Jméno: Řešení Datum: 13.5.2010 A 2.C 1) Vojenskou kolonu budou tvořit dva terénní vozy UAZ, tři auta Praga V3S a čtyři Tatry 138. Kolika způsoby lze kolonu seřadit, jestliže: a) Na pořadí vozidel nejsou kladeny žádné podmínky. b) Stejná vozidla mají jet za sebou. c) Stejná vozidla mají jet za sebou a přitom terénní vozy UAZ musí být před vozy T 138. 2) V peněžence máme 6 korunových, 4 dvoukorunové, 3 pětikorunové a 3 desetikorunové mince. Kolik různých částek můžeme z nich zaplatit a) právě třemi mincemi, b) nejvýše třemi mincemi? 3) Kolik přímek je určených 10 různými body v rovině, jestliže a) žádné tři z nich neleží na jedné přímce, b) právě čtyři z nich leží na jedné přímce a žádné tři další ze zadaných bodů již neleží na jedné přímce? 4) Z 10 různých tulipánů a 8 různých narcisů se má uvázat kytice, která obsahuje 2 tulipány a 3 narcisy. Určete, kolik různých kytic lze takto sestavit. 5) 5 dívek a 3 chlapci si chtějí zahrát volejbal. Kolika různými způsoby se mohou rozdělit do dvou družstev po čtyřech tak, aby v každém družstvu byl alespoň jeden chlapec? 6) Určete, kolik různých pětičlenných přirozených čísel lze sestavit z číslic 1 a 5, má-li se v každém z nich opakovat číslice 1 třikrát a číslice 5 dvakrát. 7) Zámek se otevírá při vytočení hesla složeného z 5 písmen vybraných z 10 písmen napsaných v otvorech kotouče. Kolik takových hesel lze vytvořit? 8) Kolik ze všech permutací písmen A, B, C, D, E, F začíná písmenem A a končí písmenem F? Kolik jich je takových, že mají písmena A, B, C vedle sebe, ale v libovolném pořadí? 9) Kolik různých trikolor lze sestavit z prvků sedmi spektrálních barev? (Trikolora obsahuje tři různobarevné pruhy, přičemž záleží na jejich pořadí.) 1 10) Řešte v oboru rovnici s neznámou n : V ( 3, n) + 3V( 2, n) = P( n+ 1) 2
Jméno: Datum: 13.5.2010 B 2.C 1) Vojenskou kolonu budou tvořit dva terénní vozy UAZ, tři auta Praga V3S a čtyři Tatry 138. Kolika způsoby lze kolonu seřadit, jestliže: a) Na pořadí vozidel nejsou kladeny žádné podmínky. b) Stejná vozidla mají jet za sebou. c) Stejná vozidla mají jet za sebou a přitom terénní vozy UAZ musí být před vozy T 138. 2) V osudí je 10 stejných (hmatem nerozlišitelných) lístků, které jsou očíslovány čísly 1 až 10. Kolika různými způsoby lze vytáhnout z osudí trojici lístků, jestliže se nepřihlíží k pořadí, v němž jsou lístky taženy, a jestliže se tažené lístky a) nevracejí, b) vracejí zpět do osudí. 3) Kolik rovin je určených 10 různými body v prostoru, jestliže a) žádné čtyři z nich neleží v jedné rovině, b) právě pět z daných bodů leží v jedné rovině, přičemž žádné tři z nich neleží v jedné přímce a žádné čtyři jiné z daných bodů již neleží v jedné rovině, c) žádných pět z daných bodů neleží v jedné rovině a právě tři z daných bodů leží v jedné přímce? 4) Na písemné zkoušce z matematiky je 20 studentů, z nichž je 6 výborně připraveno ke zkoušce. Polovina ze všech studentů bude mít stejné zadání úloh. Kolika různými způsoby lze studenty rozdělit, aby v obou polovičních skupinách byli vždy tři z výborně připravených studentů? 5) Ve třídě je 19 chlapců a 12 dívek. Určete, kolika způsoby lze z nich vybrat tříčlennou skupinu, ve které jsou a) pouze chlapci, b) pouze dívky, c) dva chlapci a jedna dívka. 6) V rychlíkové soupravě jsou zařazeny tyto druhy vagonů: dva služební vozy, jeden jídelní vůz, čtyři lůžkové a tři lehátkové vozy. Kolika různými způsoby je možné sestavit z nich část rychlíkové soupravy? 7) Kolik je všech možných státních poznávacích značek aut sestavených ze tří písmen abecedy A až Z (o 22 písmenech), za nimiž následují čtyři číslice 0 až 9? 8) Kolik různých pěticiferných přirozených čísel lze zapsat číslicemi 0, 1, 4, 7, 9, nemá-li se žádná číslice opakovat? Kolik z nich je dělitelných deseti? Kolik uvažovaných čísel je sudých? 9) Před odjezdem na prázdniny si 8 kamarádů slíbilo, že si navzájem pošlou pohlednice z cest. Kolik pohlednic si celkem poslali, jestliže všichni splnili svůj slib? 10) Řešte v oboru rovnici s neznámou n : V ( 3, n) = V( 3, n) + 225