Napětí v ohybu: Výpočet rozměrů nosníků zatížených spojitým zatížením.

Transkript

1 Číslo projektu CZ.1.07/ / Autor Pavel Florík Předmět Mechanika Téma Namáhání součástí na ohyb Metodický pokyn výkladový text s ukázkami Napětí v ohybu: Výpočet rozměrů nosníků zatížených spojitým zatížením. Příklad č.1 Navrhněte rozměry I ( íčko) profilu nosníku z oceli 11700, zatíženého statickým spojitým zatížením podle obrázku o velikosti q = 25 N/mm, působícím v délce a = 1370 mm, celková délka nosníku je: l = 1560 mm. Dovolené napětí v ohybu je: σ Do = 120 Mpa, průřezové hodnoty rozměru nosníku volte podle ČSN - Strojnické tabulky. Rozbor úlohy: Jedná se o zatížení nosníku na dvou podporách spojitým zatížením, které nepůsobí po celé délce nosníku. Proto maximum Mo nebude ležet uprostřed, ale jeho polohu je nutno určit výpočtem. Po zjištění Mo max je postup určení I profilu obvyklý. 1.Nejprve musíme vypočítat velikost reakčních sil pomocí rovnic rovnováhy. 2.Nakreslíme si průběh posouvajících sil, který nám určí, kde leží maximum Mo /Schwedlerova věta - změna znaménka pos. sil / 3.Z podobnosti trojúhelníků a za pomoci obrazce pos. sil určíme neznámou vzdálenost X k místu Momax.

2 2 Ohyb_od_spojiteho_zatizeni_pr.c.1.cdf 4.Metodou řezu uvedeme uvolněnou část nosníku do rovnováhy a vypočteme Momax. 5. Kontrolním výpočtem druhé části řezu musíme zjistit stejné hodnoty Momax. ad. 1: Stanovíme si velikost zatěžující síly F q / působí v polovině délky a /, uvolníme nosník zavedením reakcí viz. obr. a sestavíme rovnice rovnováhy. q = 25 N/mm, a = 1370 mm, l = 1560 mm F q = a. q Fx = 0 žádné síly ve směru x nejsou Fy = 0 R A + R B - F q = 0 M A = 0 F q. a - R 2 B. l =0 Dáno: ClearAll [a; q] a = 1370; q = 25; F q a q F q Výsledná síla od spoj. zatížení : F q = N ClearAll[F q ; l; a] F q = ; l = 1560; a = 1370; a Solve F q 2 - RB l 0 // N {{R B }} Solve F q a 2 - RB l 0, R A + R B - F q 0, {R A, R B } // N {{R A `, R B `}}

3 Ohyb_od_spojiteho_zatizeni_pr.c.1.cdf 3 Výsledné reakce jsou: R A = 19210,7 N; R B = 15039,3 N ad. 2: Nyní si nakreslíme průběh posouvajících sil a tam, kde budou posouvačky měnit znaménko, leží maximum Mo max /Schwedlerova věta/. Polohu tohoto místa musíme vypočítat, rozhodně to není a 2!!! Polohu vypočteme z podobnosti trojúhelníků, viz obr. pomoci fce tg. Platí: R A X = R B a-x!!! Z obrázku je jasně patrné, že bod C neleží! ve vzdálenosti a/2! ad.3: Určení X ClearAll[R A; R B; a] a = 1370; R A = ; R B = ; Solve R A X == R B a - X // N {{X }} Vzdálenost X od uložení A je 768,429 mm. K tomuto místu budeme počítat Mo max.

4 4 Ohyb_od_spojiteho_zatizeni_pr.c.1.cdf ad.4: Ohybový moment k místu C - zleva je : Momax = R A.X - F qx. X ; Nesmíme zapomenout, že počítáme s jinou velikostí síly F 2 qx ze spojitého zatížení! Protože v místě C ohraničeném řezem je F qx = q. X!!! Proto moment od síly F qx k bodu C je: F qx. X/2! Průběh Mo je v úseku zatíženém spojitým zatížením tvořen parabolou, viz. Momax = R A.X - F qx. X zapsáno i takto: 2 Momax = R A.X - q.x. X = R 2 A.X - q 2.X2 ; což je rovnice paraboly. Zbytek nosníku je zatížen na ohyb osamělou silou R B, proto je průběh Mo lineární. Dáno : ClearAll[q; x] x = ; q = 25; F qx x q F qx ` Síla F qx je 19210,7 N ClearAll[R A; X; F qx; ]

5 Ohyb_od_spojiteho_zatizeni_pr.c.1.cdf 5 R A = ; X = ; F qx = ; Solve Momax R A X - F qx X 2 // N {{Momax `*^6}} Moment Momax je N.mm ad.5: Pokud chceme provést kontrolu správnosti, spočítáme moment k bodu C zprava / potřebujeme k tomu vzdálenost d - zbytek zatížení spoj. zátěží - d = a-x = 601,5706mm a tím i zatěžující sílu F qd = q.d /a výsledek musí být stejný: Dáno : ClearAll[q; d] q = 25; d = ; F qd == q d F qd ` Síla F qd je , 265 N! Momax = R B. (l - X) - F qd d ClearAll[R B; l; F qd ; X; q] R B = ; l = 1560; F qd = ; X = ; q = 25; Solve Momax R B {l - X} - F qd d 2 {{Momax }} Momenty jsou zleva i zprava stejně velké, takže to máme správně - HURÁ! Nejtěžší část máme za sebou a nyní pokračujeme výpočtem rozměru profilu I. Známe σ Do = 120 MPa a protože nosník je zatížen ohybem, platí pevnostní rovnice: σ o = Momax W o 2 σ Do ; Z té zjistíme modul průřezu v ohybu W o a podle jeho velikosti najdeme v Stroj. tabulkách nejbližší vyšší průřez I. ClearAll[σ Do ; Momax] σ Do = 120; Momax = ;

6 6 Ohyb_od_spojiteho_zatizeni_pr.c.1.cdf Solve W o == Momax // N σ Do {{W o `}} Závěr: Hodnota Wo je: 61508,8 mm 3, což je 61,509 cm 3, tomu odpovídá profil I s Wo 81,9 cm 3. Diskuse výsledků netřeba, protože vše je dostatečně komentováno v předchozím výpočtu Příklad k procvičení: Nosník podle obr. je po celé délce zatížen spojitým zatížením o velikostiq = 50 N/mm. Vyšetřete průběh posouvajících sil a ohybových momentů a navrhněte velikost profilu T, pro materiál a střídavém zatížení. Rozměry : l = 1,2 m ; a = 0,75m. Zdroje Mechanika Pružnost a pevnost: L.Mrňák a A.Drdla; SNTL Praha 1978