Čísla a logika
Číselné vyjádření hodnoty Au Kolik váží hrouda zlata?
Dekadické vážení Když přidám osmé závaží g, váha se převáží => závaží zase odeberu a začnu přidávat závaží x menší 7 závaží g 2 závaží g 729g 9 závaží g
Binární vážení závaží 52g závaží 256g Přidám nejtěžší závaží. Pokud je příliš těžké, odeberu ho zpět a zkusím poloviční závaží 28g závaží 64g závaží 32g závaží 6g závaží 8g závaží 4g závaží 2g závaží g g
Číselné soustavy symbolický zápis hodnoty primitivní: 3 piv = římský zápis čísla 844 = MDCCCXLIV +5++++(5-)+(5-) umožňuje vyjádřit běžné hodnoty složitá pravidla zápisu zcela nevhodný pro matematiku (zkuste vynásobit MDCLXVI x XLIV)...AB... IF A >= B THEN A + B CI = + IF A < B THEN A - B IX = - + arabský zápis čísla umožňuje vyjádřit libovolně velké hodnoty jednoduchá pravidla zápisu vhodný pro matematické výpočty (zná pojem nuly!)
Polyadické číselné soustavy úplný zápis čísla 729 ve tvaru polynomu: 7* 2 + 2* + 9* počet závaží poměr vah většího a menšího závaží obecně polynom: Z =Z Z = A n *Z n + A n- *Z n- +. + A 2 *Z 2 + A *Z + A *Z = A n *Z n kde A = řádová číslice, Z = základ číselné soustavy n= vždy platí A Z-, protože Z*Z n =*Z n+ binární soustava oktalová soustava dekadická soustava hexadecimální soustava Z = 2 Z = 2 3 = 8 Z = Z = 2 4 = 6 A A 7 A 9 A 5
Převod z BIN do DEC Váha bitu: 52 256 28 64 32 6 8 4 2 sečteme váhy jedničkových bitů +8 +6 +64 +28 +52 729
Převod z DEC do BIN 729-5 2 = 2 7-2 5 6 = - 3 9-2 8 = 8 9-6 4 = 2 5 Od čísla se postupně odečítají váhy jednotlivých bitů (počínaje nejvyšší vahou, která se ještě vejde do čísla). Jestliže je výsledek odčítání záporný, do výsledku se zapíše a odčítání se anuluje. Jestliže je výsledek odčítání nezáporný, do výsledku se zapíše a v dalším kroku se odečítá od zbytku. - 3 2 = - 7-6 = 9-8 = - 4 = - 3-2 = - - = Váha bitu: 24 52 256 28 64 32 6 8 4 2
Hexadecimální soustava zleva doplnit nulami na 4 bity váha bitu: 8 4 2 2 D 9 převod HEX BIN a BIN HEX: vždy 4 číslice binárního čísla (bity) odpovídají jedné hexadecimální číslici jako číslice s hodnotou větší než 9 se používají písmena A až F Převodní tabulka: bin dec 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 hex 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
Logika výroková logika lze ji chápat intuitivně všechny kovy se teplem roztahují měď je kov ------------------------------------------ dedukce: měď se teplem roztahuje matematická logika přirozený jazyk je nejednoznačný formalizace, symboly...
Booleova algebra obdoba numerické algebry zavedena pro výrokovou logiku jsou definovány operace... unární operace negace (NOT)... binární operace sjednocení (OR)... binární operace průnik (AND) negace + součet * součin je definována binární relace... relace ekvivalence operace booleovy algebry lze realizovat technickými prvky
Logická funkce NOT negace (inverze) A vše ostatní = not A
Logická funkce AND logický součin (průnik) A B A and B
Logická funkce OR logický součet (sjednocení) A B A or B
Tabulka logických funkcí A B not A A or B A and B A xor B mohou nastat 4 různé kombinace stavů A,B XOR zkratka z exclusive OR. Výstup je logická tehdy a jen tehdy pokud se hodnoty vstupů liší.
Funkce NOT (inverze) relé v klidovém stavu PROPOJÍ okruh žárovky vybuzené relé ROZPOJÍ okruh žárovky
Funkce AND (logický součin) k propojení okruhu žárovky je potřebné, aby byly oba kontakty A, B sepnuty současně
Funkce OR (logický součet) k propojení okruhu žárovky postačí, aby byl sepnut jeden z kontaktů A, B
Elektronické logické obvody aktivní (elektronka, tranzistor) pasivní (odpory, diody) Dnes se téměř výhradně používají logické obvody s tranzistory HRADLA schematická značka = abstraktní symbol, nezávislý na technické realizaci hradlo AND hradlo NAND symbol inverze
Přenosová charakteristika Nejjednodušším prvkem je INVERTOR pracuje analogově (spojitě)!! log. U 2 U U 2 nedefinovaný stav charakteristika udává závislost výstupního napětí U 2 na vstupním napětí U log. logická logická U
Přehled kombinačních logických funkcí
Logické schéma grafické zobrazení propojení hradel schéma lze popsat soustavou logických rovnic požadovanou funkci lze vyjádřit logickými rovnicemi z logických rovnic lze odvodit schéma C A F B D C F = not ( A and B ) or not (not A and B) D
Zpoždění hradla ideální hradlo přenáší změny vstupních signálů na výstup bez zpoždění reálná hradla mají zpoždění! Důsledek: hazardní stavy tohle podle rovnic neexistuje! B = not A F = not (A and B) = vždy F A ideální B ideální F reálné B A B reálné F
Synchronní logika výstup kombinačního obvodu se zapisuje do klopného obvodu hodinovými impulsy stav kombinačních obvodů se do příštího hodinového impulsu musí ustálit CLK A D Q C B CLK C F D Q C Q A B C F hazardní stav byl odstraněn Q čím menší zpoždění, tím vyšší může být hodinový kmitočet!
Funkční bloky složitější logické obvody, složené z hradel registr, multiplexor, sčítačka, ALU, nejdříve to byly konstrukční bloky pak výměnné desky pak integrované obvody MSI dnes typické celky vyšší úrovně, umožňující zjednodušit popis procesoru či počítače
Klopný obvod základní prvek statické paměti základní prvek registrů mechanický model: stabilní stav udržuje zpětná vazba A B OR NOR 2 hradla NOR
Registr bit bit D Q D R C D R C Q D Q Q Data Hodiny Set Reset D C S R Q Q Výstup bit 2. reset nulování D 2 Q 2 D R C strobe zápis Q klopný obvod typu D
Multiplexor Podle adresy aktivuje jeden vstup a předá ho na výstup. A B C D A B C D A 2 B 2 C 2 D 2 S S S 2 A B C D select = C
Příklad použití multiplexoru výběr zdroje adresy pro operační paměť registr A registr B registr C registr D multiplexor ADRESA operační paměť DATA
Aritmetický součet čísel CO x CI x 2 7 A x 5 + 3 B x 4 4 9 S x v binární soustavě podobně: když je součet řádových číslic větší než, zapíše se do výsledku hodnota součtu zmenšená o 2 (základ) a do vyššího řádu se přičte přenos v dekadické soustavě: když je součet řádových číslic větší než 9, zapíše se do výsledku hodnota součtu zmenšená o (základ) a do vyššího řádu se přičte přenos
Binární součet čísel CO n CI n A B S n S n a CO n lze definovat pravdivostní tabulkou jako logické funkce A n, B n a CI n
Funkční tabulka -bitové sčítačky A B Součet C (n-) C (n) když C (n-) = když C (n-) = Cn = přenos C
DeMorganova pravidla pro převody A + B = A B a AB = A + B NOR je ekvivalentní inverzím následovaným součinem NAND je ekvivalentní inverzím následovanými součtem
Logické schéma sčítačky generátor přenosu polo-sčítačka realizující A + B polo-sčítačka realizující CI + (A + B)
Zobrazení záporných čísel pro vyjádření polarity stačí bit = 729 = -729 toto zobrazení je jednoduché, ale není vhodné pro sčítání sčítačkou = 729 + = -729 = -458 výsledek má být nula!!!
Dvojkový doplněk jednoduché odvození záporné hodnoty: = 729 negace přičtení = -729 = max. kladné číslo (32767)... = = = - = -2... = max. záporné číslo (-32768)
Sčítání ve dvojkovém doplňku při sčítání čísel vyjádřených ve dvojkovém doplňku dává sčítačka správný výsledek = 729 + = -729 = výstup C out sčítačky výstup S sčítačky
Aritmetická a logická jednotka sčítačka rozšířená o další funkce jedná se vlastně o funkční generátor řídícími signály lze nastavit funkci R = f(a,b) více bitů paralelně operand A více bitů paralelně operand B R = f(a,b) více bitů paralelně výsledek R stav několik bitů paralelně kód požadované funkce f ADD, SUB, ADC, SBC, AND, OR, XOR,.
Konec přednášky