České vysoké učení technické v Praze

České vysoké učení technické v Praze Fakulta stavební Katedra speciální geodézie Měření a hodnocení výškové lokální sítě na Pražském hradě Bakalářská práce 008 Jan Vaněček

Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci vypracoval samostatně s využitím konzultací s Ing. Tomášem Jiřikovským a Ing. Lenkou Línkovou, literatury a internetových zdrojů uvedených v seznamu literatury. V Praze dne.... Jan Vaněček..... 1

Na tomto místě bych chtěl poděkovat za odborné vedení, připomínky a odborné rady při zpracování bakalářské práce vedoucímu Ing. Tomáši Jiřikovskému, bez kterého by tato práce nemohla vzniknout. Dále nemohu opomenout Ing. Lenku Línkovou, která zastoupila Ing. Jiřikovského v době jeho nepřítomnosti ve škole, a poděkovat jí za její rady. Nakonec bych chtěl hlavně poděkovat svým rodičům, kteří mě po celou dobu studia podporovali a díky nimž jsem se mohl plně soustředit na studium.

Abstrakt: V této bakalářské práci se zabývám měřením a zpracováním lokální výškové sítě na Pražském hradě, které se konalo na podzim roku 007. V první části práce se zaměřuji na technologický postup měření a zpracování jednotlivých měření včetně charakteristik přesnosti. V druhé části práce se věnuji vyrovnání výškové sítě metodou MNČ a na závěr porovnání použitého digitálního nivelačního přístroje s optickým nivelačním přístrojem. Klíčová slova: nivelace, digitální nivelační přístroje, vyrovnání výškové sítě, Pražský hrad, bakalářská práce Abstract: I`m concerned with a leveling and elaboration of a local height grid in the Prague castle in this bachelor thesis. I aim at a technological process of leveling and a processing of a measured data in the first part of the text. In the second part of the text, I aim at an adjustment of the height grid and comparison of a digital and an optical level instrument. Keywords: leveling, digital level instruments, adjustment of height grid, The Prague castle, bachelor thesis 3

1 Úvod... 6 Nivelační měření na Pražském hradě... 7.1 Metodika měření... 7.1.1 Geometrická nivelace ze středu... 7.1. Metoda velmi přesné nivelace... 8.1.3 Zaměření geotechnických vrtů... 9. Jednotlivá měření... 9..1 Použité přístroje a pomůcky... 10.. Měření dne 6. 10. 007... 10..3 Měření dne 6. 11. 007... 10..4 Měření dne 7. 11. 007... 11..5 Měření dne 1. 1. 007... 11..6 Měření dne 17. 4. 008... 11 3 Test nivelačního přístroje podle ČSN ISO 1713... 1 3.1 Stručný obsah normy ČSN ISO 1713-... 1 3.1.1 Postup 1: Zjednodušený test... 1 3.1. Postup : Úplný test... 13 3. Výsledky testu nivelačního přístroje... 16 3..1 Postup měření... 16 3.. Výpočty a zhodnocení výsledků testu... 16 4 Program na převod zápisníku Trimble... 18 4.1 Struktura programu Převod... 19 4. Použití programu Převod... 0 5 Zpracování a vyrovnání měření... 5.1 Zpracování naměřených hodnot... 5.1.1 Rozbor přesnosti po měření... 5.1. Výpočet výběrové směrodatné kilometrové odchylky... 3 5.1.3 Testování hypotéz o shodě směrodatných odchylek... 3 5. Vyrovnání sítě... 4 4

5..1 Vyrovnání zprostředkujících veličin... 4 5.. Vyrovnání vlastních měření... 6 5..3 Výpočet výšek bočně určených bodů... 8 5..4 Výpočet v programu Matlab... 8 5..5 Porovnání etap měření v bazilice sv. Jiří... 9 6 Porovnání digitálního a klasického nivelačního přístroje... 30 6.1 Porovnání podle testu přístrojů dle normy ČSN ISO 1713-... 30 6. Porovnání přístrojů podle měřených převýšení... 30 6..1 T test (Studentův test)... 31 6.. T test (Studentův test) pro párové hodnoty... 33 6.3 Zhodnocení porovnání nivelačních přístrojů... 33 7 Závěr... 35 Literatura... 36 Seznam obrázků... 37 Seznam tabulek... 37 Seznam příloh... 38 5

1 Úvod Pracovníci Katedry speciální geodézie se již dlouhou dobu věnují sledování posunů a deformací objektů v lokalitě Pražského hradu a spolu s kolegy z Katedry geotechniky sledují geotechnické vrty, které se také nacházejí na Pražském hradě. Tyto vrty a okolní objekty byly do nedávné doby měřeny pouze odděleně nebo v souvislosti s nejbližším okolím (např. sledování posunů zdi Na Valech, Matheyova pilíře apod.). Na podzim roku 007 se proto rozběhl projekt, který řeší propojení všech geotechnických vrtů a vybraných nivelačních bodů do jedné lokální výškové sítě a určení polohových souřadnic těchto vrtů a bodů. První výšková měření, která proběhla v rámci tohoto projektu, jsou předmětem mé bakalářské práce. Věnuji se konkrétně jednotlivým výškovým měřením, která proběhla ke konci roku 007. Dále se v textu zabývám zpracováním měření včetně vyrovnání sítě a na závěr porovnáním nivelačního přístroje Zeiss-Jena Ni007 a digitálního nivelačního přístroje Trimble Zeiss DiNi 1T. 6

Nivelační měření na Pražském hradě.1 Metodika měření.1.1 Geometrická nivelace ze středu Metoda geometrické nivelace ze středu je nejpřesnější, nejpoužívanější a také nejjednodušší metodou určování výškových rozdílů. Její princip je patrný z Obr..1. Mezi body A, B, jejichž převýšení chceme určit, se přibližně doprostřed postaví nivelační přístroj. Na bodech A, B se postaví nivelační latě. Na lati umístěné na bodě A se odečte čtení vzad z A a na lati postavené na bodě B čtení vpřed p B, pokud uvažujeme směr postupu měření od A do B. Nivelované převýšení je potom Δ hab = HB HA = za pb. (.1) Obr..1 Princip geometrické nivelace ze středu Jak již bylo řečeno, tato metoda nivelace má mnoho výhod. Její největší předností je odstranění hlavní přístrojové chyby, nevodorovnosti záměrné přímky. Dále se tímto postupem vyloučí vliv zakřivení Země, chyba z přeostření dalekohledu a v určitých případech vliv refrakce a to, když jsou záměry vzad a vpřed přibližně stejně vysoko nad terénem. Vzhledem k požadavkům na přesnost měřených výškových rozdílů vyplývajících z širokého uplatnění nivelace existují různé druhy nivelace, které pomocí vhodných přístrojů, pomůcek a měřického postupu umožňují co nejefektivněji docílit požadované přesnosti. Druhy nivelace podle zvyšujících se nároků na přesnost jsou tyto: 1. technická nivelace (TN). přesná nivelace (PN) 7

3. velmi přesná nivelace (VPN) 4. zvlášť přesná nivelace (ZPN).1. Metoda velmi přesné nivelace Při měření byla snaha dodržet zásady měření pro VPN pro II. řád ČSNS, tyto požadavky jsou uvedeny např. v Metodickém návodu pro práci v Základním výškovém bodovém poli []. Mezi tyto požadavky patří např.: základní měřickou metodou je geometrická nivelace ze středu měří se rektifikovaným přístrojem a rektifikovanými latěmi používá se pevný stativ přístroj a latě se nechají přizpůsobit teplotě okolního vzduchu latě se staví svisle na nivelační podložky k měření se použije dvojice (pár) nivelačních latí. nivelační pořad se zaměří tam a zpět nivelační oddíl se rozměří a rozdělí na sudý počet sestav pořadí nivelačních latí, které se staví na značku, se v opačném směru zamění směr zpět se měří v jiný den a v jinou denní dobu než směr tam největší přípustná délka záměry je 40 m, výška záměry nad terénem přitom nesmí klesnout pod 0.8 m. Avšak kvůli specifickým podmínkám na Pražském hradě nebyly některé z těchto požadavků dodrženy. Jednalo se například o případy, kdy nivelace probíhala na schodech nebo uvnitř budov, při tom byly porušeny tyto zásady měření: byl použit skládací stativ v některých případech nebyla dodržena výška záměry nad terénem nivelační oddíly byly zaměřeny tam a zpět bezprostředně po sobě. Dále byly při měření dodržovány tyto zásady: jednotlivé oddíly byly rozměřovány měřickým kolečkem s přesností na 0.1 m, oddíl byl rozdělen na sudý počet sestav nebo byl zaměřen jako jediná sestava před každým měřením byla provedena kontrola vodorovnosti záměrné přímky přístroje Förstnerovou metodou, zjištěná oprava byla zaváděna během měření pomocí software přístroje mezi jednotlivými sestavami byl stativ přístroje vždy otáčen o 180 ve směru měření (bylo realizováno postavením označené nohy stativu doleva nebo doprava kolmo ke směru měření), při měření zpět byla tato postavení zaměněna. 8

.1.3 Zaměření geotechnických vrtů Jednou z nejdůležitějších problematik je zaměření geotechnických vrtů, které se odvíjí již od samotné konstrukce vrtu. Vlastní vrt je pod úrovní terénu krytý litinovým poklopem. Vršek vrtu tvoří plastové osazení, ve kterém jsou šrouby k uchycení plastového krytu a ocelový trn sloužící k umístění visacího zámku. Vlastní zaměření vrtu probíhalo na speciální přípravek, který se vkládal do vrtu. My jsme měli k dispozici dva tyto přípravky, krátký a dlouhý, které jsme používali v závislosti na hloubce vrtu. V případě vrtu MPD01 (u katedrály sv. Víta) jsme použili oba přípravky. Přípravek umístěný ve vrtu nemá příliš velkou stabilitu, proto jsme se snažili umisťovat přípravek vždy stejným způsobem, aby značka na přípravku směřovala k trnu pro zámeček. Ze stejného důvodu jsme u každého vrtu zaměřili převýšení i na ocelový trn pro zámeček, tento bod jsme označili vždy číslem vrtu a příponou Ex např. MPD01Ex.. Jednotlivá měření Obr.. Geotechnický vrt MPD0 Na podzim roku 007 bylo na Pražském hradě měřeno celkem 4 krát, z toho dvě měření byla provedena v prostorách baziliky a kláštera sv. Jiří, kde se v dubnu 008 provedlo i třetí měření. Toto třetí měření u sv. Jiří je také součástí mé práce. Větší počet měření se nepovedlo uskutečnit z několika důvodů. Jedním z důvodů byl fakt, že nivelační bod, ke kterému celá síť bude vztažena, nebyl v době měření vybudován. Tento bod by měl být zřízen v lokalitě na Opyši a stabilizován hloubkovou stabilizací. Dalším důvodem byl i nedostatek času pro měření. Od konce dubna probíhají na Pražském hradě měření určování polohy metodou GPS, měření polygonových pořadů a nivelační měření. Tato výšková měření již nejsou z časových důvodů do mé práce zahrnuta. 9

..1 Použité přístroje a pomůcky Pro měření byl vybrán digitální nivelační přístroj Trimble Zeiss DiNi 1T, u kterého udává výrobce jednotkovou směrodatnou kilometrovou odchylku σ 0 = 0.3 mm při použití dvojice invarových nivelačních latí s čárovým kódem. Použili jsme konkrétně nivelační přístroj katedry Speciální geodézie, výrobní číslo 70188. Dále jsme použili těžký skládací stativ Trimble. Skládací stativ jsme zvolili s ohledem ke specifickým podmínkám Pražského hradu (nivelace po schodech apod.). Byly použity tyto nivelační latě s čárovým kódem od firmy Zeiss: dvojice invarových nivelačních latí 3 m dlouhé s opěrkami (výrobní čísla: L 1 : 1591 a L : 15415) a jedna dvoumetrová invarová nivelační lať s čárovým kódem bez opěrek (výrobní číslo: 103)... Měření dne 6. 10. 007 První měřený pořad byl veden z Hradčanského náměstí z vrtu číslo VB011 přes I. nádvoří Pražského hradu, kolem Matheyova pilíře, kde je zbudován vrt MPD0. Dále jsme pokračovali po mostě přes Jelení příkop, okolo Míčovny až ke Královskému letohrádku na vrt MPD05. Tohoto měření se zúčastnili Ing. Tomáš Jiřikovský, Ing. Zuzana Fulková a Jan Vaněček. Měřeno bylo od 8:00 přibližně do 15:00. Observační podmínky byly vhodné pro nivelační měření: polojasno, bezvětří, 8 C. Použili jsme v předchozím odstavci uvedenou dvojici nivelačních latí L 1 a L...3 Měření dne 6. 11. 007 Tento den byl nivelační pořad veden z I. nádvoří Pražského hradu z nivelačního bodu číslo 95 na II. nádvoří a Vikářskou ulicí, ve které se nachází u katedrály sv. Víta vrt číslo MPD01. Dále jsme pokračovali Jiřskou ulicí až ke vchodu do Jižních zahrad. Na tomto měření se podíleli Ing. Tomáš Jiřikovský, Ing. Zuzana Fulková, Jan Vaněček a Petr Vymetálek. Měření proběhlo mezi 8:30 a 14:00 hod. Počasí tento den vypadalo následovně: Obr..3 Vikářská ulice 6. 11. 007 10

zataženo, 5 C a silný vítr, kterým bylo měření především v okolí katedrály sv. Víta ovlivněno. Opět jsme použili dvojici nivelačních latí L 1 a L...4 Měření dne 7. 11. 007 Tento den bylo poprvé měřeno v bazilice a klášteře sv. Jiří. Měření bylo navázáno na vrt číslo MPD01 ve Vikářské ulici. Na nádvoří kláštera byl zaměřen vrt MPD04a, avšak vrt MPD04, který se nachází uvnitř kláštera pod severní věží, nebyl zaměřen, protože se nám nepovedlo otevřít kryt vrtu. Při měření se objevily problémy při přechodu z vnitřních prostor kláštera ven, dva oddíly proto musely být zaměřeny opakovaně. Tato situace byla pravděpodobně způsobena velkým rozdílem teplot uvnitř a mimo budovu. Při měření uvnitř objektu, konkrétně pod severní věží baziliky, bylo nutné svítit přenosnou zářivkou na lať, aby byl nivelační přístroj schopen odečíst čtení na lati. Měřili Ing. Tomáš Jiřikovský a Jan Vaněček od 8:00 do 1:00 hod. Při měření byla použitá dvoumetrová nivelační lať bez opěrek, protože podmínky měření uvnitř kláštera neumožňují použití delších latí. Počasí tento den vypadalo následovně: zataženo, mírný vítr, venkovní vzduch měl teplotu 4 C a uvnitř budovy byla teplota 11 C...5 Měření dne 1. 1. 007 Tento den bylo podruhé měřeno v klášteře sv. Jiří. Postup byl totožný s postupem jako v předchozím případě s tím rozdílem, že byl rovněž zaměřen vrt MPD04. Měření provedli Ing. Tomáš Jiřikovský a Ing. Pavla Formanová. Měření proběhlo od 1:00 do 16:00 hod. a za povětrnostních podmínek: zataženo, bezvětří, 5.9 C venku a 11.1 C uvnitř...6 Měření dne 17. 4. 008 Tento den bylo provedeno poslední měření v klášteře sv. Jiří. Postup měření byl shodný jako v případě měření druhé etapy dne 1. 1. 007. Tentokrát bylo měřeno od 8:00 do 11:30 hod. a zúčastnili se jej Ing. Tomáš Jiřikovský, Ing. Zuzana Fulková a Jan Vaněček. Počasí tento den bylo proměnlivé, zpočátku bylo polojasno, později se objevily dešťové přeháňky, teplota vzduchu byla 15 C. 11

3 Test nivelačního přístroje podle ČSN ISO 1713 Česká státní norma 1713 Optika a optické přístroje Terénní postupy pro zkoušení geodetických a měřických přístrojů uvádí terénní postupy pro určování a vyhodnocování přesnosti geodetických přístrojů a jejich příslušenství při použití pro stavební a zeměměřické práce. Postupy uvedené v této normě jsou míněny jako kontrola vhodnosti přístroje pro daný úkol. Norma se dělí na tyto části: 1. Teorie. Nivelační přístroje 3. Teodolity 4. Elektrooptické dálkoměry 5. Elektronické tachymetry 6. Rotační lasery 7. Optické provažovače Tato norma přejímá anglickou verzi mezinárodní normy ISO 1713:001, v České republice vyšla v roce 005. Test digitálního nivelačního přístroje jsem provedl podle části, proto nyní uvedu její stručný obsah, který se týká testu. 3.1 Stručný obsah normy ČSN ISO 1713- Text normy uvádí dva postupy, pro zjednodušený test a úplný test. Použil jsem úplný test, proto postup zjednodušeného testu uvádím pouze okrajově. 3.1.1 Postup 1: Zjednodušený test Zjednodušený postup zkoušky poskytuje odhad, zda přesnost daného vybavení je odpovídající mezní odchylce. Tento postup zkoušky je obvykle určen ke kontrolování přesnosti přístrojů užitých v aplikacích, kde jsou běžné nestejné délky záměr. Zjednodušený postup zkoušky je založen na omezeném počtu měření. Proto nemůže být získána směrodatná odchylka. Jestliže je požadován přesnější odhad přesnosti nivelačního přístroje v polních podmínkách, je nutné použít plný postup zkoušky. 1

3.1. Postup : Úplný test Plný postup zkoušky je určen ke zjištění nejlepší dosažitelné přesnosti nivelačního přístroje a jeho příslušenství v polních podmínkách. Postup je založen na rovnajících se délkách záměr, aby byla splněna podmínka geometrické nivelace ze středu, proto nemůže být tímto postupem zjištěna chyba sklonu záměrné osy nivelačního přístroje. Avšak tato chyba nemá žádný vliv na výslednou výběrovou směrodatnou odchylku, protože se měřickým postupem vyloučí. Doporučené délky záměr jsou 30 m. Délky jiné než 30 m mohou být použity tam, kde je jiná délka požadována projektem nebo při určení míry přesnosti nivelačního přístroje v příslušných vzdálenostech. Test tímto postupem je určen ke zjištění přesnosti specifického nivelačního přístroje. Tato přesnost je vyjádřena v rámci výběrové směrodatné odchylky dvakrát měřeného pořadu dlouhého 1 km: S ISO-LEV. Dále může být tento postup použit pro určení: přesnosti v použití nivelačních přístrojů jedním nivelačním týmem s jedním nivelačním přístrojem a jeho příslušenstvím v určitém čase přesnosti v použití jednoho nivelačního přístroje v průběhu času přesnosti v používání každého z několika nivelačních přístrojů k tomu, aby umožnily srovnání jejich příslušných dosažitelných přesností získaných při podobných polních podmínkách. a. konfigurace testu: Pro udržení minimálního vliv refrakce by měla být vybrána horizontálně rovná oblast. Povrch by měl být kompaktní, nejvhodnější je beton nebo asfalt. V případě vlivu přímého slunečního osvitu musí být přístroj zastíněný slunečníkem. Dva nivelační body A a B, by měly být postaveny v přibližné vzdálenosti d = 60 m od sebe. Pro zajištění spolehlivých výsledků musí být nivelační latě ve stabilní pozici a spolehlivě fixovány během celé zkoušky včetně opakování měření. Nivelační přístroj musí být postaven přibližně ve stejné vzdálenosti mezi nivelačními body, A a B ( 1 = 30m± 3m), pro zajištění redukování vlivu refrakce a sklonu záměrné osy (Obr. 3.1). 13

Obr. 3.1 Konfigurace základny pro úplný test b. měření: Před zahájením měření je nutné počkat, než se přístroj přizpůsobí teplotě okolí. Čas požadovaný na temperaci je přibližně dvě minuty na jeden stupeň Celsia rozdílu teplot přístroje a vzduchu. Dále musí uživatel před měřením zkontrolovat chybu sklonu záměrné přímky. Měření je provedeno dvakrát. První část se skládá z dvaceti měření sestávajících se z jednoho čtení vzad x Aj (na nivelační lať v místě A) a jednoho čtení vpřed x Bj (na nivelační lať v místě B). Po každém měření musí být změněn horizont přístroje. Po deseti měřeních zpět a vpřed ( j = 1,..., 10) se pořadí čtení obrátí na dalších deset měření (j = 11,, 0). Pak budou nivelační latě na bodech A a B vyměněny a procedura bude zopakována dvacetkrát stejným způsobem jako první část měření. c. výpočet: Z naměřených čtení vzad a vpřed se pomocí následujících vzorců určí výběrová směrodatná odchylka S ISO-LEV. d j = xaj xbj, j = 1,...40, kde d j jsou jednotlivá převýšení mezi body A a B. (3.1) d 1 = 0 j= 1 d 0 j kde d 1 je aritmetický průměr převýšení z první části měření. (3.) d = 40 j= 1 d 0 j 1, kde d je aritmetický průměr převýšení z druhé části měření. (3.3) δ = d d (3.4) Rozdíl δ nemá vliv na určení výběrové směrodatné odchylky, ale lze z odhadnout indexovou chybu dvou nivelačních latí. 14

rj = d1 d j; j = 1,...,0, kde r j jsou opravy od průměrů. (3.5) r = d d ; j = 1,...,40 j j Potom suma kvadrátů oprav: 40 0 40 rj = rj + rj j= 1 j= 1 j= 1 (3.6) Počet stupňů volnosti se určí: ν = ( 0 1) = 38 (3.7) Výběrovou směrodatnou odchylku s převýšení mezi body vzdálenými 60 m je možné určit ze vztahu: 40 rj j= 1 s = ν. (3.8) Výběrová směrodatná odchylka S ISO-LEV dvakrát měřeného převýšení 1km dlouhého s 1000m pořadu se určí ze vztahu: siso LEV =. (3.9) 60m Ve všech vzorcích jsou použity hodnoty počtu měření doporučené v této normě. d. testy statistických hypotéz: Všechny statistické testy jsou prováděné na hladině spolehlivosti 1 α = 0.95. Pro hodnoty doporučené v normě je počet stupňů volnosti roven ν = 38. Testované statistické hypotézy: 1. Testem určíme, zda odpovídá výpočtem určená výběrová směrodatná odchylka s základní směrodatné odchylce σ určené výrobcem daného přístroje. nulová hypotéza: s σ alternativní hypotéza: s > σ Nulová hypotéza není zamítnuta v případě, pokud je splněn vztah: Χ1 α ( ν ) s σ, (3.10) ν kde pro dané hodnoty ( ) χ 38 = 53.38, jinak nulovou hypotézu zamítáme a 0.95 přijímáme alternativní hypotézu.. Testem určíme, zda dvě experimentálně zjištěné směrodatné odchylky ze dvou různých měření patří do stejného základního souboru. nulová hypotéza: s1 = s alternativní hypotéza: s1 s Nulová hypotéza není zamítnuta, jestliže je splněn vztah: 15

F 1 1 α /( ν1, ν) s1 s F, (3.11) ( ν, ν ) 1 α / 1 kde pro dané hodnoty je hodnota F-rozdělení rovna ( ) F 38,38 = 1.91, Pokud nerovnost (3.11) neplatí, nulovou hypotézu zamítáme a přijímáme alternativní hypotézu. 3. Testujeme, zda se indexová chyba dvojice nivelačních latí rovná nule: nulová hypotéza: δ = 0 alternativní hypotéza: δ 0 Nulová hypotéza není zamítnuta v případě, pokud je splněn vztah: ( ν ) δ sδ t 1 α /, (3.1) s kde s δ =. (3.13) 10 Pro dané hodnoty je hodnota Studentova t-rozdělení rovna t 0.975 (38) =.0. 0.975 3. Výsledky testu nivelačního přístroje 3..1 Postup měření Vlastní test byl proveden 7. 3. 008 ve sklepních prostorech Stavební fakulty ČVUT. Testován byl digitální nivelační přístroj Trimble DiNi 1T v. č. 70188, kterým bylo měřeno rovněž na Hradě, jak jsem uvedl v odstavci..1. Dále byla použita dvojice m dlouhých invarových latí s čárovým kódem (lať č. 1 - č.: 10333, lať č. č.: 103). Základna pro měření byla zvolena podle požadavků normy. Pro čtení na latích byl vybrán způsob zpět vpřed vpřed zpět proto, aby byla dodržena shodnost s měřením na Hradě, kde se při měření využívá program přístroje Typ pořadu ZVVZ. Tento způsob také napodobuje měření s klasickým optickým přístrojem, kde se na lati odečítá čtení na dvou stupnicích. Do výpočtu byl použit průměr z těchto dvou čtení vzad nebo vpřed. 3.. Výpočty a zhodnocení výsledků testu Měřené hodnoty a tabulka s výpočty převýšení a oprav od průměrů jsou v příloze č.. Vypočtené hodnoty průměrných převýšení 1. a. části: Rozdíl průměrných převýšení: δ = 0.04 mm. d 1 = 6.30 mm d = 6.34 mm. 16

Výběrová směrodatná odchylka: s = 0.11mm. Výběrová směrodatná kilometrová odchylka: siso LEV = 0.31mm. Výsledné hodnoty byly otestovány testy statistických hypotéz podle normy. Použil jsem test č. 1 a test č. 3. Číselné hodnoty statistických testů: - test č. 1: Dosazením hodnoty S ISO-LEV do (3.10) dostaneme nerovnost: - test č. 3: 0.31 0.36. Nerovnost je splněna, proto nemůžeme zamítnout nulovou hypotézu. Z (3.13) dostaneme výběrovou směrodatnou odchylku s δ = 0.03mm, kterou dosadíme do (3.1) a dostaneme nerovnost: 0.04 0.07. Nerovnost je splněna, proto nemůžeme zamítnout nulovou hypotézu. Z uvedených hodnot a především ze statistického testu č. 1 vyplývá, že experimentálně určená směrodatná odchylka odpovídá směrodatné kilometrové odchylce, kterou udává výrobce přístroje (σ = 0.3 mm). Z testu č. 3 můžeme usoudit, že indexová chyba dvojice použitých latí se rovná nule. 17

4 Program na převod zápisníku Trimble Jednou z největších výhod digitálního nivelačního přístroje je možnost registrace měřených hodnot, to umožňuje samozřejmě i námi použitý nivelační přístroj. Pro načtení zápisníku z přístroje a jeho zpracování slouží software výrobce Trimble Geomatics Office. Tento software jsem ale neměl k dispozici, a proto byl zápisník z přístroje načten v textovém formátu txt, který byl dále zpracován. Struktura zápisníku je celkem jednoduchá a přehledná, avšak je zde spousta informací a znaků vkládaných přístrojem, které znemožňují měřená data zkopírovat nebo oddělit od zbytku nějakým efektivním způsobem (Obr. 4.1). Kopírování naměřených dat ze zápisníku po jedné hodnotě není pohodlné ani příliš efektivní, proto jsem se rozhodl napsat jednoduchý program, který by zápisník načetl, vybral naměřené hodnoty a tyto hodnoty vypsal do textového souboru. Obr. 4.1 Ukázka části zápisníku přístroje DiNi 1T 18

4.1 Struktura programu Převod Pro napsání programu jsem si vybral programovací jazyk C++. Vlastní zdrojový kód jsem napsal a kompilaci provedl a v programu Ultimate++ na platformě MS Windows XP. Princip programu spočívá v postupném načítání řádků ze vstupního souboru, jejich zpracovávání a uložení do paměti. Po načtení celého vstupního souboru dojde k vypsání uložených dat do výstupního souboru. Jako základní jednotku pro ukládání naměřených dat jsem zvolil jednu nivelační sestavu, pro kterou jsem vytvořil objekt typu struct, do kterého se ve formě řetězců (string) ukládají čísla bodů, čtení vzad a vpřed, délky záměr a případně i boční záměry. Dále jsou jednotlivé sestavy ukládány do standardního kontejneru typu vector, který reprezentuje jeden nivelační pořad (označení pořad odpovídá značení v zápisníku). Tyto pořady se ukládají do výsledného objektu typu struct, který obsahuje opět tři kontejnery typu vector, jeden pro ukládání pořadů typu ZVVZ, druhý pro pořady typu ZV a třetí pro měřená převýšení, která jsou mimo pořady. Celé zpracování se děje po jednotlivých pořadech. Pokud program načte návěští v zápisníku Pocatek poradu ZVVZ apod., které slouží i k rozpoznání typu pořadu, vytvoří kontejner typu vector pro daný typ pořadu a ukládá do něj jednotlivé sestavy až do chvíle, než narazí na návěští Konec poradu. Podle typu pořadu se zpracovávají i jednotlivé sestavy, protože pro daný typ mají jednotnou strukturu dat. Výjimku tvoří měřená převýšení mimo pořady, která se ukládají vždy po jednom do výsledného objektu typu vector určeného pro tato měření. Při zpracování zápisníku je programem přeskočena hlavička zápisníku a informace o výšce počátečního a koncového bodu pořadu, celkové převýšení a celková délka pořadu, které přístroj během měření počítá. Pokud bylo při měření opakované čtení nebo celé stanovisko, program přeskočí špatné hodnoty, které jsou v zápisníku označeny u čísla bodu sledem znaků ###, a načte jen správné hodnoty čtení. Pokud bychom chtěli hodnoty opakovaných měření porovnat, museli bychom je vyhledat v zápisníku. Po načtení všech dat ze vstupního souboru vypíše program tato data do výstupního souboru v textovém formátu. Program vytváří výstupní soubor sám, název tohoto souboru je proto vždy vystup.txt. 19

4. Použití programu Převod Program Převod je konzolovou aplikací, z čehož vyplývá, že se musí spouštět v Příkazovém řádku (Obr. 4.). Při spouštění programu je nutné zadat vstupní soubor zápisník, který má být převeden. Program umí najednou zpracovat pouze jeden soubor, proto, pokud chceme převést více zápisníků, musíme program spustit pro každý zápisník zvlášť. Jak jsem již zmínil v předcházejícím odstavci 4.1, program pokaždé vytvoří výstupní soubor vystup.txt, který obsahuje převedený zápisník a který se vytvoří v adresáři, kde byl program Převod spuštěn. Obr. 4. Ukázka spuštění programu Převod v Příkazovém řádku MS Windows 0

Obr. 4.3 Ukázka výstupu převedeného zápisníku programem Převod Výstupní soubor má takovou strukturu, aby mohl být snadno načten do některého tabulkového procesoru (MS Excel, OpenOffice.org Calc apod.) nebo matematického software (Matlab, Octave), kde již může být proveden výpočet celého měření. 1

5 Zpracování a vyrovnání měření 5.1 Zpracování naměřených hodnot Naměřené hodnoty jsem ze zápisníků přístroje převedl do programu MS Excel do formy přehledných tabulek. Vypočetl jsem nivelovaná převýšení v jednotlivých oddílech, délku těchto oddílů a rozdíl převýšení při měření tam a zpět. Bočně zaměřené body jsem uvažoval jako volné nivelační pořady a vypočetl převýšení od počátečního bodu nivelačního oddílu, ve kterém byl boční bod zaměřen, z měření tam i zpět. Nakonec jsem vypočetl uzávěry uzavřených nivelačních polygonů. 5.1.1 Rozbor přesnosti po měření V rozboru po měření byl testován rozdíl δ převýšení tam-zpět mezní odchylkou rozdílu δ M, kterou jsem zvolil tak, že odpovídá mezní odchylce pro II. řád Základního výškového bodového pole, která je uvedena např. v [] a má tvar: δ =.5 R, (5.1) M kde R je délka oddílu v kilometrech. Tento test byl prováděn už během měření z hodnot, které byly vypočteny přístrojem, a v případě nesplnění nerovnosti: δ δ M, (5.) byl daný oddíl znovu přeměřen. Tyto opakované oddíly potom nebyly zahrnuty do dalších výpočtů. Dále byly testovány uzávěry U v uzavřených nivelačních polygonech mezním uzávěrem, který je určen opět pro II. řád Základního výškového bodového pole podle []: UM =.5 F, (5.3) kde F je délka uzavřeného polygonu v km. Uzávěry musí splňovat nerovnost: U U M. (5.4) Celkem byly změřeny čtyři uzavřené nivelační polygony (Tab. 5.1), z toho tři byly stejné, protože se jedná o uzavřený polygon měřený na nádvoří kláštera sv. Jiří, který byl zaměřen ve třech etapách. Z tabulky je zřejmé, že všechny uzávěry splňují nerovnost (5.4) a že největší uzávěr má hodnotu 0.11 mm. Velikost uzávěrů závisí pravděpodobně i na tom, že se jedná o krátké nivelační polygony, kdy maximální délka je 300 m.

Tab. 5.1 Přehled uzávěrů Uzávěry v uzavřených polygonech polygon mezi body U [mm] F [km] U M [mm] 417-95-3A-5A-417 0.09 0.945 1. J8-J9-J10-J7-J8 1) 0.11 0.11879 0.78 J8-J9-J10-J7-J8 ) 0.05 0.11663 0.77 J8-J9-J10-J7-J8 3) -0.09 0.11896 0.78 5.1. Výpočet výběrové směrodatné kilometrové odchylky Z rozdílů δ převýšení tam-zpět jsem vypočetl výběrovou směrodatnou kilometrovou odchylku obousměrné nivelace, která se např. podle [] určí: n 1 1 1 R δi σ 0 =, (5.5) n R R i= 1 i kde n R je počet nivelačních oddílů. Pro tato měření má hodnotu 1 σ 0 = 0.337 mm. Také je možné určit výběrovou směrodatnou kilometrovou odchylku z uzávěrů v uzavřených nivelačních polygonech. Vzorec má tvar: nf 1 Ui σ 0 =, (5.6) n F F i= 1 i kde n F je počet uzavřených polygonů. Z hodnot uzávěrů uvedených v Tab. 5.1 je hodnota směrodatné odchylky σ 0 = 0.3 mm. 5.1.3 Testování hypotéz o shodě směrodatných odchylek Předchozím výpočtem byly z měření získány dvě výběrové směrodatné odchylky, které mají rozdílné hodnoty. Pro jejich porovnání je možné použít test statistické hypotézy o rovnosti dvou směrodatných odchylek, tzv. F test, který je popsán např. v [4]. Nulová hypotéza má tvar: H : σ = σ, alternativní hypotéza: 1 0 0 0 Testovacím kritériem bude veličina: 1 0 σ 0 H : σ σ. 1 1 0 0 σ F =, (5.7) která má F rozdělení (Fisherovo Snedecorovo). Kritická hodnota má pro jednostranný test a zvolenou hladinu významnosti α tvar F n n testovaných veličin. Nulovou hypotézu zamítáme v případě F 1 ( α, ), kde 1 n a n jsou stupně volnosti > F α. 3

Pro α = 0.05 jsou číselné hodnoty: F =.9 a F α=0.05 = 8.61. Nemůžeme tudíž nulovou hypotézu zamítnout a předpokládáme rovnost směrodatných odchylek dvou základních souborů, do kterých náleží testované výběrové směrodatné odchylky. Dále je možné otestovat hypotézu, zda výběrová směrodatná kilometrová odchylka odpovídá základní směrodatné kilometrové odchylce σ, kterou udává výrobce, testuje se zda výběrová směrodatná odchylka odpovídá základní směrodatné odchylce. Podle [4] i i testujeme nulovou hypotézu: H 0 : σ = σ 0, alternativní hypotéza: H1: σ σ 0. Testovacím kritériem je veličina, která má χ - rozdělení: i n i χ = σ 0, (5.8) σ kde i n je počet stupňů volnosti a i σ 0 je výběrová směrodatná odchylka. Při zvolené hladině významnosti α budeme nulovou hypotézu zamítat v případě, že bude χ < χ 1 α / nebo χ > χ α /. Při volbě α = 0.05 a dosazení číselných hodnot do (5.8) dostaneme: Tab. 5. Číselné hodnoty statistického testu test 1 σ 0 test σ 0 χ 45.43 χ 1.658 χ 1-α/ 1.48 χ 1-α/ 0.16 χ α/ 54.3 χ α/ 9.350 Z hodnot uvedených v Tab. 5. je patrné, že ani v jednom případě nemůžeme zamítnout nulovou hypotézu. Výběrové směrodatné kilometrové odchylky vypočtené ze souboru měření tudíž odpovídají základní směrodatné kilometrové odchylce, kterou udává výrobce přístroje. 5. Vyrovnání sítě 5..1 Vyrovnání zprostředkujících veličin Metoda nejmenších čtverců (MNČ) je jedním ze způsobů vyrovnání, tj. způsobu jak určit nejlepší odhad skutečné hodnoty měřené veličiny. MNČ je metoda, která při vyrovnání klade požadavek minimalizace čtverců oprav měřených veličin v min. Tato podmínka vyrovnání je v geodézii používaná nejčastěji, a to především z důvodů výpočtu. Další možné podmínky vyrovnání jsou např. podle [4]: 4 i

a) minimalizace největší absolutní hodnoty opravy - max{ i } b) minimalizace sumy absolutních hodnot oprav - v min i v min V geodézii se nejčastěji používá aplikace metody MNČ na vyrovnání zprostředkujících veličin, tedy takových veličin, které je možné vyjádřit funkcí hledaných neznámých. Označíme-li vektor měřených veličin L a vektor neznámých X a vektory vyrovnaných měřených veličin a neznámých L, X, můžeme napsat tento funkční vztah mezi hledanými neznámými a měřenými veličinami: L = L+ v= f( X), (5.9) kde v jsou opravy měřených veličin. Jestliže za měřené veličiny budeme považovat nivelovaná převýšení a za neznámé zvolíme výšky bodů, jsou funkce f ( X ) v rovnici (5.9) lineární a můžeme psát rovnice oprav: v = A X L, (5.10) kde matice A je matice plánu, která obsahuje derivace funkcí f ( X ) podle jednotlivých neznámých: ( ) ( ) f1 X f1 X L X1 Xn A = M O M, (5.11) fm( X) fm( X) L X1 X n kde m je počet měření (funkcí f ( X )) a n je počet neznámých výšek. V tomto případě, kdy jsou funkce f ( X ) jednoduché, obsahuje matice A pouze hodnoty 0, 1 a -1. Jestliže na rovnici oprav (5.10) aplikujeme podmínku MNČ 5 T v P v min, kde P je matice váhových koeficientů jednotlivých měření, dostaneme soustavu normálních rovnic: Součin T A T A T T A P A X A P L =. (5.1) P A se často v literatuře označuje N matice soustavy normálních rovnic, P L je možné potom označit n vektor soustavy normálních rovnic. Soustava součin normálních rovnic bude mít potom tvar: N X = n. (5.13) Řešením této soustavy získáme vyrovnané hodnoty neznámých - výšek bodů. Vyrovnané hodnoty měřených veličin, v našem případě převýšení, určíme z vyrovnaných neznámých: L = L+ v = A X. (5.14)

Po určení vyrovnaných neznámých je možné určit aposteriorní charakteristiky přesnosti vyrovnaných neznámých i vyrovnaných měření plynoucí ze zavedení podmínky MNČ. Aposteriorní jednotková směrodatná odchylka se vypočte podle: σ T apost v P v 0 =, (5.15) f kde f je počet stupňů volnosti, nadbytečných měření. Charakteristikou přesnosti vyrovnaných neznámých je kovarianční matice vyrovnaných neznámých Qx 1 = N (5.16) a směrodatné odchylky jednotlivých vyrovnaných neznámých σ xi = σ Q, apost 0 xii (5.17) kde Qx ii jsou prvky na hlavní diagonále kovarianční matice. Směrodatné odchylky vyrovnaných měření se určí stejným postupem z kovarianční matice vyrovnaných měření, která se určí Q A Q A T = L x. (5.18) 5.. Vyrovnání vlastních měření Při vyrovnání měření jsem použil postup vyrovnání, který je popsán v předcházejícím odstavci, ale s jednou úpravou. Jako neznámé jsem zvolil výšky všech bodů v síti a sestavil matici plánu A. V případě takovéto volby se jedná o volnou síť, matice N je singulární a soustava normálních rovnic nejde vyřešit. Jedním ze způsobů řešení je fixace výšky některého bodu na určité hodnotě pomocí tzv. pseudoměření. To znamená, že do výpočtu přidáme ještě jedno měření, za které prohlásíme výšku určitého bodu H fix se směrodatnou odchylkou σ fix. Pro pseudoměření je nutné sestavit opět matici plánu A fix. V tomto případě jde pouze o řádkový vektor, a obsahuje pouze 0 a jednu 1 na místě i, kde i je index bodu, na kterém fixujeme výšku fix ( 0, 0,1, 0, 0) A = K K (5.19) Váhová matice P fix je pouze skalár a má tvar P fix 1 =. (5.0) σ fix Matice soustavy normálních rovnic N a vektor n se potom určí 6

T T N = A P A+ Afix Pfix Afix T T n= A P L+ Afix Pfix H fix. (5.1) Řešení soustavy se dále provede standardním postupem podle (5.13). Při vyrovnání sítě jsem provedl výpočet najednou pro měření provedená ve dnech 6. 10., 6. 11. a 7. 11. 007. Pro tento výpočet jsem zvolil jako výchozí bod VB011Ex, na kterém jsem výšku fixoval na hodnotě 100 m se směrodatnou odchylkou 0.1 mm. Druhou a třetí etapu měření v bazilice sv. Jiří jsem vyrovnával každou samostatně tak, že za výchozí bod jsem zvolil bod MPD01Ex. Výšku a směrodatnou odchylku výšky tohoto bodu jsem převzal z prvního výpočtu vyrovnání. Důležitým parametrem vyrovnání byla volba váhových koeficientů jednotlivých převýšení. Jelikož klasická volba váhových koeficientů, kdy se váhy převýšení volí nepřímo úměrné délce oddílu v km, neodpovídá situaci na Pražském hradě, kde jsou nivelační oddíly krátké (maximální délky do 400 m), zvolil jsem váhové koeficienty nepřímo úměrné počtu nivelačních sestav v nivelačním oddíle. Ze všech měření jsem určil průměrnou délku nivelační sestavy s ns = 6 m. Z jednotkové směrodatné kilometrové odchylky, kterou udává výrobce, je možné určit směrodatnou odchylku převýšení v jedné sestavě při měření tam a zpět σ ns [ m] sns = σ0, (5.) 1000 která pro danou průměrnou délku sestavy má hodnotu σ ns = 0.05 mm. Kovarianční matice měření (jednotlivých převýšení) se určí Q L σ ns n1 L 0 = M O M, (5.3) 0 σ ns n L n kde n i je počet nivelačních sestav v oddíle. Jestliže máme kovarianční matici měření, snadno z ní určíme váhovou matici P =, (5.4) 1 Q L která potom vstupuje do vyrovnání. Pro porovnání různých způsobů volby váhových koeficientů jsem první výpočet vyrovnání provedl třikrát pokaždé s jinou volbou vah. Nejprve jsem volil váhy nepřímo úměrné počtu nivelačních sestav, podruhé jsem zvolil váhy rovné 1 a pro třetí výpočet jsem váhy zvolil nepřímo úměrné délce oddílu v km. Z porovnání výsledků je zřejmé, že volba vah nemá pro toto měření téměř žádný vliv. Rozdíly vyrovnaných výšek se většinou 7

pohybují v tisícinách milimetru. Pouze u jedné výšky rozdíl přesáhl 0.1 mm, jedná se o bod MPD04a. Tento rozdíl mohl být způsoben způsobem měření, kdy převýšení na tento bod bylo měřeno ze dvou stanovisek, jednou byla délka 8 m a podruhé pouze 9 m, ale jednalo se vždy pouze o jednu sestavu, proto se zde mohl projevit rozdíl ve volbě vah. Výsledky porovnání jsou v příloze č. 5. 5..3 Výpočet výšek bočně určených bodů Bočně určené body byly vypočteny tak, že byly převedeny na volný nivelační pořad, který začíná na počátečním bodě A daného nivelačního oddílu A-C a končí na bočně určeném bodě B. Převýšení tedy dostaneme jako aritmetický průměr z převýšení tam a zpět T Z ΔhAB ΔhAB Δ hab =. (5.5) Tomuto převýšení je následně připočtena poměrná část opravy z vyrovnání, která přísluší převýšení daného oddílu, ze kterého je bod bočně určen v n AC AB Δ hab =Δ hab +, (5.6) nac kde v AC je oprava z vyrovnání daného oddílu, n AB je počet nivelačních sestav k bočně určenému bodu a n AC je počet sestav celého oddílu. Výška bočně určeného bodu je potom H B = HA +Δ hab (5.7) a směrodatná odchylka výšky se určí ze směrodatné odchylky počátečního bodu A σ = σ + σ Δ, (5.8) HB HA hab kde σ H A je směrodatná odchylka výšky počátečního bodu A a σ Δ h AB je směrodatná odchylka převýšení Δh AB, která se určí σδ = σ n, (5.9) hab ns AB kde σ ns se určí podle (5.). 5..4 Výpočet v programu Matlab Pro vlastní výpočet vyrovnání jsem zvolil program Matlab. Tento program disponuje velkým množstvím funkcí pro operace s maticemi, které se hodí pro výpočet vyrovnání. Celý výpočet jsem rozdělil do dvou skriptů (tzv. m file), první pro výpočet prvního vyrovnání a druhý pro výpočet vyrovnání a porovnání etap měření v bazilice sv. Jiří. V těchto dvou skriptech jsem použil funkci pro vyrovnání výškové sítě. Tuto funkci jsem napsal tak, aby fungovala obecně pro jakýkoliv počet bodů a jakýkoliv bod, na kterém se 8

fixuje výška. Tato volba má výhodu i ve výpočtu, protože je velmi rychlé a jednoduché provést změnu například bodu, na kterém se fixuje výška. Všechny skripty a funkce pro výpočet programu Matlab jsou na přiloženém CD. 5..5 Porovnání etap měření v bazilice sv. Jiří Výšky bodů v jednotlivých etapách jsem vypočetl zvlášť, přičemž jsem jako pevný bod bral bod MPD01Ex. Tento bod jsem zvolil z toho důvodu, že jsou k němu všechna měření připojena a není přímo v bazilice sv. Jiří. Posuny na jednotlivých bodech jsem neurčoval, protože to není předmětem této bakalářské práce, určil jsem pouze rozdíly mezi jednotlivými etapami za účelem vyhledání hrubých chyb měření. Z těchto rozdílů je zřejmé, že ve druhé etapě byla pravděpodobně hrubou chybou měření ovlivněna výška bodu MPD04aEx, která se od ostatních etap liší téměř o 50 mm. Ostatní rozdíly se pohybují v rámci desetin milimetru. Porovnání jednotlivých etap jsou v příloze č. 5. 9

6 Porovnání digitálního a klasického nivelačního přístroje V této kapitole bych chtěl provést porovnání dvou nivelačních přístrojů, které se používají při měření na Pražském hradě. Jedná se o přístroj Trimble Zeiss DiNi 1T, se kterým byla provedena měření zpracovávaná v této práci, a nivelační přístroj Zeiss-Jena Ni007 (výrobní číslo 194047). 6.1 Porovnání podle testu přístrojů dle normy ČSN ISO 1713- V kapitole 3 jsem uvedl postup testu přístroje podle normy ČSN ISO 1713- a výsledky tohoto testu pro přístroj DiNi 1T. Stejným způsobem byl testován i přístroj Ni007, tento test provedl Petr Vymetálek, který mi také poskytl výsledky tohoto testu. Testem určená výběrová směrodatná kilometrová odchylka má hodnotu s Ni007 ISO LEV = 0.67mm a podle testu statistické hypotézy 1 (více odstavec 3.1.) tato hodnota odpovídá hodnotě, kterou udává výrobce přístroje (σ = 0.7 mm). Kompletní výsledky testu Ni007 jsou v příloze č. 6. Porovnání přístrojů vychází z testu statistické hypotézy o rovnosti směrodatných odchylek, který jsem popsal v odstavci 3.1.. Po dosazení číselných hodnot do (3.11) dostáváme tuto nerovnost 0.67 0.54 = 4.671 1.91, 0.31 která neplatí, proto zamítáme nulovou hypotézu a přijímáme alternativní hypotézu s s DiNi Ni007 ISO LEV ISO LEV. Z toho plyne, že digitální přístroj DiNi 1T má menší výběrovou směrodatnou kilometrovou odchylku než klasický nivelační přístroj Ni007. 6. Porovnání přístrojů podle měřených převýšení Část měření, která jsou zpracovávána v rámci této práce, se shoduje s měřením, které provedli dne 17. 10. 007 doc. J. Procházka a Ing. L. Línková nivelačním přístrojem Ni007. Přehled těchto oddílů je vyznačen na přehledové mapce, která je přílohou č. 1. Převýšení, která byla určena klasickým přístrojem, jsem přepočetl tak, aby odpovídala oddílům měřeným digitálním přístrojem. Dále jsem vypočetl směrodatné odchylky těchto převýšení. Směrodatná odchylka převýšení je σδ = σ n, (6.1) hab s AB 30

kde n AB je počet nivelačních sestav v oddíle a σ s je směrodatná odchylka převýšení v sestavě měřené tam a zpět, která má podle [7] hodnotu σ s = 0.07 mm. Tab. 6.1 Porovnávaná převýšení a jejich směrodatné odchylky převýšení DiNi 1T Ni 007 z bodu na bod Δh 1 [m] σ 1 [mm] Δh [m] σ [mm] Δh 1 - Δh [mm] VB11 8 0.09443 0.07 0.0949 0.10 0.14 8 417 0.0117 0.07 0.01176 0.1-0.04 417 5A 1.11884 0.10 1.11853 0.17 0.31 5A 3A -.53794 0.10 -.53796 0.16 0.0 5A MPD0-0.63783 0.05-0.63794 0.07 0.11 3A 95 0.357 0.07 0.3574 0.1-0.0 95 417 1.09338 0.10 1.09347 0.16-0.09 95 100 1.1855 0.10 1.1888 0.16-0.33 100 13 0.164 0.07 0.170 0.14-0.05 100 131 0.43094 0.05 0.43085 0.10 0.09 13 MPD01-0.46639 0.07-0.46657 0.07 0.18 6..1 T test (Studentův test) Tímto testem se testuje hypotéza, zda dva výběry s výběrovými průměry x 1, x a výběrovými směrodatnými odchylkami σ 1, σ jsou výběry ze dvou základních souborů, pro které platí rovnost jejich středních hodnot. Test je uveden např. v [4]. Testovaná nulová hypotéza má tvar: H : E( x ) E( x ) =. 0 1 Nejprve je nutné určit, zda si výběrové směrodatné odchylky odpovídají, podle toho se pak volí testovací kritérium. Test směrodatných odchylek se provádí F testem, postup tohoto testu je uveden v odstavci 5.1.3. Tímto testem nebyly testovány jednotlivé směrodatné odchylky daných převýšení, ale pouze jejich kvadratický průměr, který se vypočte podle: n σ1, i i= 1 σ 1, =. (6.) n Testovaná veličina se potom určí 31

0.18 F = σ σ = (6.3) 1 0.077 a má číselnou hodnotu F =.78. Kritické hodnoty pro jednostranný test a hladiny významnosti α = 0.05 a α = 0.01 mají velikosti F 0.05 =.98 a F 0.01 = 4.85. Z porovnání testované veličiny a kritických hodnot je zřejmé, že nemůžeme zamítnout nulovou hypotézu na hladině významnosti 5% ani 1%. Domníváme se tedy, že přesnost určení jednotlivých převýšení různými přístroji se významně neliší. Testovací kritérium T testu má tvar t = x σ n x 1 σ + n 1 1, (6.4) kde n 1, n jsou počty prvků ve výběrech 1 a. Veličina t má Studentovo rozdělení s ( n n ) + stupni volnosti. Nulovou hypotézu budeme zamítat při t > /. 1 Kritické hodnoty pro všechna rozdělení a pro danou hladinu významnosti jsem převzal ze statistických tabulek, např. z [4] nebo [5]. Tento test aplikujeme na dvě dvojice převýšení, která mají největší rozdíl, jedná se převýšení mezi body 95-100 a 417-5A. Pokud pro tento test pro obě dvojice převýšení nezamítneme nulovou hypotézu, budeme předpokládat, že bychom nulovou hypotézu nezamítli ani pro ostatní dvojice převýšení, jejichž rozdíly jsou menší. Pokud test vyjádříme číselně, dostaneme tyto hodnoty: Tab. 6. Hodnoty T testu pro dvě vybraná převýšení z bodu na bod Δh1 - Δh [mm] n 1 σ 1 [mm] n σ [mm] t t 0.05 95 100-0.33 0.10 0.16.54 4.30 417 5A 0.31 3 0.10 3 0.17.73.78 t α Z hodnot uvedených v Tab. 6. je zřejmé, že pro obě dvojice převýšení je splněna nerovnost pro přijetí nulové hypotézy T testu. Nemůžeme tedy zamítnout nulovou hypotézu, a proto lze předpokládat, že převýšení určená digitálně a klasicky jsou výběry ze dvou základních souborů, jejichž střední hodnoty se rovnají. Toto porovnání je pouze orientační, protože vzhledem k velikosti testovaného souboru a počtu nadbytečných měření mají statistické testy malou sílu a hodně se zde projevuje vliv náhodných chyb měření. 3

6.. T test (Studentův test) pro párové hodnoty Tento test slouží k porovnání rozdílu dvojic (x i, y i ), kdy dvojice jsou z náhodného vektoru (X, Y). Testuje se nulová hypotéza H E ( X ) E ( Y ) 0 : =. Tento test jsem převzal z [8] a upravil pro porovnání dvojic měřených převýšení. Označí-li se rozdíly dvojic převýšení (h 1i, h i ) δ i = h1 i hi, kde i = 1, n a směrodatná odchylka tohoto rozdílu σ = σ + σ, je možné vypočítat průměrný rozdíl a δi 1i i směrodatnou odchylku průměrného rozdílu. Průměrný rozdíl se určí váženým průměrem, kde jako váhy jsou převrácené hodnoty kvadrátů směrodatných odchylek jednotlivých rozdílů: 1 p =, (6.5) i σ δ i potom δ δ p = a σ = i δ p i i pi ( δ δi) ( pi ) ( n 1) Testovaným kritériem je veličina (6.6). (6.7) δ t =, (6.8) σ δ která má Studentovo t rozdělení s k = n 1 stupni volnosti. Abychom nezamítali nulovou hypotézu, musí platit nerovnost t / t t /. α α Jestliže se dosadí číselné rozdíly převýšení do výše uvedených vzorců, dostáváme pro hodnotu průměru δ = 0.065 mm a jeho směrodatnou odchylku σ = 0.041mm. Testované kritérium má hodnotu t = 1.60 a kritická hodnota t α/ =.3 pro hladinu významnosti α = 0.05, z čehož plyne, že nemůžeme zamítnout nulovou hypotézu a považujeme dvojice převýšení za různé výběry ze dvou základních souborů, jejichž střední hodnoty se rovnají. δ 6.3 Zhodnocení porovnání nivelačních přístrojů Z porovnání, která jsem provedl, lze usoudit, že digitální nivelační přístroj Trimble Zeiss DiNi 1T má vyšší přesnost (nižší jednotkovou směrodatnou kilometrovou odchylku) než klasický nivelační přístroj Zeiss-Jena Ni007. Měřená převýšení těmito přístroji si vzájemně celkem odpovídají, což je vidět už z rozdílů převýšení. Dále jsem také 33

provedenými testy statistických hypotéz nevyvrátil hypotézu o rovnosti středních hodnot základních souborů, i když tyto testy byly provedeny na souboru o malém rozsahu. Vzhledem k těmto skutečnostem můžu vyslovit závěr, že pro měření na Pražském hradě je možné nahradit klasický nivelační přístroj digitálním s tím, že digitální přístroj má srovnatelnou nebo dokonce větší přesnost než klasický nivelační přístroj. Digitální přístroj má oproti klasickému přístroji další výhody, které způsobují to, proč se digitální nivelační přístroje stále více prosazují. Jednou nespornou výhodou digitálního přístroje je registrace měřených dat, která eliminuje hrubé chyby z nesprávné ruční registrace. Další výhodou je jistě i automatické odečítání na lati, které výrazně zrychluje práci, avšak má i svá úskalí a omezení. Automatické odečítání je velmi citlivé na světelné podmínky, lať musí být dobře osvětlena a již malý stín způsobí, že přístroj hlásí chybu. Dalším problémem může být, že při čtení na kódové stupnici neexistuje možnost, jak zkontrolovat čtení a je nutné věřit hodnotě, kterou určí přístroj. 34

7 Závěr V této bakalářské práci jsem se především věnoval výškovým měřením na Pražském hradě, která byla provedena pomocí digitálního nivelačního přístroje. Zaměřil jsem se na jednotlivá měření a problémy, které se během nich vyskytly. Pro převod digitálního zápisníku z přístroje jsem napsal jednoduchý program, který podle mého názoru výrazně zrychlí a zpřehlední tuto fázi zpracování měření. Z rozdílů měřených převýšení tam a zpět a z uzávěrů uzavřených nivelačních polygonů jsem určil výběrové směrodatné kilometrové odchylky. Testy statistických hypotéz potvrdily, že tyto odchylky odpovídají základní směrodatné odchylce, kterou udává výrobce. Tuto skutečnost potvrdil i test přístroje, který jsem provedl podle normy ČSN ISO 1713-. Výšky všech bodů jsem určil vyrovnání metodou MNČ a dále aposteriorní charakteristiky přesnosti vplývající z vyrovnání. Výšku výchozího bodu jsem zvolil na 100 m. Při výpočtu jsem neuvažoval vliv sbíhavosti hladinových ploch, tudíž k jednotlivým převýšením nebyly připočteny korekce ze sbíhavosti hladinových ploch. Vypočtené výšky jsou proto v místním systému a ne v systému Bpv. V závěrečné části práce jsem provedl porovnání digitálního nivelačního přístroje a klasického optického přístroje. Z tohoto porovnání jsem vyvodil závěr, že daný digitální přístroj má vyšší přesnost než daný klasický přístroj. Z výsledků porovnání měřených převýšení plyne, že si převýšení měřená digitálně a klasicky odpovídají. Myslím si, že je možné nahradit klasický přístroj digitálním. Pokud vezmeme v úvahu i výhody digitálního přístroje jako takového, je použití digitálního nivelačního přístroje přínosem po stránce nejen přesnosti měření, ale i po stránce ekonomické. 35

Literatura [1] BLAŽEK, Radim, SKOŘEPA, Zdeněk. Geodézie 3.. přeprac. vyd. Praha : Vydavatelství ČVUT, 004. 16 s. ISBN 80-01-03100-4. [] Zeměměřický úřad. Metodický návod pro práce v Základním výškovém bodovém poli. [s.l.] : [s.n.], 003. 46 s. [3] ČNI. ČSN ISO 1713- : Optika a optické přístroje - Terénní postupy pro zkoušení geodetických a měřických přístrojů. [s.l.] : [s.n.], 005. [4] HAMPACHER, Miroslav, RADOUCH, Vladimír. Teorie chyb a vyrovnávací počet 10. 1. dotisk vyd. Praha : Vydavatelství ČVUT, 000. 159 s. ISBN 80-01-01704-4. [5] HAMPACHER, Miroslav, RADOUCH, Vladimír. Teorie chyb a vyrovnávací počet 0. 1. dotisk vyd. Praha : Vydavatelství ČVUT, 000. 140 s. ISBN 80-01-01703-6. [6] ČEPEK, Aleš. Úvod do C++. 1. vyd. Praha : Vydavatelství ČVUT, 004. 65 s. Dostupný z WWW: <http://gama.fsv.cvut.cz/~cepek/uvodc++/uvodc++-004-09- 11.pdf>. [7] ČECH, Václav, JIŘIKOVSKÝ, Tomáš. Nivelace : Určení svislých posunů stavebního objektu metodou přesné nivelace s nestejně dlouhými záměrami. [s.l.] : [s.n.], 007. 13 s. [8] BEDNÁŘ, Josef. Testování statistických hypotéz. [s.l.] : [s.n.], 006. 8 s. Dostupný z WWW: <http://mathonline.fme.vutbr.cz/download.aspx?id_file=479>. 36