4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

Transkript

1 4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž úlohu, ve které hledáme odhady ezámých parametrů rozděleí. 4.. Formulace úlohy. Předpokládáme, že je dá áhodý výběr X, X 2,..., X z rozděleí s hustotou fx, θ, θ 2,..., θ m ), či pravděpodobostí fukcí px, θ, θ 2,..., θ m ), kde θ = θ, θ 2,..., θ m ) jsou parametry rozděleí. Na základě hodot áhodého výběru odhadujeme parametry rozděleí tak, aby co ejlépe odpovídaly hodotám áhodého výběru. Odhad provádíme pomocí vhodě zvoleé fukce áhodého výběru, statistiky τ, která je odhadem parametrů θ či jejich fukce γθ). O takové úloze mluvíme jako o bodovém odhadu parametrů. Příklad: V případě ormálího rozděleí, kdy X i Nµ; σ 2 ), je θ = µ a θ 2 = σ 2. Pro expoeciálí rozděleí, kde X i ExpA; δ), je třeba θ = A + δ a θ 2 = δ, eboť je středí hodota rova A + δ a rozptyl je δ Testováí vhodosti a kvality odhadů.. Nestraost odhadů. Statistika τ je estraým odhadem fukce parametrů γθ), jestliže je Eτ) = γθ). Příklad: Je-li X, X 2,..., X áhodý výběr z rozděleí, pro které je EX i ) = µ, pak je statistika výběrový průměr τ = X = X i estraým odhadem středí hodoty µ. Je-li rozptyl DX i ) = σ 2, pak je statistika výběrový rozptyl estraým odhadem rozptylu σ 2. τ = S 2 = X i X) 2 Pozámka: Pro středí hodotu statistiky τ je ěkdy splěa slabší podmíka lim Eτ) = γθ). Takový odhad azýváme asymptoticky estraý. Příklad: Statistika τ = s 2 = X i X) 2 je asymptoticky estraým odhadem rozptylu σ 2, eboť je Es 2 ) = σ2. 2. Kozistetost odhadu. Statistika τ je kozistetím odhadem fukce parametrů γθ), jestliže platí lim P τ γθ) < ε) = 33

2 pro každé ε >. Pozámka: Z Čebyševovy erovosti vyplývá, že estraé odhady s koečým rozptylem jsou kozistetí. Je totiž Eτ) = γθ) a P τ γθ) < ε) Dτ) ε 2. Příklad: Je-li áhodý výběr výběrem z ormálího rozděleí Nµ; σ 2 ), pak pro výběrový průměr platí: Eτ) = EX) = µ a Dτ) = DX) = σ2. Je tedy výběrový průměr X estraým a kozistetím odhadem středí hodoty µ. Pro výběrový rozptyl S 2 je ES 2 ) = σ 2 a DS 2 ) = µ 4 ) 3)σ4, je tedy statistika S 2 estraým a kozistetím odhadem rozptylu σ Vydatost odhadu. Nestraý odhad τ fukce parametrů γθ), pro který je rozptyl Dτ) = E[τ γθ)) 2 ] miimálí, se azývá ejlepší estraý odhad. Metody hledáí bodových odhadů Metoda maximálí věrohodosti je založea a vlastostech sdružeé hustoty či pravděpodobostí fukce. Je-li X, X 2,..., X áhodý výběr z rozděleí s hustotou, či pravděpodobostí fukcí fx, θ, θ 2,..., θ m ), pak má áhodý vektor X, X 2,..., X ) sdružeou hustotu, či pravděpodobostí fukci fx, θ, θ 2,..., θ m ).fx 2, θ, θ 2,..., θ m )... fx, θ, θ 2,..., θ m ). Tuto fukci ozačujeme ) Lx, x 2,..., x, θ) a azýváme ji věrohodostí fukcí. Hodotu ˆθ, pro kterou je věrohodostí fukce maximálí, azýváme maximálě věrohodým odhadem parametrů θ. Protože má v řadě případů hustota expoeciálí průběh používáme místo věrohodostí fukce Lx, θ) její logaritmus. Maximálě věrohodý odhad ˆθ je řešeím soustavy věrohodostích rovic Lx, x 2,..., x, θ) θ k = l Lx, x 2,..., x, θ) θ k =, k m. 34

3 Odhadujeme-li fukci γθ), pak je jejím maximálě věrohodým odhadem fukce γˆθ) Příklad: Normálí rozděleí. Pro ormálí rozděleí Nµ; σ 2 ) je hustota rova fx) = σ x µ) 2 2π e 2σ 2 a tedy věrohodostí fukce je rova Lx, x 2,..., x, µ, σ 2 ) = σ 2π) e Pro logaritmus věrohodostí fukce l L tedy platí: x i µ) 2 2σ 2 l Lx, x 2,..., x, µ, σ 2 ) = 2 l σ2 ) l 2π) 2σ 2 Potom je soustava věrohodostích rovic rova: l L µ = 2σ 2 x 2 i µ) ) =, x i µ) 2 Z prví rovice dostaeme l L σ 2 = 2σ 2 + 2σ 4 x i µ) 2 =. Po dosazeí do druhé rovice dostaeme i µ) = ˆµ = x X i = X. σ 2 = i µ) X 2 ˆσ 2 = X i X) 2. Všimeme si, že odhad středí hodoty µ je estraý a kozistetí odhad a odhad rozptylu σ 2 je asymptoticky estraý Příklad: Poissoovo rozděleí P oλ) má pravděpodobostí fukci pk) = λk k! e λ, k =,, 2,... a EX i ) = DX i ) = λ. Je tedy věrohodostí fukce rova a její logaritmus je rove Lk, k 2,..., k, λ) = λk +k k k!k 2!... k! e λ l Lk, k 2,..., k, λ) = λ + k + k k ) l λ l k!k 2!... k!). 35

4 Odtud dostaeme věrohodostí rovici l L λ = + λ k + k k ) = λ = k + k k ). Maximálě věrohodý odhad parametru λ je rove ˆλ = X i = X. Protože je EX) = λ a DX) = λ je získaý odhad estraý a kozistetí Příklad: Expoeciálí rozděleí Exp; δ) má hustotu fx) = δ e x δ, x >, pro které je EX i ) = δ. Věrohodostí fukce je rova a její logaritmus je rove Lx, x 2,..., x, δ) = δ δ e x i Odtud dostaeme věrohodostí rovici l Lx, x 2,..., x, δ) = l δ x i. δ l L δ Maximálě věrohodý odhad parametru δ je Teto odhad je estraý a kozistetí. = δ + x δ 2 i =. ˆδ = X i = X Příklad: Expoeciálí rozděleí ExpA; δ) má hustotu fx) = x A e δ, x > A, δ pro které je EX i ) = A + δ a DX i ) = δ. Věrohodostí fukce je rova a její logaritmus je rove Lx, x 2,..., x, A, δ) = δ δ e x i A) l Lx, x 2,..., x, A, δ) = l δ δ x i A). 36

5 Musí být X i A, i a tudíž fukce l L má maximálí hodotu pro  = mi{x, X 2,..., X }. Věrohodostí rovice pro parametr δ je l L δ = δ + x δ 2 i A) =. Maximálě věrohodý odhad parametru δ je ˆδ = X i Â) = X Â. Protože je EÂ) = A + δ eí teto odhad estraý, je vychýleý, asymptoticky estraý, ale je kozistetí. Dále je Eˆδ) = δ, tudíž je teto odhad rověž asymptoticky estraý Příklad: Rovoměré rozděleí v itervalu µ h, µ + h) má hustotu fx) = 2h, µ h < x < µ + h, kde EX i ) = µ a DX i ) = h2. Věrohodostí fukce je 3 a její logaritmus je rove Lx, x 2,..., x, µ, h) = 2h), µ h < x i < µ + h l Lx, x 2,..., x, µ, h) = l 2h) Tato fukce má maximálí hodotu pro miimálí volbu parametru h. Je tedy maximálě věrohodý odhad parametru h rove ĥ = 2 max{x i; i } mi{x i ; i }). Pro maximálě věrohodý odhad středí hodoty dostaeme ˆµ = 2 max{x i; i } + mi{x i ; i }). Z rozděleí uspořádaého výběru dostaeme, že Eĥ) = h + a Eˆµ) = µ. Odhad ˆµ je estraý, odhad ĥ je asymptoticky estraý a oba jsou kozistetí Metoda mometů je založea a rovosti výběrových mometů a mometů rozděleí. 37

6 Defiice: Je-li X, X 2,..., X áhodý výběr, pak defiujeme k-tý výběrový momet jako M k = Xi k, k a k-tý cetrálí výběrový momet jako i M k = X i X) k, k. Pokud má rozděleí, ze kterého provádíme áhodý výběr, parametry θ, θ 2,..., θ m, pak jejich odhad θ, θ 2,..., θ m určíme z rovic kde µ k jsou obecé momety rozděleí. M k = µ k, resp. M k = µ k, k m, Pozámka: Nejčastěji používáme prví dva momety, pro které platí: M = X i = X a M 2 = Xi Příklad: Biomické rozděleí Bi, p) má středí hodotu EX i ) = p a rozptyl DX i ) = p p). Odhad parametru p určíme z rovice p = M = X i p = X 2 i = X. Protože je Ep ) =.p = p 2 a p p) Dp ) = 2 je odhad p estraý a kozistetí. Pro soubor dat z biomického rozděleí Bi3, ), které dostaeme jako počet hodů 6 s předepsaou hodotou bodů v serii 3 hodů. Pro odhad parametru p = =, získáme odhady: = 3,57,77,7,33,23,6 = 6,7,78,5,4,87,75 = 9,73,8,47,47,8,7 4.. Příklad: Normálí rozděleí Nµ; σ 2 ). Pro ormálí rozděleí je EX i ) = µ, DX i ) = σ 2 a EXi 2 ) = σ 2 + µ 2. Odhady parametrů µ a σ 2 dostaeme z rovic µ = M = X, σ 2 + µ 2 = M 2 = Xi 2, tedy µ = X a σ 2 = Xi 2 X) 2. 38

7 Odhady jsou shodé s maximálě věrohodými odhady z odstavce Příklad: Expoeciálí rozděleí Exp, δ) má středí hodotu EX i ) = δ a tudíž odhad parametru δ získáme z rovice M = µ X i = X = δ, tedy odhadem parametru δ je hodota δ = X. I teto odhad je shodý s maximálě věrohodým odhadem ˆδ z odstavce 4.5. Pro soubor 4 dat z expoeciálího rozděleí Exp; δ) dostaeme odhad parametru δ : δ,5 2,5 2,5 ˆδ = δ,9,5 2,2,54 2, Příklad: Expoeciálí rozděleí ExpA, δ) Má středí hodotu EX i ) = A + δ a rozptyl DX i ) = δ 2. Odhady parametrů rozděleí získáme z rovic tedy jejichž řešeím dostaeme δ = X = A + δ, M = µ a M 2 = µ 2, Xi 2 = δ 2 + A + δ) 2, Xi 2 X) 2 a A = X Xi 2 X) 2. Všimeme si, že jsme získali jié odhady ež jsou maximálě věrohodé odhady z odstavce 4.5. Pro soubor 3 dat z expoeciálího rozděleí ExpA; δ) dostaeme odhad parametrů A a δ : A 2-3,5 δ, Â,7 2,7 -,89 3,,56 ˆδ,8,5,8 4,75 2,65 A,6 2,7 -,64 3,74,65 δ,7,52,54 4,2 2, Příklad: Rovoměré rozděleí v itervalu µ h, µ + h) má středí hodotu EX i ) = µ a roztyl DX i ) = h2. Pro odhady parametrů µ a h dostaeme 3 rovice M = µ a M 2 = µ 2 + h

8 Jejich řešeím dostaeme pro odhady vyjádřeí µ = X a h = 3 Xi 2 X) ), 2 což jsou hodoty odlišé od maximálě věrohodých odhadů z odstavce 4.7. Pro soubor 3 dat z rovoměrého rozděleí dostaeme z uvedeých vzorců odhady parametrů µ a h ve tvaru µ,5,25 2,2,5,95 4,525 h,5,25,2 3,5,85 4,425 ˆµ,59,28 2,22,43,94 4,75 ĥ,465,22,3 3,2,69 4,2 µ,337,66 2,356,36 2,3 4,546 h 4.5 Příklad: Poissoovo rozděleí P oλ) má středí hodotu EX) = λ a tedy pro parametr λ dostaeme rovici Je tedy odhad získaý metodou mometů M = µ X i = X = λ. λ = ˆλ = X shodý s maximálě věrohodým odhadem. Jedá se tudíž o estraý a kozistetí odhad. Pro soubor 4 dat s rozděleí P oλ) dostaeme odhad: λ 2 3 4, 5 λ = ˆλ, 875 2, 8 3, 9, 675 Některá další rozděleí 4.6. Příklad: Rayleighovo rozděleí má áhodá veličia Z = X 2 + Y 2, kde áhodé veličiy X a Y jsou ezávislé a mají ormálí rozděleí N; σ 2 ). Náhodý vektor X, Y ) má rozděleí pravděpodobosti určeé sdružeou hustotou fx, y) = e x 2 +y 2 2πσ 2 2σ 2. Potom pro distribučí fukci G áhodé veličiy Z je pro z : Gz) = P Z z) = P X 2 + Y 2 z) = P X 2 + Y 2 z 2 ) = = x 2 +y 2 z 2 2πσ 2 e x 2 +y 2 2σ 2 dxdy = = [ e ρ2 2σ 2 ] z 2πσ 2 2π z = e z2 2σ 2. ) ρe ρ2 2σ 2 dρ dϕ = 4

9 Pro hustotu g áhodé veličiy Z dostaeme: z 2 z 2 2σ 2 e gz) = G z) = z z2 e 2σ σ2 2, z >. Pro středí hodotu a rozptyl áhodé veličiy, která má Rayleighovo rozděleí dostaeme: EZ) = 2σ 2 dz = z). z ) dz = z) e z2 2σ 2 dz = EZ 2 ) = Je tedy = = [ z e z2 2σ 2 ] z 3 z 2 2σ 2 e 2σ 2 dz = [ z 2 e z2 2σ 2 ] + + z 2 ). ) z 2 2σ 2 e 2σ 2 e z2 2σ 2 dz = + 2 σ 2π = σ π 2 ; z ) z 2 2σ 2 e 2σ 2 2ze z2 2σ 2 dz = + dz = [ 2σ 2 e z2 2σ 2 ] DZ) = EZ 2 ) EZ)) 2 = 2σ 2 σ 2 π 2 = σ2 4 π 2 Pro kvatily z p Rayleighova rozděleí dostaeme podmíku: Gz p ) = p e z 2 p 2σ 2 = p e z 2 p 2σ 2 z 2 ) = 2σ 2.. = σ 2, = p z p = σ 2 l p). e z2 2σ 2 ) dz = Pro mediá z,5 dostaeme po dosazeí p =, 5 hodotu z,5 = σ 2 l 2. = σ, 774. Pro modus ẑ dostaeme z derivace hustoty rovoci ) g z) = e z2 2σ 2 σ z2 = z 2 = σ 2 ẑ = σ. 2 σ 2 Maximálě věrohodý odhad parametru σ dostaeme z věrohodostí rovice. Pro věrohodostí fukci dostaeme vyjádřeí Lx, x 2,..., x ; σ 2 ) = x x 2... x σ 2 Odtud dostaeme, že e 2σ 2 x 2 i, x i >, i. l Lx, x 2,..., x ; σ 2 ) = l x x 2... x ) l σ 2 2σ 2 x 2 i. Odtud dostaeme derivováím rovici pro maximálě věrohodý odhad d dσ Lx, x 2 2,..., x ; σ 2 ) = σ + 2 2σ 4 x 2 i = σ 2 = 2 x 2 i. 4

10 Je tedy ˆσ 2 = 2 Xi 2 maximálě věrohodým odhadem parametru σ 2 v Rayleighově rozděleí. Pro středí hodotu odhadu dostaeme: E ˆσ 2 ) = 2 E X 2 i ) = σ 2, je tedy odhad estraý. Obdobě jako při výpočtu rozptylu dostaeme, že DZ 2 ) = 4σ 4. Pro rozptyl odhadu dostaeme, že D ˆσ 2 ) = 4 2 D X 2 i ) = σ4. Protože je σ4 pro je teto odhad kozistetí. Metodou mometů dostaeme poěkud odlišý odhad ež je maximálě věrohodý odhad ˆσ. Z rovice π µ = M σ 2 = X dostaeme odhad parametru σ ve tvaru σ = 2 π X, který je odlišý od odhadu ˆσ. Protože je Eσ ) = 2 EX) = 2 π σ = σ, je získaý π π 2 odhad estraým odhadem parametru σ. Dále je Dσ ) = 2 DX π i) = 2 4 π σ π 2 pro, je tedy získaý odhad kozistetí. Jestliže použijeme rovosti mometů druhého řádu, dostaeme pro odhad parametru σ rovici M 2 = µ 2 Xi 2 = 2σ 2 σ 2 = Xi 2. 2 To je ovšem hodota, která je shodá s maximálě věrohodým odhadem. Pro soubor 3 hodot geerovaých pomocí kvatilů Rayleighova rozděleí dostaeme odhady parmetru σ : σ σ ˆσ 2 ˆσ,7,38,67,2,28,639,28 2 2,8 4,297 2,7 2,,9 4,83 2,7 3 2,85 9,7 3, 5 5,42 26,6 5,6 5,2 4,98 24,72 4,97 8 7,46 39,7 7,6 42

11 4.7. Příklad: Geometrické rozděleí má áhodá veličia X, která je dáa jako počet pokusů, které musíme provést, aby astal áhodý jev A, kde P A) = p, < p <. Náhodá veličia X má diskrétí rozděleí a její pravděpodobostí fukce p je dáa vztahem pk) = p p) k, k N. Pro základí číselé charakteristiky je: EX) = k= kp p) k = p = p k= ) ) p) k p = p = p) ) p = p p = 2 p ; EX 2 ) = k 2 p p) k = [kk ) + k]p p) k = kk )p p) k + k= k= k=2 kp p) k = p p) ) ) p) k p) 2 + = p p) = k= k=2 p p) ) = p p) p 2 + p + p = p p) 2 p + 3 p = 2 p 2 p ; DX) = EX 2 ) EX)) 2 = 2 p 2 p p 2 = p 2 p = p ) p. Je-li X, X 2,..., X ) áhodý výběr z geometrického rozděleí, pak pro výběrový úhr X a výběrový průměr X platí: E X) = p, EX) = p, D X) = p ) p, DX) = ) p p. Pro výpočet maximálě věrohodého odhadu použijeme věrohodostí fukce Lx, x 2,..., x ; p) = p p) x +x x, x i N, i. Odtud dostaeme, že l Lx, x 2,..., x ; p) = l p + x + x x ) l p) a tudíž d dp l Lx, x 2,..., x ; p) = p x + x x ) p = Je tedy hodota X p = p p = ñ X = X. ˆp = X maximálě věrohodým odhadem parametru p z geometrického rozděleí. 43

12 Metodou mometů dostaeme z rovice µ = M p = X odhad parametru p ve tvaru p = X, který je shodý s maximálě věrohodým odhadem ˆp. Pro soubory dat, které dostaeme jako počet hodů hrací kostkou dokud epade šestka, kde p = =, 6666 dostaeme tyto odhady: 6 = X 6 4,5 4,9 6,9 7,4 4,8 ˆp = p,67,222,24,45,35,28 = 2 X 5,5 5,65 5,2 5,65 7,95 6,5 ˆp = p,94,77,92,77,26,54 = 3 X 5,3 6,7 5,5 5,7 5,4 6,7 ˆp = p,95,62,82,97,85, Příklad: Rozděleí Γ je rozděleí, které je zobecěím expoeciálího rozděleí. Má dva parametry m > a δ >, které ozačujeme symbolem Γm, δ) a má hustotu fx) = xm δ m Γm) e δ, x >. Pro m = je rozděleí Γ, δ) expoeciálí rozděleí Exp; δ). Jsou-li áhodé veličiy X i, i m ezávislé a mají-li expoeciálí rozděleí Exp; δ), pak má výběrový úhr X = m X i rozděleí Γm; δ). Pro číselé charakteristiky takového rozděleí dostaeme: x m x x = tδ EX) = δ m Γm) e δ dx = dx = δdt = x δ t m e t dt = Γm) = δ δmγm) Γm + ) = = mδ; Γm) Γm) EX 2 x m+ x x = tδ ) = δ m Γm) e δ dx = dx = δdt = δ2 t m+ e t dt = Γm) = δ2 Γm) Γm + 2) = δ2 mm + )Γm) Γm) = mm + )δ 2 ; DX) = EX 2 ) EX)) 2 = mm + )δ 2 m 2 δ 2 = mδ 2. Maximálě věrohodé odhady parametrů m a δ dostaeme pomocí věrohodostí fukce Lx, x 2,..., x ; m, δ) = x x 2... x ) m e x δ i, δ m Γm)) xi >, i. 44

13 Pro její logaritmus dostaeme vyjádřeí l Lx, x 2,..., x ; m, δ) = m ) l x x 2... x ) m l δ l Γm) δ Pro hodoty maximálě věrohodých odhadů dostaeme soustavu rovic x i. l L δ = m δ + x δ 2 i = l L m = Z prví rovice dostaeme vztah d l Γm) l x i l δ dm ) δ = m x i = X m =. a druhou rovici upravíme pomocí vztahu l δ = l X l m a dostaeme rovici ) d l Γm) dm l m = l x i l X. Tuto rovici musíme řešit umericky a hodoty levé stray rovice jsou pro ěkteré celočíselé hodoty parametru m tabelováy. Tyto hodoty můžeme použít jako výchozí iteraci pro řešeí rovice ). Jestliže ozačíme ˆm maximálě věrohodý odhad parametru m, který je řešeím rovice ), pak z rovice ) dostaeme maximálě věrohodý odhad parametru δ ve tvaru ˆδ = Xˆm. Metodou mometů dostaeme pro odhady parametrů m a δ rovice tedy vztahy µ = M a µ 2 = M 2, ) mδ = X a mm + )δ 2 = Xi 2. Odtud plye, že m 2 δ 2 = X) 2 a po dosazeí do druhé z rovic ) dostaeme vztah mδ 2 = Xi 2 X) 2. Jestliže tuto rovici vydělíme prví rovicí z ), pak dostaeme pro odhad parametru m vzorec X δ i 2 X) 2 =. X 45

14 Dosazeím do prví z rovic ) dostaeme odhad parametru m ve tvaru m = X δ = X) 2. Xi 2 X) Příklad: Weibullovo rozděleí má áhodá veličia X, která má hustotu rozděleí pravděpodobosti dáu vztahem fx) = cxc δ c e x δ ) c, x >, kde c > a δ >. Pro c = je rozděleí expoeciálím rozděleím Exp; δ). Toto rozděleí dostaeme z expoeciálího rozděleí trasformací x ) c x δ. Jedá se o tzv. Boxovu-Coxovu trasformaci, která pro vhodé hodoty parametrů c a δ převadí rozděleí a rozděleí, které má přibližě ormálí rozděleí. Pro číselé charakteristiky tohoto rozděleí dostaeme: EX) = EX 2 ) = cx c+ cx c δ c e x δ ) c dx = x δ ) c = t, dx = δ c t c dt x = δt c = δγ + ) ; c e ) c x δ c δ ) c x dx = δ = t, dx = δ t c dt c x = δt c = δ 2 Γ + 2 ) ; c DX) = δ [Γ ) Γ 2 + )]. c c = δ t c e t dt = = δ2 t 2 c e t dt = Maximálě věrohodé odhady parametrů c a δ dostaeme pomocí věrohodostí fukce Lx, x 2,..., x ; c, δ) = c δ x x c 2... x ) c e δ c Z jejího logaritmu x c i, x i >, i. l Lx, x 2,..., x ; c, δ) = l c c l δ + c ) l x i δ c x c i dostaeme derivováím soustavu věrohodostích rovic ve tvaru ) l L δ = c δ + c δ c+ x c i =, 46

15 ) l L c = c l δ + l x i + δ c Z rovice ) dostaeme pro hodotu δ vztah x c i δ c x c i l x i =. ) δ c = x c i δ = x c i ) c. Z rovice ) dostaeme vztah c = l x i + l δ δ c ) x c i + δ c Po dosazeí ze vztahu ) dostaeme pro parametr c rovici x c i l x i. ) c = x c i l x i x c i l x i. Tuto rovici řešíme umericky a získáme maximálě věrohodý odhad ĉ. Dosazeím do rovice ) dostaeme maximálě věrohodý odhad ˆδ parametru δ. Metodou momemtů dostaeme pro odhady parametrů c a δ z rovic vztahy ) µ = M a µ 2 = M 2 δγ + ) = X a δ 2 Γ + 2 ) = c c Xi 2. Jestliže vydělíme druhou z rovic ) umocěou prví rovicí ) dostaeme pro odhad parametru c rovici Γ + 2 c ) Γ 2 + c ) = Xi 2, X) 2 kterou musíme řešit umericky. Z jejího řešeí c určíme hodotu odhadu parametru δ třeba z prví rovice ) ve tvaru δ = X Γ + c 2 ). 47