Náhodná veličina. Michal Fusek. 10. přednáška z ESMAT. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Náhodná veličina. Michal Fusek. 10. přednáška z ESMAT. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek"

Transkript

1 Náhodná veličina Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, 10. přednáška z ESMAT Michal Fusek 1 / 71

2 Obsah 1 Náhodná veličina 2 Diskrétní náhodná veličina 3 Významná diskrétní rozdělení pravděpodobnosti 4 Spojitá náhodná veličina 5 Významná spojitá rozdělení pravděpodobnosti Michal Fusek 2 / 71

3 Náhodná veličina Náhodná veličina Provádíme náhodný pokus, jehož výsledek jsme schopni číselně ohodnotit. Číselné ohodnocení výsledku náhodného pokusu nazveme náhodnou veličinou. Náhodná veličina se značí velkým písmenem, např. X, Y, Z. Necht (Ω, S, P) je pravděpodobnostní prostor. Funkce X : Ω R taková, že pro každé x R je {ω Ω: X(ω) x} S, se nazývá náhodná veličina na pravděpodobnostním prostoru (Ω, S, P). Michal Fusek 3 / 71

4 Příklad Náhodná veličina Hodíme dvěma mincemi. Náhodná veličina X udává, kolikrát padl líc. Množina Ω všech možných výsledků pokusu má 4 prvky, Ω = {RR, RL, LR, LL}. Náhodná veličina X jednotlivým možnostem přiřazuje číselné hodnoty: Náhodný jev X(RR) = 0, X(RL) = 1, X(LR) = 1, X(LL) = 2. líc padl právě jednou lze vyjádřit jako [X = 1]. líc padl aspoň jednou lze vyjádřit jako [X 1]. Obecně zápisem [X = x] rozumíme náhodný jev složený ze všech ω Ω, pro která je X(ω) = x, tedy [X = x] = {ω Ω: X(ω) = x}. Michal Fusek 4 / 71

5 Náhodná veličina Chceme spočítat pravděpodobnost, že náhodná veličina nabývá určité hodnoty. Pravděpodobnost, že náhodná veličina velké X nabude hodnoty malé x zapíšeme jako P(X = x). Podobně lze interpretovat P(X < x), P(X x), atd. Příklad Hodíme dvěma mincemi. Náhodná veličina X udává, kolikrát padl líc. Ω = {RR, RL, LR, LL} Kolik líců může padnout? X {0, 1, 2} P(X = 0) = 1/4, P(X = 1) = 2/4, P(X = 2) = 1/4 Součet pravděpodobností je 1. Michal Fusek 5 / 71

6 Náhodná veličina Distribuční funkce Chceme popsat pravděpodobnostní chování náhodné veličiny. Použijeme k tomu funkce a charakteristiky. Distribuční funkce náhodné veličiny X je funkce F : R 0, 1, která je definována jako F(x) = P(X x). Distribuční funkce F(x) náhodné veličiny X přiřazuje každému reálnému číslu x pravděpodobnost, že náhodná veličina X nabude hodnoty menší nebo rovné číslu x. Michal Fusek 6 / 71

7 Náhodná veličina Vlastnosti distribuční funkce 0 F(x) 1, x R F(x) je neklesající a zprava spojitá funkce. lim F(x) = 0, lim F(x) = 1 x x P(a < X b) = F(b) F(a) pro každé a, b R, a < b Rozlišujeme dva typy náhodných veličin: Diskrétní Spojitá Michal Fusek 7 / 71

8 Diskrétní náhodná veličina Diskrétní náhodná veličina Má konečný nebo spočetný obor hodnot M. Existuje nezáporná funkce p(x), pro kterou x M p(x) = 1. Distribuční funkci F(x) lze vyjádřit ve tvaru F(x) = P(X x) = p(t). Distribuční funkce je schodovitá. t (,x M Pravděpodobnostní funkce diskrétní náhodné veličiny X je funkce p : R 0, 1, která je definována jako p(x) = P(X = x) pro všechna x z oboru hodnot náhodné veličiny X a p(x) = 0 jinak. Michal Fusek 8 / 71

9 Střední hodnota Diskrétní náhodná veličina Střední hodnotu diskrétní náhodné veličiny X s oborem hodnot M označíme E(X) a definujeme ji vztahem E(X) = x M x p(x). Necht X, Y jsou náhodné veličiny a dále a, b R. Pak platí: E(a) = a E(aX) = ae(x) E(X ± Y ) = E(X) ± E(Y ) E(aX + b) = ae(x) + b Michal Fusek 9 / 71

10 Diskrétní náhodná veličina Rozptyl Rozptyl diskrétní náhodné veličiny X s oborem hodnot M označíme D(X) a definujeme jej vztahem D(X) = E [X E(X)] 2 = x M [x E(X)] 2 p(x). Platí kde D(X) = E(X 2 ) [E(X)] 2, E(X 2 ) = x M x 2 p(x). Michal Fusek 10 / 71

11 Diskrétní náhodná veličina Směrodatná odchylka Necht X, Y jsou náhodné veličiny a dále a, b R. Pak platí: D(a) = 0 D(aX) = a 2 D(X) D(X ± Y ) = D(X) + D(Y ) pro nezávislé náhodné veličiny D(aX + b) = a 2 D(X) Směrodatná odchylka σ je odmocnina z rozptylu σ(x) = D(X). Michal Fusek 11 / 71

12 Příklad Diskrétní náhodná veličina V televizní soutěži dostává soutěžící postupně otázky, u kterých jsou na výběr vždy tři možné odpovědi. Jestliže soutěžící odpoví správně, dostane další otázku. Jestliže odpoví špatně, soutěž končí. Nanejvýš však může dostat čtyři otázky, pak soutěž končí každopádně. Náhodná veličina X udává, na kolik otázek soutěžící správně odpoví, jestliže všechny odpovědi pouze náhodně tipuje. a) Popište veličinu X pomocí pravděpodobnostní a distribuční funkce a nakreslete grafy obou funkcí. b) Určete pravděpodobnost, že soutěžící správně odpoví alespoň na dvě otázky. c) Určete E(X), D(X), σ(x). Řešení: X...počet správných odpovědí X {0, 1, 2, 3, 4} Jaká je pravděpodobnost, že uhodnu odpověd? Michal Fusek 12 / 71

13 Diskrétní náhodná veličina Pravděpodobnost, že soutěžící nezodpoví žádnou otázku správně: p(0) = P(X = 0) = 2 3 Podobně: p(1) = P(X = 1) = = 2 9 p(2) = P(X = 2) = = 2 27 p(3) = P(X = 3) = ( ) = 2 81 p(4) = P(X = 4) = 4 p(i) = 1 i=0 ( ) 1 4 = Michal Fusek 13 / 71

14 Diskrétní náhodná veličina x jinak p(x) P(X 2) = p(2) + p(3) + p(4) = 1 9 Michal Fusek 14 / 71

15 Diskrétní náhodná veličina Určíme distribuční funkci: F(0) = P(X 0) = P(X = 0) = p(0) = 2 3 F (1) = P(X 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = p(0) + p(1) = 8 9 F(2) = P(X 2) = p(0) + p(1) + p(2) = F(3) = P(X 3) = p(0) + p(1) + p(2) + p(3) = F(4) = P(X 4) = p(0) + p(1) + p(2) + p(3) + p(4) = 1 Michal Fusek 15 / 71

16 Diskrétní náhodná veličina 0 pro x (, 0), 2 3 pro x 0, 1), 8 9 pro x 1, 2), F (x) = pro x 2, 3), pro x 3, 4), 1 pro x 4, ). Michal Fusek 16 / 71

17 Diskrétní náhodná veličina x jinak p(x) 2 3 E(X) = E(X 2 ) = x {0,1,2,3,4} x {0,1,2,3,4} x p(x) = x 2 p(x) = D(X) = E(X 2 ) [E(X)] 2 = = 0,49383 σ(x) = D(X) = = 0, ( ) 40 2 = = 0,69441 Michal Fusek 17 / 71

18 Významná diskrétní rozdělení pravděpodobnosti Alternativní rozdělení Některé modely rozdělení pravděpodobnosti mají vlastní názvy. Známe jejich pravděpodobnostní/distribuční funkci, střední hodnotu, rozptyl. Provádíme pokus, u kterého úspěch nastane s pravděpodobností π, π (0, 1), a neúspěch s pravděpodobností 1 π. Náhodná veličina X, která udává, zda úspěch nastal (X = 1), nebo nenastal (X = 0), má alternativní rozdělení pravděpodobnosti, což zapíšeme jako X A(π). Dále p(x) = { π x (1 π) 1 x pro x = 0, 1, 0 jinak. E(X) = π, D(X) = π(1 π). Michal Fusek 18 / 71

19 Příklad Významná diskrétní rozdělení pravděpodobnosti Střelec vystřelí do terče, pravděpodobnost zásahu je 0,8. Náhodná veličina X udává, zda trefil (X = 1), nebo netrefil (X = 0). Najděte pravděpodobnostní a distribuční funkci, střední hodnotu a rozptyl náhodné veličiny X. Řešení: X...počet zásahů π = 0,8 x 0 1 jinak p(x) 0,2 0,8 0 0 pro x (, 0), F(x) = 0,2 pro x 0, 1), 1 pro x 1, ). E(X) = 0,8 D(X) = 0,16 Michal Fusek 19 / 71

20 Významná diskrétní rozdělení pravděpodobnosti Binomické rozdělení Postupně n-krát nezávisle opakujeme pokus, u kterého úspěch nastává s pravděpodobností π. Náhodná veličina X udávající, kolikrát v těchto n pokusech nastal úspěch, má binomické rozdělení pravděpodobnosti s parametry n a π, píšeme X Bi(n, π). Její pravděpodobnostní funkce je ( ) n p(x) = π x (1 π) n x, x = 0, 1,..., n. x Střední hodnota a rozptyl jsou E(X) = nπ, D(X) = nπ(1 π). Michal Fusek 20 / 71

21 Významná diskrétní rozdělení pravděpodobnosti Mějme posloupnost nezávislých náhodných veličin X 1, X 2,, X n, kde Jestliže pak Y = X i A(π), i = 1,..., n. n X i = X 1 + X X n, i=1 Y Bi(n, π). Alternativní rozdělení je tedy speciálním případem binomického rozdělení. Michal Fusek 21 / 71

22 Příklad Významná diskrétní rozdělení pravděpodobnosti Hodíme čtyřikrát kostkou. Náhodná veličina X udává, kolikrát padla šestka. Najděte pravděpodobnostní a distribuční funkci, střední hodnotu a rozptyl náhodné veličiny X. Řešení: X...počet šestek X {0, 1, 2, 3, 4} π = 1/6 p(0) = = p(1) = = ( ) ( ) ( ) 5 2 p(2) = = Michal Fusek 22 / 71

23 Významná diskrétní rozdělení pravděpodobnosti p(3) = = p(4) = = x E(X) = 2 3 p(x) p(x) = p(x) = ( ) n π x (1 π) n x, x ( 4 x ) ( 1 6 D(X) = 5 9 x = 0, 1,..., n ) x ( ) 5 4 x, x = 0, 1, 2, 3, 4 6 Michal Fusek 23 / 71

24 Významná diskrétní rozdělení pravděpodobnosti x p(x) pro x (, 0), pro x 0, 1), pro x 1, 2), F(x) = pro x 2, 3), pro x 3, 4), 1 pro x 4, ). Michal Fusek 24 / 71

25 Významná diskrétní rozdělení pravděpodobnosti Hypergeometrické rozdělení Máme množinu o N prvcích, z nichž M má sledovanou vlastnost. Náhodně vybereme (bez vracení) n prvků. Náhodná veličina X udávající, kolik z vybraných n prvků má sledovanou vlastnost, má hypergeometrické rozdělení pravděpodobnosti s parametry N, M a n, píšeme X Hg(N, M, n). Její pravděpodobnostní funkce je ( M )( N M ) x n x p(x) = ( N, x = max{0, n (N M)},..., min{n, M}. n) Střední hodnota a rozptyl jsou E(X) = n M N, D(X) = n M N ( 1 M ) N n N N 1. Michal Fusek 25 / 71

26 Příklad Významná diskrétní rozdělení pravděpodobnosti Máme 12 výrobků, z nichž 4 jsou vadné. Náhodně vybereme 3 výrobky. Náhodná veličina X udává, kolik výrobků z vybrané trojice je vadných. Najděte pravděpodobnostní a distribuční funkci, střední hodnotu a rozptyl náhodné veličiny X. Řešení: X...počet vadných ze 3 vybraných X {0, 1, 2, 3} p(0) = p(1) = p(2) = ( 4 )( 8 0 ) 3) = ( 12 3 ( 4 )( 8 1 ) 2) = = ( 12 3 ( 4 )( 8 2 ) 1) = ( 12 3 Michal Fusek 26 / 71

27 Významná diskrétní rozdělení pravděpodobnosti p(3) = ( 4 )( 8 3 ) 0) = = 1 55 ( 12 3 x p(x) E(X) = 1 D(X) = 6 11 ( M )( N M ) x n x p(x) = ( N, x = max{0, n (N M)},..., min{n, M} n) p(x) = ( 4 8 ) x)( 3 x ), x = 0, 1, 2, 3 ( 12 3 Michal Fusek 27 / 71

28 Významná diskrétní rozdělení pravděpodobnosti x p(x) pro x (, 0), pro x 0, 1), F (x) = pro x 1, 2), pro x 2, 3), 1 pro x 3, ). Graf? Michal Fusek 28 / 71

29 Významná diskrétní rozdělení pravděpodobnosti Poissonovo rozdělení Budeme zkoumat výskyt událostí: příchod zákazníka do fronty, příjezd automobilu na parkoviště, dopravní nehoda v určitém úseku dálnice. Podmínky: V jednom okamžiku může nastat nanejvýš jedna událost (tedy nemohou nastat dvě zcela současně). Události přicházejí nezávisle na sobě (počty vzniklých událostí v disjunktních časových intervalech jsou nezávislé). Pravděpodobnost, že událost nastane v intervalu (t, t + h), závisí na h (délce intervalu), ale nikoli na t (umístění intervalu na časové ose). Michal Fusek 29 / 71

30 Významná diskrétní rozdělení pravděpodobnosti Poissonovo rozdělení Náhodná veličina X, která udává počet událostí za jednotku času, když víme, že průměrně nastává λ událostí za jednotku času, má Poissonovo rozdělení pravděpodobnosti s parametrem λ, píšeme Její pravděpodobnostní funkce je Střední hodnota a rozptyl jsou X Po(λ). p(x) = λx x! e λ, x = 0, 1, 2,... E(X) = λ, D(X) = λ. Michal Fusek 30 / 71

31 Příklad Významná diskrétní rozdělení pravděpodobnosti Zdravotnický úřad shromažd uje údaje o nově narozených dětech. Průměrně se každé dvě hodiny narodí další dítě. Určete průměrný počet narozených dětí za rok a pravděpodobnost, že se a) v daném dnu nenarodí žádné dítě. b) za 3 hodiny narodí aspoň 4 děti. Řešení: 1 dítě za 2 hodiny 4380 dětí za rok a) X...počet narozených dětí za den X {0, 1, 2,... } λ...průměrný počet dětí narozených za den λ = 12 p(0) = 120 0! e 12. = 0, Michal Fusek 31 / 71

32 Významná diskrétní rozdělení pravděpodobnosti b) X...počet narozených dětí za 3 hodiny X {0, 1, 2,... } λ...průměrný počet dětí narozených za 3 hodiny λ = 1,5 P(X 4) = 1 P(X < 4) = 1 (p(0) + p(1) + p(2) + p(3)) = = 1 e 1,5 ( 1,5 0 0! + 1,51 1! + 1,52 2! ) + 1,53.= 0,0656 3! Michal Fusek 32 / 71

33 Významná diskrétní rozdělení pravděpodobnosti Geometrické rozdělení Postupně nezávisle opakujeme pokus, u kterého úspěch nastává s pravděpodobností π. Náhodná veličina X udávající počet úspěchů před prvním neúspěchem má geometrické rozdělení pravděpodobnosti s parametrem π, píšeme Její pravděpodobnostní funkce je Střední hodnota a rozptyl jsou X Ge(π). p(x) = π x (1 π), x = 0, 1,... E(X) = 1 π π, D(X) = 1 π π 2. Michal Fusek 33 / 71

34 Významná diskrétní rozdělení pravděpodobnosti Často je výhodnější pracovat raději s veličinou Y = X + 1, která udává, v kolikátém pokusu nastane neúspěch. Pravděpodobnostní funkce je pak tvaru: p(y) = π y 1 (1 π), x = 1, 2,... Michal Fusek 34 / 71

35 Příklad Významná diskrétní rozdělení pravděpodobnosti Studenti hrají před fakultou Frisbee. Pepovi to moc nejde a s pravděpodobností 1/5 trefí náhodného kolemjdoucího. Necht X je náhodná veličina označující počet hodů, než Pepa trefí kolemjdoucího. Jaká je pravděpodobnost, že a) omylem trefí 5. kolemjdoucího? b) netrefí žádného kolemjdoucího v prvních 10 hodech? c) nebude trvat více než 7 hodů, než někoho trefí? Řešení: X...počet hodů, než někoho trefí X {0, 1, 2,... } π...pravděpodobnost, že netrefí π = 4 5 Michal Fusek 35 / 71

36 Významná diskrétní rozdělení pravděpodobnosti Y = X v kolikátém hodu někoho trefí Y {1, 2, 3,... } a) omylem trefí 5. kolemjdoucího P(Y = 5) = p(5) = ( ) = 0,082 b) netrefí žádného kolemjdoucího v prvních 10 hodech P(Y > 10) = ( ) 4 10.= 0,107 5 c) nebude trvat více než 7 hodů, než někoho trefí P(Y 7) = 1 P(Y > 7) = 1 ( ) 4 7.= 0,790 5 Michal Fusek 36 / 71

37 Spojitá náhodná veličina Spojitá náhodná veličina Má nespočetný obor hodnot. Existuje nezáporná funkce f (x), pro kterou f (x) dx = 1. Distribuční funkci F(x) lze vyjádřit ve tvaru F(x) = P(X x) = Distribuční funkce je spojitá. x f (t) dt. Hustota pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny X je nezáporná funkce f (x) taková, že F(x) = x f (t) dt, x R. Michal Fusek 37 / 71

38 Platí: f (x) = df (x) dx Spojitá náhodná veličina = F (x) pro všechna x, kde derivace existuje. P(a X b) = P(a < X b) = P(a X < b) = P(a < X < b) = F(b) F (a) = b a P(X = x) = 0 f (x) dx Michal Fusek 38 / 71

39 Spojitá náhodná veličina Vztah mezi hustotou a distribuční funkcí F(x) = x f (t) dt P(a < X b) = F(b) F(a) = b a f (x) dx Michal Fusek 39 / 71

40 Spojitá náhodná veličina Střední hodnota a rozptyl Střední hodnotu spojité náhodné veličiny X označíme E(X) a definujeme ji vztahem E(X) = x f (x) dx. Rozptyl spojité náhodné veličiny X označíme D(X) a definujeme jej vztahem D(X) = E [X E(X)] 2 = [x E(X)] 2 f (x) dx. Platí kde D(X) = E(X 2 ) [E(X)] 2, E(X 2 ) = x 2 f (x) dx. Michal Fusek 40 / 71

41 Spojitá náhodná veličina Kvantil Jestliže X je náhodná veličina, jejíž distribuční funkce F je prostá, a α (0, 1), pak α-kvantilem náhodné veličiny X nazveme to číslo x α R, pro které platí P(X x α ) = F(x α ) = α neboli x α = F 1 (α). Když distribuční funkce není prostá, definujeme α-kvantil jako to číslo x α R, pro které platí P(X x α ) α a současně P(X < x α ) α. Speciálně 0,5-kvantil se nazývá medián náhodné veličiny X. Michal Fusek 41 / 71

42 Příklad Spojitá náhodná veličina Náhodná veličina X má rozdělení dáno funkcí { c 2x 0 < x < 1, f (x) = 0 jinak. a) Určete c tak, aby funkce f byla hustotou a nakreslete graf. b) Určete distribuční funkci a nakreslete graf. c) Určete P(X 0,5), P(0 < X 0,75), P(X = 0,25). c) Určete střední hodnotu a rozptyl veličiny X. Řešení: 1 0 f (x) dx = 1 c 2x dx = c 1 c = 2 Michal Fusek 42 / 71

43 Spojitá náhodná veličina f (x) = { 2 2x 0 < x < 1, 0 jinak. x 0 : F(x) = 0 < x < 1 : F(x) = x 1 : F(x) = x 0 0 f (t) dt = x 0 dt = 0 x 0 dt + 2 2t dt = 2x x dt pro x 0, F(x) = 2x x 2 pro 0 < x < 1, 1 pro x 1. 0 x 2 2t dt + 0 dt = 1 1 Michal Fusek 43 / 71

44 Spojitá náhodná veličina P(X 0,5) = 1 P(X < 0,5) = 1 F(0,5) = 0,25 P(0 < X 0,75) = F(0,75) F(0) = 0,9375 P(X = 0,25) = 0 E(X) = E(X 2 ) = x f (x) dx = x 2 f (x) dx = x(2 2x) dx = 1 3 x 2 (2 2x) dx = 1 6 D(X) = E(X 2 ) [E(X)] 2 = 1 18 Michal Fusek 44 / 71

45 Příklad Spojitá náhodná veličina Životnost určitého typu součástek (měřená ve stovkách hodin) je náhodná veličina X s hustotou f (x) = { x 2 e x 2 4 pro x > 0, 0 pro x 0. a) Určete distribuční funkci veličiny X. b) Určete pravděpodobnost, že součástka vydrží 100 až 300 hodin. c) Určete pravděpodobnost, že součástka vydrží nanejvýš 200 hodin. d) Pod jakou hranicí bude životnost s pravděpodobností 0,75? Řešení: X...životnost součástky X (0, ) Michal Fusek 45 / 71

46 Spojitá náhodná veličina f (x) definována po částech F(x) definována po částech: x 0 : F(x) = x > 0 : F(x) = = x x [ e t2 4 f (t) dt = f (t) dt = ] x 0 x 0 0 dt = 0 x 0 dt + 0 t 2 e t 2 4 dt = = e x2 4 ( e 0) = 1 e x2 4 Michal Fusek 46 / 71

47 Spojitá náhodná veličina F(x) = { 1 e x2 4 pro x > 0, 0 pro x 0. Pod jakou hranicí bude životnost s pravděpodobností 0,75? P(X x 0,75 ) = F(x 0,75 ) = 0,75 1 e x 2 0,75 /4 = 0,75 x 0,75 = 4 ln 0,25. = 2,35 (235 hodin) Michal Fusek 47 / 71

48 Spojitá náhodná veličina Michal Fusek 48 / 71

49 Významná spojitá rozdělení pravděpodobnosti Rovnoměrné rozdělení Náhodná veličina X s rovnoměrným rozdělením na intervalu a, b, X Ro(a, b), má hustotu f a distribuční funkci F f (x) = { 1 b a pro x a, b, 0 jinak, 0 pro x < a, F(x) = x a b a pro x a, b, 1 pro x > b. Střední hodnota a rozptyl jsou E(X) = a + b 2 (b a)2, D(X) =. 12 Michal Fusek 49 / 71

50 Významná spojitá rozdělení pravděpodobnosti Michal Fusek 50 / 71

51 Příklad Významná spojitá rozdělení pravděpodobnosti Pepa jezdí do práce šalinou, která jezdí v šestiminutových intervalech. Na zastávku přijde naprosto náhodně a čeká, až pojede šalina. Náhodná veličina X udává dobu čekání. a) Popište veličinu X pomocí hustoty a distribuční funkce. b) Vypočtěte pravděpodobnost, že bude čekat déle než 4 minuty. c) Vypočtěte střední hodnotu a rozptyl náhodné veličiny X. Řešení: X...doba čekání { 1 6 pro x 0, 6, f (x) = 0 jinak, Michal Fusek 51 / 71

52 Významná spojitá rozdělení pravděpodobnosti x x < 0 : F(x) = 0 x 6 : F(x) = x > 6 : F(x) = 0 0 f (t) dt = x 0 dt = 0 x 1 0 dt dt = x x 0 dt dt + 0 dt = pro x < 0, F(x) = x 6 pro 0 x 6, 1 pro x > 1. P(X > 4) = 1 P(X 4) = 1 F(4) = 1 3 = 4 f (x)dx = dx + 6 0dx = 1 3 Michal Fusek 52 / 71

53 Významná spojitá rozdělení pravděpodobnosti X Ro(a, b) X Ro(0, 6) E(X) = a + b 2 = 3 D(X) = (b a)2 12 = 3 Michal Fusek 53 / 71

54 Významná spojitá rozdělení pravděpodobnosti Exponenciální rozdělení Necht platí stejné předpoklady jako u Poissonova rozdělení. Náhodná veličina X, která udává dobu mezi dvěma výskyty určité události, když víme, že průměrně nastává λ událostí za jednotku času, má exponenciální rozdělení pravděpodobnosti s parametrem λ, píšeme X Exp(λ). Hustota f a distribuční funkce F jsou { λ e λx pro x > 0, f (x) = F(x) = 0 pro x 0. Střední hodnota a rozptyl jsou E(X) = 1 λ, D(X) = 1 λ 2. { 1 e λx pro x > 0, 0 pro x 0. Michal Fusek 54 / 71

55 Významná spojitá rozdělení pravděpodobnosti λ = 2 (černě), λ = 3,5 (šedě) Michal Fusek 55 / 71

56 Příklad Významná spojitá rozdělení pravděpodobnosti Přístroj má poruchu v průměru jednou za 2000 hodin. Veličina X představující dobu čekání na poruchu má exponenciální rozdělení. a) Jaká je pravděpodobnost, že přístroj bude mít poruchu dříve než za 1000 hodin? b) Určete dobu T 1 tak, aby pravděpodobnost, že přístroj bude pracovat delší dobu než T 1, byla 0,9. c) Do jaké doby T 2 se přístroj pokazí s pravděpodobností 0,9? d) Přístroj už pracuje bez poruchy 1000 hodin. Jaká je pravděpodobnost, že vydrží pracovat ještě alespoň 2000 hodin? Řešení: X...doba čekání na poruchu X (0, ) E(X) = 2000 E(X) = 1 λ } λ = Michal Fusek 56 / 71

57 Významná spojitá rozdělení pravděpodobnosti F(x) = {1 e x 2000 pro x > 0, 0 pro x 0. a) Přístroj bude mít poruchu dříve než za 1000 hodin: P(X < 1000) = F(1000) = 1 e 1 2. = 0,3934 b) Přístroj bude pracovat déle než T 1 s pravděpodobností 0,9: P(X > T 1 ) = 0,9 1 P(X T 1 ) = 0,9 1 F(T 1 ) = 0,9 e T = 0,9 T 1 = 2000 ln(0,9). = 210,72 Michal Fusek 57 / 71

58 Významná spojitá rozdělení pravděpodobnosti c) Do jaké doby T 2 se přístroj pokazí s pravděpodobností 0,9: P(X < T 2 ) = 0,9 F(T 2 ) = 0,9 1 e T = 0,9 T 2 = 2000 ln(0,1). = 4605,17 Michal Fusek 58 / 71

59 Významná spojitá rozdělení pravděpodobnosti d) Pracuje už 1000 hodin a vydrží ještě aspoň 2000 hodin: P(X > 3000 X > 1000) = P(X > 3000, X > 1000) P(X > 1000) = P(X > 3000) P(X > 1000) = 1 F(3000) 1 F(1000) = e 3 2 e 1 2 = e 1. = 0,368 P(X > 2000) = 1 F(2000) = e = e 1 Veličina s exponenciálním rozdělením nemá pamět - nezáleží na tom, jak dlouho už přístroj pracoval: P(X > a + t X > a) = P(X > t) Modelování životnosti součástek, které nepodléhají opotřebení (jinak Weibullovo rozdělení). Michal Fusek 59 / 71

60 Významná spojitá rozdělení pravděpodobnosti Normální rozdělení Jedno z nejdůležitějších rozdělení. Použitelné tam, kde je kolísání náhodné veličiny způsobeno součtem velkého počtu nepatrných a vzájemně nezávislých vlivů (náhodné chyby při měřeních). Lze jím aproximovat (CLV) řadu dalších rozdělení. Náhodná veličina X s normálním rozdělením se střední hodnotou µ a rozptylem σ 2 má hustotu a distribuční funkci f (x) = 1 2πσ e (x µ)2 2σ 2, x R, F (x) = x 1 2πσ e (t µ)2 2σ 2 dt, x R. Zapisujeme X N(µ, σ 2 ). Michal Fusek 60 / 71

61 Významná spojitá rozdělení pravděpodobnosti Mezi µ ± 3σ leží 99,7 % hodnot Michal Fusek 61 / 71

62 Významná spojitá rozdělení pravděpodobnosti Standardizované normální rozdělení Normální rozdělení s parametry µ = 0, σ 2 = 1 se nazývá standardizované (normované) normální rozdělení. Náhodnou veličinu s tímto rozdělením označíme U, tedy U N(0, 1). Hustota φ a distribuční funkce Φ náhodné veličiny U jsou φ(u) = 1 2π e u2 2, u R, Φ(u) = P(U u) = u Hodnoty funkce Φ lze najít v tabulkách. 1 2π e t2 2 dt, u R. Michal Fusek 62 / 71

63 Významná spojitá rozdělení pravděpodobnosti Michal Fusek 63 / 71

64 Významná spojitá rozdělení pravděpodobnosti Necht X je náhodná veličina s normálním rozdělením se střední hodnotou µ a rozptylem σ 2, tedy X N(µ, σ 2 ). Pak U = X µ σ je náhodná veličina se standardizovaným normálním rozdělením, tedy U N(0, 1). Platí: ( P(X x) = P(µ + σu x) = P U x µ ) ( ) x µ = Φ σ σ Michal Fusek 64 / 71

65 Významná spojitá rozdělení pravděpodobnosti Φ( u) = 1 Φ(u) Michal Fusek 65 / 71

66 Významná spojitá rozdělení pravděpodobnosti Příklad Náhodná veličina X udávající spotřebu paliva naftové elektrocentrály během 8hodinové směny má normální rozdělení se střední hodnotou 9 l a rozptylem 0,16 l 2. Určete a) pravděpodobnost, že spotřeba bude větší než 9,5 l, b) pravděpodobnost, že spotřeba bude mezi 8,6 a 9,3 l, c) pod jakou hranicí leží spotřeba s pravděpodobností 0,99. Řešení: X...spotřeba nafty X N(9; 0,16) U = X 9 0,4 N(0, 1) P(X > 9,5) = P(U > 1,25) = 1 P(U 1,25) = 1 Φ(1,25). = 0,106 P(8,6 X 9,3) = P( 1 U 0,75) = Φ(0,75) Φ( 1) = = Φ(0,75) 1 + Φ(1). = 0,615 Michal Fusek 66 / 71

67 Významná spojitá rozdělení pravděpodobnosti P(X < x) = 0,99 ( P U < x 9 ) = 0,99 0,4 ( ) x 9 Φ = 0,99 0,4 Φ(2,33) =. 0,99 (z tabulek) x 9 0,4. = 2,33 x. = 9,932 Michal Fusek 67 / 71

68 Významná spojitá rozdělení pravděpodobnosti Centrální limitní věta Jestliže X 1, X 2,..., X n jsou navzájem nezávislé náhodné veličiny, které mají všechny stejné rozdělení se střední hodnotou µ a konečným rozptylem σ 2, pak pro součet a průměr těchto náhodných veličin Y = n X i a X = 1 n i=1 n i=1 X i platí ( ) Y nµ lim P u = Φ(u) Y A N (nµ, nσ 2) n nσ lim P n ( ) X µ u = Φ(u) X A N σ n ) (µ, σ2 n pro každé u R. Michal Fusek 68 / 71

69 Příklad Významná spojitá rozdělení pravděpodobnosti Životnost určitého typu součástek (měřená ve stovkách hodin) je náhodná veličina X s hustotou { x f (x) = 2 e x 2 /4 pro x > 0, 0 pro x 0, střední hodnotou π a rozptylem 4 π. Náhodně vybereme 50 součástek. a) Jaká je pravděpodobnost, že průměrná životnost těchto 50 součástek bude vyšší než 170 hodin? b) Určete interval souměrný kolem střední hodnoty, ve kterém bude průměrná životnost těchto 50 součástek s pravděpodobností 0,95. Řešení: X...životnost X? Michal Fusek 69 / 71

70 Významná spojitá rozdělení pravděpodobnosti X = i=1 X i, X A N ( π, 4 π ) 50 a) P(X > 1,7). = P U > 1,7 π 4 π 50. = P(U > 0,55). = 0,709 b) Interval souměrný kolem střední hodnoty: P(x 1 < X < x 2 ) = 0,95 P(µ d < X < µ + d) = 0,95 P ([ π d > X ] [ X > π + d ]) = 0,05 P(X < x 2 ) = 0,975 Michal Fusek 70 / 71

71 Významná spojitá rozdělení pravděpodobnosti P(X < x 2 ) = 0,975 P U < x 2 π =. 0,975 4 π 50 Φ x 2 π =. 0,975 Φ(1,96) =. 0,975 (z tabulek) 4 π 50 x 2 π 4 π 50. = 1,96 x 2 x 1. = π + 1,96 4 π 50. = π 1,96 4 π 50. = 2,029. = 1,516 Michal Fusek 71 / 71

Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet?

Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet? Náhodné veličiny Náhodné veličiny Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Příklad Vytáhneme tři karty z balíčku zajímá nás, kolik je mezi nimi es.

Více

Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze

Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze Náhodná veličina X se nazývá spojitá, jestliže existuje nezáporná funkce f : R R taková, že pro každé a, b R { }, a < b, platí P(a < X < b) = b a f

Více

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou

Více

NÁHODNÁ VELIČINA. 3. cvičení

NÁHODNÁ VELIČINA. 3. cvičení NÁHODNÁ VELIČINA 3. cvičení Náhodná veličina Náhodná veličina funkce, která každému výsledku náhodného pokusu přiřadí reálné číslo. Je to matematický model popisující více či méně dobře realitu, který

Více

Náhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost

Náhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost Pravděpodobnost Náhodné veličiny a jejich číselné charakteristiky Petr Liška Masarykova univerzita 19.9.2014 Představme si, že provádíme pokus, jehož výsledek dokážeme ohodnotit číslem. Před provedením

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

Téma 22. Ondřej Nývlt

Téma 22. Ondřej Nývlt Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené

Více

Matematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III

Matematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 4. října 2018 Podmíněná pravděpodobnost Při počítání pravděpodobnosti můžeme k náhodnému pokusu přidat i nějakou dodatečnou podmínku. Podmíněná pravděpodobnost

Více

Základy teorie pravděpodobnosti

Základy teorie pravděpodobnosti Základy teorie pravděpodobnosti Náhodná veličina Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 12. února 2012 Statistika by Birom Základy teorie

Více

Výběrové charakteristiky a jejich rozdělení

Výběrové charakteristiky a jejich rozdělení Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistické šetření úplné (vyčerpávající) neúplné (výběrové) U výběrového šetření se snažíme o to, aby výběrový

Více

ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN Rovnoměrné rozdělení R(a,b) rozdělení s konstantní hustotou pravděpodobnosti v intervalu (a,b) f( x) distribuční funkce 0 x a F( x) a x b b a 1 x b b 1 a x a a x b

Více

Určete zákon rozložení náhodné veličiny, která značí součet ok při hodu a) jednou kostkou, b) dvěma kostkami, c) třemi kostkami.

Určete zákon rozložení náhodné veličiny, která značí součet ok při hodu a) jednou kostkou, b) dvěma kostkami, c) třemi kostkami. 3.1. 3.2. Třikrát vystřelíme na cíl. Pravděpodobnost zásahu při každém výstřelu je p = 0,7. Určete: a) pravděpodobnostní funkci počtu zásahů při třech nezávislých výsledcích, b) distribuční funkci a její

Více

Základy teorie pravděpodobnosti

Základy teorie pravděpodobnosti Základy teorie pravděpodobnosti Náhodná veličina Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 12. února 2012 Statistika by Birom Základy teorie

Více

Limitní věty teorie pravděpodobnosti. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Limitní věty teorie pravděpodobnosti. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jestliže opakujeme nezávisle nějaký pokus, můžeme z pozorovaných hodnot sestavit rozdělení relativních četností

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 4. Teoretická rozdělení Mgr. David Fiedor 9. března 2015 Osnova Úvod 1 Úvod 2 3 4 5 Vybraná rozdělení náhodných proměnných normální rozdělení normované normální rozdělení

Více

Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti

Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti 3.2 Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti Bůh hraje se světem hru v kostky. Jsou to ale falešné kostky. Naším hlavním úkolem je zjistit, podle jakých pravidel byly označeny, a pak toho využít pro

Více

Náhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která

Náhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která Náhodná veličina a její charakteristiky Náhodná veličina a její charakteristiky Představte si, že provádíte náhodný pokus, jehož výsledek jste schopni ohodnotit nějakým číslem. Před provedením pokusu jeho

Více

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4 Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4 J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze ZS 2014/2015

Více

Minikurz aplikované statistiky. Minikurz aplikované statistiky p.1

Minikurz aplikované statistiky. Minikurz aplikované statistiky p.1 Minikurz aplikované statistiky Marie Šimečková, Petr Šimeček Minikurz aplikované statistiky p.1 Program kurzu základy statistiky a pravděpodobnosti regrese (klasická, robustní, s náhodnými efekty, ev.

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti

Více

SPOJITÉ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI. 7. cvičení

SPOJITÉ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI. 7. cvičení SPOJITÉ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI 7. cvičení Intenzita poruch Funkce modelující dobu do výskytu události životnost, dobu do poruchy, dobu do relapsu (návratu onemocnění), apod. používáme spolu s distribuční

Více

KMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC

KMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC Přednáška 03 Přírodovědecká fakulta Katedra matematiky KMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC jiri.cihlar@ujep.cz Diskrétní rozdělení Důležitá diskrétní rozdělení pravděpodobnosti

Více

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN?

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN? NÁHODNÉ VELIČINY GENEROVÁNÍ SPOJITÝCH A DISKRÉTNÍCH NÁHODNÝCH VELIČIN, VYUŽITÍ NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI, METODY TRANSFORMACE NÁHODNÝCH ČÍSEL NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN. JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU

Více

Charakterizace rozdělení

Charakterizace rozdělení Charakterizace rozdělení Momenty f(x) f(x) f(x) μ >μ 1 σ 1 σ >σ 1 g 1 g σ μ 1 μ x μ x x N K MK = x f( x) dx 1 M K = x N CK = ( x M ) f( x) dx ( xi M 1 C = 1 K 1) N i= 1 K i K N i= 1 K μ = E ( X ) = xf

Více

Významná diskrétní rozdělení pravděpodobnosti

Významná diskrétní rozdělení pravděpodobnosti Alternativní rozdělení Příklad Střelec vystřelí do terče, pravděpodobnost zásahu je 0,8. Náhodná veličina X udává, jestli trefil: položíme X = 1, jestliže ano, a X = 0, jestliže ne. Alternativní rozdělení

Více

Statistika II. Jiří Neubauer

Statistika II. Jiří Neubauer Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Zaměříme se především na popis dvourozměrných náhodných veličin (vektorů). Definice Nechť X a Y jsou

Více

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2017/2018 Tutoriál č. 2:, náhodný vektor Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz náhodná veličina rozdělení pravděpodobnosti náhodné

Více

Všechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a

Všechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a Všechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a báli jste se zeptat Jedinečnou funkcí statistiky je, že umožňuje vědci číselně vyjádřit nejistotu v jeho závěrech. (G. W. Snedecor)

Více

Přednáška. Diskrétní náhodná proměnná. Charakteristiky DNP. Základní rozdělení DNP

Přednáška. Diskrétní náhodná proměnná. Charakteristiky DNP. Základní rozdělení DNP IV Přednáška Diskrétní náhodná proměnná Charakteristiky DNP Základní rozdělení DNP Diskrétní náhodná veličina Funkce definovaná na Ω, přiřazující každému elementárnímu jevu E prvky X(E) D R kde D je posloupnost

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

ÚVOD. Rozdělení slouží: K přesnému popisu pravděpodobnostního chování NV Střední hodnota, rozptyl, korelace atd.

ÚVOD. Rozdělení slouží: K přesnému popisu pravděpodobnostního chování NV Střední hodnota, rozptyl, korelace atd. ROZDĚLENÍ NV ÚVOD Velké skupiny náhodných pokusů vykazují stejné pravděpodobnostní chování Mince panna/orel Výška mužů/žen NV mohou být spojeny s určitým pravděpodobnostním rozdělení (již známe jeho hustotu

Více

Diskrétní náhodná veličina. November 12, 2008

Diskrétní náhodná veličina. November 12, 2008 Diskrétní náhodná veličina November 12, 2008 (Náhodná veličina (náhodná proměnná)) Náhodná veličina (nebo též náhodná proměnná) je veličina X, jejíž hodnota je jednoznačně určena výsledkem náhodného pokusu.

Více

NMAI059 Pravděpodobnost a statistika

NMAI059 Pravděpodobnost a statistika NMAI059 Pravděpodobnost a statistika podle přednášky Daniela Hlubinky (hlubinka@karlin.mff.cuni.cz) zapsal Pavel Obdržálek (pobdr@matfyz.cz) 205/20 poslední změna: 4. prosince 205 . přednáška. 0. 205 )

Více

X = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní

X = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní ..08 8cv7.tex 7. cvičení - transformace náhodné veličiny Definice pojmů a základní vzorce Je-li X náhodná veličina a h : R R je měřitelná funkce, pak náhodnou veličinu Y, která je definovaná vztahem X

Více

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

Vybraná rozdělení náhodné veličiny

Vybraná rozdělení náhodné veličiny 3.3 Vybraná rozdělení náhodné veličiny 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 Rozdělení Z 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Život je umění vytvářet uspokojivé závěry na základě nedostatečných předpokladů.

Více

Pravděpodobnost a statistika I KMA/K413

Pravděpodobnost a statistika I KMA/K413 Pravděpodobnost a statistika I KMA/K413 Konzultace 3 Přírodovědecká fakulta Katedra matematiky jiri.cihlar@ujep.cz Kovariance, momenty Definice kovariance: Kovariance náhodných veličin Dále můžeme dokázat:,

Více

p(x) = P (X = x), x R,

p(x) = P (X = x), x R, 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

Cvičení ze statistiky - 5. Filip Děchtěrenko

Cvičení ze statistiky - 5. Filip Děchtěrenko Cvičení ze statistiky - 5 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Začali jsme pravděpodobnost Klasická a statistická definice pravděpodobnosti Náhodný jev Doplněk, průnik, sjednocení Podmíněná pravděpodobnost

Více

Přednáška. Další rozdělení SNP. Limitní věty. Speciální typy rozdělení. Další rozdělení SNP Limitní věty Speciální typy rozdělení

Přednáška. Další rozdělení SNP. Limitní věty. Speciální typy rozdělení. Další rozdělení SNP Limitní věty Speciální typy rozdělení VI Přednáška Další rozdělení SNP Limitní věty Speciální typy rozdělení Rovnoměrné rozdělení R(a,b) Příklad Obejít celý areál trvá strážnému 30 minut. Jaká je pravděpodobnost, že u vrátnice budete čekat

Více

MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH

MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH Cvičení 7 Rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny Mgr. Petr Otipka Ostrava 2013 Mgr. Petr Otipka

Více

VYBRANÁ ROZDĚLENÍ. SPOJITÉ NÁH. VELIČINY Martina Litschmannová

VYBRANÁ ROZDĚLENÍ. SPOJITÉ NÁH. VELIČINY Martina Litschmannová VYBRANÁ ROZDĚLENÍ SPOJITÉ NÁH. VELIČINY Martina Litschmannová Opakování hustota pravděpodobnosti f(x) Funkce f(x) je hustotou pravděpodobností (na intervalu a x b), jestliže splňuje následující podmínky:

Více

Příklady: - počet členů dané domácnosti - počet zákazníků ve frontě - počet pokusů do padnutí čísla šest - životnost televizoru - věk člověka

Příklady: - počet členů dané domácnosti - počet zákazníků ve frontě - počet pokusů do padnutí čísla šest - životnost televizoru - věk člověka Náhodná veličina Náhodnou veličinou nazýváme veličinu, terá s určitými p-stmi nabývá reálných hodnot jednoznačně přiřazených výsledům příslušných náhodných pousů Náhodné veličiny obvyle dělíme na dva záladní

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodná proměnná Náhodná veličina slouží k popisu výsledku pokusu. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáme. Přesto bychom chtěli tento pokus

Více

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 5.téma

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 5.téma Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 5.téma 5. Některá významná rozdělení A. Diskrétní rozdělení (i) Diskrétní rovnoměrné rozdělení na množině {,..., n} Náhodná veličina X, která má diskrétní rovnoměrné

Více

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak.

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak. 8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) e, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá normované

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodná proměnná Náhodná veličina slouží k popisu výsledku pokusu. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáme. Přesto bychom chtěli tento pokus

Více

MATEMATICKÁ STATISTIKA

MATEMATICKÁ STATISTIKA MATEMATICKÁ STATISTIKA 1. Úvod. Matematická statistika se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného procesu, se snažíme popsat

Více

JAK MODELOVAT VÝSLEDKY NÁH. POKUSŮ? Martina Litschmannová

JAK MODELOVAT VÝSLEDKY NÁH. POKUSŮ? Martina Litschmannová JAK MODELOVAT VÝSLEDKY NÁH. POKUSŮ? Martina Litschmannová Opakování Základní pojmy z teorie pravděpodobnosti Co je to náhodný pokus? Děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž

Více

VYBRANÁ ROZDĚLENÍ. DISKRÉTNÍ NÁH. VELIČINY Martina Litschmannová

VYBRANÁ ROZDĚLENÍ. DISKRÉTNÍ NÁH. VELIČINY Martina Litschmannová VYBRANÁ ROZDĚLENÍ DISKRÉTNÍ NÁH. VELIČINY Martina Litschmannová Opakování Základní pojmy z teorie pravděpodobnosti Co je to náhodná veličina (dále NV)? Číselné vyjádření výsledku náhodného pokusu. Jaké

Více

1 Rozptyl a kovariance

1 Rozptyl a kovariance Rozptyl a kovariance Nechť X je náhodná veličina s konečnou střední hodnotou EX Potom rozptyl náhodné veličiny X definujeme jako: DX E(X EX, pokud střední hodnota na pravé straně existuje Podobně jako

Více

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY 4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY Průvodce studiem V této kapitole se seznámíte se základními typy rozložení diskrétní náhodné veličiny. Vašim úkolem by neměla být

Více

1 Pravděpodobnostní prostor

1 Pravděpodobnostní prostor PaS 1.-10. přednáška 1 Pravděpodobnostní prostor Náhodný pokus je takový pokus, jehož výsledek nelze s jistotou předpovědět. Pokud jsme schopni pokus za stále stejných podmínek opakovat (například házíme

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

III. Úplná pravděpodobnost. Nezávislé pokusy se dvěma výsledky. Úplná pravděpodobnost Nezávislé pokusy se dvěma výsledky Náhodná veličina

III. Úplná pravděpodobnost. Nezávislé pokusy se dvěma výsledky. Úplná pravděpodobnost Nezávislé pokusy se dvěma výsledky Náhodná veličina III Přednáška Úplná pravděpodobnost Nezávislé pokusy se dvěma výsledky Náhodná veličina Pravděpodobnost při existenci neslučitelných hypotéz Věta Mějme jev. Pokud H 1,H 2, : : :,H n tvoří úplnou skupinu

Více

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně 7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností

Více

5. Náhodná veličina. 2. Házíme hrací kostkou dokud nepadne šestka. Náhodná veličina nabývá hodnot z posloupnosti {1, 2, 3,...}.

5. Náhodná veličina. 2. Házíme hrací kostkou dokud nepadne šestka. Náhodná veličina nabývá hodnot z posloupnosti {1, 2, 3,...}. 5. Náhodná veličina Poznámka: Pro popis náhodného pokusu jsme zavedli pojem jevového pole S jako množiny všech možných výsledků a pravděpodobnost náhodných jevů P jako míru výskytů jednotlivých výsledků.

Více

Semestrální písemka BMA3 - termín varianta A13 vzorové řešení

Semestrální písemka BMA3 - termín varianta A13 vzorové řešení Semestrální písemka BMA3 - termín 6.1.9 - varianta A13 vzorové řešení Každý příklad je hodnocen maximálně 18 body, z toho část a) 1 body a část b) body. Mezivýsledky při výpočtech zaokrouhlujte alespoň

Více

a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D.

a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D. Podmíněná pravděpodobnost, náhodná veličina a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D. Podmíněná pravděpodobnost Pokud je jev A vázán na uskutečnění jevu B, pak tento jev nazýváme jevem podmíněným

Více

Úvod do teorie pravděpodobnosti

Úvod do teorie pravděpodobnosti Úvod do teorie pravděpodobnosti Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 9. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 33 Obsah 1 Náhodné jevy 2 Pravděpodobnost 3 Podmíněná

Více

Mgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc.

Mgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc. Náhodné veličiny III Mgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Rudolf Blažek, Roman

Více

Základní typy pravděpodobnostních rozdělení

Základní typy pravděpodobnostních rozdělení Základní typy pravděpodobnostních rozdělení Petra Schreiberová, Jiří Krček Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Vysoká škola báňská Technická Univerzita Ostrava Ostrava 208 OBSAH Diskrétní rozdělení

Více

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

Rozdělení náhodné veličiny. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce

Rozdělení náhodné veličiny. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce Náhodná veličina motivace Náhodná veličina Často lze výsledek náhodného pokusu vyjádřit číslem: číslo, které padlo na kostce, výška náhodně vybraného studenta, čas strávený čekáním na metro, délka života

Více

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin 0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 140 160 180 200 220 240 260 Std Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Pravděpodobnostní posuzování

Více

Příklad 0.1. Máme balíček karet na Kanastu: celkem 56 karet, z toho čtyři žolíci. Jak často při sejmutí

Příklad 0.1. Máme balíček karet na Kanastu: celkem 56 karet, z toho čtyři žolíci. Jak často při sejmutí 0.1 Pravděpodobnost 1 0.1 Pravděpodobnost V příkladech, na kterých budeme základní pojmy vysvětlovat, se většinou setkáme s možná poněkud neprakticky vyhlížejícím házením kostkami, vytahováním barevných

Více

Náhodná veličina X má Poissonovo rozdělení se střední hodnotou lambda. Poissonovo rozdělení je definováno jako. P(X=k) = 0,036

Náhodná veličina X má Poissonovo rozdělení se střední hodnotou lambda. Poissonovo rozdělení je definováno jako. P(X=k) = 0,036 Příklad : Statistika A, doc. Kropáč, str. 6, příklad 2 K benzínovému čerpadlu přijíždí průměrně 4 aut za hodinu. Určete pravděpodobnost, že během pěti minut přijede nejvýše jedno auto. Pokus: Zjištění,

Více

Rovnoměrné rozdělení

Rovnoměrné rozdělení Rovnoměrné rozdělení Nejjednodušší pravděpodobnostní rozdělení pro diskrétní náhodnou veličinu. V literatuře se také nazývá jako klasické rozdělení pravděpodobnosti. Náhodná veličina může nabývat n hodnot

Více

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin 0.05 0.0 0.05 0.0 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 40 60 80 00 0 40 60 Std Téma : Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Spolehlivost a bezpečnost staveb 4. ročník

Více

z Matematické statistiky 1 1 Konvergence posloupnosti náhodných veličin

z Matematické statistiky 1 1 Konvergence posloupnosti náhodných veličin Příklady k procvičení z Matematické statistiky Poslední úprava. listopadu 207. Konvergence posloupnosti náhodných veličin. Necht X, X 2... jsou nezávislé veličiny s rovnoměrným rozdělením na [0, ]. Definujme

Více

10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.

10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457. 0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti

Více

Intuitivní pojem pravděpodobnosti

Intuitivní pojem pravděpodobnosti Pravděpodobnost Intuitivní pojem pravděpodobnosti Intuitivní pojem pravděpodobnosti Pravděpodobnost zkoumaného jevu vyjadřuje míru naděje, že tento jev nastane. Řekneme-li, že má nějaký jev pravděpodobnost

Více

prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Pravděpodobnost a statistika Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií

prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Pravděpodobnost a statistika Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Rudolf Blažek, Roman Kotecký, 2011 Pravděpodobnost

Více

LIMITNÍ VĚTY DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PR. 8. cvičení

LIMITNÍ VĚTY DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PR. 8. cvičení LIMITNÍ VĚTY DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PR. 8. cvičení Způsoby statistického šetření Vyčerpávající šetření prošetření všech jednotek statistického souboru (populace) Výběrové šetření ze základního souboru

Více

6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení

6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení 6 Spojitá rozdělení 6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení Ze spojitých rozdělení se v praxi setkáme nejčastěji s normálním rozdělením. Toto rozdělení je typické pro mnoho náhodných veličin z rozmanitých oborů

Více

AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení

AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Opakování, náhodná veličina, rozdělení Náhodná veličina zobrazuje elementární

Více

Inovace bakalářského studijního oboru Aplikovaná chemie

Inovace bakalářského studijního oboru Aplikovaná chemie http://aplchem.upol.cz CZ.1.07/2.2.00/15.0247 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Základy zpracování dat chemometrie, statistika Doporučenáliteratura

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika

Pravděpodobnost a matematická statistika Pravděpodobnost a matematická statistika Příklady k přijímacím zkouškám na doktorské studium 1 Popisná statistika Určete aritmetický průměr dat, zadaných tabulkou hodnot x i a četností n i x i 1 2 3 n

Více

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma 4. Náhodné vektory V praxi se nám může hodit postihnout více vlastností jednoho objektu najednou, např. výšku, váhu a pohlaví člověka; rychlost chemické

Více

MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST

MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST 1. Úvod. Matematická statistika (statistics) se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného

Více

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y 9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota y závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí y = f(x).

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost

1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost 1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost Ve světě kolem nás eistují děje, jejichž výsledek nelze předem jednoznačně určit. Například nemůžete předem určit, kolik

Více

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma 4. Náhodné vektory V praxi se nám může hodit postihnout více vlastností jednoho objektu najednou, např. výšku, váhu a pohlaví člověka; rychlost chemické

Více

ina ina Diskrétn tní náhodná veličina může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot (počet aut v náhodně vybraná domácnost, výsledek hodu kostkou)

ina ina Diskrétn tní náhodná veličina může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot (počet aut v náhodně vybraná domácnost, výsledek hodu kostkou) Náhodná velčna na Výsledek náhodného pokusu, daný reálným číslem je hodnotou náhodné velčny. Náhodná velčna je lbovolná reálná funkce defnovaná na množně elementárních E pravděpodobnostního prostoru S.

Více

1. Klasická pravděpodobnost

1. Klasická pravděpodobnost Příklady 1. Klasická pravděpodobnost 1. Házíme dvakrát kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že padne alespoň jedna šestka? 2. Základy teorie pravděpodobnosti vznikly v korespondenci mezi dvěma slavnými francouzskými

Více

Náhodné vektory a matice

Náhodné vektory a matice Náhodné vektory a matice Jiří Militký Katedra textilních materiálů Technická Universita Liberec, Červeně označené slide jsou jen pro doplnění informací a nezkouší se. Symbolika A B Jev jistý S (nastane

Více

Statistika a spolehlivost v lékařství Charakteristiky spolehlivosti prvků I

Statistika a spolehlivost v lékařství Charakteristiky spolehlivosti prvků I Statistika a spolehlivost v lékařství Charakteristiky spolehlivosti prvků I Příklad Tahová síla papíru používaného pro výrobu potravinových sáčků je důležitá charakteristika kvality. Je známo, že síla

Více

Náhodný vektor a jeho charakteristiky

Náhodný vektor a jeho charakteristiky Náhodný vektor a jeho číselné charakteristiky 1 Náhodný vektor a jeho charakteristiky V následující kapitole budeme věnovat pozornost pouze dvourozměřnému náhodnému vektoru, i když uvedené pojmy a jejich

Více

Cvičení ze statistiky - 7. Filip Děchtěrenko

Cvičení ze statistiky - 7. Filip Děchtěrenko Cvičení ze statistiky - 7 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Probrali jsme spojité modely Tyhle termíny by měly být známé: Rovnoměrné rozdělení Střední hodnota Mccalova transformace Normální rozdělení Přehled

Více

8. Normální rozdělení

8. Normální rozdělení 8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, 2 ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) 2 e 2 2, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá

Více

JAK MODELOVAT VÝSLEDKY

JAK MODELOVAT VÝSLEDKY JAK MODELOVAT VÝSLEDKY NÁHODNÝCH POKUSŮ? Martina Litschmannová Opakování Základní pojmy z teorie pravděpodobnosti Co je to náhodný pokus? Děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za

Více

Diskrétní náhodná veličina

Diskrétní náhodná veličina Lekce Diskrétní náhodná veličina Výsledek náhodného pokusu může být vyjádřen slovně to vede k zavedení pojmu náhodného jevu Výsledek náhodného pokusu můžeme někdy vyjádřit i číselně, což vede k pojmu náhodné

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

P13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod.

P13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod. P13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod. Matematický přístup k výsledkům únavových zkoušek Náhodnost výsledků únavových zkoušek. Únavové

Více

11 Rovnoměrné a normální rozdělení psti

11 Rovnoměrné a normální rozdělení psti 11 Rovnoměrné a normální rozdělení psti 11 Rovnoměrné a normální rozdělení psti Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá část kapitoly 13 ze skript [1] a vše, co se nachází v kapitole

Více

S1P Příklady 02. Náhodná proměnná (veličina) Mějme krabičku o rozměrech 1 x 2 x 3 cm. Na stranách jsou obrázky: :

S1P Příklady 02. Náhodná proměnná (veličina) Mějme krabičku o rozměrech 1 x 2 x 3 cm. Na stranách jsou obrázky: : S1P Příklady 02 Náhodná proměnná (veličina) Mějme krabičku o rozměrech 1 2 3 cm Na stranách jsou obrázky: : Ω ={strom, houba, kytka, slunce, dům, ryba} Pravděpodobnost jednotlivých elementárních jevů odpovídá

Více

Alternativní rozdělení. Alternativní rozdělení. Binomické rozdělení. Binomické rozdělení

Alternativní rozdělení. Alternativní rozdělení. Binomické rozdělení. Binomické rozdělení Alternativní rozdělení Alternativní rozdělení Alternativní rozdělení Alternativní rozdělení Náhodná veličina X má alternativní rozdělení s parametrem p, jestliže nabývá hodnot 0 a 1 s pravděpodobnostmi

Více