Dva případy chybného rozhodnutí při testování: a) Testační statistika padne mimo obor přijetí nulové H hypotézy O, tj.

Transkript

1 Uvedeme obecný postup statistického testování:. Formulace nulové H 0a alternativní hpotéz H A.. Volba hladin významnosti α.. Volba testační statistik např... Určení kritického oboru testové charakteristik. 5. Včíslení testační statistik a jejích kvantilů. 6. Rozhodnutí zda a) Zamítnout hpotézu H 0a přijmout H A jestliže testační statistika padne do kritického oboru b) Nezamítnout hpotézu H 0 jestliže testační statistika nepadne do kritického oboru. Výsledek testování: a) Zamítnutí hpotéz H 0 neznamená že testovaná nulová hpotéza ale znamená že její platnosti nevěříme protože výsledek testu posktl objektivní důvod. V dalším pak budeme uvažovat že H neplatí a H platí. 0 A b) Nezamítneme-li hpotézu H neznamená to její přijetí. Výsledek testu neukázal tak velkou neshodu mezi 0 zjištěnou skutečností a testovanou hpotézou která b dala dostatečný důvod k zamítnutí hpotéz. Dva případ chbného rozhodnutí při testování: a) Testační statistika padne mimo obor přijetí nulové H hpotéz O tj. mimo interval 0 p α/ s α/ a hpotéza H 0 přitom platí. Platí-li H 0 je pravděpodobnost padnutí s mimo obor O p rovna právě hladině významnosti α. Velikost α určuje velikost tj. nesprávného zamítnutí správné nulové hpotéz H 0. b) Testační statistika padne do oboru O P tj. mimo interval s < α/ resp. s > α/. a přitom platí alternativní hpotéza H A. Pravděpodobnost že s padne do oboru přijetí O p i kdž H 0 neplatí představuje velikost ß.

2 a) vpočteme intervalový odhad parametru µ (tj. poloh či rozptýlení). Padne-li zadaná hodnota µ 0 parametru µ do tohoto intervalu nezamítá se hpotéza H 0: µ = µ 0. Padne-li µ 0 mimo tento interval zamítá se H 0. b) ze základního souboru s rozdělením N(µ σ ) provedeme náhodný výběr rozsahu a vpočteme výběrový průměr a směrodatnou odchlku. Jako testovou statistiku zvolíme náhodnou veličinu µ 0 Kritické obor testů poloh hpotéz H : µ = µ proti různým alternativám H pro hladinu významnosti α jsou 0 0 A uveden v tabulce. Hraniční bod kritického oboru představují 00α%ní kvantil známých rozdělení. Místo formálního testování zda jsou tto kvantil větší než testové statistik je možné přímo včíslit velikost pravděpodobnosti ( - α) (u oboustranného testu ( - α/)). Nulová Alternativní Testační Kritický hpotéza H0 hpotéza HA charakteristika obor µ > µ 0 t t (-α)(n-) µ = µ µ < µ t = ( - µ ) n /s t < t (n-) α µ U µ t t (n-) 0 (-α/)

3 Porovnání dvou výběrů =... a =... patří k častým úlohám v přírodních i technických i j vědách a to při (a) porovnání výsledků z různých instrumentálních metod nebo laboratoře (b) ověřování nutnosti dělení heterogenních výběrů do homogenních podskupin (c) hodnocení rozdílu mezi rozličnými materiál a přístroji. Někd lze tuto úlohu převést na testování jednoho výběru. To je totiž případ kd mezi prvk obou výběrů eistuje jistá logická vazba. Představují-li prvk ivlastnosti před úpravou materiálu a prvk i stejné vlastnosti po úpravě materiálu vzorků ( ) lze utvořit jednorozměrný výběr = - pro který lze užít klasickou i i i statistickou analýzu. Pokud se střední hodnota µ D významně neliší od nul znamená to že µ = µ a efekt zpracování materiálu není pro sledovanou vlastnost statistick významný (t.zv.. V obecnějším případě dvou výběrů lze zjistit zda pocházejí ze stejného rozdělení pravděpodobnosti a zda se neliší v parametrech poloh a rozptýlení.. Klasický Fisher-Snedecorovým -test. Modifikovaný Fisher-Snedecorův -test. Robustní Jackknife test. J. Klasický Studentův -test pro homoskedasticitu. Klasický Studentův -test pro heteroskedasticitu test a statistické diagnostik k ověření předpokladů o výběru.. Modifikovaný Studentův -test pro výběr odchýlené od normálního rozdělení.. Robustní Jackknife test poloh pro homoskedasticitu.5 Robustní Jackknife test poloh pro heteroskedasticitu. 5 Klasické test vcházejí z předpokladů: a) výběr i =... a j =... jsou vzájemně nezávislé; b) rozdělení obou výběrů je normální N(µ ) a N(µ ). σ i j Eistuje řada různých metod které jsou použitelné i v případech kd jsou tto dva předpoklad narušen. Před vlastní statistickou analýzou je výhodné všetřit nejprve metodami průzkumové analýz chování obou výběrů. σ umožňuje ověření nulové hpotéz H σ σ σ σ 0: = proti alternativní H: A U. Vchází se z předpokladu že oba výběr jsou nezávislé a pocházejí z normálního rozdělení. Testovací kritérium má tvar ma Platí-li hpotéza H s s 0 a má kritérium -rozdělení s ν = - a ν = - stupni volnosti. V opačném případě se pořadí stupňů volnosti zamění. Je-li -α(ν ν ) je nulová hpotéza H 0 o shodnosti rozptlů zamítnuta..

4 předchozí klasický -test je značně citlivý na předpoklad normalit. Mají-li obě výběrová rozdělení jinou špičatost než odpovídá normálnímu je třeba užít kvantil -α(ν ν ) se stupni volnosti ν a ν včíslenými podle vztahů ν ˆc ν ˆc ˆc ( ) n i n i ) ) n i n i ) ) Testovací kritérium má tvar jsou-li v datech navíc odlehlé hodnot jeví se užitečný robustní Jackknife test. J n i ( ) ( ) ) n i ) n j j i j ji Veličin i ln ( )ln i se počítají podle vztahu (i) (i) ( j (i) ). jui Ve vztahu se vsktuje průměr s vnechanou -tou hodnotou pro který platí (i) j. jui Při výpočtu i se ve výše uvedených vztazích dosazují hodnot j =... rozptl a rozsah výběru. Platí-li nulová hpotéza H 0 má testovací kritérium J přibližně rozdělení s ν = ν = + - stupni volnosti. Vjde-li že J -α ν ν ) je nutné zamítnout hpotézu H 0 o shodnosti obou výběrových rozptlů na hladině významnosti. n n Studentův -test umožňuje testování hpotéz H : µ = µ proti alternativní H : µ U µ i při splnění obou uvedených 0 A předpokladů o výběrech:

5 rozdělení má testovací kritérium tvar : pro = a kdž obě rozdělení vkazují Gaussovo σ σ Platí-li že ( ) ( ) ( ) je hpotéza H o shodě středních hodnot na hladině významnosti α zamítnuta. -α/ 0 rozdělení má testovací kritérium tvar ν σ Platí-li hpotéza H má tato testová statistika Studentovo rozdělení s 0 ( ) pro U a kdž obě rozdělení vkazují Gaussovo σ ( ) stupni volnosti ν Platí-li že -α/(ν) je hpotéza H 0 o shodě středních hodnot na hladině významnosti α zamítnuta. Testovací kritérium není robustní vůči heteroskedasticitě tj. případu kd data jsou ve výběrech měřena s různou přesností. V této situaci je správnější užít testovacího kritéria které je vůči heteroskedasticitě robustnější. Na druhé straně však ekvivalentní stupně volnosti ν vcházejí menší než + - takže síla testu je nižší než síla. jestliže jedno z rozdělení se odchluje od normalit nebo se významně liší v šikmosti od druhého je vhodné použít modifikované testovací kritérium ( ) 6 ˆ ˆ a V těchto vztazích jsou ˆ a ˆ výběrové šikmosti. Ab blo možné užít kvantilů Studentova rozdělení pro předepsanou hladinu významnosti α je třeba přeformulovat testovací kritérium do tvaru ˆ ˆ

6 B ĝ s 6 n n s n s n s n ĝ s ( ȳ) n n s n s n s n a ˆ ˆ σ σ se včíslí analogick pouze šikmost se nahradí hodnotou rozptl hodnotou a rozsah hodnotou. Za předpokladu platnosti hpotéz H 0 má testovací kritérium Studentovo rozdělení s počtem stupňů volnosti ν. Test založený na kritériu je robustní vůči sešikmení výběrových rozdělení i vůči heteroskedasticitě a není u něho požadována ani shoda rozptlů σ U σ. Vůči odchlkám rozdělení od normalit ve špičatosti jsou uvedené -test a dostatečně robustní. Je možné použít i korekcí na špičatost což však nepřináší výrazné zlepšení. σ jsou-li ve výběrech přítomna vbočující měření lze pro test hpotéz H σ 0: µ = µ a = upravit testovací kritérium založené na uřezaném průměru na tvar ( (D) ȳ(d)) T S w (D) S w (D) ( ) a ( ) se včíslí pro výběr =... a =.... Je-li = má náhodná veličina w w i j přibližně Studentovo rozdělení s ( - ) stupni volnosti. Test lze použít jen pro rozsah 7. σ σ 5 pro případ nestejných rozptlů U a nestejných rozsahů U a s vužitím kritéria lze formulovat robustní kritérium 5 pro test hpotéz H 0: µ = µ ( ) ( ) w 5 w ( ) w w ( ) w w Testovací kritérium 5 i i i 00 pro. má přibližně Studentovo rozdělení s ν stupni volnosti pro které platí s w ν z h ( z) h h z. s w s w h h Robustní test a jsou výhodné také pro rozdělení s dlouhými konci kdž je špičatost větší než. V případě 5 normálního rozdělení však mají menší sílu než test a.