Trivium z optiky 95 1. Jednoduché zrazovací soustavy. V předcházející kapitole jsme prrali poměrně podrně některé ecné výsledky vyplývající z teorie optického zrazování. V této kapitole je aplikujeme na několik konkrétních, v každodenní praxi velmi užitečných příkladů. Věnujte jim pozornost, většina optických přístrojů, s nimiž se setkáváte ve svém životě, je jejich více či méně komplikovanou realizací. 1.1 Kulové zrcadlo. 1. Lámavá kulová plocha. 1.3 Tlustá čočka. 1.4 Tenká čočka. 1.5 Optické přístroje. 1.5.1 Objektiv. 1.5. Lupa, ulár. 1.5.3 Mikroskop. 1.5.4 Dalekohled. 1.1 Kulové zrcadlo. Kulové zrcadlo je tvořeno kulovým vrchlíkem, který zcela odráží paprsky na něj dopadající. 1 Je jednoznačně zadáno svým středem, poloměrem a vrcholem. Je osově symetrické osou symetrie je přímka procházející jeho středem a vrcholem. Kulové zrcadlo je tedy centrovanou zrazovací soustavou. Poloměr kulového zrcadla je vykle opatřen znaménkem. Měří se od vrcholu zrcadla k jeho středu, a pud míří ve směru dopadajících paprsků (na rázku zleva doprava), má znaménko kladné a samotné zrcadlo se nazývá vypuklým (konvexním ), v opačném případě je poloměr zrcadla záporný a zrcadlo nazveme dutým (konkávním ). Kulové zrcadlo není ideální zrazovací soustavou. Zadaný bod se v něm zrazí s dostatečnou přesností opět na jediný bod, jen pud se nachází blízko optické osy a jsou-li současně k jeho zrazení použity paprsky, které s optickou osou svírají malé úhly. 3 V opačném případě se pa- 1 Reálná zrcadla se tomuto ideálnímu modelu samozřejmě jen více či méně blíží. Vše závisí na technologii úpravy jejich odrazivého povrchu. Vše (směr dopadajících paprsků i znaménko poloměru) je ovšem jen a pouze věcí dohody, konvence. Bez újmy na ecnosti bychom se mohli dohodnout úplně jinak, jen bychom museli naši dohodu důsledně dodržovat během celého výkladu. V literatuře věnované optickému zrazování se proto čtenář může setkat s celou řadou dalších dohod (konvencí). 3 Množinu paprsků blízkých optické ose a svírajících s optickou osou jen velmi malé úhly (takové, pro něž je možno goniometrické funkce sin a tg s dostatečnou přesností nahradit samotnými úhly vyjádřenými v loukové míře), nazýváme vykle Gaussovým nulovým (či paraxiálním ) prostorem. Pro paprsky z Gaussova prostoru pak vykle používáme označení nulové či paraxiální.
96 Jednoduché zrazovací soustavy prsky z tohoto bodu vycházející neprotínají po odrazu na zrcadle v jediném bodě, ale nanejvýš se navzájem sblíží jen v jakési malé lasti prostoru. Čím menší jsou úhly, které tyto paprsky svírají s optickou osu, tím menší je i zmíněná last a tím lépe se dá nahradit jediným bodem. 4 Abychom kulové zrcadlo definovali jako zrazovací soustavu, musíme určit např. jeho ohniska a ohniskové vzdálenosti. Pomocí výsledků odvozených v předcházející kapitole pak už snadno nalezneme i další charakteristiky (hlavní body, hlavní a ohniskové roviny, uzlové body) a napíšeme příslušné zrazovací rovnice. Začněme nalezením ohnisek. K tomuto účelu vyřešíme poněkud ecnější úlohu a to, jak kulové zrcadlo zrazuje body ležící na jeho optické ose. Vše potřebné je zachyceno v připojeném rázku. 5 Z bodu P vychází paprsek, který svírá s osou zrcadla malý úhel α. 6 Na odrazivou kulovou plochu dopadá paprsek v místě X a odráží se podle zákona odrazu velikosti úhlů ε a ε jsou stejné. Odražený paprsek protíná po prodloužení za zrcadlo optickou osu v bodě P, který je zřejmě razem bodu P. Pomocí rázku není těžké ukázat, že platí A 1 1 + =. u u r K tomu, abychom nalezli polohu předmětového a razového ohniska zrcadla, si stačí už jen uvědomit, že razové ohnisko F je razem levého nekonečna ( u F ), tedy u F = r/, a že se předmětové ohnisko do nekonečna zrazí ( uf = r/. u F + ), neboli Obě ohniska jsou tedy pro kulové zrcadlo totožná a leží ve středu úsečky VS spojující vrchol zrcadla s jeho středem. Roviny kolmé k ose symetrie zrcadla a procházející tímto bodem jsou zřejmě rovinami ohniskovými. Ohniskové vzdálenosti zadaného kulového zrcadla určíme pomocí zrazovací rovnice pro příčné zvětšení. V dalším se tedy budeme zabývat tím, jak se v zrcadle zrazí body ležící mimo jeho optickou osu. Opět vycházíme z rázku. Zrazovaný bod je v něm označen písmenem P, jeho raz jako P. Spojnice bodů P a P nutně prochází středem našeho zrcadla jedná se totiž o paprsek, jemuž odpovídá nulový úhel dopadu, ε = 0, a podle zákona odra- 4 Právě zmíněný nedostatek kulových zrcadel se nazývá otvorovou (kulovou ) vadou. V jejím důsledku je zrazení pomocí kulových zrcadel stigmatické jen do jisté míry. Na druhé straně ale zrazení kulovými zrcadly netrpí další vyklou vadou reálných zrazovacích soustav vadou barevnou, kdy poloha razu zrazovaného bodu závisí na vlnové délce použitého světla. Eliminace ou zmíněných jakož i dalších vad zrazovacích soustav je v praxi velmi tížnou úlohou. O jejím významu při konstrukci optických přístrojů není jistě třeba hovořit. 5 Odvození uvádíme v tomto odstavci jen pro vypuklá zrcadla. Čtenář si jistě sám snadno zopakuje naznačený postup i pro zrcadla dutá. 6 O všech paprscích předpládáme, že patří do Gaussova nulového prostoru a jsou tedy paraxiální. Úhly měříme od osy zrcadla k paprskům a kladný směr ztotožňujeme, jak je to vyklé, se směrem proti chodu hodinových ručiček (viz též matematický dodatek A).
Trivium z optiky 97 zu i nulový úhel odrazu, ε = 0. Trojúhelníky PKS a P K S jsou tedy podné a můžeme proto psát 7 PK u + r =,. PK ' ' r u nebo též y r u =, y r u kde y = PK a y' = P' K'. Pomocí tohoto vztahu již snadno nalezneme polohy hlavních bodů a hlavních rovin zadaného kulového zrcadla. Hlavním rovinám totiž přísluší podle definice jednotkové zvětšení, y/y = 1, a proto též musí podle výše uvedeného platit ( r u )/( r u ) = 1. To po úpravách vede k důležitému výsledku u = u. H H Protože u a u mají pro vypuklé kulové zrcadlo nutně opačná znaménka 8, nemůže být jinak než, že u = u =. H H H H 0 Hlavní roviny kulového zrcadla jsou tedy totožné a procházejí jeho vrcholem, který tudíž splývá s ěma hlavními body. Pro ohniskové vzdálenosti kulového zrcadla můžeme proto ve shodě s tím, co jsme uvedli výše pro jeho ohniska, psát f = f = r/. Vzhledem k tomu, že a hlavní body splývají pro kulové zrcadlo s jeho vrcholem, nejsou námi zavedené pomocné souřadnice u a u ničím jiným než předmětovými a razovými vzdálenostmi definovanými v odstavci 11.3.5: u = a, u = a. Pomocí tohoto faktu jakož i s využitím vzorců pro ohniskové vzdálenosti můžeme též amžitě napsat odpovídající Newtonovy i čočkové zrazovací rovnice. Kulová zrcadla jsou vždy katoptrickými zrazovacími soustavami, vypuklá zrcadla navíc soustavami rozptylnými a dutá spojnými. Zvláštním případem kulových zrcadel je zrcadlo rovinné (r ), které je jednoduchým příkladem soustavy teleskopické ( f = f ). 1. Lámavá kulová plocha. Pod lámavou kulovou plochou rozumíme kulové rozhraní dvou izotropních homogenních dielektrik o odlišných indexech lomu. Index lomu prostředí vlevo od rozhraní (odtud podle naší konvence přicházejí paprsky a zde se nacházejí i zrazované předměty) označíme n, index lomu vpravo od rozhraní n. Lámavá kulová plocha je jednoznačně určena ěma indexy lomu a, podně jako kulové zrcadlo, svým středem, poloměrem a vrcholem. Její poloměr, stejně jako v případě kulového zrcadla, opatříme znaménkem kladným, je-li směr od vrcholu ke středu zrcadla totožný se směrem dopadajících paprsků (v naší konvenci zleva doprava) a záporným v případě opačném. V prvním případě hovoříme o kulové ploše vypuklé, ve druhém o ploše duté. Lámavá kulová plocha je centrovanou zrazovací soustavu osou symetrie je přímka spojující její vrchol a střed plochy. 7 Opakujeme to již do omrzení, ale opět si pořádně rozmyslete znaménka jednotlivých veličin. 8 Platí sice jen pro vypuklé zrcadlo, konečné tvrzení o totožnosti hlavních bodů s vrcholem zrcadla je ale ecné.
98 Jednoduché zrazovací soustavy Podně jako kulové zrcadlo ani lámavá kulová nesplňuje požadavky kladené na ideální zrazovací soustavu přesně. Té se svými zrazovacími vlastnostmi blíží jen, pud se při zrazování omezíme na paprsky z Gaussova nulového prostoru. Lámavá kulová plocha trpí, podně jako kulová zrcadla, otvorovou vadou, další pro ni typickou vadou je tzv. vada barevná. V tomto případě poloha razu závisí na vlnové délce použitého světla a při použití světla bílého vzniká nekonečně mnoho navzájem mírně posunutých razů různých barev. 9 Barevná vada je důsledkem závislosti indexu lomu na vlnové délce světla, tedy disperze použitých materiálů (dielektrik). K nalezení klíčových charakteristik lámavé kulové plochy (např. jejích ohnisek a ohniskových vzdáleností) je zapotřebí dných výpočtů, jaké jsme provedli pro kulová zrcadla v předcházejícím odstavci. Vychází se z podných rázků (ty pro jistotu uvádíme explicitně), používá se dných značení, téměř identických postupů i stejných zjednodušení (např. předplad o příslušnosti paprsků do Gaussova prostoru). Jen na místo zákona odrazu nastupuje, zcela podle očekávání, Snellův zákon lomu (význam jednotlivých symbolů viz rázek 10 ) nebo za předpladu malých hodnot úhlů ε a ε nsin ε n sin ε =, nε n ε. Bylo by zřejmě nošením dříví do lesa provádět celý výpočet znovu a stejně podrně, jak jsme to učinili pro kulová zrcadla. To přenecháváme čtenáři jako snadné cvičení a ověření míry pochopení předcházejícího výkladu a na tomto místě jen shrnujeme hlavní výsledky. Předmětové a razové ohnisko v případě lomu na kulové ploše, na rozdíl od zrcadel, nesplývají, jejich polohy jsou dány v pomocných souřadnicích u a u vztahy nr u F =, u n F n = nr n n. Hlavní body lámavé kulové plochy naopak, stejně jako pro kulová zrcadla, splývají s jejím vrcholem V, uh = u H = 0. Oba vztahy udávající polohu ohnisek lámavé kulové plochy jsou proto i vzorci pro její ohniskové vzdálenosti nr nr f =, f n n = n n, a pomocné souřadnice u a u jsou, opět stejně jako v případě kulových zrcadel, předmětovou a razovou vzdáleností a a a. Pomocí hlavních bodů a známých ohniskových vzdáleností již bez potíží nalezneme i ostatní charakteristiky lámavé kulové plochy (ohniskové a hlavní roviny, uz- 9 Barevnou vadou trpí dále všechny zrazovací soustavy, které sahují jednu či více lámavých kulových ploch, např. čočky. 10 V rázcích se omezujeme, podně jako pro zrcadla, jen na plochu vypuklou.
Trivium z optiky 99 lové body) a napíšeme příslušné zrazovací rovnice. I to přenecháváme čtenáři jako snadné, leč užitečné cvičení. Lámavé kulové plochy jsou jednoduchým příkladem dioptrických zrazovacích soustav. Vypuklé plochy (r > 0) jsou soustavami spojnými pro n > n a rozptylnými pro n < n, v případě dutých ploch (r < 0) je tomu naopak. 1.3 Tlustá čočka. Pod tlustou čočkou (nebo jen stručně čočkou) rozumíme dvojici centrovaných lámavých kulových ploch ohraničujících prostředí o indexu lomu n vnořené do olního prostředí o indexu lomu n. 11 Číslujeme-li ě plochy (viz rázek) zleva doprava, můžeme v notaci odstavce 1. psát n1 = n, n 1 = n, n = n a n = n. Tlustá čočka je jednoznačně zadaná ěma indexy lomu, parametry ou kulových ploch (středy a poloměry) a jejich vzájemnou vzdáleností d = V 1 V (přesněji vzdáleností jejich vrcholů V 1 a V ). Podle definice se jedná o složenou centrovanou zrazovací soustavu, dílčími zrazovacími soustavami jsou ě lámavé kulové plochy. Při hledání základních charakteristik čočky můžeme proto využít výsledků odstavce 11.5. Začneme tím, že zjistíme, jak to je s optickým intervalem studované dvojice lámavých ploch. Tak především, z rázku pro něj plyne (pozor na znaménka) d = f + f, 1 přičemž pro ohniskové vzdálenosti jednotlivých ploch můžeme podle předcházejícího odstavce amžitě psát 1 nr 11 nr1 f1 = = n 1 n1 n n, nr 11 nr 1 f 1 = = n 1 n1 n n, nr nr f = = n n n n, nr nr f = =. n n n n Po dosazení a úpravách získáme snadno konečnou formuli n = d + ( r r1). n n Se znalostí optického intervalu se zbývající odvození stávají jen pouhými dosazeními do vzorců z odstavce 11.5 a nepříliš komplikovanými algebraickými úpravami. Ty přenecháváme čtenáři jako užitečná cvičení a zde shrnujeme jen jejich výsledky: 11 Obvykle bývá n = 1. 1 Uvádíme všechny vzorce, budou se hodit níže.
100 Jednoduché zrazovací soustavy e f f nnr, ( n n)[( n n) d + n( r r )] 1 1 1 = 1 f f nnr e =, ( n n)[( n n) d + n ( r r1)] f1f nnrr 1 f =, ( n n)[( n n) d + n ( r r1)] f 1f nnrr 1 f =. ( n n)[( n n) d + n ( r r )] 1 Dříve, než postoupíme dále, si všimněme jednoho zajímavého důsledku, který pro tlusté čočky plyne z posledních dvou vztahů, a to rovnosti f = f. Z ní plynou dva neméně zajímavé závěry: Pro tlusté čočky klopené z ou stran stejným prostředím stačí zadat jen jednu z ohniskových vzdáleností. Obvykle se volí razová ohnisková vzdálenost a někdy se též místo ní udává tzv. optická mohutnost čočky, D = 1/f. Pro jednotku optické mohutnosti, 1/m, se pak zpravidla používá vyklejší označení dioptrie. Hlavní a uzlové body tlustých čoček splývají. Tak např. souřadnice hlavního bodu H je v Newtonově souřadnicové soustavě čočky dána podle definice předmětové ohniskové vzdálenosti vztahem x H = -f a souřadnice předmětového uzlového bodu v téže souřadnicové soustavě (viz odst. 11.3.6) vztahem x U = f, což ale vzhledem k f = f dává x U = -f = x H. Dále je též zřejmé, že i zrazovací rovnice nabývají pro tlustou čočku v důsledku vztahu f = f speciálního tvaru (viz odst. 11.3.) xx = f, y = y f / x = yx / f nebo též (viz odst. 11.3.5) 1/ a 1/ a = 1/ f. Pomocí výše uvedených vzorců pro e, e, f a f je tlustá čočka jako zrazovací soustava sice určena jednoznačně, přesto ale je vztažení poloh jejích ohnisek a hlavních bodů k ohniskům jednotlivých lámavých ploch poněkud nepraktické. Mnohem praktičtější by bylo poměřovat polohy určujících prvků čočky vzhledem k něčemu přece jen trochu konkrétnějšímu například k vrcholům lámavých ploch V 1 a V. Pro hlavní body je to v připojeném rázku provedeno pomocí parametrů h a h. Protože zřejmě platí h = f1 + e f a h = f + e f, dostáváme pro a parametry po dosazení a úpravách nrd 1 nrd h = h = ( n n) d + n ( r r1) ( n n) d n( r, + r1). Čtenář jistě sám svede napsat odpovídající vzorce i pro polohy ohnisek tlusté čočky, uvědomí-li si že jejich polohu vzhledem k hlavním bodům udávají ohniskové vzdálenosti f a f. Tlusté čočky jsou dalším příkladem dioptrických zrazovacích soustav. Pro f > 0 (D > 0) se jedná o soustavy spojné, pro f < 0 (D < 0) o soustavy rozptylné. O čočkách s kladnou optickou mohutností proto vykle hovoříme jako o čočkách spojných, nebo stručněji jako o spojkách, o čočkách se zápornou optickou mohutností jako o čočkách rozptylných či o rozptylkách. Čočky jsou složeny ze dvou lámavých ploch, trpí proto stejnými zrazovacími vadami, jakými trpí i tyto plochy samotné (viz předcházející odstavec). Zrazovací vady čoček se vykle alespoň částečně napravují vhodným řazením vícera čoček zhotovených z různých materiálů za sebou a proložením takové složené čočky vhodně umístěnými clonami. Výsledná soustava se pak skládá z většího množství lámavých ploch oddělujících prostředí o různých indexech lomu a s různou mírou disperze. Technologie korekcí zrazovacích vad je dnes vysoce rozvinutou disciplínou, pro naše potřeby ale přece jen příliš specializovanou. Jako taková přesahuje rámec tohoto textu a čtenář se o ní může dovědět více v doporučené a v další specializované literatuře.
Trivium z optiky 101 1.4 Tenká čočka. U mnoha čoček můžeme zanedbat jejich tloušťku a ve vzorcích předcházejícího odstavce psát d = 0. V takovém případě hovoříme o čočce tenké. V praxi je ovšem tloušťka čočky vždy nenulová, reálné čočky se tedy idealizovanému modelu čočky tenké jen více či méně blíží. Toto přiblížení je tím přesnější, čím více je splněn předplad n d ( r r1). n n Pro tenké čočky splývají vrcholy jejich lámavých ploch v jeden bod, V1 V. O tomto bodu hovoříme vykle jako o vrcholu tenké čočky. V nákresech používáme pro tenké čočky speciálních symbolů: < > pro spojky a > < pro rozptylky. Po dosazení d = 0 do vztahů, které jsme odvodili v předcházejícím odstavci pro ecnou (tlustou) čočku, dostaneme odpovídající vzorce pro čočku tenkou. Uveďme dva nejdůležitější: První vztah často píšeme ve tvaru f nrr ( n n)( r r ) 1 = =, f 1 h = h = 0. n 1 f = f =, ( n n) ρ kde ρ 1/ r1 1/ r je tzv. vypuklost tenké čočky. Zajímavější je ovšem vztah druhý, který říká, že a hlavní body tenké čočky jsou totožné s jejím vrcholem a hlavní roviny s rovinou čočky (tj. rovinou vrcholem procházející a kolmou k optické ose). Vzhledem k totožnosti hlavních a uzlových bodů i pro ecné (tlusté) čočky, jsou též uzlové body tenké čočky totožné s jejím vrcholem. Odtud, kromě jiného, plyne, že paprsek vedený vrcholem nemění při průchodu tenkou čočkou svůj směr. Grafické znázornění chodu vybraných paprsků tenkou spojkou a rozptylkou, jakož i náznak grafické konstrukce razu jsou pro a typy tenkých čoček shrnuty v rázku. 1.5 Optické přístroje. Zrak je bezesporu nejdůležitějším a nejvzácnějším ze smyslů, kterými nás příroda dařila. Přesto, anebo možná právě proto se již v dávných dách ukázal být nepostačujícím stále se rozšiřujícím nárům člověka. Zejména pak v souvislosti s rozvojem přírodovědného bádáními v 17. a 18. století se jevila silná potřeba vylepšit lidský zrak přístroji, které by člověku umožnily dohlédnout dále a na vzdálených jektech vidět stále více podrností či pozorovat stále menší a menší detaily na předmětech nás klopujících a dopátrat se tak mikrostruktury živých organismů i předmětů neživých. Vznikla tak celá řada přístrojů, které souhrnně označujeme jako přístroje optické.
10 Jednoduché zrazovací soustavy Vzhledem k významu, který sehrály v procesu poznání přírody, si jistě zaslouží, aby přehled alespoň těch nejjednodušších a nejznámějších uzavřel nejen tuto kapitolu, ale i naše toulky optikou vůbec. 1.5.1 Objektiv. Objektiv je spojná dioptrická soustava sloužící k zrazování nepříliš vzdálených předmětů. V nejjednodušší formě si jej můžeme představit jako prostou (tenkou) spojku, v praxi je ovšem v zájmu maximální korekce zrazovacích chyb složen vykle z více spojných a rozptylných čoček (výsledná soustava je ale vždy spojná!) a doplněn o jednu či více clon regulujících množství světla jím procházejícího. Objektiv vytváří vždy skutečný raz zrazovaného předmětu. Ten může být dále zpracován dvěma základními způsy. Jednak může být po patřičném zvětšení za pomoci dalšího jednoduchého optického přístroje uláru pozorován přímo em. Tak tomu je kupříkladu v mikroskopu či v dalekohledu. Na druhé straně může být raz předmětu vytvořený jektivem zachycen na vhodné stínítko, např. matnici, citlivou fotografickou desku či film, jak tomu je ve fotografických přístrojích či kamerách, nebo donce promítán na stínítko fotoelektricky citlivé a převeden do elektrického (dnes již často digitálního) signálu a jako takový zaznamenán či donce přenášen (např. pomocí elektromagnetických vln) na velmi velké vzdálenosti. V tomto druhém případě se vytváří vždy zmenšený raz skutečnosti, jektiv tedy slouží v jistém smyslu i jako komprimátor uchovávané informace. V jistém smyslu právě opačně funguje jektiv v promítacích přístrojích. Pomocí nich promítáme po patřičném zvětšení zmenšený záznam skutečnosti, vykle zachycený na průsvitném materiálu (celuloidový filmový pás ap.), na promítací plátno. 1.5. Lupa, ulár. Lupa je nejjednodušším optickým přístrojem používaným k pozorování malých předmětů. Jedná se vždy o spojnou dioptrickou soustavu, v nejprostší realizaci jedinou spojnou čočku, v praxi ovšem zpravidla o čočku složenou, aby se maximálně eliminovaly zrazovací vady. Lupa se používá k vytvoření zdánlivého zvětšeného razu předmětu, který je následně pozorován em. Obvykle předpládáme o neakomodované, 13 raz se tedy musí nacházet v nekonečnu a předmět musí být umístěn v předmětové ohniskové rovině lupy. Chod paprsků lupou i způs zrazení malého předmětu je zřejmý z připojeného rázku. Nejdůležitějším parametrem lupy je její zvětšení Z. Jedná se o zvětšení úhlové a je definováno jako poměr tangent zorného úhlu, pod kterým předmět pozorujeme pomocí lupy (α v rázku), a zorného úhlu α, pod kterým bychom pozorovaný předmět viděli v konvenční zrakové vzdálenosti prostým em. 14 Není těžké ukázat, že pro neakomodované o platí B 13 Lidské o má schopnost pozorovat ostře předměty nacházející se v různých vzdálenostech od něj. Toho dosahuje spojitou změnou optické mohutnosti své čočky prostřednictvím změn křivosti jejích lámavých ploch. Pro uvedený jev se vykle používá označení akomodace a. Oko zaměřené do nekonečna se pak nazývá em neakomodovaným. Svaly určené ke změně optické mohutnosti oční čočky jsou v případě a neakomodovaného uvolněny, pozorování v neakomodovaném stavu je tedy pro o nejméně namáhavé. Upozorňujeme, že v celém odstavci věnovaném optickým přístrojům máme na mysli zdravé lidské o takové, které je v neakomodovaném stavu zaostřeno do nekonečna. Oko zaostřené i v neakomodovaném stavu na nějaký konečně, zpravidla nepříliš vzdálený bod, tzv. krátkozraké o, neuvažujeme. 14 Konvenční zraková, nebo též čtecí vzdálenost činí podle definice 5 cm. Je jakýmsi kompromisem, který lidé zvolili na základě své praktické zkušenosti mezi mírou namáhání očních svalů při sledování podrností na pozorovaných předmětech (např. písmen na stránce knihy) a schopností tyto podrnosti vidět.
Trivium z optiky 103 tg α l Z = = l D, tg α f kde l je již zmíněná konvenční zraková vzdálenost a f resp. D ohnisková vzdálenost a optická mohutnost lupy. Zvětšení lupy bývá maximálně deseti až třicetinásné, v případě jednoduché čočky často i menší. Při větších zvětšeních se totiž začínají v neúnosné míře projevovat zrazovací vady. Použijeme-li lupu ke zvětšení a pozorování razu vytvořeného jektivem (např. v mikroskopu či dalekohledu), hovoříme o ní jako o uláru. Konstrukce uláru je ale zpravidla mnohem komplikovanější než u jednoduchých lup. Jejich zvětšení bývají totiž značná, a je proto nezbytné, aby u nich byly v maximální míře potlačeny zrazovací vady. To vyžaduje často velmi důvtipné a komplikované konstrukce, o nichž se čtenář může poučit v doporučené literatuře. 1.5.3 Mikroskop. Mikroskop je optický přístroj používaný k pozorování velmi malých předmětů a k dosahování poměrně velkých zvětšení. Je tvořen centrovanou dvojicí jektivu a uláru s kladným optickým intervalem. Pomocí jektivu se nejdříve zrazí malý předmět do předmětové ohniskové roviny uláru, ulárem je pak zvětšen a zrazen do nekonečna. Paprsky vystupující z uláru vytvářejí po průchodu neakomodovaným em na jeho sítnici silně zvětšený a rácený raz pozorovaného předmětu. Chod paprsků mikroskopem je schématicky znázorněn na připojeném rázku. Základní charakteristikou mikroskopu je jeho zvětšení Z. I v případě mikroskopu, podně jako u lupy, se jedná o zvětšení úhlové a je definováno jako poměr tangent zorného úhlu, pod kterým předmět pozorujeme neakomodovaným em v mikroskopu (α v rázku), a zorného úhlu α, pod kterým bychom pozorovaný předmět viděli na konvenční zrakovou vzdálenost. Dá se vypočítat pomocí jednoduchého vzorce C tg α l Z =. tg α f f Všimněte si, že zvětšení mikroskopu je vždy záporné, mikroskop tedy vytváří převrácený raz. Dále si všimněte, že poměr l/ f není ničím jiným než úhlovým zvětšením uláru a že, jak Při pozorování by pro o bylo zajisté nejvýhodnější zůstat v neakomodované stavu, tj. s donale uvolněnými čočkovými svaly. V tomto případě by totiž bylo pozorování nejméně namáhavé, a tím i dlouhodě únosné. Na druhé straně je však možno neakomodovaným em pozorovat pouze předměty nekonečně vzdálené, takže nejsou-li současně nekonečně velké, mnoho na nich neuvidíme. Abychom naopak viděli maximum detailů, je vhodné předmět k u co nejvíce přiblížit. Ovšem čím je menší vzdálenost pozorovaného předmětu od a, tím více napjaté čočkové svaly musí být, máme-li jej vidět ostře, a tím více se i o namáhá. Navíc možnosti a zaostřit nablízko jsou omezené, pod nějakých 10 15 cm se u průměrného zdravého a stejně nedostaneme. Tento nejbližší bod, na nějž dáže o zaostřit, se vykle nazývá jeho blízkým bodem. Konvenční zraková vzdálenost je ze zkušenosti zvoleným kompromisem mezi odpočinkovým nekonečnem a oněmi deseti patnácti centimetry. Je dost malá na to, abychom mohli pozorovat i malé předměty (např. písmena v knize, a tedy číst), ale na druhé straně i dost velká na to, aby se při tom o příliš neunavilo. Oko, které nemůže zaostřit na vzdálenost menší nebo rovnu konvenční zrakové vzdálenosti, nazýváme em dalekozrakým.
104 Jednoduché zrazovací soustavy amžitě plyne z rázku, poměr / f udává příčné zvětšení jektivu. Můžeme tedy říci, že (úhlové) zvětšení mikroskopu je dáno součinem příčného zvětšení jeho jektivu a úhlového zvětšení jeho uláru. Pomocí mikroskopů dosahujeme, na rozdíl od lup, poměrně vysých zvětšení, běžně sto až tisícinásných. 15 O velkém významu mikroskopu pro přírodní vědy ecně a pro biologii zvláště nebude jistě nikdo pochybovat. Nepřekvapí tedy, že je tomuto optickému přístroji věnována velmi rozsáhlá a často silně specializovaná či na technické podrnosti zaměřená literatura. Čtenář v ní může najít mnoho dalších užitečných informací. Odrazovým můstkem se mohou stát učebnice citované v závěru této kapitoly. 1.5.4 Dalekohled. Dalekohled je optický přístroj určený k pozorování vzdálených předmětů. Z přírodních věd se uplatnil zejména v astronomii. Dalekohled je zpravidla sestaven z jektivu, uláru a podle potřeby i z některých dalších prvků korigujících zrazovací vady. Vše je pak umístěno v pevné kostře (tubusu). Objektiv dalekohledu je buď spojná čočka (vykle složená), v takovém případě hovoříme o dalekohledu čočkovém neboli o refraktoru, nebo kulové zrcadlo a my hovoříme o dalekohledu zrcadlovém neboli reflektoru. Zatímco běžné dalekohledy jsou vždy čočkové, v astronomii se používá ou typů, častěji donce reflektorů. 16 Okulárem může být v dalekohledu spojná i rozptylná čočka. Vzhledem ke kvalitě zrazení se však až na řídké výjimky dává přednost ulárům spojným. Tak např. spojný ulár se výlučně používá v dalekohledech astronomických a jen v některých méně výkonných dalekohledech pro běžné použití se čas uplatní i ulár rozptylný. Refraktory opatřené spojným ulárem se vykle nazývají dalekohledy hvězdářskými (Keplerovými), refraktory s ulárem rozptylným pak dalekohledy holandskými (Galileovými). 17 Chod paprsků dalekohledem je na připojeném rázku ilustrován na speciálním případu Keplerova hvězdářského dalekohledu, a to za předpladu, že je pozorovaný jekt velmi (nekonečně) vzdálený a že pozorování provádíme neakomodovaným em. Proto se raz pozorovaného předmětu vytvořený jektivem nachází v jeho razové ohniskové rovině a ta navíc splývá s předmětovou ohniskovou rovinou uláru. Optický interval takového dalekohledu je tedy nu- 15 Ještě větších zvětšení dosahujeme pomocí mikroskopů elektronových. To je ale již na zcela jiné vyprávění. 16 Astronomické dalekohledy mají kromě přiblížení vzdálených předmětů ještě jednu důležitou funkci. Astronomové se totiž neustále, s výjimkou Slunce či Měsíce, potýkají s nedostatkem světla. Jejich přístroje tedy musí posbírat co možná nejvíce světla přicházejícího od pozorovaného jektu (planety, hvězdy, mlhoviny či vzdálené galaxie). Toho se dosahuje nejčastěji velkým průměrem jektivu používaných přístrojů, tzv. velkých vstupních pupil. Je jasné, že k dosahování velkých vstupních pupil jsou zrcadlové dalekohledy mnohem vhodnější než dalekohledy čočkové. Čočka je totiž v konstrukci dalekohledu uchycena jen na svých rajích, a tam je, je-li spojná, také nejužší. A protože taková čočka ve velkém dalekohledu už něco váží, snadno se deformuje nebo donce na svých rajích praská. Proto také největší refraktory mají průměr svého jektivu maximálně něco kolem jednoho metru. To takové zrcadlo podnými prlémy netrpí, protože je v konstrukci dalekohledu uchyceno po celé své spodní ploše. Největší zrcadlové dalekohledy mohou mít proto průměr vstupní pupily až několik metrů (např. dlouhodý, dnes však již překonaný rekordman na Mount Palomar v Kalifornii s průměrem zrcadla 5,1 m či známý dvoumetr z Ondřejova u Prahy). Přístrojů s průměrem zrcadla větším než 5 m je dnes na světě již více než deset. Největší z nich se nachází na Havajských ostrovech a má průměr vstupní pupily celých 10 m. V poslední dě však potřeba velkých jektivů v astronomických dalekohledech pomalu pomíjí. Ukazuje se totiž, že je mnohem výhodnější použit více dalekohledů menších průměrů, shromáždit jimi získaná data a následně je zpracovat počítačem. Ono vůbec šťastné spojení moderní elektroniky a astronomického dalekohledu v mnohých ohledech zcela rehabilitovalo postavení menších přístrojů, zejména těch s čočkovými jektivy. Ale to je již přece jen na trochu jiné a delší vyprávění. 17 Podle konstrukce rozeznáváme i několik typů zrcadlových hvězdářských dalekohledů Newtonův, Cassegrainův, Schmidtův či Maksutovův. Poučení o nich nalezne čtenář v doporučené a v další specializované literatuře.
Trivium z optiky 105 lový. Není třeba zajisté zdůrazňovat, že by se situace zcela změnila při pozorování předmětu v konečné vzdálenosti od jektivu, nebo pud bychom požadovali vytvoření razu v konečné vzdálenosti od uláru (např. při jeho promítání na stínítko). Ponecháváme na čtenáři, aby si a uvedené případy promyslel samostatně. I pro dalekohled je jednou z určujících charakteristik jeho zvětšení Z, tentrát definované jako poměr tangent zorných úhlů, pod kterými pozorujeme předmět v dalekohledu (α v rázku) a neozbrojeným em (α). 18 Pro nekonečně vzdálené předměty a neakomodované o pozorovatele je možno pro zvětšení dalekohledu psát zvláště jednoduchý vzorec f Z = f vyplývající pro Keplerův hvězdářský dalekohled bezprostředně z připojeného rázku. Jeho odvození je natolik jednoduché, že je přenecháváme čtenáři jako snadné cvičení. Pro úplnost uveďme, že při pozorování předmětů v konečné vzdálenosti a od jektivu je třeba použít vzorec modifikovaný 19 a f Z =. a+ f f Matematické doplňky A Dříve než napíšeme a upravíme potřebné vztahy, je nezbytné upozornit na konvenci, kterou v rázku používáme pro měření úhlů. Ty měříme vždy od optické osy k paprsku (resp. od normálové přímky k paprsku v případě úhlů ε a ε ), a to vždy tak, aby jejich velikosti byly z intervalu 0 0 180 0 ; za kladný směr považujeme směr proti pohybu hodinových ručiček, za záporný ve směru pohybu hodinových ručiček. V rámci přiblížení platného pro paraxiální paprsky můžeme jistě nahradit délku kolmice spuštěné z bodu X na optickou osu délkou louku VX a pro všechny úhly použít přibližnou rovnost mezi jejich hodnotou a tangentou. Platí proto (pozor na znaménka!) VX VX α tg α =, u u VX VX VX VX α tg α =, β tg β =. u u r r Úhly α, α a β nejsou ale nezávislé. Z pouček známých z elementární geometrie (o součtu úhlů v trojúhelníku a o vedlejších úhlech) plyne pro trojúhelníky PP X a PSX (opět pozor na znaménka) α + α = ε + ε, neboli 18 Všimněte si, že se v definici zvětšení dalekohledu, na rozdíl od lupy či mikroskopu, nevyskytuje konvenční zraková vzdálenost. Důvod je jasný. Kdybychom totiž mohli pozorovaný předmět přiblížit na konvenční zrakovou vzdálenost, nepotřebovali bychom k jeho pozorování žádný dalekohled. 19 V náčrtku by se předmět nacházel vlevo od jektivu, proto je a < 0. V každém případě si takový náčrtek vytvořte a uvedený vzorec samostatně odvoďte.
106 Jednoduché zrazovací soustavy a α + β = ε, neboli α α = ε ε = ε α β= ε. V prvním vztahu jsme použili zákon odrazu, který vzhledem k přijaté znaménkové konvenci nabývá nyní tvaru ε= ε. Po sloučení ou vztahů, α α = ( α β) a po úpravě α+ α β= 0, a po dosazení za úhly z výše uvedených přibližných rovností, ty ovšem v dalším píšeme jako rovnosti přesné, získáme po jednoduchých úpravách kýžený vzorec. B Označme velikost pozorovaného předmětu y. Pak pro zorný úhel, pod nímž jej pozorujeme na konvenční zrakovou vzdálenost l, platí tg α = y/ l. Úhel α měříme podle konvence uvedené v předcházející kapitole od optické osy k paprsku a je záporný, pud má orientaci stejnou jako chod hodinových ručiček. Proto je ve vzorci záporné znaménko. Pro zorný úhel, pod kterým tento předmět vidíme pomocí lupy, plyne z rázku tg α = y/ f = y/ f. Spojením ou vztahů pak již amžitě máme výsledný vzorec. C Pro tg α můžeme použít vztah z předchozí poznámky, tg α = y/ l, kde y je velikost předmětu a l konvenční zraková vzdálenost. Z rázku znázorňujícího chod paprsků mikroskopem dále bezprostředně plyne, že (pozor na znaménka) tg α = y / f = y / f. Za y ale můžeme dosadit ze zrazovací rovnice pro jektiv, v níž je x =, a psát y = y x / f = y / f, tg α = y. f f Výsledný vzorec pro zvětšení mikroskopu získáme sloučením vzorců pro tg α a tg α.