Data Envelopment Analysis (Analýza obalu dat)

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Data Envelopment Analysis (Analýza obalu dat)"

Lenka Moravcová
před 8 lety
Počet zobrazení:

1 Data Envelopment Analysis (Analýza obalu dat) Martin Branda Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Optimalizace s aplikací ve financích Martin Branda (KPMS MFF UK) DEA 1 / 24

Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky

2 Motivace 3 firmy: Suroviny (vstupy) Výrobky (výstupy) Která pracuje nejlépe efektivně eficientně? tedy (asi) firma > 11 6 > 5 3, Co když je vstupů a výstupů více? Co když zdvojnásobením vstupů nemůžu zdvojnásobit výrobu? Martin Branda (KPMS MFF UK) DEA 2 / 24

7 3 > 11 6 > 5 3, Co když je vstupů a výstupů více?

3 Decision Making Units Homogenní jednotky Decision Making Units (DMU) j = 1,..., n Vstupy X = {x ij }, i = 1,..., m (preferujeme nižší hodnoty) Výstupy Y = {y rj }, r = 1,..., s (preferujeme vyšší hodnoty) Předpokládáme, že data jsou kladná. Martin Branda (KPMS MFF UK) DEA 3 / 24

4 Příklad bankovní pobočky Vstupy počet zaměstnanců (dále děleno dle kvalifikace: junior, senior, vedoucí) Výstupy rozloha pobočky nemzdové náklady počet uzavřených smluv (běžný účet, hypotéka, spotřebitelská půjčka, pojištění) počet nově získaných klientů Martin Branda (KPMS MFF UK) DEA 4 / 24

náklady počet uzavřených smluv (běžný účet, hypotéka, spotřebitelská

5 Příklad fakulty Vstupy počet zaměstnanců (dále děleno dle kvalifikace: asistent, docent, profesor) Výstupy počet studentů, kteří nastoupí do 1. ročníku počet vědeckých publikací počet absolventů (Bc., Mgr., Ph.D.) Martin Branda (KPMS MFF UK) DEA 5 / 24

6 Charnes Cooper Rhodes (CCR) model Lineárně frakcionální formulace Posouzení eficience jednotky 0 {1,..., n} s r=1 max u r y r0 m u r,v i i=1 v ix i0 s.t. s r=1 u r y rj m i=1 v 1, j = 1,..., n, ix ij u r 0, r = 1,..., s, v i 0, i = 1,..., m. Jednotka 0 je eficientní, právě když je optimální hodnota rovna jedné. Každá jednotka dostane pro ni nejvýhodnější váhy. Martin Branda (KPMS MFF UK) DEA 6 / 24

.., n, ix ij u r 0, r = 1,..., s, v i 0, i = 1,..., m.

7 Charnesova Cooperova transformace Položíme t = 1 m i=1 v ix i0, ũ r = t u r, ṽ i = t v i. Martin Branda (KPMS MFF UK) DEA 7 / 24

8 Charnes Cooper Rhodes (CCR) model Multiplikátorová forma Po Charnesově Cooperově transformaci LP: max u r,v i s u r y rj r=1 s u r y r0 r=1 s.t. m v i x i0 = 1, i=1 m v i x ij 0, j = 1,..., n, i=1 u r 0, r = 1,..., s, v i 0, i = 1,..., m. Martin Branda (KPMS MFF UK) DEA 8 / 24

r y r0 r=1 s.t. m v i x i0 = 1, i=1 m v i x ij 0, j = 1,.

9 Charnes Cooper Rhodes (CCR) model Dualita v LP (na cvičení)... Martin Branda (KPMS MFF UK) DEA 9 / 24

10 Charnes Cooper Rhodes (CCR) model Duální (obalová) forma min θ θ,λ j s.t. λ j x ij θx i0, i = 1,..., m, λ j y rj y r0, r = 1,..., s, Model orientovaný na vstupy. λ j 0, j = 1,..., n. Martin Branda (KPMS MFF UK) DEA 10 / 24

11 Charnes Cooper Rhodes (CCR) model Multiplikátorová forma Infisimální ε > 0, aby byly všechny vstupy a výstupy zahrnuty max u r,v i s u r y rj r=1 s u r y r0 r=1 s.t. m v i x i0 = 1, i=1 m v i x ij 0, j = 1,..., n, i=1 u r ε, r = 1,..., s, v i ε, i = 1,..., m. Martin Branda (KPMS MFF UK) DEA 11 / 24

u r y r0 r=1 s.t. m v i x i0 = 1, i=1 m v i x ij 0, j = 1,.

12 Charnes Cooper Rhodes (CCR) model Duální (obalová) forma min θ,λ j,s i,s r + ( m θ ε s i + i=1 s r=1 s.t. λ j x ij + s i = θx i0, i = 1,..., m, λ j y rj s r + = y r0, r = 1,..., s, λ j 0, j = 1,..., n, s i 0, i = 1,..., m, s + r 0, r = 1,..., s. s + r ) Martin Branda (KPMS MFF UK) DEA 12 / 24

13 Klasifikace jednotek Nechť θ, s i, s r + je optimální řešení, potom jednotka je Neeficientní θ < 1. Slabě eficientní θ = 1 a existuje s i > 0 nebo s r + > 0. Silně eficientní θ = 1 a všechny s i = 0 nebo s r + = 0. Martin Branda (KPMS MFF UK) DEA 13 / 24

14 Production possibility set Množina možných produktů PPS = (x, y) : x i = λ j x ij, y r = λ j y rj, λ j 0 Martin Branda (KPMS MFF UK) DEA 14 / 24

15 Výnosy z rozsahu Rostou se vstupy proporcionálně i výstupy? Tj. (x, y) PPS, α > 0 = (αx, αy) PPS? Platí-li, konstantní výnosy z rozsahu (Constant Returns to Scale CRS). Neplatí-li, variabilní výnosy z rozsahu (Variable Returns to Scale VRS): PPS VRS = (x, y) : x i = λ j x ij, y r = λ j y rj, λ j = 1, λ j 0 Martin Branda (KPMS MFF UK) DEA 15 / 24

Platí-li, konstantní výnosy z rozsahu (Constant Returns to Scale CRS).

16 Výnosy z rozsahu Martin Branda (KPMS MFF UK) DEA 16 / 24

17 Výnosy z rozsahu Z obrázku vidíme: CRS nejmenší konvexní kužel obsahující data VRS horní konvexní obal dat Martin Branda (KPMS MFF UK) DEA 17 / 24

18 Příklad 3 firmy Položme ε = 0 CRS eficientní: firma 1 f1: θ = 1 f2: θ = f3: θ = VRS eficientní: firmy 1 a 2 f1: θ = 1 f2: θ = 1 f3: θ =? Suroviny (vstupy) Výrobky (výstupy) Martin Branda (KPMS MFF UK) DEA 18 / 24

714 VRS eficientní: firmy 1 a 2 f1: θ = 1 f2: θ = 1 f3: θ =?

19 Příklad 3 firmy Položme ε = 0 CRS eficientní: firma 1 f1: θ = 1 f2: θ = f3: θ = VRS eficientní: firmy 1 a 2 i Suroviny (vstupy) Výrobky (výstupy) f1: θ = 1 f2: θ = 1 f3: θ = 1 (vstupy už nejdou zlepšit model orientovaný na výstupy) Martin Branda (KPMS MFF UK) DEA 19 / 24

714 VRS eficientní: firmy 1 a 2 i 3 1 2 3 Suroviny (vstupy) 3 6 3 Výrobky

20 Banker Charnes Cooper (BCC) model Duální (obalová) forma orientace na vstupy min θ,λ j,s i,s r + ( m θ ε s i + i=1 s r=1 s.t. λ j x ij + s i = θx i0, i = 1,..., m, λ j y rj s r + = y r0, r = 1,..., s, λ j = 1, s + r λ j 0, s i 0, s + r 0. ) Martin Branda (KPMS MFF UK) DEA 20 / 24

21 Banker Charnes Cooper (BCC) model Duální (obalová) forma orientace na výstupy max ϕ,λ j,s i,s r + ( m ϕ + ε s i + i=1 s r=1 s.t. λ j x ij + s i = x i0, i = 1,..., m, λ j y rj s r + = ϕy r0, r = 1,..., s, λ j = 1, s + r λ j 0, s i 0, s + r 0. ) Martin Branda (KPMS MFF UK) DEA 21 / 24

22 Tone (2001) slack-based model min λ j,s i,s r + 1 1/m m i=1 s i /x i /s s r=1 s+ r /y r0 s.t. λ j x ij + s i = x i0, i = 1,..., m, λ j y rj s r + = y r0, r = 1,..., s, λ j 0, s i 0, s + r 0. Charnesova Cooperova transformace na LP (na cvičení). Martin Branda (KPMS MFF UK) DEA 22 / 24

23 Martin Branda (KPMS MFF UK) DEA 23 / 24

24 Literatura Banker, R.D., Charnes, A., Cooper, W. (1984). Some models for estimating technical and scale inefficiencies in Data Envelopment Analysis. Management Science 30 (9), Charnes, A., Cooper, W., Rhodes, E. (1978). Measuring the efficiency of decision-making units. European Journal of Operations Research 2, Cooper, W.W., Seiford, L.M., Zhu, J. (2011). Handbook on data envelopment analysis, Springer, New York. Tone, K. (2001). A slacks-based measure of efficiency in data envelopment analysis. European Journal of Operations Research 130, Martin Branda (KPMS MFF UK) DEA 24 / 24

Podobné dokumenty

Analýza obalu dat úvod

Analýza obalu dat úvod Jana Klicnarová Katedra aplikované matematiky a informatiky Jihočeská Univerzita v Českých Budějovicích, Ekonomická fakulta 2010 Analýza obalu dat (DEA) Analýza obalu dat (Data envelopement