OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

Transkript

1 Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty, kdy každý uzel grafu avštívíme právě jedou a pak se vrátíme do výchozího místa. V úloze obchodího cestujícího hledáme Hamiltoův cyklus s miimálím součtem ohodoceí hra. EULERŮV TAH JE TAH, KTERÝ OBSAHUJE KAŽDOU HRANU PRÁVĚ JEDNOU. EULERŮV CYKLUS JE TAKOVÝ CYKLUS, KDY KAŽDOU HRANOU V GRAFU PROJDEME PRÁVĚ JEDNOU, A PAK SE VRÁTÍME DO VÝCHOZÍHO MÍSTA. SETKÁVÁME SE S NÍM V ÚLOZE ČÍNSKÉHO LISTONOŠE. FLEURYHO ALGORITMUS je algoritmus pro hledáí Eulerova cyklu. Ve STATICKÝCH ÚLOHÁCH záme všechy požadavky předem, v DYNAMICKÝCH ÚLOHÁCH po výjezdu vozidel přicházejí další požadavky. V OKRUŽNÍCH ÚLOHÁCH euvažujeme velikost požadavků, zatímco v ROZVOZNÍCH ÚLOHÁCH ao, takže zde hraje roli i kapacita vozidla. OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ (TRAVELLING SALESMAN PROBLEM) Uvažujme situaci, kdy máme zadáo výchozí místo a uzly 2,3 představující zákazíky, které musíme avštívit. Jejichž požadavky jsou ulové, čímž se myslí, že zde epracujeme s omezeími a kapacitu vozidla. Vzdáleost mezi uzly i a j začíme c ij. Matici vzdáleostí C získáme tak, že určíme ejkratší možou cestu mezi každou dvojicí uzlů, a to ať už jsou přímo spojey hraou, ebo e (v tom případě musíme zkrátka jet přes jiý uzel jako bychom dodefiovali umělou hrau, jejíž délka se rová ejkratší vzdáleosti mezi těmito uzly). Naším cílem je avštívit všechy zákazíky a vrátit se do výchozího místa tak, aby délka trasy byla miimálí. Jiak řečeo, chceme ajít Hamiltoův cyklus s miimálím součtem ohodoceí hra. Úloha obchodího cestujícího patří mezi NP-hard úlohy. Už pro pouhých 10 uzlů existuje přes sto tisíc růzých cest. Leka Fiřtová (2014)

2 Úloha obchodího cestujícího Zavedeme proměou x ij, která se bude rovat 1, pokud pojedeme z uzlu i do j, jiak 0. Úloha obchodího cestujícího může být formulováa jako symetrická ebo esymetrická. V symetrické úloze je matice vzdáleostí symetrická, tedy pro každou dvojici uzlů platí, že c ij = c ji. Jde vlastě o eorietovaý graf. Co se týče matice vzdáleostí a matice proměých x ij, pracujeme pouze s horí trojúhelíkovou maticí bez diagoály. V esymetrické úloze eí matice ákladů symetrická. Náklady a dopravu z i do j mohou být jié ež áklady a dopravu z j do i (apříklad se ěkde mohou vyskytovat jedosměrky apod.). V modelu existují jak proměé x ij, tak x ji, pracujeme s celou maticí. Jde o orietovaý graf. Symetrickou úlohu lze řešit i jako esymetrickou, aopak to ale eplatí. MODEL PRO NESYMETRICKOU ÚLOHU FORMULUJEME NÁSLEDOVNĚ: z = i=1 j=1 c ij x ij mi Sažíme se, aby součet vzdáleostí byl miimálí. j=1 x ij = 1 i = 1,2 (1) Pro každý uzel musí platit, že z ěj právě jedou vyjedeme. i=1 x ij = 1 j = 1,2 (2)Pro každý uzel musí platit, že do ěj právě jedou vjedeme. x ij {0, 1} i, j = 1,2 (3) Pojedeme z uzlu i do uzlu j? Problém takto formulovaé úlohy je, že by ve výsledém řešeí mohlo vzikout ěkolik parciálích cyklů, a proto je uté do úlohy ještě přidat tzv. aticyklické podmíky. Například uvažujme ásledující graf (bude použit i v dalším příkladu, takže je dobré se a ěj podívat pořádě). Bez aticyklických podmíek by řešeí vypadalo ásledově: Leka Fiřtová (2014)

3 Úloha obchodího cestujícího Tohle eí řešeí, které chceme. Proto je potřeba přidat ěkterou z ásledujících aticyklických podmíek: Miller-Tucker-Zemli: Zavedeme proměou u, která určuje pořadí uzlu ve výsledé optimálí trase. Aby řešeí emohlo obsahovat parciálí cykly, musí platit ásledující podmíka: u i u j + x ij 1 i = 1,2, j = 2,3, i j V příkladu uvedeém výše máme 5 uzlů, tz. = 5. Pokud epojedeme z uzlu i do uzlu j (tz. x ij = 0), bude podmíka splěa vždy. Pokud z uzlu i do uzlu j pojedeme, musí platit: pořadí uzlu j pořadí uzlu i 1 Jestliže má toto platit pro všechy uzly i = 1,2, j = 2,3, i j, pak emohou vzikout parciálí cykly. Řešeí příkladu výše po zahrutí uvedeé podmíky vypadá ásledově: Datzig-Fulkerso-Johaso Ozačme V možiu všech uzlů a U podmožiu tvořeou ěkterými z těchto uzlů. Aticyklickou podmíku můžeme zapsat takto: iu ju x ij U 1, U V, 2 U 2 V příkladu výše, kde = 5, existuje 10 možých podmoži s alespoň dvěma a ejvýše třemi uzly. U = 2: (1,2), (1,3), (1,4),(1,5),(2,3),(2,4), (2,5),(3,4),(3,5),(4,5) U = 3: (1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5) Podmožiami se čtyřmi uzly se emusíme zabývat: mimo tuto podmožiu by byl je jede zbývající uzel, kde cyklus vzikout emůže. Podmíka vlastě říká, že mezi uzly daé podmožiy musíme jet méěkrát, ež kolik jich v této podmožiě je. Například mezi třemi uzly emůžeme jet třikrát, ale ejvýše dvakrát. A to musí platit pro všechy podmožiy o velikosti alespoň 2 a ejvýše 2. Tak třeba v podmožiě (1,2,3) díky tomu emůže vzikout parciálí cyklus, protože pokud by vzikl apříklad cyklus jako a obrázku výše, pak by x 12 + x 23 + x 13 = 3 ebylo meší ebo rovo U 1 = 2. Podmíku můžeme zapsat i takto: x 1, U V, 2 U 2 iu ij jv U V této formě podmíka říká, že aspoň mezi jedím uzlem z daé podmožiy a jedím uzlem mimo daou podmožiu musí existovat hraa, po které pojedeme. Například parciálí cykly (1,2,3) a (4,5) tudíž emohou vzikout, protože ai jeda z proměých x 14, x 15, x 51, x 41, x 24, x 42, x 25, x 52, x 34, x 43, x 35,x 53 eí rova jedé, takže jejich součet eí větší ebo rove 1. Leka Fiřtová (2014)

4 Úloha obchodího cestujícího!uvažujme výše uvedeý příklad zázorěý v grafu. Naším úkolem je formulovat úlohu jako esymetrický model obchodího cestujícího spustitelý v Ligu (šlo by to formulovat i jako symetrická úloha). model: sets: uzel/1..5/:poradi; cesta(uzel,uzel):aklady,x; edsets data:!pracujeme s celou maticí ákladů (formulovao jako esymetrická úloha); aklady = ; eddata mi aklady*x); x(i,j)) = 1);!do každého uzlu jedou vjedeme a jedou z x(i,j)) = j#ne#1#and#i#ne#j: poradi(i) - poradi(j) + 5*x(i,j) <=4);!smyčkové @for(cesta(i,j) i#eq#j: x(i,j) = 0); ed Leka Fiřtová (2014)

5 Úloha obchodího cestujícího MODEL PRO SYMETRICKOU ÚLOHU FORMULUJEME NÁSLEDOVNĚ: Zavedeme opět proměou x ij, která se bude rovat 1, pokud pojedeme z uzlu i do j, jiak 0. Pracujeme ale pouze s proměými, kde i = 1,2-1, j = i+1,i+2. 1 z = i=1 j=i+1 c ij x ij mi Sažíme se, aby byl součet ujeté vzdáleosti miimálí. Pracujeme pouze s horí trojúhelíkovou maticí. i 1 j=1 x ji + k=i+1 x ik = 2 i = 1,2 (1) Pro každý uzel musí platit, že do ěj právě jedou vjedeme a jedou z ěj vyjedeme. Proto apříklad pro 5 uzlů musí mezi proměými x12,x13,x14,x15 být právě dvě rovy jedé, protože do uzlu 1 musíme jedou přijet a jedou z ěj vyjet. x ij {0, 1} i = 1,2-1, j = i+1,i+2 (2) Pojedeme z uzlu i do uzlu j? xij U 1, U V, 3 U 3, iu ju i j (3) Posledí podmíkou je opět aticyklická podmíka. Ad podmíka (1): apříklad pro 5 uzlů bychom v matici proměých sčítali takto: Ad podmíka (3): Aticyklická podmíka odpovídá jedé z aticyklických podmíek esymetrické úlohy, je v í jsou trojky místo dvojek. Důvod je te, že ai mezi dvěma uzly emůže v symetrické úloze vzikout parciálí cyklus, protože v modelu jsou orietovaé hray, takže pro vzik cyklu potřebujeme uzly alespoň tři. Existují určité speciálí typy úlohy obchodího cestujícího. V metrické úloze obchodího cestujícího musí pro všecha i, j, k platit erovost c ij + c jk c ik. V Euklidovské úloze obchodího cestujícího musí platit vztah c ij = (X i X j ) 2 + (Y i Y j ) 2, kde X i, X j jsou souřadice uzlu X, Y i, Y j pak souřadice bodu Y. V otevřeé úloze obchodího cestujícího se vozidlo evrací do výchozího místa. Leka Fiřtová (2014)

6 Úloha obchodího cestujícího V úloze s časovými oky avíc obchodí cestující musí avštívit zákazíky pouze v určitém časovém itervalu. Začátek a koec itervalu požadovaé doby ávštěvy pro i-tého zákazíka ozačme a i, b i, tz. zákazíka musíme avštívit v časovém okě <a i,b i>. K matici c ij musíme mít tudíž avíc k dispozici matici d ij, v íž budou iformace o době přejezdu mezi jedotlivými uzly. Zavedeme proměou x ij, která se bude rovat 1, pokud pojedeme z uzlu i do j, jiak 0. Dále zavedeme proměou t i, což bude čas, v ěmž je avštíve uzel i. Celý model má tvar: z = i=1 j=1 c ij x ij mi Sažíme se, aby součet vzdáleostí byl miimálí. j=1 x ij = 1 i = 1,2 (1) Pro každý uzel musí platit, že z ěj právě jedou vyjedeme. i=1 x ij = 1 j = 1,2 (2)Pro každý uzel musí platit, že do ěj právě jedou vjedeme. x ij {0, 1} i, j = 1,2 (3) Pojedeme přes z uzlu i do uzlu j? t1 = 0 (4) Čas výjezdu astavíme a ulu. ai ti bi i = 2,3 (5) Pro všechy uzly (kromě prvího) musí platit, že čas, ve kterém jej avštívíme, spadá do požadovaého časového oka. ti + dij M(1 xij) tj i = 1,2, j = 2,3, i j (6) M je ějaké velké číslo, apříklad by to mohlo být Pokud ejedeme z i do j, pak bude xij = 0 a podmíka bude splěa vždy. Pokud ale pojedeme z i do j, pak musí platit, že uzel j eavštívíme dříve, ež kolik čií čas ávštěvy uzlu i plus doba přejezdu z i do j. ZDROJE: Ig. J. Fábry, Ph.D.: předášky 4EK314 Diskrétí modely, Leka Fiřtová (2014)