Výzkumný ústav geodetický topografický a kartografický v.v.i. Stavební fakulta ČVUT v Praze Metodika převodu mezi ETRF a S-JTSK varianta Jan Kostecký Jakub Kostecký Ivan Pešek GO Pecný červen 1 1
Úvod Následující metodika popisuje detailně převod mezi souřadnicovými systémy ETRF a S-JTSK. (Poznámka: Podle doporučení EUREF-TWG se má pro realizaci Evropského referenčního rámce používat označení ETRF místo předchozího ETRF(R5)). Zprostředkující vičinou pro tento převod je systém S-JTSK/5. Nástup technologie Globálních navigačních družicových systémů (GNSS) v 8. letech. století znamenal revoluční skok v rychlosti a do značné míry i v přesnosti určování polohy s geodetickou přesností (jednotky cm). Kromě požadavku integrace geodetických základů do coevropského souřadnicového systému bylo nutné umožnit propojení prostorového souřadnicového systému se kterým pracuje technologie GNSS se systémem rovinných souřadnic v kartografickém zobrazení se kterým pracují klasické geodetické metody. Realizovaný souřadnicový systém S-JTSK/5 vyhovuje následujícím požadavkům: systém je primárně realizován 3141 body sítí DOPNUL a Výběrová údržba pro měření technologií GNSS používá prostorový geodetický systém referenční rámec v realizaci roku 5 tedy ETRF tím je zaručena návaznost na Evropský prostorový souřadnicový systém pro měření v rovinných souřadnicích používá souřadnicový systém modifikovaného Křovákova zobrazení tím je zaručena kontinuita se stávajícím závazným souřadnicovým systémem S-JTSK pro transformaci ipsoidických výšek (vztažených k ipsoidu GRS8) na výšky nadmořské v závazném systému Balt po vyrovnání je použito modu kvazigeoidu CR-5 mezi souřadnicemi v souřadnicovém rámci ETRF a rovinnými souřadnicemi v modifikovaném Křovákově zobrazení platí exaktní matematický vztah střední kvadratická hodnota polohové odchylky mezi souřadnicemi v S-JTSK a S- JTSK/5 je 13.3 cm pro práce vyžadující menší přesnost než.5 m jsou oba systémy záměnné 1. Definice S-JTSK/5 Souřadnicový systém S-JTSK/5 obsahuje: ipsoidické souřadnice B L H vztažené k ipsoidu GRS8 v referenčním rámci ETRF rovinné souřadnice Y v modifikovaném Křovákově zobrazení a nadmořské výšky h Bpv ve výškovém systému systému Balt po vyrovnání Mezi oběma typy souřadnic existuje jednoznačný matematický vztah struktura transformací je patrná z obrázku 1 a bude popsána dále. Systém je využitný pouze na území České republiky. Mezi S-JTSK a S-JTSK/5 platí vztah: Y S-JTSK Y S-JTSK/5 5 + dy S-JTSK S-JTSK/5 5 + d.
Obrázek 1 Schéma transformace v S-JTSK/5 Odchylky dy d mezi S-JTSK a S-JTSK/5 jsou počítány ze sítě vybraných trigonometrických a zhušťovacích bodů které byly zaměřeny Zeměměřickým úřadem a Katastrálními úřady v letech 1994 až 8 technologií GPS a dále trigonometrických bodů v systému S-JTSK/95 převedených lokální transformací do S-JTSK/5. Odchylky jsou tabovány v pravidné síti x km. Pro převod výšek je použit mod kvazigeoidu CR-5 který byl odvozen navázáním modu CR- na síť 14 bodů výběrové údržby jejichž výška byla určena nivací. Transformace (B L H ) v ETRF na (Y H Bpv ) v S-JTSK: ( B L H ) [] 1 ( Y Z ) [ ] ( ) [] 3 ( ). ETRF. Y Z ETRF / 5 B L H [ 4] ( Y ) / 5 [ 5] ( Y ) ; ( H ) [ 6] ( H ) Bpv / 5 kde: [1] značí převod ipsoidických souřadnic na pravoúhlé prostorové souřadnice [] značí sedmiprvkovou Hmertovu prostorovou transformaci [3] je inverzní k [1] [4] značí zobrazovací rovnice modifikovaného Křovákova zobrazení [5] přidání korekcí dy d (vysvětlení viz níže) [6] prosté přičtení výšky kvazigeoidu. Transformace (Y H Bpv ) v S-JTSK na (B L H ) v ETRF: 3
( Y ) [ 5' ] ( Y ) / 5 [ 4' ] ( B L H ) [ 3' ] ( Y Z ) / 5 [ ' ] ( Y Z ) [ 1' ] ( B L H ) ; ETRF ( H ) [ 6' ] ( H ) Bpv ETRF. / 5 kde čárkované transformace jsou inverzní k nečárkovaným. 1.1 Převod ipsoidických souřadnic na pravoúhlé prostorové souřadnice a naopak Y Z [ N + H ] [ N + H ] cos B cos L cos Bsin L [ N( 1 e ) + H ] sin B. kde Y Z jsou pravoúhlé prostorové souřadnice B je geodetická šířka L je geodetická délka H je ipsoidická výška a N je příčný poloměr křivosti N a 1 e sin B a je vká poloosa referenčního ipsoidu a e je excentricita ipsoidu. Pro ipsoid GRS8 platí: a 6 378 137. m e.669 438 91 pro ipsoid Bessův platí: a 6 377 397.155 m e.667 437 36. Pro obrácenou transformaci použijeme vzorce L arctan B Y arctan Z + Y e 1+ 1 e a dále iteracemi N H i i 1 e a sin + Y cos B i 1 B i 1 N Z Bi arctan + Y i N ie 1 N i + H i 1 4
1. Prostorová transformace Transformace [] mezi soustavou 1 Y1 Z1 a soustavou Y Z je dána vztahy: (1) 6 Y ( 1+ p4 1 ) Z 1 p5 p6 p5 1 p7 p6 p7 1. 1 Y1 Z1 + p1 p p3 koeficienty p1 až p7 jsou: Transformace ETRF >> S-JTSK/5: p1-57.3 m p -85.38 m p3-461.934 m p4-3.5393 p5 5.483714"/ρ" p6 1.5987"/ρ" p7 4.9731177"/ρ" kde ρ" je 664.86" Transformace S-JTSK/5 >> ETRF: p1 57.13 m p 85.334 m p3 461.94 m p4 3.5378 p5-5.483673"/ρ" p6-1.5899176"/ρ" p7-4.97316164"/ρ" Poznámka: transformační parametry pro zpětnou transformaci S-JTSK/5 do ETRF se mírně liší od parametrů z důvodu rativně vkého pootočení systému S-JTSK vůči ETRF (9 až 11 ). 1.3 Modifikované Křovákovo zobrazení 5
Modifikované Křovákovo zobrazení je definováno původním Křovákovým zobrazením s malými dodatečnými členy plynoucími z požadavku minimalizace rozdílu mezi souřadnicemi v S-JTSK/5 a S-JTSK. Základní vztahy tohoto zobrazení jsou: a) Konstanty ϕ 49 g k α ( ϕ ) k tan + 45.cot + 45. g( ϕ ) 1 N α 3' e 1 + cos a 1 e 1 e sin ϕ 4 1 e 1 + e sin ϕ 1 e sin ϕ.9999 a 6377397.155 m ϕ U αe / S Q 59 78 3' b) Transformace B L (Bess) na Y rovinné: e 4'4.69689 " U.667437 n sin S U 36 sin ϕ arcsin α ϕ ρ k. N 1 cot S g ( B) 1+ esin B 1 esin B λ' L + 17 ΔV α. 4' αe / α B U arctan k.tan + 45. g ( B) ( 4 3' λ' ) a' 9 U Q 1 45 a dále [ cos a'sinu + sin a'cosu cos ΔV ] S arcsin cosu sin ΔV D arcsin cos S n S ρ ρ tan + 45.cot Y ' ρ sin ε ' ρ cosε ε n. D S + 45 n výsledné Y jsou: kde ( Y ' ΔY ) + 5. ( ' Δ ) + 5. Y Δ Y Δ budou definovány výrazy (). 6
c) Transformace pro Y rovinné na B L (Bess): Y ' ρ ( Y + ΔY ) 5. ' ( + Δ ) ' + Y ' ρ S arctan ρ U arcsin Y ' ε arctan ' 1/ n S.tan + 45 ε D sin S 45 [ cos a'sin S sin a'cos S cos D] cos S sin D ΔV ΔV arcsin L 4 5' cosu α B vypočteme iterací: 5. B i arctan k ( 1/ α ) tan U + 45 1+ esin Bi 1 esin Bi 1 e / 45 1/ α 1 když B U i 1. d) Dotransformace Vičiny () Δ Y Δ plynoucí z dotransformace jsou funkcí Y ' ' a vypočteme je podle výrazů: ΔY A + A Y 7 A Y 8 Δ A kde Y jsou: a + A3Y + A4 + A5Y + A6 ( Y ) + A8 ( 3Y ) 4 4 ( 3 Y ) 4A1Y ( Y ) + A9 ( + Y 6 Y ) 1 + A3 A4Y A6Y + A5 ( Y ) + A7 ( 3Y ) 4 4 ( 3 Y ) + 4A Y ( Y ) + A ( + Y 6 Y ) 9 Y Y ' 654. m ' 189. m 1 + A 1 A A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 A 8 A 9 A 1.9465977d-1.515965696d-1.119384591d-6 -.46687147d-6.9339836d-11.153735715d-11.1696784d-17.44831435d-17 -.833183518d-3 -.368947133d-3 7
e) Podstatným příspěvkem pro zpřesnění transformace je však znalost souřadnic cca 46 tisíc trigonometrických a zhušťovacích bodů jejichž souřadnice v ETRF byly určeny vyrovnáním či transformací na základě výsledků výše zmíněné kampaně zhušťování a jejichž souřadnice v S-JTSK a nadmořské výšky v systému Bpv byly získány z databáze trigonometrických a zhušťovacích bodů DATAZ. Pro tyto můžeme tak vypočítat dy Y / 5 YS JTSK d / 5 Na základě takto získaných hodnot bylo možno provést interpolaci korekcí do pravidné sítě. Vzhledem ke vzdálenosti bodů byl interval oka sítě zvolen km dy d Tabulka s těmito hodnotami je součástí software.. Převod ipsoidických výšek na nadmořské Pro převod ipsoidických výšek na výšky nadmořské (v systému Bpv) a naopak (transformace [6] resp. [6 ]) je použit gravimetrický kvazigeoid rektifikovaný pomocí GPS/nivace na 14 bodech sítě výběrové údržby které byly zanivovány. Výsledkem je kvazigeoid CR-5-v15.dat. Kvazigeoid je tabován ve čtvercové síti 1' x 1.5' (cca x km). Včetně nutných přesahů za hranice republiky je to ckem 175 x 36 5355 uzlů. Ukázka souboru s hodnotami výšek kvazigeoidu který je součástí software je v tabulce: na prvním řádku je počet sloupců (36) počet řádků (175) krok v zeměpisné šířce (.16.. ) a krok v zeměpisné délce (.5 ) druhý řádek je nepodstatný a od třetího jsou data: B L (ve stupních) v ETRF a H kvaz v metrech. Tabulka ukázka souboru kvazigeoidu CR-5-v15.dat 36 175.16667.5 1 1.16667.5 48.3 11.7 45.315 48.3 11.75 45.8 48.3 11.75 45.5 48.3 11.775 45.19 48.3 11.8 45.19 48.3 11.85 45.166 48.3 11.85 45.143 48.3 11.875 45.1 48.3 11.9 45.14. 8
3. Rovinné souřadnice Rovinné souřadnice v modifikovaném Křovákově zobrazení byly získány z ipsoidických souřadnic v ETRF aplikací postupu z odstavce 1. Pro tuto (a zpětnou) transformaci byl napsán výpočetní program. 4. Převod z S-JTSK/5 do S-JTSK Vzhledem k nepravidné deformaci bodového pole vázaného na S-JTSK nze vztah mezi S- JTSK/5 a S-JTSK realizovat jednoduchým matematickým výrazem. Proto bylo rozhodnuto využít pro vzájemný převod rozdíly souřadnic tabovaných v pravidné síti. Vikost oka sítě byla empiricky zvolena km. V níže uvedené tabulce (soubor table_yx_3_v15.dat) jsou uvedeny hodnoty Y (Křovákovo zobrazení) dy d v metrech pro rohy sítě x km. Pro získání mezilehlých hodnot je doporučena kvadratická interpolace. Tabulka hodnoty rozdílů souřadnice v S-JTSK/5 a S-JTSK 48 93.346.79 43 93.346.79 43 93.346.79 434 93.157.158 436 93.166.139 438 93.17.14 44 93.169.145 44 93.146.161 444 93.135.171 446 93.139.17 448 93.156.148 45 93.187.19 45 93.199.117 454 93.1.118 456 93.4.118 458 93.4.14 46 93.14.119 46 93.1.1 464 93.1.14 466 93.6.14 468 93.7.15 47 93.35.18 47 93.9.185 474 93.83.191 atd. 5. Softwarová realizace. datové soubory (textové fily) CR-5_v15.dat výšky kvazigeoidu CR 5 table_yx_3_v15.dat hodnoty rozdílů S-JTSK/5 vs. S-JTSK v rastru x km 9
software ETRF-JTSK_v15.for zdrojový kód v jazyce FORTRAN pro převod souřadnic mezi ETRF a rovinnými souřadnicemi v S-JTSK/5 a výškou v Bpv a dále mezi ETRF a rovinnými souřadnicemi v S-JTSK a výškou v Bpv. Program ETRF-JTSK_v15 vzor vstupních dat pro transformaci z ETRF do S-JTSK/5 nebo S-JTSK 118 5 57 8.39357 14 34 51.15474 46.95 111 5 59 49.3386 14 33 5.5311 471.66 11 51 6.544 14 34 1.697 45.458 atd. Program ETRF-JTSK_v15 vzor výstupu pro transformaci z ETRF do S-JTSK Transformace ETRF --> S-JTSKxx (Program etrf-jtsk.for) Bod B(ETRF) L(ETRF) H() Y(S-JTSK) (S-JTSK) H(niv) 118 5 57 8.3936 14 34 51.1547 46.1 718583.93 9494.484 416.88 114 51.381 14 3 8.576 415.18 78.534 939481.936 371.88 1153 51 37.4197 14 5 41.4885 451.56 78334.775 941375.16 48.15 11513 5 59.589 14 3 1.49 473.3 7346.331 944448.96 49.97 1153 5 57 8.67 14 7 9.9745 517.6 77116.88 94866.41 474.3 1156 5 57 17.917 14 31 5.1831 454.83 7914.499 948339.855 411.51 1193 51.664 14 19 1.1 473. 7354.19 9371.14 49.7 11911 51 1 4.97 14 1.3459 455.81 73173.71 939364.63 41.3 atd. Program ETRF-JTSK_v15 vzor vstupních dat pro transformaci z S-JTSK do ETRF 118 718583.57 9494.314 416.88 111 719957.79 94418.734 48.37 11 71881.7 943638.439 38.1 atd. Program ETRF-JTSK_v15 vzor výstupu pro transformaci z S-JTSK do ETRF Transformace S-JTSK/5 nebo S-JTSK --> ETRF (Program etrf-jtsk.for) Bod Y(S-JTSKxx) (S-JTSKxx) H(niv) B(ETRF) L(ETRF) H() 118 718583.93 9494.484 416.88 5 57 8.3936 14 34 51.1548 46.1 114 78.534 939481.936 371.88 51.381 14 3 8.576 415.18 1153 78334.775 941375.16 48.15 51 37.4197 14 5 41.4885 451.56 11513 7346.331 944448.96 49.97 5 59.589 14 3 1.493 473.3 1153 77116.88 94866.41 474.3 5 57 8.68 14 7 9.9745 517.6 1156 7914.499 948339.855 411.51 5 57 17.917 14 31 5.1831 454.8 atd. Reference [1] Kostecký J. Cimbálník M. Čepek A. Filler V. Kostecký J. jr Nágl J. Pešek I.: Realizace S-JTSK/5 Technická zpráva VÚGTK v.v.i. č. 1147/9. Zdiby 9. [] Kostecký J. Cimbálník M. Čepek A. Douša J. Filler V. Kostecký J. jr Nágl J. Pešek I.: Realizace S-JTSK/5 varianta Technická zpráva VÚGTK v.v.i. č. 1153/1. Zdiby 1. 1