Ing. Jan BRANDA PRUŽNOST A PEVNOST

Transkript

1 Ing. Jan BRANDA PRUŽNOST A PEVNOST Výukový text pro učební obor Technik plynových zařízení Vzdělávací oblast RVP Plynová zařízení a Tepelná technika (mechanika) Pardubice 2013 Aktualizováno: 2015

2 Použitá literatura: Technická mechanika I pro SOU, Ing. K. Mičkal, Informatorium, 2008, čtvrté vydání Sbírka úloh z technické mechaniky pro SOU, Ing. K. Mičkal, Informatorium, 1998, páté vydání Studijní materiál: Mechanika I (Statika, Pružnost a Pevnost), M.H. 2003, SPŠ Uherské Hradiště. Průběhy vnitřních sil na nosnících, přednáška 4 a 5, Doc. Ing. Michal Micka, CSc., Ústav mechaniky a materiálů Fakulty dopravní ČVUT v Praze Strojnické tabulky, Jan Leinveber, Jaroslav Řasa, Pavel Vávra, Scientia spol s.r.o. pedagogické nakladatelství, 1999, třetí vydání Dílo smí být dále šířeno pod licencí CC BY-SA ( Výukový text je určen pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechna neocitovaná autorská díla jsou dílem autora. OBSAH: Pružnost a Pevnost se zabývá deformací a napětím (tlakem) v zatížených konstrukcích... 3 Při výpočtech rozlišujeme 3 základní úlohy:... 3 Způsoby zatížení:... 3 Druhy namáhání:... 4 Druhy napětí:... 4 Popis základních druhů namáhání:... 5 o Tah... 5 o Tlak... 5 o Smyk Střih... 6 o Krut... 7 o Ohyb... 8 Tahový diagram (pracovní diagram, diagram napětí) Mechanické vlastnosti materiálu: o Příklady výpočtu: Dovolené namáhání: Pevnostní podmínka: Deformační podmínka: Kontrola: o Příklady výpočtu: o Výpočet namáhání v Tahu - Tlaku o Výpočet namáhání na Střih (smyk) o Výpočet namáhání na Krut o Výpočet namáhání na Ohyb

3 PRUŽNOST A PEVNOST Pružnost a Pevnost se zabývá deformací a napětím (tlakem) v zatížených konstrukcích. Při výpočtech rozlišujeme 3 základní úlohy: 1. zjištění rozměrů a tvaru dimenzování 2. zjištění napětí (tlaku) a deformace 3. zjištění velikosti max. (dovoleného) zatížení součásti (konstrukce) Způsoby zatížení: A) podle zatížení druh síly osaměle působící síla spojité zatížení B) podle charakteru časového průběhu zatížení statické zatížení dov 1 3

4 dynamické zatížení proměnlivá síla Střídavé zatížení dov 0,85 Rázové zatížení - buchar 2/3 dov 0,65 dov 0,65 Druhy namáhání: Tah Tlak Smyk (střih) Krut Ohyb σt τs τk σo Účinek vnějších sil, musí být vždy v rovnováze s účinkem sil vnitřních. Druhy napětí: Normálové napětí směr jeho účinku je kolmý na průřez. Označujeme ho písmenem σ (sigma). Tečné napětí směr jeho účinku je rovnoběžný s průřezem. Označujeme ho písmenem τ (tau). 4

5 Popis základních druhů namáhání: o Tah Definice: Součást je namáhána tahem, působí-li na ni dvě síly stejně velké, opačně orientované a směřují ven z průřezu. Síly jsou kolmé na průřez a leží na společné nositelce. Deformace materiálu: prodloužení a zúžení průřezu Pevnostní rovnice: Druh napětí: t - normálové napětí Deformační rovnice: o Tlak 5

6 Definice: Součást je namáhána tlakem, působí-li na ni dvě síly stejně velké, opačně orientované a směřují dovnitř průřezu. Síly jsou kolmé na průřez a leží na společné nositelce. Deformace materiálu: zkrácení a rozšíření průřezu Pevnostní rovnice: Druh napětí: d - normálové napětí Deformační rovnice: E modul pružnosti v tahu [MPa] (konstanta, která vyjadřuje pružnost materiálu,u materiálu zůstává trvalá deformace 0,005% původní délky) o Smyk Střih Definice: Součást je namáhána smykem, působí-li na ni dvě síly stejně velké, opačně orientované a rovnoběžné s průřezem. Deformace materiálu: posunutí součásti proti sobě (střih) Pevnostní rovnice: Druh napětí: τs - tečné napětí 6

7 Deformační rovnice: G modul pružnosti ve smyku [MPa] o Krut Definice: Součást je namáhána krutem, působí-li na ni dvojice sil a rovnoběžná s průřezem. Deformace materiálu: zkroucení Pevnostní rovnice: Druh napětí: τk - tečné napětí 7

8 U krutu a ohybu záleží na poloze, tvaru, nebo rozložení průřezu podle průřezové osy. Charakteristickou průřezovou veličinou je MODUL PRŮŘEZU v krutu Wk [mm 3 ]. Hodnoty pro různé průřezy nalezneme ve strojnických tabulkách. Další důležitou veličinou charakterizující průřez, polohu, tvar a rozložení podél průřezové osy je KVADRATICKÝ MOMENT PRŮŘEZU (Jx = ΣΔS.x 2, Jy ΣΔS.y 2,). Kromě toho ještě rozeznáváme POLÁRNÍ MOMENT PRŮŘEZU (Jp = Jx + Jy). Hodnoty pro různé průřezy nalezneme ve strojnických tabulkách. Deformační rovnice: M k l 180 ( rad); ; J G p J p viz tabulky o Ohyb Definice: Součást je namáhána ohybem, působí-li na ni dvojice sil (ohybový moment) jejíž rovina je kolmá k rovině průřezu. 8

9 Část vláken se prodlužuje (TAH) část vláken se zkracuje (TLAK) Deformace materiálu: průhyb Pevnostní rovnice: Druh napětí: o - normálové napětí U ohybu záleží na poloze, tvaru, nebo rozložení průřezu podle průřezové osy. Charakteristickou průřezovou veličinou je MODUL PRŮŘEZU v ohybu Wo [mm 3 ]. Hodnoty pro různé průřezy nalezneme ve strojnických tabulkách. Ohybový moment určíme jako součet momentů od všech silových účinků po jedné straně řezu vůči řezu (metoda řezu). Pokud v řezu působí pouze ohybový moment, hovoříme o čistém ohybu. Ohybový moment bývá zpravidla doprovázen posouvající (smykovou) silou, tj. silou ležící v rovině řezu (u běžných nosníků tyto síly zanedbáváme). Výpočet max. ohybového momentu: 1. pomocí podmínky rovnováhy ΣF ix = 0; ΣF iy = 0; ΣM i = 0, vypočítáme reakce v podporách A, B. 2. Zakreslíme průběh vnitřních sil. Začínáme z levé strany na nulové čáře. 3. Z levé strany počítáme průběh ohybových momentů. (ohybový moment v nosníku je reakcí na akci momentu vnějších silových účinků) 9

10 Tahový diagram (pracovní diagram, diagram napětí) Z důvodu bezpečnosti je nutné, aby skutečné napětí vznikající v zatížených součástech, nepřekročila přímkovou oblast oblast pružné deformace. Tgα = /ε = E [MPa] Hookův zákon 10

11 Mechanické vlastnosti materiálu: Charakterizují houževnatost materiálu Tažnost Kontrakce (poměrné zúžení) o Příklady výpočtu: Výpočet napětí Dimenzování rozměrů Výpočet velikosti deformace Sbírka úloh z technické mechaniky pro SOU, Ing. K. Mičkal 1. Vypočítej, jaké napětí vzniká při zatížení strojní součásti silou F v jednotlivých průřezech a. d1 = 120 [mm]; l1 = 60 [mm]; d2 = 640 [mm]; l2 = 40 [mm]; obr. V-1 E = 2, [MPa] F = 1, [N] 2. Vypočítej, rozměry tyče čtvercového průřezu namáhané tahem viz obr. V-2 obr. V-2 dov = 150 [MPa]; l = 200 [mm]; F = 1, [N] 11

12 3. Vypočítej, jaké je absolutní a relativní prodloužení strojní součásti viz obr. V-1 z příkladu Vypočítej, jaké je absolutní a relativní prodloužení strojní součásti viz obr. V-3. d1 = 80 [mm]; l1 = 500 [mm]; E = 0, [MPa] d2 = 60 [mm]; l2 = 700 [mm]; F = 1, [N] Dovolené namáhání: 12

13 A) U houževnatých materiálů je zřetelná mez kluzu dov = kt / k = 0,6 pt / k kt mez kluzu v tahu pt mez pevnosti v tahu k míra bezpečnosti, volí se hodnota 1,4 až 2 (2 se volí, pokud není přesně určené namáhání, nebo jde-li o lidi) uhlíková ocel kt = 0,5 až 0,6 pt slitinová ocel kt = 0,75 až 0,8 pt B) U křehkých materiálů se počítá s mezí pevnosti dov = pt / k k míra bezpečnosti, volí se hodnota 2,5 až 4 Pevnostní podmínka: Deformační podmínka: Kontrola: + Nebezpečný průřez místo s nejmenším průřezem, tedy s největším napětím. 13

14 14

15 o Příklady výpočtu: Sbírka úloh z technické mechaniky pro SOU, Ing. K. Mičkal 1. Výpočtem zkontrolujte navrženou součást, zatíženou proměnlivou silou. obr. V-1 d = 20 [mm]; D = 40 [mm]; l = 60 [mm]; F = [N] materiál ocel pt = 370 [MPa]; míra bezpečnosti k = 1,8. 2. Určete největší dovolené zatížení F dřevěného sloupku, jehož průřez má plochu S. S = 160 x 160 [mm]; materiál dřevo Dov = 10 [MPa] 3. Určete největší dovolené zatížení F ocelového svorníku. b = 300 [mm]; h = 15 [mm]; d = 25 [mm]; Dov = 90 [MPa] 15

16 o Výpočet namáhání v Tahu - Tlaku Příklad: 1.1. Vypočítej, jaké napětí vzniká při zatížení strojní součásti silou F v jednotlivých průřezech a. Řešení: d1 = 100 [mm]; d2 = 600 [mm]; 2 2 d1 100 S [ mm 4 4 l1 = 50 [mm]; E = 2, [MPa] l2 = 30 [mm]; F = 10 5 [N] 2 ] 2 2 d2 600 S [ mm 4 4 F 10 5 F 10 5 t1 12,7 [ MPa] t 0,354 [ MPa] 2 S 7854 S Napětí v průřezu d1 = 100 [mm], l1= 50 [mm] 2 Napětí v průřezu d2 = 600 [mm], l2= 30 [mm] 2 ] 1.2. Vypočítej, jaké je absolutní a relativní prodloužení strojní součásti. l F l0 t l0 [ mm] S E E 1 absolutní prodloužení t1 l01 t2 l l l1 l2 3,0310 5, , [ mm] E E relativní prodloužení l l 0 0 5, , [%] o Výpočet namáhání na Střih (smyk) Příklad: Vypočítej, jaká bude střižní síla průstřižníku? Materiál, který se bude stříhat - ocel uhlíková ocel - koeficient (0,6). d = 20 [mm]; tl. = 2 [mm]; Řešení: s c P, t 0, [ MPa] s F S F F obvod tlouštka d tl. F S d tl [ N] s Střižná síla musí být větší než [N]. s 16

17 o Výpočet namáhání na Krut Příklad: Navrhni d a urči velikost úhlu zkroucení kruhové hřídele, která je namáhána krouticím momentem M k. Mk = 10 4 [Nmm]; l = 3 [m]; materiál - ocel 11500; G = [MPa] Řešení: M k l 180 ( rad); ; Jp viz tabulky J G p τd,k viz strojnické tabulky pro materiál ocel 11500, statická síla (τd,k= 100 [MPa]) M k M k D, k Wk 100 [ mm W 100 k D, k Navržení d pro kruhový průřez: W k d 16 3 d Velikost úhlu zkroucení: 3 Wk ] ,986 [ mm] 4 4 d M k l Jp ; ( rad) 0,939 ( rad); 0,939 53, J p G 7, o Výpočet namáhání na Ohyb Příklad 1: Navrhněte rozměry nápravy železničního vagónu, jde-li a) o kruhový průřez d, b) mezikrohový průřez d 1, d 2. G = [N]; a = 180 [mm]; l = 800 [mm]; materiál - ocel Do = 80 [MPa]; d1 : d2 = 2. Řešení: 1. Nakreslíme výpočtové schéma podle obrázku a), výsledkem je obrázek b). 2. Určíme vazbové síly. Vzhledem k souměrnosti konstrukce i zatížení platí: RA = RB = F = G/2 = [N] Poznámka: Pro výpočet vazbových sil použijeme podmínky rovnováhy: ΣFix= 0; ΣFiy= 0; ΣMi= 0. ΣMiA = 0 = F1 a+ F2 (a+l)+ RB (2a+l)= RB

18 RB = ( ) / 1160 = [N] ΣFiy = 0 = RA + F1 + F1 + RB = RA RA = [N] 3. Narýsujeme průběh posouvajících sil a ohybových momentů a určíme MO max. MOx1 = RA a = = 7, [N mm] MOx2 = RA (a+l) + F1 l = ( ) + ( ) = 7, [N mm] MOx1 = MOx2 = MO max = 7, [N mm] 4. Rozměry nápravy určíme z pevnostní rovníce: 6 M Omax M Omax 7, Do Wo 9.10 [ mm ] Z modulu průřezu vypočítáme požadované rozměry. Ve Wo Do 80 strojnických tabulkách vyčteme požadované výpočtové vztahy k jednotlivým průřezům W a) Pro kruhový průřez: 3 o Wo d d 97,1[ mm] 32 b) Pro mezikruhový průřez: d1 : d2 2 2d2 d1 po dosazení a úpravě rovnice W o 4 d d2 32 W o d2 99,26 [ mm]; d1 49,63[ ] 32 d 15 mm Příklad 2: 1 4 Vypočítejte maximální ohybový moment nosníku zatížený osamělou silou. a = 1 [m]; b = 2 [m]; F1 = 10 [kn] Řešení: 1. Vypočítáme vazbové síly (Rx, Ry, Mi). Vzhledem k nesouměrnosti konstrukce i zatížení: RA RB Poznámka: Pro výpočet vazbových sil použijeme podmínky rovnováhy: ΣFix= 0; ΣFiy= 0; ΣMi= 0. ΣFiy = 0 = F1 + RA + RB = 0 ΣMiA = 0 = RA 0 + F1 a+ RB (a+b)= 0 + ( ) + RB (1+2) RB = ( ) / 3 = [N] 18

19 ΣFiy = 0 = F1 + RA + RB = ( ) RA RA = [N] 3. Narýsujeme průběh posouvajících sil a ohybových momentů a určíme MO max. Tx1 = F RB = = [N] (posouvající síla počítaná zleva) Tx2 = F RA = = [N] (posouvající síla počítaná zprava) Postupujeme z levé strany: MOx1 = RA a = = [N m] MOx2 = RA x2 - F1 (x2 a) poznámka: (moment počítáme z leva jako součin síly a ramene) MOx1 = MO max = [N m] 19

20 20