Fyzika laserů Poloklasický popis šíření elmg. záření v rezonančním prostředí. Jan Šulc Katedra fyzikální elektroniky České vysoké učení technické jan.sulc@fjfi.cvut.cz 7. března 2013
Program přednášek 1. Kvantová teorie tlumení, řídící rovnice 2. Aplikace na atom, Pauliho rovnice 3. Poloklasický popis interakce záření s látkou 4. Aplikace na šíření rezonančního záření prostředím 5. Aplikace na laser kontinuální režim 6. Aplikace na laser Q-spínání 7. Koherentní šíření impulzů 8. Další jevy v poloklasické aproximaci 9. Spektrum laseru a režim synchronizace módů 10. Kvantová teorie laseru, F.-P. rovnice 11. F.-P. rovnice pro záření a atom 12. F.-P. rovnice pro laser 13. Statistické vlastnosti laserového záření
Interakce ATOM REZERVOÁR Systém Rezervoár ĤS S ˆV ĤR R ˆρS ˆρR ĤT, ˆρSR Ĥ S l = E l l l m = δ lm P l l l = 1 ˆϱ I S t = X k,l Hamiltonián celého systému: Obrázek 2.1: Soustava = Systém + Reservoir Ĥ = ĤS + ĤR + ˆV (2.1) Reservoir: Velký počet stupňů volnosti V důsledku interakce se systémem n [ βĥr ] l k ˆϱ exp I ˆρR = S k l w [ βĥr ] lk k k ˆϱ I S w + kllk ˆϱ I S k k w kllk + (2.2) T rr exp Liouvilova rovnice - evoluce statistického operátoru v interakční reprezentaci: i h ˆρI t = [ ˆV I, ˆρ I ] Interakce je dipólová ˆV P = k,l f k,l k l = eˆ r ˆ E h ˆV + Ĥ S + ĤR, ˆρC i i ˆρ C = t Liouvilova rovnice řídící rovnice Elektromagnetické pole v termodynamické rovnováze o X + k k ˆϱ I S l l w + llkk + w llkk k, l (2.3)
Interakce rezonančního záření s prostředím poloklasický popis Prostředí soubor kvantových soustav (dvouhladinových), popisuje SR kvantově (diskrétní systém hladin, vlnová funkce, 3 procesy interakce, změna energie změna konfigurace změna dipólového momentu) Záření elektromagnetická vlna, popisují MR klasicky Rezonanční záření frekvence v rezonanci s kvantovým přechodem (Bohrův vztah) Interakce záření s hmotou prostřednictvím polarizace prostředí (dipólového momentu elementárních KS) Ŵ = ˆ d E(t) Pole klasicky + prostředí kvantově poloklasický popis Pauliho rovnice popisují chování tlumené kvantové soustavy s pomocí časového vývoje elementů matice hustoty. Přechodem k makroskopickým veličinám P a N získáme rovnice pro odezvu prostředí.
Rovnice poloklasické teorie interakce hmoty a pole E 1 2 E c 2 t = µ 2 P 2 0 (1) t 2 " t + 1 2 2 + ω 21 T 2 t + 1 T 1 # N N 0 = P = 2ω 21 E d 21 2 N (2) 2E ω 21 t + 1 P (3) T 2 Zahrnují všechny kvantové aspekty odezvy dvouhladinové kvantové soustavy Vzájemně vázané nelineární vektorové parciální diferenciální rovnice druhého řádu vlastně je to celkem 7 rovnic E Elmag. pole T 1 Relaxace inverze populace hladin P Makroskopická polarizace T 2 Relaxace makroskopické polarizace N Inverze populace hladin ω 21 Rezonanční frekvence N 0 Inverze populace hladin d 21 Velikost dipólového bez vnějšího pole momentu
Rovnice pro komplexní analyticky sdružený signál Měřitelné veličiny jsou reprezentovány reálnými čísly nebo reálnými funkcemi Někdy je výhodné reálným signálům přiřadit komplexní funkce komplexní analyticky sdružený signál, přitom jeho reálná část je rovna reálnému (skutečnému) signálu. Např. rovinná elektromagnetická vlna: E (r) = i ye 0 cos(ωt kz + Φ) Příslušný komplexní analyticky sdružený signál: E = i ye 0 e i(ωt kz+φ). Z komplexního analyticky sdruženého signálu je snadné vyjádřit reálné signály E (r) = 1 2 ( E + E ), P (r) = 1 2 ( P + P ) Po dosazení do soustavy rovnic poloklasické teorie (DC 2.8): " E 1 2 E c 2 t = µ 2 P 2 0 t, (4) 2 t + 1 T 2 2 + ω 2 21 # P = 2 ω 21 d 21 2 EN, (5). (6) t + 1 T 1 (N N 0 ) = 1 2 ω 21 E t + 1 T 2 P + E t + 1 T 2 P
Šíření stacionárních signálů v rezonančním prostředí Stacionární signál monochromatické elektromagnetické pole, jehož amplituda i fáze jsou funkcemi jen prostorových souřadnic. Disperzní prostředí rychlost šíření záření v tomto prostředí závisí na frekvenci. Disperze bývá popisována závislostí susceptibility χ na kruhové frekvenci ω. Homogenní, lineární a isotropní prostředí: Fázová rychlost vlny Index lomu P = ε 0 χ E, E 1 + χ 2 E c0 2 t = 0, 2 v = c 0 p (1 + χ) n ref = p (1 + χ)
Disperzní vlastnosti rezonančního prostředí Hledáme výraz pro polarizaci ve tvaru P = ε 0 χ E. Výchozí rovnice: " t + 1 2 # + ω21 2 T 2 t + 1 T 1 N N 0 = P = 2ω 21 E d 21 2 N 2E ω 21 t + 1 P T 2 Uvažujeme slabý signál E bude malá i polarizace P Inverze populace hladin N se blíží své ustálené hodnotě N 0 Šíření harmonických signálů s kruhovou frekvencí ω ve směru osy z: E = E 0 (z, ω)e iω t, P = P0 (z, ω)e iω t Odezvu prostředí popisuje rovnice pro polarizaci: " t + 1 2 # + ω21 2 T 2 P. = 2ω 21 E d 21 2 N 0 Pro susceptibilitu dostaneme ( P/ t = iω P): P χ(ω) = 0 (z, ω). = 2 ω 21 d 21 2 N 0. ε 0E0 (z, ω) ε 0 (iω + 1 ) T 2 + ω 2 2 21 Susceptibilita χ(ω) komplexní, frekvenčně závislá veličina
Disperzní vlastnosti rezonančního prostředí Pro susceptibilitu máme: χ(ω) =. 2 ω 21 d 21 2 N 0. ε 0 (iω + 1 ) T 2 + ω 2 2 21 Pro velké blízké frekvence ω 21 a ω (ω 21 + ω. = 2ω 21, ω ω 21 = ω): χ( ω). = d 21 2 N 0 ε 0 ω + i T 2 + 1 T 2 2 ω 21 Předpokládáme T 2 ω 1 21 (T 2 10 9 s, ω 21 10 15 s 1 ) χ( ω). = d 21 2 N 0 ε 0 ω + i T 2 Susceptibilitu rozložíme na reálnou a imaginární složku (DC 2.10): χ ( ω) = χ( ω) = χ ( ω) + iχ ( ω) d 21 2 N 0 d ω 21 2 N 0 1 ε 0 ( ω) 2 + ( 1 ), T 2 χ ε ( ω) = 0 T 2 ( ω) 2 + ( 1 ). 2 T 2 2
Disperzní vlastnosti rezonančního prostředí χ (ω) = d 21 2 N 0 d ω 21 2 N 0 1 ε 0 ( ω) 2 + ( 1 ), T 2 χ ε (ω) = 0 T 2 ( ω) 2 + ( 1 ). 2 T 2 2
Šíření rovinné vlny Obecný popis šíření udává vlnová rovnice E 1 c 2 0 2 E t 2 = µ 0ε 0 χ 2 E t 2 Šíření slabého harmonického signálu je popsáno řešením homogenní rovnice: E + ω2 c 2 0 E = χ ω2 E c0 2 Předpokládáme řešení ve tvaru rovinné lineárně polarizované vlny: E = i ye 0 exp i(ω t kz + Φ) Nutná podmínka pro existenci řešení v tomto tvaru, tzv. disperzní vztah: k 2 + ω2 c 2 (1 + χ + iχ ) = 0 k je obecně komplexní číslo k = k + ik, pro k k : k = ω p (1 + χ ), k = 1 ω χ p c 2 c (1 + χ ).
Šíření rovinné vlny χ (ω) = k = ω c p (1 + χ ), k = 1 ω χ p 2 c (1 + χ ) d 21 2 N 0 d ω 21 2 N 0 1 ε 0 ( ω) 2 + ( 1 ), T 2 χ ε (ω) = 0 T 2 ( ω) 2 + ( 1 ). 2 T 2 2
Zesílení Komplexní intenzita elektrického pole: E = i ye 0 e k z e i(ωt k z+φ) Příslušné reálné pole: E (r) = i ye 0 e k z cos (ωt k z + Φ) V závislosti na znaménku k (znaménko N 0 ) amplituda vlny bud exponenciálně vzrůstá (+) nebo klesá ( ). Plošná hustota výkonu I = 1 2 c 0ε 0 E 2 : I(z) = I 0 e g 0z I 0 je intenzita záření v rovině z = 0 a g 0 = 2k je součinitel zesílení slabého signálu.
Součinitel zesílení Spektrální závislost součinitele zesílení (absorbce): g 0 (ω) = 2k (ω) = ω 21 d 21 2 N 0 cε 0 1 T 2 1 2 T 2 ( ω) 2 + ( 1 ) = g T 2 0 2 ( ω) 2 + 1 2 T 2 Šířka spektrální čáry převrácená hodnota doby relaxace polarizace T 2 Přesná rezonance ( ω = 0): g 0 = ω 21 d 21 2 cε 0 N 0 T 2 = σn 0 Účinný průřez pro stimulovanou emisi (absorpci): σ = ω 21 d 21 2 T 2 cε 0
Tvar spektrální čáry Homogenní rozšíření Nehomogenní rozšíření Jednotlivé kvantové soustavy mají stejnou rezonanční frekvenci ω 21. Výsledný spektrální profil se shoduje se spektrem jedné KS. Lorentzovská křivka Jednotlivé kvantové soustavy mají různé rezonanční frekvence. Výsledný spektrální profil je superpozicí příspěvku od všech KS. Gaussovská křivka
Saturace zesílení Předpokládáme harmonickou vlnu a přesnou rezonanci ω = ω 21. Z rovnice dostaneme: Po dosazení do rovnice " t + 1 2 # + ω21 2 T 2 d 21 P 2 = 2 ω 21 EN P = 2ωT 2 d 21 2 (2iω + 1 T 2 ) N E t + 1 (N N 0 ) = 1 E T 1 2 ω 21 t + 1 P + E T 2 t + 1 P T 2 a pro ω 1 T 2 : 1 (N N 0 ) = d 21 2 T T 1 2 2 E 2 N Ustálená hodnota rozdílu populace hladin: N = N 0 1 + d 21 2 2 T 2 T 1 E 2.
Saturace zesílení Zavedeme saturační intenzitu materiálový parametr I s = c 2 ε 0, 2 d 21 2 T 2 T 1 Saturace inverze populace hladin (DC 2.11 a 2.12) N = N 0 1 + I I s, Saturace zisku (zesílení) je tedy: g = g 0 1 + I I s.
Saturace zesílení Signál o intenzitě I << I s je součinitel zesílení roven g 0. Signál, jehož intenzita je srovnatelná, nebo podstatně větší než I s, je zesilován méně.
Impuls elektromagnetického pole s pomalu proměnnou obálkou Lineárně polarizovaná harmonická vlna Doba trvání pulsu T doba jednoho kmitu pole 2π/ω Vektor makroskopické polarizace a vektor elektromagnetického pole pomalu proměnné amplitudy (v čase i v prostoru)
Impuls elektromagnetického pole s pomalu proměnnou obálkou Předpokládáme následující průběh pole a polarizace (pomalu proměnná amplituda s harmonickou nosnou vlnou): E = i ye(z, t)cos [ωt kz + Φ(z, t)] P = i y {P 1 (z, t)cos [ωt kz + Φ(z, t)] + P 2 (z, t)sin [ωt kz + Φ(z, t)]} E 1 t E ω, Φ t ω, P 1 t E z 1 P 1 ω, 1 E k, P 2 t Φ z 1 P 2 ω k, P t 1 P ω
Rovnice pro pomalu proměnné amplitudy Φ z + 1 Φ + k c t E = µ 0ω 21 c P 1 (7) 2 E z + 1 E = µ 0ω 21 c P 2 (8) c t 2 P 1 = P 1 ω + Φ P 2 (9) t T 2 t P 2 = P 2 + ω + Φ P 1 d 21 2 EN (10) t T 2 t N = 1 (N N 0 ) + 1 t T 1 EP 2 (11) kde ω = ω ω 21 a k = ω/c k. Tato uzavřená soustava pěti parciálních diferenciálních rovnic prvního řádu je matematickým modelem koherentního šíření záření. Popisuje kooperativní chování celého souboru kvantových soustav pod vlivem elektrického pole elektromagnetického záření i zpětný vliv souboru kvantových soustav na elektromagnetické pole. V řadě zvláštních případů je možné tento model ještě dále zjednodušovat.
Signál v rezonanci a bez fázové modulace Další zjednodušení rovnic nastane, pokud se předpokládá šíření signálu bez fázové modulace s frekvencí odpovídající přesně frekvenci kvantového přechodu, tj. Φ = const., ω = 0 a k = 0: Φ z + 1 Φ + k c t E z + 1 E c t P 1 t P 2 t N t E z + 1 E c t P 2 t N t E = µ 0ω 21 c 2 = µ 0ω 21 c 2 = P 1 T 2 = P 2 T 2 + P 1 P 1 0 P 2 ω + Φ P 2 0 = 0 t ω + Φ P 1 d 21 2 t EN = 1 T 1 (N N 0 ) + 1 EP 2 = µ 0ω 21 c P 2, P 1 0 2 = P 2 d 21 2 T 2 EN = (N N 0) T 1 + 1 EP 2
... a ještě zavedeme tzv. lokální čas t = t z c z = z t = Potom: t + z t t z t t = t ; z = E z = µ 0ω 21 c P 2 2 P 2 = P 2 d 21 2 t T 2 EN N = N N 0 + 1 t T 1 EP 2 t t z + z z z z = z + 1 c t Rovnice nelineární Neplatí princip superpozice E (1) in E (1) out, E (2) in E (2) out E (1) in + E (2) in E (1) out + E (2) out Amplitudy pole a polarizace a také inverze populace hladin závisí na souřadnicích v prostoru i čase
Šíření stacionárního rezonančního signálu bez fázové modulace Výchozí rovnice E z = µ 0ω 21 c P 2 2 P 2 = P 2 d 21 2 t T 2 EN N = N N 0 + 1 t T 1 EP 2 E z = µ 0ω 21 c P 2 2 P 2 = P 2 d 21 2 t T 2 EN N = N N 0 + 1 t T 1 EP 2 Stacionární signál položíme časové derivace 0 Získáme rovnice pro P 2 (z), N(z) 0 = P 2 d 21 2 T 2 EN P 2(z) = d 21 2 T 2EN 0 = (N N 0) + 1 T 1 EP N 0 2 N(z) = 1 + d 21 2 T 2 1 T 2 E 2
Šíření stacionárního rezonančního signálu bez fázové modulace Rovnice pro intenzitu optického záření Přejdeme od intenzity elektrického pole k intenzitě světla I = 1 2 cε 0E 2 E z = d 21 2 µ 0 ω 21 c 2 E T 2 N 0 1 + d 21 2 T 2 1 T 2 E 2 Přitom využijeme vztah pro derivaci složené funkce: di dz = g 0 1 + I/I s I E 2 z = 2E E z Zisk pro slabý signál g 0 = σn 0 Účinný průřez pro stimulovanou emisi Saturační intenzita σ = µ 0ω 21 c d 21 2 T 2 I s = ω 2σT 1
Šíření stacionárního rezonančního signálu bez fázové modulace zesilování Rovnice popisující zesilování rezonančního záření Normovaná intenzita záření Separace proměnných Okrajová (počáteční) podmínka di dz = g 0 1 + I/I s I J = I I s dj dz = g 0 1 + J J 1 + J dj = g 0 dz J J z=0 = J 1 Řešení (z = L) ln J 2 J 1 + (J 2 J 1 ) = g 0 L
Šíření stacionárního rezonančního signálu bez fázové modulace zesilování Řešení (z = L) transcendentní rovnice Slabý signál ln J 2 J 1 + (J 2 J 1 ) = g 0 L J 1 1, J 2 1 ln J 2 J 1 0, J 2 = J 1 e g 0 L Silný signál tj. J 2 = J 1 + g 0 L J 2 J 1 1 Obecné řešení transcendentní rovnice (pro libovolné J 1 a zesílení) J 2 = LambertW nj o 1 e [J 1 + g 0 L]
Šíření stacionárního rezonančního signálu bez fázové modulace zesilování (g 0 L = 4)
Šíření stacionárního rezonančního signálu bez fázové modulace zesilování + ztráty Přidáme součinitel ztrát β: Řešení (DC 3.2) Limita g 0 L dj dz = βj + g J 0 1 + J ln J 2 J 1 g 0 β ln g 0 β(1 + J 2 ) g 0 β(1 + J 1 ) = (g 0 β) L I max 2 = g 0 β Is Existuje mezní hustota výkonu nekonečně dlouhého zesilovače saturovaný zisk právě kompenzuje ztráty
Šíření impulsů Charakter šíření určuje délka obálky impulzu T imp v porovnání s relaxačními časy T 1 a T 2 E z = µ 0ω 21 c P 2 2 P 2 = P 2 d 21 2 t T 2 EN N = N N 0 + 1 t T 1 EP 2 KOHERENTNÍ NEKOHERNTNÍ T imp T 1, T 2 T imp T 1, T 2 APROXIMACE RYCHLOSTNÍCH ROVNIC T 2 T imp T 1
Shrnutí Rezonanční prostředí je disperzní Rezonanční prostředí je nelineární Pro popis síření impulzů s pomalu proměnnou obálkou stačí 5 rovnic časový vývoj obálky impulzu, amplitudu polarizace prostředí a inverzi populace hladin. Dokonalá rezonance, konstantní fáze: E z = µ 0ω 21 c P 2 2 P 2 = P 2 d 21 2 t T 2 EN N = N N 0 + 1 t T 1 EP 2 Stacionární řešení poskytuje rovnici popisující zesilování rezonančního záření di dz = g 0 1 + I/I s I βi
Literatura VRBOVÁ M., ŠULC J.: Interakce rezonančního záření s látkou, Skriptum FJFI ČVUT, Praha, 2006 LOUISELL, W. H.: Quantum statistical properties of radiation, John Wiley & Sons, New York, 1973 VRBOVÁ M. a kol.: Lasery a moderní optika - Oborová encyklopedie, Prometheus, Praha, 1994 VRBOVÁ M., JELÍNKOVÁ H., GAVRILOV P.: Úvod do laserové techniky, Skriptum FJFI ČVUT, Praha, 1994 http://people.fjfi.cvut.cz/sulcjan1/ulat/ LONČAR, G.: Elektrodynamika I, Skriptum FJFI ČVUT, Praha, 1990 Přednášky: http://people.fjfi.cvut.cz/sulcjan1/fla/