1. KOMBINATORIKA. Příklad 1.1: Mějme množinu A a. f) uspořádaných pětic množiny B a. Řešení: a)

Transkript

1 1. KOMBINATORIKA Kombinatoria je obor matematiy, terý zoumá supiny prvů vybíraných z jisté záladní množiny. Tyto supiny dělíme jedna podle toho, zda u nich záleží nebo nezáleží na pořadí zastoupených prvů (rozlišujeme ta supiny nazývané permutace, variace a ombinace), a dále podle toho, zda se prvy v jednotlivých supinách mohou či nemohou opaovat (supiny pa nazýváme s opaováním nebo bez opaování).. Urči počet všech a) uspořádaných troji b) uspořádaných dvoji c) dvojic prvů množiny A, ve terých se žádný z prvů neopauje, d) uspořádaných dvoji e) dvojic prvů množiny A, ve terých se může opaovat aždý z prvů, Přílad 1.1: Mějme množinu A a, c f) uspořádaných pětic množiny B a, b. Řešení: a) (, a) a 6 b) (, b) a 6 c) ( a, c) d) (, c) a 9 e) (, c) a 6 f) ( a, b), ( b, a 10 ) 3 Při určování počtu vytvářených -tic (dvoji troji...) se řídíme záladními větami ombinatoriy, terým jsou ombinatoricé pravidlo součtu a ombinatoricé pravidlo součinu: Věta 1.1: (ombinatoricé pravidlo součinu) Počet všech uspořádaných -tic (dvoji troji...), jejichž první člen lze vybrat n 1 způsoby, druhý člen n 2 způsoby atd. až -tý člen n způsoby, je roven n n... n 1 2. Přílad 1.2: Při cestě z Ostravy do Tábora (přes Prahu) lze použít tyto dopravní prostředy: 1

2 Ostrava - Praha: autobus, vla, letadlo, auto Praha - Tábor: autobus, vla, auto. Kolia možnými způsoby se dostaneme z Ostravy do Tábora? Řešení: Z Ostravy se do Prahy dostaneme pomocí 4 dopravních prostředů a z Prahy do Tábora pomocí 3. Ke aždé cestě do Prahy máme 3 možnosti, ja poračovat do Tábor je tedy celem možností, ja cestovat z Ostravy do Prahy. Věta 1.2: (ombinatoricé pravidlo součtu) Mějme onečné množiny A 1, A 2,..., A, teré mají po řadě n 1, n 2,..., n prvů. Jsou-li aždé dvě množiny navzájem disjuntní, tzn. neobsahují žádný společný prve, pa počet prvů množiny A1 A2... A je roven n1 n2... n. Přílad 1.3: Urči počet všech přirozených dvojciferných čísel, v jejichž deadicém zápisu se aždá číslice vysytuje nejvýš jednou. Řešení: Všechna přirozená dvojciferná čísla můžeme rozdělit do dvou disjuntních supin ta, že v první jsou dvojciferná čísla s různými číslicemi a ve druhé dvojciferná čísla se stejnými číslicemi. Počet všech dvojciferných čísel je 90, počet dvojciferných čísel se stejnými číslicemi je 9 (jsou to čísla 11, 22,, 99). Označíme-li hledaný počet dvojciferných čísel s různými číslicemi x, pa platí: x + 9 = 90. Odtud dostáváme, že x = 81. Obr.1.1: 1) PERMUTACE (z n prvů) - jsou uspořádané n-tice vytvářené z n prvů (uspořádané, tzn. záleží na pořadí) a) bez opaování: P( n) - viz Přílad 1.1 a) - záladní množin jejíž uspořádání měníme, má n různých prvů - umisťuji n prvů na n pozic: na 1. místo mám n možností, na 2. místo (n-1) možností, na (n-1). místo 2 možnosti a na n-té místo 1 možnost n( n 1) ( n 2) Poznáma: Označení n! používáme pro fatoriál přirozeného čísla n. Zápis n! čteme n fatoriál a pro aždé přirozené číslo n jej definujeme jao ( n 1) n. Dále je definováno 0! 1. 2

3 Přílad 1.4: Kolia způsoby lze seřadit 8 sprinterů na startovní čáru? Řešení: Tvoříme uspořádané osmice z 8 prvů. Měníme-li pořadí prvů celé supiny, vytváříme permutace. Jejich počet je dán vzorcem P( n), existuje tedy P ( 8) 8! možností, ja seřadit 8 sprinterů na startovní čáru. b) s opaováním: P ( n) n! n!... n! viz Přílad 1.1 f) - záladní množin jejíž uspořádání měníme, má n prvů, existuje v ní vša supin nerozlišitelných prvů, jejichž počty jsou n n,..., n 1, 2 Přílad 1.5: Koli různých čísel lze vytvořit užitím všech cifer čísla ? Řešení: Tvoříme uspořádané devítice z 9 prvů, vytváříme tedy permutace. Jeliož ale množina obsahuje supiny nerozlišitelných prvů (jednotlivé jedničy od sebe nerozlišujeme, protože jejich záměnou nedostáváme nové číslo, stejně ta nerozlišujeme jednotlivé dvojy), 9! jedná se o permutace s opaováním, jejichž počet je P ( 9) Užitím všech 4!3!1!1! zadaných cifer lze tedy vytvořit 2520 různých čísel. 2) VARIACE (-té třídy z n prvů) - jsou uspořádané -tice vytvářené z n prvů (uspořádané, tzn. záleží na pořadí) a) bez opaování: V ( n) ( n )! - viz Přílad 1.1 b) - záladní množina má n různých prvů, ze terých tvoříme uspořádané -tice, ve terých se žádný z prvů nesmí opaovat - umisťuji prvů na pozic: na 1. místo mám n možností, na 2. místo (n-1) možností, na -té místo ( n ( 1)) n 1 možností n ( n 1) ( n 2)... ( n 1) ( n )! Přílad 1.6: Na startu běžecého závodu je 8 atletů. Kolia způsoby mohou být obsazeny stupně vítězů? Řešení: Na obsazení první pozice máme celem 8 možností. Ke aždé této možnosti máme 7 možností na obsazení pozice druhé a e aždé dvojici na prvních dvou místech připadá v 8! úvahu 6 závodníů, teří mohou obsadit pozici třetí. Je tedy celem (8 3)! V (8) 336 možností, ja mohou být na onci závodu obsazeny stupně vítězů. 3 b) s opaováním V ( n) n 3

4 - viz Přílad 1.1 d) - záladní množina má n různých prvů, ze terých tvoříme uspořádané -tice, ve terých se aždý z prvů může libovolně opaovat - umisťuji prvů z n možných na pozic: na 1. místo mám n možností, na 2. místo taé n možností (prvy se mohou opaovat), na -té místo rovněž n možností n n... n n Přílad 1.7: Urči počet všech možných pěticiferných ódů. Řešení: Když náhodně volím pěticiferný ód, vybírám na aždou pozici jednu cifru z deseti 5 možných. Počet všech možných pěticiferných ódů je tedy V 5 (10) ) KOMBINACE (-té třídy z n prvů) - jsou -tice vytvářené z n prvů, u terých nezáleží na pořadí n a) bez opaování: C ( n) - viz Přílad 1.1 c) - záladní množina má n různých prvů, ze terých vybíráme -tice, ve terých nezáleží na tom, v jaém pořadí jsou prvy uspořádány. Žádný z prvů se v -tici nesmí opaovat. - vycházím z variací bez opaování, těch je. U variací záleží na pořadí, je jich proto ( n )!! -rát víc než ombinací (aždou -tici lze uspořádat! způsoby) zlome dělím! n n Poznáma: Označení používáme pro ombinační číslo. Zápis čteme n nad a n pro aždou dvojici přirozených čísel n a jej definujeme jao. Je snadné ( n )!! n n n n n doázat, že 1, n a. 0 n 1 n Přílad 1.8: Na výtah, do něhož můžou nastoupit nejvýše 2 osoby, čeá 6 osob. a) Koli je možností, ja vybrat 2 osoby, teré výtahem pojedou? b) Koli je možností, ja vybrat 4 osoby, teré výtahem nepojedou? Řešení: a) Tvoříme dvojice ze šesti prvů, přičemž nezáleží na pořadí (pojede-li Mire s Janou, je to totéž, jao dyž pojede Jana s Mirem) a jednotlivé prvy se nemohou se opaovat (nemohu do výtahu umístit jednu osobu dvarát). Jedná se tedy o ombinace bez opaování, de n = 6 6 6! 6 5 4! a = 2. Jejich počet je C 2 (6) 15. Existuje tedy 15 možností, ja 2 (6 2)!2! 4!2 vybrat 2 osoby, teré výtahem pojedou. 4

5 b) Vybíráme čtveřice z 6 oso opět jde o výběr bez opaování, de nezáleží na pořadí. Jedná 6 6! 6 5 4! se tedy o ombinace 4. třídy z 6 prvů a těch je C 4 (6) (6 4)!4! 2!4! Možností, ja vybrat 4 osoby, teré nenastoupí, je celem 15. Vidíme, že počet možností, ja vybrat 2 osoby, teré výtahem pojedou, je stejný, jao počet n n možností výběru 4 oso teré zůstanou čeat (ilustruje platnost vlastnosti ). n n 1 b) s opaováním: C ( n) - viz Přílad 1.1 e) - záladní množina má n různých prvů, ze terých vybíráme -tice, ve terých nezáleží na tom, v jaém pořadí jsou prvy uspořádány. Každý z prvů se přitom v -tici může libovolně opaovat. Přílad 1.9: V curárně prodávají 10 druhů záusů. Kolia způsoby lze objednat 8 záusů? Řešení: Vybírám 8 prvů z 10 možných, přičemž v provedeném výběru nezáleží na pořadí (dyž záusy přesládám, nepovažuji to za odlišný náup) a prvy se mohou opaovat (milovníci šlehačy si oupí 8 remrolí). Jedná se tedy o ombinace 8. třídy z 10 prvů ! ! s opaováním, a těch je C 8 (10) !8! 9!8! 5

6 Přílady procvičení: 1. V plně obsazené lavici sedí 6 žáů: d,e,f. a) Kolia způsoby je lze přesadit? b) Kolia způsoby je lze přesadit ta, aby žá c seděl na raji? 2. Koli různých přesmyče lze vytvořit použitím všech písmen slova a) STATISTIKA, b) MATEMATIKA? 3. Na hoejovém turnaji o 8 družstvech se hraje systémem aždý s aždým. Koli zápasů bude celem odehráno? 4. Deset přátel si vzájemně poslalo pohlednice z prázdnin. Koli pohlednic celem rozeslali? 5. Koli prvů obsahuje množina všech pěticiferných přirozených čísel? 6. V prodejně nabízí 7 druhů pohlednic. Kolia způsoby lze oupit a) 10 pohledni b) 5 pohledni c) 5 různých pohlednic? 7. Koli různých hodů můžeme provést a) dvěma ostami, b) třemi ostami? 8. Ve třídě je 12 chlapců a 15 díve. Kolia způsoby lze vybrat pětici dětí, terá se zúčastní přivítání zahraniční delegace, mají-li v ní být zastoupeny 3 dívy a 2 chlapci? 9. Urči počet všech možných trojciferných ódů, ve terých se cifry a) nemohou opaovat, a) mohou opaovat. 10. Kolia způsoby lze rozesadit 8 studentů 8 různým počítačům? 11. V nihupectví prodávají 10 titulů nižních novine. Kolia způsoby lze oupit a) 4 noviny, b) 5 různých novine? 12. Student má v nihovně 4 různé učebnice pružnosti, 3 různé učebnice matematiy a 2 různé učebnice fyziy. Kolia způsoby je lze seřadit, mají-li zůstat učebnice jednotlivých předmětů vedle sebe? 13. Koli různých čísel lze vytvořit užitím všech cifer čísla a) , b) ? 6