STATIKA. Vyšetřování reakcí soustav. Úloha jednoduchá. Ústav mechaniky a materiálů K618

Transkript

1 STATIKA Vyšetřování reakcí soustav Úloha jednoduchá Ústav mechaniky a materiálů K618

2 1 Zadání Posuďte statickou určitost a vyšetřete reakce rovinné soustavy zadané dle obrázku: q 0 M Dáno: L = 2 m M = 4 knm q 0 = 5 kn/m 2

3 1.1 Analýza zadání q 0 M zadaná soustava sestává z prostého nosníku rozděleného do 2 polí délky L a L/2 uložení soustavy je realizováno 2 vazbami pevným kloubem v levé části soustavy suvným kloubem ve 2/3 délky soustavy soustava je zatížena spojitým zatížením a osamělým ohybovým momentem 3

4 2 Posouzení statické určitosti soustavy V tuto chvíli nás nezajímá zatížení soustavy, a proto si soustavu zobrazíme bez něj: Posouzení statické určitosti v praxi znamená: nalezení konstrukčních celků soustavy a určení počtu stupňů volnosti nalezení vazeb a jejich klasifikaci určení počtu odebíraných stupňů volnosti jedn. vazbami Zapsáno matematicky se jedná o nalezení hodnoty s: m = stupně volnosti r = odebírané stupně volnosti s = m r 4

5 2 Posouzení statické určitosti soustavy Nejprve nalezneme stupně volnosti konstrukčních celků soustavy: +3 Soustava se skládá pouze z jednoho nosníku. Takový nosník má v rovině 3 stupně volnosti 2 translační a 1 rotační. Počet stupňů volnosti vyznačíme do obrázku. 5

6 2 Posouzení statické určitosti soustavy Nyní klasifikujeme vazby: Pevný kloub odebírá 2 translační stupně volnosti Suvný kloub odebírá 1 translační stupeň volnosti Zároveň platí, že kolik stupňů volnosti vazba odebírá, tolik složek reakcí vzniká! 6

7 2 Posouzení statické určitosti soustavy Proto můžeme psát: s = m r = = 0 soustava je staticky určitá, tj. všechny stupně volnosti konstrukce jsou odebírány vazbami 7

8 2.1 Statická a kinematická určitost Pokud m jsou stupně volnosti konstrukce a r počet vazeb odebíraných vazbami, potom platí: Stupně volnosti Podepření staticky Podepření kinematicky m = r určité určité m < r neurčité přeurčité m > r přeurčité neurčité Poznámka konstrukce pevně podepřena konstrukce pevně podepřena konstrukce může měnit polohu 8

9 3 Vyšetřování reakcí soustavy Již víme, že zadaná konstrukce je staticky určitá. To znamená, že vazby zachytí libovolný směr zatížení, k určení reakcí postačují statické podmínky rovnováhy; zrušení vazby může znamenat pád konstrukce, avšak pokles podpor a teplota nezpůsobují další namáhání konstrukce. Budeme postupovat v následujících krocích: analýza zatížení uvolnění vazeb a nahrazení reakcemi sestavení podmínek rovnováhy, z nichž určíme reakce kontrola výpočtu 9

10 3.1 Analýza zatížení L/2 T q 0 M soustava je na konci druhého pole zatížena osamělým ohybovým momentem M velikosti M = 4 knm mezi podporami se nachází spojité obdélníkové zatížení o velikosti q 0 = 5 kn/m velikost čteme jako 5 kn na metr běžný, tj. 5 kn na každý metr délky konstrukce v daném směru bez ohledu na případnou hloubku konstrukční součásti u spojitých zatížení vždy určíme polohu těžiště, v tomto případě určujeme polohu těžiště T obdélníku q 0 L nachází se v polovině délky pole mezi podporami 10

11 3.2 Uvolnění vazeb a nahrazení reakcemi A x q 0 M A y B y Postupujeme tak, že určíme druh vazby a podle toho kolik (a jakých) stupňů volnosti vazba ruší, tolik zakreslíme reakcí. Obvykle postupujeme zleva a reakce v místě každé vazby označujeme postupně podle abecedy s indexem odpovídajícím směru, v němž reakce působí: pevný kloub odebírá 2 translační stupně volnosti, které nahradíme silovými reakcemi A x a A y suvný kloub odebírá 1 translační stupeň volnosti ve svislém směru, který nahradíme příslušnou silovou reakci B y 11

12 3.3 Sestavení podmínek rovnováhy Nyní můžeme přikročit k výpočtu reakcí, nejprve ve vodorovném směru x: A x Použijeme silovou podmínku rovnováhy ve vodorovném směru x: 1. zvolíme kladný směr působení sil 2. zapíšeme do rovnice veškeré silové účinky zatížení a reakcí v daném směru 3. rovnici vyřešíme : Ax = 0 = 0 kn 12

13 3.3 Sestavení podmínek rovnováhy Pokračujeme výpočtem reakcí ve svislém směru y: q 0 M A y L/2 L/2 b L/2 Nejprve spočteme reakci Ay sestavením momentové podmínky okolo bodu b (suvného kloubu) přičemž si zvolíme kladný směr momentového působení: b: Ay L + q 0 L L 2 + M = 0 Ay = 1 2 q 0 L + M L = = 7 kn 13

14 3.3 Sestavení podmínek rovnováhy Druhou neznámou reakci By vypočteme s použitím momentové podmínky okolo bodu a (pevného kloubu): q 0 M a L/2 L/2 B y L/2 a: q 0 L L 2 + B y L + M = 0 By = 1 2 q 0 L M L = = 3 kn 14

15 3.4 Kontrola výpočtu A x q 0 M A y B y Po zjištění velikosti všech neznámých reakci je nezbytné provést kontrolu správnosti výpočtu. To provedeme s využitím zbývající silové podmínky rovnováhy ve svislém směru: : Ay q 0 L + By = q 0 L + M L q 0 L q 0 L M L = 0 0 = 0 15

16 And that s all folks Ústav mechaniky a materiálů K618