POVRCH JE DERIVACÍ OBJEMU. František Kuřina, Hradec Králové. 1. Úvod

Transkript

1 vyučování POVRCH JE DERIVACÍ OBJEMU František Kuřina, Hradec Králové 1. Úvod V krásně vypravené knize Atlas geometrie [7] jsem si na s. 19 přečetl: Vzorec 2πr pro výpočet obvodu kruu získáme derivováním vzorce πr 2 pro výpočet obsau kruu. Vzorec 4πr 2 pro výpočet povrcu koule získáme derivováním vzorce 4 3 πr3 pro výpočet objemu koule. V ducu koncepce této kniy (termín atlas cápeme obvykle jako soubor obrazů z určitéo oboru) se zde přirozeně problematika nevysvětluje ani nezdůvodňuje: uvádějí se fakta. Fakta o velikostec dimenzionálně odlišnýc útvarů moou leckoo překvapit. Všimněme si proto této problematiky podrobněji. 2. První setkání V roce 1955 jsem nastoupil po studiíc matematiky a deskriptivní geometrie na své první učitelské místo na jedenáctileté střední všeobecně vzdělávací škole (takto složitě se jmenovala instituce, jejíž poslední tři ročníky byly náražkou čtyřletýc gymnázií z předešlýc let). Všecno bylo tedy nové. Pro mne zcela nové, protože první bylo zaměstnání, nová byla struk- Prof. RNDr. František Kuřina, CSc., katedra matematiky, Přírodovědecká fakulta Univerzity Hradec Králové, Rokitanskéo 62, 5 3 Hradec Králové, frantisek.kurina@uk.cz tura školy, nové byly i učebnice. Na čtyřletýc gymnáziíc se učila matematika podle tzv. Čecovýc učebnic [2], produktu autorskéo kolektivu (František Balada, Eduard Čec, Josef Holubář, Karel Hruša, Marta Cytilová, Vanda Jandová, Bedřic Koenig, Emil Mastný, Karel Srb, Josef Šimek, Antonín Tuláček, Rudolf Zelinka), které byly neobyčejně náročné. Měly ovšem jepičí život ( ), především v důsledku tedy realizované školské reformy. O Čecovýc učebnicíc jsem v jinýc souvislostec psal v článku [4]. Učebnici geometrie, která nastoupila do školy spolu se mnou, napsali Jan Vyšín, Zbyněk Dlouý, Josef Metelka a Alois Urban. To byli vesměs matematici luboce vzdělaní, kteří se dlouodobě zabývali problematikou vyučování. Jejic učebnice [8] je učebnice poctivá, zpracovaná systematicky a promyšená do všec detailů. Vidím v tom především vliv Zbyňka Dlouéo, jeož luboký smysl pro preciznost jsem znal již z doby společnýc studií. Odaduji, a nemou to již dnes dokázat, protože ani Zbyněk již nežije, že to byla Dlouéo záslua, že se do učiva 11. ročníku dostala problematika velikostí geometrickýc útvarů v pojetí Hermanna Minkowskéo ( ), tematika, kterou se zabýváme v tomto článku. V jakém pořadí studovat velikosti geometrickýc útvarů v prostoru? Máme nejdříve studovat objemy a pak povrcy nebo obráceně? Současná učebnice stereometrie pro gymnázia [5] odvodí nejdříve na základě Cavalierio principu vzorec pro objem koule a pak pokračuje takto: Představme si kouli polepenou např. milimetrovým papírem. Její povrc tak máme rozdělen na množství čtverečků (mm 2 ). Spojíme-li vrcoly každéo čtverečku se středem koule, dostaneme jelany se čtvercovou podstavou, lavními vrcoly ve středu koule a výškou rovnou poloměru Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 6 (215), č. 1 75

2 koule. Čtverečky na povrcu koule, tj. podstavy jelanů, můžeme bez omezení zmenšovat a podstavu každéo jelanu považovat za část roviny, nikoli za část kulové plocy. Objem koule se pak rovná součtu objemů všec takto vytvořenýc jelanů. Podstavy těcto jelanů tvoří doromady povrc koule. Neboli objem V koule je roven objemu jelanu, jeož obsa podstavy je roven povrcu S koule a jeo výška je rovna poloměru r koule. Platí tedy rovnost: odtud 1 3 Sr = 4 3 πr3, S = 4πr 2. V podstatě stejně postupuje Čec v učebnici z r Autoři učebnice [8] toto názorné, ale z matematickéo lediska ne zcela korektní odvození nepřijímají a postupují takto: Vzorec pro objem koule poctivě odvozují na čtyřec stranác pomocí limity objemů posloupností válců vepsanýc a opsanýc n kulovým vrstvám výšky v/n, na něž je rozdělena daná kulová úseč výškyv, roste-li n nade všecny meze. Další postup je elegantní a stručný [8, s. 358]: Zvolme libovolné kladné a sestrojme k dané kouli o poloměru r těleso T (na obr. 1 je zobrazen jeo řez rovinou jdoucí středem koule). Je-li < r, je T rozdílem koulí s poloměryr+,r a pro objemv tělesa T dostáváme Máme tedy Obr. 1 S = V 2 = 4πr π2. Limita této posloupnosti pro konvergující k nule je 4πr 2, tj. povrc koule. Zde jsem se poprvé setkal s odvozením vzorce pro povrc tělesa pomocí limity objemů těles. 3. Derivací objemu je povrc Již se znalostí úvodu do diferenciálnío počtu na úrovni učebnice [3] můžeme výše naznačený postup upřesnit. Je-li V(x) = 4 3 πx3 objem koule poloměru x, V(x + ) = 4 3 π(x + )3 objem koule poloměru x+, pak V(x+) V(x) je objem jakéosi obalu koule tloušťky (prostorová analogie mezikruží (obr. 2)) V = 4 3 π(r+)3 4 3 π(r )3 = = 8 3 π(3r2 + 2 ). Dále se konstruuje posloupnost dutýc koulí se zmenšující se tloušťkou stěny 2. Povrc takovýcto těles dostaneme přibližně z jejic objemů dělením číslem 2 (to je podle méo názoru slabé místo výkladu). Obr Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 6 (215), č. 1

3 Obr. 4 Obr. 3 a povrc S(x) koule pak můžeme definovat jako limitu V(x+) V(x) S(x) = lim. (1) Povrc koule S(x) je tedy derivací jejío objemu V(x) podle x: 4 V 3 (x) = lim π(x+)3 4 3 πx3 = 4πx 2 = S(x). Podobně můžeme odvodit např. vzorce pro velikost pláště rotačnío válce s poloměrem podstavy x a výškou v, známe-li vzorec pro objem válce V(x) = πx 2 v. Rozdíl V(x + ) V(x) představuje objem dutéo válce s tloušťkou stěny (obr. 3). Velikost S(x) pláště válce vypočítáme pak podle vzorce (1): S(x) = V (x) = = π(x+) 2 v πx 2 v = lim = 2πxv. Pokusme se nyní odvodit naznačeným způsobem vzorec S(x) pro povrc krycle ze vzorce V(x) = x 3 pro její objem. Obr. 5 Podle vzorce (1) bycom měli V (x)= lim (x+) 3 x 3 = 3x 2 S(x). Selání tooto postupu je přirozené: V(x+) V(x) nepředstavuje objem obalu krycle tloušťky, ale pouze obalu tloušťky 2 : obložení tloušťky vystačí pouze na tři stěny krycle. Na obr. 4 je řez takovéoto útvaru rovinou, která procází středem krycle a je rovnoběžná se dvěma jejími stěnami. Abycom moli použít vzorec (1), musíme pracovat s kryclí o raně délky 2x (obr. 5). Objem krycle pak jev(x) = 8x 3, její povrc je S = 24x 2 a skutečně platí: V 8(x+) 3 8x 3 (x) = lim = 24x 2 = S(x). Vraťme se nyní k planimetrii. Obr. 2 můžeme interpretovat jako obrázek mezikruží. Jeo obsa je S(x+) S(x) = π(x+) 2 πx 2. = Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 6 (215), č. 1 77

4 Nyní je přirozené definovat obvod kruu jako limitu obsau mezikruží šířky, jestliže konverguje k nule: S(x+) S(x) o(x) = lim = S (x). (2) Je tedy obvod útvaru derivací jeo obsau: S (x) = o(x). Pro obvod kruu o poloměru x tak dostaneme: o(x) = lim π(x+) 2 πx 2 = 2πx. Podobně můžeme odvodit vzorce pro obvod čtverce ze vzorce pro jeo obsa. V označení podle obr. 5 tak dostáváme pro čtverec se stranou 2x: o(x) = lim (2(x+)) 2 (2x) 2 = 8x. Ověřme ještě vzorec (2) pro rovnostranný trojúelník. Abycom dostali obal trojúelníku šířky, nemůžeme vyjadřovat obsa pomocí délky jeo strany, ale pomocí poloměru x kružnice trojúelníku vepsané (obr. 6). Délka strany trojúelníku je pak 2x 3, jeo obvod 6x 3 a obsa 3x 2 3. Je tedy skutečně S (x) = o(x). Ukažme, že vzorec (2) platí pro libovolný pravidelný n-úelník. K tomu účelu Obr. 6 Obr. 7 vyjádřeme jeo obvod a obsa pomocí poloměru x kružnice jemu vepsané a úlu α, který se ovšem bude měnit s počtem n stran mnooúelníku. V označení podle obr. 7 pravidelnéo šestiúelníku můžeme určit (pro libovolnýn-úelník):p = xtgα, o = 2nxtgα, S = nx 2 tgα. Je tedy S (x) = o(x). Vraťme se závěrem do prostoru a ověřme, že vzorec (1) platí pro libovolný pravidelný mnoostěn. Označení volme podle obrázku pravidelnéo osmistěnu (obr. 8), úvay však budeme formulovat pro libovolné z platonskýc těles. Pravidelný mnoostěn určeme poloměrem x kulové plocy jemu vepsané a volbou jeo typu (n = 4,6,8,12,2). Objem a povrc mnoostěnu vyjadřujeme pomocí poloměru x a úlů α, β sestrojenýc podle obr. 8. Každá z n stěn mnoostěnu je pravidelný mnooúelník složený z k rovnoramennýc trojúelníků s obsaem 1 2 r2 sinα, kde r je poloměr kružnice stěně mnooúelníku opsané a α je úel u lavnío vrcolu každéo z k rovnoramennýc trojúelníků (obr. 8). Protože r = x cotg β, platí pro obsa M libovolné stěny mnoostěnu M = 1 2 kx2 cotg 2 βsinα. 78 Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 6 (215), č. 1

5 Závěr Obr. 8 Povrc mnoostěnu je tedy S = nm = 1 2 nkx2 cotg 2 βsinα = Cx 2, kde C = 1 2 nkcotg2 βsinα, a pro jeo objem dostáváme Je tedy opět V = n 1 3 Mx = 1 3 Cx3. V = ( 1 3 Cx3 ) = Cx 2 = S. Souvislost vzorců pro objem a povrc (resp. pro obsa a obvod) nelze ovšem postinout, postupujeme-li způsobem obvyklým v učebnicíc, např. pro pravidelný osmistěn podle učebnice [5, s. 161], kde je objem vyjádřen pomocí poloměru kulové plocy osmistěnu opsané. Postup nelze rovněž aplikovat na libovolná tělesa. Výsledek ovšem platí např. pro objem V a povrc S čtyřdimenzionální koule s poloměrem x ([1, s. 247]): V = ( 1 2 π2 x 4 ) = 2π 2 x 3 = S. Popsané vztay objemu a povrcu nebo obsau a obvodu ukazují méně známý geometrický význam první derivace funkce, který uvádějí např. americké publikace [6] a [9]. Vzledem k nutnosti konstruovat přitom obal tělesa dosti umělým způsobem se zdá, že jde spíše o zajímavost, která, ač nemá lubší matematický význam, může být využita ve škole. Netradiční význam pojmu derivace funkce může přispět k jeo lubšímu pocopení, souvislost vzorců pro objem a povrc (obsa a obvod) může pomoci k jejic zapamatování. Poděkování. Příspěvek byl vypracován s podporou Specifickéo výzkumu PřFUHK/215. L i t e r a t u r a [1] Bolťanskij, V. G., Jagom, I. M.: Vypuklye figury i tela. Enciklopedija elementarnoj matematiki V, Nauka, Moskva, [2] Čec, E., a kol.: Matematika pro 1., 2., 3., 4. třídu gymnázií. SPN, Praa, [3] Hrubý, D., Kubát, J.: Matematika pro gymnázia. Diferenciální a integrální počet. Prometeus, Praa, [4] Kuřina, F.: Eduard Čec a vyučování matematice. PMFA 58 (213), [5] Pomykalová, E.: Matematika pro gymnázia. Stereometrie. Prometeus, Praa, [6] Usiskin, Z., a kol.: Matematics for ig scool teacers. Prentice Hall, New Jersey, 23. [7] Voráčová, Š., a kol.: Atlas geometrie. Academia, Praa, 212. [8] Vyšín, J., a kol.: Geometrie pro devátý až jedenáctý postupný ročník. SPN, Praa, [9] Zazkis, R., Sinitski, I., Leikin, R.: Coincidence or rule? Mat. Teacer 16 (213), Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 6 (215), č. 1 79