Metody lineární optimalizace Simplexová metoda. Distribuční úlohy
|
|
- Michaela Zemanová
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Metody lineární optimalizace Simplexová metoda Dvoufázová M-úloha Duální úloha jednofázová Post-optimalizační analýza Celočíselné řešení Metoda větví a mezí Distribuční úlohy 1
2 OÚLP = obecná úloha lineárního programování Hledáme optimum F x = c T x c R n je vektor cenových koeficientů x R n je vektor proměnných a R mxn je matice koeficientů proměnných b R m je vektor pravých stran na množině M = g i x omezujících podmínek g i x kapacitní: g i x : a i T x b i i I 1 požadavkové: g i x : a T i x b i i I 2 určující: g i x : a T i x = b i i I I 1 I 2 I = 1,, m a podmínek nezápornosti x 0 plynou z ekonomické interpretace ÚLP OÚLP = obecná úloha lineárního programování Hledáme optimum F x n = σ j=1 c j x j c 1,, c n R n je vektor cenových koeficientů x 1,, x n R n je vektor proměnných a 11,, a mn R mxn je matice koeficientů proměnných b 1,, b m b R m je vektor pravých stran na množině M = g i x omezujících podmínek g i x kapacitní: g i x : σn j=1 a ij x j b i i I 1 požadavkové: g i x : σ n j=1 a ij x j b i i I 2 určující: g i x : σn j=1 a ij x j = b i i I I 1 I 2 I = 1,, m a podmínek nezápornosti x 1,, x n 0 plynou z ekonomické interpretace ÚLP 2
3 SM = Simplexová metoda patří mezi univerzální iterační metody řešení OÚLP prochází krajní body množiny M jistým racionálním způsobem nikdy nepřejde do bodu s horší funkční hodnotou Nalezení výchozího přípustného řešení algoritmus výpočtu: Je řešení optimální? ano Konec výpočtu ne Přepočet na jiné přípustné řešení Pokud má OÚLP alespoň jedno přípustné řešení, vede tato metoda po konečném počtu kroků k nalezení / nenalezení konečného optimálního řešení. Simplexová metoda postup procházení M (geometricky): předpoklad máme krajní bod x 0 M (výchozí přípustné řešení) pro i = 0,1,,s z krajního bodu x i vychází konečné množství hran (krajní směry v i ) hrana obsahuje jediný další krajní bod množiny M hrana je neomezená neomezená hrana + body s lepší funkční hodnotou než c T x i úloha nemá optimální řešení omezené hrany obsahují další krajní body vybereme ten s lepší funkční hodnotou než c T x i získáme bod x i+1 a opakujeme postup pokud neexistuje bod s lepší funkční hodnotou bod x i je hledané optimum úloha má optimální řešení 3
4 Simplexová metoda používá se uspořádání do simplexové tabulky pro ruční řešení a přehlednost tabulka obsahuje m+1 řádků lineární rovnice g x + vektor z (redukované cenové koeficienty) jednofázová metoda obsahuje n+m+1 sloupců vektor proměnných x R n + vektor přídatných proměnných x R m + pravá strana b dvoufázová metoda obsahuje n+2m+1 sloupců vektor proměnných x R n + vektor přídatných proměnných x R m + vektor pomocných proměnných p R m + pravá strana b Jednofázová SM řešíme úlohu ve SKT min/ max F x kde F x = c T x za omezujících podmínek ve tvaru g x b A x + E x = b, x 0 rovnosti dosáhneme pomocí množiny přídatných proměnných x n+k, které tvoří bázi (v tabulce s koeficientem +1) 4
5 Dvoufázová SM řešíme pomocnou úlohu min σ p j kde p = A x b, p 0 řešíme původní úlohu ve SKT min/ max F x kde F x = c T x za omezujících podmínek g x b při výběru výchozího krajního bodu množiny M využijeme minimalizační algoritmus A x E x + E p = b, x 0 rovnosti dosáhneme pomocí množiny přídatných proměnných x n+k, (v tabulce s koeficientem -1) a pomocí množiny pomocných proměnných p k, které tvoří bázi (v tabulce s koeficientem +1) Dvoufázová M-úloha řešíme pomocnou úlohu min σ M p j kde p = A x b, p 0 řešíme původní úlohu ve SKT min/ max F x kde F x = c T x za omezujících podmínek g x b při výběru výchozího krajního bodu množiny M využijeme minimalizační algoritmus A x E x + E p = b, x 0 rovnosti dosáhneme pomocí množiny přídatných proměnných x n+k, (v tabulce s koeficientem -1) a pomocí množiny pomocných proměnných p k, které tvoří bázi (v tabulce s koeficientem +1) 5
6 řezný plán Sestavte model úlohy lineárního programování, vytvořte výchozí simplexovou tabulku a najděte optimální řešení. Střihačka střihá z kruhové látky půlkruhy, čtvrtky kruhu a osminy jako díly pro výrobu dekorativních textilií tzv. patchwork. Z jednoho kruhového kusu získá 2 půlkruhy; 1 půlkruh, 1 čtvrtku a 2 osminy; 2 čtvrtky a 4 osminy; 3 čtvrtky a 2 osminy. Na splnění zakázky je třeba získat 75 osmin kruhu, 50 čtvrtek a 10 půlkruhů. Je třeba minimalizovat spotřebu základní kruhové látky. Hledáme min F x = 1 x x x x 4 x j určuje počet rozřezaných kruhových látek j-tým řezným plánem množina M = g i x omezujících podmínek půlkruhy g 1 x : 2 x x x x 4 10 čtvrtky g 2 x : 0 x x x x 4 50 osminky g 3 x : 0 x x x x 4 75 podmínky nezápornosti x 1, x 2, x 3, x 4 0 6
7 Hledáme min F x = 1 x x x x x x x 7 účelová funkce původní úlohy min G p = 1 p p p 3 účelová funkce pomocné úlohy množina M = g i x omezujících podmínek g 1 x : 2 x x x x 4 1 x p 1 = 10 g 2 x : 0 x x x x 4 1 x p 2 = 50 g 3 x : 0 x x x x 4 1 x p 3 = 75 podmínky nezápornosti x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7, p 1, p 2, p 3 0 výchozí přípustné řešení zápis množiny M v SKT p p p z z~ 7
8 výchozí přípustné řešení min F x = 1 x x x x x x x 7 anulovaný tvar: z min F x = 0 min G p = 1 p p p 3 tvar: z = min G p = σ p j p p p z z~ výchozí přípustné řešení x 0 = 0,0,0,0,0,0,0, F x 0 = 0 p 0 = 10,50,75, G p 0 = 135 řešení z~ není optimální p p p z z~
9 přepočet na jiné přípustné řešení klíčový sloupec = největší kladná hodnota v řádku z~ klíčový řádek = nejmenší podíl b j a ik pouze pro kladné hodnoty klíčového sloupce a ik p p p z z~ p p p z z~ p p x3 0 1/2 1 1/ / /2 75/4 z z~
10 p p p z z~ p p / /2 25/2 x3 0 1/2 1 1/ / /2 75/4 z -1-1/2 0-1/ / /4 75/4 z~ / /2 45/2 jiné přípustné řešení x 1 = 0,0, 75 4, 0,0,0,0, F x 1 = 75 4 p 1 = 10, 25 2, 0, G p 1 = 45 2 řešení z~ není optimální p p / /2 25/2 x3 0 1/2 1 1/ / /2 75/4 z -1-1/2 0-1/ / /4 75/4 z~ / /2 45/2 10
11 přepočet na jiné přípustné řešení klíčový sloupec = největší kladná hodnota v řádku z~ - kterou??? klíčový řádek = nejmenší podíl b j a ik pouze pro kladné hodnoty klíčového sloupce a ik p p / /2 25/2 x3 0 1/2 1 1/ / /2 75/4 z -1-1/2 0-1/ / /4 75/4 z~ / /2 45/2 p p / /2 25/2 x3 0 1/2 1 1/ / /2 75/4 z -1-1/2 0-1/ / /4 75/4 z~ / /2 45/2 x1 1 1/ / / p / /2 25/2 x3 0 1/2 1 1/ / /2 75/4 z 0 0-1/2 0-1/4 0 1/4 z~ /2 0-3/2 11
12 p p / /2 25/2 x3 0 1/2 1 1/ / /2 75/4 z -1-1/2 0-1/ / /4 75/4 z~ / /2 45/2 x1 1 1/ / / p / /2 25/2 x3 0 1/2 1 1/ / /2 75/4 z /2-1/2 0-1/4 1/2 0 1/4 95/4 z~ / /2 25/2 jiné přípustné řešení x 2 = 5,0, 75 4, 0,0,0,0, F x 2 = 95 4 p 2 = 0, 25 2, 0, G p 2 = 25 2 řešení z~ není optimální x1 1 1/ / / p / /2 25/2 x3 0 1/2 1 1/ / /2 75/4 z /2-1/2 0-1/4 1/2 0 1/4 95/4 z~ / /2 25/2 12
13 přepočet na jiné přípustné řešení klíčový sloupec = největší kladná hodnota v řádku z~ klíčový řádek = nejmenší podíl b j a ik pouze pro kladné hodnoty klíčového sloupce a ik x1 1 1/ / / p / /2 25/2 x3 0 1/2 1 1/ / /2 75/4 z /2-1/2 0-1/4 1/2 0 1/4 95/4 z~ / /2 25/2 x1 1 1/ / / p / /2 25/2 x3 0 1/2 1 1/ / /2 75/4 z /2-1/2 0-1/4 1/2 0 1/4 95/4 z~ / /2 25/2 x1 1 1/ / / x /2 1/4 0 1/2-1/4 25/4 x3 0 1/ z /2 1/2 z~
14 x1 1 1/ / / p / /2 25/2 x3 0 1/2 1 1/ / /2 75/4 z /2-1/2 0-1/4 1/2 0 1/4 95/4 z~ / /2 25/2 x1 1 1/ / / x /2 1/4 0 1/2-1/4 25/4 x3 0 1/ /4-5/8 0-1/4 5/8 125/8 z /2-1/4-1/8 1/2 1/4 1/8 215/8 z~ jiné přípustné řešení x 3 = 5,0, 125, 25, 0,0,0, F x 3 = p 3 = 0,0,0, G p 3 = 0 řešení z~ je už optimální x1 1 1/ / / x /2 1/4 0 1/2-1/4 25/4 x3 0 1/ /4-5/8 0-1/4 5/8 125/8 z /2-1/4-1/8 1/2 1/4 1/8 215/8 z~
15 jiné přípustné řešení x 3 = 5,0, 125, 25, 0,0,0, F x 3 = řešení z je také už optimální x1 1 1/ / x /2 1/ /4 x3 0 1/ /4-5/ /8 z /2-1/4-1/ /8 z~ optimální přípustné řešení x 3 = 5,0, 125, 25, 0,0,0, F x 3 = řešení z je optimální Výsledek 1. řezný plán: x 1 = 5 kruhů 2. řezný plán: x 2 = 0 kruhů 3. řezný plán: x 3 = = 15, kruhů 4. řezný plán: x 4 = 25 = 6,25 7 kruhů 4 Celkem tedy = 28 kruhů látky Účelová funkce: F x = 215 = 26, kruhů látky 8 Problém = celočíselné programování 15
16 optimální přípustné řešení x 3 = 5,0, 125, 25, 0,0,0, F x 3 = řešení z je optimální Výsledek celočíselně I. 1. řezný plán: x 1 = 5 kruhů 2. řezný plán: x 2 = 0 kruhů 3. řezný plán: x 3 = 16 kruhů 4. řezný plán: x 4 = 6 kruhů Celkem půlkruhů = 10 Celkem čtvrtkruhů = 50 Celkem osminek kruhu = 76 Účelová funkce: F x = 27 kruhů látky optimální přípustné řešení x 3 = 5,0, 125, 25, 0,0,0, F x 3 = řešení z je optimální Výsledek celočíselně II. 1. řezný plán: x 1 = 4 kruhů 2. řezný plán: x 2 = 2 kruhů 3. řezný plán: x 3 = 15 kruhů 4. řezný plán: x 4 = 6 kruhů Celkem půlkruhů = 10 Celkem čtvrtkruhů = 50 Celkem osminek kruhu = 76 Účelová funkce: F x = 27 kruhů látky 16
17 optimální přípustné řešení x 3 = 5,0, 125, 25, 0,0,0, F x 3 = řešení z je optimální Výsledek celočíselně III. 1. řezný plán: x 1 = 3 kruhů 2. řezný plán: x 2 = 4 kruhů 3. řezný plán: x 3 = 14 kruhů 4. řezný plán: x 4 = 6 kruhů Celkem půlkruhů = 10 Celkem čtvrtkruhů = 50 Celkem osminek kruhu = 76 Účelová funkce: F x = 27 kruhů látky optimální přípustné řešení x 3 = 5,0, 125, 25, 0,0,0, F x 3 = řešení z je optimální Výsledek celočíselně IV. 1. řezný plán: x 1 = 2 kruhů 2. řezný plán: x 2 = 6 kruhů 3. řezný plán: x 3 = 13 kruhů 4. řezný plán: x 4 = 6 kruhů Celkem půlkruhů = 10 Celkem čtvrtkruhů = 50 Celkem osminek kruhu = 76 Účelová funkce: F x = 27 kruhů látky 17
18 optimální přípustné řešení x 3 = 5,0, 125, 25, 0,0,0, F x 3 = řešení z je optimální Výsledek celočíselně V. 1. řezný plán: x 1 = 1 kruhů 2. řezný plán: x 2 = 8 kruhů 3. řezný plán: x 3 = 12 kruhů 4. řezný plán: x 4 = 6 kruhů Celkem půlkruhů = 10 Celkem čtvrtkruhů = 50 Celkem osminek kruhu = 76 Účelová funkce: F x = 27 kruhů látky optimální přípustné řešení x 3 = 5,0, 125, 25, 0,0,0, F x 3 = řešení z je optimální Výsledek celočíselně VI. 1. řezný plán: x 1 = 0 kruhů 2. řezný plán: x 2 = 10 kruhů 3. řezný plán: x 3 = 11 kruhů 4. řezný plán: x 4 = 6 kruhů Celkem půlkruhů = 10 Celkem čtvrtkruhů = 50 Celkem osminek kruhu = 76 Účelová funkce: F x = 27 kruhů látky 18
19 určuje citlivost optimálního řešení na změny v modelu tj. jak se mohou měnit jednotlivé části modelu, aniž by byla porušena optimalita nalezeného řešení 1) podmínky, za nichž není porušena optimalita současného řešení analýza citlivosti optimálního řešení na změny pravých stran analýza citlivosti optimálního řešení na změny cenových koeficientů analýza citlivosti optimálního řešení ve dvoufázové SM 2) výpočet optimálního řešení při změně modelu analýza citlivosti a změna pravých stran analýza citlivosti a změna cenových koeficientů změna počtu proměnných přidání omezující podmínky určuje citlivost optimálního řešení na změny v modelu tj. jak se mohou měnit jednotlivé části modelu, aniž by byla porušena optimalita nalezeného řešení 1) podmínky, za nichž není porušena optimalita současného řešení analýza citlivosti optimálního řešení na změny pravých stran (a cen) zvýšení pravé strany o b vyvolá snížení přídatné proměnné o b dosadíme hodnoty nebázových proměnných x j = 0 vypočteme hodnoty bázových proměnných x j 0 a zjistíme interval změny pravé strany b b b, b + b nebo výpočet dle transformačního vzorce max b i b ip >0 b p min b i b ip <0 nebo max z j a qj >0 c k min z j a qj <0 19
20 analýza citlivosti optimálního řešení na změny pravých stran b 1, 10, b , 25 2, b 3 25, 25 b 1, 20, b , 125 2, b 3 50, 100 změny x5 x6 x7 -bi b1 b2 b3 x1-1/ x4 0-1/2 1/4-25/4-25/2-25 x3 0 1/4-5/8-125/ /2 25 dolní mez /2-25 horní mez /2 25 analýza citlivosti optimálního řešení na změny cen u bázových proměnných c 1 0, 0, c 3 0,0, c 4 1 2, 1 2 c 1 1, 1, c 3 1,1, c 4 1, změny x2 x5 x6 x7 dolní mez horní mez x1 1/2-1/ x /2 1/4 - - x3 1/2 0 1/4-5/ zj 0 1/2 1/4 1/8 - - c c /5 0 0 c /2 1/2-1/2 1/2 20
21 analýza citlivosti optimálního řešení na změny cen u nebázových proměnných c 2 z 2 = 0 c 2 1, 1 změny x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 b x1 1 1/ / x /2 1/4 25/4 x3 0 1/ /4-5/8 125/8 z /2-1/4-1/8 215/8 Hledáme min F x = 1 x x x x 4 x j určuje počet rozřezaných kruhových látek j-tým řezným plánem množina M = g i x omezujících podmínek půlkruhy g 1 x : 2 x x x x 4 10 čtvrtky g 2 x : 0 x x x x 4 50 osminky g 3 x : 0 x x x x 4 75 podmínky nezápornosti x 1, x 2, x 3, x
22 primární úloha min F x = c T x duální úloha max D u = b T u F x = 1,1,1,1 M: A x b x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 podmínky nezápornosti x 1, x 2, x 3, x D u = 10,50,75 M: A T u c u 1 u 2 u 3 u 1 u 2 u podmínky nezápornosti u 1, u 2, u 3 0 Hledáme max D u = 10 u u u 3 účelová funkce duální úlohy množina M = g i u omezujících podmínek g 1 u : 2 u u u 3 1 g 2 u : 1 u u u 3 1 g 3 u : 0 u u u 3 1 g 4 u : 0 u u u 3 1 podmínky nezápornosti u 1, u 2, u
23 Hledáme max D u = 10 u u u u u u u 7 účelová funkce duální úlohy množina M = g i u omezujících podmínek g 1 u : 2 u u u u 4 = 1 g 2 u : 1 u u u u 5 = 1 g 3 u : 0 u u u u 6 = 1 g 4 u : 0 u u u u 7 = 1 podmínky nezápornosti u 1, u 2, u 3, u 4, u 5, u 6, u 7 0 výchozí přípustné řešení zápis množiny M v SKT u u u z 23
24 výchozí přípustné řešení max D u = 10 u u u u u u u 7 anulovaný tvar: z max D u = 0 u u u z výchozí přípustné řešení u 0 = 0,0,0,1,1,1,1, D u 0 = 0 řešení z není optimální u u u z
25 přepočet na jiné přípustné řešení klíčový sloupec = největší záporná hodnota v řádku z klíčový řádek = nejmenší podíl b j a ik pouze pro kladné hodnoty klíčového sloupce a ik u u u z u u u z u u3 0 1/ /4 0 1/4 u z
26 u u u z u /2 0 1/2 u3 0 1/ /4 0 1/4 u /2 1 1/2 z / /4 0 75/4 jiné přípustné řešení u 1 = 0,0, 1 4, 1, 1 2, 0, 1 2, D u 1 = 75 4 řešení z není optimální u /2 0 1/2 u3 0 1/ /4 0 1/4 u /2 1 1/2 z / /4 0 75/4 26
27 přepočet na jiné přípustné řešení klíčový sloupec = největší záporná hodnota v řádku z klíčový řádek = nejmenší podíl b j a ik pouze pro kladné hodnoty klíčového sloupce a ik u /2 0 1/2 u3 0 1/ /4 0 1/4 u /2 1 1/2 z / /4 0 75/4 u /2 0 1/2 u3 0 1/ /4 0 1/4 u /2 1 1/2 z / /4 0 75/4 u /2 0 1/2 u u /4 1/2 1/4 z
28 u /2 0 1/2 u3 0 1/ /4 0 1/4 u /2 1 1/2 z / /4 0 75/4 u /2 0 1/2 u /8-1/4 1/8 u /4 1/2 1/4 z /8 25/4 175/8 jiné přípustné řešení u 2 = 0, 1 4, 1 8, 1, 1 2, 0,0, D u 2 = řešení z není optimální u /2 0 1/2 u /8-1/4 1/8 u /4 1/2 1/4 z /8 25/4 175/8 28
29 přepočet na jiné přípustné řešení klíčový sloupec = největší záporná hodnota v řádku z klíčový řádek = nejmenší podíl b j a ik (kterou???) pouze pro kladné hodnoty klíčového sloupce a ik u /2 0 1/2 u /8-1/4 1/8 u /4 1/2 1/4 z /8 25/4 175/8 u /2 0 1/2 u /8-1/4 1/8 u /4 1/2 1/4 z /8 25/4 175/8 u / /2 u /2 0 u /8-1/4 1/8 u /4 1/2 1/4 z /8 25/4 29
30 u /2 0 1/2 u /8-1/4 1/8 u /4 1/2 1/4 z /8 25/4 175/8 u / /2 u /2 1-1/2 0 0 u /8-1/4 1/8 u /4 1/2 1/4 z /8 25/4 215/8 jiné přípustné řešení u 3 = 1 2, 1 4, 1 8, 0,0,0,0, D u 3 = řešení z už je optimální u / /2 u /2 1-1/2 0 0 u /8-1/4 1/8 u /4 1/2 1/4 z /8 25/4 215/8 30
31 optimální přípustné řešení primární úlohy: x 3 = 5,0, 125, 25, 0,0,0, F x 3 = řádek z = 0,0,0,0, 1 2, 1 4, 1 8 z /2-1/4-1/ /8 optimální přípustné řešení duální úlohy: u 3 = 1 2, 1 4, 1 8, 0,0,0,0, D u 3 = řádek z = 0,0,0,5,0, 125 8, 25 4 z /8 25/4 215/8 Metoda větví a mezí BB = Branch and bound algoritmus LP, který je určen pro hledání optimálního řešení v oblasti diskrétní (celočíselné) optimalizace a kombinatorické optimalizace princip: systematické procházení všech potenciálních řešení podmnožiny nevhodných řešení jsou vyloučeny najednou používá se prořezávání spolu s horním a dolním odhadem optimální hodnoty (tyto odhady se v průběhu výpočtu zpřesňují) 1960 navrhli A. H. Land a A. G. Doig 31
32 optimální řešení Simplexovou metodou LP 0 : x 3 = 5,0, 125 8, 25 4, 0,0,0, F x 3 = = 26,875 proměnné x 3, x 4 porušují celočíselnost, mez h 0 = zvolíme větvící proměnnou x 3 = = 15,625 levá větev řešení: řešíme úlohu LP 1 = LP 0 + g 4 x : 1 x 3 15 = 27 x 1 = 35 8, 5 4, 15, 25 4, 0,0,0, F x1 = h0 neuzavřeme pravá větev řešení: řešíme úlohu LP 2 = LP 0 + g 4 x : 1 x 3 16 x 2 = 5,0,16,6,0,0,1, F x 2 = 27 h 0 uzavřeme, máme řešení nalezli jsme přijatelné celočíselné řešení, mez h 1 = 27 optimální řešení Simplexovou metodou LP 1 : x 1 = 35 8, 5 4, 15, 25 4, 0,0,0, F x1 = = 26,875 proměnné x 1, x 2, x 4 porušují celočíselnost, mez h 1 = 27 zvolíme větvící proměnnou x 1 = 35 8 = 4,375 levá větev řešení: řešíme úlohu LP 3 = LP 1 + g 5 x : 1 x 1 4 x 3 = 4,2, 117 8, 25 4, 0,0,0, F x3 = h1 neuzavřeme pravá větev řešení: řešíme úlohu LP 4 = LP 1 + g 5 x : 1 x 1 5 x 4 = 5, 5 4, 15, 25 4, 5 4, 0,0, F x4 = 55 2 = 27,5 > h1 uzavřeme 32
33 optimální řešení Simplexovou metodou LP 3 : x 3 = 4,2, 117 8, 25 4, 0,0,0, F x3 = = 26,875 proměnné x 3, x 4 porušují celočíselnost, mez h 3 = zvolíme větvící proměnnou x 3 = = 14,625 levá větev řešení: řešíme úlohu LP 5 = LP 3 + g 6 x : 1 x 3 14 = 27 x 5 = 27 8, 13 4, 14, 25 4, 0,0,0, F x5 = h3 neuzavřeme pravá větev řešení: řešíme úlohu LP 6 = LP 3 + g 6 x : 1 x 3 15 x 6 = 4,2,15,6,0,0,1, F x 6 = 27 h 3 uzavřeme, máme řešení nalezli jsme přijatelné celočíselné řešení, mez h 6 = 27 a dál pokračujeme ve výpočtech větve LP 5 LP 0 x 0 = 5,0, 125, 25, 0,0,0 8 4 F x 0 = 215, 8 h0 = 215 = 27 8 LP 1 x 1 = 35, 5 25, 15,, 0,0, F x 1 = 215, 8 h1 = 215 = 27 8 LP 3 x 3 = 4,2, 117, 25, 0,0,0 8 4 F x 3 = 215, 8 h3 = 215 = 27 8 LP 2 x 2 = 5,0,16,6,0,0,1 F x 2 = 27, h 2 = 27 celočíselné řešení LP 4 x 4 = 5, 5 25, 15,, 5, 0, F x 4 = 55 = 27,5 > h1 2 konec větve x 5 = 27, LP 5, 14, 25 4, 0,0,0 F x 5 = 215, 8 h5 = = 27 LP 6 x 6 = 4,2,15,6,0,0,1 F x 6 = 27, h 6 = 27 celočíselné řešení 33
34 Konec vzorového příkladu 34
4EK213 Lineární modely. 10. Celočíselné programování
4EK213 Lineární modely 10. Celočíselné programování 10.1 Matematický model úlohy ILP Nalézt extrém účelové funkce z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n na soustavě vlastních omezení a 11 x 1 + a 12 x 2 + a
VíceParametrické programování
Parametrické programování Příklad 1 Parametrické pravé strany Firma vyrábí tři výrobky. K jejich výrobě potřebuje jednak surovinu a jednak stroje, na kterých dochází ke zpracování. Na první výrobek jsou
VíceOSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA [ MOPV ] METODY OPERAČNÍHO VÝZKUMU
OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA [ MOPV ] METODY OPERAČNÍHO VÝZKUMU Distanční opora RNDr. Miroslav Liška, CSc. OSTRAVA 2002 1 Simplexová metoda je iterační výpočetní postup pro nalezení optimálního
VíceSimplexové tabulky z minule. (KMI ZF JU) Lineární programování EMM a OA O6 1 / 25
Simplexové tabulky z minule (KMI ZF JU) Lineární programování EMM a OA O6 1 / 25 Simplexová metoda symbolicky Výchozí tabulka prom. v bázi zákl. proměné přídatné prom. omez. A E b c T 0 0 Tabulka po přepočtu
Více13. Lineární programování
Jan Schmidt 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Zimní semestr 2011/12 MI-PAA EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND PRAHA & EU: INVESTUJENE DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI
Více4EK213 LINEÁRNÍ MODELY
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 3. přednáška SIMPLEXOVÁ METODA I. OSNOVA PŘEDNÁŠKY Standardní tvar MM Základní věta LP Princip simplexové metody Výchozí řešení SM Zlepšení řešení
Více4EK213 Lineární modely. 4. Simplexová metoda - závěr
4EK213 Lineární modely 4. Simplexová metoda - závěr 4. Simplexová metoda - závěr Konečnost simplexové metody Degenerace Modifikace pravidla pro volbu vstupující proměnné Blandovo pravidlo Kontrola výpočtu
VíceEkonomická formulace. Matematický model
Ekonomická formulace Firma balící bonboniéry má k dispozici 60 čokoládových, 60 oříškových a 85 karamelových bonbónů. Může vyrábět dva druhy bonboniér. Do první bonboniéry se dávají dva čokoládové, šest
Více4EK213 Lineární modely. 12. Dopravní problém výchozí řešení
4EK213 Lineární modely 12. Dopravní problém výchozí řešení 12. Distribuční úlohy LP Úlohy výrobního plánování (alokace zdrojů) Úlohy finančního plánování (optimalizace portfolia) Úlohy reklamního plánování
Více4EK213 LINEÁRNÍ MODELY
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2. PŘEDNÁŠKA MATEMATICKÝ MODEL ÚLOHY LP Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2 OSNOVA PŘEDNÁŠKY Obecná formulace MM Množina
Více4EK212 Kvantitativní management. 2. Lineární programování
4EK212 Kvantitativní management 2. Lineární programování 1.7 Přídatné proměnné Přídatné proměnné jsou nezáporné Mají svoji ekonomickou interpretaci, která je odvozena od ekonomické interpretace omezení
Vícee-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010
Optimální výrobní program Radka Zahradníková e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Obsah 1 Lineární programování 2 Simplexová metoda 3 Grafická metoda 4 Optimální výrobní program Řešení
Více4EK213 Lineární modely. 5. Dualita v úlohách LP
4EK213 Lineární modely 5. Dualita v úlohách LP 5. Dualita v úlohách LP Obecné vyjádření simplexové tabulky Formulace duálního problému Formulace symetrického duálního problému Formulace nesymetrického
VíceOptimalizace. Obsah přednášky. DÚ LP - Okružní problém. Lineární optimalizace. DÚ LP - Okružní problém. DÚ LP - Okružní problém
Obsah přednášky Mgr. Květuše Sýkorová Optimalizace Lineární programování Distribuční úlohy Okružní problém KI Př UJEP Ústí nad Labem Nederivační metody Metody 1D optimalizace Derivační metody Optimalizace
Více4EK201 Matematické modelování. 2. Lineární programování
4EK201 Matematické modelování 2. Lineární programování 2.1 Podstata operačního výzkumu Operační výzkum (výzkum operací) Operational research, operations research, management science Soubor disciplín zaměřených
Více4EK311 Operační výzkum. 3. Optimalizační software a stabilita řešení úloh LP
4EK311 Operační výzkum 3. Optimalizační software a stabilita řešení úloh LP 3.1 Příklad matematický model Lis: 1 x 1 + 2 x 2 120 [min] Balení: 1 x 1 + 4 x 2 180 [min] Poptávka: 1 x 1 1 x 2 90 [krabiček]
Vícefakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.
Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25
Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceSystémové modelování. Ekonomicko matematické metody I. Lineární programování
Ekonomicko matematické metody I. Lineární programování Modelování Modelování je způsob zkoumání reality, při němž složitost, chování a další vlastnosti jednoho celku vyjadřujeme složitostí, chováním a
Více1.Modifikace simplexové metody
.Modifikace simplexové metody Simplexová metoda, v podobě popsané v prvním tématu, je vhodná zejména pro řešení úloh LP menších rozměrů, především pak pro ruční výpočty. Algoritmus metody je jednoduchý,
VíceTeorie her a ekonomické rozhodování. 2. Maticové hry
Teorie her a ekonomické rozhodování 2. Maticové hry 2.1 Maticová hra Teorie her = ekonomická vědní disciplína, která se zabývá studiem konfliktních situací pomocí matematických modelů Hra v normálním tvaru
VíceLineární programování
Lineární programování Petr Tichý 19. prosince 2012 1 Outline 1 Lineární programování 2 Optimalita a dualita 3 Geometrie úlohy 4 Simplexová metoda 2 Lineární programování Lineární program (1) min f(x) za
VícePřílohy. Příloha 1. Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel
Přílohy Příloha 1 Řešení úlohy lineárního programování v MS Excel V této příloze si ukážeme, jak lze řešit úlohy lineárního programování pomocí tabulkového procesoru MS Excel 2007. Výpočet budeme demonstrovat
Více12. Lineární programování
. Lineární programování. Lineární programování Úloha lineárního programování (lineární optimalizace) je jedním ze základních problémů teorie optimalizace. Našim cílem je nalézt maximum (resp. minimum)
VíceObr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel
Přílohy Příloha 1 Řešení úlohy lineárního programování v MS Excel V této příloze si ukážeme, jak lze řešit úlohy lineárního programování pomocí tabulkového procesoru MS Excel. Výpočet budeme demonstrovat
Více1 Úvod do celočíselné lineární optimalizace
Úvod do celočíselné lineární optimalizace Martin Branda, verze 7.. 7. Motivace Reálné (smíšeně-)celočíselné úlohy Optimalizace portfolia celočíselné počty akcií, modelování fixních transakčních nákladů,
Vícef ( x) = 5x 1 + 8x 2 MAX, 3x x ,
4. okruh z bloku KM1 - řídicí technika Zpracoval: Ondřej Nývlt (o.nyvlt@post.cz) Zadání: Lineární programování (LP), simplexová metoda, dualita v LP. Nelineární programování. Vázaný extrém. Karush-Kuhn-Tuckerova
Více4EK311 Operační výzkum. 4. Distribuční úlohy LP část 1
4EK311 Operační výzkum 4. Distribuční úlohy LP část 1 4. Distribuční úlohy LP Úlohy výrobního plánování (alokace zdrojů) Úlohy finančního plánování (optimalizace portfolia) Úlohy reklamního plánování (plánování
Více6 Simplexová metoda: Principy
6 Simplexová metoda: Principy V této přednášce si osvětlíme základy tzv. simplexové metody pro řešení úloh lineární optimalizace. Tyto základy zahrnují přípravu kanonického tvaru úlohy, definici a vysvětlení
VícePříklady modelů lineárního programování
Příklady modelů lineárního programování Příklad 1 Optimalizace výroby konzerv. Podnik vyrábí nějaký výrobek, který prodává v 1 kg a 2 kg konzervách, přičemž se řídí podle následujících velmi zjednodušených
Více4EK311 Operační výzkum. 2. Lineární programování
4EK311 Operační výzkum 2. Lineární programování 2.2 Matematický model úlohy LP Nalézt extrém účelové funkce z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n na soustavě vlastních omezení a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x
VíceJiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno
Přednáška č. 11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Jedná se o speciální případ dopravních úloh, řeší např. problematiku optimálního přiřazení strojů na pracoviště. Příklad Podnik má k dispozici 3 jeřáby,
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování študenti MFF 15. augusta 2008 1 15 Základy lineárního programování Požadavky Simplexová metoda Věty o dualitě (bez důkazu)
VíceProblém lineární komplementarity a kvadratické programování
Problém lineární komplementarity a kvadratické programování (stručný učební text 1 J. Rohn Univerzita Karlova Matematicko-fyzikální fakulta Verze: 17. 6. 2002 1 Sepsání tohoto textu bylo podpořeno Grantovou
VíceNumerické metody a programování. Lekce 8
Numerické metody a programování Lekce 8 Optimalizace hledáme bod x, ve kterém funkce jedné nebo více proměnných f x má minimum (maximum) maximalizace f x je totéž jako minimalizace f x Minimum funkce lokální:
VíceObecná úloha lineárního programování
Obecná úloha lineárního programování Úloha Maximalizovat hodnotu c T x (tzv. účelová funkce) za podmínek Ax b (tzv. omezující podmínky) kde A je daná reálná matice typu m n a c R n, b R m jsou dané reálné
Více1 Duální simplexová metoda
1 Duální simplexová metoda Autor: Markéta Popelová Datum: 8.5.2011 Předmět: Základy spojité optimalizace Zadání Mějme matici A R m n a primární úlohu lineárního programování v normálním tvaru (P) a k ní
VícePřiřazovací problém. Přednáška č. 7
Přiřazovací problém Přednáška č. 7 Přiřazovací problém je jednou podtřídou logistických úloh. Typickým problémem může být nejkratší převoz materiálu od dodavatelů ke spotřebitelům. spotřebitelé a i dodavatelé
VíceP ílohy. P íloha 1. ešení úlohy lineárního programování v MS Excel
P ílohy P íloha 1 ešení úlohy lineárního programování v MS Excel V této p íloze si ukážeme, jak lze ešit úlohy lineárního programování pomocí tabulkového procesoru MS Excel 2007. Výpočet budeme demonstrovat
VíceOPTIMALIZACE A MULTIKRITERIÁLNÍ HODNOCENÍ FUNKČNÍ ZPŮSOBILOSTI POZEMNÍCH STAVEB D24FZS
OPTIMALIZACE A MULTIKRITERIÁLNÍ HODNOCENÍ FUNKČNÍ ZPŮSOBILOSTI POZEMNÍCH STAVEB Optimalizace a multikriteriální hodnocení funkční způsobilosti pozemních staveb Anotace: Optimalizace objektů pozemních staveb
VíceObecná úloha lineárního programování. Úloha LP a konvexní množiny Grafická metoda. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno
Přednáška č. 3 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Optimalizace portfolia Investor se s pomocí makléře rozhoduje mezi následujícími investicemi: akcie A, akcie B, státní pokladniční poukázky, dluhopis A, dluhopis
Více7. přednáška Systémová analýza a modelování. Přiřazovací problém
Přiřazovací problém Přiřazovací problémy jsou podtřídou logistických úloh, kde lze obecně říci, že m dodavatelů zásobuje m spotřebitelů. Dalším specifikem je, že kapacity dodavatelů (ai) i požadavky spotřebitelů
Víceskladbu obou směsí ( v tunách komponenty na 1 tunu směsi):
Klíčová slova: simplexová metoda 1 Simplexová metoda Postup výpočtu: 1. Nalezení výchozího řešení. 2. Test optima: pokud je řešení optimální výpočet končí, jinak krok 3. 3. Iterační krok, poté opět test
Víceopt [ ] Vyjádření subvektory (báz. a nebáz.) B,N Index bázových a nebázových proměnných β, ν Množina indexů veličin B,N
1 2-LP-Lineární programování Lineární funkce i omezovací podmínky opt t X c R c R b b b R...vektor limitů (kapacitních), a i i R b A...matice strukturálních koeficientů, > b! R hod = b, 0,..vektorproměnných,...vektor
VíceRNDr. Sousedíková Radmila, Ph.D.
INOVACE BAKALÁŘSKÝCH A MAGISTERSKÝCH STUDIJNÍCH OBORŮ NA HORNICKO-GEOLOGICKÉ FAKULTĚ VYSOKÉ ŠKOLY BÁŇSKÉ - TECHNICKÉ UNIVERZITY OSTRAVA Eaktní metody rozhodování - operační výzkum RNDr. Sousedíková Radmila,
VíceÚvod do celočíselné optimalizace
Úvod do celočíselné optimalizace Martin Branda Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Výpočetní aspekty optimalizace Martin Branda (KPMS
Více4EK201 Matematické modelování 5. Speciální úlohy lineárního programování
4EK201 Matematické modelování 5. Speciální úlohy lineárního programování 4. Typické úlohy LP Úlohy výrobního plánování (alokace zdrojů) Úlohy finančního plánování (optimalizace portfolia) Směšovací problémy
VíceSystematická tvorba jízdního řádu 2. cvičení
Projektování dopravní obslužnosti Systematická tvorba jízdního řádu 2. cvičení Ing. Zdeněk Michl Ústav logistiky a managementu dopravy ČVUT v Praze Fakulta dopravní Rekapitulace zadání Je dána následující
VíceStudentská soutěžní práce
Univerzita Tomáše Bati Fakulta aplikované informatiky Ústav automatizace a řídicí techniky Studentská soutěžní práce STOČ 2011 Mobilní aplikace celočíselného programování metodou větví a mezí 2011 Adam
Více4EK212 Kvantitativní management. 1. Úvod do kvantitativního managementu a LP
4EK212 Kvantitativní management 1. Úvod do kvantitativního managementu a LP Mgr. Jana SEKNIČKOVÁ, Ph.D. Nová budova, místnost 433 Konzultační hodiny InSIS E-mail: jana.seknickova@vse.cz Web: jana.seknicka.eu/vyuka
VíceMetodické pokyny pro práci s modulem Řešitel v tabulkovém procesoru Excel
Metodické pokyny pro práci s modulem Řešitel v tabulkovém procesoru Excel Modul Řešitel (v anglické verzi Solver) je určen pro řešení lineárních i nelineárních úloh matematického programování. Pro ilustraci
VíceOptimalizace & soft omezení: algoritmy
Optimalizace & soft omezení: algoritmy Soft propagace Klasická propagace: eliminace nekonzistentních hodnot z domén proměnných Soft propagace: propagace preferencí (cen) nad k-ticemi hodnot proměnných
VíceG( x) %, ν%, λ. x, x, N, N nezáporné přídatné proměnné, ( ) 2 Matematické programování
Matematicé programování Označení a definice veličin. opt i/maimalizace w, Žádaná hodnota,transpozice, relace typu nebo Inde diagonální formy vetoru. Obecná omezovací podmína Γ ( ( = ( Є, R, y podmíny typu
Více4EK213 LINEÁRNÍ MODELY
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. GARANT KURZU Prof. Ing. Josef Jablonský, CSc. Místnost: NB 437 Konzultační hodiny: úterý 13:00 15:00 E-mail: jablon@vse.cz
VíceOperační výzkum. Teorie her. Řešení maticových her převodem na úlohu LP.
Operační výzkum Řešení maticových her převodem na úlohu LP. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu
VíceMatematický model. omezující podmínky. Tab. 2.1 Prvky ekonomického a matematického modelu
16 Čeho chceme dosáhnout? Co můžeme ovlivnit? Jaké jsou překážky? Ekonomický model cíl analýzy procesy činitelé Matematický model účelová funkce proměnné omezující podmínky Příklady maximalizace zisku
VíceKvantitativní metody v rozhodování. Marta Doubková
Kvantitativní metody v rozhodování Marta Doubková Seminární práce 28 OBSAH 1 LINEÁRNÍ PROGRAMOVÁNÍ KAPACITNÍ ÚLOHA... 3 2 DISTRIBUČNÍ ÚLOHA... 7 3 ANALÝZA KRITICKÉ CESTY METODA CPM... 13 4 MODEL HROMADNÉ
VíceVYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................
VíceTransformace souřadnic
Transformace souřadnic Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách 8.2 a 8.3 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: A7B01AG 5.11.2015: Transformace souřadnic 1/17 Minulá přednáška
VíceNástroje pro analýzu dat
7 Nástroje pro analýzu dat V té to ka pi to le: Ověřování vstupních dat Hledání řešení Řešitel Scénáře Citlivostní analýza Rychlá analýza Kapitola 7 Nástroje pro analýzu dat Součástí Excelu jsou nástroje
VíceOperační výzkum. Přiřazovací problém.
Operační výzkum Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ..7/2.2./28.326
Více2.2 Grafické ešení úloh LP
2. Lineární programování 21 zabránili záporným hodnotám produkce, nezabývali jsme se pípady, kdy jako výsledný objem produkce získáme desetinné číslo. Nápravu lze snadno sjednat zahrnutím tzv. podmínek
VíceSimplexová metoda. Simplexová tabulka: Záhlaví (účelová funkce) A ~ b r βi. z j c j. z r
Simplexová metoda Simplexová metoda, je jedním ze způsobů, jak řešit úlohy lineárního programování. Tato metoda vede k cíly, nelezení optimálního řešení, během konečného počtu kroků, pokud se při prvním
VíceVícekriteriální programování příklad
Vícekriteriální programování příklad Pražírny kávy vyrábějí dva druhy kávy (Super a Standard) ze dvou druhů kávových bobů KB1 a KB2, které mají smluvně zajištěny v množství 4 t a 6 t. Složení kávy (v procentech)
Více2 Spojité modely rozhodování
2 Spojité modely rozhodování Jak již víme z přednášky, diskrétní model rozhodování lze zapsat ve tvaru úlohy hodnocení variant: f(a i ) max, a i A = {a 1, a 2,... a p }, kde f je kriteriální funkce a A
Více7 Výpočet simplexové metody
7 Výpočet simplexové metody V této přednášce si ukážeme krok za krokem základní způsob implementace simplexové metody pomocí pivotování simplexové tabulky(oddíl 6.4). To znamená, že od teorie přejdeme
VíceKvantitativní metody v rozhodování
Kvantitativní metody v rozhodování Každý manažer je ve své denodenní praxi vystaven řadě rozhodovacích situací a problémů, které může analyzovat ze dvou hledisek: bud na základě znalostí a zkušeností (kvalitativní
VíceCeločíselné lineární programování(ilp)
Celočíselné lineární programování(ilp) Zdeněk Hanzálek, Přemysl Šůcha {hanzalek}@fel.cvut.cz ČVUT FEL Katedra řídicí techniky 2. března 2010 Z. Hanzálek (ČVUT FEL) Celočíselné lineární programování(ilp)
VíceSoustavy linea rnı ch rovnic
[1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.
Více4.Řešení optimalizačních úloh v tabulkových kalkulátorech
4.Řešení optimalizačních úloh v tabulkových kalkulátorech Tabulkové kalkulátory patří mezi nejpoužívanější a pro běžného uživatele nejdostupnější programové systémy. Kromě základních a jim vlastních funkcí
VíceSOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny
Více3. úloha - problém batohu metodami branch & bound, dynamické programování, heuristika s testem
ČVUT FEL X36PAA - Problémy a algoritmy 3. úloha - problém batohu metodami branch & bound, dynamické programování, heuristika s testem Jméno: Marek Handl Datum: 1. 1. 2009 Cvičení: Pondělí 9:00 Zadání Naprogramujte
VíceIB112 Základy matematiky
IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic
VíceOtázky ke II. části písemné zkoušky Úvod do operačního výzkumu 1. Popište proces operačního výzkumu a uveďte typy rozhodovacích situací.
Otázky ke II. části písemné zkoušky Úvod do operačního výzkumu 1. Popište proces operačního výzkumu a uveďte typy rozhodovacích situací. Rozhodovací situace můžeme klasifikovat podle následujících hledisek
VíceČeské vysoké učení technické v Praze Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská OKRUHY. ke státním závěrečným zkouškám BAKALÁŘSKÉ STUDIUM
OKRUHY ke státním závěrečným zkouškám BAKALÁŘSKÉ STUDIUM Obor: Studijní program: Aplikace přírodních věd 1. Vektorový prostor R n 2. Podprostory 3. Lineární zobrazení 4. Matice 5. Soustavy lineárních rovnic
VíceDynamické programování
ALG 11 Dynamické programování Úloha batohu neomezená Úloha batohu /1 Úloha batohu / Knapsack problem Máme N předmětů, každý s váhou Vi a cenou Ci (i = 1, 2,..., N) a batoh s kapacitou váhy K. Máme naložit
VíceProgramy pro ˇreˇsen ı ulohy line arn ıho programov an ı 18. dubna 2011
Programy pro řešení úlohy lineárního programování 18. dubna 2011 Přehled Mathematica Sage AMPL GNU Linear Programming Kit (GLPK) Mathematica Mathematika je program pro numerické a symbolické počítání.
VíceAutor: Vladimír Švehla
Bulletin of Applied Mechanics 1, 55 64 (2005) 55 Využití Castiglianovy věty při výpočtu deformací staticky určité případy zatížení tahem a tlakem Autor: Vladimír Švehla České vysoké učení technické, akulta
VíceZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI
ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI FAKULTA EKONOMICKÁ Bakalářská práce Dualita úloh lineárního programování The Duality of linear programming problems Jakub Petelík CHEB 2014 Čestné prohlášení Prohlašuji,
Více2D transformací. červen Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací Metody vyrovnání... 2
Výpočet transformačních koeficinetů vybraných 2D transformací Jan Ježek červen 2008 Obsah Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací 2 Meto vyrovnání 2 2 Obecné vyjádření lineárních 2D transformací
VíceSoustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.
[1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.
VíceLineární programování
Lineární programování Úlohy LP patří mezi takové úlohy matematického programování, ve kterých jsou jak kriteriální funkce, tak i všechny rovnice a nerovnice podmínek výhradně tvořeny lineárními výrazy.
VícePrincip řešení soustavy rovnic
Princip řešení soustavy rovnic Tomáš Kroupa 20. května 2014 Tento studijní materiál je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Obsah Formulace úlohy Metody řešení
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
VíceKřivky a plochy technické praxe
Kapitola 7 Křivky a plochy technické praxe V technické praxi se setkáváme s tím, že potřebujeme křivky a plochy, které se dají libovolně upravovat a zároveň je jejich matematické vyjádření jednoduché.
Více4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20
4. Trojúhelníkový rozklad 4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20 4. Trojúhelníkový rozklad p. 2/20 Trojúhelníkový rozklad 1. Permutační matice 2. Trojúhelníkové matice 3. Trojúhelníkový (LU) rozklad 4. Výpočet
Více3. ANTAGONISTICKÉ HRY
3. ANTAGONISTICKÉ HRY ANTAGONISTICKÝ KONFLIKT Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku,
VíceKonvexní množiny Formulace úloh lineárního programování. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno
Přednáška č. 2 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Euklidovský prostor E n Pod pojmem n-rozměrný euklidovský prostor budeme rozumnět prostor, jehož prvky jsou uspořádané n-tice reálných čísel X = (x 1, x 2,...,
VíceFIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody. Dualita. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
FIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody Dualita Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Michal Černý, 2011 FIT ČVUT, MI-LOM, M. Černý, 2011: Dualita 2/5 Dualita Evropský
Vícepříkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.
Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl
VíceMatice přechodu. Pozorování 2. Základní úkol: Určete matici přechodu od báze M k bázi N. Každou bázi napíšeme do sloupců matice, např.
Matice přechodu Základní úkol: Určete matici přechodu od báze M k bázi N. Každou bázi napíšeme do sloupců matice, např. u příkladu 7 (v ) dostaneme: Nyní bychom mohli postupovat jako u matice homomorfismu
VíceOtázky ke státní závěrečné zkoušce
Otázky ke státní závěrečné zkoušce obor Ekonometrie a operační výzkum a) Diskrétní modely, Simulace, Nelineární programování. b) Teorie rozhodování, Teorie her. c) Ekonometrie. Otázka č. 1 a) Úlohy konvexního
VíceŘešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +,
Příklad 1 Najděte body, v nichž má funkce (,) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (,)=0, je-li: a) (,)= + 1, (,)=+ 1 lok.max.v 1 2,3 2 b) (,)=+, (,)= 1 +1 1 c) (,)=, (,)=+ 1 lok.max.v
VíceÚVOD DO ROZHODOVÁNÍ PŘEDNÁŠKA. OPTIMALIZACE A ROZHODOVÁNÍ V DOPRAVĚ Přednáška 1. Zuzana Bělinová
PŘEDNÁŠKA 1 ÚVOD DO ROZHODOVÁNÍ Organizační Vyučující Ing., Ph.D. email: belinova@k620.fd.cvut.cz Doporučená literatura Dudorkin J. Operační výzkum. Požadavky zápočtu docházka zápočtový test (21.5.2015)
Více3. Optimalizace pomocí nástroje Řešitel
3. Optimalizace pomocí nástroje Řešitel Rovnováha mechanické soustavy Uvažujme dvě různé nehmotné lineární pružiny P 1 a P 2 připevněné na pevné horizontální tyči splývající s osou x podle obrázku: (0,0)
Více2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi.
Řešené příklady z lineární algebry - část 3 Typové příklady s řešením Příklad 3.1: Zobrazení L: P 3 R 23 je zobrazení z prostoru P 3 všech polynomů do stupně 3 (včetně nulového polynomu) do prostoru R
VíceLineární programování
24.9.205 Lineární programování Radim Farana Podklady pro výuku pro akademický rok 203/204 Obsah Úloha lineárního programování. Formulace úlohy lineárního programování. Typické úlohy lineárního programování.
VíceSystémové modelování. Lineární programování - Definice modelu a jeho grafické řešení
6. Lineární optimalizační modely. Definice modelu, jeho vlastnosti a omezení. Možnosti řešení optimalizačních modelů. Praktické aplikace. Ekonomicko matematické metody I. Lineární programování Modelování
VíceMatematika I (KMI/5MAT1)
Přednáška první aneb Úvod do algebry (opakování ze SŠ a možná i ZŠ) Seznámení s předmětem Osnova přednášky seznámení s předmětem množiny pojem množiny operace s množinami číselné obory intervaly mocniny
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
Více