Univerzita J.E. Purkyně v Ústí nad Labem Přírodovědecká fakulta. Kvantitativní management KI/KVM

Univerzita J.E. Purkyně v Ústí nad Labem Přírodovědecká fakulta Kvantitativní management KI/KVM Jiří Škvor Ústí nad Labem 2015 RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 1 / 86

Obor: Klíčová slova: 1802R006 Informační systémy stochastické procesy, simulační modely, Markovovy řetězce, systémy hromadné obsluhy, modely řízení zásob, ekonofyzikální modely, teorie her Projekt Mezioborové vazby a podpora praxe v přírodovědných a technických studijních programech UJEP Registrační číslo projektu: CZ.1.07/2.2.00/28.0296 Tento projekt byl podpořen z Evropského sociálního fondu a státního rozpočtu České republiky. RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 2 / 86

Vybrané pojmy a vztahy z popisné statistiky Statistický soubor je neprázdná množina objektů, které jsou předmětem daného statistického zkoumání a mají určité společné vlastnosti. Statistická jednotka je prvek statistického souboru. Rozsah statistického souboru n je dán počtem statistických jednotek, které patří do daného zkoumaného statického souboru. Statistický znak (nebo veličina, případně proměnná) je vyjádřením sledované společné vlastnosti statistických jednotek v daném statistickém souboru a může nabývat různých hodnot, neboli obměn. Tyto hodnoty mohou být slovní (platí pro kvalitativní veličiny; např. pohlaví), nebo číselné (pro kvantitativní veličiny; např. věk). Číselné statistické znaky se rozlišují na spojité, které mohou nabývat všech hodnot na určitém intervalu (např. hmotnost, délka, doba), a diskrétní, které mohou nabývat pouze celočíselných hodnot nebo hodnot z nějaké konečné množiny (např. počet ok na hrací kostce). RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 3 / 86

Vybrané pojmy a vztahy z popisné statistiky Dále je tento přehled zaměřen víceméně jen na zpracování dat ze souboru, v němž sledovaný statistický znak je číselný. Označme: x i jako jednotlivé hodnoty číselného statistického znaku x ve sledovaném souboru, kde i = 1,..., n x (i) jako jednotlivé hodnoty číselného statistického znaku x seřazené vzestupně podle velikosti (tedy x (1) je nejmenší hodnota ze souboru a x (n) největší) x j jako jednotlivé obměny znaku x nebo reprezentanty tříd j (třídní hodnoty, viz třídění dat dále) k jako počet obměn znaku nebo počet tříd (tedy j = 1,..., k) n j jako četnosti výskytu jednotlivých obměn znaku x v souboru nebo celkový počet výskytů hodnot v souboru příslušných třídě j RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 4 / 86

Vybrané pojmy a vztahy z popisné statistiky Třídění dat je rozčlenění jednotek sledovaného souboru do skupin (tříd) stejnorodých z hlediska určitého znaku, který se nazývá třídící znak. Výsledkem tohoto procesu je v případě číselného třídícího znaku jednorozměrné rozdělení četností: třídy určeny konkrétními číselnými hodnotami jednorozměrné intervalové rozdělení četností: třídy určeny intervalem číselných hodnot (obvykle zdola otevřeným a shora uzavřeným) dolní hranice třídy je nejmenší hodnota, která patří do příslušné třídy horní hranice třídy je největší hodnota, která patří do příslušné třídy šířka třídy je rozdíl dolní hranice sousední vyšší třídy a dolní hranice dané třídy střed třídy je prostřední hodnota třídy a může být reprezentantem x j třídy j RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 5 / 86

Vybrané pojmy a vztahy z popisné statistiky Třídy musí být určeny tak, aby každá jednotka souboru byla jednoznačně zařaditelná. Jedním z doporučení pro určení počtu tříd k je tzv. Sturgesův vzorec: k = 1 + log 2 n Pro absolutní četnost n j třídy j platí k n j = n 1 + n 2 + + n k = n j=1 Relativní četnost p j třídy j je definována jako a platí pro ni p j = n j n k p j = p 1 + p 2 + + p k = 1 j=1 RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 6 / 86

Vybrané pojmy a vztahy z popisné statistiky Kumulativní absolutní četnost třídy j je součet absolutní četnosti třídy j a tříd předchozích n 1 + n 2 + + n j Kumulativní relativní četnost třídy j je součet relativní četnosti třídy j a tříd předchozích p 1 + p 2 + + p j RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 7 / 86

Vybrané pojmy a vztahy z popisné statistiky Grafické znázornění u polygonu četností se úsečkami spojí četnosti n j vynesené v závislosti na třídní hodnotě x j histogram je v základní podobě graf, u něhož se horizontální osa rozdělí krajními body intervalů, čímž se vymezí podstavy obdelníků příslušných daným třídám obsah těchto obdelníků je pak roven odpovídajícím p j (jejich výšku tedy získáme vydělením p j šířkou daného intervalu) p j 0.0 0.1 0.2 0.3 Histogramy 1 pdf ("my_hist.pdf ",width=6, height =4) 2 hist ( rnorm (1000000, mean=0,sd=1), 3 probability=true, col=" red ", 4 xlim =c ( -5,12),main =" Histogramy ", 5 xlab ="x",ylab = expression (p[j])) 6 hist ( rnorm (1000000, mean=5,sd=2), 7 probability=true, col=" blue ", 8 add = TRUE ) 9 dev. off () 5 0 5 10 x RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 8 / 86

Vybrané pojmy a vztahy z popisné statistiky Kvantily 100α-procentní kvantil x α je hodnota, která dělí soubor dat na dvě části tak, že je po jejich vzestupném seřazení prvních 100α procent z nich menších nebo rovných tomuto kvantilu. Medián (x 0.50, častěji pouze x) je snad nejpoužívanější kvantil a dělí získané seřazené hodnoty na dvě stejně početné části. Je-li n liché je jeho určení jednoznačné: x = x ( n+1 2 ) V případě sudého n je obvyklý způsob určení následovný: x = x ( n 2) + x ( n 2 +1) 2 RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 9 / 86

Vybrané pojmy a vztahy z popisné statistiky Kvantily (pokračování) Obecné určení kvantilů: αn je celé číslo, pak x α = x (αn)+x (αn+1) 2 αn není celé číslo, pak x α = x (αn zaokrouhlené na nejbližší vyšší celé číslo) Rozlišení kvantilů: dolní kvantily jsou kvantily menší než medián (α < 0.5) horní kvantily jsou kvantily větší než medián (α > 0.5) Soustava kvantilů: tercily (dolní x 1 3 kvartily (dolní x 1 4, horní x 2 ) 3 decily (x 1, x 2,, x 9 10 10 10 centily (percentily) (x 1 100, medián, horní x 3 4 ) ), x 2,, x 99 ) 100 100 RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 10 / 86

Vybrané pojmy a vztahy z popisné statistiky Charakteristiky polohy (aritmetický průměr) Charakteristiky (míry) polohy (úrovně) určitým způsobem zobecňují velikost hodnot v souboru dat. Aritmetický průměr x: Prostý aritmetický průměr: x = x 1 + x 2 + + x n n Vážený aritmetický průměr: = ni=1 x i n x = n kj=1 1x 1 + + n k x k n j x kj=1 j n j x j = n 1 + + n kj=1 = k n j n = k p j x j = p 1 x 1 + p 2 x 2 + + p k x k j=1 = k j=1 n j n x j = RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 11 / 86

Vybrané pojmy a vztahy z popisné statistiky Charakteristiky polohy (harmonický průměr) Harmonický průměr x H je definován, nabývá-li znak x pouze kladných hodnot: Prostý harmonický průměr: x H = Vážený harmonický průměr: x H = n 1 + n 2 + + n k = n 1 x 1 + n 2 1 kj=1 p j x j = x 2 + + n k n n 1 x 1 + 1 x 2 + + 1 = ni=1 1 x n x i x n = kj=1 n j kj=1 n j = x j 1 p 1 x 1 + p 2 x 2 + + p k x k n kj=1 n j x j = 1 kj=1 n j n = 1 x j RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 12 / 86

Vybrané pojmy a vztahy z popisné statistiky Charakteristiky polohy (geometrický průměr) Geometrický průměr x G je definován, nabývá-li znak x pouze kladných hodnot: Prostý geometrický průměr: x G = n x 1 x 2 x n = n n i=1 x i, resp. Vážený geometrický průměr: x G = ni=1 ln x i ln x G = n k j=1 n j x n 1 1 x n 2 2 x n k k = k j=1 n j k j=1 x n j j ln x G = kj=1 n j ln x j kj=1 n j = k p j ln x j j=1 RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 13 / 86

Vybrané pojmy a vztahy z popisné statistiky Charakteristiky polohy (ostatní střední hodnoty) Modus ˆx je nejpravděpodobnější hodnota v souboru dat, tj. hodnota, která má dle rozdělení četností nejvyšší četnost. V případě intervalového rozdělení četností se pak určuje modální interval. Ten pak závisí na počtu a hranicích intervalů, které by přinejmenším měly mít stejnou délku. Modus či modální interval nelze vždy jednoznačně určit. Medián x je prostřední hodnota v seřazeném souboru dat (viz kvantily). RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 14 / 86

Vybrané pojmy a vztahy z popisné statistiky Charakteristiky variability (rozptyl) Charakteristiky (míry) variability (rozptýlenosti) ukazují, jak mnoho se mezi sebou sledované hodnoty vzájemně liší. Rozptyl s 2 x je aritmetický průměr druhých mocnin odchylek jednotlivých hodnot ze souboru dat od jejich aritmetického průměru: resp. s 2 x = ni=1 sx 2 (x i x) 2 = n kj=1 n j (x j x) 2 kj=1 n j = k p j (x j x) 2 j=1 RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 15 / 86

Vybrané pojmy a vztahy z popisné statistiky Charakteristiky variability (rozptyl, směrodatná odchylka) Výpočetní tvar rozptylu je: sx 2 = k j=1 p j (x j x) 2 = kj=1 p j (xj 2 2x j x + x 2 ) = k j=1 p j xj 2 2 k j=1 p j x j x + k j=1 p j x 2 = kj=1 p j xj 2 2x k j=1 p j x j + x 2 k j=1 p j = x 2 2x x + x 2 = x 2 x 2 Směrodatná odchylka s x je druhá odmocnina rozptylu s kladným znaménkem a má stejný rozměr (měří se ve stejných jednotkách) jako hodnoty v analyzovaném souboru dat: s x = sx 2 = x 2 x 2 Směrodatná odchylka a rozptyl tedy charakterizují variabilitu hodnot v souboru dat ve smyslu odlišnosti jednotlivých hodnot od jejich aritmetického průměru. RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 16 / 86

Vybrané pojmy a vztahy z popisné statistiky Charakteristiky variability (ostatní jednoduché charakteristiky absolutní variability) Variační rozpětí R = x (n) x (1) udává celkové rozpětí hodnot v souboru dat. Kvantilové charakteristiky variability: Kvartilové rozpětí R K = x 3 x 1 4 4 Decilové rozpětí R D = x 9 x 1 10 10 Centilové rozpětí R C = x 99 x 1 100 100 Obdobně jako rozptyl se počítá průměrná absolutní odchylka od aritmetického průměru k d x = p j x j x j=1 RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 17 / 86

Vybrané pojmy a vztahy z popisné statistiky Charakteristiky variability (charakteristiky relativní variability) Pro porovnání variability různých souborů se užívají charakteristiky relativní variability, které poměřují charakteristiky absolutní variability (uváděné dříve) s vhodnou charakteristikou polohy tak, že výsledná míra je bezrozměrná. Například: Relativní kvantilové rozpětí je podíl kvantilového rozpětí a mediánu. Variační koeficient je podíl směrodatné odchylky a aritmetického průměru: V x = s x x RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 18 / 86

Vybrané pojmy a vztahy z popisné statistiky Charakteristiky šikmosti Charakteristiky (míry) šikmosti (sešikmení) udávají, do jaké míry jsou hodnoty kolem zvoleného středu rozloženy souměrně resp. do jaké míry je rozdělení hodnot sešikmeno na jednu stranu (a na jakou). Všechny charakteristiky šikmosti určitým způsobem využívají vztahů mezi průměrem x, mediánem x a modem ˆx. pro záporně (vlevo) sešikmené rozdělení platí: x < x < ˆx pro symetrické rozdělení platí: x = x = ˆx pro kladně (vpravo) sešikmené rozdělení platí: x > x > ˆx RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 19 / 86

Vybrané pojmy a vztahy z popisné statistiky Charakteristiky šikmosti (pokračování) (Momentový) koeficient šikmosti S m je definován vztahem: S m = 1 n n (x i x) 3 i=1 Kvantilový koeficient šikmosti S p je definován vztahem: kde α < 1/2. s 3 x S p = (x (1 α) x) ( x x α ) x (1 α) x α RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 20 / 86

RNDr. kde Jiří α Škvor, < 1/2. Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 21 / 86 Vybrané pojmy a vztahy z popisné statistiky Charakteristiky špičatosti Charakteristiky (míry) šikmosti (strmosti) udávají, jaký průběh má rozdělení hodnot kolem zvoleného středu. Čím je rozdělení špičatější, tím více jsou hodnoty nahuštěny kolem daného středu. (Momentový) koeficient špičatosti K m je definován vztahem: K m = 1 n (x i x) 4 n s i=1 x 4 3 Jestliže K m > 0, pak je dané rozdělení špičatější než normované normální rozdělení. Kvantilový koeficient špičatosti K p je definován vztahem: K p = x (n) x (1) x (1 α) x α

Náhodná veličina Náhodný pokus je pokus, který probíhá za stejných podmínek a předem nevíme, jaký výsledek nastane (např. hod kostkou). Náhodný jev je výsledek náhodného pokusu (např. padla šestka). Náhodná veličina je proměnná, jejíž hodnota je jednoznačně určena výsledkem náhodného pokusu (např. počet ok na kostce) a značí se obvykle velkými latinskými písmeny. Pravděpodobnost náhodného jevu A je číslo P(A), která vyjařuje míru možnosti, že daný náhodný jev nastane, přičemž platí: Pravděpodobnost náhodného jevu A je nezáporné číslo: P(A) 0 Jsou-li jevy A a B neslučitelné, pak pro pravděpodobnosti jejich sjednocení platí: P(A + B) = P(A) + P(B) Pravděpodobnost jistého jevu E je rovna jedné: P(E) = 1 RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 22 / 86

Náhodná veličina K popisu rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny slouží: distribuční funkce F (x), která je definovaná vztahem F (x) = P(X x), kde < x < pravděpodobnostní funkce P(x) v případě diskrétní náhodné veličiny, pro kterou platí P(x) = P(X = x), a hustota pravděpodobnosti f (x) v případě spojité náhodné veličiny, pro kterou platí: x 2 x 1 f (x) dx = P(x 1 < X x 2 ) = F (x 2 ) F (x 1 ) a x f (x ) dx = F (x) resp. f (x) = df (x). dx Dále platí M P(x) = 1 a analogicky M f (x) dx = 1, kde M je prostor hodnot, kterých náhodná veličina může nabývat. RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 23 / 86

Náhodná veličina Charakteristiky náhodné veličiny Střední (očekávaná) hodnota E(X) (nebo µ X, či jen µ): E(X) = xp(x) v případě diskrétní náhodné veličiny M E(X) = xf (x) dx v případě spojité náhodné veličiny M která má analogický význam a vlastnosti jako aritmetický průměr. Rozptyl D(X) (nebo σ 2 X, či jen σ2 ) a směrodatná odchylka σ X (či jen σ): D(X) = E([X E(X)] 2 ) které mají analogický význam a vlastnosti jako již definovaný rozptyl s 2 x a směrodatná odchylka s x. RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 24 / 86

Náhodná veličina Charakteristiky náhodné veličiny (pokračování) V případě spojité náhodné veličiny mají velký význam rovněž kvantily. Hodnotu x α nazveme 100α-procentním kvantilem, jestliže pro ni platí: F (x α ) = α pro α (0; 1) Základní charakteristikou, která nás informuje o vztahu mezi dvěma náhodnými veličinami (X a Y ), je kovariance COV(X, Y ) (nebo σ XY ): σ XY = E([X E(X)][Y E(Y )]) = σ YX RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 25 / 86

Náhodná veličina Charakteristiky náhodné veličiny (pokračování ke kovarianci I) S využitím vlastností střední hodnoty lze odvodit tvar: σ XY = E([X E(X)][Y E(Y )]) = = E([XY XE(Y ) E(X)Y + E(X)E(Y )]) = = E(XY ) E(XE(Y )) E(E(X)Y ) + E(E(X)E(Y )) = = E(XY ) E(Y )E(X) E(X)E(Y ) + E(X)E(Y ) = = E(XY ) E(X)E(Y ) Jestliže jsou obě náhodné veličiny vzájemně nezávislé, pak: σ XY = 0 Opačné tvrzení (jestliže σ XY = 0, pak jsou náhodné veličiny X a Y nezávislé) ale neplatí. RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 26 / 86

Náhodná veličina Charakteristiky náhodné veličiny (pokračování ke kovarianci II) Kovariance nabývá hodnot na intervalu ( ; ). Lepší vlastnosti má koeficient korelace ρ(x, Y ), který nabývá hodnot na intervalu 1; 1 : ρ(x, Y ) = σ XY σ X σ Y Jestliže ρ(x, Y ) = 1, pak jsou dané náhodné veličiny nepřímo lineárně závislé. Jestliže ρ(x, Y ) = 1, pak jsou dané náhodné veličiny přímo lineárně závislé. Jestliže ρ(x, Y ) = 0, pak jsou dané náhodné veličiny lineárně nezávislé neboli nekorelované, což ovšem neznamená, že musí být obecně nezávislé. Nakonec uveďme vztah pro rozptyl součtu dvou náhodných veličin (X a Y ): D(X + Y ) = D(X) + D(Y ) + 2σ XY RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 27 / 86

Vybraná rozdělení spojité náhodné veličiny V následujících přehledech je kromě dříve zavedených f (x), E(X), D(X) a x uváděn také koeficient šikmosti γ 1 a koeficient špičatosti γ 2. Rovnoměrné na intervalu a, b { 1 f (x) = b a pro x a, b 0 jinak E(X) = a+b 2 D(X) = 1 12 (b a)2 γ 1 = 0 γ 2 = 6 5 x = a+b 2 Standardní je na intervalu 0, 1). Nechť je v používaném programovacím jazyce k dispozici generátor (pseudonáhodných) čísel z tohoto rozdělení, který označíme ζ. RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 28 / 86

Vybraná rozdělení spojité náhodné veličiny Normální (Gaussovo) f (x) = 1 σ 2π e 1 2( x µ σ ) 2 E(X) = µ D(X) = σ 2 γ 1 = 0 γ 2 = 0 x = µ Dvě nezávislá čísla ξ 1 a ξ 2 z tohoto rozdělení nagenerujeme takto: ξ 12 = σ 2 ln ζ 1, ξ 1 = ξ 12 cos(2πζ 2 ) + µ, ξ 2 = ξ 12 sin(2πζ 2 ) + µ Pokud ζ 1 může nabýt hodnoty 0, je nutná substituce: ζ 1 = 1 ζ 1 (za předpokladu, že nemůže nabýt hodnoty 1). RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 29 / 86

Vybraná rozdělení spojité náhodné veličiny Maxwellovo f (v) = 2 v 2 π σ 3 e v 2 2σ 2 E(X) = 2σ 2 π D(X) = σ2 (3π 8) π γ 1 = 2 2(16 5π (3π 8) 3/2 γ 2 = 4 3π2 40π+96 (3π 8) 2 Číslo ξ M z tohoto rozdělení generujeme jako odmocninu ze součtu druhých mocnin tří čísel z normálního rozdělení s µ = 0 (tj. ξ M = ξ1 2 + ξ2 2 + ξ2 3 ). RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 30 / 86

Vybraná rozdělení spojité náhodné veličiny Exponenciální f (x) = { λe λx pro x 0 0 pro x < 0 E(X) = 1 λ D(X) = 1 λ 2 γ 1 = 2 γ 2 = 6 x = ln 2 λ Číslo ξ E z tohoto rozdělení generujeme podle vztahu: ξ E = ln ζ λ RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 31 / 86

Vybraná rozdělení náhodné veličiny v R K dispozici jsou mimo jiné následující spojitá rozdělení: rovnoměrné rozdělení: dunif normální rozdělení: dnorm exponenciální rozdělení: dexp Cauchyho rozdělení: dcauchy Fischerovo F -rozdělení: df Studentovo t-rozdělení: dt beta rozdělení: dbeta gama rozdělení: dgamma χ 2 rozdělení: dchisq a následující diskrétní rozdělení: binomické rozdělení: dbinom geometrické rozdělení: dgeom Poissonovo: dpois RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 32 / 86

Vybraná rozdělení náhodné veličiny v R První písmeno funkce charakterizuje její chování následujícím způsobem (příklad pro normální rozdělení): dnorm: hustota pravděpodobnosti f (x) (resp. pravděpodobnostní funkce P(x)] pnorm: distribuční funkce F (x) qnorm: kvantily rnorm: generátor náhodných čísel Příklad použití 1 pdf ("my_f. pdf ",width =6, height =4) 2 plot ( function (x) dnorm (x,0,1), -10,10, ylab ="", 3 main =" Hustota pravdepodobnosti normalniho rozdeleni ", 4 col =" red ",lwd =2) 5 curve ( dnorm (x,0,2),add =TRUE, col =" green ",lwd =2) 6 curve ( dnorm (x,0,3),add =TRUE, col =" blue ",lwd =2) 7 dev. off () RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 33 / 86

Vybraná rozdělení náhodné veličiny v R Hustota pravdepodobnosti normalniho rozdeleni 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 10 5 0 5 10 x RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 34 / 86

Motivační úloha: tenisová rozcvička Zadání Nechť výsledek tenisové výměny hráče A s hráčem B je daný pouze pravděpodobností p, že hráč A ve výměně zvítězí. Určete analyticky a prostřednictvím simulace pravděpodobnost, že hráč A získá hru (tj. vyhraje alespoň 4 výměny a zároveň o dvě více výměn než soupeř) jako funkci p. K analytickému řešení P = p 4 }{{} skóre 4:0 + 4p 4 (1 p) + }{{} skóre 4:1 10p 4 (1 p) 2 1 2p(1 p) }{{} ostatní možnosti (geometrická řada) RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 35 / 86

Motivační úloha: tenisová rozcvička K analytickému řešení (podrobněji) Pravděpodobnost P, že hráč A získá hru výhrou 4 výměn v řadě (skóre 4:0): p 4 výhrou 4 výměn proti jedné výhře hráče B (skóre 4:1): 4p 4 (1 p), kde (1 p) je pravděpodobnost, že ve výměně zvítězí hráč B, a faktor 4 odpovídá 4 možnostem, jak k danému skóre může dojít (hráč B vyhraje právě 1., nebo právě 2., nebo právě 3., nebo právě 4. výměnu z 5 odehraných a hrač A vyhraje ostatní 4 výměny) výhrou 4 výměn proti dvěma výhrám hráče B (skóre 4:2): 10p 4 (1 p) 2 výhrou 5 výměn proti třem výhrám hráče B (skóre 5:3): 20p 5 (1 p) 3 výhrou 6 výměn proti čtyřem výhrám hráče B (skóre 6:4): 40p 6 (1 p) 4... geometrická posloupnost s kvocientem 2p(1 p) RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 36 / 86

Motivační úloha: tenisová rozcvička Simulační experiment: možné řešení v R (definice funkce pro simulaci) 1 ProbTennis <- function (p, n){ 2 winsa =0 3 for (i in 1:n){ 4 pointsa =0 5 pointsb =0 6 repeat {# simulace jedne hry 7 if( runif (1) <p) pointsa = pointsa +1 8 else pointsb = pointsb +1 9 if( pointsa >3 & pointsa - pointsb >1) { 10 winsa = winsa +1 11 break 12 } 13 else if( pointsb >3 & pointsb - pointsa >1) break 14 } 15 } 16 return ( winsa /n) 17 } RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 37 / 86

Motivační úloha: tenisová rozcvička Simulační experiment: možné řešení v R (vykreslení v kódu) 18 p <-seq (0.01,0.99,0.01) 19 P <-c() 20 for (x in p){ 21 P <-c(p, ProbTennis (x,10000) ) 22 } 23 pdf (" Tennis. pdf ",width =7, height =4, encoding =" CP1250. enc ") 24 plot ( function (p) p ˆ4+4 *pˆ4*(1 -p) +10 *pˆ4*(1 -p)ˆ2/(1-2*p*(1 -p)), 25 col =" red ",lwd =2, xlab = p,ylab = P,) 26 points (p, P) 27 legend (0,1,c(" analytické řešení "," simulační výsledek "), 28 lty =c (1,0),pch =c( -1,1),col =c (2,1),lwd =c (2,1) ) 29 dev. off () RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 38 / 86

Motivační úloha: tenisová rozcvička Simulační experiment: možné řešení v R (vykreslení) P 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 analytické řešení simulační výsledek 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 p RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 39 / 86

Modely systémů hromadné obsluhy Se systémy hromadné obsluhy (SHO) se jako zákazníci a klienti různých služeb setkáváme každý den, např.: u pokladny v supermarketu, u přepážky v bance nebo na poště, v čekárně u lékaře. Do systému hromadné obsluhy jako zákazníci s požadavkem na provedení služby nevstupují jen lidé, ale mohou jimi být například také: porouchané stroje čekající na opravu, úlohy v počítači čekající na přidělení volného procesoru. Poskytovatele služby označujeme obecně jako obslužná místa (zařízení, linky) nebo kanály obsluhy (servers). Množina požadavků čekající na obsluhu tvoří frontu (queue). RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 40 / 86

Modely systémů hromadné obsluhy Kendallova klasifikace systémů hromadné obsluhy Tato klasifikace rozděluje SHO podle šesti parametrů A/S/c/K/N/D, kde A (arrival process) charakterizuje rozdělení časových intervalů mezi vstupy požadavků, přičemž na jeho místě se obvykle vyskytuje M (Markovian) pro exponenciální rozdělení E k (Erlang) pro Erlangovo rozdělení řádu k D (deterministic) pro konstantní časové intervaly G (general) pro obecné rozdělení S (service process) charakterizuje rozdělení dob obsluhy a na jeho místě se obvykle vyskytují varianty uvedené v předchozím bodě c určuje počet obslužných míst (paralelních kanálů obsluhy) K charakterizuje kapacitu systému, tj. maximální počet požadavků v systému (není-li řečeno jinak, pak K =, tj. neomezená kapacita; infinite-capacity systems) RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 41 / 86

Modely systémů hromadné obsluhy Kendallova klasifikace systémů hromadné obsluhy (pokračování) N charakterizuje maximální počet požadavků ve zdroji vstupních požadavků není-li řečeno jinak, pak N =, a tedy jde o otevřený SHO jinak jde o SHO uzavřený (cyklický; finite-source systems) D charakterizuje režim (řád) fronty (queuing discipline), jehož hlavní typy jsou FCFS (first come, first served) nebo-li FIFO (first-in, first-out): požadavky jsou obslouženy ve stejném pořadí, v jakém do systému vstoupily (není-li řečeno jinak, předpokládá se tento režim fronty) LCFS (last come, first served) nebo-li LIFO (last-in, first-out): požadavky jsou obslouženy v opačném pořadí, než v jakém do systému vstoupily (první je obsloužen poslední požadavek) SIRO (service in random order): požadavky jsou obslouženy v náhodném pořadí PRIO (priority scheduling): požadavky jsou obslouženy v pořadí dle jejich priority RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 42 / 86

Modely systémů hromadné obsluhy Základní charakteristiky systémů hromadné obsluhy λ (intenzita vstupního procesu, tj. průměrný počet vstupujících požadavků za jednotku času), resp. (průměrná délka časového intervalu mezi vstupy požadavků) 1 λ µ (intenzita obsluhy, tj. průměrný počet požadavků, které mohou být obslouženy za jednotku času), resp. (průměrný čas strávený požadavkem v obsluze) 1 µ průměrný čas strávený požadavkem počet požadavků v obsluze T o = 1 µ N o = λt o ve frontě T f N f = λt f v systému T s = T o + T f N s = λt s = N o + N f Tabulka 1: Vztahy mezi některými charakteristikami SHO. RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 43 / 86

Modely systémů hromadné obsluhy Základní charakteristiky systémů hromadné obsluhy (pokračování) pravděpodobnost p 0, že v systému není žádný požadavek, resp. pravděpodobnosti p n, že v systému je právě n požadavků; jestliže limitní (čas t ) neboli stacionární pravděpodobnost p 0 existuje a je konečná, pak říkáme, že je splněna podmínka stabilizace systému (se systém nezahlcuje čekajícími požadavky). Obecně mohou být systémy hromadné obsluhy daleko složitější. Například se jeho parametry (jako např. počet c paralelních kanálů obsluhy) v čase mění, rozdělení dob obsluhy je u každého kanálu obsluhy jiné apod. RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 44 / 86

Modely systémů hromadné obsluhy Chování vybraných systémů hromadné obsluhy Pro řadu typických systémů lze různé vztahy (např. pro průměrný počet požadavků v systému) analyticky odvodit a lze je najít v odborné literatuře věnující se pravděpodobnostním modelům či teorii front. Pro dále uváděné systémy platí: časové intervaly mezi vstupy požadavků pochází z exponenciálního rozdělení, nebo jsou konstantní, totéž platí pro doby obsluhy, počet c paralelních kanálů obsluhy je 1, nebo více (a v tom případě jsou identické), kapacita systému je neomezená, nebo omezená, systém je otevřený, nebo uzavřený, režim fronty je FIFO, parametry systémů jsou v čase homogenní (tj. neměnné, na čase nezávislé). RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 45 / 86

Modely systémů hromadné obsluhy Model M/M/1 Podmínka stabilizace systému má tvar λ < µ. Označíme-li podíl λ µ jako intenzitu provozu ρ, lze podmínku stabilizace systému vyjádřit ve tvaru Potom platí a ρ < 1 p 0 = 1 ρ T f = λ µ(µ λ) K výpočtům některých dalších užitečných veličin lze snadno použít vztahy v tabulce 1. RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 46 / 86

Modely systémů hromadné obsluhy Model M/M/1: možné řešení v R 1 # intenzita vstupniho procesu 2 lambda <- 1.5 3 # intenzita obsluhy 4 mu <- 1.75 5 6 # celkova doba obsluhy ( pro vypocet T_ o) 7 To_sum <-0 8 # celkova doba cekani ve fronte ( pro vypocet T_ f) 9 Tf_sum <-0 10 # celkova doba, po kterou je system prazdny ( pro vypocet p_ 0) 11 Te_ sum <-0 12 13 # 1. pozadavek 14 Tp <-0 # cas vstupu aktualniho pozadavku ( o 1. pozadavku predpokladame, ze do systemu vstoupil v case 0) 15 Tgen <- rexp (1, mu) # generovani doby obsluhy 16 To_sum <- Tgen 17 Tout <- Tgen # Tout zaznamenava odchod ze systemu posledniho obslouzeneho pozadavku 18 n <-1 # pocet obslouzenych pozadavku RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 47 / 86

Modely systémů hromadné obsluhy Model M/M/1: možné řešení v R 20 # dalsi pozadavky 21 repeat { 22 Tp <- Tp+ rexp (1, lambda ) # generovani casu vstupu dalsiho pozadavku 23 if( Tp >1000000) break # podminka ukonceni simulace 24 n <-n+1 25 26 if( Tp < Tout ){ # pozadavek se radi do fronty 27 Tf_ sum <- Tf_ sum +Tout - Tp # vypocet doby cekani ve fronte 28 Tgen <- rexp (1, mu) # generovani doby obsluhy 29 To_sum <-To_sum + Tgen 30 Tout <- Tout + Tgen 31 } 32 else { # pozadavek je ihned obsluhovan 33 Te_ sum <- Te_ sum +Tp - Tout # vypocet doby, po kterou je system prazdny 34 Tgen <- rexp (1, mu) # generovani doby obsluhy 35 To_sum <-To_sum + Tgen 36 Tout <-Tp+ Tgen 37 } 38 } RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 48 / 86

Modely systémů hromadné obsluhy Model M/M/1: možné řešení v R 39 print ( paste (" Pocet obslouzenych pozadavku : ",format (n))) 40 print ( paste (" Prumerna doba mezi mezi vstupy pozadavku analyticky : ", 41 format (1/ lambda ))) 42 print ( paste (" Prumerna doba mezi mezi vstupy pozadavku ze simulace : ", 43 format (Tp/n))) 44 print ( paste (" Prumerna doba obsluhy T_o analyticky : ", 45 format (1/mu))) 46 print ( paste (" Prumerna doba obsluhy T_o ze simulace : ", 47 format (To_sum /n))) 48 print ( paste (" Prumerna doba cekani ve fronte T_f analyticky : ", 49 format ( lambda /(mu*(mu - lambda ))))) 50 print ( paste (" Prumerna doba cekani ve fronte T_f ze simulace : ", 51 format (Tf_sum /n))) 52 print ( paste (" Pravdepodobnost p_0, ze je system prazdny, analyticky : ", 53 format (1 - lambda /mu))) 54 print ( paste (" Pravdepodobnost p_0, ze je system prazdny, ze simulace : ", 55 format (Te_sum / Tout ))) RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 49 / 86

Modely systémů hromadné obsluhy Model M/M/1: možné řešení v R (výstup) [1] " Pocet obslouzenych pozadavku : 1499360 " [1] " Prumerna doba mezi mezi vstupy pozadavku analyticky : 0.6666667 " [1] " Prumerna doba mezi mezi vstupy pozadavku ze simulace : 0.6669515 " [1] " Prumerna doba obsluhy T_ o analyticky : 0.5714286 " [1] " Prumerna doba obsluhy T_ o ze simulace : 0.5716775 " [1] " Prumerna doba cekani ve fronte T_ f analyticky : 3.428571 " [1] " Prumerna doba cekani ve fronte T_ f ze simulace : 3.415019 " [1] " Pravdepodobnost p_ 0, ze je system prazdny, analyticky : 0.1428571 " [1] " Pravdepodobnost p_ 0, ze je system prazdny, ze simulace : 0.1428519 " RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 50 / 86

Modely systémů hromadné obsluhy Model M/M/c Podmínka stabilizace systému má tvar λ < cµ neboli λ µc = ρ c < 1 Potom platí a p 0 = ( c 1 i=0 ρ i i! + ρc c! T f = p ( ρ ) c+1 0 c λ c! 1 1 ρ c c c ( 1 ρ c ) 1 ) 2 RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 51 / 86

Modely systémů hromadné obsluhy Model M/M/c (ukázka) čas doba 1. kanál 1. kanál 2. kanál 2.kanál 3. kanál 3. kanál doba, doba vstupu obsluhy obsluhy obsluhy obsluhy obsluhy obsluhy obsluhy po kterou čekání požadavku začátek konec začátek konec začátek konec v systému na není žádný obsluhu požadavek 00:00 01:04 00:00 01:04 00:22 00:00 00:22 00:22 00:26 00:02 00:26 00:28 01:29 00:32 01:29 02:01 00:25 02:05 00:18 02:05 02:23 00:04 03:07 00:33 03:07 03:40 00:44 03:13 01:03 03:13 04:16 04:23 00:07 04:23 04:30 00:07 04:33 00:52 04:33 05:25 00:03 04:41 01:09 04:41 05:50 04:52 02:36 04:52 07:28 05:16 01:36 05:25 07:01 00:09 06:14 00:05 06:14 06:19 07:05 00:52 07:05 07:57 07:12 02:22 07:12 09:34 10:06 00:03 10:06 10:09 00:32 10:34 00:42 10:34 11:16 00:25 10:36 00:16 10:36 10:52 11:19 01:43 11:19 13:02 00:03 11:42 00:20 11:42 12:02 11:42 00:06 11:42 11:48 RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 52 / 86

Modely systémů hromadné obsluhy Model M/D/1 Podmínka stabilizace systému má tvar ρ = λ µ < 1 Potom platí a T f = p 0 = 1 ρ λ 2µ(µ λ) RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 53 / 86

Modely systémů hromadné obsluhy Model M/D/1: možné řešení v R Proti uvedenému řešení pro model M/M/1 se liší pouze v generování doby obsluhy, kde ve třech případech Tgen <- rexp (1, mu) # generovani doby obsluhy nahradí Tgen <-1/ mu # generovani doby obsluhy a ve výpočtu T f (který je poloviční) print ( paste (" Prumerna doba cekani ve fronte T_ f analyticky : ", format (0.5 * lambda /(mu*(mu - lambda ))))) RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 54 / 86

Modely systémů hromadné obsluhy Model M/D/1: možné řešení v R (výstup) [1] " Pocet obslouzenych pozadavku : 1500216 " [1] " Prumerna doba mezi mezi vstupy pozadavku analyticky : 0.6666667 " [1] " Prumerna doba mezi mezi vstupy pozadavku ze simulace : 0.6665708 " [1] " Prumerna doba obsluhy T_ o analyticky : 0.5714286 " [1] " Prumerna doba obsluhy T_ o ze simulace : 0.5714286 " [1] " Prumerna doba cekani ve fronte T_ f analyticky : 1.714286 " [1] " Prumerna doba cekani ve fronte T_ f ze simulace : 1.719839 " [1] " Pravdepodobnost p_ 0, ze je system prazdny, analyticky : 0.1428571 " [1] " Pravdepodobnost p_ 0, ze je system prazdny, ze simulace : 0.1427343 " RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 55 / 86

Modely systémů hromadné obsluhy Model D/M/1 Podmínka stabilizace systému má tvar Potom platí a kde x je kořen rovnice ρ = λ µ < 1 p 0 = 1 ρ T f = x µ(1 x) ( ) x 1 x = exp ρ hledaný na intervalu (0, 1 + ρ ln ρ), kde ρ (0, 1). RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 56 / 86

Modely systémů hromadné obsluhy Model D/M/1: možné řešení v R (hledání kořene rovnice metodou bisekce) 1 f <- function (x,rho ){ 2 return (x-exp ((x -1) / rho )) 3 } 4 KorenBisekci <- function ( lambda,mu){ 5 rho <- lambda /mu 6 a =0.1 7 b =1+ rho * log ( rho ) 8 stred =(a+b)/2 9 repeat 10 { 11 if( stred ==a stred ==b) break 12 if(f(a,rho )*f( stred, rho ) <0) b <- stred 13 else a <- stred 14 stred <-(a+b)/2; 15 } 16 return ( stred ) 17 } RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 57 / 86

Modely systémů hromadné obsluhy Model D/M/1: možné řešení v R (pokračování) Jinak se proti uvedenému řešení pro model M/M/1 liší pouze v generování času vstupu dalšího požadavku, kde Tp <- Tp+ rexp (1, lambda ) # generovani casu vstupu dalsiho pozadavku nahradí Tp <- Tp +1/ lambda # generovani casu vstupu dalsiho pozadavku a pak již právě jen ve výpočtu T f x <- KorenBisekci ( lambda,mu) print ( paste (" Prumerna doba cekani ve fronte T_ f analyticky : ", format (x/(mu*(1 -x))))) RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 58 / 86

Modely systémů hromadné obsluhy Model D/M/1: možné řešení v R (výstup) [1] " Pocet obslouzenych pozadavku : 1500001 " [1] " Prumerna doba mezi mezi vstupy pozadavku analyticky : 0.6666667 " [1] " Prumerna doba mezi mezi vstupy pozadavku ze simulace : 0.6666667 " [1] " Prumerna doba obsluhy T_ o analyticky : 0.5714286 " [1] " Prumerna doba obsluhy T_ o ze simulace : 0.5717282 " [1] " Prumerna doba cekani ve fronte T_ f analyticky : 1.533945 " [1] " Prumerna doba cekani ve fronte T_ f ze simulace : 1.557459 " [1] " Pravdepodobnost p_ 0, ze je system prazdny, analyticky : 0.1428571 " [1] " Pravdepodobnost p_ 0, ze je system prazdny, ze simulace : 0.1424079 " RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 59 / 86

Modely systémů hromadné obsluhy Model M/M/1/K Systém je stabililní pro libovolné kladné λ a µ, což platí pro jakýkoli systém s omezenou kapacitou systému, protože se nemůže zahltit čekajícími požadavky. Opět označíme ρ = λ µ. Potom platí a Dále platí N f = p 0 = { 1 ρ 1 ρ K+1 pro ρ 1 1 K+1 pro ρ = 1 p n = p 0 ρ n ρ 2 (1 ρ K ) (1 ρ)kρ K+1 (1 ρ)(1 ρ K+1 ) pro ρ 1 K(K 1) 2(K+1) pro ρ = 1 RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 60 / 86

Modely systémů hromadné obsluhy Model M/M/1/K (pokračování) Je třeba si uvědomit, že je rozdíl mezi intenzitou λ, s jakou se požadavky do systému snaží vstoupit, a intenzitou λ, s jakou skutečně vstupují, neboť požadavku není dovoleno do systému vstoupit, jestliže je naplněna jeho kapacita K. Platí λ = λ(1 p K ) Ve vztazích v tabulce 1 je třeba dosazovat namísto λ právě λ. RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 61 / 86

Modely systémů hromadné obsluhy Model M/M/1/./N V tomto modelu je celkově právě N požadavků, z nichž každý je buď v systému (čeká na obsluhu, nebo je obsluhován), nebo mimo něj (ve zdroji vstupních požadavků). λ je v tomto případě parametr exponenciálního rozdělení, ze kterého pochází časové intervaly, po kterou je každý z požadavků mimo systém. Opět tedy platí, že toto λ není tím ve vztazích v tabulce 1. Namísto něj je tak třeba dosazovat λ, které má požadovaný význam průměrného počtu vstupujících požadavků za jednotku času. RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 62 / 86

Modely systémů hromadné obsluhy Model M/M/1/./N (pokračování) Pro λ platí kde p 0 = λ = µ(1 p 0 ) ( N přičemž jsme opět označili ρ = λ µ. i=0 ρ i ) 1 N! (N i)! Potom ( N f = N (1 p 0 ) 1 + 1 ) ρ RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 63 / 86

Modely systémů hromadné obsluhy Úlohy pro studenty Proveďte simulační experiment pro některý z modelů, jehož možné řešení v R není poskytnuto, a porovnejte získané výsledky s analytickým řešením. Porovnejte následující dva systémy: model M/M/2 se stejnou intenzitou obsluhy µ v obou kanálech obsluhy model M/M/1 s intenzitou obsluhy 2µ Jak se uvedené systémy liší z pohledu průměrného času stráveného požadavkem ve frontě resp. v systému? Kterému systému byste dali přednost a proč? RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 64 / 86

Modely řízení zásob Definice pojmu zásoba LUKÁŠ, 2012: Zásoba je okamžitě použitelný zdroj, který je systematicky vytvářen k materiálovému zabezpečení plynulého průběhu výrobního procesu či uspokojení poptávky na trhu. Jiný pohled říká, že zásoba je nevyužitý zdroj určený ke krytí budoucí poptávky (spotřeby). Motivace pro tvorbu zásob transakční : tvorba běžné zásoby pro krytí poptávky, která se vyskytuje za obvyklých podmínek trhu predikční : tvorba sezónní zásoby pro krytí předvídatelných sezónních výkyvů poptávky spekulativní : tvorba pojistné zásoby pro krytí náhodných stěží předvídatelných výkyvů poptávky RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 65 / 86

Modely řízení zásob Stav zásob Stav zásob je množství skladovaných jednotek v určitém časovém okamžiku, jehož úroveň se mění čerpáním zásob doplňováním zásob Cíle řízení zásob nejčastějším cílem řízení zásob je minimalizace celkových nákladů jiným cílem řízení zásob může být například minimalizace výše finančních prostředků vázaných v zásobách Řiditelné (řídící) proměnné systémů řízení zásob objem zdrojů požadovaných skladem (otázka: Kolik objednávat?) lhůta (frekvence) nebo termín vyžádání zdrojů skladem (otázka: Kdy objednávat?) RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 66 / 86

Modely řízení zásob Základní strategie řízení objednávek (režim doplňování zásob) Q-systém řízení zásob: spojité sledování stavu zásob a jejich doplnění (vystavení objednávky), pokud stav zásob klesne pod určitou mez (bod znovuobjednávky) P-systém řízení zásob: periodické sledování stavu zásob a jejich doplnění na požadovanou úroveň dle zjištěného stavu (tj. objednávky jsou vystavovány v pravidelných časových intervalech) Neřiditelné proměnné systémů řízení zásob náklady velikost poptávky nebo potřeby pořizovací lhůta RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 67 / 86

Modely řízení zásob Náklady a jejich klasifikace jednotkové celkové fixní (pevné, nezávislé) variabilní (proměnlivé, závislé) skladovací náklady: obvykle jde o variabilní náklady, které jsou určeny jako náklady související se skladováním jedné jednotky na určitou dobu (zahrnuje například náklady za pronájem prostor, spotřebu energie, mzdové náklady spojené s udržováním zásob, pojištění zásob) pořizovací náklady: (fixní) objednací náklady (zahrnuje například administrativní náklady spojené s objednáním zásob, část nákladů na přejímku, kontrolu a případnou reklamaci) (variabilní) náklady dodávky (zahrnuje zejména dopravní náklady) náklady (ztráty) z nedostatku zásob (zahrnuje například ušlý zisk, penále a pokuty) RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 68 / 86

Modely řízení zásob Poptávka a její charakter deterministická: její úroveň je předem známá statická: nemění se s časem dynamická: mění se s časem stochastická: velikost poptávky je náhodnou veličinou stacionární: typ a parametry pravděpodobnostního rozdělení velikosti poptávky se v čase nemění nestacionární Pořizovací lhůta dodávky Pořizovací lhůta dodávky je doba mezi objednávkou a dodávkou a nazývá se také předstih objednávky. Může být deterministická či stochastická (což je častější; například vliv náhodných změn počasí či náhodných poruch) RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 69 / 86

Modely řízení zásob Úlohy pro studenty popište a řešte analyticky základní EOQ model (model periodicky doplňovaných zásob s konstantní velikostí dodávky), popište a řešte (s pomocí vlastního programu) optimální doplňování zásob v modelu s deterministickou poptávkou (DEMEL, příklad 5.3.3), popište a řešte simulací model se stochastickou poptávkou (DEMEL, příklad 13.1.4). RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 70 / 86

Vybrané ekonofyzikální modely Doporučená literatura (úplné reference v seznamu na konci) souhrnné články Chakrabortiho a kolektivu (2011) k tématu modelování rozdělení bohatství Yakovenko Fellingham & Kusmartsev (2011) k tématu modelování dynamiky cen akcií Cont & Bouchaud (2000) Stauffer & Penna (1998) RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 71 / 86

Vybrané ekonofyzikální modely Modelování rozdělení bohatství (statistická mechanika peněz) Mějme systém, který reprezentuje N agentů (jednotek společnosti), které mezi sebou provádějí peněžní transakce. Označme m i jako množství peněz i-tého agenta. Předpokládejme, že celkové množství peněz se nemění: m i + m j = m i + m j N P RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 72 / 86

Vybrané ekonofyzikální modely Modelování rozdělení bohatství (model s fixní předávanou částkou) Transakce Míra nerovnoměrnosti m n = m n + K m p = m p K Měření četností % z celkového množství peněz 1 0.8 0.6 0.4 0.2 poč. agentů=2000; start=50; K=1 rovnoměrně rozdělená data 0.02 0.018 poč. agentů=2000; start=50; K=1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 % z celkové velikosti populace procentuální četnost 0.016 0.014 0.012 0.01 0.008 0.006 0.004 hodnota Giniho koeficientu 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 vývoj Giniho koeficientu 0.002 0 0 50 100 150 200 250 300 350 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 počet iterací množství peněž RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 73 / 86

Vybrané ekonofyzikální modely Modelování rozdělení bohatství (další modely) Model s náhodnou předávanou částkou [Yakovenko, V. M. a Rosser, J. B. Jr. Colloquium: Statistical mechanics of money, wealth, and income. Reviews of Modern Physics. 2009, 81(4), 1703-1725. ISSN 0034-6861.] m p = m p + ɛ M N m n = m n ɛ M N Model s pevnou procentuální předávanou částkou [Fellingham, N. a Kusmartsev, F. V. A study of the distribution of wealth in a stochastic non-markovian market. Hyperion International Journal of Econophysics and New Economy. 2011, 4(2), 267-276. ISSN: 2069-3508.] Model se zavedením úspor [Chakraborti, A. a Chakrabarti, B. K. Statistical mechanics of money: how saving propensity affects its distribution. European Physical Journal B. 2000.] Modely lze rozšířit o tvz. reciprocitu a daně m p = m p + Pm n m n = m n Pm n m p = m p + (1 λ)[m n ɛ(m n + m p)] m n = m n (1 λ)[m n ɛ(m n + m p)] [A. Dragulescu a Yakovenko, V. M. Statistical mechanics of money. The European Physical Journal B. 2000, 17, 723-729] RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 74 / 86

Vybrané ekonofyzikální modely Modelování rozdělení bohatství (model s pevnou procentuální předávanou částkou: základní jednoduché řešení v R) 1 N <- 20000 2 P <-0.1 3 m <-rep (1000, times =N) 4 for ( i in 1:1000000) { 5 n= floor ( runif (1,0,N))+1 6 p= floor ( runif (1,1,N)) 7 if(p >=n) p=p+1 8 Dm=P*m[n] 9 m[p]=m[p]+ Dm 10 m[n]=m[n]-dm 11 } 12 pdf (" hist _m. pdf ",width =6, height =4) 13 hist (m) 14 dev. off () Frequency 0 1000 3000 5000 Histogram of m 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 m RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 75 / 86

Vybrané ekonofyzikální modely Modelování rozdělení bohatství (vliv nastavení parametrů) 30000 25000 P=0.1 P=0.2 P=0.3 P=0.5 30000 25000 λ = 0.0 λ = 0.2 λ = 0.5 λ = 0.8 20000 20000 četnost 15000 četnost 15000 10000 10000 5000 5000 0 0 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0 0 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 2000 1800 1600 1400 množství peněz model s náhodnou předávanou částkou + daň=0.0 model s náhodnou předávanou částkou + daň=0.3 model s náhodnou předávanou částkou + daň=0.6 model s náhodnou předávanou částkou + daň=0.9 18000 16000 14000 12000 množství peněz P=0.2 + rec=0.00 P=0.2 + rec=0.75 P=0.2 + rec=0.90 P=0.4 + rec=0.00 P=0.4 + rec=0.75 P=0.4 + rec=0.90 četnost 1200 1000 800 četnost 10000 8000 600 6000 400 4000 200 2000 0 0 0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025 0 0 5e-005 0.0001 0.00015 0.0002 0.00025 množství peněz množství peněz RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 76 / 86

Vybrané ekonofyzikální modely Modelování rozdělení bohatství (Giniho koeficient) 1 0.9 model s úsporami (λ) model s procentuální předávanou částkou (P) model s procentuální předávanou částkou (P) + reciprocita 75% model s náhodnou předávanou částkou a daní 0.8 0.7 hodnota Giniho koeficientu 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 P, λ, výše daně RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 77 / 86

Vybrané ekonofyzikální modely Modelování dynamiky cen akcií: jednoduchý perkolační model Nechť je systém reprezentován mříží (velikosti L L). V jednom kroku simulace 1 je nejprve každý dílčí čtverec s danou pravděpodobností p obsazen právě jedním obchodníkem, 2 z obchodníků jsou konstruovány shluky (klastry) na základě nejbližšího sousedství (lze použít např. Hoshenův-Kopelmanův algoritmus), RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 78 / 86

Vybrané ekonofyzikální modely Modelování dynamiky cen akcií: jednoduchý perkolační model (pokračování) 3 následně se u každého shluku obchodníků určí, zda jako celek bude nakupovat (s pravděpodobností q 1/2), prodávat (se stejnou pravděpodobností q), nebo zůstane nečinný (s pravděpodobností 1 2q). Výsledkem jednoho kroku simulace je jedna hodnota udávající rozdíl počtu prodávajících a nakupujících. Cílem simulace je analýza řady těchto hodnot. Úlohou pro studenty je provést simulaci daného modelu a studovat vliv parametrů p a q na charakteristiky získaných dat. RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 79 / 86

Úvod do teorie her Doporučená literatura (úplné reference v seznamu na konci) Dlouhý, Fiala: Úvod do teorie her Leyton-Brown, Shoham: Essentials of game theory Hykšová: Teorie her a optimální rozhodování Čtení pro zajímavost Petr Houdek: http://web.natur.cuni.cz/ houdek3 Základní pojmy teorie her (hra, hráč, ryzí/smíšená strategie, výplatní funkce, aj.), příklady her v normálním a rozvinutém tvaru, Nashova rovnováha a její určení Hry opakované, stochastické, Bayesovské a koaliční RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 80 / 86

Použitá a doporučená literatura I CONT, Rama a Jean-Philipe BOUCHAUD. Herd behavior and aggregate fluctuations in financial markets. Macroeconomic Dynamics. 2000, 4(2), 170-196. DEMEL, Jiří. Operační výzkum [online]. [cit. 2015-08-23]. Dostupné z: https://moodle.dce.fel.cvut.cz/pluginfile.php/5375/mod_ resource/content/4/operacnivyzkum.pdf DLOUHÝ, Martin a Petr FIALA. Úvod do teorie her. 2., přeprac. vyd. Praha: Oeconomica, 2009, 119 s. ISBN 978-80-245-1609-7. FELLINGHAM, N. a F. V. KUSMARTSEV. A study of the distribution of wealth in a stochastic non-markovian market. Hyperion International Journal of Econophysics and New Economy. 2011, 4(2). RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 81 / 86

Použitá a doporučená literatura II HYKŠOVÁ, Magdalena. Teorie her a optimální rozhodování [online]. [cit. 2015-08-23]. Dostupné z: http://euler.fd.cvut.cz/predmety/teorie_her/ CHAKRABORTI, Anirban, Ioane Muni TOKE, Marco PATRIARCA a Frédéric ABERGEL. Econophysics review: I. Empirical facts. Quantitative Finance. 2011, 11(7): 991-1012. CHAKRABORTI, Anirban, Ioane Muni TOKE, Marco PATRIARCA a Frédéric ABERGEL. Econophysics review: II. Agent-based models. Quantitative Finance. 2011, 11(7): 1013-1041. JABLONSKÝ, Josef. Operační výzkum: kvantitativní metody pro ekonomické rozhodování. 3. vyd. Praha: Professional Publishing, 2007, 323 s. ISBN 978-80-86946-44-3. RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 82 / 86

Použitá a doporučená literatura III KOŘENÁŘ, Václav. Stochastické procesy. 2. přeprac. vyd. Praha: Vysoká škola ekonomická v Praze, 2010, 227 s. ISBN 978-802-4516-462. LEYTON-BROWN, Kevin a Yoav SHOHAM. Essentials of game theory: a concise multidisciplinary introduction. 1st ed. San Rafael, CA: Morgan & Claypool Publishers, 2008. ISBN 978-159-8295-931. LUKÁŠ, Ladislav. Pravděpodobnostní modely v managementu: Markovovy řetězce a systémy hromadné obsluhy. Vyd. 1. Praha: ČMT, 2009, 135 s. Lanna. ISBN 978-80-200-1704-8. LUKÁŠ, Ladislav. Pravděpodobnostní modely v managementu: teorie zásob a statistický popis poptávky. Vyd. 1. Praha: Academia, 2012, 207 s. Lanna. ISBN 978-80-200-2005-5. RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. (PřF UJEP) Kvantitativní management Ústí nad Labem 2015 83 / 86