VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ - TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA EKONOMICKÁ FAKULTA KATEDRA FINANCÍ

Transkript

1

2 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ - TECHICKÁ UIVERZITA OSTRAVA EKOOMICKÁ FAKULTA KATEDRA FIACÍ Zpětné testování modelů pro odhad rizika na bázi Value at Risk Backtesting of Value at Risk Based Models Student: Vedoucí diplomové práce: Bc. Denisa Halouzková doc. Ing. Tomáš Tichý, Ph.D. Ostrava 2014

3

4 Prohlašuji, že jsem celou práci, včetně všech příloh vypracovala samostatně. V Ostravě dne 14. července 2014.

5 Ráda bych poděkovala doc. Ing. Tomáši Tichému, Ph.D. za cenné rady, věcné připomínky a vstřícnost při konzultacích a vypracování diplomové práce.

6 Obsah 1 Úvod Definování základních pojmů pro modelování tržního rizika Finanční trh Typy finanční trhů Regulace a dohled nad finančním trhem Basel I Basel II Basel III Rozdělení finančních rizik Úvěrové riziko Tržní riziko Likvidní riziko Operační riziko Obchodní riziko Rozhodovací podmínky Systematické, nesystematické a systémové riziko Výpočet výnosů Stochastické procesy Jednoduché procesy Složitější procesy Vybraná metodologie pro ověřování odhadu tržního rizika Value at risk Matematická formulace modelu Výhody Value at Risk evýhody Value at Risk Metody modelů Value at Risk Popis postupu zpětného testování

7 3.3 Základní frekvenční test Basel traffic light Kupiecův nepodmíněný test (POF-test) Zpětné testování pomocí vybraných metod Vstupní data Zpětné testování ormální rozdělení Variance gama rozdělení Komplexní shrnutí Závěr Seznam použité literatury Seznam zkratek Prohlášení o využití výsledků diplomové práce Seznam příloh Přílohy 4

8 1 Úvod a finanční trzích lze investovat do různých finančních nástrojů. Tyto transakce zprostředkovávají nejen finanční instituce typu bank a pojišťoven, ale i nefinanční instituce, které nejsou primárně založeny k obchodování s finančními aktivy. Při investičním rozhodování ekonomické subjekty porovnávají výsledný výnos s rizikovostí jednotlivých finančních instrumentů, což výrazně ovlivňuje investiční rozhodování. Riziko je měřitelná možnost, že situace v budoucnu bude jiná než plánovaná. Cílem investora je udržet riziko v předem stanovené úrovni pomocí vhodných nástrojů a metodik a při dané míře se snažit maximalizovat zisk. Jednou z možností jak vypočítat hodnotu rizika je využití modelu Value at Risk. K stanovení hodnoty rizika dle metody Value at Risk je důležité sestavit kvalitní model pro pravděpodobnostní rozdělení výnosů finančních instrumentů. Cílem diplomové práce je zpětné testování pro odhad rizika na bázi Value at Risk na hladině 99 % spolehlivosti. Hodnota Value at Risk je stanovena pro normální rozdělení a variance gama rozdělení. Diplomová práce je složena z pěti logických navazujících kapitol, z nichž první je úvod a poslední závěr. Druhá kapitola je zaměřena na popis základních metodologických postupů. ejprve je charakterizován finanční trh s jeho regulací a dohledem, potom je definováno riziko a následně jeho kategorizace. Závěr kapitoly je věnován stochastickým procesům. Ve třetí kapitole je popsán Value at Risk, poté jeho matematická formulace, výhody a nevýhody modelu. ásledně jsou přiblíženy statistické testy pro zpětné testování, kterými jsou Základní frekvenční test, Basel traffic light a Kupiecův test. Ve čtvrté kapitole je provedena aplikace jednotlivých testů na vybrané burzovní indexy s historickou řadou deseti let s denními výnosy. Zpočátku jsou popsány vstupní údaje a jejich statistické parametry, poté je proveden odhad hodnoty Value at Risk prostřednictvím metody Monte Carlo a to na normálním rozdělení a varianci gama rozdělení. Value at Risk je spočteno pro klouzavé průměry o délce 100, 250 a 500 dní. Časovým horizontem je zvolen 1 den, 10 dní a 20 dní a vybranými hladiny významnosti jsou: 0,1 %, 1 %, 2,5 % a 5 %. ásledně jsou aplikovány jednotlivé statistické testy, dle kterých je vybrán nejlepší model pro odhad hodnoty Value at Risk na hladině pravděpodobnosti 1 %. 5

9 2 Definování základních pojmů pro modelování tržního rizika V této kapitole bude popsán finanční systém s jeho riziky a následnou kategorizací a potom budou definovány stochastické procesy. Tato kapitola vychází především z literatury Tichý (2010), Černohorský a Teplý (2011), Zmeškal a kol. (2013). Pojem riziko je historickým výrazem od konce 17. století, který je spojován s lodní dopravou. Pochází z latinského slova risico, kterým mořeplavci označovali úskalí, kterým se musí vyhnout. S rozvojem společnosti byl tento pojem rozšířen do dalších vědních oborů. Riziko je nevyhnutelnou součástí všech aktivit. Finanční trhy jsou spojeny s finančními riziky, které lze charakterizovat jako potenciální finanční ztrátu subjektu v budoucnosti. Ztráta může vzniknout z finančního či komoditního nástroje nebo finančního či komoditního portfolia. 2.1 Finanční trh Tato kapitola je zaměřena na definici, význam a funkce finančního trhu včetně jejich základních typů. Finanční trh je systémem, kde dochází k transferu disponibilních finančních prostředků od přebytkových jednotek k deficitním jednotkám, přičemž se tyto dvě skupiny prolínají. V rámci systému je rozlišován přímé financování, které je bez finančních zprostředkovatelů a nepřímé financování je za podpory finančních zprostředkovatelů. a Obr. 2.1 je zobrazena úloha finančního systému. Finanční trh je součástí každé ekonomiky a je klíčovým faktorem hospodářského růstu. Při úpadku finančního trhu může ekonomiku výrazně oslabit, například finanční krize, kdy problémy finančního sektoru zasáhly i další oblasti ekonomiky, což měla za následek globální ekonomickou krizi. 6

10 Obr. 2.1 Úloha finančního systému (nepřímé financování) Finanční zprostředkovatelé Zapůjčovatelé: 1. Domácnosti 2. Firmy 3. Vláda 4. Cizocemci Finanční trhy Vypůjčovatelé: 1. Firmy 2. Vláda 3. Domácnosti 4. Cizocemci (přímé financování) Zdroj: Mejstřík, Pečená, Teplý (2008) Typy finanční trhů Finanční trhy jsou rozděleny podle různých hledisek: a) Dle finančních produktů (instrumentů): akcie, burzovní indexy, finanční instrumenty s pevnými příjmy (obligace a od nich odvozené swapy, forwardy a futures), měnové kurzy, ceny komodit, opce a termínované kontrakty. b) Dle obchodovatelnosti instrumentu: primární trh, na kterém jsou finanční instrumenty prodány prvotním investorům, klasickým případem je prvotní nabídka akcií pro investory (IPO), sekundární trh, na kterém se uskutečňují obchody s již vydanými cennými papíry mezi jednotlivými investory. c) Dle splatnosti instrumentu peněžní trh, na kterém jsou obchodovány instrumenty se splatností do jednoho roku, například státní pokladniční poukázky nebo komerční cenné papíry, 7

11 kapitálový trh, na kterém jsou obchodovány instrumenty se splatností nad jeden rok, například dlouhodobé dluhopisy nebo akcie. d) Dle organizace trhu: burzovní trhy, na nichž jsou obchodovány vysoce standardizované a probíhající za jedinou cenu, například Burza cenných papírů Praha či americká ew York Stock Exchange, mimoburzovní trhy, kde standardizace obchodů podstatně nižší než na burzovních trzích a pro finanční instrumenty jsou dány dvě ceny (například RM-systém nebo americký ASDAQ). e) Dle rozvinutosti trhu: vyzrálé trhy s úplnými kontrakty, například USA, ěmecko, rozvíjející se trhy obvykle s neúplnými kontrakty, nízkou likviditou, efektivností, například země BRIC Brazílie, Rusko, Indie, Čína. 2.2 Regulace a dohled nad finančním trhem Důvěryhodnost a stabilita finančního trhu je jednou ze základních podmínek fungování ekonomiky, což nelze zajistit pouze tržními mechanismy, proto je činnost finančního trhu regulována řadou právních předpisů. Při výkonu dohledu nad finančním trhem je posilována důvěra investorů a emitentů investičních nástrojů. Dohled nad bankovním sektorem nevykonávají nejenom centrální banky a další prověřené instituce, ale i externí auditorské firmy a orgány interního auditu bank. avzájem úzce spolupracují a sdělují institucím bankovního sektoru skutečnosti, které negativně ovlivňují bankovní systém. Důvody a existence regulace a dohledu bank jsou následující: jednou z činnosti bank je poskytování bezhotovostních peněz formou úvěrů, čímž je ovlivněno množství peněz v ekonomice, a aby měla centrální banka kontrolu nad měnovou politikou, musí dohlížet na aktivní obchody bank, bankovní licence musí být uděleny pouze subjektům splňující podmínky, protože bankovnictví je vysoce ziskové odvětví, kde ziskem je ovlivněna likvidita a stabilita banky, při úpadku jedné banky je ohrožen jiný bankovní ústav, což narušuje celou stabilitu bankovního sektoru, v bankách je hospodařeno s cizími zdroji, které jsou mnohonásobně vyšší než zdroje vlastní, 8

12 asymetrie informací je způsobeno, že klienti bank mají jiné množství informací než banka, přičemž vklady klientů tvoří podstatnou část bankovních pasiv, proto by měla být zavedena informační povinnost bank. V rámci mezinárodní sféry v oblasti pravidel je nejvýznamnější Banka pro mezinárodní platby a její Basilejský výbor pro bankovní dohled (Basel Commitee on Banking Supervision), který vydal v roce 1992 základních principy mezinárodního dohledu: na mezinárodní bankovní sektor dohlíží domovská země na konsolidovaném základě, vztahující se na všechny operace na světě, v případě založení pobočky je nutný souhlas domovské i hostitelské země, instituce dohledu domovské země má právo na informace o mezinárodních operacích bank, které ji podléhají, dohoda domovských a hostitelských institucí, pokud není hostitelská země spokojena s dohledem domovské instituce, může hostitelská země uvalit restriktivní opatření na pobočku zahraniční banky. Basilejský výbor vydává standardy Basel, které budou následně popsány v jednotlivých podkapitolách Basel I V roce 1988 byla podepsána Basilejská kapitálová dohoda (tzv. Basel I), v níž byla sjednocena mezinárodní regulace v oblasti bankovního kapitálu. Požadavky na kapitál byly odstupňovány do pěti kategorií dle velikosti rizika, které bylo spojené s držením daného aktiva. Dohodou byl stanoven standard minimálního kapitálového požadavku, který byl ve výši 8 % z rizikově vážených aktiv Basel II Postupem času byly zjištěny dva nedostatky v jednoduchosti Basel I. Prvním z nich bylo nedostatečné zohlednění rizikovosti aktiv, kdy regulátorem byly stanoveny váhy rizikovosti neodpovídající reálným podmínkám. Druhým nedostatkem bylo pokrytí rizik, jelikož se rozvíjel bankovní sektor, potom byl rozšířeno i spektrum rizik, kterým byly subjekty vystaveny. a základě nedostatků bylo nutné zavést nové sofistikovanější pravidla. V roce 2004 byla publikována druhá z basilejských dohod, kterou byl Basel II, jež je postaven na třech pilířích, kterými jsou minimální kapitálové požadavky, dohled a tržní disciplína. První pilíř se zabývá minimálním kapitálový požadavkem, v jehož rámci bylo začleněno kromě úvěrového a tržního rizika i operační riziko. Proces dohledu je zaměřen na zpřísnění 9

13 bankovního dozoru v rámci řídicích a kontrolních systémů banky. Tržní disciplína neboli třetí pilíř je založen na zveřejňování informací Basel III Třetí z basilejských dohod (Basel III) byla vyvinuta na základě nedostatků ve finančním nařízení, které byly zjištěny v průběhu finanční krize. Basel III má vytvořit silný a odolný bankovní systém, který by měl pohlcovat šoky nikoliv je přenášet, následně by měl zmenšovat selhání trhu odhalenou krizi a zaměřit se na makro obezřetnost, na čemž se shodli členové basilejského výboru v roce 2010 (Tomšík, 2011). aplánovaná opatření mají být zavedena mezi roky 2014 až V rámci Basel III je upraveno: požadavek na vyšší kvalitu vlastního kapitálu pákový poměr, minimální standardy pro řízení likvidity, zlepšení bankovního dohledu. Kapitálová přiměřenost má v současnosti hodnotu 8 %. V Basel III bude během následujících let navýšen požadavek na 10,5 % v roce 2019 a to včetně 2,5 % tzv. konzervačního polštáře pro účely kapitálové rezervy nad rámec rizik. Tento polštář může být navýšen až na další 2,5 % ve formě proticyklického polštáře. Maximální výše kapitálového požadavku může být ve výši až 13 %. V rámci požadavku na vyšší kvalitu vlastního kapitálu nejsou do Tier 1 započítány některé kvalitní požadavky, např. minoritní účasti, odložená daň. Pákový poměr se vypočte jako podíl vlastního kapitálu k rizikově váženým aktivům. Minimální výše poměru je stanovena na 3 %, avšak tato hodnota bude během zavádění upravena. Stanovení konečného limitu je odhadnuto na rok V oblasti řízení likvidity jsou zavedeny dva nové koeficienty. Prvním z nich je ukazatel krytí likviditou (Liquidity covarage ratio), který bere v úvahu krátkodobý horizont a vypočte se jako podíl vysoce likvidních aktiv a čistý odliv během 30 dní, tudíž jeho úkolem je udržování likvidity finanční instituce. Druhým indikátorem je ukazatel čistého stabilního financování (et stable funding ratio), který se vypočte jako použitelné stabilní zdroje děleno požadované stabilní zdroje, cílem tohoto ukazatele by mělo být přiměřené financování všech aktivních obchodů banky. První ukazatel by měl být zaveden v roce 2015 a druhý v roce

14 Obr. 2.2 Změny v pilířích v Basel III oproti Basel II Zdroj: Špolc (2011) V rámci Basel III by se měly banky přesunout z metody měření rizika Value at risk k alternativě předpokládaného schodku (expected shortfall), kde bude možno lépe zachytit extrémní ztráty, které mohou nastat během systémové krize. Předpokládaná doba držení finančního instrumentu bude záviset na jeho předpokládané finanční likviditě, proto bude v aplikační část počítáno s různými dny. 2.3 Rozdělení finančních rizik Finanční rizika lze klasifikovat z mnoha hledisek, proto bude v této kapitole riziko členěno dle rizikových faktorů. Z tohoto hlediska je možné riziko dělit na pět hlavních kategorií a to na úvěrové, tržní, likvidní, operační a obchodní riziko. Dalším možným způsobem jak klasifikovat riziko je podle rozhodovacích podmínek, které je děleno na deterministické modely, stochastické modely, za nejistoty a kombinací předchozích přístupů Úvěrové riziko Úvěrové riziko je charakterizováno jako nebezpečí, že strana nedostojí svým závazkům a tím vznikne držiteli pohledávky (věřiteli) ztráta. Toto riziko plyne z úvěrových aktivit, obchodních a investičních aktivit, z platebního styku a vypořádání cenných papírů při obchodování. Úvěrové riziko se člení na čtyři kategorie, které budou následně v textu popsány. Prvním z kategorie členění je přímé úvěrové riziko, které nejdůležitějším rizikem na finančním trhu. Toto riziko je spjato s rizikem ztráty ze selhání partnera u obvyklých 11

15 rozvahových položek v částečné nebo plné hodnotě, například u úvěrů, půjček, vkladů, dluhopisů a směnek apod. Riziko úvěrových ekvivalentů je rizikem ztráty ze selhání partnera u podrozvahových položek, tj. u poskytnutých úvěrových příslibů, poskytnutých záruk, poskytnutých či potvrzených dokumentárních akreditivů, derivátů. Hodnota úvěrového rizika podrozvahových operací je založena na výpočtů úvěrových ekvivalentů, které se stanoví jako součin konverzního faktoru a jmenovité hodnoty transakce (u podrozvahových operací kromě derivátů). Vypořádací riziko je rizikem ztráty ze selhání transakcí v procesu vypořádání. Toto riziko vzniká v situaci, kdy hodnota partnerovi byla dodána, ale hodnota od partnera ještě není k dispozici. Vypořádací riziko se člení na vypořádání měnových obchodů a vypořádání koupě či prodeje cenných papírů. Posledním rizikem z kategorie úvěrového rizika je riziko angažovanosti neboli riziko koncentrace, které je rizikem ztráty z angažovanosti vůči jednotlivým klientům, skupinám klientů a spřízněným osobám nebo ekonomickým sektorům. Finanční instituce stanovují úvěrové limity, aby předešly tomuto riziku Tržní riziko Druhým z kategorie členění rizik je tržní riziko, které je rizikem ztráty ze změn tržních cen, tedy změn hodnot finančních nástrojů či komoditních nástrojů v důsledku negativních změn tržních podmínek, tj. nepříznivého vývoje úrokových měr, cen akcií, cen komodit nebo měnového kurzu. Tržní riziko lze rozdělit na čtyři hlavní kategorie, které budou následně popsány. Úrokové riziko je rizikem ztráty ze změn cen nástrojů citlivých na úrokové míry. Toto riziko může vzniknout při zvýšení úrokových sazeb, kdy hodnota koupeného dluhopisu klesne a investor má ztrátu. Akciové riziko je rizikem ztráty ze změn cen nástrojů citlivých na ceny akcií. Jde o riziko, které vznikne při snížení ceny akcií, potom hodnota koupených akcií klesne a investor zaznamená ztrátu. Komoditní riziko vypovídá o riziku ztráty ze změn cen nástrojů citlivých na ceny komodit. Toto riziko vznikne například při snížení ceny zlata, přičemž hodnota koupeného zlata klesne a investor ztratí. 12

16 Měnové riziko, které je rizikem ztráty ze změn nástrojů citlivých na měnové kurzy. apříklad při snížení hodnoty dolaru vůči koruně hodnota koupených amerických aktiv klesne a investor má ztrátu. Kromě těchto dílčích rizik jsou dvě vedlejší kategorie tržního rizika. Prvním z nich je korelační riziko neboli bazické riziko, kterým se vyjadřuje riziko ztráty z porušení historické korelace mezi rizikovými kategoriemi, nástroji, produkty, měnami a trhy. Riziko úvěrového rozpětí je druhou vedlejší kategorii tržního rizika. Toto riziko je rizikem ztráty ze změn rozpětí u cenných papírů různého úvěrového hodnocení Likvidní riziko Likvidní riziko je spojeno s dvěma kategoriemi a to rizikem financování a rizikem tržní likvidity. Riziko financování představuje momentální platební neschopnost, a aby byly splněny závazky, je nutné půjčit si finanční prostředky za vyšší úrokovou míru. Riziko financování je spojeno s požadavky na investování a financování vzhledem k nesouladu v peněžních tocích. Cílem likvidního rizika je zajistit přístup k hotovosti za přijatelnou cenu a to i v případě nepříznivých podmínek. Riziko tržní likvidity je rizikem ztráty v případě malé likvidity trhu s finančními prostředky, která brání rychlé likvidaci pozic, čímž je omezen přístup k peněžním prostředkům Operační riziko Operační riziko se dělí na tři kategorie a to na transakční riziko, riziko operačního řízení a riziko systémů. Transakční riziko je rizikem ztráty z provádění operací v důsledku chyb v provedení operací, chyb plynoucích ze složitých produktů, chyb účetních operací a jejich vypořádání, nezáměrné poskytnutí nebo přijetí komodit a neodpovídající právní dokumentaci. Riziko operačního řízení vznikne jako ztráta z chyb v řízení aktivit na odděleních. Jde o obchody nad limit, podvodné operace spojena s obchodováním včetně chybného účtování a padělání, praní peněz a dalších. Riziko systémů je spojeno s chybovostí v systémech podpory. Jde především o chyby v počítačových programech, dále o chyby v přenosu dat a o chyby v případu výpadku systému. 13

17 Ze své podstaty je operační riziko obtížně kvantifikovatelné, proto musí mít vedení společnosti přehled o aktivitách na všech oddělení Obchodní riziko Obchodní riziko je členěno na sedm kategorii. Právní riziko je rizikem ztráty z právních požadavků partnera. Riziko změny úvěrového hodnocení vyplývá ze ztížených možností získat peněžní prostředky za přijatelné náklady. Riziko, které souvisí s poklesem reputace na trzích, je reputační riziko. Riziko měnové konvertibility znamená nemožnost směnit měnu za jinou měnu v důsledku politických nebo ekonomických měn. Rizikem ztráty z přírodních katastrof, válek, pádu finančního systému je riziko pohromy. Regulační riziko vznikne v případě, pokud je nemožné splnit regulační opatření a z chyb v předvídání budoucích regulačních opatření Rozhodovací podmínky Finančním rozhodování je posuzováno na základě určitých známých informací. V případě, že jsou známy dostupné informace, je rozhodováno za určitosti a tyto modely jsou popsány dle deterministických modelů. Riziko lze chápat jako stav, kdy budoucí situace nastává s jistou pravděpodobností. a druhé straně stojí nejistota, která je stavem, kdy nelze určit pravděpodobnost očekávané události, a proto ji nelze popsat rozdělením pravděpodobnosti. Vstupní data lze stanovit pouze pomocí mezních hodnot nebo intervalu. Jednou z možností jak modelovat nejistotu je využití fuzzy množin Systematické, nesystematické a systémové riziko Systémové riziko je riziko, které je vyvolané společnými faktory a postihuje v různé míře všechny ekonomické jednotky. Toto riziko závisí do značné míry na celkovém vývoji trhu, a proto jej nelze snižovat diverzifikací, tudíž je nediverzifikovatelné. Riziko nesystematické neboli jedinečné je specifické pro jednotlivé firmy. Vzhledem ke svému charakteru představují mikroekonomická rizika. Toto riziko je možné eliminovat diverzifikací. Systémové riziko souvisí s globalizací. Toto riziko vznikne v situaci, kdy jedna finanční instituce nedostojí svým splatným závazkům a způsobí, že další finanční instituce nebudou schopny splácet své závazky. Míra selhání může způsobit krizi v ekonomickém systému. 14

18 2.4 Výpočet výnosů Riziko je kvantifikováno na základě výnosů, které jsou vypočteny na základě cen jednotlivých indexů. Dle frekvence výpočtu jsou výnosy rozděleny na diskrétní, které jsou vypočteny v přesně vymezených intervalech (např. denní, měsíční, roční apod.), a na spojité, které jsou stanoveny nepřetržitě v nekonečně malých intervalech. Mezi základní veličiny vypočtu lze zařadit střední (očekávanou) hodnotu, rozptyl a směrodatnou odchylku. Mezi rozšířenější parametry se řadí šikmost a špičatost. Absolutní výnos lze vypočítat následující rovnicí: R i, t Pi, t 1 Pi, t, (2.1) kde R i,t je absolutní výnos i-tého aktiva, P i, t1 je cena i-tého aktiva v následujícím období, P i, t je cena i-tého aktiva v období t. Výnos jednotlivých aktiv se vypočte jako diskrétní výnos dle vztahu: R i, t P P i, t t1, (2.2) P i, t kde R i,t je diskrétní výnos i-tého aktiva v čase t, P i,t je cena i-tého aktiva v období t a P i,t 1 je cena i-tého aktiva v předcházejícím období. Spojitý výnos, v kterém lze zachytit nekonečně malé intervaly, má následující tvar: P, (2.3) t 1 Ri, t ln Pt kde ln je přirozený logaritmus. Po vypočítání kapitálových výnosů jednotlivých aktiv je nutné stanovit ukazatel střední hodnoty výnosů aktiv. Tento ukazatel vyjadřuje průměrnou výnosnost jednotlivých aktiv za celé sledované období. Střední hodnota výnosu je vypočtena na základě vzorce: 1 E( R ), (2.4) i R i, t t1 kde E(Ri) je očekávaný výnos daného aktiva za určité období, je počet sledovaných období a Ri,t je kapitálový výnos aktiva. Rozptyl výnosu aktiva vyjadřuje rozdělení okolo střední hodnoty a je dán vztahem 15

19 kde Ri, t E( Ri ), i var( Ri ) (2.5) t1 2 i je rozptyl výnosů i-tého aktiva. Z hodnoty rozptylu lze vypočíst směrodatnou odchylku, která vyjadřuje odhad pravděpodobnosti odchýlení reálného výnosu od očekávaného. Čím vyšší je hodnota směrodatné odchylky, tím je aktivum rizikovější. Směrodatná odchylka se vypočte jako 2 i i, (2.6) kde i je směrodatná odchylka i-tého aktiva. Šikmost je centralizovaný a normalizovaný třetí moment, který popisuje nesymetričnost pravděpodobnostního rozdělení, tedy jestli jsou hodnoty rozděleny vpravo nebo vlevo od střední hodnoty. V případě, že je kladná šikmost, pak je pravděpodobností rozdělení pozitivně zešikmené a pravé konce jsou těžší než levé. Při záporné šikmosti jsou levé konce těžší než pravé. Je li šikmost rovna nule, potom je rozdělení symetrické. Rovnice šikmosti má tvar: Sk 1 x E i1 i R i 3. (2.7) Špičatost je centralizovaný a normalizovaný čtvrtý moment, který udává jaký průběh má rozdělení hodnot kolem zvoleného středu (rozdělení). Čím je rozdělení špičatější, tím víc jsou hodnoty soustředěny kolem daného středu rozdělení. Rovnici šikmosti lze zapsat vzorcem: Kr 1 x E i1 i R i 4. (2.8) 2.5 Stochastické procesy V této podkapitole jsou charakterizovány stochastické procesy, které lze aplikovat na vývoj finančních aktiv. Tato podkapitola vychází zejména z publikací Tichý (2006) a Tichý (2011). Finanční aktiva lze považovat za jisté, pokud je možné určit se sto procentní pravděpodobností jeho budoucí hodnotu za určitý časový úsek. V případě, že to není možné, je takové aktivum označeno za nejisté. Stochastickou veličinou lze označit vývoj finančního aktiva v čase na základě vhodného pravděpodobnostního rozdělení. Pokud nejsou tyto dvě podmínky splněny, 16

20 je veličinou nejistou, v takovém případě lze k modelování využít intervalový přístup nebo teorii fuzzy. Ceny většiny finančních aktiv jsou náhodné, tudíž jsou založeny na stochastickém procesu se shodou pravděpodobnostního rozdělení Jednoduché procesy V kapitole je popsána metodologie jednoduchých stochastických procesů, kterými jsou normální rozdělení, Wienerův proces a geometrický Brownův proces. ormální rozdělení ejpoužívanějším pravděpodobnostním rozdělením modelující chování velkého množství náhodných jevů v technice, přírodních vědách i ekonomii je rozdělení normální, též je označováno za Gaussovo rozdělení pravděpodobnosti. Významem tohoto rozdělení spočívá v tom, že za určitých podmínek lze pomocí něj aproximovat řadu jiných spojitých i nespojitých rozdělení. ormální rozdělení () je charakterizováno dvěma parametry: µ střední hodnotou a směrodatnou odchylkou σ, což lze zapsat: X ~,. (2.9) Distribuční funkce normálního rozdělení nemá přímé analytické řešení, ale lze ji určit na základě funkce hustoty, F x x 2 2 (2.10) x;, exp dz. Základním typem normálního rozdělení se střední hodnotou rovnou nule a jednotkovou směrodatnou odchylkou je normované normální rozdělením, které má funkci hustoty ve tvaru: f 1 1, (2.11) x;, exp x evýhodou tohoto rozdělení je symetričnost a nedostatečná významnost jejich konců v případě finančních výnosů. Wienerův proces Wienerův je procesem Markovova typu, pak budoucí hodnota je závislá na současné hodnotě a přírůstek je zcela nezávislý. Tento proces vychází z normovaného normálního rozdělení [0;1] a funkce hustoty (x) je určena jako: 17

21 1 1 ( x) exp x (2.12) Spojitý Wienerův proces je normovaný Brownův pohyb. Stochastický proces Zt, Z = {Z(t), t ϵ [0, ]} lze označit v případě pokud: 1. Z(t) je nulové, 2. přírůstky jsou v čase nezávislé, 3. má stacionární přírůstky, 4. je založen na normálním rozdělení, 5. Z(t) je spojitou funkcí času. Pokud Z je změnou procesu za krátký časový úsek dt, pak jej lze zapsat: Z dt, (2.13) kde ɛ je náhodný prvek z normovaného normálního rozdělení se střední hodnotou rovnou nule a rozptylem jedna, dt je délka jednoho roku. hodnotu: rozptyl: Dle charakteristiky Wienerova procesu Z(t) lze určit pro všechny dt > 0 střední Z 0 E, (2.14) Z E Z 2 dt 2, (2.15) směrodatná odchylka: Z dt. (2.16) Hlavní vlastností Wienerova procesu je, že pokud dt 0, tak i rozptyl se bude blížit nule, avšak dvakrát rychleji. V tom případě má výraz ( Z) 2 deterministickou hodnotu dt, kde dt je určena pro malý časový úsek. Závěrem lze říci, že Wienerův proces vychází z nuly, jeho přírůstky jsou nezávislé a stacionární, jsou založeny na normálním rozdělení s rozptylem na základě změny času. Geometrický Brownův pohyb Klasickým nástrojem pro modelování vývoje cen finančních aktiv je Wienerův proces Z(t) a na jeho základě lze získat: 18

22 Brownův pohyb, který začíná v konstantě c: Ct c Zt Brownův pohyb s přírůstkem α: At t Zt,, Brownův pohyb s rozptylem σ 2 2 : St Zt Z( t), Exponenciální Brownův pohyb (vždy pozitivní): E t) expz t (. ejvýznamnějším stochastickým procesem je exponenciální Brownův pohyb neboli geometrický Brownův pohyb, který lze učit následovně: ds S dt S dz, (2.17) t t kde S je finančním aktivum s výchozí cenou St, µ je průměrná hodnota výnosu zpravidla za rok, σ je deterministickou a konstantní hodnotu směrodatné odchylky finančního aktiva za rok a dz E dt. Protože ds S dt t E 0, pak i E S dz 0 t a na základě toho: (2.18) Očekávaná hodnota budoucí ceny finančního aktiva S musí být shodná s E S S e t. (2.19) t K získání skutečného vývoje finančního aktiva je zapotřebí vzorec (2.19) upravit o náhodou složku. Vztah mezi E Z t 0 a Ee Z t zahrnout parametr upravující střední hodnotu Ee Z t S exp t Z S T není totožný. Možným východiskem je, tudíž: t t. (2.20) E exp Zt a základě vlastností normovaného normálního rozdělení lze určit: 2 E exp Z t exp (2.21) 2 Po dosazení vzorce (2.20) lze získat konečnou verzi geometrického Brownova pohybu, který je užíván k oceňování finančních derivátu a lze jej zapsat: 2 S t S 0 S 0 exp. (2.22) 2 19

23 2.5.2 Složitější procesy Procesy u nichž jsou přírůstky nezávislé a stacionární lze označit za Lévyho modely, jehož název je odvozen od Paula Lévyho, francouzského matematika z první poloviny 20. století a zakladatele stochastických modelů. Tyto modely jsou vyznačovány stochastickou spojitostí, což znamená, že pravděpodobnost výskytu skoku pro časový interval je rovna nule. Hlavními procesy pro Lévyho modely jsou Wienerův proces, Poissonův proces a jeho odvozeniny, následně jsou tyto procesy podstatou pro další modely. Při modelování cen finančních aktiv nejsou stanoveny pouze pozitivní ceny, proto je počítáno s exponenciálním Levýho modelem. Cena aktiva v mocniteli a deterministického přírůstků lze určit jako: S t t St dle Lévyho procesu X t S exp t X. (2.23) Zpravidla jsou Lévyho procesy založeny na (geometrickém) Brownově pohybu, který je vnitřním procesem (subordinator). V případě ekonomického pohledu lze na tyto procesy nahlížet jako na geometrický Brownův pohyb v obchodím čase, který je určen různými ekonomickými událostmi, například zveřejnění nových informací. V případě označení Z t;, za Wienerův proces závislý na čase t s proměnnou 1 a t neboli Z t) t (, kde 0,1, lze určit Brownův pohyb X t;, s přírůstkem a volatilitou danou jiným Lévyho procesem což lze zapsat následovně: neboli: X t Z t g t g t dosazením g, (2.24) g t za t, X t t t g g. (2.25) Variance gamma model Variance gamma model (VG) je jedním z hlavních modelů Lévyho procesu. VG model je založen z Brownova pohybu řízeného gama procesem, přičemž funkce hustoty gama procesu z gama rozložení G 1; 1 v při 1je určena: 20

24 21 v t v v g g t g v t v t exp 1, (2.26) VG proces, ; t; g VG lze určit jako: t t t t t g g g Z g VG, (2.27) funkce hustoty VG modelu lze definovat:. exp 2 exp dg v t v v g g g g X g X VG v t t (2.28) Prostřednictvím funkce hustoty lze určit distribuční funkci ;, ;, v t g x F VG : X v t t dgdz v t v v g g g g z g exp 2 exp (2.29) Formulaci proces lze také definovat na základě vymezení charakteristické funkce procesu: v t VG vx v x v v t g x / , ; ; ;. (2.30) Předností VG modelu je, že u něho lze modelovat vyšší momenty pravděpodobnostního rozdělení. a základě parametru gama rozptylu v lze ovládat špičatost přes rozptyl náhodného času a parametr bere v úvahu symetrii. V případě, že 0 má rozdělení zápornou šikmost, a naopak. Pokud 0 je rozdělení symetrické. V následující Tab. 2.1 jsou uvedeny jednotlivé parametry VG-pravděpodobnostního rozdělení.

25 Tab. 2.1 Základní momenty VG-rozložení Střední hodnota Rozptyl Šikmost Parametr VG gt; v ;, v 3 2 v 2 2 Špičatost 31 4 v 2v 2 2 v 2 Zdroj: Tichý (2006) Dosazením VG procesu (2.27) do Lévyho modelu v exponenciální formě (2.23) je určena dynamika ceny finančního aktiva: S P ( P) S t VG t S exp t g g t t exp t 0 0, (2.31) kde korekční parametr ln1v v. v 2 t t 22

26 3 Vybraná metodologie pro ověřování odhadu tržního rizika V této kapitole bude přiblíženo Value at risk přes jeho matematický model až po výhody a nevýhody modelu, dále pak metody modelů Value at risk. Potom bude charakterizován postup výpočtu pro zpětné testování a následně jsou popsány jednotlivé statistické testy na hladině pravděpodobnosti 1%. 3.1 Value at risk V následující podkapitole je stručně popsána historie Value at Risk, její matematická formulace a metody. Přitom se bude pracovat s publikacemi jako je Jílek (2000 a 2009), Ambrož (2011) a Zmeškal a kol. (2013). V 90. letech požádal šéf investiční banky J. P. Morgan své podřízené, aby mu vždy na konci dne předložili zprávu o rizicích a ztrátách za celé obchodované portfolio banky, které je možné očekávat následující den. Tým bankéřů měl za úkol vymyslet a zrealizovat novou úrokovou míru pod vedením Tilla M. Guldimanna, který byl zodpovědný za analýzu aktiv a pasiv v bance J. P. Morgan. Vývoj metody byl ukončen v roce 1990, jejíž hlavní výhodou bylo, že vedení společnosti mělo k dispozici stručnou, jednoduchou a přehlednou informaci o tom, jakým rizikům je společnost vystavena. Metoda, kterou vyvinuli pracovníci J. P. Morgan je označována jako hodnota k riziku (Value at Risk). V roce 1993 ji představili na konferenci o risk managementu, kde vzbudila velkým zájem. Metoda byla dále upravována a v roce 1994 byla představena pod názvem Risk Metrics, ale je známa pod zkráceným názvem nebo Value at Risk. Další banky a finanční instituce následovalo J. P. Morgan a ve spolupráci se specializovanými softwarovými společnostmi bylo vyvinuto mnoho různých variant. je velmi rozšířenou a obecně používanou metodou. Tato metoda je součástí bankovní regulace Basel I, Basel II a regulace Solvency II pro pojištovny Matematická formulace modelu lze definovat jako nejmenší predikovanou ztrátu na zadané hladině rizika (pravděpodobnosti) za určitou časovou periodu. Matematicky se definuje jako jednostranný kvantil (například 99 %) z rozdělení zisků a ztrát portfolia během určité doby držení, stanovený na základě určitého historického období (například jeden rok). dává odpověď na otázku: Jaká je maximální ztráta, kterou může portfolio utrpět během jednoho dne s pravděpodobností (1-α). Hodnota (1-α) je hladinou významnosti. ejběžnější hladiny významnosti jsou 0,5 %, 1% a 99 %, přičemž jsou tyto hladiny uvedeny i v legislativním 23

27 rámci. Časový horizont specifikuje, v jakém období je sledovaná ztráta. ejčastěji je využívána denní hodnota k riziku, potom týdenní, desetidenní, měsíční a roční, což závisí na finanční instituci, např. pro banky v Basel II je to deset dní, pro pojišťovny v Solvency II je to rok. Základní idea při stanovení vychází z principu, aby pravděpodobnost, ~ že z portfolia aktiv bude zisk menší než předem stanovená hladina zisku (ZISK), byla rovna stanovené hladině pravděpodobnosti α (významnosti), což lze zapsat jako: ~ ZISK Pr, (3.1) kde Pr je pravděpodobnost. Je li zisk vyjádřen jako záporná ztráta (ZISK= -), lze vzorec (2.9) upravit následovně: ~ Pr, (3.2) což je základní rovnice pro odvození hodnoty Výhody Value at Risk je agregovaná (globální) agregována riziková míra, což je hlavní předností tohoto modelu. Metoda je velmi jednoduchá, snadno pochopitelná a lehce interpretována, což svým způsobem vedlo k jejímu rozšíření. Metoda může být aplikována pro měření rizikovosti jakéhokoliv portfolia. Používá se většinou pro kvantifikaci tržního rizika. Může být využita k stanovení kapitálové přiměřenosti pro finanční instituce, avšak už je rozšířena i na nefinanční instituce, což mělo za následek vzniku nových měr v riziku, jako například výnosy v riziku, výnosy na akcii v riziku a peněžní tok v riziku. Metoda svým způsobem přiměla uživatele kriticky se zabývat rizikem evýhody Value at Risk je součástí systému tržních rizik ve většině finančních institucí, ale není ovšem schopen podat úplný obraz tržních rizik. Model totiž nevypovídá o rizicích přesahující rámec zvolené pravděpodobnosti, což má za následek podněcovat velmi rizikové obchodní strategie či odrazovat od diverzifikace. Při rozdělení portfolia na více portfolií a sečtením jejich hodnot lze dospět k nižšímu odhadu rizika než by bylo získáno výpočtem pro celé portfolio. 24

28 Základním východiskem je předpoklad, že přírůstky tržních sazeb v budoucnosti se budou vyvíjet jako v minulosti. Jelikož finanční trhy se vyvíjejí dynamicky, tudíž rozdělení tržních faktorů nemusí představovat dobrý odhad pro budoucnost. mnohdy není schopen odhadnout náhlé dramatické změny na finančních trzích či finanční krizi. je založen na předpokladech, které nemusí být realistické. Různé metody výpočty hodnoty vedou k poměrně odlišným výsledkům v závislosti na zvolené pravděpodobnostním rozdělení, způsobu odhadu parametrů a různé délce časové řad. Proto je vhodné řešit otázku, jak se změní rizikové ukazatelé, když se změní předpoklady Metody modelů Value at Risk Pro výpočet hodnoty jsou různé metodologie, tudíž mají banky široký výběr v používání modelů. V podstatě neexistuje žádná standardní metoda. Základní výpočetními postupy, které budou následně popsány, jsou metoda variancí a kovariancí, metoda historické simulace a metoda Monte Carlo. Metoda variancí a kovariancí První metoda variancí a kovariancí spadá do parametrických metod. Při odhadu potenciálních ztrát finančních nástrojů v budoucnosti je využíváno statistik o volatilitách hodnot v minulosti a korelací mezi změnami hodnot. Pro stanovenou dobu držení jsou určeny jednotlivé volatility a korelace rizikových faktorů na základě historických údajů. Tato metoda je založena na určitým rozdělení pravděpodobností rizikových faktorů a předpokládané korelace mezi nimi. Rozdělení budoucích výnosů náleží do určité parametrické skupiny, protože je to předpokladem pro parametrický model. Určí se rozdělení pravděpodobností případných změn hodnoty finančních aktiv pro tisíce scénářů, vyskytujících se s určitou pravděpodobností. ejjednodušším rozdělením je normální rozdělení a korelace změn rizikových faktorů je stabilní. Po určitou historickou dobu jsou počítány statistické parametry. V modelu je zapotřebí velkých informačních požadavků. apříklad za předpokladu normality u šesti měn je třeba dvacet sedm parametrů (šest průměrů, šest variancí a patnáct kovariancí). Jelikož jsou vybrány pouze historické údaje nelze využít dostupné informace, které lze vzít pouze v úvahu případnými úpravami koeficientů nebo aplikováním náhodných vah při odhadu koeficientů. Historickým údajům lze určit stejné váhy nebo bližším údajům jsou přiřazeny vyšší váhy, aby se zredukovaly větší změny ve volatilitách a korelacích 25

29 starších událostí. U nestejných vah lze využít dvou skupin přístupů, a to GARCH (General Autoregresive Conditional Heteroscedasticity) a přístupů modelů exponenciálně vážených pohyblivých průměrů (Exponentially Weighted Moving Averages method - EWMA). Metodou variancí a kovariancí pro různé doby držení T, pro n rizikových faktorů a interval spolehlivosti 99 %s je hodnota v riziku určena jako: T VAR x C x T, (3.3) kde x je vektor změn rizikových faktorů, x T je transponovaný vektor x a C je korelační matice. Metoda historické simulace Druhou metodou pro stanovení odhadu je metoda historické simulace. U této metody jsou spočteny budoucí ztráty z minulých údajů, které měla finanční instituce u daného finančního nástroje. U historické simulace jsou simulovány potenciální ztráty bez ohledu na jeho pravděpodobnost, což je výhodou této metody. V této metodě není brána v úvahu explicitní či stabilní korelace mezi rizikovými faktory. K výpočtu metody je nutný velký počet historických simulací. Hodnota k riziku se vypočte pro každé období držení v minulosti. V případě, že období držení je delší než jeden den je nutné stanovit změny všech rizikových faktorů, vypořádání peněžních toků atd. Výslednou hodnotou metody historické simulace je časová řada zisků a ztrát, ke kterým by došlo, kdyby finanční instituce držela tento finanční nástroj určitou dobu v minulosti. Historická metoda bere lépe v úvahu konce rozdělení, protože jsou v něm zahrnuty extrémní tržní změny. Verzí historické simulace je faktorová citlivost, která je založena na principu, když je změněn jeden faktor při konstantní hodnotě ostatních faktorů, jaká bude změna finančního nástroje. Metoda Monte Carlo Třetí metoda je metoda Monte Carlo nebo-li stochastická simulace, v níž jsou zahrnuty procesy lidské volby nebo procesy s neúplnými informacemi. Podstatou této metody je generování velkého počtu, řádově tisíců budoucích situací (scénářů) a propočet zvolených kritérii hodnocení pro každý scénář a na základě jichž lze stanovit rozdělení pravděpodobnosti těchto kritérií i číselné charakteristiky rizika pro jednotlivé finanční nástroje. 26

30 V metodě je testována jednodenní změna hodnota finančního nástroje a to dle velkého počtu nahodilých kombinací různých situací rizikových faktorů, kde pravděpodobnosti jsou stanoveny na minulé zkušenosti. ásledně je stanovena jednodenní ztráta s pravděpodobností 1 %. Tato metoda je flexibilní a užitečná u nástrojů s nelineárním průběhem hodnot. Předností této metody je, že nutí zpracovatele přemýšlet a analyzovat, tudíž je zapotřebí časové flexibility a zkušenosti, ale ve výsledku je tato metoda důkladná. Zhodnocení metod modelu Value at Risk Metoda historické simulace a metoda Monte Carlo jsou založeny na přecenění nástrojů na základě daných hodnot rizikových faktorů, tudíž jsou téměř shodné, avšak se liší pouze v tom, jak generují rizikové faktory. V historické simulaci jsou scénáře určeny na základě minulosti, zatímco v druhé metodě jsou scénáře generovány. Výběr nejlepší metody ze založen na úsudku, obecně neexistuje jednoznačná volba. Metoda variancí a kovariancí je založena na průměrných korelací po celé období, kdežto metoda simulací vychází ze skutečných korelací pro dané dny. Při extrémních tržních změnách se korelace změní, což má dopad na hodnotu. 3.2 Popis postupu zpětného testování Zpětné testování je založeno na statistických testech, ve kterých je ověřena skutečná ztráta s předpokládanými ztrátami a pro zjištění, že model je v souladu s požadovanou úrovní spolehlivosti. Tyto kontroly jsou nezbytné pro manažery rizik, kteří potřebují kontrolovat prognózy. V rámci posílení bankovní regulace a bankovního dohledu je zpětné testování upraveno ve vyhlášce České národní banky č. 123/2007 Sb., o pravidlech obezřetného podnikání bank, spořitelních a úvěrních družstev a obchodníků s cennými papíry. U bankovní instituce lze stanovit kapitálový požadavek na základě interních modelů banky za souhlasu orgánu bankovního dohledu. Prvním krokem zpětného testování je porovnat pro jednotlivé dny hodnotu určenou modelem na základě informací známých předchozí den k uvažovanému dni a pozorovanou ztrátou uvažovaného dne. V případě kdy skutečná ztráta přesáhne hodnotu, je tento den označován za výjimku. Pokud jsou zjištěny výjimky v 1 - α procentech případů, potom v modelu je hodnota určena správně. Jestliže je zaznamenán větší počet 27

31 výjimek, pak model podhodnocuje riziko, v případě nižšího počtu výjimek model riziko nadhodnocuje. K určení hodnoty pro den x jsou využity časově řady odpovídající intervalu x m až x 1, kde m je vybraná délka časové řady k odhadu. ásledně je stanovena hodnota pro jeden den a tuto hodnotu lze srovnat se skutečnou ztrátou zaznamenanou ve dni x. Tento postupu lze aplikovat pro další dny, kde proměnnou x zvýšíme o jedničku, celkem je v předpokladem n pozorování. (Kresta, 2011) V Obr. 3.1 je zobrazen posouvání intervalu vstupních dat pro výpočet hodnoty pro jednotlivé dny. Obr. 3.1 Posouvání intervalu pro jednotlivé dny Zdroj: Kresta (2011) Touto metodou je ověřeno, zda pravděpodobnost výskytu výjimek je rovna 1 α neboli hodnotě významnosti. Tuto rovnost je nutné statisticky otestovat, proto je nutné určit proměnnou It, která nabývá dvou hodnot, buď hodnoty jedna a to v případě, že v den t skutečná ztráta překročí pro tento den odhadnutou hodnotu α,t, hodnotu nula, pokud skutečná ztráta v den t hodnotu α,t nepřekročí, což lze zapsat rovnicí (3.4) (Kresta, 2011). I t 1 1 když t 0 když t 1 1 t r (3.4) Při provedení statistického testu můžou nastat chyby dvojího typu. Chybou prvního typu je odmítnutí správného modelu (H0), kde H : p pˆ 0, zatímco chybou druhého typu je přijmutí nesprávného modelu (HA), kde H A : p pˆ. Statisticky silná zkouška by měla eliminovat obě tyto chyby. Po určení posloupnosti hodnot lze přejít ke statistickým testům, jimiž jsou: Základní frekvenční test, Basilejský semafor a Kupiecův test. 3.3 Základní frekvenční test ejběžnějším statistickým testem, který navrhl Paul Kupiec v roce 1995, je Základní frekvenční test. Podstatou tohoto testu je spočítat počet výjimek, čímž je kvantifikován 28

32 počet dní, kdy ztráty překročily odhady. V případě, že počet vypočtených výjimek je menší než zvolená hladina spolehlivosti, tak je v modelu riziko nadhodnoceno. aopak příliš mnoho výjimek signalizuje, že v modelu je podceňováno riziko extrémních ztrát. Málokdy odpovídá počet pozorovaných výjimek předpokládanému počtu výjimek na zvolené hladině spolehlivosti (nulová hypotéza), proto je vhodná další statistická analýza, která by měla určit, zda počet výjimek je akceptovatelný, tj. zda model bude přijat nebo ne. Alternativní hypotéza k nulové hypotéze je, že míra výjimky bude vyšší než interval spolehlivosti. Tento test není vázaný na žádnou další hypotézou, například o pořadí výskytu chyb v průběhu času), proto je označován za nepodmíněný test. Míru selhání lze určit jako x T, kde x je celkový počet výjimek a T je celkový počet pozorování. Ideálně by měla míra selhání odpovídat vybranému konfidenčnímu intervalu. V případě 99 % intervalu spolehlivosti lze říci o nulové hypotéze, že frekvence ztrát je rovna p 1 1 0,99 1 %. Model je přesný pokud počet překročení odpovídá očekávanému počtu překročení. Počet výjimek x je charakterizováno binomickým rozdělením pravděpodobnosti: f T kde x rozdělení: T 1, (3.5) x x T x x p p T! T x! x!. (3.6) Při zvýšeném počtu pozorování může binomické rozdělení aproximovat normálnímu x pt, (3.7) p 1 p T kde pt je očekávaný počet výjimek a p1 pt je rozptyl výjimek. (Jorion, 2001) 3.4 Basel traffic light Banky s podstatnými obchodními činnostmi jsou povinny vyčlenit určitou částku kapitálu na krytí případných ztrát na základě odhadů banky. V současném regulačním rámci je určeno, aby banky vypočetli pro 10-denní časový horizont při 99 % intervalu spolehlivosti. V tomto rámci je zakotveno přísné zpětné testování pro banky, aby bylo zabráněno zmírňovat odhady rizik. 29

33 Výpočet zpětného testování je provedeno na základě porovnání posledních 250 denních odhadů s 99 % intervalu spolehlivosti. Model je vyhodnocen dle počtu výjimek během zkoumaného období (Basilejský výbor, 1996). Velikost požadavku na rizikový kapitál je závislá na výsledku zpětného testování. (Campbell, 2005). Výsledek zpětného testování lze zařadit do tří zón: S t 3 3 0,2 x 4 4 když x 4 když 5 x 9 když10 x zelená žlutá červená (3.8) kde St je faktor navýšení požadavku rizikového kapitálu, x je počet výjimek přes 250 obchodních dní. Za předpokladu, že model je kvalitní, potom očekávaný počet výjimek je 2,5. V případě, že výskyt výjimek je nula, potom lze model zařadit do zelené zóny a tento model je definován přesně a nepřesnost modelu je poměrně nízká. Žlutá zóna je složena z pěti až devíti výjimek. V této zóně můžou výsledky zpětného testování způsobit zvýšení multiplikačního faktoru a to v závislosti na počtu výjimek, avšak toto navýšení není automatické, protože žlutá zóna nemusí nutně znamenat nepřesnost modelu. Banky tak musí dokázat, že model je kvalitní, v případě nevyhovujícího modelu lze zvážit revizi požadavků. Červená zóna nastává v případě, pokud počet výjimek je větší nebo rovno deseti, což vede k závěru, že je možný problém s modelem. Tento zpětný test je vhodné využít jako předběžný k zjištění kvality modelu, proto by měly být uplatněny sofistikovanější testy. 3.5 Kupiecův nepodmíněný test (POF-test) ejvíce rozšířený test založený na míru selhání navrhl Paul Kupiec (1995). Tento test je známý jako POF-test (proportion of failures). V testu je zjištěno, zda počet výjimek je v souladu s intervalem spolehlivosti. ulová hypotéza POF-testu je následující: H 0 : p pˆ x T, (3.9) kde pˆ je míra selhání, p 1 je pravděpodobnost selhání na úrovni intervalu spolehlivosti, x je počet výjimek a T je počet pozorování. Smyslem testu je zjistit zda míra selhání se výrazně liší od předpokládané pravděpodobnosti selhání. Za platnosti nulové hypotézy je model kvalitní. 30

34 Testovací statistika pro POF-test má podobu: LR POF 1 p 2ln x 1 T T x T x p kde LRPOF je testovací statistika s rozdělením chí-kvadrát 2 (3.10) a s jedním stupněm volnosti. V případě, že hodnota testovací statistiky překročí kritickou hodnotu rozdělení chí-kvadrátu,, je nulová hypotéza zamítnuta a model je nekvalitní. x x T x 2 2,1 LR POF inv 1,1, (3.11) 2 2 df kde 2 inv., významnosti. je inverzní distribuční funkce 2 rozdělení s df stupni volnosti, α je hladina Kupiecův POF-test je omezen dvěma nedostatky. Prvním z nich je, že staticky test je slabý s velikostí časové řady, který je jeden rok, na základě regulačního rámce. Druhým nedostatkem je, že ve zpětném testu je brána úvahu pouze četnost ztrát nikoliv doba, kdy k nim dojde. 31

35 4 Zpětné testování pomocí vybraných metod Tato kapitola je prakticky zaměřena a vychází z použité metodologie, která je popsána v druhé a třetí kapitole. V této kapitole jsou nejdříve popsány vstupní data se statickými charakteristikami, následně je proveden výpočet dle metody simulace Monte Carlo a v závěru kapitoly jsou aplikovány zpětné testy na příslušná finanční aktiva. Všechny výpočty jsou výstupem programu Wolfram Mathematica 9. Hodnota k riziku je vypočtena na základě modelu, který vychází z historické časové řady od období až do období K výpočtu je důležité sestrojit model, který bude charakterizovat rozdělení pravděpodobnosti daného finančního nástroje. Za finanční nástroje jsou považovány burzovní indexy. ejpoužívanějším pravděpodobnostním rozdělením modelující chování velkého množství náhodných finančních proměnných je normální rozdělení nebo-li Gaussovo rozdělení. Avšak bylo empiricky prokázáno, že normální rozdělení není vhodné aplikovat k modelování finančních aktiv, protože nebere v úvahu vysokou špičatost (tzv. těžké konce) a šikmost (asymetrie rozdělení) (Kresta, 2012). Vhodným rozdělením pravděpodobnosti, které berou v úvahu čtyři centrální momenty, jsou Lévyho modely, do kterých spadá i variance gama rozdělení (VG). a těchto dvou modelech je nasimulován odhad a to na hladinách významnosti 0,1 %, 1 %, 2,5 % a 5 %. Hladina 1 % je zvolena na základě vyhlášky České národní banky č. 123/2007, Sb. a s 2,5 % je počítáno v rámci budoucího kapitálového požadavku, který zahrnuje Basel III, jehož realizace je odhadována na rok Ostatní hladiny jsou stanoveny na základě vlastního uvážení, aby bylo modely vzájemně porovnat. V rámci aplikační části je provedeno několik početních kroků, které jsou podrobněji rozebrány v tomto odstavci. ejdříve jsou staženy historické časové řady deseti burzovních indexů s denní periodicitou za posledních deset ( ). ásledně jsou ceny burzovních indexů přepočteny na spojité výnosy dle vzorce (2.3), jelikož výnosy mají vhodnější statistické vlastnosti než ceny. Poté jsou z výnosů vypočteny základní popisné statistiky jako střední hodnota dle vzorce (2.4), směrodatná odchylka (2.6), šikmost (2.7) a špičatost (2.8). Časovým horizontem držení je 1 den, dále pak 10 dní a 20 dní. K zjištění odhadu je využita metoda Monte Carlo pro scénářů. a simulaci Monte Carlo jsou aplikována dvě rozdělení pravděpodobnosti. Prvním z nich je normální rozdělení, v němž jsou vygenerována náhodná čísla z normovaného normálního rozdělení se střední 32