... zýváme ekoečou číselou řdou. s = i= i = + 2 +... + zveme -tý částečý součet řdy {s } posloupost částečých
Více( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) Derivace elementárních funkcí II. Předpoklady: Př. 1: Urči derivaci funkce y = x ; n N.
.. Derivace elemetárích fukcí II Předpoklady: Př. : Urči derivaci fukce y ; N. Budeme postupovat stejě jako předtím dosazeím do vzorce: f ( + ) f ( ) f f ( + ) + + + +... + (biomická věta) + + +... + f
VícePři sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací
3. Náhodý výběr Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých realizací
Více1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:
1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí
VíceNMAF063 Matematika pro fyziky III Zkoušková písemná práce 17. ledna 2019
Jméo: Příklad 2 3 Celkem bodů Bodů 0 8 2 30 Získáo 0 Uvažujte posloupost distribucí {f } + = D (R defiovaou jako f (x = ( δ x m, kde δ ( x m začí Diracovu distribuci v bodě m Najděte limitu f = lim + f
Více1 Trochu o kritériích dělitelnosti
Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak
VíceI. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem. z k k!. ( ) e z = k=0
8. Elemetárí fukce I. Expoeciálí fukce Defiice: Pro komplexí hodoty z defiujeme expoeciálí fukci předpisem ) e z = z k k!. Vlastosti expoeciálí fukce: a) řada ) koverguje absolutě v C; b) pro z = x + jy
VíceMATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.
MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...
VíceAritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti
8 Aritmetická posloupost, posloupost rostoucí a klesající Poslouposti Posloupost je fukci s defiičím oborem celých kladých čísel - apř.,,,,,... 3 4 5 Jako fukci můžeme také posloupost zobrazit do grafu:
VíceKapitola 4 Euklidovské prostory
Kapitola 4 Euklidovské prostory 4.1. Defiice euklidovského prostoru 4.1.1. DEFINICE Nechť E je vektorový prostor ad tělesem reálých čísel R,, : E 2 R. E se azývá euklidovský prostor, platí-li: (I) Pro
VíceMatematika 1. Ivana Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D Posloupnosti
Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Ivaa Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti
VíceS polynomy jste se seznámili již v Matematice 1. Připomeňme definici polynomické
5 Itegrace racioálích fukcí 5 Itegrace racioálích fukcí Průvodce studiem V předcházejících kapitolách jsme se aučili počítat eurčité itegrály úpravou a základí itegrály, metodou per partes a substitučí
VíceNMAF061, ZS Zápočtová písemná práce VZOR 5. ledna e bx2 x 2 e x2. F (b) =
NAF61, ZS 17 18 Zápočtová písemá práce VZOR 5. leda 18 Jedotlivé kroky při výpočtech stručě, ale co ejpřesěji odůvoděte. Pokud používáte ějaké tvrzeí, ezapomeňte ověřit splěí předpokladů. Jméo a příjmeí:
VíceSpojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné
Spojitost a limita fukcí jedé reálé proměé Pozámka Vyšetřeí spojitosti fukce je možo podle defiice převést a výpočet limity V dalším se proto soustředíme je problém výpočtu limit Pozámka Limitu fukce v
VíceO Jensenově nerovnosti
O Jeseově erovosti Petr Vodstrčil petr.vodstrcil@vsb.cz Katedra aplikovaé matematiky, Fakulta elektrotechiky a iformatiky, Vysoká škola báňská Techická uiverzita Ostrava Ostrava, 28.1. 2019 (ŠKOMAM 2019)
VíceSprávnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13).
37 Metrické vlastosti lieárích útvarů v E 3 Výklad Mějme v E 3 přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým vektorem v Zvolme libovolý bod M a veďme jím přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým
VíceFUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL
Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - 6. - PRVNÍ DIFERENCIÁL TAYLORŮV ROZVOJ FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL PŘÍKLAD Pomocí věty o prvím difereciálu ukažte že platí přibližá rovost
VíceZimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015
Cvičeí k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikovaé matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičeí Zimí semestr akademického roku 2015/2016 20. listopadu 2015 Předmluva
Více12. N á h o d n ý v ý b ě r
12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých
VíceFunkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou
Fukce RNDr. Yvetta Bartáková Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Limita poslouposti a fukce VY INOVACE_0 9_M Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou A) Limita poslouposti Říkáme, že posloupost a je kovergetí,
Více3. ELEMENTÁRNÍ FUNKCE A POSLOUPNOSTI. 3.1 Základní elementární funkce. Nejprve uvedeme základní elementární funkce: KONSTANTNÍ FUNKCE
ELEMENTÁRNÍ FUNKCE A POSLOUPNOSTI Základí elemetárí fukce Nejprve uvedeme základí elemetárí fukce: KONSTANTNÍ FUNKCE Nechť a je reálé číslo Potom kostatí fukcí rozumíme fukce f defiovaou předpisem ( f
Vícef x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( )
DSM Cv 9 Vytvořující fukce Vytvořující fukcí ekoečé poslouposti a0, a,, a, reálých čísel mííme formálí ekoečou řadu =. f a i= 0 i i Příklady: f = + = + + + + + ) Platí: (biomická věta). To zameá, že fukce
VíceČíselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1
Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet
Více6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte:
6.2. ČÍSELNÉ ŘADY V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme číselou řdu; defiici kovergece řdy jejího součtu; jk vypdá ritmetická, geometrická hrmoická řd jk je to s jejich kovergecí; jk zí utá podmík kovergece
Více1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V
Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být
VíceDIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ. 1) Pojem funkce, graf funkce
DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem ukce, gra ukce De: Fukcí reálé proměé azýváme pravidlo, které každému reálému číslu D přiřazuje právě jedo reálé číslo y H Toto pravidlo začíme ejčastěji
Více6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.1. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI
6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme posloupost reálých ebo komplexích čísel; defiici vlstí evlstí limity poslouposti; defiici pojmů souvisejících
Vícen 3 lim 3 1 = lim Je vidět, že posloupnost je neklesající, tedy z Leibnize řada konverguje, ( 1) k 1 k=1
3. cvičeí Přílady. (a) (b) (c) ( ) ( 3 ) = Otestujeme itu 3 = 3 = = 0. Je vidět, že posloupost je elesající, tedy z Leibize řada overguje, ( ) Řada overguje podle Leibizova ritéria, ebot je zjevě erostoucí.
Víceprocesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze
limití Náhodé limití Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Uiverzita Karlova v Praze email: praskova@karli.mff.cui.cz 9.4.-22.4. 200 limití Outlie limití limití efiice: Řekeme, že stacioárí
Více5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu
5 3.3.8 8:44 Josef Herdla lieárí difereciálí rovice -tého řádu 5. Lieárí difereciálí rovice -tého řádu (rovice s ostatími oeficiety) ( ), a,, a (5.) ( ) ( ) y a y a y ay q L[ y] y a y a y a y, q je spojitá
Více= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f
D E R I V A C E F U N KCE Deiice. (derivace Buď ukce,!. Eistuje-li limitu derivací ukce v bodě a začíme ji (. lim ( + lim Deiice. (teča a ormála Přímku o rovici y ( v bodě, přímku o rovici y ( (, kde (
VícePOLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde
POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti
VíceCvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N?
1 Prví prosemiář Cvičeí 1.1. Dokažte Beroulliovu erovost (1 + x) 1 + x, N, x. Platí tato erovost obecě pro všecha x R a N? Řešeí: (a) Pokud předpokládáme x 1, pak lze řešit klasickou idukcí. Pro = 1 tvrzeí
VíceNMAF063 Matematika pro fyziky III Zkoušková písemná práce 25. ledna x 1 n
Jméo: Příklad 3 Celkem bodů Bodů 8 0 30 Získáo [8 Uvažujte posloupost distribucí f } D R defiovaou jako f [δ kde δ a začí Diracovu distribuci v bodě a Najděte itu δ 0 + δ + této poslouposti aeb spočtěte
Vícen-rozměrné normální rozdělení pravděpodobnosti
-rozměré ormálí rozděleí pravděpodobosti. Ortogoálí a pozitivě defiití symetrické matice. Reálá čtvercová matice =Ha i j L řádu se azývá ortogoálí, je-li regulárí a iverzí matice - je rova traspoovaé matici
Více1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE
1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;
Více8.2.1 Aritmetická posloupnost I
8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu
Více1 Základní matematické pojmy Logika Množiny a jejich zobrazení... 7
Semiář z matematické aalýzy I Čížek Jiří-Kubr Mila 8 září 007 Obsah Základí matematické pojmy Logika Možiy a jejich zobrazeí 7 Reálá a komplexí čísla 6 Poslouposti 7 Základí vlastosti posloupostí 7 Limita
VíceMatematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice
Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké
VíceNekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a }
Nekoečé řdy. Nekoečé číselé řdy.. Defiice ) Ozčme { } { } = L L ekoečou posloupost reálých čísel.,,,,, Nekoečá číselá řd je součet tvru = + + + L+ + L. Jedotlivá čísl,,, L,, L se zývjí čley řdy, čle obvykle
Více1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy
1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá
VíceKomplexní čísla, komplexně sdružená čísla, opačná komplexní čísla, absolutní hodnota (modul) komplexního čísla. z 2 z 1
Komplexí čísla, komplexě sdružeá čísla, opačá komplexí čísla, absolutí hodota (modul) komplexího čísla Defiice komplexího čísla Komplexí číslo je uspořádaá dvojice reálých čísel = (, ) (, ). je reálá,
Více8.2.1 Aritmetická posloupnost
8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž
Více6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI
6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat
VíceWikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 1. října 2019
Matematika II - Sbírka příkladů WikiSkriptum Ig. Radek Fučík, Ph.D. verze:. říja 9 Obsah Pokročilé techiky itegrace a zobecěý Riemaův itegrál. Racioálí fukce.................................... Pokročilé
Více5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC
5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak je defováa fukce přrozeá odmoca v kompleím oboru a jaké má vlastost včetě odlšostí od odmocy v reálém
Více1 Základy Z-transformace. pro aplikace v oblasti
Základy Z-trasformace pro aplikace v oblasti číslicového zpracováí sigálů Petr Pollák 9. říja 29 Základy Z-trasformace Teto stručý text slouží k připomeutí základích vlastostí Z-trasformace s jejími aplikacemi
VíceSeznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.
2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se
VíceIterační metody řešení soustav lineárních rovnic
Iteračí metody řešeí soustav lieárích rovic Matice je: diagoálě domiatí právě tehdy, když pozitivě defiití (symetrická matice) právě tehdy, když pro x platí x, Ax a ij Tyto vlastosti budou důležité pro
VíceUžití binomické věty
9..9 Užití biomické věty Předpoklady: 98 Často ám z biomického rozvoje stačí pouze jede kokrétí čle. Př. : x Urči šestý čle biomického rozvoje xy + 4y. Získaý výraz uprav. Biomický rozvoj začíá: ( a +
VíceZkoušková písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3
Katedra matematiky Fakulty jaderé a fyzikálě ižeýrské ČVUT v Praze Příjmeí a jméo 1 2 3 4 5 BONUS CELKEM (13 bodů) Zkoušková písemá práce č. 1 z předmětu 01MAB3 14. leda 2016, 9:00 11:00 Pro kvadratickou
VíceMASARYKOVA UNIVERZITA FAKULTA INFORMATIKY MB202. Diferenciální a integrální počet B
MASARYKOVA UNIVERZITA FAKULTA INFORMATIKY Sbírka příkladů do cvičeí MB0 Difereciálí a itegrálí počet B jaro 08 Mgr. Jakub Juráek Obsah Polyomy, racioálí lomeé fukce, iterpolace Limity a spojitost fukce
Vícek(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln
Číselé řady - řešeé přílady ČÍSELNÉ ŘADY - řešeé přílady A. Součty řad Vzorové přílady:.. Přílad. Určete součet řady + = + 6 + +.... Řešeí: Rozladem -tého čleu řady a parciálí zlomy dostáváme + = + ) =
VíceVlastnosti posloupností
Vlstosti posloupostí Nekoečá posloupost je fukce defiová v oboru přirozeých čísel Z toho plye, že kždá posloupost má prví čle (zčíme ), koečé poslouposti mjí i čle posledí Př Vypište prví čtyři čley poslouposti
VíceŘešení písemné zkoušky z Matematické analýzy 1a ZS ,
Řešeí písemé zkoušky z Matematické aalýzy a ZS008-09,0..009 Příklad : Spočtěte itu poslouposti 75 + 60 ) 75 60 + ) 0 + ) 0 +) 70 ) 70. 5 bodů) Řešeí:Ozačíme a : 75 + 60 75 60,dále b : + ) 0 + ) 0,akoečě
Vícez možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet
6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p
VíceSTUDIUM MAXWELLOVA ZÁKONA ROZDĚLENÍ RYCHLSOTÍ MOLEKUL POMOCÍ DERIVE 6
Středoškolská techika 00 Setkáí a prezetace prací středoškolských studetů a ČVUT STUDIUM MAXWELLOVA ZÁKONA ROZDĚLENÍ RYCHLSOTÍ MOLEKUL POMOCÍ DERIVE 6 Pavel Husa Gymázium Jiřího z Poděbrad Studetská 66/II
VíceMocniny. Mocniny, odmocniny, logaritmy, exponenciála. Obecná mocnina. Mocniny. Odmocniny
Mociy Mociy, odmociy, logaritmy, expoeciála Zdeěk Halas KDM MFF UK 07 Počátky logaritmů Základí idea logaritmů Napierovy logaritmy Přirozeé logaritmy Kvadratura hyperboly Expoeciála Zavedeí expoeciály
Více14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů
4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž
Více