Vysoká škola logistiky o.p.s. Optimalizace dopravních tras v distribuční činnosti

Vysoká škola logistiky o.p.s. Optimalizace dopravních tras v distribuční činnosti (Bakalářská práce) Přerov 2012 Markéta Žákovská

Čestné prohlášení Prohlašuji, že předložená bakalářská práce je původní a vypracovala jsem ji samostatně. Prohlašuji, že citace použitých pramenů je úplná a že jsem v práci neporušila autorská práva (ve smyslu zákona č. 121/2000 Sb. O právu autorském a o právech souvisejících s právem autorským). Souhlasím s prezentačním zpřístupněním své práce v knihovně Vysoké školy logistiky o. p. s. a s případným použitím této práce Vysokou školou logistiky o. p. s. pro pedagogické, vědecké a prezentační účely. Přerov dne 27. dubna 2012 podpis

Poděkování Děkuji vedoucímu své bakalářské práce Ing. Alexandrovi Čapkovi za jeho odborné vedení, rady a připomínky, které mi poskytl při zpracování této bakalářské práce. Dále děkuji jednateli společnosti REDDO CZ, s. r. o. za poskytnuté podklady pro tuto práci. Přerov dne 27. dubna 2012 podpis

Abstrakt Bakalářská práce se věnuje optimalizaci dopravních tras zajišťujících rozvoz zboží podniku REDDO CZ, s. r. o. Řešeni je prováděno pomoci metody obchodního cestujícího, s použitím MS Excel. Výsledky jsou vyhodnoceny z hledisek časové a finanční úspory a je vytvořena zpráva pro zadavatele, ve které jsou shrnuty ekonomické důsledky realizace optimalizovaného řešeni. Abstract The Bachelor project deals with the transport route optimization on the company REDDO CZ, s. r. o. Solution is made to help the business methods of the passenger, using MS Excel. The cost and time savings attained by the optimization are presented and the suggestions for the next period planning are summarized.

Obsah Úvod.......... 7 1 Teoretické východisko k řešené problematice...9 1.1 Definice logistiky...9 1.2 Distribuce...9 1.2.1 Distribuční řetězec...10 1.2.2 Distribuční řetězec společnosti REDDO CZ, s. r. o...11 1.2.2.1 Princip fungování distribučního řetězce společnosti REDDO CZ, s. r. o....12 1.2.3 Rozsah distribučního řetězce označuje:...12 1.2.4 Druhy distribuce podle rozsahu...12 1.2.5 Rozdělení distribuce podle počtu stupňů...13 1.3 Doprava jako součást logistického systému...13 1.3.1 Dopravní sítě...14 1.4 Teorie grafů (TG)...15 1.4.1 Základní pojmy teorie grafů...15 1.4.1.1 Orientovaná hrana...16 1.4.1.2 Neorientovaná hrana...16 1.4.1.3 Cyklus (kružnice)...16 1.4.1.4 Acyklický graf...16 1.4.1.5 Neorientovaný graf...17 1.4.1.6 Orientovaný graf...18 1.4.1.7 Souvislost grafu...18 1.5 Lineární programování...20 1.5.1 Distribuční metody lineárního programování...20 1.6 Matematické modelování dopravních cest...20 1.6.1 Okružní dopravní problém...20 1.6.1.1 Historie okružního dopravního problému...21 1.6.2 Obchodní cestující TSP (Travelling salesman problem)...22 1.6.2.1 Hamiltonovská kružnice (cesta)...23 1.6.3 Matematická definice TSP...24 1.6.4 Shrnutí problému TSP...28 1.7 Využití informačních technologií...28 1.7.1 Systém Plantour Logistic...29 2 Společnost REDDO CZ, s. r. o...30 2.1 Charakteristika získaných dat...30 2.1.1 Vozový park...31 2.1.2 Využití vozidel...32 2.2 Časové zámky a uzávěrky...32 3 Optimalizace tras metodou obchodního cestujícího...34 3.1 Zadání...34 3.2 Ruční výpočet optimální trasy A...36 3.3 Ruční výpočet optimální trasy B...40 4 Zhodnocení výsledků...45 4.1 Vyhodnocení času...46 4.2 Vyhodnocení nákladů na pohonné hmoty...47 4.3 Zpráva pro zadavatele...48 4.3.1 Současný stav...48 4.3.2 Výsledky optimalizace...49 4.3.3 Doporučení pro plánování na další období...49 Závěr...51 Seznam použitých zdrojů

Seznam zkratek Seznam symbolů Seznam tabulek Seznam obrázků Seznam grafů

Úvod Čas jsou peníze. Tímto heslem se dá vyjádřit i situace, která se váže k hodnocení úspěšnosti podniku. Dynamika rozvoje podnikatelského prostředí vystavuje podnikatele neustálému tlaku, neboť o míře úspěchu či neúspěchu rozhoduji často maličkosti. Tlak je na podnikatele vyvíjen nejen ze strany konkurence, ale i ze stany obchodních partnerů, kteří mají vysoké nároky na služby spojené s dodávkou zboží. Obchodní partneři požaduji, aby byla dodávka přivezena ve správném čase, na správné místo a v požadované kvalitě. Tyto požadavky se snaží firmy uspokojit a omezit tak konkurenční vliv ostatních firem. Každá firma musí své rozvozní linky naplánovat tedy takovým způsobem, aby byla schopna požadavky svých obchodních partnerů kompletně uspokojit. Existuje mnoho různých metod pro zjištění optimálních tras. Ty, které byly v minulosti považovány za nejefektivnější, jsou v současné době nevyhovující. Zvolila jsem si metodu obchodního cestujícího, protože patří mezi nejpoužívanější metody hledání optimálních tras. Metoda je založena na lineárním programování. Cílem této práce je nalezení optimální trasy rozvážkových vozidel a zhodnocení ekonomické výhodnosti nové trasy oproti stávající trase se zaměřením na snížení dopravních nákladů. Optimalizace tras je velmi aktuálním a důležitým tématem, kterému je třeba se intenzivně věnovat, neboť žádný podnik se neobejde bez pohybu hmotných statků. Firmy si vytvářejí často pořadí svých linek podle přibližného vlastního uvážení, čímž zbytečně zvyšují své náklady. Tato práce se snaží tyto zbytečné náklady eliminovat a usiluje o takovém pořadí dopravních tras, jenž povede k co nejvýhodnějšímu rozvozu ke svým odběratelům. Doprava do velké míry ovlivňuje podnikatelská rozhodnutí a tudíž ji můžeme považovat díky své významnosti za podstatnou část logistiky. Dalším výstupem práce bude závěrečná zpráva pro vybraný podnik, kde budou shrnuty výsledky práce a kde budou navrženy doporučení pro možnosti plánování nových tras. Práce je vymezena na dvě části: V teoretické části je objasněna především oblast distribuční logistiky, která představuje tu část logistického řetězce, která začíná ve skladu daného podniku a končí u zákazníka. Dále je zde zpracována problematika teorie grafů, lineárního programování a především 7

dvě optimalizační úlohy. Problém obchodního cestujícího a okružní problém. Typickým příkladem k řešení optimalizace tras je problém obchodního cestujícího, který je využit v této práci. Praktická část je zaměřena na shrnutí současného stavu podniku, jeho fungování dodávek, typů dopravních prostředků a dalších informací, které s touto prací souvisí a jsou důležité k optimalizaci dopravních tras. Druhá polovina praktické části se skládá ze samotného výpočtu tras A, B pomocí metody obchodního cestujícího ručním výpočtem, pomocí MS Excel. Tato druhá část také obsahuje mapy původních a optimalizovaných tras, vyhodnocení úspor nákladů na pohonné hmoty a úspory času, které jsou vyjádřené pomocí grafů. Úplným závěrem práce je zhodnocení všech dosažených výsledku a následné porovnání před a po optimalizaci. 8

1 Teoretické východisko k řešené problematice 1.1 Definice logistiky V literárních pramenech můžeme nalézt nespočet definic, a to jak od českých tak i od zahraničních autorů. Nebylo by jistě věcné uvést pouze jednu definici, a z toho důvodu jsou níže uvedeny některé z nich, které byly uznány mezinárodními institucemi pro logistiku:,,logistika je soubor všech činností sloužících k poskytování potřebného množství prostředků s nejmenšími náklady tam a tehdy, kde a kdy je po nich poptávka. Zabývá se všemi operacemi, určujícími pohyb zboží (alokace výroby a skladů, zásob, řízení pohybu zboží ve výrobě, balení, skladování, dodávání odběratelům). Logistika je organizace, plánování, řízení a uskutečňování toku zboží, počínaje vývojem a nákupem a konče výrobou a distribucí podle objednávky finálního zákazníka tak, aby byly splněny všechny požadavky trhu při minimálních nákladech a minimálních kapitálových výdajích. Logistika uvádí do vztahů zboží, lidi, výrobní kapacity a informace, aby byly na správném místě ve správném čase, ve správném množství, ve správné kvalitě, za správnou cenu. 1 Za druhé je třeba si definovat ekonomické funkce logistiky. Logistika svojí činností nevytváří hmotné statky, ale souhrnem svých činností umožňuje jejich výrobu, ale i směnu a spotřebu, neboť dokáže řešit nesoulad, který vzniká mezi místy výroby určitého zboží a mezi místy po jeho poptávce. 1.2 Distribuce Představuje spojovací článek mezi výrobou a odbytovou částí podniku (obr. č. 1). Zahrnuje v sobě všechny skladové a dopravní pohyby materiálů, výrobků k odběrateli. Distribuční logistika se zabývá hlavně činnostmi, které souvisí s materiálovým tokem, se skladováním hotových výrobků až po odbyt, včetně zkoumání těchto činností a s nimi souvisejícími informacemi. 1 SVOBODA, Vladimír. Doprava jako součást logistických systémů. Vyd. 1. Praha : Vydavatelství ČVUT, 2004. 152 s. ISBN 80-01-02914-X. 9

Distribuční logistiku využívají organizace, které prostřednictvím výrobního procesu vyrábí produkty určené pro prodej, ale i ostatní přepravní a obchodní společnosti, které s ní přicházejí do styku. Oblastí distribuční logistiky je i problematika plánování dopravních tras. Součástí optimálního plánování dopravních tras je také řízení dodávek k zákazníkovi. Umět efektivním způsobem řídit dodávky k zákazníkovi může mít trvalý vliv na ekonomický přínos spočívající na snižování provozních nákladů. 2 Obrázek č. 1 - Oblast distribuční logistiky Zdroj: Vlastní zpracování Cílem distribuční logistiky je uspokojovat poptávku tím, že zboží je dodáno na správné místo, ve správnou dobu, v požadovaném množství, v smluvené kvalitě, s co nejnižšími náklady. 3 1.2.1 Distribuční řetězec Jako distribuční řetězec označujeme tu část logistického řetězce, která začíná okamžikem, kdy výrobek opustí výrobní podnik a končí u konečného zákazníka.,,distribuční řetězec je soubor organizačních jednotek výrobce a případně i externích 2 Distribuční logistika [online]. VSB, 25.4.2011 [cit. 2012-04-03]. Dostupné z: http://www.id.vsb.cz/sliva/zl/zaklady%20logistiky_3.pdf. Bakalářská práce. Vysoká škola Báňská. 3 ČUJAN, Zdeněk a Zdeněk MÁLEK. Výrobní a obchodní logistika. první. Zlín : Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně, 2008. 200 s. ISBN 978-80-7318-730-9. 10

zprostředkovatelů, jejichž prostřednictvím jsou výrobky nebo služby dodávány zákazníkům. 2 V průběhu pohybu zboží distribučním řetězcem je třeba zajistit pět základních funkcí: Skladovací - vyrovnávání rozdílů mezi nabídkou a poptávkou vznikající v důsledku nerovnoměrnosti v poptávce. Kompletace zboží - sdružování objednávek od více zákazníků, které jsou pak předávány dodavatelům, kteří je dále dodávají objednateli, ten je kompletuje a dodává zákazníkům. Výsledným efektem kompletace zboží je snížení přepravních nákladů. Manipulační - nakládkové, vykládkové a jiné manipulace s distribuovaným zbožím. Přepravní - přemístění zboží z místa výroby do místa spotřeby. Komunikační - výměna informací potřebných pro uskutečnění distribučního procesu. 4 1.2.2 Distribuční řetězec společnosti REDDO CZ, s. r. o. Obrázek č. 2 - Distribuční řetězec REDDO CZ, s. r. o. Zdroj: vlastní zpracování Distribuční řetězec společnosti REDDO CZ, s. r. o. si můžeme představit podle obrázku č. 2. Společnost spolupracuje s několika dodavateli a tzv. partnery. Partneři jsou rozmístěni podle regionů (Hranice, Olomouc, Zlín..). Aby si společnost REDDO CZ, s. r. o. udržela důvěru u jejich partnerů, vytváří jim katalogy, webové stránky, e-shopy. 4 ČUJAN, Zdeněk a Zdeněk MÁLEK. Výrobní a obchodní logistika. první. Zlín : Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně, 2008. 200 s. ISBN 978-80-7318-730-9. 11

Protože jsou to menší firmy, neměly by na zaplacení takovýchto forem podpory prodeje a proto jsou jim partneři věrní. 1.2.2.1 Princip fungování distribučního řetězce společnosti REDDO CZ, s. r. o. 1. Objednávka u společnosti REDDO CZ, s. r. o. 2. Společnost objedná zboží u svého dodavatele a dodavatel přímo dopraví zboží partnerovi do prodejny nebo 3. Dodavatel dopraví zboží do skladu společnosti REDDO CZ, s. r. o. odkud se pak objednávky kompletují k zákazníkům. 1.2.3 Rozsah distribučního řetězce označuje: Délku, kterou rozumíme počet distribučních stupňů mezi výrobcem a zákazníkem. Rozsah, který se měří počtem účastníků, kteří se na distribuci na daném stupni podílejí. 5 1.2.4 Druhy distribuce podle rozsahu Extenzivní distribuce, kdy je zboží dodáváno do všech prodejen v daném úseku, nebo všech prodejnách několika typů, nebo všech prodejnách jednoho typu, nebo všech prodejnách v dané lokalitě. Společnost REDDO CZ, s. r. o. využívá extenzivní distribuci, protože zboží dodává odlišným odběratelům, jako jsou různé firmy, prodejny, školy, pro osobní účely běžného odběratele.. Výběrová distribuce, kdy si distributor vybírá jen několik prodejen. Distribuuje výrobky, kde je potřeba vysoce kvalifikovaného prodavače. Exkluzivní distribuce, která vyžaduje obvykle jen jeden obchod, z důvodu velmi komplikovaného servisu. 5 Distribuční logistika [online]. VSB, 25.4.2011 [cit. 2012-04-03]. Dostupné z: http://www.id.vsb.cz/sliva/zl/zaklady%20logistiky_3.pdf. Bakalářská práce. Vysoká škola Báňská. 12

1.2.5 Rozdělení distribuce podle počtu stupňů Počet stupňů distribučního řetězce, označovaný též jako délka řetězce je počet úrovní, kterými výrobek prochází od výrobce ke konečnému spotřebiteli. Podle počtu stupňů lze rozlišit přímou, nepřímou a kombinovanou distribucí. Přímá existuje pouze jeden distribuční stupeň, kdy výrobce dodává zboží přímo konečnému zákazníkovi (při zavádění nového výrobku na trh). Nepřímá zboží se dostává k zákazníkovi přes několik stupňů, 6 kterou využívá společnost REDDO CZ, s. r. o. Kombinovaná kombinace přímé a nepřímé distribuce. 1.3 Doprava jako součást logistického systému,,doprava je jakékoliv přemístění osob či hmotných statků provedené buď vlastní silou, nebo silou zprostředkovanou. Je však důležité dodat, že z hlediska ekonomického tedy i z hlediska logistiky nejde o jakékoliv přemístění, ale o přemístění, jehož účinky se projevují v systému, ve kterém působí doprava. Z tohoto pojetí lze dopravu charakterizovat jako:,,specifickou lidskou činnost, jíž se provádí cílevědomé přemístění osob a hmotných statků, které se svými (nehmotnými) efekty projevuje ve sledovaném systému. 7 V logistice je doprava nositelem hmotného toku. I když se různé logistické technologie snaží do určité míry odstraňovat hmotné toky, nakonec vždy zůstane rozpor mezi místem existence vyrobeného hmotného statku a místem jeho spotřeby. Tento rozpor překonává doprava. Doprava především plní potřeby přemístění v logistickém systému. Fáze dopravy, které působí v logistickém systému rozlišujeme na dopravu: Mezioperační - prováděna na velmi krátkou vzdálenost, často v rámci jednoho závodu. Technologickou mezi jednotlivými fázemi výroby, často značné přepravní vzdálenosti. 6 VANĚČEK, Drahoš. Logistika. Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Ekonomická fakulta: ediční středisko : JČU, 2008, s. 16. ISBN 978-80-7394-085-0. 7 SVOBODA, Vladimír. Doprava jako součást logistických systémů. Vyd. 1. Praha : Vydavatelství ČVUT, 2004. 152 s. ISBN 80-01-02914-X. 13

Oběhovou realizuje se v momentě dokončení finálního výrobku v distribučních procesech. 8 1.3.1 Dopravní sítě Existence dopravní sítě je základem dopravní obsluhy logistického systému. Dopravní síť umožňuje dosažení přemístění zboží z místa, kde bylo vyrobeno, do místa kde pokračuje jako součást procesu výroby a dále přes velkoobchod a maloobchod ke konečnému spotřebiteli, včetně likvidace odpadů. Z hlediska technické konstrukce dopravních sítí a tomu odpovídající technické konstrukce dopravních prostředků rozlišujeme: silniční dopravu nejhustší dopravní síť železniční dopravu vnitrozemskou vodní dopravu leteckou dopravu námořní dopravu námořní. potrubní dopravu 9 Dopravní síť je definována jako,,konečná množina dopravních uzlů a cest, které tyto uzly spojují. Ty posléze tvoří pevnou, nepřemístitelnou část dopravní soustavy, označovanou pojmem dopravní infrastruktura. 9 Po formální stránce můžeme dopravní síť zobrazit jako,,rovinný síťový graf, definovaný množinou uzlů (U), množinou hran (H), které jsou ohodnoceny směrovou orientací, délkou hrany (d) propustností buď sítě jako celku, jednotlivých cest v síti nebo prvků (p). 10 8 SVOBODA, Vladimír. Dopravní logistika. Praha: ČVUT 2004. ISBN 80-01-02914-X. 9 SVOBODA, Vladimír. Doprava jako součást logistických systémů. Vyd. 1. Praha : Vydavatelství ČVUT, 2004. 152 s. ISBN 80-01-02914-X. 10 SVOBODA, Vladimír. Doprava jako součást logistických systémů. Vyd. 1. Praha : Vydavatelství ČVUT, 2004. 152 s. ISBN 80-01-02914-X. 14

1.4 Teorie grafů (TG) TG se zabývá studiem matematických útvarů, které nazýváme grafy. Graf je základním objektem TG.,,Z hlediska TG je graf matematická struktura sloužící především k vyjádření (modelování) té skutečnosti, že mezi prvky nějaké množiny V existují určité vazby z množiny H. Prvkům množiny V říkáme uzly nebo vrcholy grafů a vazbám (symetrickým nebo nesymetrickým) mezi některými (nebo všemi) z těchto uzlů říkáme hrany grafu. Označíme-li množinu všech uzlů grafu písmenem V a množinu všech existujících hran H, můžeme graf definovat jako uspořádanou dvojici (V, H). 11 Grafy slouží jako abstrakce mnoha různých problémů. Často se jedná o zjednodušený model nějaké skutečné sítě (například dopravní), který zdůrazňuje topologické vlastnosti objektů (vrcholů) a zanedbává geometrické vlastnosti, například přesnou polohu. 11 1.4.1 Základní pojmy teorie grafů Obrázek č. 3 - Základní pojmy teorie grafů Zdroj: 12 11 ŠEDA, Miloš. Teorie grafů. Brno: Radix, spol. s. r. o., 2003. ISBN 80-963035-64-3. 12 Teorie grafů. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA): Wikipedia Foundation, 2001- [cit. 2012-02-28]. Dostupné z: http://cs.wikipedia.org/wiki/graf_%28teorie_graf%c5%af%29 15

1.4.1.1 Orientovaná hrana Uspořádaná dvojice uzlů (x 0, x 1 ), neboli orientované topologické spojení mezi dvěma uzly skládající se z hrany a směru. 1.4.1.2 Neorientovaná hrana Neuspořádaná dvojice uzlů, neboli hrana, která umožňuje obousměrný pohyb. 1.4.1.3 Cyklus (kružnice) V teorii grafů se termínem kružnice označuje takový graf, který se skládá z jediného cyklu, tedy uzavřené posloupnosti propojených vrcholů. Kružnice může být orientovaná i neorientovaná. Nejkratší kružnicí je trojúhelník - úplný graf se třemi vrcholy. 1.4.1.4 Acyklický graf Graf, který neobsahuje cyklus. 13 Obrázek č. 4 - Nejkratší kružnice (trojúhelník) Zdroj: 14 13 PERKNER, Radim. Teorie grafů. Praha, 1999. Skripta. ČVUT Praha, fakulta dopravní. 16

Obrázek č. 5 - Kružnice (cyklus) v obecném grafu Zdroj: 14 1.4.1.5 Neorientovaný graf Neorientovaný graf (z pohledu teorie grafů) definujme jako dvojici G = (V, H). Kde: V = {u 1, u 2,..., u n } je konečná množina objektu, kterým říkáme vrcholy, někdy též uzly grafu; H = {u i, u j, i, j = 1, 2,..., n} je množina některých dvojic uzlu, kterým říkáme hrany grafu. Pokud vede hrana z vrcholu A do vrcholu B, vede hrana také z B do A (nerozlišuje se směr hrany). Obrázek č. 6 - Příklad neorientovaného uzlového grafu matice sousednosti 1 2Zdroj: 14 14 Http://teorie-grafu.cz. Teorie grafů [online]. 2009 [cit. 2012-04-03]. Dostupné z: http://teoriegrafu.cz/zakladni-pojmy/kruznice-cyklus.php 17

1.4.1.6 Orientovaný graf Orientovaný graf G je dvojice (V, H), kde H je podmnožina kartézského součinu V V. Prvky H nazýváme šipky nebo orientované hrany. Orientovaná hrana e má tvar (x, y). Říkáme, že tato orientovaná hrana vychází z x a končí v y. Orientovaný graf využijeme u silniční sítě např. v jednosměrné silnici. V takových případech hrana vede pouze jedním směrem. Z takových důvodů zavádíme pojem orientovaný graf. 15 Obrázek č. 7 - Příklad orientovaného grafu Zdroj: 16 1.4.1.7 Souvislost grafu Použijeme pokud potřebujeme vyjádřit, jestli je nebo není graf "jedním celkem" tj. můžeme-li se dostat z každého vrcholu nějakou cestou do jiného, nebo zda jde o více na sebe nenavazujících částí. Proto se zavádí pojem souvislost grafu. V této práci je využit souvislý graf, neboť se můžeme dostat z jakéhokoliv místa do místa jiného. a) Souvislý graf Graf G je souvislý, jestliže pro každé jeho dva vrcholy x a y existuje v G cesta z x do y. 15 PERKNER, Radim. Teorie grafů. Praha, 1999. Skripta. ČVUT Praha, fakulta dopravní. 16 Http://teorie-grafu.cz. Teorie grafů [online]. 2009 [cit. 2012-04-03]. Dostupné z: http://teoriegrafu.cz/zakladni-pojmy/orientovane-grafy.php 18

Neboli graf je souvislý jestliže se můžeme dostat z každého vrcholu nějakou cestou do jiného vrcholu. Obrázek č. 8 - Souvislý graf Zdroj: 18 b) Nesouvislý graf Nesouvislý graf se vyznačuje vícero na sebe nenavazujících částí. Pokud graf není souvislý, části, ze kterých se skládá a které jsou samy o sobě souvislé se nazývají komponenty souvislosti. Na obr. č. 9 jsou komponentami dva trojúhelníky. 17 Obrázek č. 9 - Nesouvislý graf Zdroj: 18 17 PERKNER, Radim. Teorie grafů. Praha, 1999. Skripta. ČVUT Praha, fakulta dopravní. 19

1.5 Lineární programování,,lineární programování je soubor metod umožňující výběr optimální varianty při daném kritériu optimality a daných omezujících podmínkách. 19 Využívá se tam, kde přesné řešení úloh z praxe by systematickým prohledáváním trvalo téměř nekonečně dlouho. 19 Umožňuje tak řešit snadno složité problémy. 1.5.1 Distribuční metody lineárního programování Distribuční úlohy patři mezi důležité aplikace úloh lineárního programování. Při řešeni těchto úloh se používají odlišné metody než při řešeni typických úloh lineárního programování. Hlavním cílem lineárního programování je minimalizovat celkové náklady na distribuci. Účelová funkce, jež se minimalizuje, je celková délka trasy ujetá mezi městy. Tato distribuční úloha odpovídá postupu řešení obchodního cestujícího. Další z typů distribučních úloh je problematika okružních cest. Zde se uvažují i kapacity jednotlivých dodavatelů, odběratelů a distribučních kanálů. 20 Dopravní úloha byla jedním z prvních problémů, při jejichž řešení bylo úspěšně použito metod lineárního programování. Hlavní rolí dopravního problému obvykle představuje úkol přepravit určitý druh zboží od dodavatelů přímo k odběratelům za co nejnižší cenu nebo po nejkratší cestě. 21 1.6 Matematické modelování dopravních cest 1.6.1 Okružní dopravní problém V praxi dodavatelé často řeší situaci jak co nejúsporněji dodat požadovaný objem zboží k odběratelům. V tomto případě však nejde o klasickou podobu dopravní úlohy, kdy 18 Http://teorie-grafu.cz. Teorie grafů [online]. 2009 [cit. 2012-04-03]. Dostupné z: http://teoriegrafu.cz/zakladni-pojmy/cesta-a-souvislost-grafu.php 19 ŠEDA, Miloš. Teorie grafů. Brno: Radix, spol. s. r. o., 2003. ISBN 80-963035-64-3. 20 Algoritmus [online]. 28.9.2010 [cit.2012-04-04]. Dostupné z WWW: http//www.algoritmy.net/article/5407/obchodni- cestujici. 21 The Traveling Salesman Problem [online]. 2005 [cit.2009-06-04]. Dostupne z: <http:// http://www.tsp.gatech.edu/problem/index.html>. 20

odběratelé mohou byt zásobováni z několika míst (výrobců, míst). U okružního problému je dodávka zboží (služby) organizována tak, aby zboží bylo rozvezeno všem odběratelům v rámci jedné jízdy, která začíná a konči ve stejném místě. V průběhu této jízdy musí byt všichni odběratelé navštíveni právě jedenkrát. Cílem je uspořádat cestu (pořadí navštívených míst) tak, aby náročnost dopravy byla minimální. Minimalizovat je možné například délku trasy, spotřebu času či pohonných hmot. Typickou ukázkou je problém obchodního cestujícího, který chce naplánovat návštěvu jednotlivých zákazníků tak, aby v rámci své cesty ujel co nejkratší vzdálenost. 22 1.6.1.1 Historie okružního dopravního problému První, kdo řešil okružní problém byl roku 1800 irský matematik William Rowan Hamilton. Tento matematicky problém představil na hádance Hamiltonova cyklu. Úkolem bylo projít neorientovaným Hamiltonovým cyklem tak, aby všechny vrcholy cyklu byly navštíveny jen jednou a poslední vrchol cyklu navázal na počáteční vrchol. Samotný okružní problém poprvé uvedl v roce 1930 rakouský matematik Karl Menger, který jej označil jako tzv. Botenproblem, což znamená v překladu problém posla nebo také problém listonoše. Nejznámější název travelling sallesman problem. V češtině problém obchodního cestujícího byl poprvé použit na Princetonské univerzitě v roce 1940 americkým matematikem Merrillem Floodem, který společně s jeho kolegou Hesslerem Whitneyem řešil problém obslužnosti školního autobusu v Západni Virginii. Po Karlu Mengerovi a Merrillovi Floodovi se problémem zabývalo mnoho matematiků, kteří postupně řešili úlohy pro větši počet míst. Velmi výrazně se na řešeni okružního problému podíleli G. Dantzing, R. Fulkeson a S. Jonhnson. Právě oni vydali popis metody pro řešeni problému obchodního cestujícího a vyřešili přiklad s 49 městy v efektivním čase. Milníkem co do počtu vyřešených instanci se ovšem stal exaktní řešitel Concorde. Tento program je v současné době schopen vyřešit úlohu s 85 900 městy. Jeho autory jsou D. Applegate, R. Bixby, W. Cook a český vědec Václav Chvátal. 23 22 The Traveling Salesman Problem [online]. 2005 [cit.2009-06-04]. Dostupne z: <http://www.tsp.gatech.edu/problem/index.html>. 23 The Traveling Salesman Problem [online]. 2005 [cit.2009-06-04]. Dostupne z: <http://www.tsp.gatech.edu/history/milestone.html>. 21

1.6.2 Obchodní cestující TSP (Travelling salesman problem) TSP je úloha kombinatorické optimalizace, jejíž cílem je nalézt v zadaném ohodnoceném úplném grafu takovou kružnici, která prochází všemi vrcholy a zároveň je její cena minimální. Může být modelována jako graf. Jinými slovy TSP se týká úloh okružních. Jedná se o nejjednodušší verzi okružních úloh, jejímž cílem je navštívit všechny zákazníky, a to právě alespoň jednou, při tom však obchodník neřeší požadavky těchto zákazníků. Vyjádříme-li tuto úlohu grafem, pak uzly v něm představují výchozí místo a místa, která má obchodní cestující navštívit. 24 V grafu jsou každé dva uzly spojeny hranou, která je ohodnocena určitou vzdáleností, která je potřebná urazit, abychom se dostali z místa představující jeden z uzlů do místa, který představuje další uzel. Obrázek č. 10 - Problém obchodního cestujícího - zadání Zdroj: 25 24 DVOŘÁK, Petr a Markéta ŠMEJKALOVÁ. Řešení problému obchodního cestujícího s využitím evolučních přístupů. P a M [online]. [cit. 2012-04-06]. Dostupné z: http://www.epame.cz/epame/index.php?option=com_content&view=article&id=3&itemid=13&lang=cs 25 Problém obchodního cestujícího (TSP). Problém obchodního cestujícího [online]. 25.3.2009 [cit. 2012-04-04]. Dostupné z: http://www.cs.vsb.cz/kot/anim/a-tsp_approx.pdf 22

Obrázek č. 11 - Problém obchodního cestujícího - cesta Zdroj: 26 Stejně tak i jinými slovy se jedná o nalezení nejkratší hamiltonovské kružnice v ohodnoceném grafu. V takovéto úloze, s minimálně však třemi uzly, lze vždy snadno najít hamiltonovskou kružnici. Cílem je však najít tu hamiltonovskou kružnici, jejíž délka, která je vyjádřena součtem ohodnocení hran na této kružnici, je nejmenší ze všech hamiltonovských kružnic v grafu. Taková hamiltonovská kružnice je zároveň nejkratší trasou pro úlohu TSP a je tímto tedy jejím řešením. Matematickým modelem těchto úloh je graf G = (V,H), kde: V = {v 1,..., v n } je množina vrcholů (nebo uzlů) H = {(v i, v j ) v i, v j Є V, i j} je množina hran s nezápornými náklady (vzdálenostmi) reprezentované maticí C = (c ij ). 27 1.6.2.1 Hamiltonovská kružnice (cesta) Problém nalezení hamiltonovské kružnice je definován takto: nechť G je orientovaný graf s označeným počátečním uzlem A a koncovým B. Cesta z uzlu A do B se nazývá hamiltonovská právě tehdy, když obsahuje každý uzel grafu G právě jednou. Počet kroků potřebných na vyřešení problému roste exponenciálně s velikostí grafu. 26 Problém obchodního cestujícího (TSP). Problém obchodního cestujícího [online]. 25.3.2009 [cit. 2012-04-04]. Dostupné z: http://www.cs.vsb.cz/kot/anim/a-tsp_approx.pdf 27 Uni-protokolle: Hamiltonian [online]. 2009 [cit. 2012-04-11]. Dostupné z: www.uni-protokole.de 23

Neboli jinými slovy hamiltonovská kružnice je uzavřená cesta, která prochází všemi uzly grafu právě jednou. Někdy je tato kružnice nazývána hamiltonovskou cestou. Obecně je problém nalezení hamiltonovské kružnice formulován jako rozhodnutí, zda daný orientovaný graf hamiltonovskou cestu obsahuje či ne. 28 Obrázek č. 12 - Hamiltonovská kružnice Zdroj: 29 1.6.3 Matematická definice TSP Úloha obchodního cestujícího není založena pouze na teorii grafů, ale může být založena i na matematické formulaci. Úloha TSP může být vyjádřena následně. Obchodník chce na své cestě navštívit n různých měst a poté se vrátit do výchozího místa. Konečná ujetá vzdálenost přitom musí být současně minimální a každé navštívené město se musí vyskytovat právě jednou. Ačkoliv je tato definice zdánlivě velmi jednoduchá, o to obtížnější je získat optimální řešení. V n-městské situaci kterékoliv permutace n měst přináší možné řešení. V důsledku toho n 1! možných cest (vzdálenost měst je zadaná jako symetrická matice; V grafickém 2 podání se jedná o neorientovaný graf) musí být ohodnoceno ve vyhledávacím prostoru. Následující tabulka udává příklady počtů prozkoumávaných cest v závislosti na počtu 28 DELMLOVÁ, Marie. Diskrétní matematika a logika. Praha, 2010. Dostupné z: http://math.feld.cvut.cz/demlova/teaching/dmc/pred100.pdf 29 Hamiltonian path [online] Dostupné z: http://en.wikipedia.org/wiki/hamiltonian_cycle 24

měst. Jak lze v tabulce č. 1 vidět, počet možných cest je extrémní už jen při počtu 30 měst. 30 Tabulka č. 1 - Počet cest v závislosti na počtu měst n- počet Počet prozkoumávaných cest měst 3 1 5 12 7 360 10 181 440 15 43 589 145 600 20 60 822 550 204 416 000 25 310 224 200 866 620 000 000 000 30 4 420 880 996 869 850 000 000 000 000 000 35 147 616 399 519 802 000 000 000 000 000 000 000 000 Zdroj: 30 V matematickém modelu TSP se zavádějí, podobně jako u přiřazovacího problému, bivalentní proměnné tj: xij, i = 0, 1,, m, j = 0, 1,, m, jejichž hodnota 1 udává, že hrana jdoucí z uzlu i do uzlu j leží v rámci hledané cesty obchodního cestujícího a naopak hodnota xij se rovná 0 znamená, že mezi těmito místy cesta nebude. TSP může byt tedy formulován naprosto stejně jako přiřazovací problém. Navíc je v něm však třeba zajistit, aby byl nalezen skutečně pravě jeden okruh zahrnující všechna místa a ne třeba jen několik dílčích, vzájemně nezávislých okruhů. Definujeme: Náklady na přepravu od dodavatele k odběrateli (c ij...kde i = 1 m, j = 1 n) 30 JAN, Fábry. Dynamic Traveling Salesman Problem: In Mathematical Methods in Economics. Plzeň: Professional Publishing, 2006. ISBN 80-86419-23-1. 25