SAFETY IN LOGISTIC TRANSPORT CHAINS USING THEORY OF GRAPHS

SAFETY IN LOGISTIC TRANSPORT CHAINS USING THEORY OF GRAPHS Jan Chocholáč, Martin Trpišovský, Petr Průša 1 ABSTRACT This article focuses on the elementary explanation of safety requirement in logistic transport chains. One of ways to accomplish safety in these chains is searching the most reliable paths in the transport networks. In this article there is the explanation of algorithm for searching the most reliable paths in undirected graphs which are models of real transport network and the practical application of the algorithm in the terms of the Czech Republic. KEY WORDS logistic transport chain, graph theory, undirected graph, path reliability, most reliable path LANGUAGE OF THE PAPER Czech 1 Ing. Jan Chocholáč, Ing. Martin Trpišovský, doc. Ing. Petr Průša, Ph.D., University of Pardubice, Jan Perner Transport Faculty, Department of Transport Management, Marketing and Logistics, Studentská 95, Pardubice, Czech Republic, Tel.: +420 466036383, e-mail: jan.chocholac@student.upce.cz, martin.trpisovsky@student.upce.cz, petr.prusa@upce.cz 152

BEZPEČNOST LOGISTICKÝCH PŘEPRAVNÍCH ŘETĚZCŮ S VYUŽITÍM TEORIE GRAFŮ ÚVOD Tento článek pojednává o možnostech využití efektivních nástrojů teorie grafů ke zvýšení bezpečnosti logistických přepravních řetězců. Detailněji je zde rozebrána problematika vyhledávání nejspolehlivější cesty v neorientovaných grafech a je zde prezentována i praktická implementace algoritmu do podmínek sítě pozemních komunikací České republiky. Novodobý vývoj logistiky akcentuje systémový pohled na materiálové toky jako na řetězce operací probíhajících v prostoru a v čase, za pomoci fungujících toků informací. [1, s. 17] Hlavním cílem logistiky je zajistit správné položky, na správném místě, ve správné době, s odpovídajícími informacemi a náklady. Tento cíl musí být vždy splněn. V případě jeho nesplnění dochází k ohrožení dodavatelsko-odběratelských vztahů a k narušení logistického řetězce. Jednou z možností, jak v praxi dosáhnout výše zmíněného cíle, je zajistit co největší možnou bezpečnost logistických přepravních řetězců. Na bezpečnost logistických přepravních řetězců je možné pohlížet z různých perspektiv. Totéž platí i o způsobech, jak bezpečnost těchto řetězců maximalizovat. Jedním z nich, je vyhledání nejspolehlivější cesty na dopravní síti. Termín nejspolehlivější cesty prezentuje teorie grafů a můžeme na něj též nahlížet různou optikou. Nejbezpečnější, popřípadě nejspolehlivější cestu je možné představit si na dopravní síti tak, že při realizaci přepravy z výchozího uzlu do koncového uzlu dané dopravní sítě, je při použití právě této cesty, jež je výsledkem algoritmu vyhledání nejspolehlivější cesty, nejnižší pravděpodobnost, ze všech možných a realizovatelných cest na dané dopravní síti, že právě na této cestě dojde k dopravní nehodě, teroristickému útoku, ke vzniku zpoždění, k poškození přepravovaného artiklu atp. Potenciální riziko, které vzniká vždy při přepravě, ať už osob, zboží nebo materiálu, je možné snižovat maximalizací bezpečnosti logistického přepravního řetězce. 153

CESTY NA NEORIENTOVANÝCH GRAFECH Neorientované grafy jsou souvislé, hranově ohodnocené, obyčejné grafy, které reprezentují schematické znázornění dopravní sítě, ať už silniční, železniční, letecké, vodní, potrubní, pásové nebo jiné dopravní sítě včetně všech jejich možných kombinací. [1, s. 29] Souvislým grafem se nazývá takový graf, kde mezi libovolnou dvojicí jeho vrcholů existuje alespoň jedna cesta. [1, s. 24] Graf se nazývá hranově ohodnoceným grafem, pokud existuje funkce, která přiřadí každé hraně nezáporné číslo, jež vyjadřuje určitou vlastnost dané hrany, ať už je kvalitativního nebo kvantitativního charakteru. [1, s. 17] V případě, že reálnou dopravní síť je při jisté míře abstrakce transformována do podoby neorientovaného grafu, kde hrany tohoto grafu budou reprezentovat jednotlivé úseky dané dopravní sítě a vrcholy tohoto grafu budou představovat uzly na dopravní síti, lze konstatovat, že se jedná o článek logistického přepravního řetězce, kterým protéká zboží, materiál, informace a řada dalších toků. 1.1 SPOLEHLIVOST CESTY Při určování spolehlivosti cesty je uvažován souvislý, hranově ohodnocený graf. Ohodnocení hran vyjadřuje pravděpodobnost úspěšného průchodu danou hranou. V případě převodu výše uvedených axiomů na model reálné dopravní sítě, kde vrcholy grafu budou představovat jednotlivé uzly na příslušné dopravní síti a hrany grafu budou reprezentovat úseky komunikací dané sítě, je možné hodnotu například stanovit jako pravděpodobnost, že na úseku komunikace nedojde k havárii. [1, s. 41] Spolehlivost cesty mezi dvěma zadanými vrcholy grafu je definována:. (1) [1, s. 41] 154

Cesta je nejspolehlivější cestou mezi vrcholy a, jestliže pro ni platí následující vztah:. (2) [1, s. 41] Úloha vyhledání nejspolehlivější cesty je transformována na úlohu vyhledání minimální cesty. Při této transformaci se vychází z následujících úvah: úloha vyhledání nejspolehlivější cesty je maximalizační úlohou, v níž je hledána cesta (respektive cesty), pro kterou je součin pravděpodobností hran v ní obsažených maximální maximum funkce spolehlivosti je 1, tato možnost by nastala v případě, že by v grafu mezi dvojicí vrcholů a existovala cesta, jejíž všechny hrany jsou ohodnoceny pravděpodobností rovnající se jedné, logaritmováním funkce zůstává úloha úlohou maximalizační, s tím rozdílem, že je hledána cesta, pro kterou součet logaritmů pravděpodobností obsažených v cestě dosahuje maxima, maximum funkce spolehlivosti je přitom rovno 0, s využitím vlastností logaritmické funkce jsou nově hrany grafu ohodnoceny následujícím způsobem: úlohu původně maximalizační lze změnit na úlohu minimalizační, protože: (3), (4) a pro cestu, pro kterou je minimální je maximální a je tudíž maximální i. [1, s. 41] 1.2 ALGORITMUS VYHLEDÁNÍ NEJSPOLEHLIVĚJŠÍ CESTY Tento algoritmus je aplikován u obyčejného, souvislého, hranově ohodnoceného a neorientovaného grafu a skládá se ze čtyř základních kroků: 155

1. krok: Všechny vrcholy v grafu v libovolném pořadí jsou označeny jako, avšak tak, aby počáteční vrchol cesty byl označen a koncový vrchol cesty odpovídal. 2. krok: V tomto kroku je velmi důležitý význam ohodnocení hran v grafu. Diferencují se dva případy dle toho, zda hrany v grafu reprezentují úspěšný (viz 2a) nebo neúspěšný (viz 2b) průchod danou hranou. 2a) Pokud ohodnocení hran vyjadřuje pravděpodobnost úspěšného průchodu hranou, algoritmus pokračuje krokem č. 3. 2b) Pokud ohodnocení hran vyjadřuje pravděpodobnost neúspěšného průchodu hranou, dochází k následující změně původního ohodnocení: 2ba) (5), 2bb) (6), 2bc) řešení pokračuje 3. krokem. 3. krok: Hrany v grafu nově jsou nově ohodnoceny: (7). 4. krok: V grafu s ohodnocením dle kroku č. 2 je vyhledána minimální cestu. Tato cesta je zároveň i nejspolehlivější cestou. [1, s. 42] Nejkratší, popřípadě minimální cestu je možné vyhledat s využitím Fordovy nebo Dijkstrovy metody. [1, s. 37] 1.3 IMPLEMENTACE ALGORITMU Tato podkapitola obsahuje praktickou implementaci teoreticky výše popsaného algoritmu vyhledání nejspolehlivější cesty. Obrázek č. 1 prezentuje obyčejný, souvislý, hranově ohodnocený, neorientovaný graf. Ohodnocení hran vyjadřuje pravděpodobnost úspěšného průchodu danou hranou, což si při transformaci na model reálného systému silniční sítě lze představit jako pravděpodobnost, že na daném úseku pozemní komunikace nedojde například ke vzniku dopravní nehody. V obrázku č. 1 je proveden první krok algoritmu, kdy dochází k označení vrcholů v grafu. 156

v 1 0,2 v 4 0,6 0,8 v 0 v 3 v 6 0,1 0,8 v 2 0,2 v 5 0,9 Obrázek č. 1: Obyčejný hranově ohodnocený graf ZDROJ: [1, S. 43], AUTOŘI Na obrázku č. 2 je uveden další postup algoritmu pro vyhledání nejspolehlivější cesty. Vzhledem k tomu, že jednotlivé hrany reprezentují pravděpodobnost úspěšného průchodu danou hranou, tak algoritmus druhý krok vynechává a pokračuje krokem č. 3, v němž dochází k transformaci ohodnocení jednotlivých hran dle vzorce č. 7. Transformované ohodnocení hran je znázorněno v obrázku č. 2 tučně v obdélnících. Podtržené tučné hodnoty u všech vrcholů reprezentují nové ohodnocení vrcholů pro algoritmus vyhledání minimální cesty, jež je zároveň i algoritmem pro vyhledání cesty nejspolehlivější. v 0 0,15 v 1 0,2 0,40 v 4 0,6 0,15 0 0,22 0,8 0,10 v 0,15 3 0,00 0,10 0,25 0,8 0,1 1,00 0,05 0,9 0 v 2 0,2 0 v 5 Obrázek č. 2: Třetí krok algoritmu vyhledání nejspolehlivější cesty v 6 5 ZDROJ: [1, S. 43], AUTOŘI 157

Obrázek č. 3 již reprezentuje výsledek algoritmu a je v něm zvýrazněna tučnou přerušovanou křivkou nejspolehlivější cesta, jejíž počátek je v uzlu a dále prochází uzly a ústí do uzlu. v 0 v 1 0,2 v 4 0,15 0,40 0,6 0,15 0 0,22 0,8 0,10 v 0,15 3 0,00 0,25 0,10 0,8 0,1 1,00 0,05 0,9 0 v 2 0,2 0 v 5 Obrázek č. 3: Výsledek algoritmu nejspolehlivější cesta v 6 5 ZDROJ: [1, S. 43], AUTOŘI IMPLEMENTACE ALGORITMU PRO VYBRANÉ PARTIE DOPRAVNÍ SÍTĚ ČESKÉ REPUBLIKY Výše prezentovaný algoritmus je možné při určité míře abstrakce aplikovat i na vybrané partie dopravní sítě České republiky. 1.4 DOPRAVNÍ SÍŤ ČESKÉ REPUBLIKY Pro aplikaci algoritmu na vyhledání nejspolehlivější cesty v rámci České republiky byly preferovány následující kategorie pozemních komunikací dálnice a silnice I. třídy, vzhledem k dostupnosti dat. Tuto selektovanou dopravní síť je třeba transformovat do podoby obyčejného, souvislého, hranově ohodnoceného a neorientovaného grafu s využitím určité míry abstrakce, protože se jedná o model reálné dopravní silniční sítě. Jednotlivé úseky dopravní sítě, jež odpovídají hranám v grafu, jsou ohodnoceny pravděpodobností úspěšného průchodu danou hranou. 158

Tento úspěšný průchod hranou může být v reálném dopravním systému vyjádřen například hodnocením European Road Assessment Programme [9]. 1.5 OHODNOCENÍ ÚSEKŮ NA SELEKTOVANÉ DOPRAVNÍ SÍTI EuroRAP neboli European Road Assessment Programme diferencuje zkoumané kategorie pozemních komunikací do pěti základních kategorií dle pravděpodobnosti vzniku dopravní nehody na daném úseku příslušné dopravní sítě. V případě, že každému úseku je přiřazena pravděpodobnost úspěšného průchodu daným úsekem na základě provedeného hodnocení EuroRAP, jsou získány právě následující varianty, jež připadají v úvahu. V závorce za hodnocením příslušné komunikace je uvedena pravděpodobnost úspěšného průchodu daným úsekem: nízké riziko (0,9), nízké střední riziko (), střední riziko (), střední vysoké riziko (0,3), vysoké riziko (0,1). Na obrázku č. 4 je zobrazeno hodnocení dle EuroRAP z roku 2010 s příslušnými výsledky pro selektovanou silniční dopravní síť České republiky. 159

Obrázek č. 4: Hodnocení EuroRAP, 2010 ZDROJ: [9] 1.6 APLIKACE ALGORITMU V případě, že je třeba zvýšit bezpečnost logistického přepravního řetězce s využitím nástrojů, které poskytuje teorie grafů, lze vyhledat nejspolehlivější cestu mezi dvěma uzly v rámci dopravní sítě, přičemž jeden z uzlů bude místem nakládky a druhý z uzlů reprezentuje místo vykládky. Místem nakládky, vrcholem v grafu a počátečním uzlem budou v tomto příkladu České Budějovice. Vykládka bude provedena v Plzni, tento vrchol bude označen v grafu a bude se jednat o koncový uzel realizované přepravy. V tomto příkladu jsou abstrahovány ostatní faktory, kterými jsou například náklady realizované přepravy. Prioritní je zajistit maximální možnou bezpečnost v rámci daného logistického řetězce. Na obrázku č. 5 je prezentován obyčejný, souvislý, neorientovaný a hranově ohodnocený graf. Jeho hrany (jednotlivé úseky komunikací) budou ohodnoceny dle metodiky v podkapitole 2.2. Tento graf bude sloužit jako podklad pro algoritmus vyhledání 160

nejspolehlivější cesty. Jedná se o podgraf grafu pozemních komunikací České republiky sestrojeného dle hodnocení EuroRAP. Uzel odpovídá poloze Českých Budějovic, uzel poloze Táboru, uzel Písku a uzel Plzni. Vzhledem k tomu, že jednotlivé hrany reprezentují pravděpodobnost úspěšného průchodu danou hranou, tak algoritmus druhý krok vynechává a pokračuje krokem č. 3, v němž dochází k transformaci ohodnocení jednotlivých hran dle vzorce č. 7. Transformované ohodnocení hran je znázorněno tučně v obdélnících. Podtržené tučné hodnoty u všech vrcholů reprezentují nové ohodnocení vrcholů pro algoritmus vyhledání minimální cesty, jež je zároveň i algoritmem pro vyhledání cesty nejspolehlivější. Nejspolehlivější cesta mezi uzly a je zvýrazněna tučnou přerušovanou křivkou a prochází uzly a. v 13 1,40 0,15 v 5 1,27 0,6 0,22 0,22 0,6 1,40 1,10 v 6 v 7 0,4 0,40 2 v 12 v 8 v 4 0,3 0,90 1,05 0,3 2 0 0,4 0,40 v 10 v 3 0,15 0,60 v 11 0,90 0,3 2 0,15 2 2 0,3 v 2 0,45 0,15 v 1 v 9 v 0 0,00 Obrázek č. 5: Graf z vybrané partie silniční sítě České republiky ZDROJ: [9], AUTOŘI V případě aplikace výsledku algoritmu na podgraf reálné dopravní sítě České republiky, tak by měla být přeprava trasována z místa (České Budějovice) jižně po silnici 161

I. třídy č. 3, z níž by měl dopravní element odbočit jihozápadně na silnici I. třídy č. 39, kterou by pokračoval přes Kájov, Horní Planou a Volary až do Horní Vltavice, odkud by dále směřoval po silnici I. třídy č. 4 přes Vimperk a Volyni do Strakonic, kde by odbočil západně na silnici I. třídy č. 22, kterou by pokračoval přes Horažďovice do Klatov, kde by změnil směr severně na silnici I. třídy č. 27, jež by dopravní element přivedla přes Přeštice do uzlu, kterým je Plzeň, což je lokace vykládky. Tato trasa je na daném podgrafu dopravní sítě České republiky trasou nejspolehlivější a zvyšuje tak bezpečnost logistického přepravního řetězce. ZÁVĚR Bezpečnost logistického přepravního řetězce může být jedním z prvků konkurenčního boje mezi poskytovateli logistických služeb na trhu. Teorie grafů prezentuje širokou škálu nástrojů, které je možné implementovat při určité míře abstrakce do praxe a maximalizovat tak bezpečnost logistických přepravních řetězců. Aplikace algoritmu vyhledání nejspolehlivější cesty v rámci dopravní sítě je jedním z velmi efektivních nástrojů, jak naplánovat a realizovat nejen materiálové toky. LITERATURA [1] VOLEK, Josef a Bohdan LINDA. Teorie grafů: aplikace v dopravě a veřejné správě. Pardubice: Univerzita Pardubice, 2012. ISBN 978-80-7395-225-9. [2] PERNICA, Petr. Logistika pro 21. století: supply chain management. Praha: Radix, 2005. ISBN 80-86031-59-4. [3] SIXTA, Josef a Miroslav ŽIŽKA. Logistika: používané metody. Brno: Computer Press, 2009. ISBN 978-80-251-2563-2. [4] SIXTA, Josef a Václav MAČÁT. Logistika: teorie a praxe. Brno: Computer Press, 2010. ISBN 80-251-0573-3. [5] CEMPÍREK, Václav, Rudolf KAMPF, Petr PRŮŠA a Petr ROŽEK. Bezpečnost a zabezpečení. České Budějovice: Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích, 2011, 149 s. ISBN 978-80-87278-92-5. [6] PRŮŠA, Petr. Transport Chains and Distribution in Logistics Systems. [7] KAMPF, Rudolf a Petr PRŮŠA. Metoda benchmarkingu a možnosti její aplikace v dopravě. In Aktuální problémy v dopravě 2009. Pardubice: Institut Jana Pernera, 2009, s. 127-131. ISBN 978-80-86530-58-1. 162

[8] PRŮŠA, Petr. Dostupnost dat v logistickém řetězci. In LOGI 2006 "Ku konkurencieschopným železničným systémom v Európe". Pardubice: Institut Jana Pernera, 2006, s. 146-151. ISBN 80-86530-30-2. [9] EuroRAP [online]. 2012 [cit. 2012-11-19]. Dostupné z: http://www.eurorap.org/risk_maps?search=true&parent=1015 163