Úvod do teorie her
|
|
- Pavla Lenka Beránková
- před 6 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Úvod do teorie her 2. Garanční řešení, hry s nulovým součtem a smíšené strategie Tomáš Kroupa ÚTIA AV ČR
2 Program 1. Zavedeme řešení, které zabezpečuje minimální výplatu dosažitelnou jednotlivými hráči. 2. Budeme studovat důležitou třídu her 2 hráčů s nulovým součtem. 3. Ukážeme si vztah garančního a Nashova rovnovážného řešení. 4. Smíšené strategie, Nashova věta a hledání rovnovážného řešení. 1
3 Příklad - hra s nerobustní rovnováhou Bob d e a 2, 1 2, 20 Alice b 3, 0 10, 1 c 100, 2 3, 3 Rovnovážný bod je (c, e). Pokud Alice nevěří, že Bob bude vybírat svou strategii v souladu s Nashovým ekvilibriem, může váhat, zda výběr c je racionální: pokud by Bob zvolil strategii d, utrpěla by totiž ztrátu 100. Alice tak bude preferovat strategii a, která zaručuje výplatu 2. Bob, je-li si vědom váhání Alice, zvoĺı raději strategii d. V čem je profil strategíı (a, d) význačný? 2
4 Maximin a minimax ve strategické hře G Předpokládejme, že všechna max a min ve výrazech existují. Pokud hráč i hraje podle strategie s i, jeho minimální výplata je Λ i (s i ) := min u i (s i, s i ). s i S i Nehledě na volby strategíı všech ostatních hráčů si tak může vždy zajistit výplatu alespoň v i := max s i S i Λ i (s i ). Voĺı-li ostatní hráči strategii s i S i, maximální výplata hráče i je Λ i (s i ) := max s i S i u i (s i, s i ). Nehledě na volbu strategie hráče i tak mohou ostatní hráči ze shora omezit výplatu hráče i hodnotou v i := min Λ i (s i ). s i S i 3
5 Garanční řešení Pozorování Pro každou strategickou hru G platí v i v i. Definice Strategie s i S i hráče i se nazývá garanční (maximinová), pokud platí u i (s i, s i ) v i pro všechna s i S i. d e a 2, 1 2, 20 b 3, 0 10, 1 c 100, 2 3, 3 v 1 = 2, v 1 = 3, v 2 = 0, v 2 = 1 Jediné garanční řešení je (a, d). 4
6 Garanční a Nashovo rovnovážné řešení Pozorování Necht G je strategická hra. Má-li každý hráč i strategii s i takovou, že u i (s i, s i ) u i (t i, s i ), t i S i, s i S i, pak je profil strategíı (s i ) i N garanční a rovnovážné řešení hry G. Tvrzení Necht s rovnovážné řešení hry G. Pak u i (s ) v i pro každé i N. Obecně není mezi garančním a rovnovážným řešením žádný vztah. Ukazuje se však, že obě splývají pro hry s nulovým součtem. 5
7 Antagonistická situace Definice Hra 2 hráčů s nulovým součtem je strategická hra G = ({1, 2}, (S 1, S 2 ), (u 1, u 2 )), kde u 1 (s 1, s 2 ) + u 2 (s 1, s 2 ) = 0, pro každé (s 1, s 2 ) S = S 1 S 2. Ve hře 2 hráčů s nulovým součtem stačí uvažovat výplatní funkci u 1. Matching Pennies Matice znázorňuje hodnoty u 1 (s 1, s 2 ):
8 Cena hry G dvou hráčů s nulovým součtem Klademe Λ(s 1 ) := Λ 1 (s 1 ) = min s 2 S 2 u 1 (s 1, s 2 ), Λ(s 2 ) := Λ 1 (s 2 ) = max s 1 S 1 u 1 (s 1, s 2 ), v := v 1 = max s 1 S 1 Λ(s 1 ), a nazýváme v dolní cenou a v horní cenou hry G. v := v 1 = min s 2 S 2 Λ(s 2 ) Hráč 1 nemůže získat více než mu hráč 2 může vyplatit: v v Definice Ve hře G existuje cena pokud v = v. Definujeme v := v = v a dále: Strategie s 1 je optimální pro hráče 1, pokud Λ(s 1 ) = v. Strategie s 2 je optimální pro hráče 2, pokud Λ(s 2 ) = v. 7
9 Cena hry: příklady Příklad d e f a b c Platí v = 1 = v. Dvojice optimálních strategíı je (b, f ). Matching Pennies Platí v = 1 < 1 = v. Cena hry neexistuje. 8
10 Rovnovážné řešení pro hry s nulovým součtem Pozorování Necht G = ({1, 2}, (S 1, S 2 ), (u 1, u 2 )) je hra dvou hráčů s nulovým součtem a (s 1, s 2 ) S 1 S 2 je profil strategíı. Následující tvrzení jsou ekvivalentní: (s1, s 2 ) je rovnovážné řešení hry G. (s 1, s 2 ) je sedlovým bodem funkce u 1, tj. pro každé s 1 S 1 a s 2 S 2 platí u 1 (s 1, s 2 ) u 1 (s 1, s 2 ) u 1 (s 1, s 2 ). 9
11 Garanční a rovnovážné řešení pro hry s nulovým součtem Věta Necht G = ({1, 2}, (S 1, S 2 ), (u 1, u 2 )) je hra dvou hráčů s nulovým součtem a mějme (s 1, s 2 ) S. Má-li hra cenu v a jsou-li s1 a s 2 jsou optimální strategie, potom je (s1, s 2 ) rovnovážné řešení. Pokud je (s1, s 2 ) je rovnovážné řešení, pak má hra cenu v a obě strategie s1 a s 2 jsou optimální. Pokud je splněna libovolná z podmínek výše, platí navíc v = u 1 (s 1, s 2 ). Velmi jednoduché strategické hry s nulovým součtem však nemají rovnovážné řešení. Je třeba zobecnit pojem strategie. 10
12 Smíšené strategie Předpokládejme, že G = (N, (S i ) i N, (u i ) i N ) je strategická hra n hráčů s neprázdnými konečnými prostory strategíı Definice S i = {s 1 i,..., s m i i }, i N, m i N. Smíšená strategie hráče i je pravděpodobnostní funkce p i na S i. Platí-li p i (s i ) = 1 pro nějaké s i S i, říkáme, že p i je čistá strategie. Množina smíšených strategíı hráče i tvoří (m i 1)-rozměrný simplex i v R m i : i := { p i : S i [0, 1] p i (s 1 1 ) +... p i (s m i i ) = 1 }. Množina strategíı S i je ztotožněna s množinou extremálních bodů i prostřednictvím čistých strategíı (=standardní báze v R m i ). 11
13 Smíšené rozšíření Definice Necht G = (N, (S i ) i N, (u i ) i N ) je strategická hra s konečnými neprázdnými prostory strategíı a S := S 1 S n. Smíšené rozšíření hry G je strategická hra G = (N, ( i ) i N, (U i ) i N ), kde výplatní funkce hráče i je U i (p) := u i (s 1,..., s n ) p 1 (s 1 ) p n (s n ), (s 1,...,s n) S pro p = (p 1,..., p n ) := 1 n. Rovnovážné řešení hry G nazveme rovnovážným řešením hry G ve smíšených strategíıch. 12
14 Smíšené rozšíření - vlastnosti Jelikož jsou množiny S i konečné, všechny prostory smíšených strategíı i i jsou kompaktní konvexní množiny v nějakém Eukleidovském prostoru. Výplatní funkce U i je spojitá a multiafinní, tj. pro každé p i i a všechna α [0, 1], p i, q i S i, platí U i (αp i + (1 α)q i, p i ) = α U i (p i, p i ) + (1 α) U i (q i, p i ). Test rovnováhy pomocí čistých strategíı Necht p = (p i ) i N. Následující tvrzení jsou ekvivalentní: p je rovnovážné řešení hry G ve smíšených strategíıch. Pro každého hráče i a každou čistou strategii p i i platí U i (p ) U i (p i, p i ). 13
15 Existence řešení konečných strategických her Nashova věta (1951) Každá strategická hra s n hráči a konečnými prostory strategíı má rovnovážné řešení ve smíšených strategíıch. Důkaz je nekonstruktivní, využívá Brouwerovu větu o pevném bodě. Jako důsledek dostaneme základní větu pro maticové hry. von Neumannova věta o minimaxu (1928) Necht G je strategická hra 2 hráčů s nulovým součtem a konečnými prostory strategíı. Potom existuje cena pro smíšené rozšíření G hry G. 14
16 Hledání rovnovážného řešení poznámky Struktura rovnovážných řešení je komplikovaná (Datta; 2003): Každá reálná algebraická varieta je izomorfní s množinou úplně smíšených rovnovážných řešení hry s konečnými prostory strategíı. Složitost (Daskalakis, Goldberg, Papadimitriou; 2006): Úloha hledání rovnovážného řešení je PPAD-úplná. Klasické omezení: hra 2 hráčů s nulovým součtem. Není jasné, jak postupovat v případě nekonečných množin S i. Ukážeme si obecnou formulaci problému, důležité speciální případy i teoretické nástroje, které mohou hledání usnadnit. 15
17 Hledání rovnovážného řešení nekonvexní optimalizační úloha Uvažujme smíšené rozšíření G = (N, ( i ) i N, (U i ) i N ) strategické hry G. Optimalizační formulace hledání rovnovážného řešení Mějme úlohu s proměnnými p = (p 1,..., p n ) a π 1,..., π n : maximalizovat f (p, π 1,..., π n ) := i (p) π i ) i N(U za podmínek p i i, π i R, i N, U i (s i, p i ) π i, i N, s i S i. Potom je maximální hodnota funkce f rovna 0 a nabývá se právě na množině všech p a π 1,..., π n R, kde p je rovnovážné řešení hry G a π i = U i (p ), i N. 16
18 Princip indiference a jeho aplikace Nosič smíšené strategie p i i hráče i je S(p i ) := {s i S i p i (s i ) > 0}. Tvrzení Bud p rovnovážné řešení strategické hry ve smíšených strategíıch a i N. Platí-li s i, t i S(p i ), potom U i(s i, p i ) = U i(t i, p i ) = U i(p ). Pokud by platilo U i (s i, p i ) > U i(t i, p i ), racionálně jednající hráč by se snažil zvýšit pravděpodobnost pi (s i) na úkor pi (t i). Důsledek Profil strategíı p je rovnovážné řešení ve smíšených strategíıch právě tehdy, pokud platí S(pi ) arg max U i (s i, p i), i N. s i S i 17
19 Test nosičů pro 2 hráče Tvrzení Necht T i S i pro i = 1, 2 a mějme systém lineárních nerovnic U 1 (s, p 2 ) U 1 (t, p 2 ), s S 1, t T 1, U 2 (p 1, s) U 2 (p 1, t), s S 2, t T 2, p i i, p i (t) > 0, t T i, p i (t) = 0, t / T i, i = 1, 2. (1) Pokud je (p1, p 2 ) řešením (1), potom je i rovnovážným řešením s nosiči S(pi ) = T i, i = 1, 2. Nemá-li (1) řešení, neexistuje rovnovážné řešení s nosiči T 1 a T 2. 18
20 Algoritmus generování nosičů pro 2 hráče Díky Nashově větě je výstupem následujícího algoritmu vždy jedno rovnovážné řešení hry 2 hráčů: Algoritmus 1. Vygeneruj T 1 S 1 a T 2 S Rozhodni, zda má systém (1) řešení pro T 1 a T 2 : ano konec, výstupem je nalezené řešení (p 1, p 2 ). ne přejdi na 1. Algoritmus vyžaduje otestovat nejvýše 2 S1 + S2 párů nosičů. Lemkeův-Howsonův algoritmus (1964) pro 2 hráče je založen na vhodně zorganizovaném testování všech možných nosičů. 19
21 Dominování strategíı Definice Strategie s i S i hráče i je striktně dominována pokud existuje strategie t i S i taková, že u i (s i, s i ) < u i (t i, s i ), s i S i. Racionálně jednající hráč nikdy nezvoĺı striktně dominovanou strategii. Striktně dominované strategie lze eliminovat v libovolném pořadí: c d e a 1, 0 1, 2 0, 1 b 0, 3 0, 1 2, 0 c d a 1, 0 1, 2 b 0, 3 0, 1 c d a 1, 0 1, 2 d a 1, 2 Ukážeme si obecnější výsledek pro dominování na smíšených strategíıch. 20
22 Dominování a rovnovážné řešení Tvrzení Pokud je čistá strategie s i S i hráče i N striktně dominována nějakou smíšenou strategíı p i i, potom pro každé rovnovážné řešení p ve smíšených strategíıch platí p i (s i) = 0. d e f a 6, 2 0, 6 4, 4 b 2, 12 4, 3 2, 5 c 0, 6 10, 0 2, 2 d e f a 6, 2 0, 6 4, 4 c 0, 6 10, 0 2, 2 d e a 6, 2 0, 6 c 0, 6 10, 0 1. b S 1 je striktně dominována strategíı p 1 (a) = p 1 (c) = f S 2 je striktně dominována strategíı p 2 (d) = 5 12, p 2(e) = Nemá čisté ekvilibrium, pomocí principu indiference získáme p 1 (a) = 3 5, p 1 (c) = 2 5, p 2 (d) = 5 8, p 2 (e) =
23 Hry dvou hráčů s nulovým součtem maticová formulace Podle věty o minimaxu existuje ve hře 2 hráčů (Alice a Bob) s nulovým součtem cena v = max min U 1 (p 1, s 2 ) = min max U 1 (s 1, p 2 ) s 2 S 2 p 2 2 s 1 S 1 p 1 1 a rovnovážné řešení (p 1, p 2 ) splňující min U 1 (p1, s 2 ) = v = max U 1 (s 1, p2 ). s 2 S 2 s 1 S 1 Značení pro zvolené očíslování strategíı z S 1 a S 2 A R m1 m2 je výplatní matice Alice x R m1 a y R m2 jsou smíšené strategie Alice a Boba (sloupcové) x T Ay je příslušná střední hodnota užitku Alice 22
24 Příklad ( ) 2 4 Výplatní matice pro Alici je A =, vektory smíšených strategíı pro 3 1 Alici a Boba jsou x = (x, 1 x) T a y = (y, 1 y) T. Užitek Alice ve smíšeném rozšíření hry je funkce [0, 1] 2 R, U(x, y) = x T Ay = 4xy + 3x + 2y + 1, x, y [0, 1]. 1 1 y 0 0 x 1 Sedlový bod je (x, y ) = ( 1 2, 3 4 ) a U(x, y ) = 5 2 = v. 23
25 Obecná formulace Pro smíšené rozšíření G = ({1, 2}, ( 1, 2 ), (U 1, U 2 )) hry G dvou hráčů s nulovým součtem se původní optimalizační úloha díky vztahu U 2 = U 1 zjednoduší na úlohu lineárního programování: Důsledek (Optimalizační formulace hledání rovnovážného řešení) Mějme úlohu s proměnnými p 1, p 2, π 1, π 2 : maximalizovat f (p 1, p 2, π 1, π 2 ) := π 1 π 2 za podmínek p 1 1, p 2 2, π 1, π 2 R, U 1 (p 1, s 2 ) π 2, s 2 S 2, U 1 (s 1, p 2 ) π 1, s 1 S 1. Potom je maximální hodnota funkce f rovna 0 a nabývá se právě na množině všech (p1, p 2, π 1, π 2 ), kde (p 1, p 2 ) je rovnovážné řešení hry G a π1 = π 2 = U 1(p1, p 2 ) je její cena. 24
26 Dvě úlohy lineárního programování Pro Alici (x 0, x 1,..., x m1 ) Pro Boba (y 0, x 1,..., y m2 ) maximalizovat x 0 za podmínek A T x 1x 0 0, m 1 i=1 x 0. x i = 1, minimalizovat y 0 za podmínek Ay 1y 0 0, m 2 i=1 y 0. y i = 1, Jde o dvojici duálních úloh lineárního programování. Označme optimální řešení (x 0, x ) a (y 0, y ). Díky dualitě platí x 0 = y 0 = v a (x, y ) je rovnovážné řešení. 25
27 Hry s nekonečným počtem strategíı problémy Uvažujme strategickou hru G = (N, (S i ) i N, (u i ) i N ), kde množiny strategíı S i mohou být nekonečné. Smíšenou strategii hráče i lze modelovat jako pravděpodobnostní míru P i na vhodně zvolené σ-algebře podmnožin množiny S i. Definujeme střední hodnotu výplaty hráče i jako Lebesgueův integrál U i (P 1,..., P n ) := u i d(p 1 P n ), P i i. S Přímočaré zobecnění Nashovy věty neexistuje. Mnoho her s nulovým součtem nemá řešení. Jeho existence závisí zejména na topologických předpokladech (kompaktnost S i a spojitost u i ). 26
28 Kdo vybere větší přirozené číslo? Wald (1945) ukázal, že ve hře 2 hráčů s nulovým součtem a nejvýše spočetnými prostory strategíı existuje cena ve smíšených strategíıch, jen pokud je alespoň jeden prostor strategíı konečný. Příklad Mějme hru dvou hráčů s nulovým součtem, S 1 = S 2 = N, u 1 (s 1, s 2 ) = sgn(s 1 s 2 ). Smíšená strategie p i i hráče i je pravděpodobnostní funkce p i : N [0, 1], tj. p i (k) = 1. k=1 Je snadné ukázat, že pro smíšené rozšíření této hry neexistuje cena: sup p 1 1 inf U 1 (p 1, p 2 ) = 1 < 1 = inf p 2 2 p 2 2 sup U 1 (p 1, p 2 ). p
Teorie her a ekonomické rozhodování. 2. Maticové hry
Teorie her a ekonomické rozhodování 2. Maticové hry 2.1 Maticová hra Teorie her = ekonomická vědní disciplína, která se zabývá studiem konfliktních situací pomocí matematických modelů Hra v normálním tvaru
Více3. ANTAGONISTICKÉ HRY
3. ANTAGONISTICKÉ HRY ANTAGONISTICKÝ KONFLIKT Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku,
VíceANTAGONISTICKE HRY 172
5 ANTAGONISTICKÉ HRY 172 Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku, jejíž výše nezávisí
VíceFIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody. Dualita. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
FIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody Dualita Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Michal Černý, 2011 FIT ČVUT, MI-LOM, M. Černý, 2011: Dualita 2/5 Dualita Evropský
VíceÚvod do teorie her. 6. Koaliční hry
Úvod do teorie her 6. Koaliční hry Tomáš Kroupa http://staff.utia.cas.cz/kroupa/ 2018 ÚTIA AV ČR Různé formy her Známé formy her jsou: rozvinutá, strategická, koaliční. Pro danou množinu hráčů N = {1,...,
VíceÚvod do teorie her
Úvod do teorie her. Formy her a rovnovážné řešení Tomáš Kroupa http://staff.utia.cas.cz/kroupa/ 208 ÚTIA AV ČR Program. Definujeme 2 základní formy pro studium různých her: rozvinutou, strategickou. 2.
VíceLineární programování
Lineární programování Petr Tichý 19. prosince 2012 1 Outline 1 Lineární programování 2 Optimalita a dualita 3 Geometrie úlohy 4 Simplexová metoda 2 Lineární programování Lineární program (1) min f(x) za
VíceTGH13 - Teorie her I.
TGH13 - Teorie her I. Jan Březina Technical University of Liberec 19. května 2015 Hra s bankéřem Máte právo sehrát s bankéřem hru: 1. hází se korunou dokud nepadne hlava 2. pokud hlava padne v hodu N,
VíceKOOPERATIVNI HRY DVOU HRA CˇU
8 KOOPERATIVNÍ HRY DVOU HRÁČŮ 291 V této kapitole se budeme zabývat situacemi, kdy hráči mohou před začátkem hry uzavřít závaznou dohodu o tom, jaké použijí strategie, vygenerovaný zisk si však nemohou
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování študenti MFF 15. augusta 2008 1 15 Základy lineárního programování Požadavky Simplexová metoda Věty o dualitě (bez důkazu)
VícePŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
Více1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
Více9. Vícerozměrná integrace
9. Vícerozměrná integrace Tomáš Salač Ú UK, FF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 1 / 29 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných
VíceOperační výzkum. Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry.
Operační výzkum Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty
VíceMatematika pro informatiky
(FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 1 / 1 Matematika pro informatiky Jaroslav Milota Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Letní semestr 2010/11 Extrémy funkce
VíceTHE: Smíšené Nashovo ekvilibrium ve strategických hrách (Mixed Nash Equilibria in Normal-Form Games)
THE: Smíšené Nashovo ekvilibrium ve strategických hrách (Mixed Nash Equilibria in Normal-Form Games) Brno University of Technology Brno Czech Republic October 9, 2014 Úvod Čerpáno z: Fudenberg, D., Tirole,
VíceOperační výzkum. Teorie her. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry.
Operační výzkum Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
Více10 Funkce více proměnných
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y
VíceDnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.
Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT,
VíceInterpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť
VíceTHE: Cournotův model oligopolu Existence Nashova ekvilibria
THE: Cournotův model oligopolu Existence Nashova ekvilibria Brno University of Technology Brno Czech Republic October 23, 2018 Úvod Čerpáno z: Fudenberg, D., Tirole, J.: Game Theory, The MIT Press, 1991
VíceNMAI059 Pravděpodobnost a statistika
NMAI059 Pravděpodobnost a statistika podle přednášky Daniela Hlubinky (hlubinka@karlin.mff.cuni.cz) zapsal Pavel Obdržálek (pobdr@matfyz.cz) 205/20 poslední změna: 4. prosince 205 . přednáška. 0. 205 )
VíceTeorie her a ekonomické rozhodování. 3. Dvoumaticové hry (Bimaticové hry)
Teorie her a ekonomické rozhodování 3. Dvoumaticové hry (Bimaticové hry) 3.1 Neantagonistický konflikt Hra v normálním tvaru hráči provedou jediné rozhodnutí a to všichni najednou v rozvinutém tvaru řada
VíceDefinice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:
Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé
VíceObecná úloha lineárního programování
Obecná úloha lineárního programování Úloha Maximalizovat hodnotu c T x (tzv. účelová funkce) za podmínek Ax b (tzv. omezující podmínky) kde A je daná reálná matice typu m n a c R n, b R m jsou dané reálné
Více19 Hilbertovy prostory
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem
VíceTOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 4. PREDNÁŠKA - SOUČIN PROSTORŮ A TICHONOVOVA VĚTA.
TOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 4. PREDNÁŠKA - SOUČIN PROSTORŮ A TICHONOVOVA VĚTA. PAVEL RŮŽIČKA 4.1. (Kvazi)kompaktnost a sub-báze. Buď (Q, ) uspořádaná množina. Řetězcem v Q budeme rozumět lineárně
VíceProjekty - Úvod do funkcionální analýzy
Projekty - Úvod do funkcionální analýzy Projekt č. 1. Nechť a, b R, a < b. Dokažte, že prostor C( a, b ) = f : R R: f je spojitá na D(f) = a, b s metrikou je úplný. ρ(f, g) = max f(x) g(x) x a,b Projekt
VíceINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Báze vektorových prostorů, transformace souřadnic Michal Botur Přednáška
Více9. Vícerozměrná integrace
9. Vícerozměrná integrace Aplikovaná matematika II, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2016/17 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných množin, M n, který má následující
Vícefakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.
Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceDokažte Větu 2(Minimax) ze třetího dílu seriálu pro libovolnou hru s nulovým součtem, ve kterémákaždýhráčnavýběrprávězedvoustrategií.
Teorie her º Ö ÐÓÚ Ö Ì ÖÑ Ò Ó Ð Ò º Ù Ò ¾¼½ ÐÓ ½º HráčIsitajněnapíšenapapírnějaképřirozenéčíslozrozmezíaž noznačmeho ivestejnou chvílisirovněžhráčiinapíšenapapírnějaképřirozenéčíslozrozmezíaž noznačmeho
VíceDoporučené příklady k Teorii množin, LS 2018/2019
Doporučené příklady k Teorii množin, LS 2018/2019 1. přednáška, 21. 2. 2019 1. Napište množina x je prázdná (přesněji množina x nemá žádné prvky ) formulí základního jazyka teorie množin. 2. Dokažte ((x
VícePŘEDNÁŠKA 5 Konjuktivně disjunktivní termy, konečné distributivní svazy
PŘEDNÁŠKA 5 Konjuktivně disjunktivní termy, konečné distributivní svazy PAVEL RŮŽIČKA Abstrakt. Ukážeme, že každý prvek distributivního svazu odpovídá termu v konjuktivně-disjunktivním (resp. disjunktivně-konjunktivním)
VíceLineární algebra : Lineární prostor
Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární
VíceTEORIE MÍRY V některých předchozích kapitolách jste se setkali s měřením velikostí množin a víte, jaké byly těžkosti s měřením množin i na reálné ose.
TEORIE MÍRY V některých předchozích kapitolách jste se setkali s měřením velikostí množin a víte, jaké byly těžkosti s měřením množin i na reálné ose. Kvůli těmto těžkostem se měření zúžilo jen na délku
VíceMETRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY
PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme
VíceTexty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25
Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
Více7 Konvexní množiny. min c T x. při splnění tzv. podmínek přípustnosti, tj. x = vyhovuje podmínkám: A x = b a x i 0 pro každé i n.
7 Konvexní množiny Motivace. Lineární programování (LP) řeší problém nalezení minima (resp. maxima) lineárního funkcionálu na jisté konvexní množině. Z bohaté škály úloh z této oblasti jmenujme alespoň
Víceπ i = π i (s 1,...,s N ) : i I S i R...výplatní funkcí i-tého hráče.
Definice. Hra (přesněji: konečná hra N-hráčů v normálním tvaru) je definována: I = {1,...,N}...množinou hráčů a dále pro každé i I: konečnou množinou S i (čistých) strategií i-tého hráče π i = π i (s 1,...,s
VíceKapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...
Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -
VíceProblém lineární komplementarity a kvadratické programování
Problém lineární komplementarity a kvadratické programování (stručný učební text 1 J. Rohn Univerzita Karlova Matematicko-fyzikální fakulta Verze: 17. 6. 2002 1 Sepsání tohoto textu bylo podpořeno Grantovou
VíceZadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
Více9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1
9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom
VíceTOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 3. PREDNÁŠKA - KOMPAKTNÍ PROSTORY.
TOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 3. PREDNÁŠKA - KOMPAKTNÍ PROSTORY. PAVEL RŮŽIČKA 3.1. Kompaktní prostory. Buď (X, τ) topologický prostor a Y X. Řekneme, že A τ je otevřené pokrytí množiny Y, je-li
VíceFREDHOLMOVA ALTERNATIVA
FREDHOLMOVA ALTERNATIVA Pavel Jirásek 1 Abstrakt. V tomto článku se snažíme shrnout dosavadní výsledky týkající se Fredholmovy alternativy (FA). Postupně zmíníme FA na prostorech konečné dimenze, FA pro
VíceDnešní látka: Literatura: Kapitoly 3 a 4 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.
Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení
VícePrimitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program
Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní
VíceDEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které
VíceIV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel
Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:
Vícei=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice
I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných
VíceLineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
Více12 HRY S NEÚPLNOU INFORMACÍ
12 HRY S NEÚPLNOU INFORMACÍ 543 Ne v každé hře mají všichni hráči úplné informace o výplatních funkcích ostatních. Ve skutečnosti je většina situací s informací neúplnou. Například: V aukcích zpravidla
VíceGreenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice
Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice Jan Tomeček Tento stručný text si klade za cíl co nejrychlejší uvedení do teorie Greenových funkcí pro obyčejné diferenciální
VíceDefinice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně
7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností
VíceOperační výzkum. Teorie her. Řešení maticových her převodem na úlohu LP.
Operační výzkum Řešení maticových her převodem na úlohu LP. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu
VíceMatematická analýza III.
1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )
VíceModely Herbrandovské interpretace
Modely Herbrandovské interpretace Petr Štěpánek S využitím materialu Krysztofa R. Apta 2006 Logické programování 8 1 Uvedli jsme termové interpretace a termové modely pro logické programy a také nejmenší
Více1 Determinanty a inverzní matice
Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého
VíceMatice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule.
Matice Definice. Maticí typu m n nazýváme obdélníkové pole, tvořené z m n reálných čísel (tzv. prvků matice), zapsaných v m řádcích a n sloupcích. Značíme např. A = (a ij ), kde i = 1,..., m, j = 1,...,
VíceK oddílu I.1 základní pojmy, normy, normované prostory
ÚVOD DO FUNKCIONÁLNÍ ANALÝZY PŘÍKLADY PRO POROZUMĚNÍ LÁTCE ZS 2015/2016 PŘÍKLADY KE KAPITOLE I K oddílu I1 základní pojmy, normy, normované prostory Příklad 1 Necht X je reálný vektorový prostor a : X
VíceMatematika 2 Úvod ZS09. KMA, PřF UP Olomouc. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 25
Matematika 2 Úvod Jiří Fišer KMA, PřF UP Olomouc ZS09 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 25 Studijní materiály web předmětu: aix-slx.upol.cz/ fiser St. Trávníček: Matematická analýza kag.upol.cz/travnicek/1-matan.
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika 1 Náhodné pokusy a náhodné jevy Činnostem, jejichž výsledek není jednoznačně určen podmínkami, za kterých probíhají, a které jsou (alespoň teoreticky) neomezeně opakovatelné,
Více6 Lineární geometrie. 6.1 Lineární variety
6 Lineární geometrie Motivace. Pojem lineární varieta, který budeme v této kapitole studovat z nejrůznějších úhlů pohledu, není žádnou umělou konstrukcí. Příkladem lineární variety je totiž množina řešení
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost
VíceNecht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
Více4. Topologické vlastnosti množiny reálných
Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině
VíceÚvod základy teorie zobrazení
Úvod základy teorie zobrazení V přednášce se budeme zabývat diferenciálním a integrálním počtem funkcí více proměnných. Přednáška navazuje na přednášku atematická analýza 1 z prvního semestru. Proto se
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
Více[1] Definice 1: Polynom je komplexní funkce p : C C, pro kterou. pro všechna x C. Čísla a 0, a 1,..., a n nazýváme koeficienty polynomu.
Polynomy Polynom je možno definovat dvěma způsoby: jako reálnou nebo komplexní funkci, jejichž hodnoty jsou dány jistým vzorcem, jako ten vzorec samotný. [1] První způsob zavedení polynomu BI-LIN, polynomy,
Vícee-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010
Optimální výrobní program Radka Zahradníková e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Obsah 1 Lineární programování 2 Simplexová metoda 3 Grafická metoda 4 Optimální výrobní program Řešení
Více1 Topologie roviny a prostoru
1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se
Více1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
Více5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
Vícep 2 q , tj. 2q 2 = p 2. Tedy p 2 je sudé číslo, což ale znamená, že
KAPITOLA 1: Reálná čísla [MA1-18:P1.1] 1.1. Číselné množiny Přirozená čísla... N = {1,, 3,...} nula... 0, N 0 = {0, 1,, 3,...} = N {0} Celá čísla... Z = {0, 1, 1,,, 3,...} Racionální čísla... { p } Q =
VíceČetba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).
Předmět: MA 4 Dnešní látka Lineární (vektorový) prostor Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:
Více5 Orientované grafy, Toky v sítích
Petr Hliněný, FI MU Brno, 205 / 9 FI: IB000: Toky v sítích 5 Orientované grafy, Toky v sítích Nyní se budeme zabývat typem sít ových úloh, ve kterých není podstatná délka hran a spojení, nýbž jejich propustnost
Více{Q={1,2};S,T;u(s,t)} (3.3) Prorovnovážnéstrategie s,t vehřesnulovýmsoučtemmusíplatit:
3 ANTAGONISTICKÉ HRY 3. ANTAGONISTICKÝ KONFLIKT Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku,
VíceTeorie her a ekonomické rozhodování. 8. Vyjednávací hry
Teorie her a ekonomické rozhodování 8. Vyjednávací hry 8. Vyjednávání Teorie her Věda o řešení konfliktů Ale také věda o hledání vzájemně výhodné spolupráce Teorie vyjednávání Odvětví teorie her dohoda
VícePosloupnosti a jejich konvergence
a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace, integrály.
Více1 Lineární prostory a podprostory
Lineární prostory a podprostory Přečtěte si: Učebnice AKLA, kapitola první, podkapitoly. až.4 včetně. Cvičení. Které z následujících množin jsou lineárními prostory s přirozenými definicemi operací?. C
VíceLineární algebra : Změna báze
Lineární algebra : Změna báze (13. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 8. dubna 2014, 10:47 1 2 13.1 Matice přechodu Definice 1. Nechť X = (x 1,..., x n ) a Y = (y 1,...,
VíceMnožinu všech slov nad abecedou Σ značíme Σ * Množinu všech neprázdných slov Σ + Jazyk nad abecedou Σ je libovolná množina slov nad Σ
Abecedou se rozumí libovolná konečná množina Σ. Prvky abecedy nazýváme znaky (symboly) Slovo (řetězec) v nad abecedou Σ je libovolná konečná posloupnost znaků této abecedy. Prázdné posloupnosti znaků odpovídá
VíceÚlohy nejmenších čtverců
Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.
Více1. Posloupnosti čísel
1. Posloupnosti čísel 1.1. Posloupnosti a operace s nimi Definice 1.1 Posloupnost reálných čísel ( = reálná posloupnost ) je zobrazení, jehož definičním oborem je množina N a oborem hodnot je nějaká podmnožina
VíceFakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR
DEN: ODR teoreticky: soustavy rovnic Soustava lineárních ODR 1 řádu s konstantními koeficienty je soustava ve tvaru y 1 = a 11 y 1 + a 12 y 2 + + a 1n y n + b 1 (x) y 2 = a 21 y 1 + a 22 y 2 + + a 2n y
Vícei=1 λ ix i,λ i T,x i M}.Množinuvektorů
Velké prostory Anička Doležalová Abstrakt. Budeme si hrát s vektorovými prostory, které mají nekonečnou dimenzi. Cílemjesijetrochuosahatazískatzákladníintuici.Ktomunámposloužíhlavně prostory posloupností.
VíceStochastická dominance a optimalita portfolií
Dopravní fakulta ČVUT 2010 Obsah 1 Stochastická dominance 2 Zavedení pojmů Dosavadní výsledky 3 4 Portfolia optimální vzhledem k exponenciálním užitkovým funkcím Předpoklady Konvexita množiny optimálních
VíceMatematika 1 Jiˇr ı Fiˇser 19. z aˇr ı 2016 Jiˇr ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc) KMA MAT1 19. z aˇr ı / 19
Matematika 1 Jiří Fišer 19. září 2016 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 19. září 2016 1 / 19 Zimní semestr KMA MAT1 1 Úprava algebraických výrazů. Číselné obory. 2 Kombinatorika, základy teorie
VíceZáklady matematické analýzy
Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VíceLineární algebra : Polynomy
Lineární algebra : Polynomy (2. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 15. dubna 2014, 11:21 1 2 2.1 Značení a těleso komplexních čísel Značení N := {1, 2, 3... }... množina
VíceTeorie her a ekonomické rozhodování 5. Opakované hry
Teorie her a ekonomické rozhodování 5. Opakované hry (chybějící či chybná indexace ve skriptech) 5.1 Opakovaná hra Hra až dosud hráči hráli hru jen jednou v reálu se konflikty neustále opakují (firmy nabízí
VíceÚvod do teorie her. David Bartl, Lenka Ploháková
Úvod do teorie her David Bartl, Lenka Ploháková Abstrakt Předložený text Úvod do teorie her pokrývá čtyři nejdůležitější, vybrané kapitoly z této oblasti. Nejprve je čtenář seznámen s předmětem studia
VíceALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)
VíceLimita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné
Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé
VíceÚVOD DO TEORIE HER MGR. LENKA PLOHÁKOVÁ RNDR. DAVID BARTL, PH.D.
ÚVOD DO TEORIE HER MGR. LENKA PLOHÁKOVÁ RNDR. DAVID BARTL, PH.D. ČÍSLO OPERAČNÍHO PROGRAMU: CZ.1.07 NÁZEV OPERAČNÍHO PROGRAMU: OP VZDĚLÁVÁNÍ PRO KONKURENCESCHOPNOST ČÍSLO OBLASTI PODPORY: ZVYŠOVÁNÍ ODBORNÝCH
Více1 Vektorové prostory.
1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které
Více1 Soustavy lineárních rovnic
1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem
Více