Úvod do celočíselné optimalizace
|
|
- Miloš Vlček
- před 6 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Úvod do celočíselné optimalizace Martin Branda Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Výpočetní aspekty optimalizace Martin Branda (KPMS MFF UK) 1 / 32
2 Proč celočíselnost? Reálné celočíselné optimalizační úlohy Optimalizace portfolia celočíselné alokace aktiv, (fixní) transakční náklady Rozvrhování celočíselné (binární) rozhodnutí, zda úlohu zpracuje daný stroj Úlohy rozvozu (VRP) binární proměnné pro identifikace následujícího zákazníka na cestě... Obecněji modelování splnění logických relací, např. alespoň dvě ze tří omezení jsou splněné, nakoupíme-li danou akcii, zvýší se fixní transakční náklady,... Martin Branda (KPMS MFF UK) 2 / 32
3 Proč celočíselnost? Reálné celočíselné optimalizační úlohy Optimalizace portfolia celočíselné alokace aktiv, (fixní) transakční náklady Rozvrhování celočíselné (binární) rozhodnutí, zda úlohu zpracuje daný stroj Úlohy rozvozu (VRP) binární proměnné pro identifikace následujícího zákazníka na cestě... Obecněji modelování splnění logických relací, např. alespoň dvě ze tří omezení jsou splněné, nakoupíme-li danou akcii, zvýší se fixní transakční náklady,... Martin Branda (KPMS MFF UK) 2 / 32
4 Formulace a vlastnosti Úloha celočíselného lineárního programování min c T x (1) Ax b, (2) x Z n +. (3) Předpoklad: všechny koeficienty jsou celočíselné (racionální před vynásobením vhodnými konstantami). Množinu přípustných řešení a její relaxaci označíme S = {x Z n + : Ax b}, (4) P = {x R n + : Ax b} (5) Triviálně S P. Ne již tak triviálně S conv(s) P Martin Branda (KPMS MFF UK) 3 / 32
5 Formulace a vlastnosti Úloha celočíselného lineárního programování min c T x (1) Ax b, (2) x Z n +. (3) Předpoklad: všechny koeficienty jsou celočíselné (racionální před vynásobením vhodnými konstantami). Množinu přípustných řešení a její relaxaci označíme S = {x Z n + : Ax b}, (4) P = {x R n + : Ax b} (5) Triviálně S P. Ne již tak triviálně S conv(s) P Martin Branda (KPMS MFF UK) 3 / 32
6 Formulace a vlastnosti Množina přípustných řešení, její relaxace a konvexní obal Š. Škoda: Řešení lineárních úloh s celočíselnými omezeními v GAMSu. Bc. práce MFF UK, Martin Branda (KPMS MFF UK) 4 / 32
7 Formulace a vlastnosti Úloha celočíselného lineárního programování Úloha je ekvivalentní min c T x : x S. (6) min c T x : x conv(s). (7) conv(s) je prakticky velice obtížné zkonstruovat je třeba velké množství omezení (existují výjimky). LP-relaxace: min c T x : x P. (8) Martin Branda (KPMS MFF UK) 5 / 32
8 Formulace a vlastnosti Úloha celočíselného lineárního programování Úloha je ekvivalentní min c T x : x S. (6) min c T x : x conv(s). (7) conv(s) je prakticky velice obtížné zkonstruovat je třeba velké množství omezení (existují výjimky). LP-relaxace: min c T x : x P. (8) Martin Branda (KPMS MFF UK) 5 / 32
9 Formulace a vlastnosti Úloha celočíselného lineárního programování Úloha je ekvivalentní min c T x : x S. (6) min c T x : x conv(s). (7) conv(s) je prakticky velice obtížné zkonstruovat je třeba velké množství omezení (existují výjimky). LP-relaxace: min c T x : x P. (8) Martin Branda (KPMS MFF UK) 5 / 32
10 Formulace a vlastnosti Úloha smíšeného celočíselného lineárního programování Mixed-integer linear programming Časté jsou úlohy smíšené (NEBUDEME UVAŽOVAT) min c T x + d T y (9) Ax + By b, (10) x Z n +, y R n +. (11) Martin Branda (KPMS MFF UK) 6 / 32
11 Formulace a vlastnosti Základní postupy řešení Ukážeme si: Metoda sečných nadrovin (Cutting Plane Method) Metoda větvení a mezí (Branch-and-Bound) Metody kombinující předešlé, např. Branch-and-Cut. Martin Branda (KPMS MFF UK) 7 / 32
12 Formulace a vlastnosti Základní postupy řešení Ukážeme si: Metoda sečných nadrovin (Cutting Plane Method) Metoda větvení a mezí (Branch-and-Bound) Metody kombinující předešlé, např. Branch-and-Cut. Martin Branda (KPMS MFF UK) 7 / 32
13 Metoda sečných nadrovin Metoda sečných nadrovin Gomoryho řezy 1. Vyřešíme LP-relaxaci (primárním nebo duálním) SIMPLEXovým algoritmem. Řešení je celočíselné KONEC, máme opti. řešení, jinak pokračuj dalším krokem. 2. Přidáme Gomoryho řez (...) a výslednou úlohu řešíme duálním SIMPLEXem. Martin Branda (KPMS MFF UK) 8 / 32
14 Metoda sečných nadrovin Metoda sečných nadrovin Gomoryho řezy 1. Vyřešíme LP-relaxaci (primárním nebo duálním) SIMPLEXovým algoritmem. Řešení je celočíselné KONEC, máme opti. řešení, jinak pokračuj dalším krokem. 2. Přidáme Gomoryho řez (...) a výslednou úlohu řešíme duálním SIMPLEXem. Martin Branda (KPMS MFF UK) 8 / 32
15 Gomoryho řez Metoda sečných nadrovin Existuje řádek v simplexové tabulce odpovídající neceločíselnému řešení x i ve tvaru x i + j N w ij x j = d i, (12) kde N značí množinu indexů nebazických proměnných; d i je neceločíselné. Označíme w ij = w ij + f ij, (13) d i = d i + f i, (14) tj. 0 f ij, f i < 1. Gomoryho řez je poté f ij x j f i, (15) j N resp. j N f ijx j + s = f i, s 0. Martin Branda (KPMS MFF UK) 9 / 32
16 Gomoryho řez Metoda sečných nadrovin Existuje řádek v simplexové tabulce odpovídající neceločíselnému řešení x i ve tvaru x i + j N w ij x j = d i, (12) kde N značí množinu indexů nebazických proměnných; d i je neceločíselné. Označíme w ij = w ij + f ij, (13) d i = d i + f i, (14) tj. 0 f ij, f i < 1. Gomoryho řez je poté f ij x j f i, (15) j N resp. j N f ijx j + s = f i, s 0. Martin Branda (KPMS MFF UK) 9 / 32
17 Gomoryho řez Metoda sečných nadrovin Obecné vlastnosti řezů (i Gomoryho): Aktuální (neceločíselné) řešení se stane nepřípustným ( odřízne se ) Žádné celočíselné řešení se nestane nepřípustných ( neodřízne se ) Martin Branda (KPMS MFF UK) 10 / 32
18 Metoda sečných nadrovin Gomoryho řez vlastnost 1 Omezení vyjádříme ve tvaru x i + j N( w ij + f ij )x j = d i + f i, (16) x i + j N w ij x j d i = f i j N f ij x j. (17) Aktuální řešení x j = 0 pro j N a x i = d i je neceločíselné, tj. 0 < x i d i < 1, tedy 0 < x i d i = f i j N f ij x j (18) a f ij xj < f i, (19) j N což je ve sporu s Gomoryho řezem. Martin Branda (KPMS MFF UK) 11 / 32
19 Metoda sečných nadrovin Gomoryho řez vlastnost 2 Uvažujme libovolné přípustné celočíselné řešení a přepis omezení x i + w ij x j d i = f i f ij x j, (20) j N j N Levá strana (LS) je celočíselná, tedy i pravá strana (PS) je celočíselná. Navíc f i < 1 a j N f ijx j 0, tedy PS je ostře menší než 1 a zároveň celočíselná, tedy menší nebo rovna než 0, tj. dostáváme Gomoryho řez f i j N f ij x j 0. (21) Každé přípustné celočíselné řešení ho splňuje. Martin Branda (KPMS MFF UK) 12 / 32
20 Metoda sečných nadrovin Průběh algoritmu sečných nadrovin Š. Škoda: Řešení lineárních úloh s celočíselnými omezeními v GAMSu. Bc. práce MFF UK, Martin Branda (KPMS MFF UK) 13 / 32
21 Dantzigovy řezy Metoda sečných nadrovin x j 1. (22) j N (Připomeňme, že nebazické proměnné jsou nulové.) Martin Branda (KPMS MFF UK) 14 / 32
22 Příklad Metoda sečných nadrovin min 4x 1 + 5x 2 (23) x 1 + 4x 2 5, (24) 3x 1 + 2x 2 7, (25) x 1, x 2 Z n +. (26) Duální simplex pro LP-relaxaci... Martin Branda (KPMS MFF UK) 15 / 32
23 Metoda sečných nadrovin Po dvou iteracích duálního SIMPLEXového algoritmu x 1 x 2 x 3 x 4 5 x 2 8/ /10 1/10 4 x 1 18/ /10-4/10 112/ /10-11/10 Nesplňuje celočíselnost, např. omezení pro x 1 : Gomoryho řez: x 1 + 2/10x 3 4/10x 4 = 18/10, x 1 + (0 + 2/10)x 3 + ( 1 + 6/10)x 4 = 1 + 8/10. 2/10x 3 + 6/10x 4 8/10. Martin Branda (KPMS MFF UK) 16 / 32
24 Metoda sečných nadrovin Po dvou iteracích duálního SIMPLEXového algoritmu x 1 x 2 x 3 x 4 5 x 2 8/ /10 1/10 4 x 1 18/ /10-4/10 112/ /10-11/10 Nesplňuje celočíselnost, např. omezení pro x 1 : Gomoryho řez: x 1 + 2/10x 3 4/10x 4 = 18/10, x 1 + (0 + 2/10)x 3 + ( 1 + 6/10)x 4 = 1 + 8/10. 2/10x 3 + 6/10x 4 8/10. Martin Branda (KPMS MFF UK) 16 / 32
25 Metoda sečných nadrovin Po dvou iteracích duálního SIMPLEXového algoritmu x 1 x 2 x 3 x 4 5 x 2 8/ /10 1/10 4 x 1 18/ /10-4/10 112/ /10-11/10 Nesplňuje celočíselnost, např. omezení pro x 1 : Gomoryho řez: x 1 + 2/10x 3 4/10x 4 = 18/10, x 1 + (0 + 2/10)x 3 + ( 1 + 6/10)x 4 = 1 + 8/10. 2/10x 3 + 6/10x 4 8/10. Martin Branda (KPMS MFF UK) 16 / 32
26 Metoda sečných nadrovin Aktualizovaná simplexová tabulka Duální simplex x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 5 x 2 8/ /10 1/ x 1 18/ /10-4/ x 5-8/ /10-6/ / /10-11/10 0 Martin Branda (KPMS MFF UK) 17 / 32
27 Metoda větvení a mezí Metoda větvení a mezí (Branch-and-Bound) Obecné principy: Řeš úlohy LP bez celočíselnosti. Větvi pomocí dodatečných podmínek na neceločíselnou proměnnou x i x i, x i x i + 1. Odřízni neperspektivní větve. Martin Branda (KPMS MFF UK) 18 / 32
28 Metoda větvení a mezí Metoda větvení a mezí P. Pedegral (2004). Introduction to optimization, Springer-Verlag, New York. Martin Branda (KPMS MFF UK) 19 / 32
29 Metoda větvení a mezí Metoda větvení a mezí (Branch-and-Bound) 0. f min =, x min =, seznam úloh P = Vyřeš LP-relaxaci úlohy f, x. Je-li řešení celočíselné, STOP. Je-li úloha nepřípustná nebo neomezená, STOP. 1. BRANCHING: Existuje x i bazická neceločíselná proměnná taková, že k < x i < k + 1 pro nějaké k N: K předešlém problému přidáme omezení x i k a zařadíme do P. K předešlém problému přidáme omezení x i k + 1 a zařadíme do P. 2. Vyjmi problém z P a vyřeš ho: f, x. 3. Je-li f < f min a x porušuje celočíselnost, jdi na 1. BOUNDING: Je-li f < f min a x je celočíselné, polož f min = f a x min = x, jdi na 4. BOUNDING: Je-li f f min, jdi na 4. Úloha je nepřípustná, jdi na Je-li P, jdi na 2. Je-li P = a f min =, celočíselné řešení neexistuje. Je-li P = a f min <, optimální hodnota a řešení jsou f min, x min. Martin Branda (KPMS MFF UK) 20 / 32
30 Metoda větvení a mezí Metoda větvení a mezí (Branch-and-Bound) 0. f min =, x min =, seznam úloh P = Vyřeš LP-relaxaci úlohy f, x. Je-li řešení celočíselné, STOP. Je-li úloha nepřípustná nebo neomezená, STOP. 1. BRANCHING: Existuje x i bazická neceločíselná proměnná taková, že k < x i < k + 1 pro nějaké k N: K předešlém problému přidáme omezení x i k a zařadíme do P. K předešlém problému přidáme omezení x i k + 1 a zařadíme do P. 2. Vyjmi problém z P a vyřeš ho: f, x. 3. Je-li f < f min a x porušuje celočíselnost, jdi na 1. BOUNDING: Je-li f < f min a x je celočíselné, polož f min = f a x min = x, jdi na 4. BOUNDING: Je-li f f min, jdi na 4. Úloha je nepřípustná, jdi na Je-li P, jdi na 2. Je-li P = a f min =, celočíselné řešení neexistuje. Je-li P = a f min <, optimální hodnota a řešení jsou f min, x min. Martin Branda (KPMS MFF UK) 20 / 32
31 Metoda větvení a mezí Metoda větvení a mezí (Branch-and-Bound) 0. f min =, x min =, seznam úloh P = Vyřeš LP-relaxaci úlohy f, x. Je-li řešení celočíselné, STOP. Je-li úloha nepřípustná nebo neomezená, STOP. 1. BRANCHING: Existuje x i bazická neceločíselná proměnná taková, že k < x i < k + 1 pro nějaké k N: K předešlém problému přidáme omezení x i k a zařadíme do P. K předešlém problému přidáme omezení x i k + 1 a zařadíme do P. 2. Vyjmi problém z P a vyřeš ho: f, x. 3. Je-li f < f min a x porušuje celočíselnost, jdi na 1. BOUNDING: Je-li f < f min a x je celočíselné, polož f min = f a x min = x, jdi na 4. BOUNDING: Je-li f f min, jdi na 4. Úloha je nepřípustná, jdi na Je-li P, jdi na 2. Je-li P = a f min =, celočíselné řešení neexistuje. Je-li P = a f min <, optimální hodnota a řešení jsou f min, x min. Martin Branda (KPMS MFF UK) 20 / 32
32 Metoda větvení a mezí Metoda větvení a mezí (Branch-and-Bound) 0. f min =, x min =, seznam úloh P = Vyřeš LP-relaxaci úlohy f, x. Je-li řešení celočíselné, STOP. Je-li úloha nepřípustná nebo neomezená, STOP. 1. BRANCHING: Existuje x i bazická neceločíselná proměnná taková, že k < x i < k + 1 pro nějaké k N: K předešlém problému přidáme omezení x i k a zařadíme do P. K předešlém problému přidáme omezení x i k + 1 a zařadíme do P. 2. Vyjmi problém z P a vyřeš ho: f, x. 3. Je-li f < f min a x porušuje celočíselnost, jdi na 1. BOUNDING: Je-li f < f min a x je celočíselné, polož f min = f a x min = x, jdi na 4. BOUNDING: Je-li f f min, jdi na 4. Úloha je nepřípustná, jdi na Je-li P, jdi na 2. Je-li P = a f min =, celočíselné řešení neexistuje. Je-li P = a f min <, optimální hodnota a řešení jsou f min, x min. Martin Branda (KPMS MFF UK) 20 / 32
33 Metoda větvení a mezí Metoda větvení a mezí (Branch-and-Bound) 0. f min =, x min =, seznam úloh P = Vyřeš LP-relaxaci úlohy f, x. Je-li řešení celočíselné, STOP. Je-li úloha nepřípustná nebo neomezená, STOP. 1. BRANCHING: Existuje x i bazická neceločíselná proměnná taková, že k < x i < k + 1 pro nějaké k N: K předešlém problému přidáme omezení x i k a zařadíme do P. K předešlém problému přidáme omezení x i k + 1 a zařadíme do P. 2. Vyjmi problém z P a vyřeš ho: f, x. 3. Je-li f < f min a x porušuje celočíselnost, jdi na 1. BOUNDING: Je-li f < f min a x je celočíselné, polož f min = f a x min = x, jdi na 4. BOUNDING: Je-li f f min, jdi na 4. Úloha je nepřípustná, jdi na Je-li P, jdi na 2. Je-li P = a f min =, celočíselné řešení neexistuje. Je-li P = a f min <, optimální hodnota a řešení jsou f min, x min. Martin Branda (KPMS MFF UK) 20 / 32
34 Lépe... Metoda větvení a mezí 2. Vyjmi problém z P a vyřeš ho: f, x. Pokud však pro původní úlohu před přidáním omezení platí f f min pro aktuální f min tak úlohy s přidaným omezením nemá smysl řešit! (Nemůžu dostat menší optimální hodnotu něž f min.) Martin Branda (KPMS MFF UK) 21 / 32
35 Metoda větvení a mezí Metoda větvení a mezí Martin Branda (KPMS MFF UK) 22 / 32
36 Metoda větvení a mezí Metoda větvení a mezí Výběr problému z P: FIFO/LIFO/úloha s nejmenší f. Výběr větvící proměnné xi : největší/nejmenší porušení celočíselnosti nebo největší/nejmenší koeficient v účelové funkci. Martin Branda (KPMS MFF UK) 23 / 32
37 Metoda větvení a mezí Totálně unimodulární matice Totálně unimodulární matice A: pro libovolný celočíselný vektor pravých stran b dostaneme celočíselné řešení, např. dopravní problém. Martin Branda (KPMS MFF UK) 24 / 32
38 Software... i pro nelineární celočíselné Software Prostředí: GAMS, CPlex Studio, Gurobi,... Řešitele: CPlex (pouze MILP, MIQP), Gurobi (MILP, MIQP), Baron, Bonmin (MINLP), Dicopt (MINLP), Knitro (MINLP), Lindo,... Pro náročné úlohy často nutné heuristické a metaheuristické algoritmy (greedy h., genetické alg., tabu search, simulated annealing,... ) Martin Branda (KPMS MFF UK) 25 / 32
39 Software... i pro nelineární celočíselné Software Prostředí: GAMS, CPlex Studio, Gurobi,... Řešitele: CPlex (pouze MILP, MIQP), Gurobi (MILP, MIQP), Baron, Bonmin (MINLP), Dicopt (MINLP), Knitro (MINLP), Lindo,... Pro náročné úlohy často nutné heuristické a metaheuristické algoritmy (greedy h., genetické alg., tabu search, simulated annealing,... ) Martin Branda (KPMS MFF UK) 25 / 32
40 GAMS Software Celočíselné proměnné Integer variables automaticky nezáporné s přednastavenou horní mezí 100 (lze změnit pomocí x.up(i) = 1;)! Binary variables Příkaz SOLVE using MILP MIQCP MINLP Martin Branda (KPMS MFF UK) 26 / 32
41 GAMS nastavení GAMS options Software POZOR na TOLERANCE optimálního řešení (hodnoty) pro celočíselné úlohy. optcr relativní tolerance (implicitně 0.1 bývá příliš velké) optca absolutní rolerance (vypnuta) reslim počet sekund pro řešení (implicitně 1000 bývá málo) nlp = conopt, lp = gurobi, mip = cplex výběr rešitele v kódu Např. OPTIONS optcr= reslim = 3600; Martin Branda (KPMS MFF UK) 27 / 32
42 GAMS nastavení GAMS options Software POZOR na TOLERANCE optimálního řešení (hodnoty) pro celočíselné úlohy. optcr relativní tolerance (implicitně 0.1 bývá příliš velké) optca absolutní rolerance (vypnuta) reslim počet sekund pro řešení (implicitně 1000 bývá málo) nlp = conopt, lp = gurobi, mip = cplex výběr rešitele v kódu Např. OPTIONS optcr= reslim = 3600; Martin Branda (KPMS MFF UK) 27 / 32
43 Úlohy s pravděpodobnostními omezeními Úlohy s pravděpodobnostními omezeními Chance (probabilistic) constrained problems Nechť f, g j (, ξ) : R n R, ξ je reálný náhodný vektor, ε (0, 1) malé: min x X f (x) s.t. P (g 1 (x, ξ) 0,..., g m (x, ξ) 0) 1 ε. Martin Branda (KPMS MFF UK) 28 / 32
44 Úlohy s pravděpodobnostními omezeními Úlohy s pravděpodobnostními omezeními W.M. Raike (1970). Dissection Methods for Solutions in Chance Constrained Programming Problems Under Discrete Distributions. Management Science 16 (11), Má-li ξ konečné diskrétní rozdělení s realizacemi ξ 1,..., ξ S a pnostmi p s. Polož M max j=1,...,m max s=1,...,s sup x X g j(x, ξ s). min x,u f (x) s.t. S s=1 psys 1 ε, g 1(x, ξ s) M(1 y s) 0, s = 1,..., S. g m(x, ξ s) M(1 y s) 0, s = 1,..., S, y s {0, 1}, s = 1,..., S, x X. (27) Velká úloha mixed-celočíselné optimalizace... Martin Branda (KPMS MFF UK) 29 / 32
45 Úlohy s pravděpodobnostními omezeními Value at Risk (VaR) Definice VaR pro náhodnou veličinu udávající ztrátu Z na pstním prostoru (Ω, A, P), hladina α (0, 1), obvykle 0.95, 0.99, 0.995: VaR α(z) = min z z s.t. P(Z z) α. Optimalizace portfolia: P ( min z z,x ) n R ix i z i=1 α, n E[R i] x i r min, i=1 n x i = 1, x i 0, i=1 kde R i je náhodný výnos aktiva i a minimální očekávaný výnos r min je zvolen tak, aby úloha byla přípustná. Martin Branda (KPMS MFF UK) 30 / 32
46 Úlohy s pravděpodobnostními omezeními Value at Risk (VaR) Definice VaR pro náhodnou veličinu udávající ztrátu Z na pstním prostoru (Ω, A, P), hladina α (0, 1), obvykle 0.95, 0.99, 0.995: VaR α(z) = min z z s.t. P(Z z) α. Optimalizace portfolia: P ( min z z,x ) n R ix i z i=1 α, n E[R i] x i r min, i=1 n x i = 1, x i 0, i=1 kde R i je náhodný výnos aktiva i a minimální očekávaný výnos r min je zvolen tak, aby úloha byla přípustná. Martin Branda (KPMS MFF UK) 30 / 32
47 Literatura Úlohy s pravděpodobnostními omezeními M. Branda, M.: Solving real-life portfolio problem using stochastic programming and Monte-Carlo techniques. Proceedings of the 28th International Conference on Mathematical Methods in Economics 2010, P. Pedegral (2004). Introduction to optimization, Springer-Verlag, New York. W.M. Raike (1970). Dissection Methods for Solutions in Chance Constrained Programming Problems Under Discrete Distributions. Management Science 16 (11), Š. Škoda: Řešení lineárních úloh s celočíselnými omezeními v GAMSu. Bc. práce MFF UK, L.A. Wolsey, G.L. Nemhauser, Integer and Combinatorial Optimization. Wiley, New York, Martin Branda (KPMS MFF UK) 31 / 32
48 Úlohy s pravděpodobnostními omezeními Dotazy? branda@karlin.mff.cuni.cz web: branm1am Martin Branda (KPMS MFF UK) 32 / 32
1 Úvod do celočíselné lineární optimalizace
Úvod do celočíselné lineární optimalizace Martin Branda, verze 7.. 7. Motivace Reálné (smíšeně-)celočíselné úlohy Optimalizace portfolia celočíselné počty akcií, modelování fixních transakčních nákladů,
Více4EK213 Lineární modely. 10. Celočíselné programování
4EK213 Lineární modely 10. Celočíselné programování 10.1 Matematický model úlohy ILP Nalézt extrém účelové funkce z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n na soustavě vlastních omezení a 11 x 1 + a 12 x 2 + a
VíceÚvod do úloh plánování rozvozu (Vehicle Routing Problems)
Úvod do úloh plánování rozvozu (Vehicle Routing Problems) RNDr. Martin Branda, Ph.D. Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Výpočetní
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování študenti MFF 15. augusta 2008 1 15 Základy lineárního programování Požadavky Simplexová metoda Věty o dualitě (bez důkazu)
VíceCeločíselné lineární programování(ilp)
Celočíselné lineární programování(ilp) Zdeněk Hanzálek, Přemysl Šůcha {hanzalek}@fel.cvut.cz ČVUT FEL Katedra řídicí techniky 2. března 2010 Z. Hanzálek (ČVUT FEL) Celočíselné lineární programování(ilp)
VíceMetody lineární optimalizace Simplexová metoda. Distribuční úlohy
Metody lineární optimalizace Simplexová metoda Dvoufázová M-úloha Duální úloha jednofázová Post-optimalizační analýza Celočíselné řešení Metoda větví a mezí Distribuční úlohy 1 OÚLP = obecná úloha lineárního
Více4EK212 Kvantitativní management. 2. Lineární programování
4EK212 Kvantitativní management 2. Lineární programování 1.7 Přídatné proměnné Přídatné proměnné jsou nezáporné Mají svoji ekonomickou interpretaci, která je odvozena od ekonomické interpretace omezení
VíceObecná úloha lineárního programování
Obecná úloha lineárního programování Úloha Maximalizovat hodnotu c T x (tzv. účelová funkce) za podmínek Ax b (tzv. omezující podmínky) kde A je daná reálná matice typu m n a c R n, b R m jsou dané reálné
Více4EK213 LINEÁRNÍ MODELY
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 3. přednáška SIMPLEXOVÁ METODA I. OSNOVA PŘEDNÁŠKY Standardní tvar MM Základní věta LP Princip simplexové metody Výchozí řešení SM Zlepšení řešení
Více11. března Výpočet je založen na prohledávání oblasti zahrnující všechna přípustná řešení [1, 2]. Vzhledem
Celočíselné lineární programování Přemysl Šůcha 11. března 2004 1 Úvod Celá řada praktických problémů týkajících se optimalizace může být modelována a řešena pomocí integer (coločíselného 1 nebo také diskrétního)
VíceRozhodovací procedury a verifikace Pavel Surynek, KTIML
6 Rozhodovací procedury a verifikace Pavel Surynek, KTIML http://ktiml.mff.cuni.cz/~surynek/nail094 Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova v Praze 1 Lineární aritmetika Budeme zabývat rozhodovacími
Více13. Lineární programování
Jan Schmidt 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Zimní semestr 2011/12 MI-PAA EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND PRAHA & EU: INVESTUJENE DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI
Více4EK213 LINEÁRNÍ MODELY
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2. PŘEDNÁŠKA MATEMATICKÝ MODEL ÚLOHY LP Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2 OSNOVA PŘEDNÁŠKY Obecná formulace MM Množina
VíceProblém lineární komplementarity a kvadratické programování
Problém lineární komplementarity a kvadratické programování (stručný učební text 1 J. Rohn Univerzita Karlova Matematicko-fyzikální fakulta Verze: 17. 6. 2002 1 Sepsání tohoto textu bylo podpořeno Grantovou
VíceOtázky ke státní závěrečné zkoušce
Otázky ke státní závěrečné zkoušce obor Ekonometrie a operační výzkum a) Diskrétní modely, Simulace, Nelineární programování. b) Teorie rozhodování, Teorie her. c) Ekonometrie. Otázka č. 1 a) Úlohy konvexního
VíceParametrické programování
Parametrické programování Příklad 1 Parametrické pravé strany Firma vyrábí tři výrobky. K jejich výrobě potřebuje jednak surovinu a jednak stroje, na kterých dochází ke zpracování. Na první výrobek jsou
VíceLineární programování
Lineární programování Petr Tichý 19. prosince 2012 1 Outline 1 Lineární programování 2 Optimalita a dualita 3 Geometrie úlohy 4 Simplexová metoda 2 Lineární programování Lineární program (1) min f(x) za
Více4EK201 Matematické modelování. 2. Lineární programování
4EK201 Matematické modelování 2. Lineární programování 2.1 Podstata operačního výzkumu Operační výzkum (výzkum operací) Operational research, operations research, management science Soubor disciplín zaměřených
Více1 Duální simplexová metoda
1 Duální simplexová metoda Autor: Markéta Popelová Datum: 8.5.2011 Předmět: Základy spojité optimalizace Zadání Mějme matici A R m n a primární úlohu lineárního programování v normálním tvaru (P) a k ní
VíceFIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody. Dualita. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
FIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody Dualita Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Michal Černý, 2011 FIT ČVUT, MI-LOM, M. Černý, 2011: Dualita 2/5 Dualita Evropský
Více4EK213 Lineární modely. 12. Dopravní problém výchozí řešení
4EK213 Lineární modely 12. Dopravní problém výchozí řešení 12. Distribuční úlohy LP Úlohy výrobního plánování (alokace zdrojů) Úlohy finančního plánování (optimalizace portfolia) Úlohy reklamního plánování
Více4EK311 Operační výzkum. 3. Optimalizační software a stabilita řešení úloh LP
4EK311 Operační výzkum 3. Optimalizační software a stabilita řešení úloh LP 3.1 Příklad matematický model Lis: 1 x 1 + 2 x 2 120 [min] Balení: 1 x 1 + 4 x 2 180 [min] Poptávka: 1 x 1 1 x 2 90 [krabiček]
VíceSimplexové tabulky z minule. (KMI ZF JU) Lineární programování EMM a OA O6 1 / 25
Simplexové tabulky z minule (KMI ZF JU) Lineární programování EMM a OA O6 1 / 25 Simplexová metoda symbolicky Výchozí tabulka prom. v bázi zákl. proměné přídatné prom. omez. A E b c T 0 0 Tabulka po přepočtu
VíceKarta předmětu prezenční studium
Karta předmětu prezenční studium Název předmětu: Číslo předmětu: 545-0259 Garantující institut: Garant předmětu: Exaktní metody rozhodování Institut ekonomiky a systémů řízení RNDr. Radmila Sousedíková,
VíceOSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA [ MOPV ] METODY OPERAČNÍHO VÝZKUMU
OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA [ MOPV ] METODY OPERAČNÍHO VÝZKUMU Distanční opora RNDr. Miroslav Liška, CSc. OSTRAVA 2002 1 Simplexová metoda je iterační výpočetní postup pro nalezení optimálního
VíceEkonomická formulace. Matematický model
Ekonomická formulace Firma balící bonboniéry má k dispozici 60 čokoládových, 60 oříškových a 85 karamelových bonbónů. Může vyrábět dva druhy bonboniér. Do první bonboniéry se dávají dva čokoládové, šest
VíceMatematika pro informatiky
(FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 1 / 1 Matematika pro informatiky Jaroslav Milota Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Letní semestr 2010/11 Extrémy funkce
VíceOPTIMALIZACE A MULTIKRITERIÁLNÍ HODNOCENÍ FUNKČNÍ ZPŮSOBILOSTI POZEMNÍCH STAVEB D24FZS
OPTIMALIZACE A MULTIKRITERIÁLNÍ HODNOCENÍ FUNKČNÍ ZPŮSOBILOSTI POZEMNÍCH STAVEB Optimalizace a multikriteriální hodnocení funkční způsobilosti pozemních staveb Anotace: Optimalizace objektů pozemních staveb
VíceProgramy pro ˇreˇsen ı ulohy line arn ıho programov an ı 18. dubna 2011
Programy pro řešení úlohy lineárního programování 18. dubna 2011 Přehled Mathematica Sage AMPL GNU Linear Programming Kit (GLPK) Mathematica Mathematika je program pro numerické a symbolické počítání.
Vícee-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010
Optimální výrobní program Radka Zahradníková e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Obsah 1 Lineární programování 2 Simplexová metoda 3 Grafická metoda 4 Optimální výrobní program Řešení
VíceData Envelopment Analysis (Analýza obalu dat)
Data Envelopment Analysis (Analýza obalu dat) Martin Branda Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Optimalizace s aplikací ve financích
VíceStochastické programování
Stochastické programování Neurčitost je klíčovou složkou mnoha rozhodovacích úloh. Pokud jsou neznámé prvky relativně nevýznamné, přiřazení rozumných hodnot těmto prvkům nezpůsobí velké potíže. V mnoha
Vícef ( x) = 5x 1 + 8x 2 MAX, 3x x ,
4. okruh z bloku KM1 - řídicí technika Zpracoval: Ondřej Nývlt (o.nyvlt@post.cz) Zadání: Lineární programování (LP), simplexová metoda, dualita v LP. Nelineární programování. Vázaný extrém. Karush-Kuhn-Tuckerova
VícePŘEDNÁŠKA 03 OPTIMALIZAČNÍ METODY Optimization methods
CW057 Logistika (R) PŘEDNÁŠKA 03 Optimization methods Ing. Václav Venkrbec skupina obecných modelů slouží k nalezení nejlepšího řešení problémů a modelovaných reálií přináší řešení: prvky konečné / nekonečné
VíceAMPL a možnosti zápisu vícestupňových úloh SP
Stochastické programování a aproximace 16. Listopad 2006 Obsah Vícestupňová úloha stochastického programování Modelovací jazyk AMPL a AMPL Studio Zápis stromu scénářů pomocí AMPL Stochastické rozšíření
VíceMetodické pokyny pro práci s modulem Řešitel v tabulkovém procesoru Excel
Metodické pokyny pro práci s modulem Řešitel v tabulkovém procesoru Excel Modul Řešitel (v anglické verzi Solver) je určen pro řešení lineárních i nelineárních úloh matematického programování. Pro ilustraci
Více4EK213 Lineární modely. 5. Dualita v úlohách LP
4EK213 Lineární modely 5. Dualita v úlohách LP 5. Dualita v úlohách LP Obecné vyjádření simplexové tabulky Formulace duálního problému Formulace symetrického duálního problému Formulace nesymetrického
VíceStudentská soutěžní práce
Univerzita Tomáše Bati Fakulta aplikované informatiky Ústav automatizace a řídicí techniky Studentská soutěžní práce STOČ 2011 Mobilní aplikace celočíselného programování metodou větví a mezí 2011 Adam
VíceNumerické metody optimalizace - úvod
Numerické metody optimalizace - úvod Petr Tichý 16. února 2015 1 Organizace přednášek a cvičení 13 přednášek a cvičení. Zápočet: úloha programování a testování úloh v Matlabu. Další informace na blogu
VíceOperační výzkum. Vícekriteriální programování. Lexikografická metoda. Metoda agregace účelových funkcí. Cílové programování.
Operační výzkum Lexikografická metoda. Metoda agregace účelových funkcí. Cílové programování. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu
Více4.Řešení optimalizačních úloh v tabulkových kalkulátorech
4.Řešení optimalizačních úloh v tabulkových kalkulátorech Tabulkové kalkulátory patří mezi nejpoužívanější a pro běžného uživatele nejdostupnější programové systémy. Kromě základních a jim vlastních funkcí
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 3. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 21 Co nás dneska čeká... Co je to soustava lineárních
VíceSystémové modelování. Ekonomicko matematické metody I. Lineární programování
Ekonomicko matematické metody I. Lineární programování Modelování Modelování je způsob zkoumání reality, při němž složitost, chování a další vlastnosti jednoho celku vyjadřujeme složitostí, chováním a
VíceZáklady spojité optimalizace
Základy spojité optimalizace 2. ledna 2013 Obsah 1 Přehled 2 1.1 Obecná úloha........................... 2 1.2 Dělení úloh............................ 2 1.3 Volný extrémem......................... 3 1.4
VíceLineární klasifikátory
Lineární klasifikátory Lineární klasifikátory obsah: perceptronový algoritmus základní verze varianta perceptronového algoritmu přihrádkový algoritmus podpůrné vektorové stroje Lineární klasifikátor navrhnout
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25
Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceZápadočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd. Ivana Kozlová. Modely analýzy obalu dat
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU MATEMATICKÉ MODELOVÁNÍ Ivana Kozlová Modely analýzy obalu dat Plzeň 2010 Obsah 1 Efektivnost a její hodnocení 2 2 Základní
VíceTeorie her a ekonomické rozhodování. 2. Maticové hry
Teorie her a ekonomické rozhodování 2. Maticové hry 2.1 Maticová hra Teorie her = ekonomická vědní disciplína, která se zabývá studiem konfliktních situací pomocí matematických modelů Hra v normálním tvaru
Vícefakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.
Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
Více4EK311 Operační výzkum. 1. Úvod do operačního výzkumu
4EK311 Operační výzkum 1. Úvod do operačního výzkumu Mgr. Jana SEKNIČKOVÁ, Ph.D. Nová budova, místnost 433 Konzultační hodiny InSIS E-mail: jana.seknickova@vse.cz Web: jana.seknicka.eu/vyuka Garant kurzu:
VíceCeločíselné Programování
Milan Hladík Celočíselné Programování text k přednášce. května 07 Tento text zatím slouží jako doprovodný text přednášky Celočíselné programování na studiu informatiky Matematicko-fyzikální fakulty Univerzity
Více4EK311 Operační výzkum. 4. Distribuční úlohy LP část 1
4EK311 Operační výzkum 4. Distribuční úlohy LP část 1 4. Distribuční úlohy LP Úlohy výrobního plánování (alokace zdrojů) Úlohy finančního plánování (optimalizace portfolia) Úlohy reklamního plánování (plánování
VíceIntervalová data a výpočet některých statistik
Intervalová data a výpočet některých statistik Milan Hladík 1 Michal Černý 2 1 Katedra aplikované matematiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova 2 Katedra ekonometrie Fakulta informatiky a
Více4EK213 Lineární modely. 4. Simplexová metoda - závěr
4EK213 Lineární modely 4. Simplexová metoda - závěr 4. Simplexová metoda - závěr Konečnost simplexové metody Degenerace Modifikace pravidla pro volbu vstupující proměnné Blandovo pravidlo Kontrola výpočtu
VíceSystematická tvorba jízdního řádu 2. cvičení
Projektování dopravní obslužnosti Systematická tvorba jízdního řádu 2. cvičení Ing. Zdeněk Michl Ústav logistiky a managementu dopravy ČVUT v Praze Fakulta dopravní Rekapitulace zadání Je dána následující
VíceDSS a De Novo programming
De Novo Programming DSS a De Novo programming DSS navrhují žádoucí budoucnost a cesty k jejímu uskutečnění Optimalizační modely vhodné nástroje pro identifikaci optimálního řešení problému Je ale problém
VíceOptimální řízení pro geometrický Brownův pohyb
1/39 Optimální řízení pro geometrický Brownův pohyb Lenka Slámová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Stochastické modelování v ekonomii a
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
Více4EK201 Matematické modelování 5. Speciální úlohy lineárního programování
4EK201 Matematické modelování 5. Speciální úlohy lineárního programování 4. Typické úlohy LP Úlohy výrobního plánování (alokace zdrojů) Úlohy finančního plánování (optimalizace portfolia) Směšovací problémy
VíceAlgoritmus pro hledání vlastních čísel kvaternionových matic
Úvod Algoritmus pro hledání vlastních čísel kvaternionových matic Bc. Martin Veselý Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská Katedra softwarového inženýrství v ekonomii Skupina aplikované matematiky a stochastiky
VíceObecná úloha lineárního programování. Úloha LP a konvexní množiny Grafická metoda. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno
Přednáška č. 3 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Optimalizace portfolia Investor se s pomocí makléře rozhoduje mezi následujícími investicemi: akcie A, akcie B, státní pokladniční poukázky, dluhopis A, dluhopis
VíceÚvod do teorie her
Úvod do teorie her 2. Garanční řešení, hry s nulovým součtem a smíšené strategie Tomáš Kroupa http://staff.utia.cas.cz/kroupa/ 2017 ÚTIA AV ČR Program 1. Zavedeme řešení, které zabezpečuje minimální výplatu
VícePrincip řešení soustavy rovnic
Princip řešení soustavy rovnic Tomáš Kroupa 20. května 2014 Tento studijní materiál je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Obsah Formulace úlohy Metody řešení
VíceCeločíselné Programování
Milan Hladík Celočíselné Programování text k přednášce 19. května 2015 Tento text zatím slouží jako doprovodný text přednášky Celočíselné programování na studiu informatiky Matematicko-fyzikální fakulty
VíceMATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST
MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST 1. Úvod. Matematická statistika (statistics) se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného
VíceLineární algebra. Soustavy lineárních rovnic
Lineární algebra Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ.1.07/2.2.00/28.0326
VícePokročilé matematické modely a metody
Pokročilé matematické modely a metody Jan Fábry ŠKODA AUTO Vysoká škola Katedra logistiky, kvality a automobilové techniky fabry@savs.cz http://nb.vse.cz/~fabry Leden 2017, Mladá Boleslav Jan Fábry Pokročilé
VíceÚvod do optimalizace
Přednáška Ú-Opt, February 19, 2006:1324 Petr Lachout 1 Úvod do optimalizace Prof. RNDr. Jitka Dupačová, DrSc. Doc. RNDr. Petr Lachout, CSc. KPMS MFF UK Verze 19. února 2006 2 Obsah 1 Úvod 5 2 Optimalizace
VíceSoustavy lineárních rovnic
Přednáška MATEMATIKA č 4 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz 27 10 2010 Soustava lineárních rovnic Definice Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a
Vícematiceteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést
Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud
VíceNumerické metody a programování. Lekce 8
Numerické metody a programování Lekce 8 Optimalizace hledáme bod x, ve kterém funkce jedné nebo více proměnných f x má minimum (maximum) maximalizace f x je totéž jako minimalizace f x Minimum funkce lokální:
VíceVyužití pojmu Hilbertovy báze pro ověření hypotézy o shodnosti strukturálních a kombinatorických imsetů
Využití pojmu Hilbertovy báze pro ověření hypotézy o shodnosti strukturálních a kombinatorických imsetů Petr Šimeček, Milan Studený 2. září 2004 Abstrakt Klíčovým problémem v metodě popisu struktur podmíněné
VíceOtázky ke II. části písemné zkoušky Úvod do operačního výzkumu 1. Popište proces operačního výzkumu a uveďte typy rozhodovacích situací.
Otázky ke II. části písemné zkoušky Úvod do operačního výzkumu 1. Popište proces operačního výzkumu a uveďte typy rozhodovacích situací. Rozhodovací situace můžeme klasifikovat podle následujících hledisek
Více2. Řešení algebraické
@016 2. Řešení algebraické Definice: Nechť a, c jsou reálná čísla. Rovnice v R (s neznámou x) daná formulí se nazývá lineární rovnice a ax + c = 0 se nazývají lineární nerovnice. ax + c 0 ax + c < 0 ax
VíceFP - SEMINÁŘ Z NUMERICKÉ MATEMATIKY. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci
FP - SEMINÁŘ Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci OBSAH A CÍLE SEMINÁŘE: Opakování a procvičení vybraných
VíceANALÝZA A KLASIFIKACE DAT
ANALÝZA A KLASIFIKACE DAT prof. Ing. Jiří Holčík, CSc. INVESTICE Institut DO biostatistiky ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ a analýz IV. LINEÁRNÍ KLASIFIKACE PRINCIPY KLASIFIKACE pomocí diskriminačních funkcí funkcí,
Více4EK314 Diskrétní modely
4EK314 Diskrétní modely Jan Fábry Fakulta informatiky a statistiky Katedra ekonometrie fabry@vse.cz http://nb.vse.cz/~fabry Únor 2016, Praha Jan Fábry Diskrétní modely 1 / 153 Sylabus kurzu 1 Úloha celočíselného
VíceZáklady maticového počtu Matice, determinant, definitnost
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n
VíceOptimalizační metody Lineární programování a kombinatorická optimalizace
Optimalizační metody Lineární programování a kombinatorická optimalizace Jiří Sgall 19. března 2018 1 Optimalizace Vznik ve 40. letech, motivace válečná logistika, později teorie her (von Neumann), ekonomie.
VíceValue at Risk. Karolína Maňáková
Value at Risk Karolína Maňáková Value at risk Historická metoda Model-Building přístup Lineární model variance a kovariance Metoda Monte Carlo Stress testing a Back testing Potenciální ztráta s danou pravděpodobností
VíceOptimalizace portfolia a míry rizika. Pavel Sůva
Základní seminář 6. října 2009 Obsah Úloha optimalizace portfolia Markowitzův model Míry rizika Value-at-Risk Conditional Value-at-Risk Drawdown míry rizika Minimalizační formule Optimalizační modely Empirická
Více4EK311 Operační výzkum. 2. Lineární programování
4EK311 Operační výzkum 2. Lineární programování 2.2 Matematický model úlohy LP Nalézt extrém účelové funkce z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n na soustavě vlastních omezení a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x
Více1 Determinanty a inverzní matice
Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého
Více6 Simplexová metoda: Principy
6 Simplexová metoda: Principy V této přednášce si osvětlíme základy tzv. simplexové metody pro řešení úloh lineární optimalizace. Tyto základy zahrnují přípravu kanonického tvaru úlohy, definici a vysvětlení
VíceBinární vyhledávací stromy pokročilé partie
Binární vyhledávací stromy pokročilé partie KMI/ALS lekce Jan Konečný 30.9.204 Literatura Cormen Thomas H., Introduction to Algorithms, 2nd edition MIT Press, 200. ISBN 0-262-5396-8 6, 3, A Knuth Donald
VíceSoustavy linea rnı ch rovnic
[1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.
VíceOperační výzkum. Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry.
Operační výzkum Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty
VíceIB112 Základy matematiky
IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic
VíceDefinice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně
7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností
VíceDRN: Kořeny funkce numericky
DRN: Kořeny funkce numericky Kořenem funkce f rozumíme libovolné číslo r splňující f(r) = 0. Fakt. Nechť f je funkce na intervalu a, b. Jestliže f(a) f(b) < 0 (tj. f(a) a f(b) mají opačná znaménka) a f
VícePřílohy. Příloha 1. Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel
Přílohy Příloha 1 Řešení úlohy lineárního programování v MS Excel V této příloze si ukážeme, jak lze řešit úlohy lineárního programování pomocí tabulkového procesoru MS Excel 2007. Výpočet budeme demonstrovat
VíceSoustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.
[1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.
Více9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota y závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí y = f(x).
Více1.Modifikace simplexové metody
.Modifikace simplexové metody Simplexová metoda, v podobě popsané v prvním tématu, je vhodná zejména pro řešení úloh LP menších rozměrů, především pak pro ruční výpočty. Algoritmus metody je jednoduchý,
VíceÚvod do optimalizace Matematické metody pro ITS (11MAMY)
Úvod do optimalizace Matematické metody pro ITS (11MAMY) Jan Přikryl (volně dle M.T. Heathe) 10. přednáška 11MAMY úterý 22. března 2016 verze: 2016-04-01 16:10 Obsah Optimalizační problém 1 Definice 1
VíceRovnovážné modely v teorii portfolia
3. září 2013, Podlesí Obsah Portfolio a jeho charakteristiky Definice portfolia Výnosnost a riziko aktiv Výnosnost a riziko portfolia Klasická teorie portfolia Markowitzův model Tobinův model CAPM - model
Více7 Konvexní množiny. min c T x. při splnění tzv. podmínek přípustnosti, tj. x = vyhovuje podmínkám: A x = b a x i 0 pro každé i n.
7 Konvexní množiny Motivace. Lineární programování (LP) řeší problém nalezení minima (resp. maxima) lineárního funkcionálu na jisté konvexní množině. Z bohaté škály úloh z této oblasti jmenujme alespoň
VíceNáhodný vektor a jeho charakteristiky
Náhodný vektor a jeho číselné charakteristiky 1 Náhodný vektor a jeho charakteristiky V následující kapitole budeme věnovat pozornost pouze dvourozměřnému náhodnému vektoru, i když uvedené pojmy a jejich
VíceOperace s maticemi
Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =
Více