Spojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné

Transkript

1 Spojitost a limita fukcí jedé reálé proměé Pozámka Vyšetřeí spojitosti fukce je možo podle defiice převést a výpočet limity V dalším se proto soustředíme je problém výpočtu limit Pozámka Limitu fukce v zadaém bodě můžeme počítat přímo pomocí defiice, použitím vět o algebře limit, pomocí pokročilejších vět (apř L'Hospitalovo pravidlo) V této kapitole se soustředíme a prví dvě metody, ezbytou teorii je možo alézt v Breviáři vyšší matematiky (odstavec ) L'Hospitalovu pravidlu je věováa kapitola samostatá Výpočet limity pomocí defiice (zpět a začátek) Prví krok, který musíme učiit, je určeí limit vybraé (dostatečě) široké třídy fukcí přímo z defiice Teprve pak můžeme využít pokročilejších vět a pravidel (algebraické věty o limitách, L'Hospitalovo pravidlo) Použití defiice limity je ovšem v kokrétích případech velmi obtížý techický problém vyžadující zpravidla etriviálí zalosti o erovostech Proto si teto postup můžeme ilustrovat je a ejjedodušších příkladech Vlastí limita ve vlastím bodě Jaký je tedy obvyklý postup při důkazu tvrzeí, že "fukce f má v bodě a limitu A", tj lim f ( ) A? a ) Doplíme kokrétí údaje ze zadáí příkladu do defiice, tj kokrétí tvar fukce f a kokrétí hodoty čísel a a A do výrokové formy : D a f( ) A, f jejíž pravdivost máme dokázat Tedy - pro libovolé kladé číslo musíme být schopi alézt takové kladé číslo, aby byla splěa výše uvedeá implikace ) Důkaz provedeme tak, že výraz f ( ) A upravujeme tak dlouho, až jej převedeme prostředictvím poslouposti erovostí f ( ) A a a výraz a, kde je kladé číslo Děláme to proto, že pak již stačí k zadaému volit tak, aby 3) Při této volbě totiž platí a f( ) f( a), a tedy i f ( ) f( a)

2 ad ) Máme dokázat pravdivost výroku Příklad Dokažte, že lim : kde jsme dosadili f() =, a =, A =, ad ) Zde ovšem f ( ) A a abychom viděli, že můžeme volit =, a tedy ad 3) = Tím je ovšem důkaz dokoče Neí tedy zapotřebí žádých úvah, Dokažte, že Příklad lim q q, q je libovolá reálá kostata Dokazujeme pravdivost : q q Zde už ovšem eí vůbec ic k dokazováí, eboť q q, což je vždy meší ež libovolé kladé Bez ohledu a to, jaké hodoty abývá Toto číslo můžeme proto volit zcela libovolě ad ) Musí platit Příklad 3 Dokažte, že pro lim k platí k q k q : k q k q ad ) k q k q k q k q k k k Volíme proto k a ad 3) k, apř k

3 ad ) Dokazujeme platost tvrzeí ad ) Příklad 4 Dokažte, že lim 4 : 4 4 Zdálo by se, že jsme hotovi a že stačí zvolit Ve skutečosti tomu tak eí, eboť musí být kostata, a esmí tudíž záviset a proměé Odpověď a otázku, jak pokračovat, vychází z faktu, že limita je lokálí pojem a při jejím zkoumáí stačí, když se omezíme a ějaké okolí bodu a, zde a = Volba tohoto okolí je poecháa zcela a aší libovůli, můžeme se apříklad omezit a U (), tedy iterval,3 Musíme si ale pamatovat, že při závěrečé volbě musíme dodržet právě učiěý předpoklad Pak ovšem platí <, a tedy 3 < + Proto můžeme psát a volit = ad 3) Proto volíme 3, apř 6 pro 6 a pro 6 Příklad 5 Dokažte, že pro platí lim (Sami si dokažte platost tvrzeí lim ) ad ) : 3 ad ) V posledí erovosti se omezujeme a okolí U ( ) /, a musíme si proto pamatovat, že musí být meší ež / ad 3) 3/ a 3 / /

4 Ostatí typy limit Použijeme obdobý postup, jaký jsme astíili výše Je ve druhém a třetím bodě musíme modifikovat úvahy podle kokrétího typu limity Pro jedoduchost si to ukážeme a kokrétích příkladech Příklad 6 (vlastí limita v evlastím bodě) Dokažte, že platí lim ) Máme dokázat, že platí K : K / ) Pro K můžeme psát / / Dále platí / / Stačí proto volit 3) K /, eboť z K / vyplývá / Příklad 7 (evlastí limita ve vlastím bodě) Dokažte, že platí lim ) Máme dokázat, že platí M : / M ) Pro / M můžeme psát / M Stačí proto volit 3) /M, eboť z vyplývá / /, a tedy i / M ) Máme dokázat platost tvrzeí ) Z Příklad 8 (evlastí limita v evlastím bodě) Dokažte, že platí lim M K : K M M plye po odmocěí M a vzhledem k tomu, že se můžeme omezit a záporá (blížíme se přece do ), dále též M, eboli M Stačí proto zvolit 3) K M Z K M totiž plye K, a tedy po umocěí (a kladých číslech ekvivaletí operace) i M

5 Použití vět o algebře limit (zpět a začátek) Zěí vět o limitě součtu, rozdílu, součiu a podílu fukcí je možo alézt Breviáři vyšší matematiky (odstavec ) Příklad 9 (limita součtu) lim k q k q Dokažte, že platí Tuto limitu jsme počítali pomocí defiice v příkladu 3 Nyí si ukážeme jiý postup, v ěmž využijeme věty o limitě součtu a součiu: lim k q lim k lim q lim k lim lim q k q Za prvím rovítkem jsme využili větu o limitě součtu, za druhým o limitě součiu a akoec i výsledky, k imž jsme dospěli dříve: lim k k, lim q q (viz příklad ) a lim (viz příklad ) Příklad (limita součiu) Dokažte, že platí lim lim lim lim, kde jsme využili výsledku příkladu : lim Příklad (limita víceásobého součiu) Dokažte, že platí lim krát krát lim lim lim lim lim lim lim lim lim, kde jsme opět využili výsledku příkladu : lim

6 Příklad (limita podílu) Dokažte, že platí lim lim lim, lim kde jsme využili, kromě věty o limitě podílu, i výsledek řešeí příkladu, lim