3. AMPLITUDOVĚ MODULOVANÉ SIGNÁLY

Transkript

1 3. AMPLITUDOVĚ MODULOVANÉ SIGNÁLY Modulací nazýváme proces při kterém je jedním signálem přetvář en jiný signál za účelem př enosu informace. Př i amplitudové modulaci dochází k ovlivňování amplitudy nosného signálu, který můžeme zapsat ve tvaru s ( t) = S cos( ωt + ϕ ), signálem modulač ním sm ( t ), viz obr.3.. S je amplituda, ω je ú hlový kmitoč et a ϕ je počáteč ní fáze. Při modulaci jsou kladeny na modulač ní funkci s ( t) tyto požadavky: m. Její spektrum S m (ω) je omezeno na pásmo ú hlových kmitoč tů ω -ω m, ω m.. sm ( t) je normovanáfunkce, neboli pro každé t je sm( t ). U amplitudové modulace je zpravidla ω m << ω. Pro okamžitou amplitudu S(t) platí: S( t) = S + S msm ( t). (3.) Stejnosměrné posunutí o S je nutné proto, aby okamžitáamplituda S(t) neměnila znaménko, což by vedlo k ovlivňování fáze modulovaného signálu s(t). Konstanta m nazývanámodulačním činitelem urč uje do jaké míry bude docházet k ovlivnění amplitudy a musí při dodržení požadavku (viz výše) splňovat podmínku m,. Je-li m vyjádř eno v procentech mluvíme o hloubce modulace. Výsledný amplitudově modulovaný signál je dán vztahem: s( t) = S ( + ms ( t))cos( ω t + ϕ ) (3.) m Obr.3.. Č asové průběhy př i amplitudové modulaci harmonickým signálem, m =,8. Spektra amplitudově modulovaných signálů budou ukázány u jednotlivých příkladů. Tento typ amplitudové modulace je jedním z nejstarších typů modulace vůbec. Její hlavní výhodou a důvodem zavedení je možnost velice snadné demodulace, tedy získání přenášené informace.

2 3. Amplitudově modulované signály Ř EŠ ENÉ PŘ ÍKLADY r 3.. Nakreslete fázorový diagram a reálné spektrum amplitudově modulovaného signálu s(t)=s [+m.cos(ωt+φ)]cos(ω t) př i ω >> Ω. Využijeme možnosti vyjádř ení funkce s(t) jako průmět odpovídajícího fázoru S $ ( t) do reálné osy: jωt { } [ Ω Φ ] ω [ Ω Φ ] s ( t ) = S + m cos( t + ) cos( t ) = Re S + m cos( t + ) e = ms ms S e jωt e jφ e jωt e jφ e jω t = Re + + = jω t ms ms S e e j( + ) t e j e j( ) t e j ω Ω Φ ω Ω Φ = Re + +. Fázorový diagram: Pro t = je: Obr.3.. Fázorové diagramy amplitudově modulovaného signálu. Jak je vidět z výsledku, př i modulaci jedním harmonickým signálem je výsledný fázor složen ze tří fázorů jak je naznač eno na obr. 3.a). Č astěji se však používázobrazení podle obr. 3.b). Fázory s moduly.5ms rotují relativní rychlostí ±Ω vůč i fázoru s modulem S. Spektrum AM signálu: můžeme ještě upravit př edchozí vztah: jω t ms s t S e e j( ) t ms e j e j( ) t e j ω + Ω Φ ω Ω Φ ( ) = Re + + = ms = Re S[ cos( ωt) + j sin( ωt) ] + [ cos(( ω + Ω) t + Φ) + j sin(( ω + Ω) t + Φ) ] + ms ms + [ cos(( ) t ) + j sin(( ) t )] S cos( t) cos[( ) t ] = + ω Ω Φ ω Ω Φ ω ω + Ω + Φ + ms + cos(( ) t ). ω Ω Φ Spektrum amplitudově modulovaného signálu, v případě kdy modulač ním signálem je jediná harmonickáfunkce s ú hlovým kmitoč tem Ω, je složeno ze tří složek na kmitoč tech ω, ω + Ω a ω - Ω. Postranní složky mají velikost ms /. 7

3 Obr.3.3. Spektrum amplitudově modulovaného signálu. r 3.. Urč ete rovnici amplitudově modulovaného signálu, chceme-li dosáhnout hloubky modulace % při daném modulač ním signálu s m (t)=sin(t)+sin(3t). Kmitoč et nosné f = 75Hz, amplituda nosné je S =,V. Nakreslete fázorový diagram pro t =.s a spektrum. Modulač ní funkce musí být normovaná. Proto je nejprve nutné najít maximální hodnotu modulač ního signálu. Najdeme tedy jeho extrém: d [ sin( t) + sin( 3 t) ] =, dt cos( t) + 3 cos( 3 t) =. Tuto rovnici je možno upravit např. pomocí známého vztahu: cos( a)cos( b) = cos( a + b) + cos( a b). Zvolíme-li a=t, b=t, dostáváme: cos( t)cos( t) cos( t) = cos( 3 t). Levou stranu dosadíme do ř ešené rovnice a dostaneme: [ ] cos( t ) + 3 cos( t )cos( t ) cos( t ) = /: cos( t ) cos( t ) = Dále platí: cos( a) cos ( a) = a tedy cos ( t ) 8 = cos( t ) = t = arccos t =. 9s 3 ( ) 3 Řešení je periodické s periodou T =,s neboť funkce cos(t) je periodickás periodou. Nyní určíme hodnotu s m (,9) sin( t 9) + sin( 3, 9) =

4 3. Amplitudově modulované signály ( n Normovanou modulač ní funkci určíme podle vztahu s ) m ( t) = sm ( t) / max( sm ( t)). Vzhledem k požadavku % hloubky modulace je m =. Výslednárovnice amplitudově modulovaného signálu je tedy: s( t) =, + [ sin( t) + sin( 3 t) ] cos( 5 t) V. 54. s(t) [V] t[s] Obr.3.4. Č asový průběh AM signálu s modulač ní funkcí s m (t) = sin(t) + sin(3t). Pro zobrazení signálu v komplexní rovině upravíme vztah s(t):. e e e e s( t) = Re j j jt jt j3t j3t e j5t = j j j j j5t jt j t j t j t = Re. e +. e e + e e + e e + e e , j j j. j. { ( )} s (. ) = Re e + e + e + e =. 47. Obr.3.5. Fázorový diagram amplitudově modulovaného signálu, t =,s.. Pro pohodlné urč ení spektra můžeme vztah pro s(t) ještě upravit: s( t) =, cos( t) +, cos t cos t cos t cos t

5 Obr.3.. Spektrum amplitudové modulace př i modulaci dvěma harmonickými signály. r 3.3. Amplitudově modulovaný signál je zadán svým spektrem. Urč ete: a) hloubku modulace, b) rovnici modulovaného signálu. Obr.3.7. Spektrum amplitudové modulace k příkladu 3.3. Určíme souč et jednotlivých harmonických složek: s( t) =, cos.,. t +, cos.,. t, cos.,. t Protože platí: cos( a)cos( b) = cos( a + b) + cos( a b), můžeme psát

6 3. Amplitudově modulované signály s( t) =, cos.,. t +, cos.,. t cos.,. t = 4 =, +, cos.,. t + cos.,. t + 4 = 4 =, +, cos t cos,. t m=,7. Do minima znalostí problematiky amplitudové modulace patří závěry příkladu 3.. Při jejich využití by bylo možno přímo psát S =,V, ω =,. rad/s, Ω = (.3 -,. ) = 4 4 rad/s. Φ = /-/4=/4rad a ϕ = /rad. Dále platí m.,/ =.7 m =,7. V r 3.5. Na osciloskopu byl sejmut č asový průběh amplitudově modulovaného signálu. Bylo zjištěno, že minimální amplituda obálky S min =.5V (viz obr.3.), maximální amplituda S max =.75V. Další ú daje nebyly změř eny. Urč ete hloubku modulace. Vztah pro její urč ení odvoďte obecně. Obálka AM signálu nabude hodnoty S min jestliže s m (t)=- a hodnoty S max pro s m (t) (viz. 3.). Pak tedy dostaneme dvě rovnice: S = S ( m), min S = S ( + m). max Z první vyjádříme: Smin = ( m) S, Smax( m) = Smin ( + m) m S max = S Smax + S Po dosazení: m = = Hloubka modulace je tedy př ibližně 55.5% min min. Uvedený postup měř ení hloubky modulace lze s výhodou použít v případě, je-li splněna podmínka ω >> Ω. V opač ném případě by mohl nastat problém s urč ením S min a S max, neboť signál by nemusel mít v potř ebném bodě maximum. r 3.. Urč ete spektrální funkci amplitudově modulovaného signálu S AM (ω), jestliže modulač ní funkce s m (t) je zadána obecně a její spektrální funkce S m (ω) je omezena na pásmo ú hlových kmitoč tů ω -ω m, ω m. Pro spektrální funkci AM signálu platí: jωt S jω t jω t jωt S AM ( ω) = S [ + msm ( t) ] cos( ω t) e dt = ( e + e ) e dt =

7 ms jω S + S t jωt jωt j( ω ω ) t j( ω ω ) t = sm ( t)( e + e ) e dt = e dt + e dt + ms j( ω + ω ms ) t j( ω ω ) t + sm ( t) e dt + sm ( t) e dt. Zavedeme-li kmitoč ty: ν=(ω+ω ) a µ=(ω-ω ), pak můžeme psát: S j t S j t ms j t ms j t e dt e dt sm t e dt sm t e dt ν = µ ( ) ν ( ) µ S S ms ms S = m S m δ( ν) + δ ( µ ) + ( ν ) + ( µ ). První dva integrály př edstavují výpoč et spektrální funkce stejnosměrného signálu, druhé dva integrály jsou výpoč ty spektrálních funkcí modulač ního signálu. Výslednáspektrální funkce tedy bude: ms ms S S S S ( ω) = δ ( ω + ω ) + δ ( ω ω ) + m ( ω + ω ) + S m ( ω ω ). Poznámka: Výpoč et. a. integrálu lze snadno ukázat s využitím filtrač ního účinku Diracova impulsu: { } δ ω ω jωt ω jω t jω t ( ) e d = e F e = δ ( ω ω ) jω t jωt e e dt = δ ( ω ω ). Obr.3.8. Spektrální funkce a) modulač ního a b).amplitudově modulovaného signálu. Spektrální funkce S m (ω) AM signálu vznikne tak, že spektrální funkce modulač ního signálu S m (ω) se posune na kmitoč ty -ω a ω a vynásobí se č lenem ms /. Na obou kmitoč tech -ω a ω se objeví Diracovy impulsy o mohutnosti S.