Teorie her a ekonomické rozhodování 8. Vyjednávací hry
8. Vyjednávání Teorie her Věda o řešení konfliktů Ale také věda o hledání vzájemně výhodné spolupráce Teorie vyjednávání Odvětví teorie her dohoda o spolupráci Zabývá se vyjednávací hrou (vyjednávacím problémem) 2
8.1 Nashovo vyjednávací řešení John Nash v letech 1950 a 1953 publikoval články o axiomatickém přístupu k řešení vyjednávací hry Sestavil soubor axiomů Ukázal, že existuje jediné řešení, které tyto axiomy splňuje = Nashovo vyjednávací řešení 3
8.1 Nashovo vyjednávací řešení Ve vyjednávací hře předpokládáme Existuje množina přípustných dohod Existuje bod nedohody (hráči se nedohodnou) Hráči hledají lepší řešení než nedohodu Bod nedohody je před vyjednáváním známý příp. lze určit na základě maximinové či rovnovážné zaručené výhry 4
8.1 Nashovo vyjednávací řešení Vyjednávací problém je charakterizován: Množinou hráčů N = {1, 2,, N} Pro jednoduchost uvažujme 2 hráče, N = 2 Množinou přípustných dohod (množinou přípustných řešení) Bodem nedohody Množinou užitkových funkcí, které každé přípustné dohodě i bodu nedohody přiřadí užitek pro i-tého hráče 5
8.1 Nashovo vyjednávací řešení Předpokládáme dále Hráči jsou racionální Hráči maximalizují svůj užitek Hráči dokonale navzájem znají své užitkové funkce Uvažujeme vyjednávací hru s 2 hráči Užitková funkce 1. hráče u(x) reálné číslo Užitková funkce 2. hráče v(y) reálné číslo 6
8.1 Nashovo vyjednávací řešení Nashovo vyjednávací řešení (x, y ) Užitek 1. hráče u(x ) Užitek 2. hráče v(y ) Bod nedohody (x o, y o ) Užitek 1. hráče u(x o ) Užitek 2. hráče v(y o ) 7
8.1 Nashovo vyjednávací řešení Na základě von Neumannovy a Morgensternovy teorie užitečnosti Nash stanovil následující axiomy: 1. Paretovská efektivnost 2. Symetrie 3. Nezávislost na měřítku 4. Nezávislost na irelevantních alternativách 8
8.1 Nashovo vyjednávací řešení Příklad 1 ukázka významu axiomů Hru hrají dva hráči Mají si mezi sebe jakkoliv rozdělit částku 2 Kč Pokud se nedohodnou, dostane každý 0 Kč Bod nedohody Pro jednoduchost předpokládejme, že užitek obou hráčů odpovídá finančnímu zisku u x v y = x = y 9
v y 2 Množina přípustných dohod 0 0 Bod nedohody P 2 u x 10
8.1 Nashovo vyjednávací řešení Paretovská efektivnost Vyjadřuje maximalizaci užitku obou hráčů Řešení, které je dominované nemůže být vyjednávacím řešením Nechť x 1, y 1 a x 2, y 2 jsou libovolné přípustné dohody vyjednávacího problému P Pokud u x 1 > u x 2 a v y 1 > v y 2 pak x 2, y 2 nemůže být vyjednávacím řešením problému P 11
v y 2 Množina přípustných dohod x e, y e x 1, y 1 x 2, y 2 Paretovsky efektivní řešení 0 0 Bod nedohody P 2 u x 12
8.1 Nashovo vyjednávací řešení Symetrie Problém P je symetrický, pokud u x, v y a v y, u x jsou prvky vyjednávacího problému P pro bod nedohody platí u x o = v y o 13
v y 2 Množina přípustných dohod Symetrie v(y) x, y Paretovsky efektivní řešení u(x) 0 0 u(x) Bod u xnedohody o = v y o = 0 P v(y) 2 u x 14
8.1 Nashovo vyjednávací řešení Symetrie Problém P je symetrický, pokud u x, v y a v y, u x jsou prvky vyjednávacího problému P pro bod nedohody platí u x o = v y o Pokud je P symetrický, pak pro Nashovo rovnovážné řešení platí u x = v y Oba hráči mají stejné vyjednávací schopnosti 15
v y 2 Množina přípustných dohod Symetrie v(y) x, y Nashovo vyjednávací řešení leží na ose symetrie Paretovsky efektivní řešení 0 0 Bod nedohody P u(x) 2 u x 16
8.1 Nashovo vyjednávací řešení Nezávislost na měřítku Nechť x, y je vyjednávací řešení vyjednávacího problému P Pokud transformujeme původní problém P na nový problém Q pomocí nových užitkových funkcí u N x = au x + b v N y = cv y + d Pak vyjednávacím řešením problému Q bude opět x, y s užitky u N x = au x + b v N y = cv y + d 17
v y 2 v N y = 2y nesymetrie v(y) = 0, 5v N y Symetrie x, y Množina přípustných dohod Nashovo vyjednávací řešení 1 Paretovsky efektivní řešení 0 0 Bod nedohody P u N x = x 1 2 u x 18
8.1 Nashovo vyjednávací řešení Nezávislost na irelevantních alternativách Nechť vyjednávací problém Q je podmnožinou vyjednávacího problému P Jestiže x, y je vyjednávací řešení problému P A zároveň je přípustným řešením problému Q (leží v Q) Pak x, y je také vyjednávacím řešením problému Q 19
v y 2 Množina přípustných dohod Symetrie Nashovo vyjednávací řešení Paretovsky efektivní řešení 0 0 Bod nedohody Q P 2 u x 20
8.1 Nashovo vyjednávací řešení Nashovo vyjednávací řešení Řešení, které splňuje uvedené 4 axiomy Hledáme řešení s nejvyšší hodnotou tzv. Nashova součinu u x u x o v y v y o 21
8.1 Nashovo vyjednávací řešení Příklad 1: u x u x o v y v y o = u 1 u 0 v 1 v 0 = 1 0 1 0 = 1 Lze ukázat, že to je nejvyšší možná hodnota, pokud u x + v y = 2 V tomto případě hledáme maximum u x 0 v y 0 = u x v y 22
v y 2 0 0 Bod nedohody P 2 u x 23
8.2 Příklady Příklad 2: Bill a Jack směňují věci Zdroj: J. F. Nash, The Bargaining Problem. Econometrica, 1950 Dva kamarádi: Bill a Jack Bill: knížka, káča, míč, pálka, krabička Jack: psací pero, hračka, nůž, čapka 24
u B o = 12 u J o = 6 8.2 Příklady Užitek pro Billa Užitek pro Jacka Billovy věci Knížka 2 4 Káča 2 2 Míč 2 1 Pálka 2 2 Krabička 4 1 Jackovy věci Psací pero 10 1 Hračka 4 1 A teď Vy! Nůž 6 2 Čapka 2 2 25
8.2 Příklady Příklad 2: Bill a Jack směňují věci Jakého nejvýhodnějšího řešení mohou chlapci dosáhnout? Kolik je Nashův součin pro Vaši výměnu? u x u x o v y v y o 26
u B o = 12 u J o = 6 u B = 248.2 Příklady u J = 11 Kolik je Nashův Užitek pro Billa součin? Užitek pro Jacka Billovy věci Knížka 2 4 Káča 2 2 Míč 2 1 u x Pálka u x o v2 y v 2y o Krabička 4 1 = 24 12 11 6 = 60 Jackovy věci Psací pero 10 1 Hračka 4 1 Máte víc? Nůž 6 2 Čapka 2 2 27
8.2 Příklady Příklad 3: Aleš a Bert investují Zdroj: Fiala a kol. Kvantitativní ekonomie, 1994 Dva kamarádi: Aleš a Bert Riskantní investice 60 Kč Při úspěchu výdělek 160 Kč (zisk 100 Kč) Při neúspěchu výdělek 0 Kč (ztráta 60 Kč) Obě možnosti s pravděpodobností 50 % 28
8.2 Příklady Příklad 3: Aleš a Bert investují Investice je nabídnuta nejdříve Alešovi u x = x pro x > 20 4x + 60 jinak x označuje výnos z investice Aleš citelně nese ztrátu větší než 20 Kč Má Aleš investici přijmout? 29
8.2 Příklady Příklad 3: Aleš a Bert investují u x = x pro x > 20 4x + 60 jinak u x = 0,5 u 100 + 0,5 u 60 = 0,5 100 + 0,5 4 60 + 60 = 50 + 0,5 180 = 50 90 = 40 Aleš by nabídku přijmout neměl Při odmítnutí bude mít u x = 0 30
8.2 Příklady Příklad 3: Aleš a Bert investují Investice je tedy nabídnuta Bertovi v y = y pro y > 30 3y + 60 jinak y označuje výnos z investice Bert nese ztrátu lépe než Aleš Má Bert investici přijmout? 31
8.2 Příklady Příklad 3: Aleš a Bert investují v y = y pro y > 30 3y + 60 jinak v y = 0,5 v 100 + 0,5 v 60 = 0,5 100 + 0,5 3 60 + 60 = 50 + 0,5 120 = 50 60 = 10 Také Bert by nabídku přijmout neměl Při odmítnutí bude mít v y = 0 32
8.2 Příklady Příklad 3: Aleš a Bert investují Bert navrhne Alešovi společnou investici v poměru 60:40 (náklady i výnosy) Bert zaplatí 60 % nákladů (0,6 60 = 36) Aleš zaplatí 40 % nákladů (0,4 60 = 24) Výnosy rozdělí ve stejném poměru Má Aleš na dohodu přistoupit? 33
8.2 Příklady Příklad 3: Aleš a Bert investují Aleš (investice: 24, výnos: 0,4.160=64) u x = x pro x > 20 4x + 60 jinak u x = 0,5 u 40 + 0,5 u 24 = 0,5 40 + 0,5 4 24 + 60 = 20 + 0,5 36 = 20 18 = 2 Při odmítnutí bude mít u x = 0 34
8.2 Příklady Příklad 3: Aleš a Bert investují Bert (investice: 36, výnos: 0,6.160=96) v y = y pro y > 30 3y + 60 jinak v y = 0,5 v 60 + 0,5 v 36 = 0,5 60 + 0,5 3 36 + 60 = 30 + 0,5 48 = 30 24 = 6 Při odmítnutí bude mít v y = 0 35
8.2 Příklady Příklad 3: Aleš a Bert investují Aleš: u x = 2 Bert: v y = 6 Má Aleš nabídku přijmout? Kolik je Nashův součin? 2 0 Co by se stalo, kdyby 6 0 = 12 Aleš vložil 20 Kč a v případě výhry získá 50 Bert vložil 40 Kč a získá 110 Kč 36
8.2 Příklady Příklad 3: Aleš a Bert investují Aleš: investice 20, výnos 50 u x = x pro x > 20 4x + 60 jinak u x = 0,5 u 30 + 0,5 u 20 = 0,5 30 + 0,5 4 20 + 60 = 15 + 0,5 20 = 15 10 = 5 37
8.2 Příklady Příklad 3: Aleš a Bert investují Bert: investice 40, výnos 110 v y = y pro y > 30 3y + 60 jinak v y = 0,5 v 70 + 0,5 v 40 = 0,5 70 + 0,5 3 40 + 60 = 35 + 0,5 60 = 35 30 = 5 38
8.2 Příklady Příklad 3: Aleš a Bert investují Aleš: investice 20, výnos 50 u x = 5 Bert: investice 40, výnos 110 v y = 5 Kolik je Nashův součin? 5 0 5 0 = 25 Měl tedy Aleš nabídku 60:40 přijmout? 39
8.2 Příklady Příklad 3: Aleš a Bert investují Měl tedy Aleš nabídku 60:40 přijmout? Nikoliv. Vhodným vyjednáváním může Aleš získat více. Původní nabídka vedla k očekávanému užitku 2 Nashovo vyjednávací řešení má pro Aleše očekávaný užitek 5 40
8.2 Příklady Příklad 3: Aleš a Bert investují Pro tento příklad neexistuje řešení s vyšším Nashovým součinem než 25 Aleš: investice 20, výnos 50, u x Bert: investice 40, výnos 110, v y Aleš investuje třetinu a získá 31,25 % (méně než třetinu) Je to logické? = 5 = 5 41
8.2 Příklady Příklad 3: Aleš a Bert investují Bert nevnímá ztráty tak citlivě jako Aleš Do investice tedy dává vyšší částku (dvě třetiny počáteční investice) Má tedy lepší vyjednávací pozici Může požadovat více než dvě třetiny výnosu 42
KONEC 43