Úvod do celočíselné optimalizace

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Úvod do celočíselné optimalizace"

Transkript

1 Úvod do celočíselné optimalizace Martin Branda Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Výpočetní aspekty optimalizace Martin Branda (KPMS MFF UK) 1 / 32

2 Proč celočíselnost? Reálné celočíselné optimalizační úlohy Optimalizace portfolia celočíselné alokace aktiv, (fixní) transakční náklady Rozvrhování celočíselné (binární) rozhodnutí, zda úlohu zpracuje daný stroj Úlohy rozvozu (VRP) binární proměnné pro identifikace následujícího zákazníka na cestě... Obecněji modelování splnění logických relací, např. alespoň dvě ze tří omezení jsou splněné, nakoupíme-li danou akcii, zvýší se fixní transakční náklady,... Martin Branda (KPMS MFF UK) 2 / 32

3 Proč celočíselnost? Reálné celočíselné optimalizační úlohy Optimalizace portfolia celočíselné alokace aktiv, (fixní) transakční náklady Rozvrhování celočíselné (binární) rozhodnutí, zda úlohu zpracuje daný stroj Úlohy rozvozu (VRP) binární proměnné pro identifikace následujícího zákazníka na cestě... Obecněji modelování splnění logických relací, např. alespoň dvě ze tří omezení jsou splněné, nakoupíme-li danou akcii, zvýší se fixní transakční náklady,... Martin Branda (KPMS MFF UK) 2 / 32

4 Formulace a vlastnosti Úloha celočíselného lineárního programování min c T x (1) Ax b, (2) x Z n +. (3) Předpoklad: všechny koeficienty jsou celočíselné (racionální před vynásobením vhodnými konstantami). Množinu přípustných řešení a její relaxaci označíme S = {x Z n + : Ax b}, (4) P = {x R n + : Ax b} (5) Triviálně S P. Ne již tak triviálně S conv(s) P Martin Branda (KPMS MFF UK) 3 / 32

5 Formulace a vlastnosti Úloha celočíselného lineárního programování min c T x (1) Ax b, (2) x Z n +. (3) Předpoklad: všechny koeficienty jsou celočíselné (racionální před vynásobením vhodnými konstantami). Množinu přípustných řešení a její relaxaci označíme S = {x Z n + : Ax b}, (4) P = {x R n + : Ax b} (5) Triviálně S P. Ne již tak triviálně S conv(s) P Martin Branda (KPMS MFF UK) 3 / 32

6 Formulace a vlastnosti Množina přípustných řešení, její relaxace a konvexní obal Š. Škoda: Řešení lineárních úloh s celočíselnými omezeními v GAMSu. Bc. práce MFF UK, Martin Branda (KPMS MFF UK) 4 / 32

7 Formulace a vlastnosti Úloha celočíselného lineárního programování Úloha je ekvivalentní min c T x : x S. (6) min c T x : x conv(s). (7) conv(s) je prakticky velice obtížné zkonstruovat je třeba velké množství omezení (existují výjimky). LP-relaxace: min c T x : x P. (8) Martin Branda (KPMS MFF UK) 5 / 32

8 Formulace a vlastnosti Úloha celočíselného lineárního programování Úloha je ekvivalentní min c T x : x S. (6) min c T x : x conv(s). (7) conv(s) je prakticky velice obtížné zkonstruovat je třeba velké množství omezení (existují výjimky). LP-relaxace: min c T x : x P. (8) Martin Branda (KPMS MFF UK) 5 / 32

9 Formulace a vlastnosti Úloha celočíselného lineárního programování Úloha je ekvivalentní min c T x : x S. (6) min c T x : x conv(s). (7) conv(s) je prakticky velice obtížné zkonstruovat je třeba velké množství omezení (existují výjimky). LP-relaxace: min c T x : x P. (8) Martin Branda (KPMS MFF UK) 5 / 32

10 Formulace a vlastnosti Úloha smíšeného celočíselného lineárního programování Mixed-integer linear programming Časté jsou úlohy smíšené (NEBUDEME UVAŽOVAT) min c T x + d T y (9) Ax + By b, (10) x Z n +, y R n +. (11) Martin Branda (KPMS MFF UK) 6 / 32

11 Formulace a vlastnosti Základní postupy řešení Ukážeme si: Metoda sečných nadrovin (Cutting Plane Method) Metoda větvení a mezí (Branch-and-Bound) Metody kombinující předešlé, např. Branch-and-Cut. Martin Branda (KPMS MFF UK) 7 / 32

12 Formulace a vlastnosti Základní postupy řešení Ukážeme si: Metoda sečných nadrovin (Cutting Plane Method) Metoda větvení a mezí (Branch-and-Bound) Metody kombinující předešlé, např. Branch-and-Cut. Martin Branda (KPMS MFF UK) 7 / 32

13 Metoda sečných nadrovin Metoda sečných nadrovin Gomoryho řezy 1. Vyřešíme LP-relaxaci (primárním nebo duálním) SIMPLEXovým algoritmem. Řešení je celočíselné KONEC, máme opti. řešení, jinak pokračuj dalším krokem. 2. Přidáme Gomoryho řez (...) a výslednou úlohu řešíme duálním SIMPLEXem. Martin Branda (KPMS MFF UK) 8 / 32

14 Metoda sečných nadrovin Metoda sečných nadrovin Gomoryho řezy 1. Vyřešíme LP-relaxaci (primárním nebo duálním) SIMPLEXovým algoritmem. Řešení je celočíselné KONEC, máme opti. řešení, jinak pokračuj dalším krokem. 2. Přidáme Gomoryho řez (...) a výslednou úlohu řešíme duálním SIMPLEXem. Martin Branda (KPMS MFF UK) 8 / 32

15 Gomoryho řez Metoda sečných nadrovin Existuje řádek v simplexové tabulce odpovídající neceločíselnému řešení x i ve tvaru x i + j N w ij x j = d i, (12) kde N značí množinu indexů nebazických proměnných; d i je neceločíselné. Označíme w ij = w ij + f ij, (13) d i = d i + f i, (14) tj. 0 f ij, f i < 1. Gomoryho řez je poté f ij x j f i, (15) j N resp. j N f ijx j + s = f i, s 0. Martin Branda (KPMS MFF UK) 9 / 32

16 Gomoryho řez Metoda sečných nadrovin Existuje řádek v simplexové tabulce odpovídající neceločíselnému řešení x i ve tvaru x i + j N w ij x j = d i, (12) kde N značí množinu indexů nebazických proměnných; d i je neceločíselné. Označíme w ij = w ij + f ij, (13) d i = d i + f i, (14) tj. 0 f ij, f i < 1. Gomoryho řez je poté f ij x j f i, (15) j N resp. j N f ijx j + s = f i, s 0. Martin Branda (KPMS MFF UK) 9 / 32

17 Gomoryho řez Metoda sečných nadrovin Obecné vlastnosti řezů (i Gomoryho): Aktuální (neceločíselné) řešení se stane nepřípustným ( odřízne se ) Žádné celočíselné řešení se nestane nepřípustných ( neodřízne se ) Martin Branda (KPMS MFF UK) 10 / 32

18 Metoda sečných nadrovin Gomoryho řez vlastnost 1 Omezení vyjádříme ve tvaru x i + j N( w ij + f ij )x j = d i + f i, (16) x i + j N w ij x j d i = f i j N f ij x j. (17) Aktuální řešení x j = 0 pro j N a x i = d i je neceločíselné, tj. 0 < x i d i < 1, tedy 0 < x i d i = f i j N f ij x j (18) a f ij xj < f i, (19) j N což je ve sporu s Gomoryho řezem. Martin Branda (KPMS MFF UK) 11 / 32

19 Metoda sečných nadrovin Gomoryho řez vlastnost 2 Uvažujme libovolné přípustné celočíselné řešení a přepis omezení x i + w ij x j d i = f i f ij x j, (20) j N j N Levá strana (LS) je celočíselná, tedy i pravá strana (PS) je celočíselná. Navíc f i < 1 a j N f ijx j 0, tedy PS je ostře menší než 1 a zároveň celočíselná, tedy menší nebo rovna než 0, tj. dostáváme Gomoryho řez f i j N f ij x j 0. (21) Každé přípustné celočíselné řešení ho splňuje. Martin Branda (KPMS MFF UK) 12 / 32

20 Metoda sečných nadrovin Průběh algoritmu sečných nadrovin Š. Škoda: Řešení lineárních úloh s celočíselnými omezeními v GAMSu. Bc. práce MFF UK, Martin Branda (KPMS MFF UK) 13 / 32

21 Dantzigovy řezy Metoda sečných nadrovin x j 1. (22) j N (Připomeňme, že nebazické proměnné jsou nulové.) Martin Branda (KPMS MFF UK) 14 / 32

22 Příklad Metoda sečných nadrovin min 4x 1 + 5x 2 (23) x 1 + 4x 2 5, (24) 3x 1 + 2x 2 7, (25) x 1, x 2 Z n +. (26) Duální simplex pro LP-relaxaci... Martin Branda (KPMS MFF UK) 15 / 32

23 Metoda sečných nadrovin Po dvou iteracích duálního SIMPLEXového algoritmu x 1 x 2 x 3 x 4 5 x 2 8/ /10 1/10 4 x 1 18/ /10-4/10 112/ /10-11/10 Nesplňuje celočíselnost, např. omezení pro x 1 : Gomoryho řez: x 1 + 2/10x 3 4/10x 4 = 18/10, x 1 + (0 + 2/10)x 3 + ( 1 + 6/10)x 4 = 1 + 8/10. 2/10x 3 + 6/10x 4 8/10. Martin Branda (KPMS MFF UK) 16 / 32

24 Metoda sečných nadrovin Po dvou iteracích duálního SIMPLEXového algoritmu x 1 x 2 x 3 x 4 5 x 2 8/ /10 1/10 4 x 1 18/ /10-4/10 112/ /10-11/10 Nesplňuje celočíselnost, např. omezení pro x 1 : Gomoryho řez: x 1 + 2/10x 3 4/10x 4 = 18/10, x 1 + (0 + 2/10)x 3 + ( 1 + 6/10)x 4 = 1 + 8/10. 2/10x 3 + 6/10x 4 8/10. Martin Branda (KPMS MFF UK) 16 / 32

25 Metoda sečných nadrovin Po dvou iteracích duálního SIMPLEXového algoritmu x 1 x 2 x 3 x 4 5 x 2 8/ /10 1/10 4 x 1 18/ /10-4/10 112/ /10-11/10 Nesplňuje celočíselnost, např. omezení pro x 1 : Gomoryho řez: x 1 + 2/10x 3 4/10x 4 = 18/10, x 1 + (0 + 2/10)x 3 + ( 1 + 6/10)x 4 = 1 + 8/10. 2/10x 3 + 6/10x 4 8/10. Martin Branda (KPMS MFF UK) 16 / 32

26 Metoda sečných nadrovin Aktualizovaná simplexová tabulka Duální simplex x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 5 x 2 8/ /10 1/ x 1 18/ /10-4/ x 5-8/ /10-6/ / /10-11/10 0 Martin Branda (KPMS MFF UK) 17 / 32

27 Metoda větvení a mezí Metoda větvení a mezí (Branch-and-Bound) Obecné principy: Řeš úlohy LP bez celočíselnosti. Větvi pomocí dodatečných podmínek na neceločíselnou proměnnou x i x i, x i x i + 1. Odřízni neperspektivní větve. Martin Branda (KPMS MFF UK) 18 / 32

28 Metoda větvení a mezí Metoda větvení a mezí P. Pedegral (2004). Introduction to optimization, Springer-Verlag, New York. Martin Branda (KPMS MFF UK) 19 / 32

29 Metoda větvení a mezí Metoda větvení a mezí (Branch-and-Bound) 0. f min =, x min =, seznam úloh P = Vyřeš LP-relaxaci úlohy f, x. Je-li řešení celočíselné, STOP. Je-li úloha nepřípustná nebo neomezená, STOP. 1. BRANCHING: Existuje x i bazická neceločíselná proměnná taková, že k < x i < k + 1 pro nějaké k N: K předešlém problému přidáme omezení x i k a zařadíme do P. K předešlém problému přidáme omezení x i k + 1 a zařadíme do P. 2. Vyjmi problém z P a vyřeš ho: f, x. 3. Je-li f < f min a x porušuje celočíselnost, jdi na 1. BOUNDING: Je-li f < f min a x je celočíselné, polož f min = f a x min = x, jdi na 4. BOUNDING: Je-li f f min, jdi na 4. Úloha je nepřípustná, jdi na Je-li P, jdi na 2. Je-li P = a f min =, celočíselné řešení neexistuje. Je-li P = a f min <, optimální hodnota a řešení jsou f min, x min. Martin Branda (KPMS MFF UK) 20 / 32

30 Metoda větvení a mezí Metoda větvení a mezí (Branch-and-Bound) 0. f min =, x min =, seznam úloh P = Vyřeš LP-relaxaci úlohy f, x. Je-li řešení celočíselné, STOP. Je-li úloha nepřípustná nebo neomezená, STOP. 1. BRANCHING: Existuje x i bazická neceločíselná proměnná taková, že k < x i < k + 1 pro nějaké k N: K předešlém problému přidáme omezení x i k a zařadíme do P. K předešlém problému přidáme omezení x i k + 1 a zařadíme do P. 2. Vyjmi problém z P a vyřeš ho: f, x. 3. Je-li f < f min a x porušuje celočíselnost, jdi na 1. BOUNDING: Je-li f < f min a x je celočíselné, polož f min = f a x min = x, jdi na 4. BOUNDING: Je-li f f min, jdi na 4. Úloha je nepřípustná, jdi na Je-li P, jdi na 2. Je-li P = a f min =, celočíselné řešení neexistuje. Je-li P = a f min <, optimální hodnota a řešení jsou f min, x min. Martin Branda (KPMS MFF UK) 20 / 32

31 Metoda větvení a mezí Metoda větvení a mezí (Branch-and-Bound) 0. f min =, x min =, seznam úloh P = Vyřeš LP-relaxaci úlohy f, x. Je-li řešení celočíselné, STOP. Je-li úloha nepřípustná nebo neomezená, STOP. 1. BRANCHING: Existuje x i bazická neceločíselná proměnná taková, že k < x i < k + 1 pro nějaké k N: K předešlém problému přidáme omezení x i k a zařadíme do P. K předešlém problému přidáme omezení x i k + 1 a zařadíme do P. 2. Vyjmi problém z P a vyřeš ho: f, x. 3. Je-li f < f min a x porušuje celočíselnost, jdi na 1. BOUNDING: Je-li f < f min a x je celočíselné, polož f min = f a x min = x, jdi na 4. BOUNDING: Je-li f f min, jdi na 4. Úloha je nepřípustná, jdi na Je-li P, jdi na 2. Je-li P = a f min =, celočíselné řešení neexistuje. Je-li P = a f min <, optimální hodnota a řešení jsou f min, x min. Martin Branda (KPMS MFF UK) 20 / 32

32 Metoda větvení a mezí Metoda větvení a mezí (Branch-and-Bound) 0. f min =, x min =, seznam úloh P = Vyřeš LP-relaxaci úlohy f, x. Je-li řešení celočíselné, STOP. Je-li úloha nepřípustná nebo neomezená, STOP. 1. BRANCHING: Existuje x i bazická neceločíselná proměnná taková, že k < x i < k + 1 pro nějaké k N: K předešlém problému přidáme omezení x i k a zařadíme do P. K předešlém problému přidáme omezení x i k + 1 a zařadíme do P. 2. Vyjmi problém z P a vyřeš ho: f, x. 3. Je-li f < f min a x porušuje celočíselnost, jdi na 1. BOUNDING: Je-li f < f min a x je celočíselné, polož f min = f a x min = x, jdi na 4. BOUNDING: Je-li f f min, jdi na 4. Úloha je nepřípustná, jdi na Je-li P, jdi na 2. Je-li P = a f min =, celočíselné řešení neexistuje. Je-li P = a f min <, optimální hodnota a řešení jsou f min, x min. Martin Branda (KPMS MFF UK) 20 / 32

33 Metoda větvení a mezí Metoda větvení a mezí (Branch-and-Bound) 0. f min =, x min =, seznam úloh P = Vyřeš LP-relaxaci úlohy f, x. Je-li řešení celočíselné, STOP. Je-li úloha nepřípustná nebo neomezená, STOP. 1. BRANCHING: Existuje x i bazická neceločíselná proměnná taková, že k < x i < k + 1 pro nějaké k N: K předešlém problému přidáme omezení x i k a zařadíme do P. K předešlém problému přidáme omezení x i k + 1 a zařadíme do P. 2. Vyjmi problém z P a vyřeš ho: f, x. 3. Je-li f < f min a x porušuje celočíselnost, jdi na 1. BOUNDING: Je-li f < f min a x je celočíselné, polož f min = f a x min = x, jdi na 4. BOUNDING: Je-li f f min, jdi na 4. Úloha je nepřípustná, jdi na Je-li P, jdi na 2. Je-li P = a f min =, celočíselné řešení neexistuje. Je-li P = a f min <, optimální hodnota a řešení jsou f min, x min. Martin Branda (KPMS MFF UK) 20 / 32

34 Lépe... Metoda větvení a mezí 2. Vyjmi problém z P a vyřeš ho: f, x. Pokud však pro původní úlohu před přidáním omezení platí f f min pro aktuální f min tak úlohy s přidaným omezením nemá smysl řešit! (Nemůžu dostat menší optimální hodnotu něž f min.) Martin Branda (KPMS MFF UK) 21 / 32

35 Metoda větvení a mezí Metoda větvení a mezí Martin Branda (KPMS MFF UK) 22 / 32

36 Metoda větvení a mezí Metoda větvení a mezí Výběr problému z P: FIFO/LIFO/úloha s nejmenší f. Výběr větvící proměnné xi : největší/nejmenší porušení celočíselnosti nebo největší/nejmenší koeficient v účelové funkci. Martin Branda (KPMS MFF UK) 23 / 32

37 Metoda větvení a mezí Totálně unimodulární matice Totálně unimodulární matice A: pro libovolný celočíselný vektor pravých stran b dostaneme celočíselné řešení, např. dopravní problém. Martin Branda (KPMS MFF UK) 24 / 32

38 Software... i pro nelineární celočíselné Software Prostředí: GAMS, CPlex Studio, Gurobi,... Řešitele: CPlex (pouze MILP, MIQP), Gurobi (MILP, MIQP), Baron, Bonmin (MINLP), Dicopt (MINLP), Knitro (MINLP), Lindo,... Pro náročné úlohy často nutné heuristické a metaheuristické algoritmy (greedy h., genetické alg., tabu search, simulated annealing,... ) Martin Branda (KPMS MFF UK) 25 / 32

39 Software... i pro nelineární celočíselné Software Prostředí: GAMS, CPlex Studio, Gurobi,... Řešitele: CPlex (pouze MILP, MIQP), Gurobi (MILP, MIQP), Baron, Bonmin (MINLP), Dicopt (MINLP), Knitro (MINLP), Lindo,... Pro náročné úlohy často nutné heuristické a metaheuristické algoritmy (greedy h., genetické alg., tabu search, simulated annealing,... ) Martin Branda (KPMS MFF UK) 25 / 32

40 GAMS Software Celočíselné proměnné Integer variables automaticky nezáporné s přednastavenou horní mezí 100 (lze změnit pomocí x.up(i) = 1;)! Binary variables Příkaz SOLVE using MILP MIQCP MINLP Martin Branda (KPMS MFF UK) 26 / 32

41 GAMS nastavení GAMS options Software POZOR na TOLERANCE optimálního řešení (hodnoty) pro celočíselné úlohy. optcr relativní tolerance (implicitně 0.1 bývá příliš velké) optca absolutní rolerance (vypnuta) reslim počet sekund pro řešení (implicitně 1000 bývá málo) nlp = conopt, lp = gurobi, mip = cplex výběr rešitele v kódu Např. OPTIONS optcr= reslim = 3600; Martin Branda (KPMS MFF UK) 27 / 32

42 GAMS nastavení GAMS options Software POZOR na TOLERANCE optimálního řešení (hodnoty) pro celočíselné úlohy. optcr relativní tolerance (implicitně 0.1 bývá příliš velké) optca absolutní rolerance (vypnuta) reslim počet sekund pro řešení (implicitně 1000 bývá málo) nlp = conopt, lp = gurobi, mip = cplex výběr rešitele v kódu Např. OPTIONS optcr= reslim = 3600; Martin Branda (KPMS MFF UK) 27 / 32

43 Úlohy s pravděpodobnostními omezeními Úlohy s pravděpodobnostními omezeními Chance (probabilistic) constrained problems Nechť f, g j (, ξ) : R n R, ξ je reálný náhodný vektor, ε (0, 1) malé: min x X f (x) s.t. P (g 1 (x, ξ) 0,..., g m (x, ξ) 0) 1 ε. Martin Branda (KPMS MFF UK) 28 / 32

44 Úlohy s pravděpodobnostními omezeními Úlohy s pravděpodobnostními omezeními W.M. Raike (1970). Dissection Methods for Solutions in Chance Constrained Programming Problems Under Discrete Distributions. Management Science 16 (11), Má-li ξ konečné diskrétní rozdělení s realizacemi ξ 1,..., ξ S a pnostmi p s. Polož M max j=1,...,m max s=1,...,s sup x X g j(x, ξ s). min x,u f (x) s.t. S s=1 psys 1 ε, g 1(x, ξ s) M(1 y s) 0, s = 1,..., S. g m(x, ξ s) M(1 y s) 0, s = 1,..., S, y s {0, 1}, s = 1,..., S, x X. (27) Velká úloha mixed-celočíselné optimalizace... Martin Branda (KPMS MFF UK) 29 / 32

45 Úlohy s pravděpodobnostními omezeními Value at Risk (VaR) Definice VaR pro náhodnou veličinu udávající ztrátu Z na pstním prostoru (Ω, A, P), hladina α (0, 1), obvykle 0.95, 0.99, 0.995: VaR α(z) = min z z s.t. P(Z z) α. Optimalizace portfolia: P ( min z z,x ) n R ix i z i=1 α, n E[R i] x i r min, i=1 n x i = 1, x i 0, i=1 kde R i je náhodný výnos aktiva i a minimální očekávaný výnos r min je zvolen tak, aby úloha byla přípustná. Martin Branda (KPMS MFF UK) 30 / 32

46 Úlohy s pravděpodobnostními omezeními Value at Risk (VaR) Definice VaR pro náhodnou veličinu udávající ztrátu Z na pstním prostoru (Ω, A, P), hladina α (0, 1), obvykle 0.95, 0.99, 0.995: VaR α(z) = min z z s.t. P(Z z) α. Optimalizace portfolia: P ( min z z,x ) n R ix i z i=1 α, n E[R i] x i r min, i=1 n x i = 1, x i 0, i=1 kde R i je náhodný výnos aktiva i a minimální očekávaný výnos r min je zvolen tak, aby úloha byla přípustná. Martin Branda (KPMS MFF UK) 30 / 32

47 Literatura Úlohy s pravděpodobnostními omezeními M. Branda, M.: Solving real-life portfolio problem using stochastic programming and Monte-Carlo techniques. Proceedings of the 28th International Conference on Mathematical Methods in Economics 2010, P. Pedegral (2004). Introduction to optimization, Springer-Verlag, New York. W.M. Raike (1970). Dissection Methods for Solutions in Chance Constrained Programming Problems Under Discrete Distributions. Management Science 16 (11), Š. Škoda: Řešení lineárních úloh s celočíselnými omezeními v GAMSu. Bc. práce MFF UK, L.A. Wolsey, G.L. Nemhauser, Integer and Combinatorial Optimization. Wiley, New York, Martin Branda (KPMS MFF UK) 31 / 32

48 Úlohy s pravděpodobnostními omezeními Dotazy? branda@karlin.mff.cuni.cz web: branm1am Martin Branda (KPMS MFF UK) 32 / 32

1 Úvod do celočíselné lineární optimalizace

1 Úvod do celočíselné lineární optimalizace Úvod do celočíselné lineární optimalizace Martin Branda, verze 7.. 7. Motivace Reálné (smíšeně-)celočíselné úlohy Optimalizace portfolia celočíselné počty akcií, modelování fixních transakčních nákladů,

Více

4EK213 Lineární modely. 10. Celočíselné programování

4EK213 Lineární modely. 10. Celočíselné programování 4EK213 Lineární modely 10. Celočíselné programování 10.1 Matematický model úlohy ILP Nalézt extrém účelové funkce z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n na soustavě vlastních omezení a 11 x 1 + a 12 x 2 + a

Více

Úvod do úloh plánování rozvozu (Vehicle Routing Problems)

Úvod do úloh plánování rozvozu (Vehicle Routing Problems) Úvod do úloh plánování rozvozu (Vehicle Routing Problems) RNDr. Martin Branda, Ph.D. Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Výpočetní

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování študenti MFF 15. augusta 2008 1 15 Základy lineárního programování Požadavky Simplexová metoda Věty o dualitě (bez důkazu)

Více

Celočíselné lineární programování(ilp)

Celočíselné lineární programování(ilp) Celočíselné lineární programování(ilp) Zdeněk Hanzálek, Přemysl Šůcha {hanzalek}@fel.cvut.cz ČVUT FEL Katedra řídicí techniky 2. března 2010 Z. Hanzálek (ČVUT FEL) Celočíselné lineární programování(ilp)

Více

Metody lineární optimalizace Simplexová metoda. Distribuční úlohy

Metody lineární optimalizace Simplexová metoda. Distribuční úlohy Metody lineární optimalizace Simplexová metoda Dvoufázová M-úloha Duální úloha jednofázová Post-optimalizační analýza Celočíselné řešení Metoda větví a mezí Distribuční úlohy 1 OÚLP = obecná úloha lineárního

Více

4EK212 Kvantitativní management. 2. Lineární programování

4EK212 Kvantitativní management. 2. Lineární programování 4EK212 Kvantitativní management 2. Lineární programování 1.7 Přídatné proměnné Přídatné proměnné jsou nezáporné Mají svoji ekonomickou interpretaci, která je odvozena od ekonomické interpretace omezení

Více

Obecná úloha lineárního programování

Obecná úloha lineárního programování Obecná úloha lineárního programování Úloha Maximalizovat hodnotu c T x (tzv. účelová funkce) za podmínek Ax b (tzv. omezující podmínky) kde A je daná reálná matice typu m n a c R n, b R m jsou dané reálné

Více

4EK213 LINEÁRNÍ MODELY

4EK213 LINEÁRNÍ MODELY 4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 3. přednáška SIMPLEXOVÁ METODA I. OSNOVA PŘEDNÁŠKY Standardní tvar MM Základní věta LP Princip simplexové metody Výchozí řešení SM Zlepšení řešení

Více

11. března Výpočet je založen na prohledávání oblasti zahrnující všechna přípustná řešení [1, 2]. Vzhledem

11. března Výpočet je založen na prohledávání oblasti zahrnující všechna přípustná řešení [1, 2]. Vzhledem Celočíselné lineární programování Přemysl Šůcha 11. března 2004 1 Úvod Celá řada praktických problémů týkajících se optimalizace může být modelována a řešena pomocí integer (coločíselného 1 nebo také diskrétního)

Více

Rozhodovací procedury a verifikace Pavel Surynek, KTIML

Rozhodovací procedury a verifikace Pavel Surynek, KTIML 6 Rozhodovací procedury a verifikace Pavel Surynek, KTIML http://ktiml.mff.cuni.cz/~surynek/nail094 Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova v Praze 1 Lineární aritmetika Budeme zabývat rozhodovacími

Více

13. Lineární programování

13. Lineární programování Jan Schmidt 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Zimní semestr 2011/12 MI-PAA EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND PRAHA & EU: INVESTUJENE DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI

Více

4EK213 LINEÁRNÍ MODELY

4EK213 LINEÁRNÍ MODELY 4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2. PŘEDNÁŠKA MATEMATICKÝ MODEL ÚLOHY LP Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2 OSNOVA PŘEDNÁŠKY Obecná formulace MM Množina

Více

Problém lineární komplementarity a kvadratické programování

Problém lineární komplementarity a kvadratické programování Problém lineární komplementarity a kvadratické programování (stručný učební text 1 J. Rohn Univerzita Karlova Matematicko-fyzikální fakulta Verze: 17. 6. 2002 1 Sepsání tohoto textu bylo podpořeno Grantovou

Více

Otázky ke státní závěrečné zkoušce

Otázky ke státní závěrečné zkoušce Otázky ke státní závěrečné zkoušce obor Ekonometrie a operační výzkum a) Diskrétní modely, Simulace, Nelineární programování. b) Teorie rozhodování, Teorie her. c) Ekonometrie. Otázka č. 1 a) Úlohy konvexního

Více

Parametrické programování

Parametrické programování Parametrické programování Příklad 1 Parametrické pravé strany Firma vyrábí tři výrobky. K jejich výrobě potřebuje jednak surovinu a jednak stroje, na kterých dochází ke zpracování. Na první výrobek jsou

Více

Lineární programování

Lineární programování Lineární programování Petr Tichý 19. prosince 2012 1 Outline 1 Lineární programování 2 Optimalita a dualita 3 Geometrie úlohy 4 Simplexová metoda 2 Lineární programování Lineární program (1) min f(x) za

Více

4EK201 Matematické modelování. 2. Lineární programování

4EK201 Matematické modelování. 2. Lineární programování 4EK201 Matematické modelování 2. Lineární programování 2.1 Podstata operačního výzkumu Operační výzkum (výzkum operací) Operational research, operations research, management science Soubor disciplín zaměřených

Více

1 Duální simplexová metoda

1 Duální simplexová metoda 1 Duální simplexová metoda Autor: Markéta Popelová Datum: 8.5.2011 Předmět: Základy spojité optimalizace Zadání Mějme matici A R m n a primární úlohu lineárního programování v normálním tvaru (P) a k ní

Více

FIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody. Dualita. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

FIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody. Dualita. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti FIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody Dualita Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Michal Černý, 2011 FIT ČVUT, MI-LOM, M. Černý, 2011: Dualita 2/5 Dualita Evropský

Více

4EK213 Lineární modely. 12. Dopravní problém výchozí řešení

4EK213 Lineární modely. 12. Dopravní problém výchozí řešení 4EK213 Lineární modely 12. Dopravní problém výchozí řešení 12. Distribuční úlohy LP Úlohy výrobního plánování (alokace zdrojů) Úlohy finančního plánování (optimalizace portfolia) Úlohy reklamního plánování

Více

4EK311 Operační výzkum. 3. Optimalizační software a stabilita řešení úloh LP

4EK311 Operační výzkum. 3. Optimalizační software a stabilita řešení úloh LP 4EK311 Operační výzkum 3. Optimalizační software a stabilita řešení úloh LP 3.1 Příklad matematický model Lis: 1 x 1 + 2 x 2 120 [min] Balení: 1 x 1 + 4 x 2 180 [min] Poptávka: 1 x 1 1 x 2 90 [krabiček]

Více

Simplexové tabulky z minule. (KMI ZF JU) Lineární programování EMM a OA O6 1 / 25

Simplexové tabulky z minule. (KMI ZF JU) Lineární programování EMM a OA O6 1 / 25 Simplexové tabulky z minule (KMI ZF JU) Lineární programování EMM a OA O6 1 / 25 Simplexová metoda symbolicky Výchozí tabulka prom. v bázi zákl. proměné přídatné prom. omez. A E b c T 0 0 Tabulka po přepočtu

Více

Karta předmětu prezenční studium

Karta předmětu prezenční studium Karta předmětu prezenční studium Název předmětu: Číslo předmětu: 545-0259 Garantující institut: Garant předmětu: Exaktní metody rozhodování Institut ekonomiky a systémů řízení RNDr. Radmila Sousedíková,

Více

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA [ MOPV ] METODY OPERAČNÍHO VÝZKUMU

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA [ MOPV ] METODY OPERAČNÍHO VÝZKUMU OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA [ MOPV ] METODY OPERAČNÍHO VÝZKUMU Distanční opora RNDr. Miroslav Liška, CSc. OSTRAVA 2002 1 Simplexová metoda je iterační výpočetní postup pro nalezení optimálního

Více

Ekonomická formulace. Matematický model

Ekonomická formulace. Matematický model Ekonomická formulace Firma balící bonboniéry má k dispozici 60 čokoládových, 60 oříškových a 85 karamelových bonbónů. Může vyrábět dva druhy bonboniér. Do první bonboniéry se dávají dva čokoládové, šest

Více

Matematika pro informatiky

Matematika pro informatiky (FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 1 / 1 Matematika pro informatiky Jaroslav Milota Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Letní semestr 2010/11 Extrémy funkce

Více

OPTIMALIZACE A MULTIKRITERIÁLNÍ HODNOCENÍ FUNKČNÍ ZPŮSOBILOSTI POZEMNÍCH STAVEB D24FZS

OPTIMALIZACE A MULTIKRITERIÁLNÍ HODNOCENÍ FUNKČNÍ ZPŮSOBILOSTI POZEMNÍCH STAVEB D24FZS OPTIMALIZACE A MULTIKRITERIÁLNÍ HODNOCENÍ FUNKČNÍ ZPŮSOBILOSTI POZEMNÍCH STAVEB Optimalizace a multikriteriální hodnocení funkční způsobilosti pozemních staveb Anotace: Optimalizace objektů pozemních staveb

Více

Programy pro ˇreˇsen ı ulohy line arn ıho programov an ı 18. dubna 2011

Programy pro ˇreˇsen ı ulohy line arn ıho programov an ı 18. dubna 2011 Programy pro řešení úlohy lineárního programování 18. dubna 2011 Přehled Mathematica Sage AMPL GNU Linear Programming Kit (GLPK) Mathematica Mathematika je program pro numerické a symbolické počítání.

Více

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Optimální výrobní program Radka Zahradníková e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Obsah 1 Lineární programování 2 Simplexová metoda 3 Grafická metoda 4 Optimální výrobní program Řešení

Více

Data Envelopment Analysis (Analýza obalu dat)

Data Envelopment Analysis (Analýza obalu dat) Data Envelopment Analysis (Analýza obalu dat) Martin Branda Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Optimalizace s aplikací ve financích

Více

Stochastické programování

Stochastické programování Stochastické programování Neurčitost je klíčovou složkou mnoha rozhodovacích úloh. Pokud jsou neznámé prvky relativně nevýznamné, přiřazení rozumných hodnot těmto prvkům nezpůsobí velké potíže. V mnoha

Více

f ( x) = 5x 1 + 8x 2 MAX, 3x x ,

f ( x) = 5x 1 + 8x 2 MAX, 3x x , 4. okruh z bloku KM1 - řídicí technika Zpracoval: Ondřej Nývlt (o.nyvlt@post.cz) Zadání: Lineární programování (LP), simplexová metoda, dualita v LP. Nelineární programování. Vázaný extrém. Karush-Kuhn-Tuckerova

Více

PŘEDNÁŠKA 03 OPTIMALIZAČNÍ METODY Optimization methods

PŘEDNÁŠKA 03 OPTIMALIZAČNÍ METODY Optimization methods CW057 Logistika (R) PŘEDNÁŠKA 03 Optimization methods Ing. Václav Venkrbec skupina obecných modelů slouží k nalezení nejlepšího řešení problémů a modelovaných reálií přináší řešení: prvky konečné / nekonečné

Více

AMPL a možnosti zápisu vícestupňových úloh SP

AMPL a možnosti zápisu vícestupňových úloh SP Stochastické programování a aproximace 16. Listopad 2006 Obsah Vícestupňová úloha stochastického programování Modelovací jazyk AMPL a AMPL Studio Zápis stromu scénářů pomocí AMPL Stochastické rozšíření

Více

Metodické pokyny pro práci s modulem Řešitel v tabulkovém procesoru Excel

Metodické pokyny pro práci s modulem Řešitel v tabulkovém procesoru Excel Metodické pokyny pro práci s modulem Řešitel v tabulkovém procesoru Excel Modul Řešitel (v anglické verzi Solver) je určen pro řešení lineárních i nelineárních úloh matematického programování. Pro ilustraci

Více

4EK213 Lineární modely. 5. Dualita v úlohách LP

4EK213 Lineární modely. 5. Dualita v úlohách LP 4EK213 Lineární modely 5. Dualita v úlohách LP 5. Dualita v úlohách LP Obecné vyjádření simplexové tabulky Formulace duálního problému Formulace symetrického duálního problému Formulace nesymetrického

Více

Studentská soutěžní práce

Studentská soutěžní práce Univerzita Tomáše Bati Fakulta aplikované informatiky Ústav automatizace a řídicí techniky Studentská soutěžní práce STOČ 2011 Mobilní aplikace celočíselného programování metodou větví a mezí 2011 Adam

Více

Numerické metody optimalizace - úvod

Numerické metody optimalizace - úvod Numerické metody optimalizace - úvod Petr Tichý 16. února 2015 1 Organizace přednášek a cvičení 13 přednášek a cvičení. Zápočet: úloha programování a testování úloh v Matlabu. Další informace na blogu

Více

Operační výzkum. Vícekriteriální programování. Lexikografická metoda. Metoda agregace účelových funkcí. Cílové programování.

Operační výzkum. Vícekriteriální programování. Lexikografická metoda. Metoda agregace účelových funkcí. Cílové programování. Operační výzkum Lexikografická metoda. Metoda agregace účelových funkcí. Cílové programování. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu

Více

4.Řešení optimalizačních úloh v tabulkových kalkulátorech

4.Řešení optimalizačních úloh v tabulkových kalkulátorech 4.Řešení optimalizačních úloh v tabulkových kalkulátorech Tabulkové kalkulátory patří mezi nejpoužívanější a pro běžného uživatele nejdostupnější programové systémy. Kromě základních a jim vlastních funkcí

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 3. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 21 Co nás dneska čeká... Co je to soustava lineárních

Více

Systémové modelování. Ekonomicko matematické metody I. Lineární programování

Systémové modelování. Ekonomicko matematické metody I. Lineární programování Ekonomicko matematické metody I. Lineární programování Modelování Modelování je způsob zkoumání reality, při němž složitost, chování a další vlastnosti jednoho celku vyjadřujeme složitostí, chováním a

Více

Základy spojité optimalizace

Základy spojité optimalizace Základy spojité optimalizace 2. ledna 2013 Obsah 1 Přehled 2 1.1 Obecná úloha........................... 2 1.2 Dělení úloh............................ 2 1.3 Volný extrémem......................... 3 1.4

Více

Lineární klasifikátory

Lineární klasifikátory Lineární klasifikátory Lineární klasifikátory obsah: perceptronový algoritmus základní verze varianta perceptronového algoritmu přihrádkový algoritmus podpůrné vektorové stroje Lineární klasifikátor navrhnout

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25 Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd. Ivana Kozlová. Modely analýzy obalu dat

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd. Ivana Kozlová. Modely analýzy obalu dat Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU MATEMATICKÉ MODELOVÁNÍ Ivana Kozlová Modely analýzy obalu dat Plzeň 2010 Obsah 1 Efektivnost a její hodnocení 2 2 Základní

Více

Teorie her a ekonomické rozhodování. 2. Maticové hry

Teorie her a ekonomické rozhodování. 2. Maticové hry Teorie her a ekonomické rozhodování 2. Maticové hry 2.1 Maticová hra Teorie her = ekonomická vědní disciplína, která se zabývá studiem konfliktních situací pomocí matematických modelů Hra v normálním tvaru

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

4EK311 Operační výzkum. 1. Úvod do operačního výzkumu

4EK311 Operační výzkum. 1. Úvod do operačního výzkumu 4EK311 Operační výzkum 1. Úvod do operačního výzkumu Mgr. Jana SEKNIČKOVÁ, Ph.D. Nová budova, místnost 433 Konzultační hodiny InSIS E-mail: jana.seknickova@vse.cz Web: jana.seknicka.eu/vyuka Garant kurzu:

Více

Celočíselné Programování

Celočíselné Programování Milan Hladík Celočíselné Programování text k přednášce. května 07 Tento text zatím slouží jako doprovodný text přednášky Celočíselné programování na studiu informatiky Matematicko-fyzikální fakulty Univerzity

Více

4EK311 Operační výzkum. 4. Distribuční úlohy LP část 1

4EK311 Operační výzkum. 4. Distribuční úlohy LP část 1 4EK311 Operační výzkum 4. Distribuční úlohy LP část 1 4. Distribuční úlohy LP Úlohy výrobního plánování (alokace zdrojů) Úlohy finančního plánování (optimalizace portfolia) Úlohy reklamního plánování (plánování

Více

Intervalová data a výpočet některých statistik

Intervalová data a výpočet některých statistik Intervalová data a výpočet některých statistik Milan Hladík 1 Michal Černý 2 1 Katedra aplikované matematiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova 2 Katedra ekonometrie Fakulta informatiky a

Více

4EK213 Lineární modely. 4. Simplexová metoda - závěr

4EK213 Lineární modely. 4. Simplexová metoda - závěr 4EK213 Lineární modely 4. Simplexová metoda - závěr 4. Simplexová metoda - závěr Konečnost simplexové metody Degenerace Modifikace pravidla pro volbu vstupující proměnné Blandovo pravidlo Kontrola výpočtu

Více

Systematická tvorba jízdního řádu 2. cvičení

Systematická tvorba jízdního řádu 2. cvičení Projektování dopravní obslužnosti Systematická tvorba jízdního řádu 2. cvičení Ing. Zdeněk Michl Ústav logistiky a managementu dopravy ČVUT v Praze Fakulta dopravní Rekapitulace zadání Je dána následující

Více

DSS a De Novo programming

DSS a De Novo programming De Novo Programming DSS a De Novo programming DSS navrhují žádoucí budoucnost a cesty k jejímu uskutečnění Optimalizační modely vhodné nástroje pro identifikaci optimálního řešení problému Je ale problém

Více

Optimální řízení pro geometrický Brownův pohyb

Optimální řízení pro geometrický Brownův pohyb 1/39 Optimální řízení pro geometrický Brownův pohyb Lenka Slámová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Stochastické modelování v ekonomii a

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání

Více

4EK201 Matematické modelování 5. Speciální úlohy lineárního programování

4EK201 Matematické modelování 5. Speciální úlohy lineárního programování 4EK201 Matematické modelování 5. Speciální úlohy lineárního programování 4. Typické úlohy LP Úlohy výrobního plánování (alokace zdrojů) Úlohy finančního plánování (optimalizace portfolia) Směšovací problémy

Více

Algoritmus pro hledání vlastních čísel kvaternionových matic

Algoritmus pro hledání vlastních čísel kvaternionových matic Úvod Algoritmus pro hledání vlastních čísel kvaternionových matic Bc. Martin Veselý Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská Katedra softwarového inženýrství v ekonomii Skupina aplikované matematiky a stochastiky

Více

Obecná úloha lineárního programování. Úloha LP a konvexní množiny Grafická metoda. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno

Obecná úloha lineárního programování. Úloha LP a konvexní množiny Grafická metoda. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno Přednáška č. 3 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Optimalizace portfolia Investor se s pomocí makléře rozhoduje mezi následujícími investicemi: akcie A, akcie B, státní pokladniční poukázky, dluhopis A, dluhopis

Více

Úvod do teorie her

Úvod do teorie her Úvod do teorie her 2. Garanční řešení, hry s nulovým součtem a smíšené strategie Tomáš Kroupa http://staff.utia.cas.cz/kroupa/ 2017 ÚTIA AV ČR Program 1. Zavedeme řešení, které zabezpečuje minimální výplatu

Více

Princip řešení soustavy rovnic

Princip řešení soustavy rovnic Princip řešení soustavy rovnic Tomáš Kroupa 20. května 2014 Tento studijní materiál je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Obsah Formulace úlohy Metody řešení

Více

Celočíselné Programování

Celočíselné Programování Milan Hladík Celočíselné Programování text k přednášce 19. května 2015 Tento text zatím slouží jako doprovodný text přednášky Celočíselné programování na studiu informatiky Matematicko-fyzikální fakulty

Více

MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST

MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST 1. Úvod. Matematická statistika (statistics) se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného

Více

Lineární algebra. Soustavy lineárních rovnic

Lineární algebra. Soustavy lineárních rovnic Lineární algebra Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ.1.07/2.2.00/28.0326

Více

Pokročilé matematické modely a metody

Pokročilé matematické modely a metody Pokročilé matematické modely a metody Jan Fábry ŠKODA AUTO Vysoká škola Katedra logistiky, kvality a automobilové techniky fabry@savs.cz http://nb.vse.cz/~fabry Leden 2017, Mladá Boleslav Jan Fábry Pokročilé

Více

Úvod do optimalizace

Úvod do optimalizace Přednáška Ú-Opt, February 19, 2006:1324 Petr Lachout 1 Úvod do optimalizace Prof. RNDr. Jitka Dupačová, DrSc. Doc. RNDr. Petr Lachout, CSc. KPMS MFF UK Verze 19. února 2006 2 Obsah 1 Úvod 5 2 Optimalizace

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic Přednáška MATEMATIKA č 4 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz 27 10 2010 Soustava lineárních rovnic Definice Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a

Více

maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést

maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud

Více

Numerické metody a programování. Lekce 8

Numerické metody a programování. Lekce 8 Numerické metody a programování Lekce 8 Optimalizace hledáme bod x, ve kterém funkce jedné nebo více proměnných f x má minimum (maximum) maximalizace f x je totéž jako minimalizace f x Minimum funkce lokální:

Více

Využití pojmu Hilbertovy báze pro ověření hypotézy o shodnosti strukturálních a kombinatorických imsetů

Využití pojmu Hilbertovy báze pro ověření hypotézy o shodnosti strukturálních a kombinatorických imsetů Využití pojmu Hilbertovy báze pro ověření hypotézy o shodnosti strukturálních a kombinatorických imsetů Petr Šimeček, Milan Studený 2. září 2004 Abstrakt Klíčovým problémem v metodě popisu struktur podmíněné

Více

Otázky ke II. části písemné zkoušky Úvod do operačního výzkumu 1. Popište proces operačního výzkumu a uveďte typy rozhodovacích situací.

Otázky ke II. části písemné zkoušky Úvod do operačního výzkumu 1. Popište proces operačního výzkumu a uveďte typy rozhodovacích situací. Otázky ke II. části písemné zkoušky Úvod do operačního výzkumu 1. Popište proces operačního výzkumu a uveďte typy rozhodovacích situací. Rozhodovací situace můžeme klasifikovat podle následujících hledisek

Více

2. Řešení algebraické

2. Řešení algebraické @016 2. Řešení algebraické Definice: Nechť a, c jsou reálná čísla. Rovnice v R (s neznámou x) daná formulí se nazývá lineární rovnice a ax + c = 0 se nazývají lineární nerovnice. ax + c 0 ax + c < 0 ax

Více

FP - SEMINÁŘ Z NUMERICKÉ MATEMATIKY. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci

FP - SEMINÁŘ Z NUMERICKÉ MATEMATIKY.   Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci FP - SEMINÁŘ Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci OBSAH A CÍLE SEMINÁŘE: Opakování a procvičení vybraných

Více

ANALÝZA A KLASIFIKACE DAT

ANALÝZA A KLASIFIKACE DAT ANALÝZA A KLASIFIKACE DAT prof. Ing. Jiří Holčík, CSc. INVESTICE Institut DO biostatistiky ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ a analýz IV. LINEÁRNÍ KLASIFIKACE PRINCIPY KLASIFIKACE pomocí diskriminačních funkcí funkcí,

Více

4EK314 Diskrétní modely

4EK314 Diskrétní modely 4EK314 Diskrétní modely Jan Fábry Fakulta informatiky a statistiky Katedra ekonometrie fabry@vse.cz http://nb.vse.cz/~fabry Únor 2016, Praha Jan Fábry Diskrétní modely 1 / 153 Sylabus kurzu 1 Úloha celočíselného

Více

Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost

Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n

Více

Optimalizační metody Lineární programování a kombinatorická optimalizace

Optimalizační metody Lineární programování a kombinatorická optimalizace Optimalizační metody Lineární programování a kombinatorická optimalizace Jiří Sgall 19. března 2018 1 Optimalizace Vznik ve 40. letech, motivace válečná logistika, později teorie her (von Neumann), ekonomie.

Více

Value at Risk. Karolína Maňáková

Value at Risk. Karolína Maňáková Value at Risk Karolína Maňáková Value at risk Historická metoda Model-Building přístup Lineární model variance a kovariance Metoda Monte Carlo Stress testing a Back testing Potenciální ztráta s danou pravděpodobností

Více

Optimalizace portfolia a míry rizika. Pavel Sůva

Optimalizace portfolia a míry rizika. Pavel Sůva Základní seminář 6. října 2009 Obsah Úloha optimalizace portfolia Markowitzův model Míry rizika Value-at-Risk Conditional Value-at-Risk Drawdown míry rizika Minimalizační formule Optimalizační modely Empirická

Více

4EK311 Operační výzkum. 2. Lineární programování

4EK311 Operační výzkum. 2. Lineární programování 4EK311 Operační výzkum 2. Lineární programování 2.2 Matematický model úlohy LP Nalézt extrém účelové funkce z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n na soustavě vlastních omezení a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x

Více

1 Determinanty a inverzní matice

1 Determinanty a inverzní matice Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého

Více

6 Simplexová metoda: Principy

6 Simplexová metoda: Principy 6 Simplexová metoda: Principy V této přednášce si osvětlíme základy tzv. simplexové metody pro řešení úloh lineární optimalizace. Tyto základy zahrnují přípravu kanonického tvaru úlohy, definici a vysvětlení

Více

Binární vyhledávací stromy pokročilé partie

Binární vyhledávací stromy pokročilé partie Binární vyhledávací stromy pokročilé partie KMI/ALS lekce Jan Konečný 30.9.204 Literatura Cormen Thomas H., Introduction to Algorithms, 2nd edition MIT Press, 200. ISBN 0-262-5396-8 6, 3, A Knuth Donald

Více

Soustavy linea rnı ch rovnic

Soustavy linea rnı ch rovnic [1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.

Více

Operační výzkum. Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry.

Operační výzkum. Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační výzkum Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty

Více

IB112 Základy matematiky

IB112 Základy matematiky IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic

Více

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně 7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností

Více

DRN: Kořeny funkce numericky

DRN: Kořeny funkce numericky DRN: Kořeny funkce numericky Kořenem funkce f rozumíme libovolné číslo r splňující f(r) = 0. Fakt. Nechť f je funkce na intervalu a, b. Jestliže f(a) f(b) < 0 (tj. f(a) a f(b) mají opačná znaménka) a f

Více

Přílohy. Příloha 1. Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel

Přílohy. Příloha 1. Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel Přílohy Příloha 1 Řešení úlohy lineárního programování v MS Excel V této příloze si ukážeme, jak lze řešit úlohy lineárního programování pomocí tabulkového procesoru MS Excel 2007. Výpočet budeme demonstrovat

Více

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová. [1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.

Více

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y 9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota y závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí y = f(x).

Více

1.Modifikace simplexové metody

1.Modifikace simplexové metody .Modifikace simplexové metody Simplexová metoda, v podobě popsané v prvním tématu, je vhodná zejména pro řešení úloh LP menších rozměrů, především pak pro ruční výpočty. Algoritmus metody je jednoduchý,

Více

Úvod do optimalizace Matematické metody pro ITS (11MAMY)

Úvod do optimalizace Matematické metody pro ITS (11MAMY) Úvod do optimalizace Matematické metody pro ITS (11MAMY) Jan Přikryl (volně dle M.T. Heathe) 10. přednáška 11MAMY úterý 22. března 2016 verze: 2016-04-01 16:10 Obsah Optimalizační problém 1 Definice 1

Více

Rovnovážné modely v teorii portfolia

Rovnovážné modely v teorii portfolia 3. září 2013, Podlesí Obsah Portfolio a jeho charakteristiky Definice portfolia Výnosnost a riziko aktiv Výnosnost a riziko portfolia Klasická teorie portfolia Markowitzův model Tobinův model CAPM - model

Více

7 Konvexní množiny. min c T x. při splnění tzv. podmínek přípustnosti, tj. x = vyhovuje podmínkám: A x = b a x i 0 pro každé i n.

7 Konvexní množiny. min c T x. při splnění tzv. podmínek přípustnosti, tj. x = vyhovuje podmínkám: A x = b a x i 0 pro každé i n. 7 Konvexní množiny Motivace. Lineární programování (LP) řeší problém nalezení minima (resp. maxima) lineárního funkcionálu na jisté konvexní množině. Z bohaté škály úloh z této oblasti jmenujme alespoň

Více

Náhodný vektor a jeho charakteristiky

Náhodný vektor a jeho charakteristiky Náhodný vektor a jeho číselné charakteristiky 1 Náhodný vektor a jeho charakteristiky V následující kapitole budeme věnovat pozornost pouze dvourozměřnému náhodnému vektoru, i když uvedené pojmy a jejich

Více

Operace s maticemi

Operace s maticemi Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =

Více