2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST

Transkript

1 2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST NÁHODNÝ POKUS A JEV Každá opakovatelná činnost prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě, se nazývá náhodný pokus. Výsledek pokusu tedy není předem znám (výsledek není jednoznačně určen jeho podmínkami), je to však právě jeden z prvků známé množiny výsledků, kterou nazýváme základní prostor Ω. O těchto výsledcích se předpokládá, že jsou elementární. Každou podmnožinu množiny Ω nazýváme náhodným jevem (značíme A, B,...), přičemž prázdná podmnožina se nazývá jev nemožný, označujeme Ø a celý základní prostor jev jistý, označujeme I. Výsledek náhodného pokusu tedy nelze s jistotou předpovědět, ale některé výsledky nastávají častěji, některé méně často a některé velmi ojediněle. Při velkých sériích opakování však i tyto náhodné pokusy (resp. jejich výsledky) vykazují určité zákonitosti a pravidelnosti. Právě studium těchto zákonitostí, jejich popsání a vytvoření pravidel pro určení měr četnosti výskytů těchto jevů je cílem teorie pravděpodobnosti. Relace mezi jevy Jelikož je jev jen jiné označení pro podmnožinu základního prostoru, lze zavést operace s jevy odpovídající množinovým operacím. 1) Sjednocení (součet) dvou jevů A,B (značíme AÈ B, A+ B ) - jev, který nastane tehdy, pokud nastane A nebo B (alespoň jeden z jevů A, 2) Průnik (součin) dvou jevů A,B (značíme AÇ B, A B ) - jev, který nastane tehdy, pokud nastanou oba jevy současně (A a současně Poznámka: pokud dva jevy nemohou nastat současně (tzn. nemají žádný společný výsledek) nazýváme je disjunktní jevy a platí tedy: A Ç B= Ø 1

2 3) Rozdíl dvou jevů A,B (značíme A- B ) - jev, který nastane tehdy, pokud nastane A a současně nenastane B 4) Doplněk jevu A, opačný jev (značíme A ) - jev, který nastane tehdy, pokud nenastane A POJEM PRAVDĚPODOBNOSTI Pravděpodobností označujeme míru očekávatelnosti výskytu náhodného jevu. S rostoucí pravděpodobností roste šance, že jev nastane. Pravděpodobnost se obecně označuje číslem z intervalu 0 ; 1. Jev nemožný, tj. jev, který nemůže nastat, má pravděpodobnost 0, naopak jev jistý má pravděpodobnost 1. Někdy se nekorektně,ale názorně, pravděpodobnosti násobí číslem 100 a uvádějí v procentech. 1) Klasická (Laplaceova) definice pravděpodobnosti Definice: Je-li základní prostor konečná neprázdná množina n elementárních jevů, které mají stejnou šanci výskytu, pak pravděpodobnost, že při realizaci náhodného pokusu nastane jev A je m P ( A) =, n kde m je počet příznivých výsledků jevu A a n je počet všech možných výsledků. Příklad: V koloně 8 vozidel jedou právě tři červené automobily. Jaká je pravděpodobnost, že červená vozidla jedou bezprostředně za sebou? 2

3 2) Geometrická pravděpodobnost Dalším historickým příkladem definice pravděpodobnosti může být tzv. geometrická definice, která umožňuje určit pravděpodobnost v případech, kdy počet všech možných výsledku náhodného pokusu je nespočetný. Definice je založena na porovnání objemu, obsahu nebo délek geometrických útvaru. Používáme ji v případech, které lze převést na toto schéma: V rovině (případně na přímce nebo v prostoru) je dána určitá oblast Ω a v ní další uzavřená oblast A. Pravděpodobnost jevu A, který spočívá v tom, že náhodně zvolený bod v oblasti Ω leží i v oblasti A je: kde A, Ω jsou míry oblastí A a Ω. P ( A) = A W, Příklad: Dva známí se domluví, že se sejdou na určitém místě mezi 13. a 14. hodinou, přičemž doba čekání je 20 minut. Jaká je pravděpodobnost, že se při této dohodě setkají? 3) Kolmogorova (axiomatická) definice pravděpodobnosti Axiomatická definice pravděpodobnosti vychází z toho, že pravděpodobnost je objektivní vlastnost náhodného jevu, která nezávisí na tom, zda ji umíme nebo neumíme měřit. Je tedy dostatečně obecná a klasická či geometrická definice pravděpodobnosti představuje speciální (v praxi často využívané) případ axiomatické definice. Definice: Jevové pole a je množina všech různých podmnožin základního prostoru Ω, která je uzavřená vůči doplňku a sjednocení a platí: - I leží v a (jev jistý je prvkem jevového pole) - leží-li jevy A, B v a, pak AÈ B, AÇ B, A-B i A, B leží v a 3

4 Příklad: Nechť základní prostor W = {a, b, c, d}. Máme náhodné jevy A = {a} a B = {c, d}. Doplňte náhodné jevy A a B tak, abyste dostali co nejmenší jevové pole. Definice: Nechť a je jevové pole. Pravděpodobnost jevu A je reálné číslo P(A), pro něž platí: 1. P(A) 0 pro "A Î a... axiom nezápornosti 2. P(I) = 1... axiom jednotky 3. P( A 1È A2 È... È An È... ) = P(A 1 ) È P(A 2 È...P(A n ) È..., přičemž A 1, A 2,..., A n,...î a tvoří posloupnost navzájem neslučitelných jevů... axiom aditivity Vlastnosti pravděpodobnosti 1. P(Ø) = 0 2. P( A ) = 1 - P(A) 3. Jestliže AÍ B, pak: a) 0 P(A) P( b) P(B - A) = P( - P(A) 4. P(A È = P(A) + P( - P( AÇ B ) Příklad: Víme, že v dodávce 100 hřídelí nemá požadovaný průměr 10 kusů, požadovanou délku nemá 20 kusů a současně nemá požadovaný průměr i délku 5 kusů. Určete pravděpodobnost toho, že náhodně vybraná hřídel z dodávky má požadovaný průměr i délku. 4

5 NEZÁVISLÉ JEVY A PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST Definice: Pravděpodobnost toho, že nastane jev A za předpokladu, že nastal jev B, se nazývá podmíněná pravděpodobnost, značí se P (A a je rovna: P( AÇ P( A =, kde P ( ¹ 0. P( Z definice podmíněné pravděpodobnosti lze odvodit následující větu o pravděpodobnosti průniku dvou jevů. Věta: Pro pravděpodobnost průniku dvou jevů A,B platí: P ( AÇ = P( A P( Definice: Jevy A,B nazýváme nezávislé, pokud platí: P ( AÇ = P( A) P(. Poznámka: Jsou-li jevy A,B nezávislé, pak P ( A = P( A), neboli to jestli nastane či nenastane jev B nemá vliv na to, zda nastane jev A. Pokud máme skupinu více jevů, rozlišujeme nezávislost podvojnou a vzájemnou. Jevy A 1,..., A n jsou vzájemně nezávislé, jestliže pro každou jejich podmnožinu platí, že pravděpodobnost průniku jevů je rovna součinu pravděpodobností těchto jevů. Jsou-li jevy vzájemně nezávislé, jsou také po dvou nezávislé. Opačné tvrzení neplatí! Příklad: Jaká je pravděpodobnost, že na hrací kostce padne třikrát za sebou pětka? 5

6 Příklad: V osudí je 12 zelených a 6 červených balónků. Z osudí dvakrát losujeme (po vytáhnutí balónky do osudí nevracíme). a) Jaká je pravděpodobnost, že v druhém tahu vytáhnu zelenou, když jsem v prvním vytáhla červenou? b) Určete pravděpodobnost, že jsme v obou tazích vybrali zelenou kouli. 6