CAE TECHNOLOGIES IN TEACHING OF TECHNICAL MECHANICS Karel DVOŘÁK Abstract: Contribution introduces a possibility of using of CAE tools in teaching of technical mechanics at secondary engineering oriented schools. Listed procedures are designed to be usable also for pupils without a deeper knowledge of the finite element method. A set of basic tasks of statics, elasticity and strength can be solved with a basic skill of working with a used application. Inclusion of the described procedures into the individual topics of subject should not only lead to a higher efficiency, but also to a popularization of the issue and to a motivation of students to study a technical field. Key words: Computer Aided Engineering, Finite Element Method, Technical Mechanics. CAE TECHNOLOGIE VE VÝUCE TECHNICKÉ MECHANIKY Resumé: Příspěvek představuje moţnost vyuţití CAE nástrojů ve výuce technické mechaniky na středních školách strojírenského zaměření. Uvedené postupy jsou navrţené tak, aby byly vyuţitelné i pro ţáky bez hlubších znalostí metody konečných prvků. Při základních dovedností ovládání pouţité aplikace lze řešit soubor úloh základů statiky, pruţnosti a pevnosti. Zařazení popisovaných postupů do jednotlivých témat předmětu by mělo vést nejen k vyšší efektivitě, ale také k popularizaci problematiky a motivaci ţáků ke studiu technického oboru. Klíčová slova: Počítačová podpora technických výpočtů, Metoda konečných prvků, technická mechanika. 1 Úvod Technická mechanika je jedním ze základních předmětů, zařazovaných do učebních plánů strojírenských a stavebních oborů středních škol. Znalosti, získané v tomto předmětu a pochopení problematiky lze povaţovat za klíčovou součást teoretické výbavy kaţdého absolventa. Technické myšlení, uplatňované při řešení elementárních i komplexních úloh profesní praxe je zaloţené na pochopení procesů a dějů v technických systémech. Teoretické základy technické problematiky jsou vyučované v tomto předmětu a měli by být následně vyuţívány v dalších oborově zaměřených předmětech. Z výzkumných šetření mezi ţáky při výuce lze usoudit, ţe posluchači povaţují předmět spíše za obtíţný. Pochopení základních zákonitostí však souvisí s pozitivní motivací ke studiu technické problematiky. Získání vhledu do procesů a dějů v konstrukčních řešeních můţe jejich motivaci ještě zvýšit. K tomu můţe vést i popularizace vyuţitím výukových metod, které jsou v souladu se současnými trendy zájmů a dispozic ţáků. Jednou z těchto metod je vyuţití výpočetní techniky pro řešení elementárních i komplexních úloh. Cílem není vytvořit návod pro strukturu vyučovací hodiny, nebo tematického celku. Jde o představení moţností vyuţít dostupných prostředků pro zvýšení efektivity výuky. 2 Výuka technických předmětů Při tvorbě a ověřování nových progresivních způsobů výuky technických předmětů lze vycházet z inţenýrsko pedagogického pojetí výuky, jak je definováno v [1]: Za inţenýrskou pedagogiku se povaţují veškeré činnosti směřující ke zlepšení výuky technických předmětů, týkající se cílů, obsahu a forem této výuky. Zdroje inţenýrské pedagogiky a vazby mezi nimi jsou znázorněny na obrázku č. 1. Obr. 1: Zdroje inženýrské pedagogiky (Melezinek, 1994)
Cíle jsou v této oblasti určovány převáţně poţadavky průmyslové praxe. Obsah je dán dosud získanými poznatky oboru a měl by reagovat na neustálý vývoj a zavádění nových technologií. Vývoj je zřejmý i v oblasti didaktických technologií a výukových metod. Podpora výuky technických předmětů prostřednictvím nástrojů vyuţívaných v průmyslové praxi a tvorba nových postupů je příkladem vztahu teorie a praxe v didaktikách technických předmětů. Příspěvek prezentuje jednu z metod vyuţití moderních didaktických technologií v praktické výuce. 2 CAE na bázi FEM CAE - Computer Aided Engineering představuje počítačem podporované technické výpočty. V praxi lze CAE obecně realizovat více způsoby. Do určité úrovně můţeme vyuţít funkcí tabulkových procesorů (Excel), vytvářet vlastní nástroje v programovacím jazyce, nebo vyuţívat specializované inţenýrské nástroje na bázi analytických a numerických algoritmů a výpočtových metod. Příklady v této studii jsou řešené prostřednictvím CAE modulu, jehoţ výpočtové algoritmy probíhají na principu metody konečných prvků - Finite Element Method, FEM. Ţáci středních škol nejsou obvykle v této fázi vybavení dostatečnými matematickými základy pro pochopení principu FEM, coţ není pro podporu výuky základům technické mechaniky účelné. Je třeba mít v patrnosti některé vlastnosti, které mohou ovlivnit průběh výpočtu a dosaţené výsledky, resp. jejich správnou interpretaci. Hlubší studium metody konečných prvků můţe být inspirací motivovaným ţákům a zařazeno do výuky jako volitelný předmět ve vyšším ročníku, resp. jako součást studijního plánu na VOŠ, nebo během následného studia na VŠ. Pro vyuţití CAE modulu k řešení úloh technické mechaniky je třeba vycházet ze základních vlastností numerických metod, resp. FEM: Znát typy prvků a metody vytváření sítě pro výpočet FEM. Vliv velikosti elementu na přesnost a dobu výpočtu. Moţnou odchylku výsledku od přesné hodnoty a vliv na bezpečnost. Mít v patrnosti existenci singularit a jejich identifikaci. Typ sítě je závislý na poţadované přesnosti výpočtu. Modelová řešení nosníku provádíme na 1D prvku, u kterého mají jednotlivé elementy určenou vzdálenost na vybrané křivce, nebo rozteč mezi zvolenými body. Pro definování sítě je třeba vzít v úvahu, ţe velká hustota elementů vede k přesnějším výsledkům, ale zároveň roste doba výpočtu i při pouţití výkonných procesorů pracovních stanic. U jednoduchých tvarů modelů získáme dostatečně přesné výsledky i při relativně velké vzdálenosti uzlových bodů sítě. Odhad velikosti elementu u sloţitějších modelů je otázkou zkušeností, které mohou být získávány jiţ při řešení elementárních úloh a následně vyuţívány a rozvíjeny při práci na komplexních projektech. Vlastností numerických výpočtových metod je určitá odchylka od přesné hodnoty. Výsledky získané metodou konečných prvků jsou tedy vţdy zatíţené určitou chybou. Tato chyba můţe dosahovat v extrémních případech sloţitých a komplikovaně zatíţených a uloţených soustav aţ 30 %. Důleţité je v této fázi brát na vědomí, ţe výsledek FEM zatíţený chybou míří do bezpečných hodnot, tzn. napětí, nebo deformace vychází větší, neţ je správná hodnota. Pokud se při správném zadání a dodrţení všech podmínek definování výpočtu řídíme výsledkem, neměla by být konstrukce poddimenzovaná. Ideálním ověřením této vlastnosti je souběţné řešení a porovnání výsledků elementárních příkladů analytickou metodou, dosazením do vzorců a identické zadání vyřešit v CAE modulu. Specifickým případem jsou singularity. Jde o body ve výpočtovém modelu, ve kterých nelze získat správný výsledek. Těmito místy mohou být například ostré přechody, vruby. Singularity na jednoduchých modelech obvykle rozpoznáme výraznou odchylkou výsledku v daném místě od výsledných hodnot v okolí tohoto bodu. Tato situace je jednou z vlastností pouţité metody a její akceptace je součástí strategických zkušeností s počítačovou podporou technických výpočtů. 3 Řešení základních úloh - nosníků Tělesa, uchycená technicky realizovatelným uloţením k jinému tělesu, např. rámu konstrukce, povaţujeme za nosník. Grafická reprezentace pomocí schématu uloţené a zatíţené soustavy představuje zjednodušený model případu realizované části konstrukce. Při řešení statických úloh analytickou metodou obvykle posluchači vyuţívají vzorců, které lze vyhledat ve studijní literatuře, strojnických tabulkách, nebo odvodit ze základních zákonitostí a vztahů statiky, resp. pruţnosti a pevnosti. Obvyklý postup zahrnuje nakreslení schématu s vyznačením geometrie
nosníku, uloţení prostřednictvím vazeb a zatíţení silou, nebo soustavou sil. Řešení v CAE modulu se skládá z identických kroků. Jednotlivé parametry jsou zadávány prostřednictvím dialogů pouţité aplikace. Výsledky lze zobrazovat prostřednictvím popsaného spojitého barevného spektra, nebo konkrétním výběrem poţadované části konstrukce. Příklady, představené v příspěvku jsou řešené v CAE modulu Siemens NX Advanced simulation [2]. Obdobné úlohy lze řešit v dalších, ve školách dostupných, CAE aplikacích. Některé CAD nástroje mají integrovaný jednoduchý CAE modul, který lze s drobnými modifikacemi postupů a postprocessingu výsledků vyuţít v rámci výuky. Dostupnost nástroje v současnosti není překáţkou realizace výukové metody [5]. Sestavení portfolia výpočtových příkladů můţe být námětem pro ročníkový projekt, nebo pro tvorbu komplexního výukového materiálu. 4 Vetknutý nosník, zatížený osamělou silou Elementární příklad nosníku je vetknutí. Vetknutí představuje pevné uloţení, bez moţnosti rotace nebo posunu vetknutého elementu v místě uchycení. Pro řešení v rovině tedy odebírá 3 stupně volnosti, v prostoru 6 stupňů volnosti. Dle této klasifikace také volíme okrajové podmínky při definování uloţení nosníku. Neţ úlohu začneme řešit CAE simulací, provedeme analytický výpočet dosazením do vzorců, které lze nalézt ve strojnických tabulkách [3], nebo v literatuře, dostupné k předmětu, např. [4]. Na schopnost posluchačů odvodit vzorec se nelze univerzálně spolehnout. Zadání vzorového příkladu zní následně: Vetknutý nosník, délka l = 250 mm, zatíţený na konci svislou silou, velikosti F = 100 N. Průřez nosníku je čtvercový o straně 10 mm a materiál běţná ocel. Úkolem je zjistit velikost reakční síly a reakčního momentu v uloţení a průběh ohybového momentu po délce nosníku. Z ohybového momentu a tvaru průřezu nosníku dále určit maximální napětí a identifikovat toto místo. V závislosti na průřezové charakteristice a velikosti napětí určit deformaci - průhyb prvku. Ze strojnických tabulek, případně z příslušné učební pomůcky, nebo odvozením získáme vzorec, do kterého dosadíme: F 100 N (1) R V M V F l 100 250 25 000 Nm (2) Pro výpočet napětí a deformace určíme průřezové charakteristiky nosníku. Průřezový modul nosníku v ohybu: 3 3 a 10 3 W o 167 mm (3) 6 6 a kvadratický moment průřezu: 4 4 a 10 4 I 833 mm (4) 12 12 Napětí určíme z výše uvedených hodnot dosazením: M O 25 000 o 149 MPa (5) WO 167 Velikost průhybu určíme z průřezových charakteristik a vlastnosti materiálu - modulu pruţnosti, pro ocel 2 10 5 MPa. 3 3 F l 100 250 y max 3,12 mm (6) 5 3 E I 3 2 10 833 Schematický náčrt příkladu je na obrázku č. 2. Obr. 2: Schéma příkladu č.1. Postup řešení v CAE modulu, včetně postprocessingu a interpretace výsledků, je vyobrazen s popisem na sledu obrázků. V prvním kroku definujeme CAD geometrii dle zadání, viz obrázek č. 3. Ve skicáři (prostředí pro kreslení křivkové 2D geometrie) vytvoříme úsečku, odpovídající délce nosníku l. Obr. 3: CAD geometrie nosníku příkladu č. 1. Následně vstoupíme do CAE modulu, ve kterém nadefinujeme parametry pro realizaci výpočtu metodou FEM. Výběr prvku zvolíme 1D element a vybereme úsečku, která představuje nosník. Aby bylo moţné výpočet realizovat, je nutné i přes výběr 1D prvku definovat tvar a
rozměry průřezu nosníku, viz obrázek č. 4. Vybereme průřez, který odpovídá zadání, tzn. čtverec a nadefinujeme délku hrany. Pro kompletní zadání je třeba ještě definovat materiál nosníku. Pokud známe konkrétní materiál, provedeme přiřazení ze seznamu. Důleţitým parametrem je velikost elementu. Představuje hustotu bodů, mezi kterými bude proveden výpočet a také provedena vizualizace výsledků. přiblíţit technicky realizovatelné situaci. V našem příkladu zvolíme osamělou sílu, kterou umístíme na konec nosníku. Zadáme velikost síly a její směr. Dialog aplikace nám nabízí zadání v libovolném směru v prostoru. Výběr a určení zatíţení je na obrázku č 6. Obr. 4: Výběr typu elementu a určení průřezu. Po nadefinování uvedených parametrů je model připravený k zadání okrajových podmínek, které odpovídají zadání úlohy, tzn. uloţení prvku a jeho zatíţení. Definování geometrické okrajové podmínky - uloţení je znázorněno na obrázku č. 5. Úloha je řešitelná ve 2D, přesto je třeba provést definování vazeb ve 3D. Pro pochopení úlohy a maximální kontrolu nad zadáním zvolíme moţnost uţivatelsky definovat odebrání příslušných stupňů volnosti. Tento typ také umoţní provedením změn zadání modifikovat úlohy na další typy uloţení. Vetknutí, neboli pevné uchycení, představuje odebrání tří stupňů volnosti ve 2D, nebo šesti stupňů volnosti ve 3D. Obr. 6: Určení strukturální okrajové podmínky - velikost, směr a působiště síly. V této fázi je model připraven ke spuštění výpočtu. Pokud to aplikace nabízí, je dobré provést automatickou kontrolu zadání a případně doplnit, nebo ošetřit chybné parametry, k čemuţ nás systém vybídne. Po kontrole spustíme řešič. V závislosti na sloţitosti prvku (viz kapitola 2) bude určitý čas probíhat výpočet, na jehoţ konci v případě úspěšného průběhu můţeme zobrazit výsledky a moţnost jejich interpretace, viz obrázky č. 7, 8, 9. Obr. 7: Zobrazení výsledku reakční síly ve vetknutí. Obr. 5: Určení geometrické okrajové podmínky - vetknutí. Následuje zadání strukturální okrajové podmínky - zatíţení. CAE nástroj nabízí různé typy modelů zatíţení, tak aby bylo moţné se maximálně Výsledky lze zobrazit číselnou hodnotou ve vybraném místě, průběh v celém modelu barevným spektrem, nebo generováním závěrečné zprávy simulace v textovém formátu.
poloviny nosníku. Po kontrole zadání a provedení výpočtu získáme výsledky, jejichţ vizualizace je na obrázcích č. 11,12, 13. Obr. 10: CAD geometrie nosníku příkladu č. 2. Obr. 8: Zobrazení průběhu napětí v nosníku s vyznačením maximální hodnoty. Obr. 9: Zobrazení průběhu deformace nosníku s vyznačením maximální hodnoty. Výsledky simulace porovnáme s výsledky výpočtů, získanými dosazením do vzorců (1), (5) a (6). Zjistíme, ţe odchylky výsledků dosaţených oběma metodami jsou nulové, nebo zanedbatelné. Obdobný postup, jiţ bez detailního popisu zadávání, vyuţijeme pro řešení další elementární úlohy. Nosník, uloţený na dvou podporách, jedné rotační a jedné posuvné a současně rotační, délky 250 mm je zatíţen uprostřed silou 100 N. Vizualizace CAD modelu je na obrázku č. 10. Jde o staticky určitý případ konstrukce, v praxi často realizovaný a bývá od něj odvozena řada variant. Veškeré kroky, kromě zadání geometrických okrajových podmínek, jsou shodné s příkladem 1. Záměrně jde o variantu předchozího příkladu. Můţeme vyuţít modifikaci dat předchozího příkladu, nebo vytvořit novou samostatnou úlohu. Úloha je řešitelná ve 2D, proto při zadávání vazeb pro rotační podporu uvolníme rotaci v rovině xy. U rotační a současně posuvné podpory ještě uvolníme posuv ve směru osy x - podél nosníku. Sílu umístíme do poţadovaného místa, v našem případě do Vyuţitím průřezových a materiálových charakteristik z předchozího příkladu a dosazením do vzorců pro řešený případ získáme následující výsledky: Reakční síly v podporách: F 100 FrA FrB 50 N (7) 2 2 Velikost maximálního ohybového momentu: M O 6 250 o 37,4 MPa (8) WO 167 Maximální velikost deformace - průhybu: 2 2 F a b ymax 3 E I l (9) 2 2 100 125 125 0,19 mm 5 3 2 10 833 250 Provedením výpočtu v CAE modulu porovnáme výsledky, získané metodou FEM s analytickým řešením. Reakční síly v podporách nosníku jsou zobrazeny na obrázku č. 11. Obr. 11: Vizualizace reakčních sil v podporách. Hodnota 52 N oproti 50 N z výpočtu vzorcem (7) je výsledek s akceptovatelnou odchylkou, která odpovídá vlastnosti FEM, uvedené v kapitole 2. Průběh napětí po délce nosníku na obrázku č.12 zároveň dává maximální hodnotu, včetně její lokace. Hodnota 37.4 MPa je téměř totoţná s hodnotou získanou dosazením do vzorce.
Obr. 12: Průběh napětí po délce nosníku s určením lokace a velikosti maximální hodnoty. Velikost maximálního průhybu, získaná simulací je 0,189 mm. Výsledek dosazením do vzorce dává hodnotu 0,19 mm. Jde tedy o téměř totoţné výsledky. Průběh deformace s vyobrazením výsledku je na obrázku č. 13. Obr. 13: Průběh deformace po délce nosníku s určením lokace a velikosti maximální hodnoty. Postupným rozšiřováním zadání lze přecházet na řešení komplexních úloh, identických s případy řešenými v průmyslové praxi. Ukázka CAE simulace - deformační kontrola rámu horského kola, řešená v rámci absolventské práce na VOŠ [6] je na obrázku č. 14. 5 Závěr Experimenty ve výuce ukazují na moţnost zefektivnění výuky náročného předmětu. Představené vybrané úlohy mohou být vloţené do výuky v rámci cvičení, zaměřených na řešení úloh, nebo mohou být pouţité při výkladu tématu pro snadnější pochopení chování systému. Metodiku lze vyuţít i bez hlubší znalosti teorie FEM. Při zohlednění důleţitých vlastností výpočtové metody a dodrţení všech kroků zadávání parametrů lze řešit široké portfolio úloh technické mechaniky. Zkušenosti s CAE, získané při vyuţívání modulu ve výuce, mohou být dále rozvíjeny při řešení komplexních projektů a dále mohou upevňovat mezipředmětové vztahy zahrnutých předmětů. 6 Literatura [1] MELEZINEK, Adolf. Inženýrská pedagogika. 2. Praha : ČVUT, 1994. 179 s. ISBN 80-01- 01214-X. [2] Axiom Tech [online]. 2010 [cit. 2011-09-08]. CAE. Dostupné z WWW: <http://www.axiomtech.cz/page/1726.cae-reseninx-simulation-a-femap/>. [3] LEINVEBER, J., VÁVRA, P. Strojnické tabulky: Pomocná učebnice pro školy technického zaměření. 2. Úvaly : Albra, 2005. 907 s. ISBN 80-7361-011-6. [4] MIČKAL, Karel. Technická mechanika 1 pro SOU. 1. Praha : SNTL, 1989. 224 s. [5] FOŘT, Petr; KLETEČKA, Jaroslav. Autodesk Inventor : Funkční navrhování v průmyslové praxi. 2. Brno : Computer Press, 2007. 318 s. ISBN 978-80-251-1773-6. [6] BAYER, J. Parametrizace rámu kola v NX. 2011. 42 s. Absolventská práce. VOŠ a SPŠ Ţďár nad Sázavou. Vedoucí práce DVOŘÁK, K. Ing. Bc. Karel Dvořák Univerzita Hradec Králové Pedagogická fakulta Rokitanského 62 500 03 Hradec Králové Tel.: +420 603 319 305 e-mail: karel.dvorak@uhk.cz Obr. 14: Znázornění deformací rámu horského kola.