a je základ mocniny n je mocnitel(určuje počet činitelů v součtu)

Transkript

1 Matematika pro 8.ročník -. pololetí Kolektiv pedagogů FZŠ Brdičkova 878, Praha.Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina, druhá odmocnina..druhá mocnina součin sobě rovných čísel je mocnina součin můžeme psát také jako mocninu 7 a.a a součin dvou čísel druhá mocnina čísla a názvy a zápis: a n. a N 0, n N 0 a je základ mocniny n je mocnitel(určuje počet činitelů v součtu) Mocnina přirozeného čísla je vždy číslo přirozené Zpaměti musíš zvládnout : číslo nula umocněné jakýmkoli mocnitelem různým od nuly je vždy 0; nenulové číslo umocněné číslem nula je vždy ; a 0, a N 0 UPOZORNĚNÍ: Všechny příklady a souhrnná cvičení jsou řešena za použití tabulek, nikoli kalkulačky!!!!! Příklad: Vypočítej: (-4) (-4).(-4) vyhledali jsme v tabulkách 600 ( ) ,5,5.,5,5 700 ( ) , , , ,7 ( 0,. 7 ) 0,. 7 0, ,49 0, , ,00085 Strana (celkem 5)

2 Matematika pro 8.ročník -. pololetí Kolektiv pedagogů FZŠ Brdičkova 878, Praha , zaokrouhlíme na (-) (-) Cvičení. Cvičení. Vypočítej pomocí tabulek: a) (,4.0,8) b),4.0,8 c) 40,5 Vypočítej pomocí tabulek a vhodného zaokrouhlení: a) 999 b) 0,055 c), d) 89,65 Cvičení. Vypočítej pomocí tabulek: a) +, + 0, b) ,8 c) -, - 0, d) ,8 Cvičení 4. Vypočítej pomocí tabulek: a),8 b) (-0,564) c) -5,0 d) 0,45 e) 0,00 Cvičení 5. Vypočítej pomocí tabulek: a) b) 6-4 c) (6 + 4) d) (6 4) e) 6-4 f) 6 + (-4) g) 6. 4 h) 6. 4 i) Druhá odmocnina je opakem mocniny - druhá a třetí odmocnina čísla je uvedena v tabulkách i s návodem k jejich použití. druhá odmocnina čísla a, kde a je druhá mocnina přirozeného čísla. Zpaměti musíš zvládnout : Strana (celkem 5)

3 Matematika pro 8.ročník -. pololetí Kolektiv pedagogů FZŠ Brdičkova 878, Praha Příklad: Určete : třetí odmocnina čísla a, kde a je třetí mocnina přirozeného čísla. Příklad: Určete 8.. Je-li přirozené číslo mocninou přirozeného čísla, je odmocnina číslo přirozené. Neexistuje odmocnina záporného čísla, protože žádná dvě záporná čísla nemají záporný součin x neexistuje!!!!! Příklad: Vypočítej: 8, potom , 5 7, 78,7 78 7,96 0, , , 0,7 0, , ,0 0,9 0, , ,00 0,00,5 5. 0, ,,5 0, , 7. 0, ,07,68.0,00,0768 Cvičení 6. Vypočítej pomocí tabulek: a) b) c) d) 0, 49 e), 56 f) 0, 044 g) 0, 056 h) 0, i), 5 Cvičení 7. Určete přibližné výsledky pomocí tabulek a vhodného zaokrouhlení odmocněnců: a) 0, 0576 d) 5487 b) 6, 957 e) 0, 58 g) 487 c) f), 69 h), 4 Strana (celkem 5)

4 Matematika pro 8.ročník -. pololetí Kolektiv pedagogů FZŠ Brdičkova 878, Praha Příklad: Vypočítej pomocí tabulek: ,0 0,6 0, 0,4 40 Cvičení 8. Vypočítej pomocí tabulek: a) 64 5 b) 78 c) 5 6 e) d) 4 5 0,0009 0,0064 f) 96 Cvičení 9. Vypočítej zpaměti: a) 44 b) 6 c) 69 d) 00-8 e) f) g) 0, 49 h) i) 500 j) + 6 k) 4-9 l) Cvičení 0. Vypočítej a) 0, 044 b) c) 0, 06 d) 600 e) f) 00 g), 89 h) 0,5 0,6 i) ( ) j) 900 Cvičení. Vypočítej pomocí tabulek(případně vhodně zaokrouhli): a) 0, 0 e) 8900 b) 8, 65 c) 0, d) 5, 68 f) 0, g) 0, 04 h) 77 i) 0, 54 j) 4, 09 k) 765 Cvičení. Vypočítej pomocí tabulek: a) b) c) 0, 04., d) 0, 09., e) f) g) 0, h) 0, Cvičení. Vypočítej: a) 0, , , b).( 4, 4 -, 56 )-.,69, 44 Strana 4 (celkem 5)

5 Matematika pro 8.ročník -. pololetí Kolektiv pedagogů FZŠ Brdičkova 878, Praha c) -.( 5, 9 -, 4 )+0,5 d) 5.4( 7, 9-4, 84 )-,5 e) , 96-5,4 f).(,5, (,5,) ) ) Výsledky Cvičení:. a)7,984 b),76 c) -86,5. a)99800 b) 0, c) 0,4 d) 799,6. a)70,7069 b) 6464,64 c) 67,9 d) 65,6 4. a) 6,84 b) 0,8096 c)-5,004 d) 0,05 e)0, a) b)-0 c)00 d)4 e) f) g) 96 h)44 i) a)700 b)500 c) d)0,7 e),6 f)0, g)0,6 h)0,00 i),5 7. a)0,4 b),68 c)50 d)74, e), f),46 g)0,7 h)0,58 8. a) ,0 b) c) 5 5 d) e) 4 4 f) 5 0, a) b)6 c) d) e)000 f) g)0,7 h)9 i)50 j)9 k)- l) 0. a)0, b)000 c)0,9 d)90 e)0, f)4,4 g),7 h),5 i) j)neexistuje odmocnina záporného čísla. a)0, b),94 c)0,00 d),8 e)70 f)0,0766 g)0, h)5,9 i)0,87 j),0 k)85,4. a)4080 b)489 c)0,8 d), e)0 f)4 g),5 h). a),055 b)0,5 c)8,065 d)9,475 e)6,84 f)-9,6 Souhrnná cvičení: druhá mocnina, druhá odmocnina. Vypočítej pomocí tabulek: a) b) 6, c) (-9) d) (7-8). Vypočítej pomocí tabulek: a) 5 + b) 5 - c) (5 + ). Vypočítej pomocí tabulek: a) 0 b) 6000 c) Vypočítej pomocí tabulek: e) f) (-5) g) 6 h) 4 i) 57 d) (5 ) e) 5 - f) 5 + (-) g) 5. d) e) 560 f) 880 g) 7 00 j) 9 k) 450 l) 7 h) 5. i) 5. h) 9090 i) Strana 5 (celkem 5)

6 Matematika pro 8.ročník -. pololetí Kolektiv pedagogů FZŠ Brdičkova 878, Praha a) 0,8 b) 0, c),4 d) 0,09 e) 0,5 f) 0,09 g) 78 h) 77,7 i) 45, j) 0,457 k) 0, l),7 5. Urči přibližné výsledky pomocí tabulek: a),456 b) 0,6 c) 7,568 d) e) 4,069 f) 9404, g) 0, h) 0, Vypočítej pomocí tabulek: a),4.0,8 b) 40,5 c) (40,5) 7. Vypočítej pomocí tabulek : a) 5 b) 8. Vypočítej pomocí tabulek: a).. 5 b).. 5 c).. 5 d) 40,5 e) (58 64,7) f) (0 85,6) g) ,9 8 c) 5 8 d) 5 e) 7 d).. 5 e).. 5 f) (.. 5 ) g) (. ). 5 h) , i) 4 58, 6 f) 9 h). (. 5 ) i). (. 5) 9. Obdélník KLMN má rozměry /KL/ a, /LM/.a.Obdélník OPQR má rozměry /OP/ 0,5a, /PQ/.a. a) Napiš vzorec pro výpočet obsahu a) obdélníku KLMN, b) obdélníku OPQR b) Který obdélník má větší obsah a o kolik větší? c) Správnost svých výsledků ověřte pro a cm. 0. Čtvercová podlaha se stranou délky 6,4 m má stejný obsah jako obdélníková podlaha se šířkou 5, m. Vypočítejte obvod obdélníkové podlahy.. Lesní lokalita měla tvar čtverce. Devastací porostu se její výměra zmenšila o m. Z původního lesa zbyl cíp ve tvaru rovnoramenného pravoúhlého trojúhelníku s odvěsnou délky 00, m. Jaké byly původní rozměry lesní lokality?. Žáci pěstovali léčivé rostliny na dvou záhonech stejně velkého obsahu. První záhon měl tvar obdélníku s rozměry 0 m a,5 m. Druhý záhon měl tvar čtverce; vypočítejte délku jeho strany. Strana 6 (celkem 5)

7 Matematika pro 8.ročník -. pololetí Kolektiv pedagogů FZŠ Brdičkova 878, Praha. V objektu čisticí stanice odpadních vod je pět nádrží tvaru kvádru se čtvercovou základnou 6,4 m a výškou m. Vypočítejte objem všech nádrží v hektolitrech. 4. V městském parku, který má výměru 089 m, bylo vybudováno dětské hřiště tvaru čtverce se stranou délky 6,5 m. Kolik procent z celé výměry parku připadá na dětské hřiště. 5. O kolík procent se zvětší obsah čtverce se stranou délky,4 cm, zvětší.li se tato délka o 50%? 6. Urči druhé odmocniny pomocí tabulek: a) 7 e) b) 06 f) c) 458 g) 6, 4 d) 9600 h) 9, 6 7. Určete výsledky pomocí tabulek: a). 7 d). 7 b) 600 e) 900 c) 08 f) 8 g) Vypočítejte a zaokrouhlete: a), 7, na desetiny b) , 70000, na stovky c) 6,, 8, 6, 9, 8 na setiny 9. Vypočítej pomocí tabulek: a) c) b) 64-6 d) 64 : 6 0. Vypočítej pomocí tabulek: a) 00 6 d) b) 5 e) 6, 6 c) 0, 09-0,5., 96 f) Vypočítej pomocí tabulek: a) f)..5 b) 7. 7 c) 7..0, 04 g) 0,5 0, h) 5 : 5 d) i) 0,5 96-0, e) , 6. Vypočítejte pomocí tabulek: a) d) g) b) 0, e) h) 00 0,8 7 c) f) i) 5 6 i) 0, 086 j) 0, 7 k) 7, h) 00 i) 8 e) g) 0, h) 5. 9 j) 0,5.0, 64. 0,6. 5 k) 5 : 0, 5 l) 0, 5 : 0, 005 j) k) l) 64 0, Strana 7 (celkem 5)

8 Matematika pro 8.ročník -. pololetí Kolektiv pedagogů FZŠ Brdičkova 878, Praha. Vypočítej pomocí tabulek: 7 c). ( ) a) 0,. +. 0, d) ( )(. ) 9 b) 8. e) a b pro a 6,5, b -, Určete délku strany čtvercového území, které má stejnou rozlohu jako Česká republika, tj. asi km.(výsledek zaokrouhlete na celé kilometry) 5. Původní školní hřiště mělo tvar čtverce se stranou dlouhou m. Po zvětšení o 4 m mělo opět tvar čtverce. Kolik obrubníků s délkou 0,5 m se spotřebovalo na jeho ohraničení? Mezery mezi obrubníky neberte v úvahu) 6. Stěna velké krychle má obsah 80 dm. O malé krychli víme, že se její povrch rovná 80% povrchu krychle. Určete délku hrany malé krychle. 7. Pan Novák se rozhodl, že na čtvercovém pozemku s výměrou 8 arů vybuduje sad. Kolik metrů drátěného pletiva spotřebuje na jeho oplocení, jestliže vrata a dvířka s celkovou délkou 8 metrů vyrobí z jiného materiálu? Výsledky souhrnných cvičení: Druhá mocnina, druhá odmocnina. a)44 b) 9,69 c) 8 d) e) 9 f) 5 g) 56 h) 576 i) 4649 j) k) 0500 l)764. a) 4 b) -4 c) 64 d) 4 e) f) 4 g) 45 h) 75 i) 5. a) 400 b) c) d) e) 600 f) g) h) i) a) 0,64 b) 0,0 c),96 d) 0,008 e) 0,5 f) 0,005 g) 6084 h) 607,9 i) 05,09 j) 0,08849 k) 0,076 l) 6,9 5. a),6 b) 56 c) 57,049 d) e) 689, f) g) 400 h) 0, a) 9,48 b)5654,75c) 4056,5 d) 57567,5 e) 764,89 f)5475,6 g) 90,6 h) 554,8 i) -975, a) b) c) d) e) f) a) 900 b) 450 c) 60 d) 80 e) 50 f) 900 g) 80 h) 450 i) a)a b) a b) KLMN o a c) 8 cm, 6 cm 0. 6,4 m. 00 m. 5m hl 4. 5% 5. 5% 6. a)4, b)4,5 c),40 d)98 e)46,6 f)5,4 g),498 h),059 i)0,69 j)0,854 k),68 7. a) b)40 c)0,9 d)9 e)0 f), g)5 h)0 i),8 8. a),7;,7;, b)700; 400; 00 c),50; 9,;,8 9. a)48 b) c)4 d), e)0 0. a)8 b)4 c)-0,4 d)5 e)0,6 f)-9, g)6 h)5. a)5 b)7 c)5,8 d)0 e)-4 f)0 g), h) i)6,88 j), k)0 l)0. a),5 b)0, c) 5/7 d)5/4 e)4/9 f)/5 g)/ h)5 i)56,5 j)40 k) l)7/ km protože první a poslední jsou jeden. a)0,4 b)- c)- d) e) dm 7. 5 m. Pythagorova věta Platí jen v pravoúhlém trojúhelníku Součet druhých mocnin obsahů čtverců nad odvěsnami pravoúhlého trojúhelníku se rovná obsahu čtverce nad přeponou: Strana 8 (celkem 5)

9 Matematika pro 8.ročník -. pololetí Kolektiv pedagogů FZŠ Brdičkova 878, Praha a + b c Příklad: a) ABC: a cm, b 4 c m, c 5 cm. Je tento trojúhelník pravoúhlý? Aby byl pravoúhlý, musí platit Pythagorova věta:a + b c, tedy ABC je pravoúhlý, protože platí Pythagorova věta. b) ABC: a cm, b 4 c m, c 7 cm. Je tento trojúhelník pravoúhlý? Aby byl pravoúhlý, musí platit Pythagorova věta:a + b c, tedy ABC není pravoúhlý, protože neplatí Pythagorova věta. Příklad: a)v pravoúhlém ABC vypočítej přeponu c, jsou-li délky odvěsen a 5 cm, b cm. a + b c 5 + c c 69 c c 69 cm Přepona měří cm. b)v pravoúhlém ABC vypočítej délku odvěsny a, jsou-li délky odvěsny b 8 cm a přepony c 0 cm. a + b c Strana 9 (celkem 5)

10 Matematika pro 8.ročník -. pololetí Kolektiv pedagogů FZŠ Brdičkova 878, Praha a c b a 0-8 a 6 a 6 6 cm Odvěsna měří 6 cm. Souhrnná cvičení: Pythagorova věta:. Rozhodni, zda trojúhelník se stranami a) 85 mm, mm, 57 mm je pravoúhlý b) 8,5 m, m, 5, m je pravoúhlý c) 9,5 cm, 6,8 cm, 9, cm je pravoúhlý d) 7 cm, 4 cm, 5 cm je pravoúhlý e) 80 cm, 90 cm, 450 cm je pravoúhlý. Vypočti délku přepony pravoúhlého trojúhelníku, jsou-li jeho a) odvěsny a8 cm, b,5 dm b) odvěsny a5 cm, b, dm c) odvěsny a5 mm, b cm. Vypočítej délku přepony pravoúhlého trojúhelníku, je-li dána délka odvěsen a) a m, b4 m b) a50 m, b m c) a57 m, b m d) a,5 m, b7,5 m 4. Jak dlouhá je úhlopříčka obdélníku, který má délky stran: a) a, dm, b7 cm b) a5 dm, b7,5 m c) a4 cm, b7,5 cm 5. Vypočítej délku druhé odvěsny pravoúhlém trojúhelníku jestliže: a) přepona má délku c7 cm a odvěsna a5 cm b) přepona má délku c0, m a odvěsna a6 cm c) přepona má délku c0,8 m a odvěsna a6,8 cm 6. Vypočítej obsah rovnoramenného trojúhelníku KLM, který má: a) rameno k8,5 cm a výšku na základnu v cm b) rameno k0 dm a základnu v dm c) základnu m 6 mm a výšku na základnu 87 mm 7. Vypočti délku odvěsny pravoúhlého trojúhelníku, je-li dána přepona c a odvěsna a: a) c5 cm, a cm c) c5,5 cm, a,5 cm b) c7 cm, a4 cm d) c,5 cm, a, cm 8. Kosočtverec ABCD má úhlopříčky e 48 cm, f 0 cm. Vypočítej délku strany kosočtverce. 9. Jakou velikost má tětiva kružnice k(s; r 6 cm), je-li vzdálena od S cm? 0. Rovnoramenný trojúhelník má základnu dlouhou 6 cm, jeho rameno je o cm delší než základna. Vypočítejte obsah tohoto trojúhelníku.. V trojúhelníku ABC je b cm, c,5 cm, v a,4 cm. Vypočítej délku strany a.. Je dán rovnoběžník s délkami úhlopříček 0 cm a 4 cm, a jedna jeho strana je dlouhá 0 mm. Urči, zda rovnoběžník je kosočtverec.. A, B, jsou dva různé body kružnice k(s; 7,5 cm) a jsou spojeny úsečkou AB9 cm. Vypočítej vzdálenost středu S kru nice k od středu S' úsečky AB. Načrtni obrázek. 4. Základny pravoúhlého lichoběžníku ABCD s pravým úhlem při vrcholu A mají délku 9 cm a 76 cm, jeho výška se rovná 6 cm. Vypočítej délku ramene b. 5. Urči délku ramene r a výšku v t rovnoramenného trojúhelníku RST, jestliže strana RS je průměrem kružnice k(t'; 4 cm), kde T' je středem strany RS, a zároveň platí, že vrchol T leží na kružnici k. Strana 9 (celkem 5)

11 Matematika pro 8.ročník -. pololetí Kolektiv pedagogů FZŠ Brdičkova 878, Praha 6. Žebřík dlouhý 6 m je opřen o zeď. Jeho dolní konec je od zdi vzdálen, m. V jaké výšce se žebřík dotýká zdi? 7. Vypočítej délku kanalizačního potrubí, které ve směru úhlopříčky spojuje dva rohy obdélníkového nádvoří s rozměry 45 m a 6 m. 8. Rovnoramenný lichoběžník má základny dlouhé cm a 45 mm.rameno lichoběžníku má dálku 65 mm. Vypočítej výšku, úhlopříčku, obsah a obvod lichoběžníku. 9. Body A, B, C označují tři města. Město A leží 0 km severně od města B a 50 km západně od města C. Stanov vzdálenost mezi městy B,C. 0. Ocelový komín vysoký 7 m je ve dvou třetinách své výšky upoutám čtyřmi stejně dlouhými ocelovými lany, jejichž konce jsou upevněny ve vzdálenosti m od paty komína. Kolik metrů lana je třeba na upoutání komína, jestliže zakotvení si vyžádalo navíc 5 % jeho délky.. Kolmo rostoucí topol nalomil vítr ve výšce 6 m nad zemí. Vrchol dopadl na zem ve vzdálenosti 8 m od paty topolu. Urči původní výšku topolu.. Řemeslník má truhlu o rozměrech m, m, m. Jakou největší délku je možno do truhly uložit, aby se truhla dala zaklopit víkem?. Pozemek má tvar pravoúhlého trojúhelníku s odvěsnami 45 m a 8 m. Kdyby byla parcela čtvercová se stejnou výměrou, tak by plot kolem ní byl aspoň o 5 m kratší než okolo trojúhelníkové parcely. Je to pravda? 4. Ve vzdálenosti km od přímé trati je pozorovatel, který vidí vše do okruhu 0 km. Jak dlouhou část trati vidí? 5. V jaké výšce se nachází nejvyšší bod známé šikmé věže v Pise, je-li její pobočná stěna dlouhá 55 m a náklon je 5 metrů (měřeno od paty věže). 6. Vlajkový stožár se má upevnit čtyřmi lany zachycenými ve výši, m a zakotvenými 0,5 m od paty stožáru. Kolik metrů lana potřebujeme. Počítej s 7 % délky navíc. 7. Jahody jsou vysázeny v trojúhelníkovém sponu tak, že vzdálenost každých dvou sousedních sazenic je 45 cm. Jak daleko jsou od sebe jednotlivé řady? 8. Papírový drak je upoután na motouzu dlouhém 50 m a vznáší se přímo nad místem M. Místo M je vzdáleno 5 m od stanoviště, kde je drak upoután. Jak vysoko je drak nad vodorovným terénem? 9. Věž děkanského chrámu v Ústí nad Labem je odchýlena od původní svislé osy o 0 cm. Její původní výška byla 48 m. Jak vysoko se nyní nachází nejvyšší bod? 0. Urči přímou vzdálenost aut po hodině jízdy od křižovatky dvou na sebe kolmých silnic, jestliže jela rychlostmi 90 km/h a 80 km/h, každé po jiné silnici.. Vypočti délky stěnových a tělesových úhlopříček krychle s hranou délky a6 cm.. Na tyč čtvercového průřezu o straně a 57 mm se má navléci válcové pouzdro. Vypočítejte jeho vnitřní průměr.. Šroub je namáhán ve dvou navzájem kolmých rovinách silami F 50 N a F 50 N. Vypočítejte výslednici těchto sil. 4. Příčný řez odvodňovacím kanálem má tvar rovnoramenného lichoběžníku, jehož základny mají délku,8 m a 0,9 m a ramena 0,6 m.jak je kanál hluboký? 5. Sto metrů dlouhý měděný kabel tvaru válce, má bez izolace průměr 0 mm. Vypočítej objem a hmotnost mědi, víte-li, že m mědi má hmotnost 890 kg. 6. Z kmene stromu je vytesán trám obdélníkového průřezu o rozměrech 50 mm a 0 mm. Jaký nejmenší průměr musel mít kmen? 7. Vypočítejte povrch a objem krychle, má-li její: a) stěnová úhlopříčka délku 98 cm b) tělesová úhlopříčka délku 00 cm. 8. Vypočítej poloměr kružnice opsané obdélníku o rozměrech 6,5 cm a,8 cm.vypočítej obvod a obsah obdélníku,a kružnice 9. V pravoúhlém trojúhelníku ABC je dána odvěsna a,6 dm a obsah S 54cm. Vypočítej velikost odvěsny b a těžnice t b. Strana 0 (celkem 5)

12 Matematika pro 8.ročník -. pololetí Kolektiv pedagogů FZŠ Brdičkova 878, Praha 40. Rameno rovnoramenného lichoběžníku ABCD (AB CD) má délku 4 cm, střední příčka EF45cm, výška se rovná 40 cm. Vypočítej délku obou základen. 4. Vypočtěte délky stran rovnoramenného trojúhelníka, má-li jeho výška na základnu velikost 5 cm a poměr velikosti základny k velikosti ramena je 6:5. 4. Sestroj pravoúhlý trojúhelník MNO s odvěsnami NOm6 cm, MNo4,5 cm. Narýsuj všechny jeho těžnice a vypočti jejich délky. 4. Z kmenů borovic byly vyřezány trámy, které měly na příčném řezu tvar čtverce se stranou dlouhou 7 cm. Jaké nejmenší průměry musely mít kmeny borovic? Výsledky souhrnných cvičení :Pythagorova věta:. a)ano, b)ne, c)ano, d)ano, e)ne 9. 58, km. a) 7 cm, b) cm, c) 8,55 cm 0. 9, m. a) 5 m, b) 55 m, c) 4,8 m, d) 7,8 m. 6 m 4. a) 9, cm, b) asi 88 cm, c) 8,5 cm.,45 m 5. a) 8 cm b) m, c) 6,9 cm. ano 6. a) 9,7 cm, b) 48 dm c)697 mm 4. km 7. a) 4 cm, b) 68,94 cm, c) 5,0 cm, d),4 cm 5. 54,77 m 8. 6 cm 6. 5,564 m 9. asi 0,4 cm 7. 9 cm 0. 0 cm 8. 47,7 m.,5 cm 9. 47,95 m. je kosočtverec 0. 0,4 km. 6 cm. 8,48 cm; 0,4 cm cm. 80,6 mm 5. 5,7 cm; 4 cm. 40 N 6. 5,86 m 4. asi 0,4 m 7. 5 m 5. asi 0,0785 m, asi 70 kg 8. 5 mm, 98, mm, 4 7,5 mm, 95 mm 6. 0 mm 7. a)s 8 8 cm,v 76 cm b) S 0000 cm, V 9450 cm 8. r,54 cm, S 8, cm, o 8,6 cm S 8,465 cm o,998 cm 9. b 0, cm, t b 9 cm cm; 6 cm 4. 7,5 cm,,5 cm 4. 5,4 cm;,75 cm ; 6,4 cm 4. 4 cm.mocniny a početní operace s mocninami Zápis a názvy, mocnina záporného čísla, mocnina součinu, mocnina s mocnitelem nula, mocnina zlomku, mocnina se záporným mocnitelem, sčítání a odčítání mocnin, násobení mocnin, dělení mocnin, umocňování mocnin, zápis čísel v desítkové soustavě pomocí mocnin deseti, zápis čísel v desítkové soustavě ve tvaru a.0 n, kde a < 0.. Zápis a názvy a.a.a.a.a.a..a a n n a... základ mocniny, a R n... mocnitel, n N n tá mocnina Strana (celkem 5)

13 Matematika pro 8.ročník -. pololetí Kolektiv pedagogů FZŠ Brdičkova 878, Praha Příklad: x. x. x. x x 4 c. c. c. c. c. c. c c 7. Mocnina záporného čísla Sudá mocnina záporného čísla je kladná. lichá mocnina záporného čísla je záporná (vycházíme ze znalosti násobení celých čísel) Příklad: (-s) (-s). (-s) s. s s (-w) (-w). (-w). (-w) -(w. w. w) -w (-4) (-4). (-4)6 -(-5) -(-5). (-5) -5 POZOR! - -(. ) -4 ale (-) (-). (-) 4 Cvičení. Vypočítej: a) - c) -4 e) (-a) b) (-5) d) -(-m) f) (-). Mocnina součinu mocnina součinu se rovná součinu mocnin (a. b) n a n. b n Příklad: (abc) a b c (4xyz) 4 x y z 6x y z Cvičení. Vypočítej: a) (4k) b) (-4ab) c) (-9gh) d) (0,xyz) e) -(40rs) f) -(-84pqr).4 Mocnina zlomku n a a mocnina zlomku se rovná mocnině čitatele lomené mocninou jmenovatele n b b n b 0 Příklad: ( ) uv ab u a v b 7u v 8a b ; a 0, b 0 Cvičení. Vypočítej k a) 5 b) 6m w c) 5 4 p d) 7 Strana (celkem 5)

14 Matematika pro 8.ročník -. pololetí Kolektiv pedagogů FZŠ Brdičkova 878, Praha.5 Mocnina s mocnitelem nula každé nenulové číslo umocněné nulou se rovná a 0 Příklad: 7 0 (5kl) 0.6 Mocnina se záporným mocnitelem každé nenulové číslo umocněné záporným mocnitelem se rovná zlomku, kde čitatel je číslo jmenovatel mocnina s mocnitelem kladným a n a n a 0 Příklad: 5 m 5 m 6 m 4n 6 5 ; m 0 ( 4n) 64n ( m) 7m ;m 0;n 0 Cvičení 4. Vypočítej: a) 5 - c) (-6) - e) -0, - b) 7 - d) (-0,) - f), -.7 Sčítání a odčítání mocnin sčítat a odčítat lze pouze mocniny se stejným základem a stejným mocnitelem. Příklad: Vypočítej: x + x - x ( + - )x x a + b a + b... nelze sčítat x - x 6 x - x 6... nelze odčítat x + x - x ( + ) x x y + 5 y - 7 y ( + 5 7) y - y a + a 5 Nelze sčítat(stejný základ, ale různí mocnitelé) ( + 5) ( ) ,4-4. 0,4.0,4.0,064 0, a + 5a a 7a 8 a 8 4a 8 5a + 4a 5a + 6 8a + 5a 4a 7 -a + 9a -9a 7x y x y + x y 0x y x y 9x (x-) 4 + 5(x-) 4 x (x-) 4 7x (x-) 4 +5(x-) x - + 4x 5x - - 6x + x - x - x - správně je také -x - x x 0 Strana (celkem 5)

15 Matematika pro 8.ročník -. pololetí Kolektiv pedagogů FZŠ Brdičkova 878, Praha Cvičení 5. Cvičení 6. Cvičení 7. Vypočítej: a) 4v + v + v b) z 4 + 5z 4 c) -n n 4 Vypočítej: a) b) 0,8.,. +,8. Vypočítej: a) - -(-) b) (-7).0.(-) d) 8k 6-4 k 6 + k 6 e) 4v v 8-68v 8 f) 54g + g - g c) ( ) ( ) d) 7 ( ) c) (-5).(-) d) (-).(-5).(-4) Cvičení 8. Vypočítej : a) (5-4 ) c) (5-4) e) (4.5) b) 5-4 d) 5.4 f) (5.4).8 Násobení mocnin násobit lze pouze mocniny se stejným základem. mocnitele sčítáme a r. a s a r+s Příklad: n. n 4. n n +4+ n 9 z. 6z 6 z 9 u. u 7. u -5 u +7-5 u 4 4x b. ( - x b 4 ) -8x 5 b 7 x 7. ( - 4x - ). x -x 5 x (a+b) 4. 0,5x (a+b) -5 x 5.(a+b) - a -b 4x(a+b) 5. (a-b) 5 nemá řešení Cvičení 9. Vypočítej a výsledek ponech ve tvaru mocnin a) 5j.(-j ) c) (-p 4 ).(-p 5 ) b) (-a 9 ).8a 6 d) 4kl.(-k l) e) w.w 9.4w 6 f) -8c.(-c 8 )..9 Dělení mocnin Dělit lze pouze mocniny se stejným základem různým od nuly. Mocnitele odčítáme. a r a r :a s a r-s ;a 0 a s Příklad: r 8 : r 5 r 8-5 r r 0 v :v 7 v -7 v -4 v 0 4 v x (a+b) 4 : 0,5x (a+b) -5 4 a.(a+b) 9 x 0, a b y y 6 4 y 6 4 y y 0 Strana 4 (celkem 5)

16 Matematika pro 8.ročník -. pololetí Kolektiv pedagogů FZŠ Brdičkova 878, Praha x 5 x x 5 x x x 0 x5 x5 x x x 0 Cvičení 0. Vypočítej: a) 6a 5 : 4a (a 0) b) 4k 7 : (-7k 6 )(k 0) c) m : m 9 (m 0) d) k 5 x : k x (k;x 0) e) 0p 8 : p 7 (p 0) f) s 9 : 7s 6 (s 0) g) (5r ) 4 : (5r ) (r 0,6) h) (5 x) 6 :(5 x) 4 (x,5).0 Umocňování mocnin mocninu umocníme tak, že základ opíšeme a mocnitele mezi sebou vynásobíme (ar) s ar.s Příklad: (z ) 5 z.5 z 5 (t 4 ) - t 4.(-) t - t pro t 0 (p ) p.. 4p 6.(p ) p. p 6 ( a ) 4 4.a 8 8a 8 ( - 0,x y - ) - 0,00x 6 y -9 ( - 0x y - ) x 8 y - [ ( 0 ) ] Cvičení. Vypočítej: a) ; (x -) x x x b) ; (y ) c) ; (y -) y y +. Zápis čísel v desítkové soustavě pomocí mocnin deseti Příklad: Napiš čísla v desítkové soustavě pomocí mocnin 0 n : , , , ,0+ 9.0, Zápis čísel v desítkové soustavě ve tvaru a.0 n, kde a < 0 Strana 5 (celkem 5)

17 Matematika pro 8.ročník -. pololetí Kolektiv pedagogů FZŠ Brdičkova 878, Praha Příklad: Zapiš uvedená čísla v desítkové soustavě ve tvaru a.0 n, kde a < 0 : ,789 0,45 0, , ,789, ,45 4,5. 0-0,00,. 0 - Cvičení. Zapiš uvedená čísla v desítkové soustavě ve tvaru a.0 n, kde a < 0 : a) c) 0,0568 e) 0,6987 b) 0,006 d),58 f) 0, Výsledky Cvičení:. a) -9b) -5 c) -6 d) -m e) a f) 8. a) 6k b)96a b c)8g h d)0,04x y z e)-64000r s f)-7056p q r 9. a) 5 k b) 5 6m c) 69w 64 p d) a) 5 b) 49 c) 6 d) 00 0, 5 e) 00 0,0 f) 6 5. a) 8v b) 6z 4 c) n 4 d) 5k 6 e) -9v 8 f) 45g 6. a) 50 b) 7, c)56 d) a) - b) 4400 c) 00 d) a)9 b)9 c) d)80 e)400 f) a) -0j b) -4a 5 c) p 9 d) 4 k l e) w 6 f) 6c 9 0. a) 9a b) -6k c) m d) k e) 5p f) s g) (5r ) h) (5 x) 7 6 x ( x ). a) b) c) 5 6 ( x + ) ( y ) ( y + ). a) 4, b),6.0 - c) 5, d),58.0 e) 6, f), Souhrnná cvičení:mocniny s přirozeným mocnitelem. Vypočítej: a) 0,b 4 +,8b 4 + b 4 e) a + a b + 4,5a b b) 4x + 7x + x f) 0a b + a b 5ab 5ab c) x + 6x 4x g) 5x + x + x + 4y d) -7ab + 4ab ab h) -x y + x y + x y x y. Vypočítej: a) 69w 5 - w 5 - w 5 b) 5v + 7 v - 4v -5v c) a 4 + a 4-5a 4 + a 4. Vypočítej: a) r + 5s 4 - r + 5s 4 b) a + 6a - a + 4a c) 0,5.(a b + 4b a ) d) a + 5x 4-4a - x 4 + 4a d) x 4x + x e),56m +,55m -,m f) 8d - 4 d + 5d e) 5f + 6 4f + f - 5f + f f) 4.( x + 4 x ) 4. Dokaž, že platí: Strana 6 (celkem 5)

18 Matematika pro 8.ročník -. pololetí Kolektiv pedagogů FZŠ Brdičkova 878, Praha a) b) c) Vypočítej: a) 6a + 5a b - b + 7 b - 5a - 5 a b b),4a + 5,6a - 0,7a - 0,8a 6. Vypočítej: a) b) c) d) 7. 0,4 4.0,4 7. Vypočítej: a) (-0).(-). b) d) e) c) 9k 4k - 5k + 7 k 5k - 4 k d) 6,y (+ y ) (-6y) (+y) + y 6y e) f) 0, c) (-7) -(-) -5 d) 0-(-8) +(-4) 8. Vypočítej a) 5+. b) (5+). c) ((5+).) 9. Vypočítej a) 6u.(-u ) b) 4uv.(-u v) 0. Vypočítej: a) ,5.0 4 b) c) Vypočítej: a). 4 b) (-4).(-4) 5 c)... 4 d) Vypočítej: 6 f a) a 5x b) y. Vypočítej: x a) y z d) (5+.) e) f) (5.6.7) c) (-a ).7a 5 d) (-r ).(-6r ) d) e), f) e) a 5.a.a.a 4 f) s c) t 7u d) 8v b) x. y 5 4 c) 0,6u v.,u v g) (5.6).7 h) e) s.s 4.4s f) 8f.(-f ). g), h) Strana 7 (celkem 5)

19 Matematika pro 8.ročník -. pololetí Kolektiv pedagogů FZŠ Brdičkova 878, Praha y d) xz e). b a 4. Vypočítej: f) 0,x6 y.,5 x5y a) 0x 5 : x (x 0) b) y 7 : y 6 (y 0) c) m 5 : m (m 0) d) n : n (n 0) e) 6p 6 : 7p (p 0) 5. Vypočítej: a) ( ) : (5. 8 ) b) (,. 0. x 5 ) : (0,4. 0. x )(x 0) 6. Vypočítej: f) 9n 7 : 5n 6 (n 0) g) (a 5) 4 : (a 5) (a,5) h) (4 x) 5 : (4 x) (x ) a) ( x ) x b) y + c) ( x ) ( y + ) 4 7. Vypočítej: a) k : k 5 (k 0) b) c : c 5 (c 0) c) ( a b ) d) b..( a e) ( a ) ) [.(b ) ] f) [( a + ).( b ) ] 8. Vypočítej: a) 4 : Vypočítej: a) 0 - b) 4 - c) 5-0. Vypočítej: b) 5 6 : 5 6 c),5 5 :,5 7 d) -4 e) (-) -4 f) (-) -5 d) a : a ;a 0 g) 0,6 - h) 5 - i),5 - Strana 8 (celkem 5)

20 Matematika pro 8.ročník -. pololetí Kolektiv pedagogů FZŠ Brdičkova 878, Praha a) b) 4 c) 4 5 d) 5. Vypočítej: a) : b) : 4 4 c) a b : a 5 d) u v : u 4 8. Vypočítej: a) ( ) : (. 0 5 ) b) ( x 0 ) : ( x 7 ) (x 0) c) (-4. a 6. x ) : (- 7. ax ) (x 0); (a 0) d) ( y 6 ) : (. 4. y 6 ) (y 0). Vyjádři výrazy, v nichž se nevyskytují záporní mocnitelé: a) (z ) - ;z 0 b) (-9y ) - ;y 0 c) (kx ) -4 ;k 0;x 0 d) (-6r s ) - ;r 0;s 0 5m e) ;m 0;n 0 4n 4. Vypočítej a) (a+4r) 5 : (a+4r) 6 b) (x-y) a : ( x-y) c) (a-b) : (a-b) - f) g) 4x 5y z uv x h) ( ) i) ( ) - ;x 0;y 0;z 0 ;u 0;v 0;x 0 d) (5-x) n : ( 5-x) 4n - e) (a+) n - : (+a) n+4 f) (d+4) 5x+ : (d+4) 5-4x Výsledky: Mocniny s přirozeným mocnitelem. a)6b 4 b) x c) 5x d) -6ab e) a + 7,5a b f)5ab ab g) 0x + 4y h) -x y + x y. a)5w 5 b) v c) a 4 d) x e)4,99m f) 9d. a) 0s 4 + r b) 0a + a c) 0,5a + 0,5b d) 4x 4 + a e)-0f + 8 f) 9x 4. a)-e) platí 5. a)a + 6b b),6a + 4,9a c) -5k + k d) 0,y y +5y 6. a)6 b)7 c)05 d)0,9 e)5,6 f)80,85 0. a)9.0 0 b) 5. 6 c) d) 6. 5 e) 9,6.5 6 f). 7 8 g) 6,8. 7 h) a)900 b)-45 c)5 d)54 8. a) b)6 c)44 d) e)050 f)4400 g)600 h)60 9. a)-8u b) -4u v c)-a 7 d)6r 5 e) s 8 f) -48f Strana 9 (celkem 5)

21 Matematika pro 8.ročník -. pololetí Kolektiv pedagogů FZŠ Brdičkova 878, Praha. a) 7 b) (-4) 8 c) d) 5 8 e) a 9 f) x 8x. a) b) c) 0,7u 9 v 5 e) 4 9 y z y 7 8y x z 9 f) 6 56 f 65x 7569s. a) b) c) 9a 44y 96t 4 4b g)0,45x y 5 4. a)5x b) y c)m d) e) p 4 f) a a).8 5 b)0x 6. ( x ) 6 a) 7 7. a) k b) 6 6 c) a.( b ) d)6a b e)8a.(b-) 8. a) c 6 f)(a+) 6.(b-) 9. a)0,0 b) 0. a). a) 4. a) 5 b) b) 6 7z a + 4r c) d) e) f) c) d) 4 k x 6 y c) 4 8 g) 6 6r s 7 h) i) 0, , 5. a) d) e) b) ( x-y) a- c) (a-b) 6 d) ( 5-x) -n e) b) c) 64n f) 5m ( + a) 5 ab d) uv 6 4 5y z 6 6x n+ 7 6 g) f) (d+4) 9x-4 b) x 6 ( y +) b) c) d) 9 0,6 4 9x 4u v,5 h) a d) 89u 4v n g) (a 5) h) (4 x) ( ) 8 x c) ( y + ). a) 000 b) -7x c) a 5 x d) 56 4 i) Kružnice a kruh Definice a popis kružnice a kruhu, vzájemná poloha přímky a kružnice, vzájemná poloha dvou kružnic, souměrnost kruhu a kružnice, obvod a obsah kružnice a kruhu, části kružnic a kruhová výseč a úseč,thaletova věta 4. Definice a popis kružnice a kruhu Množina všech bodů, které mají od daného bodu S vzdálenost rovnu r, se nazývá kružnice. Bod S je střed kružnice, vzdálenost r je poloměr kružnice. Průměr kružnice je d r. Zápis: k (S; r) čteme kružnice k má střed S a poloměr r. Cvičení. Sestroj kružnici k(s; r,5 cm) a vyznač dva poloměry SM, SN tak, aby MSN 0. Množina všech bodů, která má od daného bodu S vzdálenost menší nebo rovnu r, se nazývá kruh. Bod S je střed kruhu, vzdálenost r je poloměr kruhu. Průměr kruhu je d r. Strana 0 (celkem 5)

22 Matematika pro 8.ročník -. pololetí Kolektiv pedagogů FZŠ Brdičkova 878, Praha Zápis: K (S; r) čteme kruh K má střed S a poloměr r. Zápis: čteme - bod A leží v kruhu K. Zápis: B K čteme - bod B neleží v kruhu K. Cvičení. Sestroj kruh K(S; r0 mm) a zvol na něm průměr AB. Sestroj průměr CD kolmý k AB. 4. Vzájemná poloha přímky a kružnice r...poloměr kružnice, v...vzdálenost přímky p od středu S kružnice k Je-li r < v, pak přímka p je vnější přímkou kružnice k a nemá s kružnicí žádný společný bod. Je-li r v, pak přímka p je tečna kružnice k má s ní společný právě jeden bod bod dotyku T. Tečna je přímka kolmá na poloměr kružnice a má s kružnicí společný bod dotyku. Strana 0 (celkem 5)

23 Matematika pro 8.ročník -. pololetí Kolektiv pedagogů FZŠ Brdičkova 878, Praha Příklad: Sestroj tečnu ke kružnici k, která prochází daným bodem A. Při řešení vycházíme z vlastnosti tečny ke kružnici: Tečna je kolmá na střed kružnice. Označíme-li body dotyku T a T, potom budeme sestrojovat pravoúhlý trojúhelník SAT a SAT. Sestrojíme Thaletovu kružnici se středem ve středu SA. Průsečíky Thaletovy kružnice a zadané kružnice jsou body dotyku. Sestrojíme tečny. Cvičení. Sestroj kružnici k(s; r,5 cm) a její průměr AB. Sestroj tečny kružnice k s body dotyku A, B. Cvičení 4. Narýsuj přímku m a bod S tak, aby vzdálenost bodu S od přímky m byla,5 cm. Sestroj kružnici k se středem S a poloměrem,5 cm. Urči vzájemnou polohu kružnice k a přímky m. tečna Je-li r > v, pak přímka p kružnici k protíná ve dvou různých bodech A, B. Přímka p se nazývá sečna kružnice k. Úsečka AB se nazývá tětiva. Nejdelší tětiva je průměr kruhu. Cvičení 5. Je dána kružnice k(s; 5 cm). Vypočítej délku tětivy kružnice k, jestliže je od středu S vzdálena cm. Strana (celkem 5)

24 Matematika pro 8.ročník -. pololetí Kolektiv pedagogů FZŠ Brdičkova 878, Praha Cvičení 6. Cvičení 7. Cvičení 8. Cvičení 9. V kružnici k je tětiva AB délky 5 cm vzdálená od středu kružnice cm. Vypočti poloměr této kružnice. Je dána kružnice k(s;,5 cm) a přímka p, která ji neprotíná. Sestroj tečnu t této kružnice, která s přímkou p svírá úhel 60. Sestroj kružnici poloměru r,5 cm, která prochází dvěma danými body A, B, jejichž vzdálenost je c cm. Narýsuj přímku m a bod S tak, aby vzdálenost bodu S od přímky m byla,5 cm. Sestroj kružnici k se středem S a poloměrem 4 cm. Urči vzájemnou polohu kružnice k a přímky m. 4. Vzájemná poloha dvou kružnic Vzdálenost středů S a S se nazývá středná. Soustředné kružnice (S, S ) mají společný střed a různý poloměr. Mezikruží má šířku r r. Kružnice leží vně sebe středná je větší než součet poloměrů. S S > r + r Kružnice mají vnější dotyk středná se rovná součtu poloměrů. S S r + r Strana (celkem 5)

25 Matematika pro 8.ročník -. pololetí Kolektiv pedagogů FZŠ Brdičkova 878, Praha Kružnice se protínají ve dvou různých bodech rozdíl poloměrů je menší než středná a ta je menší než jejich součet. S S < r + r Kružnice mají vnitřní dotyk středná se rovná rozdílu poloměrů. S S r r Kružnice leží uvnitř sebe středná je menší než rozdíl poloměrů. S S < r r Cvičení 0. Cvičení. Sestroj společné tečny dvou daných shodných kružnic. Urči vzájemnou polohu kružnic k (S ;r ) a k (S ;r ), jestliže pro jejich poloměry r a r, jejichž středy S a S a úsečku s S S, které říkáme středná platí: a) r 6 cm, r 9 cm, s cm b) r 5 dm, r dm, s dm c) r 80 mm, r 0 cm, s dm d) r 5 cm, r 7 cm, s cm e) r 46 mm, r mm, s 5 mm f) r 4, cm, r,5 cm, S S Strana (celkem 5)

26 Matematika pro 8.ročník -. pololetí Kolektiv pedagogů FZŠ Brdičkova 878, Praha Cvičení. Narýsuj kružnici k(s ; r cm) a zvol bod S tak, že S S cm. Sestroj kružnici h(s ; r ) tak, aby s kružnicí k a)neměla žádný společný bod, b)měla právě jeden společný bod, c) neměla společné dva body. Cvičení. Narýsuj kružnici k(s ; r cm). Zvol na ní bod T. Sestroj kružnici h(s ; r ), která se dotýká kružnice k v bodě T a má poloměr a) r cm b) r 4 cm. 4.4 Souměrnost kruhu a kružnice Kružnice (kruh) je středově souměrná podle svého středu S. Kružnice (kruh) je osově souměrná podle každé přímky, která prochází jejím středem. Má tedy nekonečně mnoho os souměrnosti. 4.5 Obvod a obsah kružnice a kruhu Délka kružnice a obvod kruhu: O. π. r nebo O π. d,459 - Ludolfovo číslo je číslo racionální. Je to jeho přibližná hodnota r..poloměr kružnice (kruhu) d..průměr kružnice (kruhu) Cvičení 4. Vypočítej obvod kruhu, jehož průměr je 6 m. Cvičení 5. Jak velkou dráhu vykoná hrot malé ručičky hodin za týden? Ručička má délku cm. Obsah kruhu: S π.r nebo S π. d 4 r..poloměr kružnice (kruhu) d..průměr kružnice (kruhu) Cvičení 6. Vypočítej obsah kruhu, jehož poloměr se rovná a)7 cm b)0,8 dm Cvičení 7. Vypočítej průměr kruhu, jestliže obsah kruhu je:a)000 cm b)800 dm Cvičení 8. Cvičení 9. Cvičení 0. Cvičení. Kruh má stejný obsah jako čtverec, jehož obvod je 8,4 m. Vypočítej průměr kruhu. Hliníkové kotouče elektroměru mají poloměr r47 mm. Byly vysekávány z tabule plechu tvaru obdélníku s rozměry 78 cm a 96 cm. Vypočítej kolik kotoučů je možné z této tabule plechu vysekat. Otáčivý zavlažovač má dostřik 8 m. Jakou rozlohu půdy může zavlažit z jednoho místa? Ze čtverce plechu se má vystřihnout kruh, jehož obsah je 00 cm. Vypočítej délku strany nejmenšího čtverce, ze kterého je možno takovýto kruh vystřihnout. 4.6 Části kružnic a kruhová výseč a úseč Strana 4 (celkem 5)

27 Matematika pro 8.ročník -. pololetí Kolektiv pedagogů FZŠ Brdičkova 878, Praha Krajní body tětivy dělí kružnici na dva oblouky kružnice, které jsou označeny k, k.. Kruhová úseč je část kruhu ohraničená tětivou a obloukem kružnice. Největší kruhová úseč je polokruh (tětiva je průměrem). Kruhová výseč je část kruhu ohraničená dvěma poloměry kruhu a obloukem kružnice. Středový úhel je úhel, který má kruhová výseč ve středu kružnice (kruhu). Obsah kruhové výseče: π. r S. α velikost středového úhlu ve stupních r...poloměr kruhu Cvičení. Vypočítej obsah kruhové výseče s poloměrem r a příslušným středovým úhlem ω, je-li a) r4cm, ω 60 0 b) r6,dm, ω 70 0 c) r8m, ω Strana 5 (celkem 5)

28 Matematika pro 8.ročník -. pololetí Kolektiv pedagogů FZŠ Brdičkova 878, Praha d) r4 6 5 cm, ω 0 Cvičení. Sekundová ručička hodin dosahuje svým koncem až ke kružnici k, která ohraničuje ciferník. Jakou část kružnice k opíše konec této ručičky při pohybu za a) s b) 5 s c)0 s d)45 s e)50 s f)60 s. Cvičení 4. Kolik procent obsahu kruhu představuje obsah kruhové výseče, jejíž poloměry svírají úhel 45 a která je podmnožinou tohoto úhlu? 4.7 Thaletova věta Platí v pravoúhlém trojúhelníku, jemuž je opsána kružnice. Kružnice je sestrojena nad průměrem, který tvoří přepona pravoúhlého trojúhelníku, tj. její střed leží ve středu přepony Takovou kružnici nazýváme Thaletova podle tzv. Thaletovy věty: Sestrojme kružnice k nad průměrem AB. Pak vrcholy C pravých úhlů ACB jsou všechny body kružnice k (s výjimkou bodů A, B) a žádné jiné. Výsledky cvičení: 5. 8 cm 6.,9 cm 9.sečna.a)protínají se ve dvou bodech b)mají vnitřní dotyk c) d)mají vnější dotyk e) k leží uvnitř k f) jsou soustředné 4.50,4 m 5.0,55 m 6. a)498,66 cm b), dm 7. a) 50,46 b),9 dm 8. 95,5 m m., cm. a)8,8 cm b)9,5 dm c)8,4 m d),45 m. a)/0 b)/4 c)/ d)/4 e) 5/6 f) 4.,5 % Souhrnná cvičení:kruh, kružnice. Narýsujte kružnici k(s;4,5), její průměr AB a tětivu BX, BX 7, cm. a) Vyznačte úsečky SX a AX. Jak se nazývají trojúhelníky AXS a BXS? b) Určete grafický součet ostrých úhlů AXS a BXS?Co zjišťujete? c) Na základě zjištění velikosti úhlu AXB vypočítejte délku úsečky AX(odvěsny AX pravoúhlého trojúhelníku ABX) d) Vypočítejte vzdálenost tětiv AX a BX od středu S kružnice k. Správnost svých výpočtů ověřte měřením. Sestroj dvě k sobě kolmé přímky p, q. Jejich průsečík označ T. Na přímce q vyznač body K, K, K, K 4, K 5 tak, že leží na jedné z polopřímek určených bodem T. Přitom platí:tk cm, TK cm,..., TK 5 Strana 6 (celkem 5)

29 Matematika pro 8.ročník -. pololetí Kolektiv pedagogů FZŠ Brdičkova 878, Praha 5 cm. Sestroj kružnice: k (K ; cm); k (K ; cm); k (K ; cm); k 4 (K 4 ; cm), k 5 (K 5 ; 7 cm). Urči, je-li přímka p tečnou, sečnou, nebo je vnější přímkou kružnic.. Je dána kružnice k(s; cm). Narýsuj kružnici s s poloměrem cm tak, aby se dotýkala kružnice k. Dále narýsuj kružnici s s poloměrem cm tak, aby se dotýkala kružnice s a současně kružnice k. Postupně rýsuj další kružnice, vždy tak, aby se dotýkaly kružnice k a předcházející kružnice. Kolik takových kružnic narýsuješ kolem kružnice k? 4. Narýsuj přímku m a bod S tak, aby vzdálenost bodu S od přímky m byla,5 cm. Sestroj kružnici k se středem S a poloměrem,5 cm. Urči vzájemnou polohu kružnice k a přímky m. 5. Sestroj kružnici k(s; r cm) a zvol na ní body M, N, aby platil, že MSN je 0. Sestroj tečny kružnice k s body dotyku M, N. 6. Je dána přímka t a bod S, který na ní neleží. Sestroj kružnici k se středem S a tečnou t. 7. Narýsuj kružnici k(s; r cm). Zvol na ní bod M. Sestroj všechny tětivy MN kružnice k, pro které platí MN,5 cm. Jakou největší délku může mít tětiva kružnice k? 8. Narýsuj libovolný trojúhelník ABC a sestroj kružnici k tak, aby strany AB, BC, CA byly jejími tětivami 9. Sestroj kružnici k(s; r cm), která prochází danými dvěma body A, B. 0. Sestroj k(s; r,5 cm) a libovolnou přímku p, sestroj všechny tečny kružnice k, které svírají s přímkou p úhel Je dána kružnice k(s; cm) a bod A, pro který platí SA 8 cm. Sestroj střed úsečky SA a označ jej M. Sestroj kružnici l(m; MS ). Body průniku kružnic l a k označ K, L. Sestroj přímky AK, AL. Jakou polohu vzhledem ke kružnici k mají přímky AK, AL?. Je dána kružnice k a bod A, pro který platí SA 8 cm. Sestroj kružnici m se středem A tak, aby se dotýkala kružnice k. Urči poloměr kružnice m (více řešení).. Jsou dány dvě rovnoběžky a, b, jejichž vzdálenost je 4,5 cm. Sestroj aspoň jednu kružnici k, pro kterou budou obě přímky tečnami. 4. Je dána kružnice k(s; cm) a přímka p, jejíž vzdálenost od středu kružnice je,5 cm. Sestroj tečnu t kružnice k, t je rovnoběžná s p. 5. Urči délku úsečky S S, jestliže kružnice k (S ; 8 m), k (S ; 4 m) se dotýkají vně. 6. Urči délku úsečky S S, jestliže kružnice k (S ; 5 dm), k (S ; 0 dm) mají vnitřní dotyk. 7. Je dána kružnice k(s;,8 cm) a bod L tak, že SL,5 cm. Sestroj kružnici l se středem L tak a)aby se kružnice k dotýkala vně, b)aby s kružnicí k měla vnitřní dotyk. 8. Sestroj kružnici daného poloměru r (r cm), která prochází danými dvěma body A, B. 9. Jaké jsou poloměry r, r dvou soustředných kružnic, jestliže jsou v poměru 5:9 a šířka mezikruží je cm? 0. Sestroj rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník ABC, jehož odvěsny jsou AB a BC s délkami 4cm.. Narýsuj kružnici k(s ; r cm). Zvol bod S, S S,5 cm. Sestroj kružnici h(s ; r ), která nemá s kružnicí k žádný společný bod. Zapiš pomocí nerovností, jaké hodnoty může nabývat poloměr r.. Vypočítej délku kružnice, jejíž poloměr je a) m b)6 mm c),4 m. Vypočítej průměr kruhu, jehož obvod se rovná a),56 m b) 0,6 m 4. Vypočítej délku závodní dráhy, která má dvě rovinky po 50 m a průměr oblouků je m. 5. Jak velký průměr má kružnice o délce 54 cm. 6. Základ stavby s kruhovým půdorysem má průměr 8 m. Vypočítej obvod kruhového výkopu, jestliže jeho průměr je o 80 cm větší než průměr základu. 7. Vypočítej obsah kruhu, jehož průměr je: a)6 cm b)8 dm c)4 m. d)4 mm. 8. Vypočítej poloměr kruhu, jestliže je obsah kruhu a)4, dm b)407 cm c)7, dm 9. Vypočítej obsah čtvrtkruhu, který je částí kruhu s průměrem 6,5 m. 0. Je dáno mezikruží, které je ohraničeno dvěma soustřednými kružnicemi poloměrech 6,4 dm a,7 dm. Vypočítej jeho obsah.. Kružnici s poloměrem 5 cm je opsán čtverec. O kolik čtverečních centimetrů je obsah čtverce větší než obsah kruhu ohraničeného danou kružnicí?. Vypočítej obsah kruhu, jehož obvod se rovná obvodu čtverce se stranou a,5 dm. Strana 7 (celkem 5)

30 Matematika pro 8.ročník -. pololetí Kolektiv pedagogů FZŠ Brdičkova 878, Praha. Vypočítej obsah kruhu, jehož obvod je 8 m. 4. Vypočítej průměr a obsah příčného kruhového řezu kmene buku, jehož obvod je 0 cm. 5. Na pilovém kotouči s průměrem 4 cm je jeden hrot bílý. Jak dlouhou dráhu opíše tento hrot za minutu, jestliže se kotouč otočí za tuto dobu 85 krát? 6. Do kruhové podložky bylo vyvrtáno 0 stejných kruhových otvorů s průměry 0 cm. Tím se obsah podložky zmenšil o 8%.Vypočítej obsah původní podložky. 7. Obsahy dvou kruhů jsou v poměru 4:9. Větší kruh má průměr cm. Urči poloměr menšího kruhu. 8. Ovce má na obojku provaz délky, m zakončený kroužkem, který se klouzavě pohybuje po drátě mezi dvěma nízkými kolíky na louce, jejich vzdálenost je 5 m. Vypočítej obsah vypasené louky. 9. Za jakou dobu by letoun kolem rovníku obletěl Zemi ve výši km průměrnou rychlostí 900 km/h (průměr Země na rovníku je 750 km). 40. Tlak páry na píst parního stroje je 50 N na cm. Jak velký tlak páry působí na píst o průměru 64 cm? 4. Zemský rovník má délku přibližně km. Jaká by byla mezera mezi pomyslnou obručí o délce m a zemí. Prolezla by pod ní myš? 4. Na kruhový stůl s průměrem 76 cm se má zhotovit ubrus, který má kolem dokola přesahovat stůl o 0 cm. Na obrubu je třeba přidat,5 cm látky. Může se takový ubrus zhotovit z látky široké 90 cm bez sešívání? 4. Uprostřed čtvercového trávníku se stranou 0 m je kruhový květinový záhon. Nejmenší vzdálenost záhonu od okraje trávníku je 5 m. Nakresli plánek trávníku a záhonu. 44. Kolo těžní věže má průměr m. O kolik metru vystoupí (klesne) klec výtahu, jestliže se kolo otočí stejným směrem krát? 45. Zadní kola vozu mají průměr, m, přední 96 cm. V jakém poměru jsou počty jejich otáček? 46. Sekundová ručička hodin dosahuje svým koncem až ke kružnici k, která ohraničuje ciferník. Jakou část kružnice k opíše konec této ručičky při pohybu za a) s b) 6 s c) 6 s d) 48 s e)5 s f) 58 s. 47. Vypočítej délku kružnicového oblouku s poloměrem r a příslušným středovým úhlem ω, je-li a) r m, ω 5 0 b) r 40 cm, ω 00 0 c) r 4,9 dm ω 5 0 d) r m, ω Je dán rovnostranný trojúhelník ABC o délce strany a cm, E, F, G jsou středy jeho stran. Jakou část obsahu kruhu o poloměru a: cm zaujímá obsah všech kruhových výsečí určených středy A, B, C. 49. Narýsuj libovolný kruh a rozděl jej na kruhové výseče, jejichž obsahy budou v postupném poměru ::. 50. Ze čtvercové desky byla vyříznuta kruhová deska. Její průměr je roven délce strany čtverce. Jaké je procento odpadu? 5. Kruhový park má rozlohu 600 m. Napříč parkem přes jeho střed vede chodník. Jakou má délku? 5. Přední kolo traktoru má průměr 75 cm, zadní má průměr 5 cm. Kolikrát se otočí na dráze dlouhé 94 m přední a kolikrát zadní kolo? Výsledky souhrnných cvičení:. 6. tečny. 5; cm 5. m 6. 5 dm 9. 5; 7. 0-,5 cm. a)6,8 m b)00,48 mm c)4,7 m. a)4 m b)6,45 m 4. 00,5 m cm 6. 90,4 m 7. a) 8,7 cm b) 54,47 dm c)45,6 m d) 54 mm 8.a) 0 dm b) 5,8 dm c),44 dm 9. 8, m 0. 85,6 dm.,5 cm. 5,78 dm. 5,096 m cm, S 85,5 cm ,0 m 6. 98,5 cm 7. 4 cm 8. 6 m 9. 44,5 h 4 5 b) c) d) e) N 4. 5,5 cm; ano 4. ne 44., m 45. 5:4 46.a) ; 0 9 f) 47.a),8 m b)69,7 cm c),99 dm d) 8,6785 m 48. polovina kruhu 50.,5 % 5.45,5 m 5.menší 0 400krát, větší 40krát Strana 8 (celkem 5)

31 Matematika pro 8.ročník -. pololetí Kolektiv pedagogů FZŠ Brdičkova 878, Praha 5.Válec Vznikne rotací obdélníku kolem jedné strany vzniknou dvě shodné kruhové podstavy, jejichž poloměr se rovná délce strany obdélníku. Strana obdélníku rovnoběžná s osou rotace vytvoří při rotaci plášť válce. Rozvinutý plášť má tvar obdélníku, kde jedna jeho strana je obvod kruhové podstavy a druhá strana je výška válce (vzdálenost dvou kruhových podstav). S horní podstava v výška válce S r poloměr podstavy Strana 9 (celkem 5)

32 Matematika pro 8.ročník -. pololetí Kolektiv pedagogů FZŠ Brdičkova 878, Praha Povrch válce: S π r + π rv π r(r + v) r poloměr podstavy v.. výška válce Objem válce: Vπ.r v Příklad: Vypočítej objem a povrch válce, který má poloměr podstavy cm a výšku 0 cm. r cm v 0 cm v S? cm V? cm r S π + π rv V π r v S.,4. +.,4..0 V,4..0 S 50,7 V 5,6 S 50,7 cm V 5,6 cm Povrch válce je 50,7 cm a objem 5,6 cm. Souhrnná cvičení:válec ) Vypočítej povrch a objem válce, který má poloměr podstavy r cm a výšku v 8 cm. ) Vypočítej povrch a objem válce, který má průměr podstavy d 9 cm a výšku v 5 cm. ) Vypočítej poloměr podstavy válce, jehož výška je v m a objem je 9,5 m. 4) Vypočítej objem válce, jestliže platí: a) r cm, v 5 cm b) r 0 cm, v dm c) r 5 m, v 0 m d) r,5 cm, v,5 cm 5) Vypočítej výšku válce, jestliže platí: a) r cm, S 90 cm c) r 6 mm, S 0 cm b) r 5 dm, S 500 dm d) r cm, S 6 m 6) Válec na válcování asfaltu má průměr 80 cm a délku, m. Kolik čtverečných metrů cesty zválcuje, jestliže se otočí dvacetkrát? 7) Železniční cisterna má tvar válce s průměrem podstavy m a objemem 400 hl. a) Vypočítej délku cisterny. b) Vypočítej povrch cisterny. 8) Sloup na lepení plakátů má tvar válce s průměrem podstavy,4 m a výškou,5 m. Kolik m plakátu je na sloupu, jestliže je zcela využitý? 9) Studna má tvar válce s průměrem podstavy, m. Od povrchu k hladině vody je hloubka 4 m. Hloubka vody je,5 m. a) Kolik m zeminy bylo potřeba vykopat při hloubení studny? b) Kolik hl vody je ve studni? Strana 0 (celkem 5)

33 Matematika pro 8.ročník -. pololetí Kolektiv pedagogů FZŠ Brdičkova 878, Praha 0) Plynojem má tvar válce s průměrem podstavy m a výškou 8 m. Kolik m plynu je v naplněném plynojemu? Kolik stojí natření vnějšího povrchu plynojemu, jestliže m stojí 5 Kč? ) Z plechu ve tvaru čtverce se má vyříznout kruh, jehož obsah je 7 dm. Vypočítej délku strany nejmenšího čtverce, ze kterého je možné takový kruh vystřihnout. ) Z překližky ve tvaru čtverce má být vyříznut kruh, jehož obsah je 60 cm. Vypočítej délku strany nejmenšího čtverce, ze kterého je možné tento kruh vyříznout. ) Uprostřed čtvercového trávníku se stranou délky 0 m je kruhový květinový záhon. Nejmenší vzdálenost okraje záhonu od okraje trávníku je 5 m. Na jaké ploše je zaseta tráva? Provedˇnáčrtek. 4) Květinový záhon je umístěn uprostřed čtvercového vydlážděného pozemku se stranou délky 0 m. Nejmenší vzdálenost okraje záhonu od okraje pozemku je 7 m. Jaká plocha je vydlážděna? Provedˇ náčrtek. 5) Ze skleněné tabule o obsahu 8,8 m bylo vyrobeno 4 kotoučů s průměrem 66 cm. Vypočítej kolik % tvořil odpad. 6) Z plechu o obsahu 8,5 m bylo vyrobeno 50 těsnění ve tvaru kruhu o průměru 50 mm. Vypočítej kolik % tvořil odpad. 7) Studna má tvar válce s průměrem podstavy, m. Od povrchu k hladině je hloubka 4 m. Voda je hluboká,5 m. Kolik m zeminy bylo třeba vykopat při hloubení studny? Kolik m vody je ve studni? 8) Bazén má tvar válce s průměrem podstavy 6 m. Od povrchu k hladině je 0,6 m a hloubka vody je,8 m. Kolik vody je v bazénu? Vypočítej kolik m zeminy vykopali při jeho hloubení? 9) Silo má tvar válce s průměrem podstavy 6 m a výškou 5 m. Kolik m obilí je v plném silu? Kolik stojí plech na výrobu sila, jestliže m plechu stojí 80 KČ? Dno není vyrobeno z plechu. 0) Ocelový prut má tvar válce s průměrem,8 cm, jeho délka je 5 m. K výrobě panelu bylo použito 50 prutů. Vypočti hmotnost prutů v panelu, jestliže m má hmotnost 7800 kg. ) Válcový odlitek má průměr podstavy 4 cm a výšku,5 m. Za jednu směnu se vyrobí 0 odlitků. Vypočti celkovou hmotnost odlitků vyrobených za jednu směnu, jestliže m má hmotnost 680 kg. ) Jakou hmotnost má 000 m bronzového drátu (hustota s 9000 kg/m ) o průměru d 4,5 mm. ) Vypočtěte tělesovou výšku a objem rotačního válce, je-li jeho poloměr podstavy r 6 dm a povrch S 400 dm. 4) Vypočtěte tělesovou výšku a povrch rotačního válce, je-li poloměr jeho podstavy r 0,4 m a objem V, m. 5) Plynojem je vysoký 54 m a má objem m. Vypočtěte jeho průměr. 6) Městský plynojem je vysoký 66 m, jeho šířka (průměr) je 5 m. Jak vysoko sahá vnitřní víko, je-li na ukazateli m? 7) Válcová plechovka o objemu 0,68 litru má podstavu o průměru 0 cm. Vypočítejte výšku plechovky. Kolik cm plechu se spotřebuje na výrobu takové plechovky, jestliže odpad při výrobě činí 0% ze spotřebovaného materiálu? Jakou minimální délku by muselo mít pevné brčko, abychom jej mohli do plechovky jakkoliv zastrčit a ono nespadlo dovnitř. 8) *Vypočtěte rozměry válcové nádoby objemu litr, je-li její výška rovna průměru podstavy. 9) *Vypočtěte rozměry válcové nádoby objemu litr, je-li její výška rovna dvojnásobku průměru podstavy. 0) *Plášť rotačního válce, rozvinutý do roviny, je čtverec o obsahu P 0,8 m. Určete poloměr r a výšku v. ) *Jaký je průměr měděného drátu (s 8900 kg/m ), jestliže kus 5 m dlouhý váží 0,75 kg. Výsledky souhrnných cvičení:. S 07,4 cm,v 6,08 cm. S 55,07 cm,v 95,775 cm. r,5 m 4. a)6,8 cm b)6,8 dm c) 570 m d)7,665 cm 5. a)asi 7, cm b)74,58 dm c),9 mm d)0,86 m 6. 60,88 m 7. a),7 m b)asi 86,06 m Strana (celkem 5)

34 Matematika pro 8.ročník -. pololetí Kolektiv pedagogů FZŠ Brdičkova 878, Praha 8. m 9. a)8,478 m b)9,6 hl 0. asi 06 m. dm. 8,8 cm.,5 m ,04 m 5. 6,8 % 6.,4 % 7. 8,478 m zeminy, vody,9564 m 8. v bazénu je 4 085,848 m vody, vykopali 804,44 m m, 6 5,8 Kč ,9 kg. 554,4 kg ,5 kg. 4,6 dm; 50 dm 4. 7 m ;,4 m 5. 4,4m 6. 6,45 m 7. v 8 cm, 449 cm ;,4 cm 8. v d 0,84 cm 9. r 4, cm; v 7, cm 0. r 0,4 m; v 0,9 m.,54 mm Strana (celkem 5)

35 Matematika pro 8.ročník -. pololetí 878, Praha Kolektiv pedagogů FZŠ Brdičkova Strana 47 (celkem 5)