Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd. Ivana Kozlová. Modely analýzy obalu dat
|
|
- Pavel Švec
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU MATEMATICKÉ MODELOVÁNÍ Ivana Kozlová Modely analýzy obalu dat Plzeň 2010
2 Obsah 1 Efektivnost a její hodnocení 2 2 Základní principy modelu analýzy obalu dat 2 3 Jednoduché DEA modely Model jednoho vstupu a jednoho výstupu Konstantní výnos z rozsahu CRS Variabilní výnos z rozsahu VRS Model dvou vstupů a jednoho výstupu Model jednoho vstupu a dvou výstupů CCR model základní ilustrace DEA modelů
3 1 Efektivnost a její hodnocení Měření efektivnosti produkčních jednotek je důležitý předpoklad pro zlepšení chování těchto jednotek v konkurenčním prostředí. Pod pojmem produkční jednotka rozumíme jednotku, která vytváří nějaké výstupy, na jejichž produkci spotřebovává nějaké vstupy. Mohou to být tedy firmy, které produkují nějaké výrobky. Také bankovní pobočky, nemocnice, střední školy, finanční úřady neboli jednotky vytvářející stejnou nebo podobnou aktivitu. V praxi používaný nástroj pro analýzu efektivnosti jsou poměrové ukazatele vycházející z finančních výkazů firem. Tyto výkazy popisují pouze dva nebo několik málo faktorů, které mají vliv na celkovou efektivnost jednotky. Poměrové ukazatele jsou užitečné pro základní orientaci fungování jednotky a pro porovnání s ostatními jednotkami. Pro podrobnější analýzu efektivnosti je třeba použít nástroje založené na principu matematického modelování. Častou aplikační oblastí je hodnocení efektivnosti bankovních poboček v rámci banky. Banky mívají vlastní statistiky často založené na poměrových ukazatelích, které nejsou moc vypovídající. Modely které umožňují sledovat více vstupů a více výstupů přináší zcela nový pohled. 2 Základní principy modelu analýzy obalu dat Modely analýzy obalu dat byly navrženy jako speciální modelový nástroj pro hodnocení efektivnosti homogenních produkčních jednotek. Pod pojmem homogenní produkčních jednotky rozumíme soubor jednotek, které je zabývají produkcí identických nebo ekvivalentních efektů, které budeme značit výstupy této jednotky. Je žádoucí, aby výšší hodnota efektů vedla k vyšší efektivnosti dané jednotky. Pro vytvoření efektů spotřebovává jednotka vstupy. Tyto vstupy chceme naopak minimalizovat. tedy nižší hodnota vstupů vede k vyšší hodnotě výstupů sledované jednotky. Při hodnocení efektivnosti budeme nejdřív uvažovat jeden vstup(m) a jeden výstup(n). Poměrová funkce tedy bude vypadat N M. Dostáváme ukazatele jako je zisk na pracovníka firmy nebo počet pacientů na jednoho lékaře. Pro hodnocení efektivnosti je třeba vzít větší množství vstupů a výstupů. Pro sledování efektivnosti souboru homogenních jednotek U 1, U 2,..., U n uvažujeme r vstupů a m výstupů. Označme X = {x ij, i = 1, 2,..., m, j = 1, 2,..., n} matici vstupů a obdobně Y = {y ij, i = 1, 2,..., r, j = 1, 2,..., n} matici výstupů. Míra efektivnosti jednotky U q můžeme vyjádřit jako i u iy iq j v jx jq, kde i u iy iq je vážený součet výstupů a v j, j = 1, 2,..., m jsou váhy přiřazené j-tému vstupu. Jmenovatel j v jx jq je vážený součet vstupů a u i, i = 1, 2,..., r jsou váhy přiřazené i-tému výstupu. 2
4 3 Jednoduché DEA modely DEA modely vychází z toho, že pro daný model existuje množina přípustných možností, tvořená všemi možnými kombinacemi vstupů a výstupů. Množina přípustných možností je tvořena efektivní hranicí. Produkční jednotky, jejichž kombinace vstupů a výstupů leží na efektivní hranici jsou efektivní jednotky. neexistuje jiná jednotka, která by dosáhla při stejném vstupu vyšších výstupů nebo stejných výstupů při nižších vstupech. 3.1 Model jednoho vstupu a jednoho výstupu Množinu přípustných možností a efektivní hranici ukážeme na příkladu obchodního řetězce s osmi pobočkami. Každá z poboček je charakterizovaná jedním vstupem x (počet pracovníků) a jedním výstupem y (průměrné denní tržby v desítkách tisíc Kč). Pro odvození efektivní hranice je třeba přijmout předpoklad Tabulka 1: Vstupní data pro případ jednoho vstupu a výstupu Pobočka U 1 U 2 U 3 U 4 U 5 U 6 U 7 U 8 Počet pracovníků Tržby Tržby/počet pracovníků 1,17 1,71 1,22 1,00 0,57 2,25 0,67 3,00 o charakteru výnosů z rozsahu pro danou úlohu. Výnosy z rozsahu mohou být konstantní, variabilní, klesající nebo rostoucí Konstantní výnos z rozsahu CRS Uvažujeme, že kombinace vstupů a výstupů (x, y) je prvkem množiny přípustných možností, pak je prvkem této množiny i kombinace (αx, αy), kde α > 0. tedy pokud je (x, y) jednotkou efektivní, pak bude efektivní i jednotka (αx, αy), kde α > 0. Pro náš případ je tedy efektivní hranice přímka pouze jediná jednotka leží na efektivní hranici.znamená to, že existuje pouze jedna jednotka s nejvyššími tržbami na jednoho pracovníka. 3
5 Ostatní jednotky jsou neefektivní, což lze ukázat na příkladu jednotky U 6. S hodnotami (4, 9) není na efektivní hranici, aby se na tuto hranici dostala, musí bud : Zvýšit hodnotu produkovaného výstupu při zachování současného vstupu, dostaneme se tedy do bodu U = (4, 12). Modely, které se snaží maximalizovat výstup, se označují modely orientované na výstupy. Snížit hodnotu spotřebovaného vstupu při zachování úrovně výstupu, dostaneme se do bodu U = (3, 9).Modely, které se snaží najít efektivní jednotku minimalizací vstupů se označují modely orientované na vstupy. Kombinací obou předcházejících možností. Tento postup se používá v odchylkových modelech. V našem modelu můžeme míru efektivnosti získat porovnáním tržeb na zaměstnance s tržbami jednotky U 8. Pro jednotku U 6 získáme míru efektivnosti jako podíl 2, 25/3, 00 = 0, 75. Jedná se však o relativní míru, která závisí na celém souboru jednotek. Přidáme-li do souboru další jednotku, může se změnit efektivní hranice a změní se i míry efektivnosti ostatních jednotek. Míru efektivnosti lze snadno odvodit také jako: Pro model orientovaný na výstupy jako podíl původní a nové hodnoty výstupů, tedy na příkladě U 6 9/12 = 0, 75. Často se však uvádí obrácená hodnota, tu lze vysvětlit jako míru navýšení výstupu pro dosažení efektivní hranice. Pro model orientovaný na vstupy jako podíl původní a staré hodnoty vstupů, u našeho příkladu 3/4 = 0, 75. tuto míru lze vysvětlit jako potřebnou míru redukce vstupu pro dosažení efektivní hranice. 4
6 3.1.2 Variabilní výnos z rozsahu VRS Příklad variabilních výnosů z rozsahu vede k modifikaci efektivní hranice. V našem příkladě je efektivní hranice znázorněna na obrázku. Efektivní hranice zde tvoří obal dat, který je konvexní. Zde jsou oproti předchozímu příklady čtyři efektivní jednotky: U 1, U 2, U 6, U 8. je to proto, že nemusí být α-násobek vstupů doplněn stejným násobkem výstupů. Efektivní bude i jednotka když poměrný nárůst výnosů bude nižší případně vyšší než odpovídající nárůst vstupů. V tomto případě je míra efektivnosti vyšší než v předchozím příkladě. Jelikož efektivní hranice je ke všem jednotkám mimo ni blíž než v předchozím případě, bude jmenovatel při výpočtu míry nižší, tedy míra bude větší. Pro jednotku U 3 je míra efektivnosti v modelu CRS rovna 1, 22/3, 00 = 0, 407 pro oba orientované modely. V modelu VRS bude v modelu orientovaném na vstupy je míra efektivnosti určena poměrem x /x = 6/9 = 0, 667. Ve stejném modelu orientovaném na výstupy to bude y /y = 11/13 = 0, 85. Míra efektivnosti je v modelech s VRS může být různá při orientaci na vstupy a na výstupy. 3.2 Model dvou vstupů a jednoho výstupu Pro případ dvou vstupů a jednoho výstupu budeme předpokládat shodné, jednotkové výstupy.tento postup neodpovídá realitě, ale lze jej splnit tak, že oba vstupy nahradíme jejich podílem hodnotami výstupů. tedy na ose x budeme mít vstup 1/výstup a na ose y bude vstup 2/výstup. Dostaneme tak vstup na jednotku výstupu. To lze znázornit grafem. Z hlediska efektivnosti bude nižší hodnota vstupů na jednotku výstupu vést k vyšší efektivnosti. Z obrázku je zřejmé, že efektivní budou jednotky U 1, U 3, U 6, U 8. Jsou to hodnoty ke kterým neexistuje lepší hodnota vstupů na 5
7 Tabulka 2: Vstupní fata pro případ dvou vstupů a jednoho výstupu Jednotka U 1 U 2 U 3 U 4 U 5 U 6 U 7 U 8 Vstup Vstup Výstup jednotkový výstup. Efektivní jednotky tvoří efektivní hranici, která definuje množinu produkčních možností. Jednotka U 5 v našem případě neleží na efektivní hranici. Různé DEA modely se liší pouze v tom, jak měří vzdálenost od efektivní hranice. Tato vzdálenost je vlastně míra efektivnosti hodnocené jednotky. Tento model měří tuto vzdálenost radiálně a určují míru redukce od obou vstupů. V tomto případě dostaneme virtuální jednotku U = (4; 3, 2). Míra efektivnosti jednotky U 5 je tedy U /U 5 = 4/5 = 3, 2/4 = 0, 8. Tuto hodnotu lze interpretovat jako, že na dosažení efektivní hranice musí jednotka U 5 snížit oba vstupy o 80% při zachování současné hodnoty výstupu. Kromě radiálního způsoby měření efektivnosti lze i tady požít podobný způsob jako v minulých příkladech. Při zachování hodnoty na ose x budeme minimalizovat hodnotu na ose y. Takto dostaneme bod (5; 2, 8) a míra efektivnosti bodu U 5 bude y /y = 2, 8/4 = 0, 7. Při zachování hodnoty na ose y se snažíme také minimalizovat hodnotu na ose x. Takto dostaneme bod (2, 4) a míra efektivnosti bodu U 5 bude x /x = 2/5 = 0, Model jednoho vstupu a dvou výstupů V tomto příkladě budeme postupovat obdobně jako v minulém příkladě. Budeme uvažovat výstupy na jednotku vstupu, například počet zákazníků na jednoho 6
8 Tabulka 3: Vstupní fata pro případ jednoho vstupu a dvou výstupů Jednotka U 1 U 2 U 3 U 4 U 5 U 6 U 7 U 8 Vstup Výstup Výstup pracovníka. Tato situace je znázorněna na obrázku. Je zřejmé, že vyšší výstupy povedou k vyšší efektivnosti. Efektivní hranice zde bude tvořena jednotkami U 1, U 3, U 7, U 8. Ke každé neefektivní jednotce lze najít jednotku na efektivní ose, která má obě souřadnicové hodnoty vyšší. koukneme se podrobněji na jednotku U 5. Pro tuto jednotku najdeme opět radiálním způsobem virtuální jednotku U = (8, 64; 6, 91), která se nachází na efektivní hranici. Výsledkem je míra efektivnosti o kterou je potřeba navýšit oba výstupy pro dosažení efektivnosti. Tato míra je zde určena jako podíl U /U 5 = 8, 64/5 = 6, 91/4 = 1, 727. Znamená to, že jednotka U 5 se dostane na efektivní hranici pokud navýší oba výstupy o téměř 73%. Lze si všimnout, že v předchozím příkladě byla míra u neefektivních jednotek menší než jedna, zde je naopak větší než jedna. V předchozím případě vyjadřovala míra efektivnosti potřebnou redukci vstupů pro dosažení efektivní hranice. Zde udává míra efektivnosti potřebné navýšení výstupů pro dosažení efektivní hranice. 4 CCR model Tento DEA model byl navržen Charnesem, Cooperema Rhodosem v roce Jmenuje se podle počátečních písmen autorů. tento model maximalizuje míru 7
9 fektivnosti jednotky U q, která je vyjádřena jako podíl vážených výstupů a vážených vstupů. Míra efektivnosti všech ostatních jednotek je menší nebo rovna jedné. Pro každou jednotku tak dostaneme pomocí vah pro vstupy v j, j = 1, 2,..., m virtuální vstup v 1 x 1q +v 2 x 2q +...+v m x mq. Pomocí vah pro výstupy u i, i = 1, 2,..., r virtuální výstup u 1 y 1q + u 2 y 2q u m y mq. CCR DEA model počítá váhy vstupů a výstupů optimalizačním výpočtem tak, aby to bylo pro hodnocenou jednotku co nejpříznivější z hlediska její efektivnosti. Tedy se maximalizuje míra efektivnosti hodnocené jednotky při dodržení podmínek maximálně jednotkové efektivnosti všech ostatních jednotek. Celý model lze pro jednotku U q formulovat jako úlohu lineárního lomeného programování následovně: maximalizovat z = za podmínek r i uiyiq m j vjxjq r i u iy ik m j v jx jk 1, k = 1, 2,..., n, u i ε = 1, 2,..., r, v j ε = 1, 2,..., m, kde z je míra efektivnosti jednotky U q a εje konstanta, pomocí které model zabezpečuje, že všechny váhy vstupů a výstupů budou kladné. x jk, j = 1, 2,..., m, k = 1, 2,..., n je hodnota i-tého vstupu pro jednotku U k a y ik, i = 1, 2,..., r, k = 1, 2,..., n je hodnota i-tého výstupu pro jednotku U k. Hodnoty vstupů a výstupů jsou uspořádány do matic X a Y, které mají rozměr (m, n) resp. (r, n). Tuto úlohu převedeme na standardní úlohu lineárního programování pomocí Charnes-Cooperovy transformace. Upravená úloha má podobu: maximalizovat z = r i u iy iq za podmínek r m u i y ik v j x jk, k = 1, 2,..., n, i j m v j x jq = 1, j u i ε = 1, 2,..., r, v j ε = 1, 2,..., m. Hodnocená jednotka U q leží na CCR efektivní hranici a označuje se jako CCR efektivní v případě, že optimální míra efektivnosti vypočtená tímto modelem je rovna jedné, tj. x = 1. pro neefektivní jednotky bude platit, že je jejich míra efektivnosti menší než jedna. Tento model je označován jako primární CCR model orientovaný na vstupy. Obdobně bude vypadat zadání primárního CCR modelu orientovaného na výstupy, zde chceme naopak, aby virtuální výstup byl roven jedné. Z výpočtového hlediska i z hlediska interpretace je lepší použít duální CCR model orientovaný na vstupy, který vypadá následovně: minimalizovat θ q za podmínek n x ij λ j λ q x iq, i = 1, 2,..., m, j=1 8
10 n x ij λ j y iq, i = 1, 2,..., r, j=1 λ j 0, j = 1, 2,..., n, kde λ = (λ 1, λ 2,..., λ n ), λ 0 je vektor vah, které jsou přiřazené jednotlivým jednotkám. Jedná se o vektor proměnných tohoto modelu. Další proměnnou je θ q, která je mírou efektivnosti hodnocené jednotky U q. proměnná θ q se může rovněž interpretovat jako potřebná míra redukce vstupů pro dosažení efektivní hranice a její hodnota bude menší nebo rovna jedné. Při hodnocení jednotky U q se model snaží najít virtuální jednotku charakterizovanou vstupy Xλ a výstupy Yλ, které jsou lineární kombinací vstupů a výstupů ostatních jednotek daného souboru a které jsou lepší než vstupy a výstupy hodnocené jednotky U q. Musí tedy platit Xλ θ q x q a Yλ y q, kde x q a y q jsou vektory vstupů a výstupů jednotky U q. Jednotka U q je označena za efektivní, pokud virtuální jednotka s uvedenými vlastnostmi neexistuje nebo je totožná s hodnocenou jednotkou, tedy Xλ = x q a Yλ = y q. To nastává pouze tehdy, je-li θ q = 1. Současně však musí být rovny nule všechny přídavné proměnné, které převádějí nerovnosti v předchozím modelu na rovnost. Po doplnění těchto proměnných do předchozího modelu bude mít výpočetní tvar modelu tento tvar: minimalizovat z = θ q ε(e T s + + e T s ), za podmínek Xλ + s = θ q x q, Yλ s + = y q, λ, s +, s 0, kde s + a s jsou vektory přídatných proměnných v omezeních pro všechny vstupy a výstupy, e T = (1, 1,..., 1) a ε je konstanta, která se volí zpravidla Hodnocená jednotka je efektivní, jsou-li splněny následující dvě podmínky: Optimální hodnota proměnné θ q je rovna jedné. Optimální hodnoty všech přídatných proměnných s +, i = 1, 2,..., r a s, i = 1, 2,..., m jsou rovny nule. 4.1 základní ilustrace DEA modelů Víše uvedené příklady budeme ilustrovat na datech z první tabulky. Použijeme výpočtový duální model pro hodnocení efektivnosti jednotky U 3 : minimalizovat z = θ 3 ε(s + + s ), za podmínek 12λ 1 + 7λ λ λ 8 + s 1 = 9θ 3, 14λ λ λ λ 8 s + 1 = 9θ 3, λ i 0, i = 1, 2,..., 8, s 1 0, s Tato úloha má optimální řešení z = θ 3 = 0, 4074, s 1 = 0, s+ 1 = 0, λ 6 = 1, 833 a všechny ostatní proměnné λ jsou rovny 0. Jednotka CCR tedy není efektivní a její míra efektivnosti je 0, Aby byla efektivní, musela by snížit svůj vstup z hodnoty 9 na hodnotu 9 0, 4071 = 3,
11 Pro model BCC je oproti taková změna jako pro model variabilních výnosů oproti modelu konstantních výnosů. v modelu BCC přibude podmínka λ 1 + λ λ 8 = 1. Tabulka 4: Výsledky DEA analýzy pro model CCR míra efektivnosti původní hodnota cílová hodnota U 1 0, ,666 U 2 0, ,000 U 3 0, ,666 U 4 0, ,000 U 5 0, ,333 U 6 1, ,000 U 7 0, ,000 U 8 0, ,000 Tabulka 5: Výsledky DEA analýzy pro model BCC míra efektivnosti původní hodnota cílová hodnota U 1 1, ,000 U 2 1, ,000 U 3 0, ,000 U 4 0, ,000 U 5 0, ,000 U 6 1, ,000 U 7 0, ,000 U 8 1, ,000 10
12 Reference [1] Jablonský J., Dlouhý M.: Modely hodnocení efektivnosti produkčních jednotek. Professional publishing,
Hodnocení efektivnosti podniků pomocí analýzy obalu dat
Hodnocení efektivnosti podniků pomocí analýzy obalu dat Markéta Matulová workshop Finanční matematika v praxi III, září 2013 Úvod Modely datových obalů (DEA) slouží k hodnocení technické efektivity produkčních
VíceMetoda analýzy datových obalů (DEA)
Kapitola 1 Metoda analýzy datových obalů (DEA) Modely datových obalů slouží pro hodnocení technické efektivity produkčních jednotek na základě velikosti vstupů a výstupů. Hodnocenými jednotkami mohou být
VíceMetoda analýzy datových obalů (DEA)
Kapitola 1 Metoda analýzy datových obalů (DEA) Modely datových obalů slouží pro hodnocení technické efektivity produkčních jednotek na základě velikosti vstupů a výstupů. Hodnocenými jednotkami mohou být
VíceAnalýza obalu dat úvod
Analýza obalu dat úvod Jana Klicnarová Katedra aplikované matematiky a informatiky Jihočeská Univerzita v Českých Budějovicích, Ekonomická fakulta 2010 Analýza obalu dat (DEA) Analýza obalu dat (Data envelopement
VíceData Envelopment Analysis (Analýza obalu dat)
Data Envelopment Analysis (Analýza obalu dat) Martin Branda Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Optimalizace s aplikací ve financích
Vícee-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010
Optimální výrobní program Radka Zahradníková e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Obsah 1 Lineární programování 2 Simplexová metoda 3 Grafická metoda 4 Optimální výrobní program Řešení
VíceModely analýzy obalu dat a jejich aplikace při hodnocení efektivnosti bankovních poboček
Modely analýzy obalu dat a jejich aplikace při hodnocení efektivnosti bankovních poboček Josef Jablonský VŠE Praha, fakulta informatiky a statistiky nám. W. Churchilla 4, 13067 Praha 3 jablon@vse.cz, http://nb.vse.cz/~jablon
VíceVYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA EKONOMICKÁ FAKULTA KATEDRA FINANCÍ
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA EKONOMICKÁ FAKULTA KATEDRA FINANCÍ Hodnocení eficience finanční výkonnosti podniků potravinářského průmyslu pomocí metody DEA Evaluation of Financial Performance
Více4EK213 LINEÁRNÍ MODELY
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2. PŘEDNÁŠKA MATEMATICKÝ MODEL ÚLOHY LP Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2 OSNOVA PŘEDNÁŠKY Obecná formulace MM Množina
VíceParametrické programování
Parametrické programování Příklad 1 Parametrické pravé strany Firma vyrábí tři výrobky. K jejich výrobě potřebuje jednak surovinu a jednak stroje, na kterých dochází ke zpracování. Na první výrobek jsou
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
VíceModely hodnocení efektivnosti a jejich aplikace
JIHOČESKÁ UNIVERZITA V ČESKÝCH BUDĚJOVICÍCH Ekonomická fakulta Katedra aplikované matematiky a informatiky Studijní program: N6208 Ekonomika a management Studijní obor: Účetnictví a finanční řízení podniku
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování študenti MFF 15. augusta 2008 1 15 Základy lineárního programování Požadavky Simplexová metoda Věty o dualitě (bez důkazu)
VíceTeorie her a ekonomické rozhodování. 2. Maticové hry
Teorie her a ekonomické rozhodování 2. Maticové hry 2.1 Maticová hra Teorie her = ekonomická vědní disciplína, která se zabývá studiem konfliktních situací pomocí matematických modelů Hra v normálním tvaru
VíceLineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity)
4 Lineární zobrazení Definice: Nechť V a W jsou vektorové prostory Zobrazení A : V W (zobrazení z V do W nazýváme lineárním zobrazením, pokud pro všechna x V, y V a α R platí 1 A(x y = A(x A(y (vlastnost
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,
Více2D transformací. červen Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací Metody vyrovnání... 2
Výpočet transformačních koeficinetů vybraných 2D transformací Jan Ježek červen 2008 Obsah Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací 2 Meto vyrovnání 2 2 Obecné vyjádření lineárních 2D transformací
Více4EK213 Lineární modely. 4. Simplexová metoda - závěr
4EK213 Lineární modely 4. Simplexová metoda - závěr 4. Simplexová metoda - závěr Konečnost simplexové metody Degenerace Modifikace pravidla pro volbu vstupující proměnné Blandovo pravidlo Kontrola výpočtu
VíceCITLIVOSTNÍ ANALÝZA DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ I
Informačné a automatizačné technológie v riadení kvality produkcie Vernár,.-4. 9. 005 CITLIVOSTNÍ ANALÝZA DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ I KÜNZEL GUNNAR Abstrakt Příspěvek uvádí základní definice, fyzikální interpretaci
Více7 Kardinální informace o kritériích (část 1)
7 Kardinální informace o kritériích (část 1) Předpokládejme stejná značení jako v předchozích cvičeních. Kardinální informací o kritériích se rozumí ohodnocení jejich důležitosti k pomocí váhového vektoru
VíceVícekriteriální programování příklad
Vícekriteriální programování příklad Pražírny kávy vyrábějí dva druhy kávy (Super a Standard) ze dvou druhů kávových bobů KB1 a KB2, které mají smluvně zajištěny v množství 4 t a 6 t. Složení kávy (v procentech)
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
VíceINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Báze vektorových prostorů, transformace souřadnic Michal Botur Přednáška
VíceOperační výzkum. Vícekriteriální programování. Lexikografická metoda. Metoda agregace účelových funkcí. Cílové programování.
Operační výzkum Lexikografická metoda. Metoda agregace účelových funkcí. Cílové programování. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu
VíceOperační výzkum. Vícekriteriální hodnocení variant. Grafická metoda. Metoda váženého součtu.
Operační výzkum Vícekriteriální hodnocení variant. Grafická metoda. Metoda váženého součtu. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
Více5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
VíceBankovní efektivnost Uvedení Metodologie Malmquistův index Přístupy k volbě proměnných pro výpočet efektivnosti
Bankovní efektivnost Uvedení Studium efektivní hranice začal Farrell (1957), který definoval jednoduchou míru firemní efektivnosti. Navrhl, že efektivnost každé firmy se skládá ze dvou částí, tedy technické
VíceIB112 Základy matematiky
IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic
Vícei=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice
I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných
VíceNumerické metody optimalizace - úvod
Numerické metody optimalizace - úvod Petr Tichý 16. února 2015 1 Organizace přednášek a cvičení 13 přednášek a cvičení. Zápočet: úloha programování a testování úloh v Matlabu. Další informace na blogu
Více6.1 Vektorový prostor
6 Vektorový prostor, vektory Lineární závislost vektorů 6.1 Vektorový prostor Nechť je dán soubor nějakých prvků, v němž je dána jistá struktura vztahů mezi jednotlivými prvky nebo v němž jsou předepsána
Více4EK213 LINEÁRNÍ MODELY
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 3. přednáška SIMPLEXOVÁ METODA I. OSNOVA PŘEDNÁŠKY Standardní tvar MM Základní věta LP Princip simplexové metody Výchozí řešení SM Zlepšení řešení
Více3. ANTAGONISTICKÉ HRY
3. ANTAGONISTICKÉ HRY ANTAGONISTICKÝ KONFLIKT Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku,
VíceLineární programování
Lineární programování Petr Tichý 19. prosince 2012 1 Outline 1 Lineární programování 2 Optimalita a dualita 3 Geometrie úlohy 4 Simplexová metoda 2 Lineární programování Lineární program (1) min f(x) za
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
Více4EK201 Matematické modelování. 2. Lineární programování
4EK201 Matematické modelování 2. Lineární programování 2.1 Podstata operačního výzkumu Operační výzkum (výzkum operací) Operational research, operations research, management science Soubor disciplín zaměřených
VíceLineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
Více10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.
0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti
Vícea počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:
Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se
Více4EK311 Operační výzkum. 2. Lineární programování
4EK311 Operační výzkum 2. Lineární programování 2.2 Matematický model úlohy LP Nalézt extrém účelové funkce z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n na soustavě vlastních omezení a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x
VíceVěta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)
1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht
Více4EK212 Kvantitativní management. 2. Lineární programování
4EK212 Kvantitativní management 2. Lineární programování 1.7 Přídatné proměnné Přídatné proměnné jsou nezáporné Mají svoji ekonomickou interpretaci, která je odvozena od ekonomické interpretace omezení
Více2 Spojité modely rozhodování
2 Spojité modely rozhodování Jak již víme z přednášky, diskrétní model rozhodování lze zapsat ve tvaru úlohy hodnocení variant: f(a i ) max, a i A = {a 1, a 2,... a p }, kde f je kriteriální funkce a A
VíceVYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA EKONOMICKÁ FAKULTA KATEDRA MANAGEMENTU
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA EKONOMICKÁ FAKULTA KATEDRA MANAGEMENTU Hodnocení výkonnosti maloobchodních prodejců elektrospotřebičů v podmínkách České republiky Performance Evaluation
Vícefakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.
Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceOtázky ke státní závěrečné zkoušce
Otázky ke státní závěrečné zkoušce obor Ekonometrie a operační výzkum a) Diskrétní modely, Simulace, Nelineární programování. b) Teorie rozhodování, Teorie her. c) Ekonometrie. Otázka č. 1 a) Úlohy konvexního
VíceVYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................
VíceNumerické metody a programování. Lekce 8
Numerické metody a programování Lekce 8 Optimalizace hledáme bod x, ve kterém funkce jedné nebo více proměnných f x má minimum (maximum) maximalizace f x je totéž jako minimalizace f x Minimum funkce lokální:
Více4. Napjatost v bodě tělesa
p04 1 4. Napjatost v bodě tělesa Předpokládejme, že bod C je nebezpečným bodem tělesa a pro zabránění vzniku mezních stavů je m.j. třeba zaručit, že napětí v tomto bodě nepřesáhne definované mezní hodnoty.
VícePříklady ke cvičením. Modelování produkčních a logistických systémů
Modelování produkčních a logistických systémů Katedra logistiky, kvality a automobilové techniky Garant, přednášející, cvičící: Jan Fábry 10.12.2018 Příklady ke cvičením Opakování lineárního programování
VíceKOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE
VíceANTAGONISTICKE HRY 172
5 ANTAGONISTICKÉ HRY 172 Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku, jejíž výše nezávisí
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25
Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceÚloha - rozpoznávání číslic
Úloha - rozpoznávání číslic Vojtěch Franc, Tomáš Pajdla a Tomáš Svoboda http://cmp.felk.cvut.cz 27. listopadu 26 Abstrakt Podpůrný text pro cvičení předmětu X33KUI. Vysvětluje tři způsoby rozpoznávání
Více6 Samodružné body a směry afinity
6 Samodružné body a směry afinity Samodružnými body a směry zobrazení rozumíme body a směry, které se v zobrazují samy na sebe. Například otočení R(S má jediný samodružný bod, střed S, anemá žádný samodružný
Více1/10. Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic
1/10 Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic Soustavy lineárních algebraických rovnic 2/10 Definice: Soustavou m lineárních algebraických rovnic o n neznámých rozumíme soustavu rovnic a 11
VíceLineární algebra : Lineární prostor
Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární
VíceMinimalizace nákladů. Varian: Mikroekonomie: moderní přístup, kapitoly 19 a 20 Varian: Intermediate Microeconomics, 8e, Chapters 20 and 21 () 1 / 34
Minimalizace nákladů a nákladové křivky Varian: Mikroekonomie: moderní přístup, kapitoly 19 a 20 Varian: Intermediate Microeconomics, 8e, Chapters 20 and 21 () 1 / 34 Na této přednášce se dozvíte co je
VíceMatematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3
3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů
Více1 Úvod do celočíselné lineární optimalizace
Úvod do celočíselné lineární optimalizace Martin Branda, verze 7.. 7. Motivace Reálné (smíšeně-)celočíselné úlohy Optimalizace portfolia celočíselné počty akcií, modelování fixních transakčních nákladů,
VíceStatika. fn,n+1 F = N n,n+1
Statika Zkoumá síly a momenty působící na robota v klidu. Uvažuje tíhu jednotlivých ramen a břemene. Uvažuje sílu a moment, kterou působí robot na okolí. Uvažuje konečné tuhosti ramen a kloubů. V našem
VícePříklady modelů lineárního programování
Příklady modelů lineárního programování Příklad 1 Optimalizace výroby konzerv. Podnik vyrábí nějaký výrobek, který prodává v 1 kg a 2 kg konzervách, přičemž se řídí podle následujících velmi zjednodušených
VícePřehled matematického aparátu
Přehled matematického aparátu Ekonomie je směsí historie, filozofie, etiky, psychologie, sociologie a dalších oborů je tak příslovečným tavicím kotlem ostatních společenských věd. Ekonomie však často staví
VíceOperační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu
Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ.1.07/2.2.00/28.0326 PROJEKT
Více11. Trhy výrobních faktorů Průvodce studiem: 11.1 Základní charakteristika trhu výrobních faktorů Poptávka po VF Nabídka výrobního faktoru
11. Trhy výrobních faktorů V předchozích kapitolách jsme zkoumali způsob rozhodování firmy o výstupu a ceně v rámci různých tržních struktur (dokonalá a nedokonalá konkurence). Ačkoli se fungování firem
VíceRegresní a korelační analýza
Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).
VíceVÍCEKRITERIÁLNÍ ROZHODOVANÍ
VÍCEKRITERIÁLNÍ ROZHODOVANÍ 1 Obsah Typy modelů vícekriteriálního rozhodování Základní pojmy Typy informací Cíl modelů Užitek, funkce užitku Grafické zobrazení Metody vícekriteriální analýzy variant 2
VíceEkonomická formulace. Matematický model
Ekonomická formulace Firma balící bonboniéry má k dispozici 60 čokoládových, 60 oříškových a 85 karamelových bonbónů. Může vyrábět dva druhy bonboniér. Do první bonboniéry se dávají dva čokoládové, šest
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii
VíceANALÝZA EFEKTIVNOSTI OBCHODNÍCH ŘETĚZCŮ V ČESKÉ REPUBLICE EFFICIENCY ANALYSIS OF FOOD STORE CHAINS IN THE CZECH REPUBLIC
ANALÝZA EFEKTIVNOSTI OBCHODNÍCH ŘETĚZCŮ V ČESKÉ REPUBLICE EFFICIENCY ANALYSIS OF FOOD STORE CHAINS IN THE CZECH REPUBLIC Petra Zýková, Josef Jablonský 2 Ing. Bc. Petra Zýková, Vysoká škola ekonomická v
VíceObr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel
Přílohy Příloha 1 Řešení úlohy lineárního programování v MS Excel V této příloze si ukážeme, jak lze řešit úlohy lineárního programování pomocí tabulkového procesoru MS Excel. Výpočet budeme demonstrovat
VíceDiferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
VíceNumerická stabilita algoritmů
Numerická stabilita algoritmů Petr Tichý 9. října 2013 1 Numerická stabilita algoritmů Pravidla v konečné aritmetice Pro počítání v konečné aritmetice počítače platí určitá pravidla, která jsou důležitá
Více2. kapitola: Euklidovské prostory
2. kapitola: Euklidovské prostory 2.1 Definice. Euklidovským n-rozměrným prostorem rozumíme neprázdnou množinu E n spolu s vektorovým prostorem V n a přiřazením, které každému bodu a z E n a každému vektoru
Více1 Lineární prostory a podprostory
Lineární prostory a podprostory Přečtěte si: Učebnice AKLA, kapitola první, podkapitoly. až.4 včetně. Cvičení. Které z následujících množin jsou lineárními prostory s přirozenými definicemi operací?. C
Více13. Lineární programování
Jan Schmidt 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Zimní semestr 2011/12 MI-PAA EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND PRAHA & EU: INVESTUJENE DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI
Více4 Kriteriální matice a hodnocení variant
4 Kriteriální matice a hodnocení variant V teorii vícekriteriálního rozhodování pracujeme s kritérii, kterých je obecně k, a s variantami, kterých je obecně p. Hodnotu, které dosahuje varianta i pro j-té
VíceZáklady maticového počtu Matice, determinant, definitnost
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n
VíceMarkovské metody pro modelování pravděpodobnosti
Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti rizikových stavů 1 Markovský řetězec Budeme uvažovat náhodný proces s diskrétním časem (náhodnou posloupnost) X(t), t T {0, 1, 2,... } s konečnou množinou
VíceNejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.
1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co
VíceŘešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +,
Příklad 1 Najděte body, v nichž má funkce (,) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (,)=0, je-li: a) (,)= + 1, (,)=+ 1 lok.max.v 1 2,3 2 b) (,)=+, (,)= 1 +1 1 c) (,)=, (,)=+ 1 lok.max.v
VíceALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)
VíceNeuronové časové řady (ANN-TS)
Neuronové časové řady (ANN-TS) Menu: QCExpert Prediktivní metody Neuronové časové řady Tento modul (Artificial Neural Network Time Series ANN-TS) využívá modelovacího potenciálu neuronové sítě k predikci
VícePřílohy. Příloha 1. Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel
Přílohy Příloha 1 Řešení úlohy lineárního programování v MS Excel V této příloze si ukážeme, jak lze řešit úlohy lineárního programování pomocí tabulkového procesoru MS Excel 2007. Výpočet budeme demonstrovat
Vícevyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).
Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých
Více8. Dokonalá konkurence
8. Dokonalá konkurence Kompletní text ke kapitole viz. KRAFT, J., BEDNÁŘOVÁ, P, KOCOUREK, A. Ekonomie I. TUL Liberec, 2010. ISBN 978-80-7372-652-2; str.64-75 Dokonale konkurenční tržní prostředí lze charakterizovat
VíceKvízové otázky Obecná ekonomie I. Teorie firmy
1. Firmy působí: a) na trhu výrobních faktorů b) na trhu statků a služeb c) na žádném z těchto trhů d) na obou těchto trzích Kvízové otázky Obecná ekonomie I. Teorie firmy 2. Firma na trhu statků a služeb
VíceMaticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
VíceVYUŽITÍ PRAVDĚPODOBNOSTNÍ METODY MONTE CARLO V SOUDNÍM INŽENÝRSTVÍ
VYUŽITÍ PRAVDĚPODOBNOSTNÍ METODY MONTE CARLO V SOUDNÍM INŽENÝRSTVÍ Michal Kořenář 1 Abstrakt Rozvoj výpočetní techniky v poslední době umožnil také rozvoj výpočetních metod, které nejsou založeny na bázi
Více7.2.1 Vektory. Předpoklady: 7104
7..1 Vektory Předpoklady: 7104 Některé fyzikální veličiny (například rychlost, síla) mají dvě charakteristiky: velikost, směr. Jak je znázornit? Jedno číslo (jako například pro hmotnost m = 55kg ) nestačí.
VíceOperační výzkum. Síťová analýza. Metoda CPM.
Operační výzkum Síťová analýza. Metoda CPM. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo
VíceDokonale konkurenční odvětví
Dokonale konkurenční odvětví Východiska určení výstupu pro maximalizaci zisku ekonomický zisk - je rozdíl mezi příjmy a ekonomickými náklady (alternativními náklady) účetní zisk - je rozdíl mezi příjmy
VíceGeometrické transformace pomocí matic
Geometrické transformace pomocí matic Pavel Strachota FJFI ČVUT v Praze 2. dubna 2010 Obsah 1 Úvod 2 Geometrické transformace ve 2D 3 Geometrické transformace ve 3D Obsah 1 Úvod 2 Geometrické transformace
VícePožadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014
Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,
VíceINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ107/2200/280141 Soustavy lineárních rovnic Michal Botur Přednáška 4 KAG/DLA1M: Lineární
VíceMatematika pro informatiky
(FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 1 / 1 Matematika pro informatiky Jaroslav Milota Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Letní semestr 2010/11 Extrémy funkce
Více