Úvod do teorie her

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Úvod do teorie her"

Transkript

1 Úvod do teorie her 2. Garanční řešení, hry s nulovým součtem a smíšené strategie Tomáš Kroupa ÚTIA AV ČR

2 Program 1. Zavedeme řešení, které zabezpečuje minimální výplatu dosažitelnou jednotlivými hráči. 2. Budeme studovat důležitou třídu her 2 hráčů s nulovým součtem. 3. Ukážeme si vztah garančního a Nashova rovnovážného řešení. 4. Smíšené strategie, Nashova věta a hledání rovnovážného řešení. 1

3 Příklad - hra s nerobustní rovnováhou Bob d e a 2, 1 2, 20 Alice b 3, 0 10, 1 c 100, 2 3, 3 Rovnovážný bod je (c, e). Pokud Alice nevěří, že Bob bude vybírat svou strategii v souladu s Nashovým ekvilibriem, může váhat, zda výběr c je racionální: pokud by Bob zvolil strategii d, utrpěla by totiž ztrátu 100. Alice tak bude preferovat strategii a, která zaručuje výplatu 2. Bob, je-li si vědom váhání Alice, zvoĺı raději strategii d. V čem je profil strategíı (a, d) význačný? 2

4 Maximin a minimax ve strategické hře G Předpokládejme, že všechna max a min ve výrazech existují. Pokud hráč i hraje podle strategie s i, jeho minimální výplata je Λ i (s i ) := min u i (s i, s i ). s i S i Nehledě na volby strategíı všech ostatních hráčů si tak může vždy zajistit výplatu alespoň v i := max s i S i Λ i (s i ). Voĺı-li ostatní hráči strategii s i S i, maximální výplata hráče i je Λ i (s i ) := max s i S i u i (s i, s i ). Nehledě na volbu strategie hráče i tak mohou ostatní hráči ze shora omezit výplatu hráče i hodnotou v i := min Λ i (s i ). s i S i 3

5 Garanční řešení Pozorování Pro každou strategickou hru G platí v i v i. Definice Strategie s i S i hráče i se nazývá garanční (maximinová), pokud platí u i (s i, s i ) v i pro všechna s i S i. d e a 2, 1 2, 20 b 3, 0 10, 1 c 100, 2 3, 3 v 1 = 2, v 1 = 3, v 2 = 0, v 2 = 1 Jediné garanční řešení je (a, d). 4

6 Garanční a Nashovo rovnovážné řešení Pozorování Necht G je strategická hra. Má-li každý hráč i strategii s i takovou, že u i (s i, s i ) u i (t i, s i ), t i S i, s i S i, pak je profil strategíı (s i ) i N garanční a rovnovážné řešení hry G. Tvrzení Necht s rovnovážné řešení hry G. Pak u i (s ) v i pro každé i N. Obecně není mezi garančním a rovnovážným řešením žádný vztah. Ukazuje se však, že obě splývají pro hry s nulovým součtem. 5

7 Antagonistická situace Definice Hra 2 hráčů s nulovým součtem je strategická hra G = ({1, 2}, (S 1, S 2 ), (u 1, u 2 )), kde u 1 (s 1, s 2 ) + u 2 (s 1, s 2 ) = 0, pro každé (s 1, s 2 ) S = S 1 S 2. Ve hře 2 hráčů s nulovým součtem stačí uvažovat výplatní funkci u 1. Matching Pennies Matice znázorňuje hodnoty u 1 (s 1, s 2 ):

8 Cena hry G dvou hráčů s nulovým součtem Klademe Λ(s 1 ) := Λ 1 (s 1 ) = min s 2 S 2 u 1 (s 1, s 2 ), Λ(s 2 ) := Λ 1 (s 2 ) = max s 1 S 1 u 1 (s 1, s 2 ), v := v 1 = max s 1 S 1 Λ(s 1 ), a nazýváme v dolní cenou a v horní cenou hry G. v := v 1 = min s 2 S 2 Λ(s 2 ) Hráč 1 nemůže získat více než mu hráč 2 může vyplatit: v v Definice Ve hře G existuje cena pokud v = v. Definujeme v := v = v a dále: Strategie s 1 je optimální pro hráče 1, pokud Λ(s 1 ) = v. Strategie s 2 je optimální pro hráče 2, pokud Λ(s 2 ) = v. 7

9 Cena hry: příklady Příklad d e f a b c Platí v = 1 = v. Dvojice optimálních strategíı je (b, f ). Matching Pennies Platí v = 1 < 1 = v. Cena hry neexistuje. 8

10 Rovnovážné řešení pro hry s nulovým součtem Pozorování Necht G = ({1, 2}, (S 1, S 2 ), (u 1, u 2 )) je hra dvou hráčů s nulovým součtem a (s 1, s 2 ) S 1 S 2 je profil strategíı. Následující tvrzení jsou ekvivalentní: (s1, s 2 ) je rovnovážné řešení hry G. (s 1, s 2 ) je sedlovým bodem funkce u 1, tj. pro každé s 1 S 1 a s 2 S 2 platí u 1 (s 1, s 2 ) u 1 (s 1, s 2 ) u 1 (s 1, s 2 ). 9

11 Garanční a rovnovážné řešení pro hry s nulovým součtem Věta Necht G = ({1, 2}, (S 1, S 2 ), (u 1, u 2 )) je hra dvou hráčů s nulovým součtem a mějme (s 1, s 2 ) S. Má-li hra cenu v a jsou-li s1 a s 2 jsou optimální strategie, potom je (s1, s 2 ) rovnovážné řešení. Pokud je (s1, s 2 ) je rovnovážné řešení, pak má hra cenu v a obě strategie s1 a s 2 jsou optimální. Pokud je splněna libovolná z podmínek výše, platí navíc v = u 1 (s 1, s 2 ). Velmi jednoduché strategické hry s nulovým součtem však nemají rovnovážné řešení. Je třeba zobecnit pojem strategie. 10

12 Smíšené strategie Předpokládejme, že G = (N, (S i ) i N, (u i ) i N ) je strategická hra n hráčů s neprázdnými konečnými prostory strategíı Definice S i = {s 1 i,..., s m i i }, i N, m i N. Smíšená strategie hráče i je pravděpodobnostní funkce p i na S i. Platí-li p i (s i ) = 1 pro nějaké s i S i, říkáme, že p i je čistá strategie. Množina smíšených strategíı hráče i tvoří (m i 1)-rozměrný simplex i v R m i : i := { p i : S i [0, 1] p i (s 1 1 ) +... p i (s m i i ) = 1 }. Množina strategíı S i je ztotožněna s množinou extremálních bodů i prostřednictvím čistých strategíı (=standardní báze v R m i ). 11

13 Smíšené rozšíření Definice Necht G = (N, (S i ) i N, (u i ) i N ) je strategická hra s konečnými neprázdnými prostory strategíı a S := S 1 S n. Smíšené rozšíření hry G je strategická hra G = (N, ( i ) i N, (U i ) i N ), kde výplatní funkce hráče i je U i (p) := u i (s 1,..., s n ) p 1 (s 1 ) p n (s n ), (s 1,...,s n) S pro p = (p 1,..., p n ) := 1 n. Rovnovážné řešení hry G nazveme rovnovážným řešením hry G ve smíšených strategíıch. 12

14 Smíšené rozšíření - vlastnosti Jelikož jsou množiny S i konečné, všechny prostory smíšených strategíı i i jsou kompaktní konvexní množiny v nějakém Eukleidovském prostoru. Výplatní funkce U i je spojitá a multiafinní, tj. pro každé p i i a všechna α [0, 1], p i, q i S i, platí U i (αp i + (1 α)q i, p i ) = α U i (p i, p i ) + (1 α) U i (q i, p i ). Test rovnováhy pomocí čistých strategíı Necht p = (p i ) i N. Následující tvrzení jsou ekvivalentní: p je rovnovážné řešení hry G ve smíšených strategíıch. Pro každého hráče i a každou čistou strategii p i i platí U i (p ) U i (p i, p i ). 13

15 Existence řešení konečných strategických her Nashova věta (1951) Každá strategická hra s n hráči a konečnými prostory strategíı má rovnovážné řešení ve smíšených strategíıch. Důkaz je nekonstruktivní, využívá Brouwerovu větu o pevném bodě. Jako důsledek dostaneme základní větu pro maticové hry. von Neumannova věta o minimaxu (1928) Necht G je strategická hra 2 hráčů s nulovým součtem a konečnými prostory strategíı. Potom existuje cena pro smíšené rozšíření G hry G. 14

16 Hledání rovnovážného řešení poznámky Struktura rovnovážných řešení je komplikovaná (Datta; 2003): Každá reálná algebraická varieta je izomorfní s množinou úplně smíšených rovnovážných řešení hry s konečnými prostory strategíı. Složitost (Daskalakis, Goldberg, Papadimitriou; 2006): Úloha hledání rovnovážného řešení je PPAD-úplná. Klasické omezení: hra 2 hráčů s nulovým součtem. Není jasné, jak postupovat v případě nekonečných množin S i. Ukážeme si obecnou formulaci problému, důležité speciální případy i teoretické nástroje, které mohou hledání usnadnit. 15

17 Hledání rovnovážného řešení nekonvexní optimalizační úloha Uvažujme smíšené rozšíření G = (N, ( i ) i N, (U i ) i N ) strategické hry G. Optimalizační formulace hledání rovnovážného řešení Mějme úlohu s proměnnými p = (p 1,..., p n ) a π 1,..., π n : maximalizovat f (p, π 1,..., π n ) := i (p) π i ) i N(U za podmínek p i i, π i R, i N, U i (s i, p i ) π i, i N, s i S i. Potom je maximální hodnota funkce f rovna 0 a nabývá se právě na množině všech p a π 1,..., π n R, kde p je rovnovážné řešení hry G a π i = U i (p ), i N. 16

18 Princip indiference a jeho aplikace Nosič smíšené strategie p i i hráče i je S(p i ) := {s i S i p i (s i ) > 0}. Tvrzení Bud p rovnovážné řešení strategické hry ve smíšených strategíıch a i N. Platí-li s i, t i S(p i ), potom U i(s i, p i ) = U i(t i, p i ) = U i(p ). Pokud by platilo U i (s i, p i ) > U i(t i, p i ), racionálně jednající hráč by se snažil zvýšit pravděpodobnost pi (s i) na úkor pi (t i). Důsledek Profil strategíı p je rovnovážné řešení ve smíšených strategíıch právě tehdy, pokud platí S(pi ) arg max U i (s i, p i), i N. s i S i 17

19 Test nosičů pro 2 hráče Tvrzení Necht T i S i pro i = 1, 2 a mějme systém lineárních nerovnic U 1 (s, p 2 ) U 1 (t, p 2 ), s S 1, t T 1, U 2 (p 1, s) U 2 (p 1, t), s S 2, t T 2, p i i, p i (t) > 0, t T i, p i (t) = 0, t / T i, i = 1, 2. (1) Pokud je (p1, p 2 ) řešením (1), potom je i rovnovážným řešením s nosiči S(pi ) = T i, i = 1, 2. Nemá-li (1) řešení, neexistuje rovnovážné řešení s nosiči T 1 a T 2. 18

20 Algoritmus generování nosičů pro 2 hráče Díky Nashově větě je výstupem následujícího algoritmu vždy jedno rovnovážné řešení hry 2 hráčů: Algoritmus 1. Vygeneruj T 1 S 1 a T 2 S Rozhodni, zda má systém (1) řešení pro T 1 a T 2 : ano konec, výstupem je nalezené řešení (p 1, p 2 ). ne přejdi na 1. Algoritmus vyžaduje otestovat nejvýše 2 S1 + S2 párů nosičů. Lemkeův-Howsonův algoritmus (1964) pro 2 hráče je založen na vhodně zorganizovaném testování všech možných nosičů. 19

21 Dominování strategíı Definice Strategie s i S i hráče i je striktně dominována pokud existuje strategie t i S i taková, že u i (s i, s i ) < u i (t i, s i ), s i S i. Racionálně jednající hráč nikdy nezvoĺı striktně dominovanou strategii. Striktně dominované strategie lze eliminovat v libovolném pořadí: c d e a 1, 0 1, 2 0, 1 b 0, 3 0, 1 2, 0 c d a 1, 0 1, 2 b 0, 3 0, 1 c d a 1, 0 1, 2 d a 1, 2 Ukážeme si obecnější výsledek pro dominování na smíšených strategíıch. 20

22 Dominování a rovnovážné řešení Tvrzení Pokud je čistá strategie s i S i hráče i N striktně dominována nějakou smíšenou strategíı p i i, potom pro každé rovnovážné řešení p ve smíšených strategíıch platí p i (s i) = 0. d e f a 6, 2 0, 6 4, 4 b 2, 12 4, 3 2, 5 c 0, 6 10, 0 2, 2 d e f a 6, 2 0, 6 4, 4 c 0, 6 10, 0 2, 2 d e a 6, 2 0, 6 c 0, 6 10, 0 1. b S 1 je striktně dominována strategíı p 1 (a) = p 1 (c) = f S 2 je striktně dominována strategíı p 2 (d) = 5 12, p 2(e) = Nemá čisté ekvilibrium, pomocí principu indiference získáme p 1 (a) = 3 5, p 1 (c) = 2 5, p 2 (d) = 5 8, p 2 (e) =

23 Hry dvou hráčů s nulovým součtem maticová formulace Podle věty o minimaxu existuje ve hře 2 hráčů (Alice a Bob) s nulovým součtem cena v = max min U 1 (p 1, s 2 ) = min max U 1 (s 1, p 2 ) s 2 S 2 p 2 2 s 1 S 1 p 1 1 a rovnovážné řešení (p 1, p 2 ) splňující min U 1 (p1, s 2 ) = v = max U 1 (s 1, p2 ). s 2 S 2 s 1 S 1 Značení pro zvolené očíslování strategíı z S 1 a S 2 A R m1 m2 je výplatní matice Alice x R m1 a y R m2 jsou smíšené strategie Alice a Boba (sloupcové) x T Ay je příslušná střední hodnota užitku Alice 22

24 Příklad ( ) 2 4 Výplatní matice pro Alici je A =, vektory smíšených strategíı pro 3 1 Alici a Boba jsou x = (x, 1 x) T a y = (y, 1 y) T. Užitek Alice ve smíšeném rozšíření hry je funkce [0, 1] 2 R, U(x, y) = x T Ay = 4xy + 3x + 2y + 1, x, y [0, 1]. 1 1 y 0 0 x 1 Sedlový bod je (x, y ) = ( 1 2, 3 4 ) a U(x, y ) = 5 2 = v. 23

25 Obecná formulace Pro smíšené rozšíření G = ({1, 2}, ( 1, 2 ), (U 1, U 2 )) hry G dvou hráčů s nulovým součtem se původní optimalizační úloha díky vztahu U 2 = U 1 zjednoduší na úlohu lineárního programování: Důsledek (Optimalizační formulace hledání rovnovážného řešení) Mějme úlohu s proměnnými p 1, p 2, π 1, π 2 : maximalizovat f (p 1, p 2, π 1, π 2 ) := π 1 π 2 za podmínek p 1 1, p 2 2, π 1, π 2 R, U 1 (p 1, s 2 ) π 2, s 2 S 2, U 1 (s 1, p 2 ) π 1, s 1 S 1. Potom je maximální hodnota funkce f rovna 0 a nabývá se právě na množině všech (p1, p 2, π 1, π 2 ), kde (p 1, p 2 ) je rovnovážné řešení hry G a π1 = π 2 = U 1(p1, p 2 ) je její cena. 24

26 Dvě úlohy lineárního programování Pro Alici (x 0, x 1,..., x m1 ) Pro Boba (y 0, x 1,..., y m2 ) maximalizovat x 0 za podmínek A T x 1x 0 0, m 1 i=1 x 0. x i = 1, minimalizovat y 0 za podmínek Ay 1y 0 0, m 2 i=1 y 0. y i = 1, Jde o dvojici duálních úloh lineárního programování. Označme optimální řešení (x 0, x ) a (y 0, y ). Díky dualitě platí x 0 = y 0 = v a (x, y ) je rovnovážné řešení. 25

27 Hry s nekonečným počtem strategíı problémy Uvažujme strategickou hru G = (N, (S i ) i N, (u i ) i N ), kde množiny strategíı S i mohou být nekonečné. Smíšenou strategii hráče i lze modelovat jako pravděpodobnostní míru P i na vhodně zvolené σ-algebře podmnožin množiny S i. Definujeme střední hodnotu výplaty hráče i jako Lebesgueův integrál U i (P 1,..., P n ) := u i d(p 1 P n ), P i i. S Přímočaré zobecnění Nashovy věty neexistuje. Mnoho her s nulovým součtem nemá řešení. Jeho existence závisí zejména na topologických předpokladech (kompaktnost S i a spojitost u i ). 26

28 Kdo vybere větší přirozené číslo? Wald (1945) ukázal, že ve hře 2 hráčů s nulovým součtem a nejvýše spočetnými prostory strategíı existuje cena ve smíšených strategíıch, jen pokud je alespoň jeden prostor strategíı konečný. Příklad Mějme hru dvou hráčů s nulovým součtem, S 1 = S 2 = N, u 1 (s 1, s 2 ) = sgn(s 1 s 2 ). Smíšená strategie p i i hráče i je pravděpodobnostní funkce p i : N [0, 1], tj. p i (k) = 1. k=1 Je snadné ukázat, že pro smíšené rozšíření této hry neexistuje cena: sup p 1 1 inf U 1 (p 1, p 2 ) = 1 < 1 = inf p 2 2 p 2 2 sup U 1 (p 1, p 2 ). p

Teorie her a ekonomické rozhodování. 2. Maticové hry

Teorie her a ekonomické rozhodování. 2. Maticové hry Teorie her a ekonomické rozhodování 2. Maticové hry 2.1 Maticová hra Teorie her = ekonomická vědní disciplína, která se zabývá studiem konfliktních situací pomocí matematických modelů Hra v normálním tvaru

Více

3. ANTAGONISTICKÉ HRY

3. ANTAGONISTICKÉ HRY 3. ANTAGONISTICKÉ HRY ANTAGONISTICKÝ KONFLIKT Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku,

Více

ANTAGONISTICKE HRY 172

ANTAGONISTICKE HRY 172 5 ANTAGONISTICKÉ HRY 172 Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku, jejíž výše nezávisí

Více

FIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody. Dualita. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

FIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody. Dualita. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti FIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody Dualita Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Michal Černý, 2011 FIT ČVUT, MI-LOM, M. Černý, 2011: Dualita 2/5 Dualita Evropský

Více

Úvod do teorie her. 6. Koaliční hry

Úvod do teorie her. 6. Koaliční hry Úvod do teorie her 6. Koaliční hry Tomáš Kroupa http://staff.utia.cas.cz/kroupa/ 2018 ÚTIA AV ČR Různé formy her Známé formy her jsou: rozvinutá, strategická, koaliční. Pro danou množinu hráčů N = {1,...,

Více

Úvod do teorie her

Úvod do teorie her Úvod do teorie her. Formy her a rovnovážné řešení Tomáš Kroupa http://staff.utia.cas.cz/kroupa/ 208 ÚTIA AV ČR Program. Definujeme 2 základní formy pro studium různých her: rozvinutou, strategickou. 2.

Více

Lineární programování

Lineární programování Lineární programování Petr Tichý 19. prosince 2012 1 Outline 1 Lineární programování 2 Optimalita a dualita 3 Geometrie úlohy 4 Simplexová metoda 2 Lineární programování Lineární program (1) min f(x) za

Více

TGH13 - Teorie her I.

TGH13 - Teorie her I. TGH13 - Teorie her I. Jan Březina Technical University of Liberec 19. května 2015 Hra s bankéřem Máte právo sehrát s bankéřem hru: 1. hází se korunou dokud nepadne hlava 2. pokud hlava padne v hodu N,

Více

KOOPERATIVNI HRY DVOU HRA CˇU

KOOPERATIVNI HRY DVOU HRA CˇU 8 KOOPERATIVNÍ HRY DVOU HRÁČŮ 291 V této kapitole se budeme zabývat situacemi, kdy hráči mohou před začátkem hry uzavřít závaznou dohodu o tom, jaké použijí strategie, vygenerovaný zisk si však nemohou

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování študenti MFF 15. augusta 2008 1 15 Základy lineárního programování Požadavky Simplexová metoda Věty o dualitě (bez důkazu)

Více

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

9. Vícerozměrná integrace

9. Vícerozměrná integrace 9. Vícerozměrná integrace Tomáš Salač Ú UK, FF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 1 / 29 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných

Více

Operační výzkum. Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry.

Operační výzkum. Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační výzkum Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty

Více

Matematika pro informatiky

Matematika pro informatiky (FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 1 / 1 Matematika pro informatiky Jaroslav Milota Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Letní semestr 2010/11 Extrémy funkce

Více

THE: Smíšené Nashovo ekvilibrium ve strategických hrách (Mixed Nash Equilibria in Normal-Form Games)

THE: Smíšené Nashovo ekvilibrium ve strategických hrách (Mixed Nash Equilibria in Normal-Form Games) THE: Smíšené Nashovo ekvilibrium ve strategických hrách (Mixed Nash Equilibria in Normal-Form Games) Brno University of Technology Brno Czech Republic October 9, 2014 Úvod Čerpáno z: Fudenberg, D., Tirole,

Více

Operační výzkum. Teorie her. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry.

Operační výzkum. Teorie her. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační výzkum Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

10 Funkce více proměnných

10 Funkce více proměnných M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y

Více

Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.

Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT,

Více

Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura

Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť

Více

THE: Cournotův model oligopolu Existence Nashova ekvilibria

THE: Cournotův model oligopolu Existence Nashova ekvilibria THE: Cournotův model oligopolu Existence Nashova ekvilibria Brno University of Technology Brno Czech Republic October 23, 2018 Úvod Čerpáno z: Fudenberg, D., Tirole, J.: Game Theory, The MIT Press, 1991

Více

NMAI059 Pravděpodobnost a statistika

NMAI059 Pravděpodobnost a statistika NMAI059 Pravděpodobnost a statistika podle přednášky Daniela Hlubinky (hlubinka@karlin.mff.cuni.cz) zapsal Pavel Obdržálek (pobdr@matfyz.cz) 205/20 poslední změna: 4. prosince 205 . přednáška. 0. 205 )

Více

Teorie her a ekonomické rozhodování. 3. Dvoumaticové hry (Bimaticové hry)

Teorie her a ekonomické rozhodování. 3. Dvoumaticové hry (Bimaticové hry) Teorie her a ekonomické rozhodování 3. Dvoumaticové hry (Bimaticové hry) 3.1 Neantagonistický konflikt Hra v normálním tvaru hráči provedou jediné rozhodnutí a to všichni najednou v rozvinutém tvaru řada

Více

Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:

Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé

Více

Obecná úloha lineárního programování

Obecná úloha lineárního programování Obecná úloha lineárního programování Úloha Maximalizovat hodnotu c T x (tzv. účelová funkce) za podmínek Ax b (tzv. omezující podmínky) kde A je daná reálná matice typu m n a c R n, b R m jsou dané reálné

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

TOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 4. PREDNÁŠKA - SOUČIN PROSTORŮ A TICHONOVOVA VĚTA.

TOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 4. PREDNÁŠKA - SOUČIN PROSTORŮ A TICHONOVOVA VĚTA. TOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 4. PREDNÁŠKA - SOUČIN PROSTORŮ A TICHONOVOVA VĚTA. PAVEL RŮŽIČKA 4.1. (Kvazi)kompaktnost a sub-báze. Buď (Q, ) uspořádaná množina. Řetězcem v Q budeme rozumět lineárně

Více

Projekty - Úvod do funkcionální analýzy

Projekty - Úvod do funkcionální analýzy Projekty - Úvod do funkcionální analýzy Projekt č. 1. Nechť a, b R, a < b. Dokažte, že prostor C( a, b ) = f : R R: f je spojitá na D(f) = a, b s metrikou je úplný. ρ(f, g) = max f(x) g(x) x a,b Projekt

Více

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28. INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Báze vektorových prostorů, transformace souřadnic Michal Botur Přednáška

Více

9. Vícerozměrná integrace

9. Vícerozměrná integrace 9. Vícerozměrná integrace Aplikovaná matematika II, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2016/17 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných množin, M n, který má následující

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Dokažte Větu 2(Minimax) ze třetího dílu seriálu pro libovolnou hru s nulovým součtem, ve kterémákaždýhráčnavýběrprávězedvoustrategií.

Dokažte Větu 2(Minimax) ze třetího dílu seriálu pro libovolnou hru s nulovým součtem, ve kterémákaždýhráčnavýběrprávězedvoustrategií. Teorie her º Ö ÐÓÚ Ö Ì ÖÑ Ò Ó Ð Ò º Ù Ò ¾¼½ ÐÓ ½º HráčIsitajněnapíšenapapírnějaképřirozenéčíslozrozmezíaž noznačmeho ivestejnou chvílisirovněžhráčiinapíšenapapírnějaképřirozenéčíslozrozmezíaž noznačmeho

Více

Doporučené příklady k Teorii množin, LS 2018/2019

Doporučené příklady k Teorii množin, LS 2018/2019 Doporučené příklady k Teorii množin, LS 2018/2019 1. přednáška, 21. 2. 2019 1. Napište množina x je prázdná (přesněji množina x nemá žádné prvky ) formulí základního jazyka teorie množin. 2. Dokažte ((x

Více

PŘEDNÁŠKA 5 Konjuktivně disjunktivní termy, konečné distributivní svazy

PŘEDNÁŠKA 5 Konjuktivně disjunktivní termy, konečné distributivní svazy PŘEDNÁŠKA 5 Konjuktivně disjunktivní termy, konečné distributivní svazy PAVEL RŮŽIČKA Abstrakt. Ukážeme, že každý prvek distributivního svazu odpovídá termu v konjuktivně-disjunktivním (resp. disjunktivně-konjunktivním)

Více

Lineární algebra : Lineární prostor

Lineární algebra : Lineární prostor Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární

Více

TEORIE MÍRY V některých předchozích kapitolách jste se setkali s měřením velikostí množin a víte, jaké byly těžkosti s měřením množin i na reálné ose.

TEORIE MÍRY V některých předchozích kapitolách jste se setkali s měřením velikostí množin a víte, jaké byly těžkosti s měřením množin i na reálné ose. TEORIE MÍRY V některých předchozích kapitolách jste se setkali s měřením velikostí množin a víte, jaké byly těžkosti s měřením množin i na reálné ose. Kvůli těmto těžkostem se měření zúžilo jen na délku

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25 Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

7 Konvexní množiny. min c T x. při splnění tzv. podmínek přípustnosti, tj. x = vyhovuje podmínkám: A x = b a x i 0 pro každé i n.

7 Konvexní množiny. min c T x. při splnění tzv. podmínek přípustnosti, tj. x = vyhovuje podmínkám: A x = b a x i 0 pro každé i n. 7 Konvexní množiny Motivace. Lineární programování (LP) řeší problém nalezení minima (resp. maxima) lineárního funkcionálu na jisté konvexní množině. Z bohaté škály úloh z této oblasti jmenujme alespoň

Více

π i = π i (s 1,...,s N ) : i I S i R...výplatní funkcí i-tého hráče.

π i = π i (s 1,...,s N ) : i I S i R...výplatní funkcí i-tého hráče. Definice. Hra (přesněji: konečná hra N-hráčů v normálním tvaru) je definována: I = {1,...,N}...množinou hráčů a dále pro každé i I: konečnou množinou S i (čistých) strategií i-tého hráče π i = π i (s 1,...,s

Více

Kapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...

Kapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R... Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -

Více

Problém lineární komplementarity a kvadratické programování

Problém lineární komplementarity a kvadratické programování Problém lineární komplementarity a kvadratické programování (stručný učební text 1 J. Rohn Univerzita Karlova Matematicko-fyzikální fakulta Verze: 17. 6. 2002 1 Sepsání tohoto textu bylo podpořeno Grantovou

Více

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014 Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia

Více

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1 9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom

Více

TOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 3. PREDNÁŠKA - KOMPAKTNÍ PROSTORY.

TOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 3. PREDNÁŠKA - KOMPAKTNÍ PROSTORY. TOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 3. PREDNÁŠKA - KOMPAKTNÍ PROSTORY. PAVEL RŮŽIČKA 3.1. Kompaktní prostory. Buď (X, τ) topologický prostor a Y X. Řekneme, že A τ je otevřené pokrytí množiny Y, je-li

Více

FREDHOLMOVA ALTERNATIVA

FREDHOLMOVA ALTERNATIVA FREDHOLMOVA ALTERNATIVA Pavel Jirásek 1 Abstrakt. V tomto článku se snažíme shrnout dosavadní výsledky týkající se Fredholmovy alternativy (FA). Postupně zmíníme FA na prostorech konečné dimenze, FA pro

Více

Dnešní látka: Literatura: Kapitoly 3 a 4 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.

Dnešní látka: Literatura: Kapitoly 3 a 4 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího. Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení

Více

Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program

Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní

Více

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které

Více

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:

Více

i=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice

i=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných

Více

Lineární algebra : Metrická geometrie

Lineární algebra : Metrická geometrie Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních

Více

12 HRY S NEÚPLNOU INFORMACÍ

12 HRY S NEÚPLNOU INFORMACÍ 12 HRY S NEÚPLNOU INFORMACÍ 543 Ne v každé hře mají všichni hráči úplné informace o výplatních funkcích ostatních. Ve skutečnosti je většina situací s informací neúplnou. Například: V aukcích zpravidla

Více

Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice

Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice Jan Tomeček Tento stručný text si klade za cíl co nejrychlejší uvedení do teorie Greenových funkcí pro obyčejné diferenciální

Více

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně 7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností

Více

Operační výzkum. Teorie her. Řešení maticových her převodem na úlohu LP.

Operační výzkum. Teorie her. Řešení maticových her převodem na úlohu LP. Operační výzkum Řešení maticových her převodem na úlohu LP. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

Modely Herbrandovské interpretace

Modely Herbrandovské interpretace Modely Herbrandovské interpretace Petr Štěpánek S využitím materialu Krysztofa R. Apta 2006 Logické programování 8 1 Uvedli jsme termové interpretace a termové modely pro logické programy a také nejmenší

Více

1 Determinanty a inverzní matice

1 Determinanty a inverzní matice Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého

Více

Matice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule.

Matice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule. Matice Definice. Maticí typu m n nazýváme obdélníkové pole, tvořené z m n reálných čísel (tzv. prvků matice), zapsaných v m řádcích a n sloupcích. Značíme např. A = (a ij ), kde i = 1,..., m, j = 1,...,

Více

K oddílu I.1 základní pojmy, normy, normované prostory

K oddílu I.1 základní pojmy, normy, normované prostory ÚVOD DO FUNKCIONÁLNÍ ANALÝZY PŘÍKLADY PRO POROZUMĚNÍ LÁTCE ZS 2015/2016 PŘÍKLADY KE KAPITOLE I K oddílu I1 základní pojmy, normy, normované prostory Příklad 1 Necht X je reálný vektorový prostor a : X

Více

Matematika 2 Úvod ZS09. KMA, PřF UP Olomouc. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 25

Matematika 2 Úvod ZS09. KMA, PřF UP Olomouc. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 25 Matematika 2 Úvod Jiří Fišer KMA, PřF UP Olomouc ZS09 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 25 Studijní materiály web předmětu: aix-slx.upol.cz/ fiser St. Trávníček: Matematická analýza kag.upol.cz/travnicek/1-matan.

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika 1 Náhodné pokusy a náhodné jevy Činnostem, jejichž výsledek není jednoznačně určen podmínkami, za kterých probíhají, a které jsou (alespoň teoreticky) neomezeně opakovatelné,

Více

6 Lineární geometrie. 6.1 Lineární variety

6 Lineární geometrie. 6.1 Lineární variety 6 Lineární geometrie Motivace. Pojem lineární varieta, který budeme v této kapitole studovat z nejrůznějších úhlů pohledu, není žádnou umělou konstrukcí. Příkladem lineární variety je totiž množina řešení

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

Úvod základy teorie zobrazení

Úvod základy teorie zobrazení Úvod základy teorie zobrazení V přednášce se budeme zabývat diferenciálním a integrálním počtem funkcí více proměnných. Přednáška navazuje na přednášku atematická analýza 1 z prvního semestru. Proto se

Více

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je

Více

[1] Definice 1: Polynom je komplexní funkce p : C C, pro kterou. pro všechna x C. Čísla a 0, a 1,..., a n nazýváme koeficienty polynomu.

[1] Definice 1: Polynom je komplexní funkce p : C C, pro kterou. pro všechna x C. Čísla a 0, a 1,..., a n nazýváme koeficienty polynomu. Polynomy Polynom je možno definovat dvěma způsoby: jako reálnou nebo komplexní funkci, jejichž hodnoty jsou dány jistým vzorcem, jako ten vzorec samotný. [1] První způsob zavedení polynomu BI-LIN, polynomy,

Více

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Optimální výrobní program Radka Zahradníková e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Obsah 1 Lineární programování 2 Simplexová metoda 3 Grafická metoda 4 Optimální výrobní program Řešení

Více

1 Topologie roviny a prostoru

1 Topologie roviny a prostoru 1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se

Více

1 Řešení soustav lineárních rovnic

1 Řešení soustav lineárních rovnic 1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

p 2 q , tj. 2q 2 = p 2. Tedy p 2 je sudé číslo, což ale znamená, že

p 2 q , tj. 2q 2 = p 2. Tedy p 2 je sudé číslo, což ale znamená, že KAPITOLA 1: Reálná čísla [MA1-18:P1.1] 1.1. Číselné množiny Přirozená čísla... N = {1,, 3,...} nula... 0, N 0 = {0, 1,, 3,...} = N {0} Celá čísla... Z = {0, 1, 1,,, 3,...} Racionální čísla... { p } Q =

Více

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího). Předmět: MA 4 Dnešní látka Lineární (vektorový) prostor Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:

Více

5 Orientované grafy, Toky v sítích

5 Orientované grafy, Toky v sítích Petr Hliněný, FI MU Brno, 205 / 9 FI: IB000: Toky v sítích 5 Orientované grafy, Toky v sítích Nyní se budeme zabývat typem sít ových úloh, ve kterých není podstatná délka hran a spojení, nýbž jejich propustnost

Více

{Q={1,2};S,T;u(s,t)} (3.3) Prorovnovážnéstrategie s,t vehřesnulovýmsoučtemmusíplatit:

{Q={1,2};S,T;u(s,t)} (3.3) Prorovnovážnéstrategie s,t vehřesnulovýmsoučtemmusíplatit: 3 ANTAGONISTICKÉ HRY 3. ANTAGONISTICKÝ KONFLIKT Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku,

Více

Teorie her a ekonomické rozhodování. 8. Vyjednávací hry

Teorie her a ekonomické rozhodování. 8. Vyjednávací hry Teorie her a ekonomické rozhodování 8. Vyjednávací hry 8. Vyjednávání Teorie her Věda o řešení konfliktů Ale také věda o hledání vzájemně výhodné spolupráce Teorie vyjednávání Odvětví teorie her dohoda

Více

Posloupnosti a jejich konvergence

Posloupnosti a jejich konvergence a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace, integrály.

Více

1 Lineární prostory a podprostory

1 Lineární prostory a podprostory Lineární prostory a podprostory Přečtěte si: Učebnice AKLA, kapitola první, podkapitoly. až.4 včetně. Cvičení. Které z následujících množin jsou lineárními prostory s přirozenými definicemi operací?. C

Více

Lineární algebra : Změna báze

Lineární algebra : Změna báze Lineární algebra : Změna báze (13. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 8. dubna 2014, 10:47 1 2 13.1 Matice přechodu Definice 1. Nechť X = (x 1,..., x n ) a Y = (y 1,...,

Více

Množinu všech slov nad abecedou Σ značíme Σ * Množinu všech neprázdných slov Σ + Jazyk nad abecedou Σ je libovolná množina slov nad Σ

Množinu všech slov nad abecedou Σ značíme Σ * Množinu všech neprázdných slov Σ + Jazyk nad abecedou Σ je libovolná množina slov nad Σ Abecedou se rozumí libovolná konečná množina Σ. Prvky abecedy nazýváme znaky (symboly) Slovo (řetězec) v nad abecedou Σ je libovolná konečná posloupnost znaků této abecedy. Prázdné posloupnosti znaků odpovídá

Více

Úlohy nejmenších čtverců

Úlohy nejmenších čtverců Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.

Více

1. Posloupnosti čísel

1. Posloupnosti čísel 1. Posloupnosti čísel 1.1. Posloupnosti a operace s nimi Definice 1.1 Posloupnost reálných čísel ( = reálná posloupnost ) je zobrazení, jehož definičním oborem je množina N a oborem hodnot je nějaká podmnožina

Více

Fakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR

Fakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR DEN: ODR teoreticky: soustavy rovnic Soustava lineárních ODR 1 řádu s konstantními koeficienty je soustava ve tvaru y 1 = a 11 y 1 + a 12 y 2 + + a 1n y n + b 1 (x) y 2 = a 21 y 1 + a 22 y 2 + + a 2n y

Více

i=1 λ ix i,λ i T,x i M}.Množinuvektorů

i=1 λ ix i,λ i T,x i M}.Množinuvektorů Velké prostory Anička Doležalová Abstrakt. Budeme si hrát s vektorovými prostory, které mají nekonečnou dimenzi. Cílemjesijetrochuosahatazískatzákladníintuici.Ktomunámposloužíhlavně prostory posloupností.

Více

Stochastická dominance a optimalita portfolií

Stochastická dominance a optimalita portfolií Dopravní fakulta ČVUT 2010 Obsah 1 Stochastická dominance 2 Zavedení pojmů Dosavadní výsledky 3 4 Portfolia optimální vzhledem k exponenciálním užitkovým funkcím Předpoklady Konvexita množiny optimálních

Více

Matematika 1 Jiˇr ı Fiˇser 19. z aˇr ı 2016 Jiˇr ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc) KMA MAT1 19. z aˇr ı / 19

Matematika 1 Jiˇr ı Fiˇser 19. z aˇr ı 2016 Jiˇr ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc) KMA MAT1 19. z aˇr ı / 19 Matematika 1 Jiří Fišer 19. září 2016 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 19. září 2016 1 / 19 Zimní semestr KMA MAT1 1 Úprava algebraických výrazů. Číselné obory. 2 Kombinatorika, základy teorie

Více

Základy matematické analýzy

Základy matematické analýzy Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních

Více

Lineární algebra : Polynomy

Lineární algebra : Polynomy Lineární algebra : Polynomy (2. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 15. dubna 2014, 11:21 1 2 2.1 Značení a těleso komplexních čísel Značení N := {1, 2, 3... }... množina

Více

Teorie her a ekonomické rozhodování 5. Opakované hry

Teorie her a ekonomické rozhodování 5. Opakované hry Teorie her a ekonomické rozhodování 5. Opakované hry (chybějící či chybná indexace ve skriptech) 5.1 Opakovaná hra Hra až dosud hráči hráli hru jen jednou v reálu se konflikty neustále opakují (firmy nabízí

Více

Úvod do teorie her. David Bartl, Lenka Ploháková

Úvod do teorie her. David Bartl, Lenka Ploháková Úvod do teorie her David Bartl, Lenka Ploháková Abstrakt Předložený text Úvod do teorie her pokrývá čtyři nejdůležitější, vybrané kapitoly z této oblasti. Nejprve je čtenář seznámen s předmětem studia

Více

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)

Více

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé

Více

ÚVOD DO TEORIE HER MGR. LENKA PLOHÁKOVÁ RNDR. DAVID BARTL, PH.D.

ÚVOD DO TEORIE HER MGR. LENKA PLOHÁKOVÁ RNDR. DAVID BARTL, PH.D. ÚVOD DO TEORIE HER MGR. LENKA PLOHÁKOVÁ RNDR. DAVID BARTL, PH.D. ČÍSLO OPERAČNÍHO PROGRAMU: CZ.1.07 NÁZEV OPERAČNÍHO PROGRAMU: OP VZDĚLÁVÁNÍ PRO KONKURENCESCHOPNOST ČÍSLO OBLASTI PODPORY: ZVYŠOVÁNÍ ODBORNÝCH

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

1 Soustavy lineárních rovnic

1 Soustavy lineárních rovnic 1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem

Více