Použitie grafického kalkulátora Casio ClassPad300 vo vyučovaní matematiky v tematickom celku POSTUPNOSTI Martina Bestrová Abstrakt: Ako hovorí už samotný názov, článok sa zaoberá použitím grafického kalkulátora Casio ClassPad300 vo vyučovaní matematiky v tematickom celku Postupnosti. Ukážeme ako by mohla vyzerať vyučovacia hodina, na ktorej chceme žiakov naučiť, ako majú zistiť, pomocou kalkulátora Casio ClassPad300, rekurentný vzťah pre uvedenú postupnosť čísel. Článok sa viaže na kurz Didaktika matematiky projektu EMATIK. Kľúčové slová: Casio ClassPad300, IKT vo vyučovaní matematiky, postupnosti, rekurentný vzťah postupnosti,... ÚVOD Téma POSTUPNOSTI sa učí v 4. ročníku 4-ročných gymnázií alebo v 8. ročníku 8-ročných gymnázií: Ciele vypísať členy postupnosti, určiť ľubovoľný člen, definovať aritmetickú a geometrickú postupnosť, ovládať terminológiu, symboliku, vzorce pre n-tý člen a súčet postupnosti, určovať diferenciu a kvocient, rozhodnúť, či daná postupnosť je aritmetická alebo geometrická, zistiť monotónnosť, určiť limitu (intuitívne), určiť postupnosť čiastočných súčtov, určiť súčet radu. Obsah Pojem postupnosti, spôsoby určenia (vrátane rekurentného), monotónnosť, ohraničenosť, limita postupnosti (intuitívne), konvergencia, divergencia postupnosti. Aritmetická a geometrická postupnosť, diferencia a kvocient, súčet prvých n členov postupnosti. Nekonečný rad, čiastočný súčet (najmä aritmetického a geometrického radu), súčet geometrického radu (intuitívne), nekonečný geometrický rad a jeho súčet. Graf postupnosti.
MOTIVÁCIA NA VYUČOVACIU HODINU Prvá matematická symbolika, ktorá obsahovala niečo, čo pripomína pojem neznámej, pochádza od Pytagorejcov. Pytagorejci zobrazovali čísla pomocou bodiek, ktoré zoskupovali do geometrických útvarov. Takto vytvorili tzv. figurálne čísla: trojuholníkové čísla, štvorcové čísla, päťuholníkové čísla, obdĺžnikové čísla a pod. Tento geometrický jazyk im umožňoval dokázať tvrdenia, ktoré dnes väčšinou zapisujeme algebraicky; napríklad, že súčet dvoch po sebe idúcich trojuholníkových čísel je číslo štvorcové. Starovekí obchodníci používali pri počítaní oblé kamienky, po grécky nazývané pséfos. Technika počítania pomocou kamienkov sa nazývala pséfofória. Pytagoras priniesol do pséfofórie úplne novú ideu. Začal ukladať kamienky do obrazcov a týmto prisudzoval význam predmetov, vzťahov či javov. Trojuholníkové čísla.................... n=1 n=2 n=3 n=4 1, 3, 6, 10... atď. Znázornili sme si štyri trojuholníkové čísla a k nim príslušné počty bodiek (kamienkov). Pytagorejci jednotku nepovažovali za číslo, ale za začiatok, mieru, niekedy za univerzum. Ako vieme pomocou grafického kalkulátora Casio ClassPad300 znázorniť postupnosť trojuholníkových čísiel si môžete pozrieť v upútavke ku kurzu Didaktika matematiky. My si teraz ukážeme, ako vieme pomocou tohto kalkulátora znázorniť postupnosť štvorcových čísiel. Štvorcové čísla.............................. n=1 n=2 n=3 n=4 1, 4, 9, 16... atď. KRÁTKA TEÓRIA K TÉME POSTUPNOSTI Definícia: Funkcia, ktorej definičný obor je množina všetkých prirodzených čísel, 2,3,...,,... 1, 2,3,..., k sa nazýva postupnosť. { 1 n } alebo jej podmnožina typu { }
Postupnosť definovaná na množina všetkých prirodzených čísel je nekonečná postupnosť, postupnosť definovaná na množina prvých k prirodzených čísel je konečná postupnosť. Jednotlivé hodnoty funkcie, ktorá je postupnosťou, nazývame členy postupnosti. Funkčnú hodnotu postupnosti a pre n N nazývame n-tý člen postupnosti a označujeme ju a(n) alebo častejšie a n. Grafom postupnosti je množina navzájom izolovaných bodov { 1, A2, A3,...} pričom A n má súradnice [ n, a n ], kde n N a n R je konečná množina navzájom izolovaných bodov { A A, A,..., } A,,. Grafom konečnej postupnosti 1, 2 3 A n. Pri určovaní postupnosti sa často používa spôsob, ktorý sa nazýva rekurentný (z lat. recurre bežať späť). Vtedy je daný prvý člen postupnosti alebo niekoľko prvých členov postupnosti a pre ďalšie členy je daný predpis, ako určíme člen a n+1. Postupnosť však môže byť daná aj explicitne. Vtedy je daný predpis, ako určíme člen a n. Definícia: Postupnosť{ a n } sa nazýva aritmetická, ak existuje také číslo d, že pre n =1 každé prirodzené číslo n platí a n+1 = a n + d. Číslo d sa nazýva diferencia. Definícia: Postupnosť{ a n } sa nazýva geometrická, ak existuje také číslo q, že pre =1 n každé prirodzené číslo n platí a n+1 = a n * q. Číslo q sa nazýva kvocient. PRAKTICKÁ ČASŤ VYUČOVACEJ HODINY Úloha pre žiakov: a) Vytvorte tabuľku pre prvých 10 členov postupnosti štvorcových čísel b) Koľko bodiek bude mať 10-te, 25-te a n té štvorcové číslo? c) Nakreslite graf prvých 10 členov tejto postupnosti d) Napíšte rekurentný vzťah (t.j. napíšte čomu sa rovnajú členy a 1 a a n+1 pre n = 1, 2, 3,...) v uvedenej postupnosti štvorcových čísel Riešenie: a) V zadaní máme uvedené prvé štyri členy postupnosti, ďalšie členy by sme získali postupným dokresľovaním bodiek (prikladaním kamienkov). Aj bez kalkulátora. a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
Riešenie: b) Z predchádzajúcej tabuľky vidíme, že 10-te štvorcové číslo má 100 bodiek. Tí šikovnejší žiaci si už pri 4-tom, 5-tom štvorcovom čísle všimli, aká súvislosť je medzi číslami a ďalšie čísla vedeli napísať aj bez kreslenia. Vidíme, že čísla sú štvorce a preto počet bodiek je vždy druhá mocnina nejakého čísla. V našom prípade druhá mocnina čísla n. a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 8 2 9 2 10 2 Takže 25-te štvorcové číslo bude mať 25 2 = 625 bodiek, n -té štvorcové číslo bude mať n 2 bodiek. Týmto máme danú postupnosť štvorcových čísel explicitne. Teraz môžeme pomocou grafického kalkulátora Casio ClassPad300 vytvoriť tabuľku a nakresliť graf tejto postupnosti. V hlavnom MENU vyznačíme ikonu postupnosť (Sequence). Na displeji sa objavia dve okná. Okno editora postupnosti a okno pre tabuľku. Postupnosť môžeme zadať rekurentne (Recursive) alebo explicitne - predpisom pre n -tý člen postupnosti (Explicit). Vytvorenie tabuľky pomocou grafického kalkulátora Casio ClassPad300: (1) Napíšeme predpis pre postupnosť. Pri postupnosti danej explicitne vyznačíme v okne editora postupnosti Explicit a vložíme explicitný výraz (vzorec pre n -tý člen postupnosti). Napíšeme a n E = n 2 a vyznačíme štvorček pred a n E a stlačíme EXE. (2) Vyznačíme button (druhý sprava x, y). Ukáže sa dialógové okno pre tabuľku postupnosti. Vložíme požadované hodnoty pre n : Start: 1, End: 10 a stlačíme OK. (3) Označíme prvý button pre tabuľku a dostaneme hodnoty prvých 10 členov postupnosti, ktoré si môžeme nalistovať v pravom stĺpci dolnej tabuľky. (1)
(2) (3) Riešenie: c) Grafom postupnosti je množina navzájom izolovaných bodov pričom A n má súradnice[ n, a n ]. Z tabuľky vieme jednoducho nakresliť graf konečnej postupnosti pre prvých 10 členov. Nakreslenie grafu pomocou grafického kalkulátora Casio ClassPad300: (4) Vyznačíme šípku v ľavom hornom rohu a potom View Window na zapísanie hodnôt pre graf postupnosti. Máme 10 členov (hodnoty x) s krokom (scale) 1; hodnoty na osi y určíme podľa tabuľky). V našom prípade, môžeme voliť y scale 1). Výber potvrdíme OK. (5) Na zobrazenie grafu postupnosti vyznačíme druhý button zľava. (4) (5) Dostali sme graf postupnosti. (6) Pomocou Link Trace môžeme prechádzať jednotlivými bodmi na grafe. Keď je na displeji tabuľka a graf, aktivujeme okno tabuľky a vyznačíme stĺpec pre hodnoty členov
postupnosti a n. Označíme a Link, ak je Link aktívne, body na grafe skáču po bodoch, ktoré vyznačíme v tabuľke. Link nepracuje, ak je v tabuľke vyznačený prvý stĺpec pre n. (7) Tu nás však môže popliesť, že grafom postupnosti nie sú izolované body ale krivka. Preto aktivujeme okno grafu a pomocou Graf a G-Plot sa späť vrátime ku grafu s izolovanými bodmi. Označíme Analysis a Trace, v okne grafu na prvom člene postupnosti sa objaví +, pomocou šípok na klávesnici sa môžeme pohybovať ( skákať ) po izolovaných bodoch grafu. V dolnej časti okna sa objavujú súradnice bodu, na ktorom sa práve nachádzame. (6) (7) Riešenie: d) Pri určovaní postupnosti sa často používa spôsob, ktorý sa nazýva rekurentný. Vtedy je daný prvý člen postupnosti a pre ďalšie členy je daný predpis, ako určíme člen a n+1. Rekurentný predpis pre postupnosť získame rozdielom a n+1 - a n alebo podielom a n + 1. a n a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 8 2 9 2 10 2 1 1+3 4+5 9+7 16+9 25+11 36+13 49+15 64+17 81+19 a 1 a 1 +3 a 2 +5 a 3 +7 a 4 +9 a 5 +11 a 6 +13 a 7 +15 a 8 +17 a 9 +19 V našom prípade získame rekurentný vzťah rozdielom a n+1 - a n. n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 n = 6 n = 7 n = 8 n = 9 a 2 - a 1 a 3 - a 2 a 4 - a 3 a 5 - a 4 a 6 - a 5 a 7 - a 6 a 8 - a 7 a 9 - a 8 a 10 - a 9 4 1 9 4 16 9 25 16 36 25 49 36 64 49 81 64 100-81 3 5 7 9 11 13 15 17 19 2 + 1 4 + 1 6 + 1 8 + 1 10 + 1 12 + 1 14 + 1 16 + 1 18 + 1 2.1 + 1 2.2 + 1 2.3 + 1 2.4 + 1 2.5 + 1 2.6 + 1 2.7 + 1 2.8 + 1 2.9 + 1 2n + 1 2n + 1 2n + 1 2n + 1 2n + 1 2n + 1 2n + 1 2n + 1 2n + 1
ZÁVER: Rekurentný vzťah uvedenej postupnosti štvorcových čísel je: a 1 = 1 a n+1 = a n + (2n + 1) Literatúra: [1] BEREKOVÁ, H.: Upútavka pre kurz Didaktika matematiky, 2007, http://elearn.ematik.sk/mod/resource/view.php?id=2850 [2] BEREKOVÁ, H.: 5. lekcia a 8. lekcia kurzu Didaktika matematiky, 2007, http://elearn.ematik.sk/course/view.php?id=40 [3] DIILLINGEROVÁ, M.: Minipríručka začínajúceho užívateľa Casio ClassPad300, http://www.ddm.fmph.uniba.sk/ematik/index.html [4] HEJNÝ, M. A KOLEKTÍV: Teória vyučovania matematiky 2, SPN, Bratislava, prvé vydanie 1988, ISBN 80-08-00014-7. [5] SMIDA, J.: Postupnosti a rady reálnych čísel (učebný text pre gymnáziá), SPN, Bratislava, druhé vydanie 1995, ISBN 80-08-00560-2. Mgr. Martina Bestrová Katedra algebry, geometrie a didaktiky matematiky Fakulta matematiky, fyziky a informatiky Univerzity Komenského Mlynská dolina 842 48 Bratislava e-mail: bestmatka@gmail.com