FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL

Transkript

1 Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé PRVNÍ DIFERENCIÁL TAYLORŮV ROZVOJ FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL PŘÍKLAD Pomocí věty o prvím difereciálu ukažte že platí přibližá rovost ( ) + + kde je reálé číslo a je malé reálé číslo. Řešeí Podle věty o prvím difereciálu platí f ( ) f ( a) f ( a)( a) a a. Můžeme proto psát f ( a) f () ( + ) f ( ) ( ) + f ( a) f () ( ) + kde yí je f ( ) ( + ) +. Po dosazeí do obecého vzorce získáme f ( ) f ( a) + f ( a)( a) f () + f ()( ) + ( ) + a můžeme tedy uzavřít tvrzeím že platí ( ) + +. PŘÍKLAD Pomocí věty o prvím difereciálu určete přibližě hodotu. Řešeí Číslu jsou blízké dvě třetí mociy celého čísla: 4 64 a 5 5. Nabízí se tedy možost provést rozklad (resp. 5-5) a použít přibližého vzorce z příkladu : ( ) ( ) ( ) ( ) Získaé výsledky porovejte s hodotou přesou a pět desetiých míst CVIČENÍ K PŘÍKLADŮM A. Pomocí věty o prvím difereciálu ověřte platost všech přibližých vzorců uvedeých v Breviáři v pozámce a str... Pomocí věty o prvím difereciálu určete přibližě hodoty ásledujících výrazů a srovejte je s hodotami získaými výpočtem a kalkulačce. a) 4 b) 5 c) 8 d) o si () e) arctg5 arctg Nezapomeňte argumet fukce si převést a obloukovou míru.

2 Prví difereciál Taylorův rozvoj TAYLORŮV ROZVOJ PŘÍKLAD Nalezěte Taylorův polyom obecého stupě pro fukci f() e a bod a T ( ; e ). Řešeí Podle obecého vzorce platí ( k ) k ( ; ) ( )( ) k T f a f a a. Ke kostrukci Taylorova polyomu stupě pro fukci f a okolí bodu a musíme tedy zát derivace rozvíjeé fukce až do řádu. V ašem případě to zameá že musíme určit () f ( a) f ( a) e f ( ) ( e ) e a ( ) f a e f ( ) ( e ) ( e ) e a f ( a) e ( ) ( ) f ( ) ( e ) e a ( ) f ( a) e. Po dosazeí do obecého vzorce takto získáme k k ( ; ) ( ) + +! + +! k k. T e PŘÍKLAD 4 Pomocí Taylorových polyomů růzých stupňů pro fukci f() e a okolí bodu a určete přibližě hodotu Eulerova čísla. Řešeí Fukci e můžeme a okolí bodu aproimovat podle předcházejícího příkladu polyomem Pro Eulerovo číslo můžeme tedy psát k ( ; ) k. e T e (; ) k. e e T e Numerické výsledky které takto získáme pro růzé hodoty jsou shruty v ásledující tabulce. Porovejte je s hodotou přesou a 9 desetiých míst ( e ). T (; e ) T (; e ) Pozámka Již pomocí Taylorových polyomů ízkých řádů jsme tedy schopi určit hodotu Eulerova čísla velmi přesě.

3 Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé Řešeí PŘÍKLAD 5 Pomocí Taylorova rozvoje pro arctg( ) se pokuste určit přibližou hodotu Ludolfova čísla. Víme apříklad že π 4 arctg(). Pokusíme se proto určit hodotu Ludolfova čísla pomocí přibližého vztahu π 4 T (; arctg ). Nejdříve ovšem musíme ajít příslušý Taylorův polyom a to dostatečě vysokého řádu. Pro jedoduchost a přehledost se omezíme a řád čtvrtý. Čteář se ovšem může pokusit o dosažeí řádů vyšších. Nalezeí T ( ;arctg ) f ( ) arctg( ) f () arctg() f ( ) f () + + f ( ) f () + + f ( ) f (4) ( ) ( ) 6 ( + ) Můžeme tedy psát 4 ( ) ( + ) Určeí Ludolfova čísla 4 ( ) 6 f () f (4) ( + ) 4 ( ) (). ( + ) ( ) ( ;arctg)!!! 4! 4 T π 4 T (; arctg ) 4 ( ) 67. Pozámka Všiměte si že získaý výsledek eí vůbec přesý. Na rozdíl od příkladu 4 kdy jsme byli schopi určit poměrě přesou hodotu Eulerova čísla pomocí Taylorových polyomů evysokých řádů bychom yí k dosažeí dostatečé přesosti museli použít Taylorova polyomu velmi vysokého řádu. Použitý rozvoj fukce arctg eí proto pro výpočet hodoty Ludolfova čísla příliš vhodý. 4 CVIČENÍ K PŘÍKLADŮM - 5. Pomocí Taylorovy věty ověřte platost všech vzorců uvedeých v Breviáři v pozámce a str... Pomocí Taylorových polyomů stupě a upřesěte hodoty výrazů z cvičeí k příkladům a a srovejte je s hodotami získaými výpočtem a kalkulačce. a) 4 b) 5 c) 8 d) o si () e) arctg5 arctg Nezapomeňte argumet fukce si převést a obloukovou míru.

4 Prví difereciál Taylorův rozvoj POUŽITÍ TAYLOROVA ROZVOJE PŘI VÝPOČTU LIMIT PŘÍKLAD 6 cos Určete. si Řešeí Uvedeou itu elze vypočítat přímým použitím algebraických vět získali bychom totiž eurčitý výraz cos cos. si si Jedou z možostí jak si s í poradit je rozvést fukce sius a kosius a okolí bodu v ěmž itu počítáme (a ) pomocí Taylorovy věty a přejít tak až a zaedbatelé odchylky k itě podílu dvou polyomů. S takovou itou si už totiž poradit umíme viz příklady a cvičeí věovaé itám. Otázkou ovšem je jakého stupě mají příslušé Taylorovy polyomy abývat. Na jedé straě je jasé že čím ižší stupě budou použité polyomy mít tím méě áročé výpočty budeme muset provádět. Na druhé straě ale příliš ízký stupeň použitých Taylorových polyomů emusí vést k cíli. Nejjedodušší pravidlo které můžeme čteáři poradit je začít polyomy co ejižších stupňů (apř. lieárími) a podle potřeby jejich stupeň zvyšovat tak dlouho dokud ezískáme smysluplý výsledek. I my začěme áš výpočet Taylorovými polyomy 4 fukcí sius a kosius stupě : cos + o ( ) a si + o ( ). 5 Po dosazeí máme Protože ale podle defiice platí je též [ o ] [ ] + ( ) o ( ). + + o ( ) o ( ) o ( ) o ( ) + o ( ) o ( ) o ( ) o ( ) +. Výpočet pomocí Taylorových polyomů prvího řádu evede zjevě v ašem případě k cíli budeme muset tedy použít polyomů stupňů vyšších. Další a řadě jsou polyomy stupě : cos + o ( ) a si + o4 ( ). Po dosazeí v tomto případě již získáme hledaý výsledek o ( ) o ( ) ( ) o + 4 ( ) 4( ) o4 ( ) o o ( ) o ( ) o o4 ( ) o4 ( ) + + Další možost si ukážeme v kapitole věovaé L Hospitalovu pravidlu. 4 Taylorovy polyomy fukcí sius a kosius uvádíme v Breviáři a str.. Tamtéž a str. 9 je uvede i výzam symbolů o( ). 5 Symboly o() ozačují pro kosius a sius obecě růzé fukce odlišujeme je tedy ideem.

5 Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé eboť podle defiice platí o ( ) o4 ( ). CVIČENÍ K PŘÍKLADU 6. Určete ásledující ity (pomocí Taylorových rozvojů v bodě ) ( ) e e + a) b) si cos + arctg c) d) + tg e) ( + ) ( + ) ( ) 99 + ( + 99 ) Výsledky: CVIČENÍ K PŘÍKLADŮM - a) b) 5 48 c) 98 d) 5 e) 44 CVIČENÍ K PŘÍKLADŮM -5 a) b) 5 48 c) 98 d) 5 e) CVIČENÍ K PŘÍKLADU 6 a) b) c) 5 d) e) 49