Výpočetní složitost v teorii grafů Martin Doucha
Parametrizovaná složitost Nástroj, jak zkrotit výpočetní složitost NP-těžkých problémů Klasický přístup: exponenciála v n
Parametrizovaná složitost Nástroj, jak zkrotit výpočetní složitost NP-těžkých problémů Klasický přístup: exponenciála v n FPT algoritmus: f (k)n O(1)
Parametrizovaná složitost Nástroj, jak zkrotit výpočetní složitost NP-těžkých problémů Klasický přístup: exponenciála v n FPT algoritmus: f (k)n O(1) Základní myšlenka: najít vhodný (a dost malý) parametr k nezávislý na n, na který se přesune exponenciální složitost algoritmu.
Parametrizovaná složitost Nástroj, jak zkrotit výpočetní složitost NP-těžkých problémů Klasický přístup: exponenciála v n FPT algoritmus: f (k)n O(1) Základní myšlenka: najít vhodný (a dost malý) parametr k nezávislý na n, na který se přesune exponenciální složitost algoritmu. Bohužel to ne vždy funguje. (W[1]-těžkost a další těžké třídy parametrizované složitosti)
Parametrizovaná složitost Parametrem může být jakákoliv vlastnost problému nebo vstupu. Hasseovský diagram obĺıbených parametrizací pro grafové úlohy: Uspořádání v diagramu je definováno pomocí existence funkce jedné parametrizace, která shora omezuje velikost jiné parametrizace na stejné struktuře.
Parametrizovaná složitost Nové parametrizace pro grafové úlohy zařazené do hierarchie: Všechny výsledky u zvýrazněných parametrizací jsou nové.
Pokrytí s neomezenými klikami Definice Pokrytí s neomezenými klikami grafu G je množina W V (G), že G \ W je disjunktní sjednocení klik.
Pokrytí s neomezenými klikami Definice Pokrytí s neomezenými klikami grafu G je množina W V (G), že G \ W je disjunktní sjednocení klik. Zobecnění vrcholového pokrytí
Pokrytí s neomezenými klikami Definice Pokrytí s neomezenými klikami grafu G je množina W V (G), že G \ W je disjunktní sjednocení klik. Zobecnění vrcholového pokrytí Jako parametrizace nás zajímá nejmenší možná velikost W pro dané G
Pokrytí s neomezenými klikami Definice Pokrytí s neomezenými klikami grafu G je množina W V (G), že G \ W je disjunktní sjednocení klik. Zobecnění vrcholového pokrytí Jako parametrizace nás zajímá nejmenší možná velikost W pro dané G V anglické literatuře označováno jako Cluster Vertex Deletion
Pokrytí s neomezenými klikami Definice Pokrytí s neomezenými klikami grafu G je množina W V (G), že G \ W je disjunktní sjednocení klik. Zobecnění vrcholového pokrytí Jako parametrizace nás zajímá nejmenší možná velikost W pro dané G V anglické literatuře označováno jako Cluster Vertex Deletion Dosud zkoumáno jen jako problém, ne jako parametrizace
Pokrytí s neomezenými klikami Definice Pokrytí s neomezenými klikami grafu G je množina W V (G), že G \ W je disjunktní sjednocení klik. Zobecnění vrcholového pokrytí Jako parametrizace nás zajímá nejmenší možná velikost W pro dané G V anglické literatuře označováno jako Cluster Vertex Deletion Dosud zkoumáno jen jako problém, ne jako parametrizace Na hledání W existuje FPT algoritmus s časovou složitostí O(2 k k 6 log k + mn) pro k = W (Hüffner a kol.: Fixed-Parameter Algorithms for Cluster Vertex Deletion. Theory Comput. Syst. 47,1 (2010) pp. 196-217)
Pokrytí s omezenými klikami Definice Pokrytí s c-omezenými klikami grafu G je množina W V (G), že G \ W je disjunktní sjednocení klik, kde každá komponenta souvislosti obsahuje c vrcholů.
Pokrytí s omezenými klikami Definice Pokrytí s c-omezenými klikami grafu G je množina W V (G), že G \ W je disjunktní sjednocení klik, kde každá komponenta souvislosti obsahuje c vrcholů. Vrcholové pokrytí je speciální případ pro c = 1
Pokrytí s omezenými klikami Definice Pokrytí s c-omezenými klikami grafu G je množina W V (G), že G \ W je disjunktní sjednocení klik, kde každá komponenta souvislosti obsahuje c vrcholů. Vrcholové pokrytí je speciální případ pro c = 1 Jako parametrizace nás opět zajímá nejmenší možná velikost W pro dané G a c (c je druhý parametr)
Pokrytí s omezenými klikami Definice Pokrytí s c-omezenými klikami grafu G je množina W V (G), že G \ W je disjunktní sjednocení klik, kde každá komponenta souvislosti obsahuje c vrcholů. Vrcholové pokrytí je speciální případ pro c = 1 Jako parametrizace nás opět zajímá nejmenší možná velikost W pro dané G a c (c je druhý parametr) Na hledání W existuje FPT algoritmus s časovou složitostí O((k + kc(k + c)) k+2 + m + n)
Hamiltonovská cesta a kružnice Definice Vstup: Graf G Otázka: Existuje cesta (kružnice), která prochází všemi vrcholy G?
Hamiltonovská cesta a kružnice Definice Vstup: Graf G Otázka: Existuje cesta (kružnice), která prochází všemi vrcholy G? Stromová šířka: Arnborg, Proskurowski [2] Kliková šířka: Fomin, Golovach, Lokshtanov, Saurabh [11]
Klasické barvení grafu Definice Vstup: Graf G, počet barev r Otázka: Existuje korektní obarvení G pomocí r barev?
Klasické barvení grafu Definice Vstup: Graf G, počet barev r Otázka: Existuje korektní obarvení G pomocí r barev? Twin cover: Ganian [12] Stromová šířka: Arnborg, Proskurowski [2] Kliková šířka: Fomin, Golovach, Lokshtanov, Saurabh [11]
Precoloring extension Definice Vstup: Graf G, počet barev r a předbarvení některých vrcholů Otázka: Lze předbarvení rozšířit na korektní obarvení celého G pomocí r barev?
Precoloring extension Definice Vstup: Graf G, počet barev r a předbarvení některých vrcholů Otázka: Lze předbarvení rozšířit na korektní obarvení celého G pomocí r barev? Vrcholové pokrytí: Fiala, Golovach, Kratochvíl [10] Twin cover: Ganian [12] Stromová šířka: Fellows, Fomin, Lokshtanov, Rosamond, Saurabh, Szeider, Thomassen [7]
Equitable coloring Definice Vstup: Graf G, počet barev r Existuje korektní obarvení G pomocí r barev, že každá barva je použita n r -krát?
Equitable coloring Definice Vstup: Graf G, počet barev r Existuje korektní obarvení G pomocí r barev, že každá barva je použita n r -krát? Vrcholové pokrytí: Fiala, Golovach, Kratochvíl [10] Twin cover: Ganian [12] Stromová šířka: Fellows, Fomin, Lokshtanov, Rosamond, Saurabh, Szeider, Thomassen [7]
Number coloring Definice Vstup: Graf G, počet barev r, předepsané počty vrcholů n 1,..., n r Otázka: Existuje korektní obarvení G pomocí r barev, že každá barva i je použita právě n i -krát?
Number coloring Definice Vstup: Graf G, počet barev r, předepsané počty vrcholů n 1,..., n r Otázka: Existuje korektní obarvení G pomocí r barev, že každá barva i je použita právě n i -krát? Stromová šířka: Fellows, Fomin, Lokshtanov, Rosamond, Saurabh, Szeider, Thomassen [7]
W[1]-těžkost Precoloring extensionu Precoloring extension parametrizovaný pokrytím s neomezenými klikami je jediná ze zkoumaných kombinací, která vyšla jako W[1]-těžká
W[1]-těžkost Precoloring extensionu Precoloring extension parametrizovaný pokrytím s neomezenými klikami je jediná ze zkoumaných kombinací, která vyšla jako W[1]-těžká Důkaz: převodem na List coloring
W[1]-těžkost Precoloring extensionu Precoloring extension parametrizovaný pokrytím s neomezenými klikami je jediná ze zkoumaných kombinací, která vyšla jako W[1]-těžká Důkaz: převodem na List coloring Definice List coloring Vstup: Graf G, přiřazení seznamů povolených barev vrcholům G Otázka: Existuje korektní obarvení G, že každý vrchol dostane některou barvu ze svého seznamu? W[1]-těžkost List coloringu parametrizovaného vrcholovým pokrytím dokázal Fellows a kol. [7], [8]
W[1]-těžkost Precoloring extensionu Začneme se zadáním List coloringu parametrizovaného vrcholovým pokrytím:
W[1]-těžkost Precoloring extensionu Seznam barev u každého vrcholu nahradíme předbarvenou klikou:
W[1]-těžkost Precoloring extensionu Seznam barev u každého vrcholu nahradíme předbarvenou klikou: A jsme hotovi.
FPT řešitelnost Equitable coloringu Základní pozorování pro parametrizaci pokrytím s neomezenými klikami: Pro W množinu vrcholů v pokrytí je G \ W disjunktní sjednocení klik. Hledání obarvení se tak redukuje na otázku, do kterých komponent dáme příslušnou barvu a do kterých ne.
FPT řešitelnost Equitable coloringu Základní pozorování pro parametrizaci pokrytím s neomezenými klikami: Pro W množinu vrcholů v pokrytí je G \ W disjunktní sjednocení klik. Hledání obarvení se tak redukuje na otázku, do kterých komponent dáme příslušnou barvu a do kterých ne. Když W nějak předbarvíme, na G \ W nám vzniknou seznamy povolených barev (a zkomplikují se počty, kolikrát kterou barvu použít).
FPT řešitelnost Equitable coloringu Základní pozorování pro parametrizaci pokrytím s neomezenými klikami: Pro W množinu vrcholů v pokrytí je G \ W disjunktní sjednocení klik. Hledání obarvení se tak redukuje na otázku, do kterých komponent dáme příslušnou barvu a do kterých ne. Když W nějak předbarvíme, na G \ W nám vzniknou seznamy povolených barev (a zkomplikují se počty, kolikrát kterou barvu použít). Řešení: párování na pomocném bipartitním grafu
FPT řešitelnost Equitable coloringu Problém č. 1: Zajistit správné počty použití jednotlivých barev.
FPT řešitelnost Equitable coloringu Problém č. 1: Zajistit správné počty použití jednotlivých barev. Řešení: V pomocném grafu budou speciální předbarvené vrcholy, kterých budou správné počty.
FPT řešitelnost Equitable coloringu Problém č. 2: Zohlednit seznamy barev jednotlivých vrcholů při párování.
FPT řešitelnost Equitable coloringu Problém č. 2: Zohlednit seznamy barev jednotlivých vrcholů při párování. Řešení: Nosné množiny barev. Definice Dvojice (X, C) je nosná množina, pokud X V (G) indukuje kliku a právě pro každou barvu i C je to co do inkluze maximální souvislá množina, kde každý vrchol má v seznamu barvu i.
FPT řešitelnost Equitable coloringu Problém č. 2: Zohlednit seznamy barev jednotlivých vrcholů při párování. Řešení: Nosné množiny barev. Definice Dvojice (X, C) je nosná množina, pokud X V (G) indukuje kliku a právě pro každou barvu i C je to co do inkluze maximální souvislá množina, kde každý vrchol má v seznamu barvu i. Nosné množiny jsou určené jednoznačně přidělením seznamů.
FPT řešitelnost Equitable coloringu Problém č.3: Počet vrcholů a počet barev v nosné množině nemusí souhlasit. Kolik tedy přidáme vrcholů do pomocného grafu?
FPT řešitelnost Equitable coloringu Problém č.3: Počet vrcholů a počet barev v nosné množině nemusí souhlasit. Kolik tedy přidáme vrcholů do pomocného grafu? Řešení: Tolik, kolik je barev. A pak to případně pomocí dalších vrcholů dorovnáme na počet vrcholů v nosné množině.
FPT řešitelnost Equitable coloringu Problém č. 4: Vyřešit průniky dvou a více nosných množin.
FPT řešitelnost Equitable coloringu Problém č. 4: Vyřešit průniky dvou a více nosných množin. Řešení: Další skupinky pomocných vrcholů, tentokrát příslušné jednotlivým vrcholům původního grafu.
FPT řešitelnost Equitable coloringu Dobarvit G \ W tedy umíme, zbývá předbarvení W.
FPT řešitelnost Equitable coloringu Dobarvit G \ W tedy umíme, zbývá předbarvení W. Řešení: hrubou silou.
FPT řešitelnost Equitable coloringu Dobarvit G \ W tedy umíme, zbývá předbarvení W. Řešení: hrubou silou. Barvy se stejným předepsaným počtem vrcholů k obarvení jsou navzájem zaměnitelné. V případě Equitable coloringu jsou maximálně 2 třídy navzájem zaměnitelných barev musíme vyzkoušet (2k) k možností.
FPT řešitelnost Equitable coloringu Dobarvit G \ W tedy umíme, zbývá předbarvení W. Řešení: hrubou silou. Barvy se stejným předepsaným počtem vrcholů k obarvení jsou navzájem zaměnitelné. V případě Equitable coloringu jsou maximálně 2 třídy navzájem zaměnitelných barev musíme vyzkoušet (2k) k možností. V případě Number coloringu může být tříd zaměnitelných barev řádově až n, proto je zatím nevyřešený pro Twin cover a pokrytí s neomezenými klikami.
Děkuji za pozornost. http://kam.mff.cuni.cz/ doucm6am/master/