Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n n n n. n n n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b b n) = 1 b

Transkript

1 Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je ) + = = Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a <, b < + + b Protože pro a < je k= a k = a, je + a + a + + a ) + b + b + + b = + b + b + + b ) = b a + a + a + + a Najděte itu ) ) Protože součet prvích čleů aritmetické poslouposti ) =, je ) ) = = ) = = Najděte itu [ + ] ) Typeset by AMS-TEX

2 Protože platí vztah k= + ) = +, je kk + ) = k= k ) = ) = k + + Najděte itu 4 8 ) Protože ) =, je 4 8 ) )+/ = 3 )+ +/ ) /+/ = Dokažte, že existuje ita poslouposti a = Protože a + = a, je pro 0 posloupost a klesající Protože a > 0, je tato posloupost zdola omezeá Existuje tedy Dokažte, že existuje ita poslouposti a = ) ) ) 4 Protože a + = + posloupost a je zdola omezeá, existuje a Dokažte, že existuje ita poslouposti ) a < a, jedá se o klesající posloupost Protože avíc a > 0, tj a = si + si + + si Protože pro každé, k N platí erovost a +k a = si + ) si + ) ) k si + k) +k <,

3 splňuje posloupost a Cauchy Bolzaovu podmíku, a tedy koverguje Dokažte, že existuje ita poslouposti a = cos! + cos! cos! + ) Protože je + ) = a +k a = + a cos!, platí pro každé, k N erovost cos + )! cos + )! + + ) + ) + ) + 3) + + cos + k)! + k) + k + ) + ) + ) + + ) + 3) k) + k + ) = = + + k + + Proto posloupost a splňuje Cauchy Bolzaovu podmíku, a tedy koverguje Najděte a a a pro posloupost a = ) + 3 ) Uvažujme dvě vybraé poslouposti b 0, = a = + 3 ) a b, = a = Protože b 0, = a b, =, je a = a a = Najděte a a a pro posloupost a = ) + + ) + 3 ) Ozačme b 0, = a = + a b, = a + = dvě poslouposti vybraé z poslouposti + a = 0 a a = a Protože b 0, = a b, = 0, je Najděte a a a pro posloupost a = + + cos π Pro k = 0,,, 3 ozačme b k, = a 4+k = k 4 + k + cos kπ poslouposti a Protože b k, = +cos kπ čtyři vybraé poslouposti z, je a = b, = 0 a a = b 0, = 3

4 Najděte a a a pro posloupost a = + cos π 3 Pro k = 0,, ozačme b k, = a 3+k = 3 + k 3 + k + a Protože b k, = cos kπ Najděte a a a pro posloupost 3 cos kπ 3 tři vybraé poslouposti z poslouposti, je a = b, = b, = a a = b 0, = a = π cos + 3 Pro k = 0,, ozačme b k, = a 3+k = tři vybraé poslouposti z poslouposti a Protože b k, = cos kπ 3 b 0, = Najděte a a a pro posloupost a = 3 + k) kπ cos k) 3, je a = b, = + ) ) + si π 4 b, = a a = Pro k = 0,,, 7 ozačme b k, = a 8+k = ) k + ) 8+k + si kπ 8 + k 4 osm vybraých podposloupostí z poslouposti a Protože b k, = ) k e + si kπ, je a = 4 b 5, = b 7, = e a a = b, = e + Najděte itu + ) Protože ) + = = + +, je + ) = + + = 4

5 Najděte itu + ) ) Protože ) =, je k= k )k = k= k ) = ) = k Najděte itu 3 + ) ) + ) Protože ) + ) = ), je + k= k )k + ) = = k= k + ) = k + ) = Najděte itu a + a, a > 0 Protože pro 0 < a < je a + a = Tedy a = 0, je pro 0 < a < ita a + a = = + a Pro a > je a + a = 0 pro 0 < a < pro a = pro a > a = 0 Pro a = je + a Najděte itu ) 3 + Protože 3 + = 4 ) 3, je = e + + Najděte itu ) + 3 5

6 Protože + 3 = 3 ), je = e 3/ Najděte itu ) Protože + = ) 4+, je = e Najděte itu + 3) ) + 3 Protože + 3) = + 3, je + 3) = + 3 ) + 3 = e6 0 = 0 Najděte itu ) ) Protože =, je = + 3 Tedy ) = = Dokažte kovergeci řady a ajděte její součet ) + Najdeme tý částečý součet této řady Protože s = + 4 +, je s + ) ) = ) + Tedy s = 3 + ) ) + Protože je = 0, je s = s = 3 Dokažte kovergeci řady + ) ) ) 3 + 6

7 a ajděte její součet Částečý součet této řady je Protože je s = = Dokažte kovergeci řady a ajděte její součet Protože platí k= k + ) /) 3 k = + / 3 /3) /3 = 0, je s = 3 s = )3 + ) + 3 )3 + ) = 3 3 ), je tý částečý součet rove 3 + s = k= 3 )3 + ) = 3 k= Tedy s = s = 3 ) = k ) = ) 3k Dokažte kovergeci řady ) a ajděte její součet Nejprve ajdeme tý částečý součet řady Te je s = k ) + k + + k = k= + + = k k + k = k=3 Protože + + = k= k= + + +, je s = s = + = V závislosti a x R zkoumejte kovergeci řady si x 7

8 Protože pro x kπ, k Z, eí si x = 0, řada si x diverguje Pro x = kπ, k Z, je si kπ = 0, a tedy čley řady jsou všechy rovy ule Proto řada x = kπ, k Z, a diverguje pro x kπ, k Z Vyšetřete kovergeci řady si x koverguje pro Jedá se o řadu s ezáporými čley Uvažujme fukci fx) = x pro x Pro N je f) = = a Derivace této fukce f x) = je pro x záporá Proto je fukce x ) fx) pro x klesající Tedy podle itegrálího kritéria koverguje řada současě s itegrálem + dx x Protože teto itegrál diverguje, diverguje také řada Vyšetřete kovergeci řady Protože je a = Vyšetřete kovergeci řady = 0, řada diverguje ) + Jedá se o řadu s ezáporými čley Uvažujme fukce fx) =, x, + ) Protože x ) je f 4 x) = x ) 3 < 0 pro x >, je fukce fx) klesající Neboť f) = ) = a, + dx koverguje podle itegrálího kritéria řada současě s itegrálem ) x ) Protože teto itegrál koverguje = /), koverguje také řada Vyšetřete kovergeci řady )

9 Jedá se o řadu s ezáporými čley Pro x > 0 uvažujme fukci fx) = je f) = fukce fx) klesající x x + Pro N 3x + ) je záporá, je x x + ) 3/ současě s ite- + grálem = a Protože derivace této fukce f x) = Podle itegrálího kritéria koverguje řada dx x x + protože teto itegrál koverguje = l + ) ), koverguje také řada Vyšetřete kovergeci řady ) + ) Jedá se o řadu s ezáporými čley Protože koverguje řada ) a = = ) + ), ) + ) současě s řadou apříklad podle itegrálího kritéria), řada V závislosti a x R zkoumejte kovergeci řady si x + ) + ) také diverguje si x si x Protože tato řada diverguje Protože pro každé x R platí erovost si x také pro každé x R řada si x V závislosti a x R zkoumejte kovergeci řady a řada cos x cos x cos x koverguje = ), koverguje Protože pro každé x R platí erovost cos x a řada itegrálího kritéria), koverguje také pro každé x R řada 9 koverguje apříklad podle cos x

10 Vyšetřete kovergeci řady!)! +!) 4! + +!) )! + Protože se jedá o řadu s ezáporými čley, můžeme použít pro zkoumáí její kovergece itího podílového kritéria To dává Tedy řada [ ] )! a + + )! = a + )!! ) = + ) + ) + ) = 4 < )! )! koverguje Vyšetřete kovergeci řady! +! + 3! ! + Jedá se o řadu s ezáporými čley K určeí její kovergece můžeme použít apříklad itího podílového kritéria Protože řada! koverguje Vyšetřete kovergeci řady a + = a! = + )! + ) + +! = ) = e <, ) = + +! + 3 3! ! + Protože se jedá o řadu s ezáporými čley, lze se pokusit zjistit její kovergeci pomocí itího podílového kritéria To dává Tedy řada koverguje Zkoumejte kovergeci řady a + + ) = = ) = e < a + ) + + 3! + 3! ! ! + 0

11 Protože se jedá o řadu s ezáporými čley, lze se pokusit zjistit její kovergeci pomocí itího podílového kritéria To dává Tedy řada diverguje Zkoumejte kovergeci řady a ) = = 3 ) = 3e > a + ) + +!) +!) 4 + 3!) 9 + +!) + Protože se jedá o řadu s ezáporými čley, lze se pokusit zjistit její kovergeci pomocí itího podílového kritéria To dává Tedy řada [ ] a + + )! + ) = ) a +) =! + = 0 < )! koverguje Vyšetřete kovergeci řady ) 3 5 ) ) + Protože se jedá o řadu s ezáporými čley, lze se pokusit zjistit její kovergeci pomocí itího podílového kritéria To dává a + = +3 ) = < a Tedy daá řada koverguje Zkoumejte kovergeci řady + /) Protože se jedá o řadu s ezáporými čley, můžeme se pokusit zjisti její kovergeci pomocí itího odmociového kritéria To dává Tedy řada a = + / ) koverguje + / ) = + / = <

12 Vyšetřujte kovergeci řady = Protože =, je = 0 Tedy řada diverguje Zkoumejte kovergeci řady = ) ) + Jedá se o řadu s ezáporými čley Její kovergeci můžeme zkoumat pomocí itího odmociového kritéria to dává ) a = = ) = e < + + Tedy řada = ) ) koverguje + Zkoumejte kovergeci řady 3 [ + ) ] 3 Nechť je b = a = 8 3 Protože b ==, eí a = 0 Proto řada diverguje 3[ + ) ] 3 Vyšetřete kovergeci řady ) + cos + cos Hodoty cos, Uvažujme fukce fx) = + x a hledejme její maximum a itervalu + x, Protože f x) = + x) > 0, abývá tato fukce a itervalu, maxima f max = 3 ) ) + cos v bodě x = a miima f mi = 0 pro x = Proto platí erovost 0 + cos 3 ) ) + cos Protože řada koverguje s = 4/5), koverguje také řada 3 + cos Vyšetřete kovergeci řady + =

13 Jedá se o řadu s ezáporými čley Protože + 4 a = = + + ), ) je 3/ + a = Tedy řada koverguje současě s řadou 3/ = = Ale posledí řada koverguje apříklad podle itegrálího kritéria) Tedy koverguje také řada + = Vyšetřete kovergeci řady + + ) +)/ Jedá se o řadu s ezáporými čley K určeí její kovergece použijeme itího odmociového kritéria To dává a = + + / + + ) =, /) protože / = ++) /) =, což se dokáže apříklad l Hospitalovým pravidlem Protože <, řada koverguje + + ) +)/ Zkoumejte kovergeci řady ) + ) Jedá se o alterující řadu Můžeme se pokusit ukázat kovergeci této řady pomocí Leibizova kritéria Ozačme a = + ) Podmíka a + ) = = 0 je splěa Ale posloupost a eí mootoí, protože a > a + a a + < a + Budeme zkoumat řadu, v íž sečteme dva po sobě ásledující čley, tj řadu ) a + a = + 3 ) = 4 3 ) ) To je řada s ezáporými čley Neboť =, koverguje řada ) ) současě s řadou, která diverguje Proto diverguje také řada ) + ) Vyšetřujte kovergeci řady si π 4 3

14 Protože řada diverguje, ekoverguje řada si π absolutě Tato řada eí ai alterující Ale jestliže seskupíme čtyři za sebou jdoucí čley řady, dostaeme si π 4 = ) Řadu jsme zapsali jako alterující řadu a = ) + a, kde > 0 ) Protože a = 0 a posloupost a je klesající, koverguje podle Leibizova kritéria řada ) a = si π 4 eabsolutě Vyšetřujte absolutí a eabsolutí kovergeci řady ) + 00 Protože řada s ezáporými čley + 00 koverguje současě s řadou, která diverguje apříklad podle itegrálího kritéria), ekoverguje daá řada absolutě Nyí budeme zkoumat, zda tato řada koverguje eabsolutě Jedá se o alterující řadu Proto se pokusíme dokázat její kovergeci pomocí Leibizova kritéria Platí a = + 00 = 0 x Musíme ještě ukázat, že posloupost a = je klesající Uvažujme fukce fx) = + 00 x + 00 Její derivace je f 00 x x) = x + 00) Protože je tato derivace pro x > 00 záporá, je fukce x fx) pro x > 00 klesající Ale z toho plye, že také posloupost a je pro > 00 klesající Proto daá řada koverguje Vyšetřujte kovergeci řady ) Protože ) =, eí = 0 Tedy řada ) diverguje V závislosti a parametru x R vyšetřujte absolutí a eabsolutí kovergeci řady ) si x 4

15 Nejprve budeme zkoumat absolutí kovergeci této řady K tomu použijeme itího podílového kritéria Protože a + a = si x + = si x, bude řada kovergovat absolutě pro si x <, tj si x <, a divergovat pro si x >, tj pro si x > Tedy řada koverguje absolutě pro x 4k π, 4k + ) π a diverguje 4 4 k Z pro x 4k + π, 4k + 3 ) π 4 4 k Z Pro x = k + π, k Z, je si x = 4 Pro tato x má daá řada tvar ) Protože = 0 a posloupost a = k + je klesající, řada pro x =, k Z, koverguje podle 4 Leibizova kritéria eabsolutě V závislosti a parametru x R zkoumejte absolutí a eabsolutí kovergeci řady ) x + Pokud x = k, k N, eí k tý čle řady defiová, a tedy pro tato x řada ekoverguje Pro ostatí x R se jedá o alterující řadu Protože x + = 0 a x + > x + + daá řada koverguje pro x / N podle Leibizova kritéria eabsolutě Zkoumejte absolutí a eabsolutí kovergeci řady ) + Protože řada + podle itegrálího kritéria diverguje, ekoverguje daá řada absolutě Jedá se o alterující řadu Proto se pokusíme dokázat kovergeci řady pomocí Leibizova kritéria Pro posloupost a = + je a = 0 Zbývá ukázat, že posloupost a je klesající Uvažujme fukci fx) = x x + ) x Protože derivace této fukce f + 4x x x) = je pro x > 5 x + ) x3/ záporá, je tato fukce pro x > 5 klesající Proto je také pro > 5 klesající posloupost a = f) Zkoumejte absolutí a eabsolutí kovergeci řady ) )/ 00 5

16 Protože + ) Zkoumejte absolutí a eabsolutí kovergeci řady = <, daá řada koverguje absolutě ) Uvažujme fukce ) l x l x x x = exp x Protože x + ) = Protože posloupost Zkoumejte absolutí a eabsolutí kovegreci řady = x = 0, je x + x x = emá itu rovou ule, daá řada diverguje siπ/) l Proto je Protože řada = l diverguje, ekoverguje daá řada absolutě Protože posloupost a = si π má omezeé částečé součty a posloupost b = l a je = 0, koverguje daá řada podle Abelova kritéria eabsolutě l je klesající V závislosti a parametru x R zkoumejte absolutí a eabsolutí kovergeci řady [ ] 3 5 ) ) x 4 6 ) Návod: Použijte erovost 3 5 ) 4 6 ) < Nejprve ajdeme možiuvšech x R, pro která řada koverguje absolutě kritérium dává a + a = x + + = x Limití podílové Tedy řada koverguje absolutě pro x < a diverguje pro x > Pro x = dostaeme altrující řadu ) 3 ) b, kde b = Protože b + = 4 ) b < b, je posloupost b klesající Protože 0 < b <, je b = 0 Proto daá řada koverguje pro x = podle Leibizova kritéria eabsolutě Pro x = dostaeme řadu se záporými čley b Jestliže použijeme Raabeho kritérium dostaeme ) ) a + = a + + = + = < 6

17 Tedy podle Raabeova kritéria řada v bodě x = diverguje Zkoumejte absolutí a eabsolutí kovergeci řady ) si Protože eexistuje ) si daá řada diverguje Vyšetřete absolutí a eabsolutí kovergeci číselé řady ) + Nejprve budeme zkoumat absolutí kovergeci daé řady, tj kovergeci řady + Protože + =, koverguje tato řada současě s řadou Protože tato řada diverguje apříklad podle itegrálího kritéria), diverguje také řada Tedy daá řada ekoverguje absolutě + Protože se jedá o alterující, lze k vyšetřováí její kovergece použít Leibizova kritéria Protože + = 0 a posloupost a = + je klesající, řada ) podle tohoto kritéria + koverguje eabsolutě) Vyšetřete kovergeci číselé řady = l Jedá se o řadu s ezáporými čley Uvažujme fukci fx) = x l pro x > Protože její x derivace f x) = l x + x l 3 x < 0 je tato fukce klesající Protože pro =, 3, je f) = a, jsou splěy všechy předpoklady itegrálího kritéria Protože itegrál koverguje = ), koverguje také řada l = + e dx x l x = + dy y Vyšetřete kovergeci číselé řady = l 7

18 Protože se jedá o řadu s ezáporými čley, lze k vyšetřeí její kovergece použít itího odmociového kritéria Protože a = l = 0 <, číselá řada l koverguje = Vyšetřete kovergeci číselé řady = l Jedá se o řadu s ezáporými čley Uvažujme fukci fx) = x l x derivace f x) = l x + pro x > Protože její x l x < 0 je tato fukce klesající Protože pro =, 3, je f) = a, jsou splěy všechy předpoklady itegrálího kritéria Protože itegrál diverguje, diverguje také řada l = + e dx x l x = + dy y Vyšetřete kovergeci číselé řady + ) Jedá se o řadu s ezáporými čley Protože =, koverguje daá řada současě + ) s řadou Protože tato řada diverguje apříklad podle itegrálího kritéria), diverguje také řada + ) Vyšetřete kovergeci číselé řady 3 Jedá se o řadu s ezáporými čley Proto lze k určeí její kovergece použít itího podílového a + 3 kritéria Protože = a + ) 3 = >, číselá řada 3 diverguje Vyšetřete kovergeci číselé řady = l + 5 ) Protože se jedá o řadu s ezáporými čley, lze k vyšetřeí její kovergece použít itího odmociového kritéria Protože a = + 5 = 0 e l ) 5 = 0 < 8

19 číselá řada = l + 5 ) koverguje 9