Důkazy tvrzení uvedených v této kapitole lze nalézt např. v[23].
|
|
- Ludmila Vlčková
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 7 Elementární funkce Koncem 8. století se matematici a přírodovědci shodovali na tom, že většina reálných situací se dá reprezentovat model obsahujícími pouze tzv. elementární funkce. Ze současného pohledu jsou to vlastně funkce, které bl do té dob popsán. Elementární funkce jsou funkce, které lze vtvořit pomocí konečného počtu operací sčítání, odčítání, násobení, dělení a skládání funkcí pouze ze základních elementárních funkcí. Mezi základní elementární funkce řadíme funkce mocninné, eponenciální a logaritmické, goniometrické a cklometrické, hperbolické a hperbolometrické. Důkaz tvrzení uvedených v této kapitole lze nalézt např. v[3]. Co budete umět po nastudování této kapitol: znát a umět používat základní vlastnosti základních elementárních funkcí, načrtnout graf základních elementárních funkcí, určit definiční obor dané elementární funkce, rozložit polnom na součin kořenových činitelů, dělit polnom polnomem, rozložit racionální funkce na parciální zlomk. 7. Základní elementární funkce S většinou ze základních elementárních funkcí jste se určitě setkali na střední škole. V této kapitole najdete jejich souhrnný přehled včetně grafů a nejdůležitějších vlastností. 7.. Obecná mocninná funkce Definice7.Mocninnáfunkceseponentem a Rjekaždáfunkcetvaru f()= a. Definiční obor, obor hodnot i vlastnosti této funkce závisí na tom, z jaké podmnožin množin Rjeeponent a. Konstantnífunkce Jestliže a=,dostávámekonstantnífunkci f()=.tatofunkcejesudá, D f = R (pro =dodefinujeme f()=), H f = {}. f()= Mocninná funkce s přirozeným eponentem Jestliže je eponent a přirozené číslo, obvkle ho značíme n a dostáváme mocninnou funkcivetvaru f()= n,kde n N. 87
2 *Je-li nliché,pakplatí D f = R, H f = R,funkcejelichá,neomezenáarostoucí na D f. *Je-li nsudé,pakplatí D f = R, H f = R +,funkcejesudá,omezenázdola, klesajícína(, arostoucína, ). f()= 5 f()= 3 f()= f()= 4 f()= Funkce n-tá odmocnina Jestliže a=,kde n N, n,dostávámemocninnoufunkcivetvaru f()= n n= n, n N. *Je-li nliché(n 3),jefunkce f()= n inverznífunkcíkfunkci n pro R.Navícplatí,že D f = R, H f = R,funkcejelichá,neomezenáarostoucí na D f. *Je-li nsudé(n ),jefunkce f()= n inverznífunkcíkfunkci n pro, ).Navícplatí,že D f =, ), H f =, ),funkcezdolaomezená arostoucína D f. - f()= 5 f()= 3-3 f()= 5 f()= f()= 4 f()= f()= 4 f()= Mocninná funkce se záporným celým eponentem Je-lieponentcelézápornéčíslo,obvklehouvádímevetvaru a= n,kde n N, adostávámemocninnoufunkcivetvaru f()= n = n,kde n N. *Je-li nliché,pakplatí D f = R\{}, H f = R\{},funkcejelichá,neomezená, klesajícína(,)ana(, ). *Je-li nsudé,pakplatí D f = R\{}, H f = R +,funkcejesudá,omezenázdola, rostoucína(,)aklesajícína(, ). 88
3 - - f()= 3 f()= f()= - 4 f()= Mocninná funkce s racionálním eponentem Nechťjeeponent aracionálníčíslovetvaru a= m,kde m,njsounesoudělná, n m Z, n N, n.mocninnáfunkcejepakvetvaru f()= m n= n m. Definičníoborzávisínačíslech man: *je-li m >anliché,pak D f = R; *je-li m <anliché,pak D f = R\{}; *je-li m >ansudé,pak D f =, ); *je-li m <ansudé,pak D f =(, ). Mocninná funkce s iracionálním eponentem Vpřípadě,že a R \ Q(tj. ajeiracionální),jemocninnáfunkce f() = a definovánapomocílogaritmickéaeponenciálnífunkcejako f()= a = e aln (viz dále).potom D f = R +, H f = R +,pro a >jefunkcerostoucíapro a <je klesající. Tímtomámedefinovanoumocninnoufunkci f()= a provšechnhodnoteponentu a R. Pro libovolnou hodnotu eponentu a je mocninná funkce definována vžd nejméně na intervalu(, ). Tp monotonie této funkce na intervalu(, ) pak závisí na eponentu a, jak je naznačeno na následujícím obrázku: a> a= f() = a <a< a= a< Na intervalu(, ) pak také platí univerzální vztah a = e a ln, R +,a R. Z tohoto vztahu ihned plnou následující pravidla pro nerovnosti. 89
4 Věta7.Nechť, R +, a,b R.Potomplatí a >; je-li <, a >,pak a < a ; je-li <, a <,pak a > a ; je-li >, a < b,pak a < b ; je-li <, a < b,pak a > b. Nakonec ještě připomeneme základní pravidla pro počítání s mocninnými funkcemi. Věta7.Nechť, R +, a,b R.Potomplatí a a =() a a a= ( ) a a b = a+b a b= a b a = a ( a ) b = ab. Věta7.3Nechť, R +, m,n N, m,n.potomplatí n = n n n n = n n k = ( n ) k, k Z m n = m n ( n ) n= n n =. 7.. Eponenciální funkce Eponenciální funkce se vužívá pro modelování mnoha(nejen) přírodních jevů, protože vjadřuje tzv. zákon přirozeného růstu. Pomocí ní můžeme popsat například organický růst(např. vývoj populace), vrovnávání rozdílů(např. ochlazování nebo rozpouštění), průběh chemických reakcí aj. Tpickým ekonomickým příkladem je pak spojité úročení. Definice7.Eponenciálnífunkcísezákladema, a R +, a,jekaždáfunkce tvaru f()=a, R. f() = a pro <a< f() = a pro a> 9
5 Definičnímoboremtétofunkcejetedcelámnožina R,oboremhodnotpak H f = R +. Funkce není ani sudá, ani lichá, ani periodická. Tp monotonie funkce závisí na jejím základu a;pro a >jerostoucíapro<a<jeklesající.graffunkce a vždprochází bodem(, ). Věta7.4Nechť a R +, a ;provšechna, Rplatí a + = a a a = a a (a ) = a. Poznámka 7. Mezi eponenciálními funkcemi zaujímá důležité místo tzv. přirozená eponenciální funkce f()=e,kde ejeeulerovočíslo(vizkapitolu4.4). Eponenciální funkce se základem a = se nazývá dekadická eponenciální funkce. Funkceeponenciálníjenasvém D f prostá,eistujeknítedfunkceinverzní-tase nazývá logaritmická funkce a je popsána v následující části Logaritmická funkce Definice7.3Nechť a R, a >, a.inverznífunkcekeponenciálnífunkci a senazýválogaritmickáfunkceozákladuaaznačíse f()=log a. f() = loga pro a> f() = loga pro <a< Zvýšeuvedenédefinicetedplnenásledujícíekvivalence( R, R + ): = a =log a. DefiničnímoboremlogaritmickéfunkcejeD f =(, ),oborhodnotjeh f = R,funkce nenísudáanilichá,neníperiodická;pro<a<jeklesajícíapro a >jerostoucí. Graffunkcelog a vždprocházíbodem(,). Věta7.5Nechť a,b R +, a, b ;provšechna, R + platí log a ()=log a +log a log a =log a log a log a = log a log b = log a log a b. 9
6 Poznámka 7. Funkčníhodnotlogaritmickéfunkcesenazývajílogaritm;smbollog a čteme jakologaritmusčíslaozákladuanebologaritmusozákladuačísla. Specielně pro a = e dostáváme tzv. přirozenou logaritmickou funkci a značíme ji f()=ln(tj.ln=log e ).Pro a=dostávámetzv.dekadickoulogaritmickou funkciaznačímeji f()=log(tj.log=log ). Nechť a >, a.podlepravidelproskládánífunkcídostávámeprofunkce f()=a a f ()=log a následujícívztah: (f f )()=a log a = R + (f f)()=log a a = R. Věta7.6Nechť a R, R + ;potomplatí a = e aln Goniometrické funkce Mezi goniometrické funkce řadíme funkce sinus, kosinus, tangens a kotangens. Máme více možností, jak tto funkce definovat(jako součet nekonečné řad, použitím funkcionálních rovnic aj.). M použijeme definici vužívající jednotkovou kružnici. Úhlbudememěřitvmířeobloukové,kdplatí,že vmířestupňovéjerovenúhlu π velikosti vmířeobloukové. 8 Uvažujmetedjednotkovoukružnicisestředemvpočátkuabod A=(m,n)ležícína této kružnici. Jako označíme orientovaný úhel(v míře obloukové), který svírá kladný směros sprůvodičembodu A viznásledujícíobrázek: cotg A=(m,n) tg cos sin 9
7 Funkcesinus Definice7.4Funkce f,jejížhodnotajevkaždémbodě Rrovnasouřadnici nbodu A,senazývásinus.Hodnotafunkcesinusvbodě seznačísin. f() = sin - - Definičnímoboremje D f = R,oboremhodnot H f =, ;funkce jelichá, tj.platísin( ) = sin R;funkcejeperiodická sprimitivní periodou π,tj.platísin(+π) = sin R;funkce jerostoucína všech intervalech π+kπ, π+kπ aklesajícínavšechintervalech π +kπ,3π+kπ,kde k Z. Funkcekosinus Definice7.5Funkce f,jejížhodnotajevkaždémbodě Rrovnasouřadnici mbodu Asenazývákosinus.Hodnotafunkcekosinusvbodě seznačícos. f() = cos - - Definičnímoboremje D f = R,oboremhodnot H f =, ;funkcejesudá,tj. platícos( )=cos R;funkcejeperiodickásprimitivníperiodouπ,tj.platí cos(+π)=cos R;funkcejerostoucínavšechintervalech (k )π,kπ aklesajícínavšechintervalech kπ,(k+)π,kde k Z. Funkcetangens Definice7.6Funkce f()= sin cos senazývátangens.hodnotafunkcetangens vbodě seznačítg,tj. tg= sin cos. 93
8 f() = tg - - Definičnímoboremje D f = R\{ π +kπ;k Z},oboremhodnot H f= R;funkce jelichá,tj.tg( )= tg D f,funkcejeperiodickásprimitivníperiodou π, tj.tg(+π)=tg D f ;funkcejerostoucínaintervalech( π +kπ, π +kπ), k Z. Funkcekotangens Definice7.7Funkce f()= cos sin senazývákotangens.hodnotafunkcekotangensvbodě seznačícotg,tj. cotg= cos sin = tg. f() = cotg - - Definičnímoboremje D f = R \ {kπ;k Z},oboremhodnot H f = R;funkceje lichá,tj.cotg( )= cotg D f,funkcejeperiodickásprimitivníperiodou π,tj.cotg(+π)=cotg D f ;funkcejeklesajícínaintervalech(kπ,(k+)π), k Z. Vlastnosti goniometrických funkcí V této části uvedeme nejpoužívanější vztah a vzorce platné pro goniometrické funkce. Všechn uvedené rovnosti platí všude, kde je současně definovaná levá i 94
9 pravástranarovnosti.připomeňme,ženapř.zápissin znamená(sin),tj.rozlišujtesin asin (viztaképříklad6.nastr.8). sin +cos = sin()=sincos cos()=cos sin sin(±)=sincos ±cossin ( π ) sin=cos sin = cos() sin+sin=sin + cos+cos=cos + cos cos cos(±)=coscos sinsin ( π ) cos=sin cos = +cos() sin sin=cos + cos cos= sin + sin sin 7..5 Cklometrické funkce Cklometrickými funkcemi rozumíme funkce arkussinus, arkuskosinus, arkustangens a arkuskotangens. Definujeme je jako inverzní funkce k funkcím goniometrickým. Protože goniometrické funkce nejsou na svých definičních oborech prosté, musíme jejich definiční obor nejdříve vhodně zúžit. Funkcearkussinus Definice 7.8 Funkcí arkussinus nazveme funkci, která je inverzní k funkci sin, π, π.hodnotafunkcearkussinusvbodě seznačíarcsin. arcsin sin DefiničnímoboremfunkcearkussinusjeD f =,,oboremhodnoth f = π, π ; funkce je lichá, rostoucí, omezená a není periodická. 95
10 Funkcearkuskosinus Definice 7.9 Funkcí arkuskosinus nazveme funkci, která je inverzní k funkci cos,,π.hodnotafunkcearkuskosinusvbodě seznačíarccos. arccos - - cos Definičnímoboremfunkcearkuskosinusje D f =,,oboremhodnot H f =, π ; funkce je klesající, omezená a není ani lichá ani sudá, není periodická. Funkcearkustangens Definice 7. Funkcí arkustangens nazveme funkci, která je inverzní k funkci tg, ( π, π ).Hodnotafunkcearkustangensvbodě seznačíarctg. tg arctg - - Definičnímoboremfunkcearkustangensje D f = R,oboremhodnot H f =( π, π ); funkce je lichá, rostoucí, omezená a není periodická. 96
11 Funkcearkuskotangens Definice 7. Funkcí arkuskotangens nazveme funkci, která je inverzní k funkci cotg, (,π).hodnotafunkcearkuskotangensvbodě seznačíarccotg. arccotg cotg Definičnímoboremfunkcearkuskotangensje D f = R,oboremhodnot H f =(,π); funkce je klesající, omezená a není ani lichá ani sudá, není periodická. Poznámka 7.3 Z výše uvedených definic ihned plne následující: =arcsin =sin,kde,, π, π =arccos =cos,kde,,,π =arctg =tg,kde R, ( π, π ) =arccotg =cotg,kde R, (,π) arcsin(sin)=,pro π, π sin(arcsin)=,pro, arctg(tg)=,pro ( π, ) π tg(arctg)=,pro R 7..6 Hperbolické funkce S hperbolickými funkcemi jste se asi na střední škole nesetkali, ale protože se často vsktují zejména v technické prai, uvedeme zde aspoň jejich základní přehled. Mezi hperbolické funkce patří funkce hperbolický sinus, hperbolický kosinus, hperbolický tangens a hperbolický kotangens. 97
12 Hperbolickýsinus Definice 7.Funkci f()= e e, R, nazýváme hperbolický sinus. Hodnotafunkcehperbolickýsinusvbodě seznačísinh,tj. sinh= e e. sinh Definičním oborem i oborem hodnot funkce hperbolický sinus je R, funkce je lichá, není periodická a je rostoucí. Hperbolickýkosinus Definice7.3Funkci f()= e +e, R,nazývámehperbolickýkosinus. Hodnotafunkcehperbolickýkosinusvbodě seznačícosh,tj. cosh= e +e. cosh Definičním oborem funkce hperbolický kosinus je R, oborem hodnot pak, ); funkce je sudá, není periodická, je rostoucí v intervalu, ) a klesající v intervalu (,. 98
13 Hperbolickýtangens Definice7.4Funkci f()= sinh cosh, R,nazývámehperbolickýtangens. Hodnotafunkcehperbolickýtangensvbodě seznačítgh,tj. tgh= sinh cosh = e e e +e. tgh - Definičním oborem funkce hperbolický tangens je R, oborem hodnot(, ), funkce je lichá, omezená, není periodická a je rostoucí. Hperbolickýkotangens Definice7.5Funkci f()= cosh, R \ {},nazývámehperbolickýkotangens. Hodnota funkce hperbolický kotangens v bodě se značí cotgh, sinh tj. cotgh= cosh sinh = e +e e e. cotgh - Definičním oborem funkce hperbolický kotangens je R\{}, oborem hodnot množina(, ) (, ),funkcejelichá,neníperiodickáajeklesajícínaintervalech (,)a(, ). 99
14 7..7 Hperbolometrické funkce Hperbolometrické funkce definujeme jako funkce inverzní k funkcím hperbolickým. Pozor musíme dát u hperbolického kosinu, neboť tato funkce není prostá(musíme proto nejdříve vhodně zúžit její definiční obor). Mezi hperbolometrické funkce řadíme funkce argument hperbolického sinu, argument hperbolického kosinu, argument hperbolického tangens a argument hperbolického kotangens. Argument hperbolického sinu Definice 7.6 Funkcí argument hperbolického sinu nazveme funkci, která je inverzní k funkci hperbolický sinus. Hodnota funkce argument hperbolického sinuvbodě seznačíargsinh. argsinh Definičnímoboremioboremhodnotfunkceargsinhje R,funkcejelichá,není periodická a je rostoucí. Argument hperbolického kosinu Definice 7.7 Funkcí argument hperbolického kosinu nazveme funkci, která jeinverzníkfunkcihperbolickýkosinuspro, ).Hodnotafunkceargument hperbolického kosinu v bodě se značí argcosh. argcosh Definičnímoboremfunkceargcoshje, ),oboremhodnot, ),funkcenení lichá ani sudá, není periodická a je rostoucí. Argument hperbolického tangens Definice 7.8 Funkcí argument hperbolického tangens nazveme funkci, která je inverzní k funkci hperbolický tangens. Hodnota funkce argument hperbolickéhotangensvbodě seznačíargtgh.
15 argtgh - Definičnímoboremfunkceargtghje(,),oboremhodnot R,funkcejelichá, není periodická a je rostoucí. Argument hperbolického kotangens Definice 7.9 Funkcí argument hperbolického kotangens nazveme funkci, která je inverzní k funkci hperbolický kotangens. Hodnota funkce argument hperbolického kotangens v bodě se značí argcotgh. argcotgh - Definičnímoboremfunkceargcotghje(, ) (, ),oboremhodnot R\{}, funkcejelichá,neníperiodickáajeklesajícínaintervalech(, )a(, ). 7. Elementární funkce Definice 7. Funkce se nazývá elementární funkce, jestliže ji lze vtvořit ze základních elementárních funkcí pouze pomocí konečného počtu algebraických operací nebo skládání. Poznámka 7.4 Ne všechn funkce jsou elementární, například funkce sgn nebo Dirichletova funkce nejsou elementárními funkcemi.
16 Rozdělení elementárních funkcí: transcendentní iracionální elementární algebraické racionální celé racionální lomené racionální rze lomené racionální nerze lomené racionální Definice 7. Elementární funkce se nazývá algebraická, jestliže je vtvořena pomocí algebraickýchoperacípouzezkonstantnífunkceamocninnéfunkce α, α Q\{}. Elementární funkce, která není algebraická, se nazývá transcendentní. Příklad 7. příkladalgebraickýchfunkcí: 3+5, 3, příkladtranscendentníchfunkcí:sin( ),ln e,arcsin(+) Definice 7. Algebraické funkce, které jsou vtvořené pouze pomocí algebraických operací(tj. bez skládání), se nazývají racionální. Ostatní algebraické funkce se nazývají iracionální. Příklad 7. příkladracionálníchfunkcí: +4 7, 3 5 příklad iracionálních funkcí:, , +3 3, Definice7.3Nechť n N a a,a,...,a n R, a n.celouracionálnífunkcí (polnomem stupně n, algebraickým mnohočlenem stupně n) nazýváme funkci tvaru P()=a n n + a n n + +a + a +a, R.Číslo nsenazývástupeň polnomu Pakonstant a,a,...,a n senazývajíkoeficientpolnomu P.Polnom stupně n a stupňů nižších nazýváme polnom stupně nejvýše n. Definice 7.4 Kořenem polnomu P se nazývá reálné nebo komplení číslo α takové, že P(α)=. Věta7.7(Základnívětaalgebr)Každýpolnomstupně n mávcalepoňjeden kořen. Věta7.8Má-lipolnom Pstupně n kořen α,potomeistujepolnom Qstupně n takový,že P()=( α) Q()prokaždé R. Příklad7.3Uvažujmepolnom P()= ;tentopolnomstupně n=3 mákořen α=.podlepředchozívěteistujepolnom Q()tak,že P()=Q()( ).
17 Polnom Q() najdeme jednoduše vdělením polnomu P() členem( ), kd dostáváme Q()=P():( )= 3. Lze ted psát P()=( )( 3)=( )(+)( 3). Definice 7.5 Výraz( α) z předchozí vět se nazývá kořenový činitel polnomu P. Kořen αpolnomu Pstupně nsenazývá k-násobnýkořenpolnomu P(kde k n), jestližeeistujepolnomqstupněn ktak,žep()=( α) k Q()prokaždé R apřitom αneníkořenempolnomu Q.Pro k=sekořennazývájednoduchý. Příklad 7.4 a)kořen α=jejednoduchýmkořenempolnomu P()= ,protože P()=( ) Q()=( )( 3)aα=neníkořenem Q(). b)kořen α=3jedvojnásobnýmkořenempolnomu P()=( 3) ( ). Věta 7.9(O rozkladu polnomu) Každý polnom P stupně n lze jednoznačně rozložit na součin lineárních a kvadratických členů s reálnými koeficient tvaru kde P()=a n ( α ) k ( α j ) kj ( +p +q ) s ( +p i +q i ) s i, k +k + +k j +s +s + +s i = n; α,...,α j jsouvšechnnavzájemrůznéreálnékořenpolnomu Pa k,...,k j jsoujejichnásobnosti; kvadratické člen nemají reálné kořen, ale každý z nich má dvojici kompleně sdruženýchkořenůsnásobnostmi s,...,s i. Příklad 7.5 a)polnom =(+)( )mádvajednoduchéreálnékořena. b)polnom =(+)( )( +)( +)= =(+)( )(+i)( i)(+i )( i )mádvajednoduchéreálnékořen a advědvojicekompleněsdruženýchjednoduchýchkořenů ±ia±i. c)polnom =( 3) (+)máreálnékořen3a ;kořen3je dvojnásobný a kořen je jednoduchý. Popsané rozklad polnomů budeme potřebovat při integrování racionálních funkcí, konkrétně při rozkladu racionálních funkcí na parciální zlomk(viz dále). Definice 7.6 Lomenou racionální funkcí nazýváme algebraickou funkci tpu R()= P() Q() prokaždé R\{ R; Q()=}, kdepaqjsoupolnom,přičemžqjestupněalespoň.jestližestp < stq,nazýváse R rze lomená racionální funkce; jinak se R nazývá nerze lomená racionální funkce. 3
18 Příklad 7.6Funkce lomené racionální funkce. +3 a 3 jsourzelomené,funkce Poznámka 7.5 Některé racionální funkce mají speciální názv: lineárnífunkce:=a+b, a, R přímáúměra:= k, k, R kvadratickáfunkce:= a +b+c, a, R lineárnílomenáfunkce:= a+b c+d, ad bc, c, R\{ d c } nepřímáúměra:= k, k, R\{} a + jsounerze Některé funkce na první pohled vpadají jako racionální lomené, ale po úpravě jsou rovnpolnomu,např. + =.Vtakovémpřípadějepovažujemezapolnom. Následující věta říká, jak složitou racionální funkci převést na součet jednodušších racionálních funkcí přesně daného tvaru na tzv. parciální zlomk prvního a druhého druhu. Tento rozklad se dá vužít v mnoha situacích, m ho použijeme zejména při integraci racionálních funkcí. Věta7.(Rozkladnaparciálnízlomk) Nechť R()= P() Q() jerzelomenáracionální funkce, jejíž čitatel a jmenovatel nemají žádné společné kořen. Nechť Q()=a n ( α ) k ( α j ) kj ( +p +q ) s ( +p i +q i ) s i. Potomeistují(jednoznačněurčená)reálnáčísla A,...A k,...,a j,...a jkj, B,...B s,..., B i,...b isi,c,...c s,...,c i,...c isi taková,že A R()= A + α ( α ) + + A k + + A j ( α ) k α }{{} j ( α j ) k j }{{} + B +C + B +C +p +q ( +p +q ) + + B s +C s + + ( +p +q ) s }{{} + B i+c i + + B is i +C isi. +p i +q i ( +p i +q i ) s i }{{} A jkj Příklad 7.7 Rozklad následující rze lomené racionální funkce(tj. kde P() je polnom stupně nejvýše 5) hledáme ve tvaru P() ( )(+) 3 ( +) = A + A + + A (+) + A 3 (+) 3+ + B +C + + B +C ( +), kde v čitatelích jsou zatím neznámé konstant. 4
19 Pro danou rze lomenou racionální funkci ted hledáme neznámé koeficient v čitatelích jednotlivých parciálních zlomků. Obdobně jako v předchozím příkladu si smbolick naznačíme rozklad a pak příslušné koeficient dopočítáme. Můžeme si zvolit ze dvou možností(které samozřejmě vedou ke stejnému výsledku): a) Převedeme všechn zlomk na pravé straně na společného jmenovatele(tj. Q()) a porovnáme polnom v čitatelích na levé a pravé straně. b) Vnásobíme celou rovnost polnomem Q() a porovnáme výsledné polnom na levé a pravé straně. Připomeňme, že dva polnom se rovnají právě tehd, kdž se rovnají koeficient u stejných mocnin proměnné daných polnomů. Tímto porovnáním získáme soustavu lineárních rovnic pro neznámé koeficient. Řešení této soustav nakonec dosadíme do naznačeného rozkladu. V případě, že rozkládaná racionální funkce R() není rze racionální, musíme nejdříve provést ještě jednu úpravu, protože na parciální zlomk lze rozložit jen funkci rze racionální.mějmeted R()= P(),kde stp stq.potom R()převedeme(vdělením Q() polnomu P polnomem Q) na tvar R()=M()+ P () Q(), kde M()jepolnomastP < stq.naparciálnízlomkpakrozkládámepouze P () Q(). Celý postup si ukážeme na následujících příkladech. Příklad 7.8 Rozložte na parciální zlomk racionální funkci Řešení: R()= P() Q() = Funkce R() je rze racionální, takže můžeme přímo rozkládat.. Rozložíme polnom Q() ve jmenovateli na součin kořenových činitelů: Q()=( ) (+). 3. Polnom Q má pouze reálné kořen, takže rozklad bude obsahovat pouze parciální zlomk prvního druhu. Budou celkem tři, dva příslušící dvojnásobnému kořenu a jeden jednoduchému kořenu. Rozklad proto hledáme ve tvaru (R() =) 3 3+ = A + B C ( ) Pro určení neznámých koeficientů A, B a C vnásobíme výše uvedenou rovnost polnomem Q: =A( )(+)+B(+)+C( ) =A( + )+B+B+C( +) + = (A+C)+(A+B C)+( A+B+C). 5
20 Porovnáním koeficientů u příslušných mocnin proměnné na levé a pravé straně dostaneme soustavu rovnic pro neznámé konstant A, B a C: : =A+C : =A+B C : = A+B+C. Vřešenímtétosoustavzískáme A= 7 9, B= 3, C= Dosazením vpočtených konstant do jednotlivých parciálních zlomků dostaneme požadovaný rozklad ve tvaru = ( ) = 7 9( ) 3( ) + 9(+). Příklad 7.9 Rozložte na parciální zlomk racionální funkci Řešení: R()= P() Q() = Funkce R() je rze racionální, takže můžeme přímo rozkládat.. Rozložíme polnom Q() ve jmenovateli na součin kořenových činitelů: Q()=( +). 3.PolnomQmáreálnýkořen,dvojčlen +nemáreálnékořen.rozkladbude obsahovat jeden parciální zlomek prvního druhu a jeden zlomek druhého druhu. Rozklad proto hledáme ve tvaru (R()=) = A + B+C Pro určení neznámých koeficientů A, B a C vnásobíme výše uvedenou rovnost polnomem Q: 3 + 4=A( +)+(B+C) 3 + 4= (A+B)+( A+C)+A. Porovnáním koeficientů u příslušných mocnin proměnné na levé a pravé straně dostaneme soustavu rovnic pro neznámé konstant A, B a C: : 3=A+B : = A+C : 4=A. Vřešenímtétosoustavzískáme A=, B=5, C=3. 6
21 5. Dosazením vpočtených konstant do jednotlivých parciálních zlomků dostaneme požadovaný rozklad ve tvaru 3 3+ = Příklad 7. Vjádřete racionální nerze lomenou funkci R()= jako součet polnomu a racionální rze lomené funkce, a tu rozložte na parciální zlomk. Řešení: Nerze lomenou funkci R() nejdříve upravíme vdělením: ( ):( +3+)= Nníbudemerozkládatpouzerzelomenouracionálnífunkci R ()= Jmenovatelrozložímenasoučinkořenovýchčinitelů +3+=(+)(+).Polnomve jmenovateli má pouze dva jednoduché reálné kořen, takže rozklad bude obsahovat dva parciálnízlomkprvníhodruhu.rozkladracionálnífunkce R ()= +5 (+)(+) hledáme ve tvaru +5 (+)(+) = A + + B +. Pro určení neznámých konstant A a B například vnásobíme výše uvedenou rovnost polnomem(+)(+)adostáváme: +5=A(+)+B(+) +5=(A+B)+(A+B). Porovnáním koeficientů u příslušných mocnin proměnné na levé a pravé straně dostaneme soustavu rovnic pro neznámé konstant A a B: : =A+B : 5=A+B. Vřešenímtétosoustavzískáme A=3aB=.Dosazenímvpočtenýchkonstantdo naznačeného rozkladu pak můžeme psát R()= = Pojm k zapamatování: základní elementární funkce(mocninné, eponenciální a logaritmické, goniometrické a cklometrické, hperbolické a hperbolometrické), elementární funkce polnom, kořen polnomu, kořenový činitel lomená racionální funkce parciální zlomk 7
22 Příklad k procvičení:. Zjednodušte výraz a stanovte podmínk: a 3 a a) b) ( a a ) 3 a 3 b: 3 b a 3 c)( ) (+) ( + ).Jedánafunkce a)určete D f. b) Vpočítejte nulové bod funkce f. c)určete,prokterá jefunkcekladná. f()= V množině R řešte následující rovnice a nerovnice: f) a) 3 + = b) = c) 7 + =3 d) + e) 5( ) < g) +3+ += h) + +8=+ 4. Určete definiční obor: f ()= 3 f ()= 8+8 f 4 ()= 3 8 f 5 ()= 8 3 f 3 ()= f 6 ()= f 7 ()= 5+ 3 f 8 ()= f 9 ()= Vpočtěte: a=log7, b=log 3 3, c=log Vpočtěte: a) =( ) log 4 +log + log 3 37 log 3 3 b),jestliželog = c) z,jestliželog =. z 7. Načrtněte graf funkcí f()=log (+) 3 g()=log( ) h()= + k()= 3 ( ) 3 8
23 8.Určete,prokteréhodnotparametru a Rjsoufunkce ( ) a 3 f()= a g()=loga+ a+5 a rostoucí, resp. klesající. 9. Určete definiční obor následujících funkcí: f ()=log( +4 6) f ()=log f 4 ()= 4 64 f 5 ()= f 7 ()=log ( 3) f 8 ()= ln( ) + + f 6 ()= ln(4 7) f ()=log 8 f ()= ln( ) f 3 ()= +ln ln ( ) 9 3 f 9 ()=ln(ln(ln)). Načrtněte graf funkcí a určete primitivní periodu: ( ) f ()=sin() f ()=cos +π f 3 ()=sin( π) f 4 ()=tg(3)+ f 5 ()=arcsin(+) f 6 ()=arctg( )+. Vpočtěte: ( 3 arcsin, arcsin, arccos ), arccos, arctg 3, ( arctg( ), arccotg ) 3. Určete definiční obor funkcí: f ()= f ()= f 3 ()=tg() f 4 ()= cos sin cos f 5 ()=e sin f 6 ()=arcsin( 3) f 7 ()=arccos 4 f 8 ()=arcsin( )+lnln f 9 ()= arctg +3 π 4 f ()= + f ()= ln(sin) f ()= sin+ 3 sin sin f 3 ()= f cos 4 ()= 3 + f 5 ()=arcsin + +3sin 3 f 6 =arctg +7 f 7 ()=arcccos f 8 ()= 3. Pro danou funkci určete inverzní funkci a její definiční obor: a) f()=cos( 3), π 3, 3 9 arcsin 5
24 b) g()=3+4arccos( ),, c) h()=+arctg(3 4), R. 4.Dokažteplatnostvztahucosh sinh =.(Použijtedefiniceoboufunkcí.) 5. Dokažte, že platí: a)argcosh=ln(+ ) provšechna, ), a)argsinh=ln(+ +) provšechna R, a)argtgh= ln+ provšechna (,), a)argcotgh= + ln provšechna (, ) (, ). 6. Rozložte polnom na kořenové činitele: P ()= +4 6 P ()= 3 + P 3 ()= P 4 ()= 4 6 P 5 ()= 4 P 6 ()= P 7 ()= Určete kořen polnomu: P ()= ,má-likořen, P ()= 3 8+,má-likořen, P 3 ()= ,má-likořen, P 4 ()= ,má-likořen+ia Vjádřete racionální nerze lomenou funkci jako součet polnomu a racionální rze lomené funkce(tj. vdělte čitatele jmenovatelem): R ()= R ()= 3 +7 R 3 ()= Rozložte na parciální zlomk: R ()= R 4 ()= + (+ )(+ ) R ()= R 5 ()= +3+6 (+) 3 R 3 ()= R 6 ()= ++ ( ) (+ ) Výsledk příkladů k procvičení:.a) a 3 a, a > b) b, a,b > c) +, + >.a) D f = R\{,,} b) = c)(, ) (, ) 3.a) { } 5 b) nemářešení c) {,4} d) (,4 e) R f) 7 5,3) ( 3,8 5 g) nemá řešení h) {,} 4. D f = R\{±} D f = R\{8,} D f3 = R\{ 3,,3} D f4 = 8 3, ) D f5 =(, D f6 = R\{,} D f7 = 5, ) D f8 =(, 3, ) D f9 =(,3) 3, ) 5. a= 3, b=, c= 5 6.a) = b) = 5 9 c) z= 7
25 7. Graf funkcí jsou na následujícím obrázku: f() (+)-3 = log g() (-) = log / h() = + -3 k() = - 7 ( ) Funkce f rostepro a (, 5),klesápro a (3, );funkce grostepro a (, )aklesápro a (, ). 9. D f =(, 3) (, ) D f =(,3) D f3 = R + \{e} D f4 = 3, ) D f5 =,) (,) D f6 =, ) D f7 =(3, ) D f8 = ( 7 ( ) (,) (, ) D f9 =(e, ) D f =(8, ) D f =, 5 + ) 5,. f () = sin p = - - f () = cos ( + p = 4 -
26 f 3 () = sin ( - ) p = - - f 4() = tg 4 + p = f 5 () = arcsin ( +) f 6 () = arctg ( - ) + není periodická není periodická π 6, π 3, 3 π, π, π 3, π 4, 3 π. D f = R\{kπ;k Z} D f = R\{kπ;k Z} D f3 = R\{(k+) π ;k Z} 4 D f4 = k Z π +kπ, π +kπ D f5 = 5 k Z 6 π+kπ,3π+kπ 6 D f6 =, D 3 f7 = 3,5 D f8 =(, D f9 =, ) D f = R\{ 3π+kπ;k Z} D f = { π+kπ;k Z} D f = R\{kπ;k Z} D f3 = R\{ 5 6 π+kπ,π+kπ;k Z} D 6 f 4 =, ) D f5 = (, D f6 = R\{} D f7 =, D f8 =, ( ( ) 3.a) f ()= 3 arccos ), Df =, b) g ()= +cos 3 4, D g = 3,3+4π c) h ()= (4+tg( )), D 3 h = ( π,+ ) π
27 6.P ()=( )(+3) P ()=(+)( +) P 3 ()=( )(+)( 3) P 4 ()=( +4)(+)( ) P 5 ()=( +3)(+)( ) P 6 ()=( )(5 ++5) P 7 ()=(+3)( ) 7. P : trojnásobnýkořen; P : dvojnásobnýkořenajednoduchýkořen 3; P 3 : dvojnásobnýkořen,dvojnásobnýkořenajednoduchýkořen 3 ; P 4 : jednoduchádvojice ±i,dvojnásobnýkořen 3ajednoduchýkořen R 3 ()= R ()= R ()= R 3 ()= R ()= 3( ) + 4 3(+) 9(+) + 4 3(+) 9( ) R 5 ()= + + (+) + 3 (+) 3 R ()= R 4 ()= + + R 6 ()= ( ) + 3
Elementární funkce. Polynomy
Elementární funkce 1 Elementární funkce Elementární funkce jsou níže uvedené funkce a jejich složenin : 1. Polnom.. Racionální funkce. 3. Mocninné funkce. 4. Eponenciální funkce. 5. Logaritmické funkce.
VíceV této chvíli je obtížné exponenciální funkci přesně definovat. Můžeme však říci, že
.5. Cíle Uvedeme nní několik unkcí, z nichž většinu studenti znají již ze střední škol. Nazveme je základní elementární unkce. Konečným počtem sčítání, odčítání, násobení, dělení, skládání a případně invertování
VíceMatematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala
Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. /8 3. Elementární funkce. 3. Elementární funkce. Matematická analýza ve Vesmíru.
VíceFUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI
PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI Pojem zobrazení a funkce Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic
VíceText může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková
Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o prezentaci promítanou na přednáškách, kde k ní přidávám slovní komentář. Některé důležité části látky píšu pouze na tabuli a nejsou zde obsaženy.
VíceP ˇ REDNÁŠKA 3 FUNKCE
PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE 3.1 Pojem zobrazení a funkce 2 3 Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic (x, y) A B,
VíceFunkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺın společného
VíceFunkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplín společného
Více8. Elementární funkce. I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem ( ) e z z k k!.
8. Elementární funkce I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem ( ) e z z k = k!. Vlastnosti exponenciální funkce: a) řada ( ) konverguje absolutně
VíceFUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného
VíceZákladní elementární funkce
Základní elementární funkce Základní elementární funkce Za základní elementární funkce považujeme funkce: a) eponenciální a logaritmické; b) obecné mocninné; c) goniometrické a cklometrické; d) hperbolické
VíceFUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného
VíceFunkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Pojem funkce Vlastnosti funkcí Inverzní funkce 4 Základní elementární funkce Mocninné Eponenciální Logaritmické
Více(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí
1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální
VíceObecnou definici vynecháme. Jednoduše řečeno: složenou funkci dostaneme, když dosadíme za argument funkci g. Potom y f g
Složená funkce Obecnou definici vynecháme Jednoduše řečeno: složenou funkci dostaneme, když do funkce y f dosadíme za argument funkci g Potom y f g Funkce f je vnější složka, funkce g vnitřní složka Pochopitelně
VíceMatematika 1. Matematika 1
5. přednáška Elementární funkce 24. října 2012 Logaritmus a exponenciální funkce Věta 5.1 Existuje právě jedna funkce (značíme ji ln a nazýváme ji přirozeným logaritmem), s následujícími vlastnostmi: D(ln)
Vícearcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.
Neurčitý integrál arcsin. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody dostaneme arcsin = arcsin 4 = arcsin + 4 + C, (,. ln + 4 ln + 9. Tento integrál lze převést substitucí ln = y na integrál
VíceF (x) = f(x). Je-li funkce f spojitá na intervalu I, pak existuje k funkci f primitivní funkce na intervalu I.
KAPITOLA 7: 7. Úvod Primitivní funkce [MA-6:P7.] Definice: Funkce F je primitivní funkcí k funkci f na intervalu I, jestliže pro každé I eistuje F a platí F f. Poznámky: Obsahuje-li I některý z krajních
VíceDiferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
Více0.1 Funkce a její vlastnosti
0.1 Funkce a její vlastnosti Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost (m) čas (t) výše úrokové sazby v bance (i) cena
VíceMatematika (KMI/PMATE)
Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Funkce a její vlastnosti Veličina Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Funkce a její
Víceh = 0, obr. 7. Definice Funkce f je ohraničená shora, jestliže x Df Funkce f je ohraničená zdola, jestliže x Df d R
.4. Cíle V této kapitole jsou deinován nejdůležitější pojm týkající se vlastností unkcí. Při dalším studiu budou tto vlastnosti často používán. Je proto nutné si jejich deinice dobře zapamatovat. Deinice.4..
Více4. Funkce Funkce. S pojmem funkce jsme se setkali již v Kapitole 1F Zobrazení. Připomeňme základní pojmy.
. Funkce.. Funkce Verze. prosince 6 S pojmem funkce jsme se setkali již v Kapitole F Zobrazení. Připomeňme základní pojm. Zobrazení z množin X do množin Y je formálně podmnožina F kartézského součinu X
Více4.2. CYKLOMETRICKÉ FUNKCE
4.. CYKLOMETRICKÉ FUNKCE V této kapitole se dozvíte: jak jsou definovány cyklometrické funkce a jaký je jejich vztah k funkcím goniometrickým; základní vlastnosti cyklometrických funkcí; nejdůležitější
VíceMatematika I (KMI/PMATE)
Přednáška první aneb Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Úvod do matematické analýzy Osnova přednášky pojem funkce definice funkce graf funkce definiční obor funkce obor hodnot funkce
VíceObsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce
Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních
VícePraha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,
E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................
VíceBakalářská matematika I
1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,
Více7.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P7.1a]
KAPITOLA 7: 7. Úvod Primitivní funkce [MA-8:P7.a] Definice: Funkce F je primitivní funkcí k funkci f na intervalu I, jestliže pro každé I eistuje F a platí F f. Poznámky: Obsahuje-li I některý z krajních
Více4. Funkce Funkce. S pojmem funkce jsme se setkali již v Kapitole 1F Zobrazení. Připomeňme základní pojmy.
4. Funkce 4. 4. Funkce Verze. prosince 06 S pojmem funkce jsme se setkali již v Kapitole F Zobrazení. Připomeňme základní pojm. Zobrazení z množin X do množin Y je formálně podmnožina F kartézského součinu
VíceProseminář z matematiky pro fyziky
Proseminář z matematiky pro fyziky Mgr. Jan Říha, Ph.D. e-mail: riha@prfnw.upol.cz http://www.ictphysics.upol.cz/proseminar/inde.html Katedra eperimentální fyziky Přírodovědecká fakulta UP Olomouc Podmínky
VíceLimita a spojitost funkce
Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu
VíceKapitola 1: Reálné funkce 1/20
Kapitola 1: Reálné funkce 1/20 Funkce jedné proměnné 2/20 Definice: Necht M R. Jestliže každému x M je přiřazeno jistým předpisem f právě jedno y R, říkáme, že y je funkcí x. x... nezávisle proměnná (neboli
VíceÚvod, základní pojmy, funkce
Úvod, základní pojmy, funkce Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 1. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 69 Obsah 1 Matematická logika 2 Množiny 3 Funkce,
Více0.1 Úvod do matematické analýzy
Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Pojem funkce Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost
VíceFunkce. Vlastnosti funkcí
FUNKCE Funkce zobrazení (na číselných množinách) předpis, který každému prvku z množiny M přiřazuje právě jeden prvek z množiny N zapisujeme ve tvaru y = f () značíme D( f ) Vlastnosti funkcí 1. Definiční
VíceDefinice (Racionální mocnina). Buď,. Nechť, kde a a čísla jsou nesoudělná. Pak: 1. je-li a sudé, (nebo) 2. je-li liché, klademe
Úvodní opakování. Mocnina a logaritmus Definice ( -tá mocnina). Pro každé klademe a dále pro každé, definujeme indukcí Dále pro všechna klademe a pro Později budeme dokazovat následující větu: Věta (O
Vícex (D(f) D(g)) : (f + g)(x) = f(x) + g(x), (2) rozdíl funkcí f g znamená: x (D(f) D(g)) : (f g)(x) = f(x) g(x), (3) součin funkcí f.
1. Funkce Deinice 1.1. Zobrazení nazýváme reálná unkce, jestliže H() R. Další speciikaci můžeme provést podle deiničního oboru zobrazení. Deinice 1.2. Reálná unkce se nazývá (1) unkce jedné reálné proměnné,
VíceKapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14
Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Neurčitý integrál 2/14 Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní
Více1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.
1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
Vícey = 1/(x 3) - 1 x D(f) = R D(f) = R\{3} D(f) = R H(f) = ( ; 2 H(f) = R\{ 1} H(f) = R +
Funkce. Vlastnosti funkcí Funkce f proměnné R je zobrazení na množině reálných čísel (reálnému číslu je přiřazeno právě jedno reálné číslo). Z grafu poznáme, zda se jedná o funkci tak, že nenajdeme žádnou
VíceCyklometrické funkce
4 Cyklometrické funkce V minulé kapitole jsme zkoumali první funkci inverzní ke funkci goniometrické (tyto funkce se nazývají cyklometrické) funkci y = arcsin x (inverzní k funkci y = sin x ) Př: Nakresli
VíceEdita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY
Přípravný kurs z matematik Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik 1 Obsah 1 Přehled použité smbolik 3 Základní pojm matematické logik a teorie množin 4.1 Element matematické logik.........................
VíceMASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii
MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Řešené příklad na etrém a průběh funkce se zaměřením na ekonomii Bakalářská práce Veronika Kruttová Brno 008 Prohlášení: Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou
VíceII. 3. Speciální integrační metody
48 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné II.. Speciální integrační metody Integrály typu f ( x, r x, r x,..., r k x ), tj. integrály obsahující proměnnou x pod odmocninou, kde k N a r,..., r k jsou
VíceMatematická analýza pro informatiky I.
Matematická analýza pro informatiky I. 2. přednáška Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 17. února 2010 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz
VíceNejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.
U. 4. Goniometrie Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. 4.. Orientovaný úhel a jeho velikost. Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek
VíceKapitola 7: Integrál. 1/17
Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený
VícePolynomy a racionální lomené funkce
Polnom a racionální lomené funkce Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Polnom Definice a základní pojm Násobnost kořene Počet kořenů Kvadratický polnom Rozklad na součin kořenových
Více16. Goniometrické rovnice
@198 16. Goniometrické rovnice Definice: Goniometrická rovnice je taková rovnice, ve které proměnná (neznámá) vystupuje pouze v goniometrických funkcích. Řešit goniometrické rovnice znamená nalézt všechny
VíceVZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava
VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava I Úprav algebraických výrazů zlomk, rozklad kvadratického trojčlenu,
Více1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:
Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky
VícePříklady k přednášce 3
Příklad k přednášce 3 1. Určete, zda závislost a daná uvedeným vztahem je funkce = f(). V případě záporné odpovědi stanovte, kterými funkcemi je možné příslušnou závislost popsat. 1. =3 2, (, + ) je funkcí,
VíceFunkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Funkce a limita Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
VíceKapitola 1: Reálné funkce 1/13
Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny 2/13 N = {1, 2, 3, 4,... }... přirozená čísla N 0 = N {0} = {0, 1, 2, 3, 4,... } Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,... }... celá čísla Q = { p q p, q Z}... racionální
VíceGoniometrické a hyperbolické funkce
Kapitola 5 Goniometrické a hyperbolické funkce V této kapitole budou uvedeny základní poznatky týkající se goniometrických funkcí - sinus, kosinus, tangens, kotangens a hyperbolických funkcí - sinus hyperbolický,
VíceMatematická analýza I
Matematická analýza I Cvičení 1 (4. 10. 2016) Definice absolutní hodnoty. Řešení nerovnic s absolutními hodnotami. Geometrická interpretace řešení nerovnice x + 1 < 3. Komplexní čísla a operace s nimi,
VíceFunkce. b) D =N a H je množina všech kladných celých čísel,
Funkce ) Napište funkční předpisy a najděte definiční obory funkcí f pro které platí: f ( ) je povrch krychle o straně b) f ( ) je objem kvádru s čtvercovou podstavou o straně a povrchem rovným c) f (
VíceINTERNETOVÉ ZKOUŠKY NANEČISTO - VŠE: UKÁZKOVÁ PRÁCE
INTERNETOVÉ ZKOUŠKY NANEČISTO - VŠE: UKÁZKOVÁ PRÁCE. Součin 5 4 je roven číslu: a) 4, b), c), d), e) žádná z předchozích odpovědí není správná. 5 5 5 5 + + 5 5 5 5 + + 4 9 9 4 Správná odpověď je a) Počítání
Více1. sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y) pro x, y R, cos(x + y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y) pro x, y R;
3. Elementární funkce. Věta C. Existují funkce sin(x) a cos(x) z R do R a číslo π (0, ) tak, že platí: 1. sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y) pro x, y R, cos(x + y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y)
VíceFunkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015
Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární
VíceMatematika 1 pro PEF PaE
Reálné funkce 1 / 21 Matematika 1 pro PEF PaE 1. Reálné funkce Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU funkce Reálné funkce Základní pojmy 2 / 21 Zobrazení z množiny A do množiny B je množina f uspořádaných
Více6. Bez použití funkcí min a max zapište formulí predikátového počtu tvrzení, že každá množina
Instrukce: Příklady řešte výhradně elementárně, bez použití nástrojů z diferenciálního a integrálního počtu. Je-li součástí řešení úlohy podmnožina reálných čísel, vyjádřete ji jako disjunktní sjednocení
Víceanalytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.
4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami
VíceKapitola 7: Integrál.
Kapitola 7: Integrál. Neurčitý integrál. Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f(x) x I nazýváme primitivní funkcí k funkci
VíceMetody výpočtu limit funkcí a posloupností
Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Martina Šimůnková, 6. listopadu 205 Učební tet k předmětu Matematická analýza pro studenty FP TUL Značení a terminologie R značí množinu reálných čísel, rozšířenou
VíceMezi elementární komplexní funkce se obvykle počítají tyto funkce: f(z) = az + b,
Elementární funkce Mezi elementární komplení funkce se obvykle počítají tyto funkce:. Lineární funkce Lineární funkce je funkce tvaru f(z) az + b, kde a a b jsou konečná komplení čísla. Její derivace je
VíceFunkce a lineární funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce
VíceCyklometrické funkce
4..7 Cyklometrické funkce Předpoklady: 46 Cyklometrické funkce: funkce inverzní k funkcím goniometrickým z minulé hodiny známe první cyklometrickou funkci y = arcsin x (inverzní k funkci y = sin x ). Př.
Vícefunkce konstantní (y = c); funkce mocninné (y = x r pro libovolné r R, patří sem tedy i
Přednáška č. 6 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MMAN1 Přednáška č. 6 29. října 2007 1 / 64 Přehled elementárních funkcí Jde o pojem spíše historický než matematický. Vymezuje se několik (základních)
VíceLimita a spojitost LDF MENDELU
Limita a spojitost Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
VíceMATEMATIKA 1B ÚSTAV MATEMATIKY
MATEMATIKA B Sbírka úloh Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY MATEMATIKA B Sbírka úloh Úvod Dostali jste do rukou sbírku příkladů k přednášce Matematika B - Sbírka úloh. Tato sbírka je doplněním tetu Fuchs,
VíceMonotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak
VíceDerivace funkce. Obsah. Aplikovaná matematika I. Isaac Newton. Mendelu Brno. 2 Derivace a její geometrický význam. 3 Definice derivace
Derivace funkce Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Směrnice přímk Derivace a její geometrický význam 3 Definice derivace 4 Pravidla a vzorce pro derivování 5 Tečna a normála 6 Derivace
VíceGONIOMETRIE. 1) Doplň tabulky hodnot: 2) Doplň, zda je daná funkce v daném kvadrantu kladná, či záporná: PRACOVNÍ LISTY Matematický seminář.
/ 9 GONIOMETRIE ) Doplň tabulk hodnot: α ( ) 0 0 5 60 90 0 5 50 80 α (ra sin α cos α tg α cotg α α ( ) 0 5 0 70 00 5 0 60 α (ra sin α cos α tg α cotg α ) Doplň, zda je daná funkce v daném kvadrantu kladná,
VíceFunkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,
Více1 Polynomiální interpolace
Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,
VíceMatematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala
Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/19 typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Matematická analýza ve Vesmíru.
VíceÚvod, základní pojmy, funkce
Úvod, základní pojmy, funkce Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 1. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 80 Obsah 1 Matematická logika 2 Množiny 3 Funkce,
VíceSeznámíte se s pojmem primitivní funkce a neurčitý integrál funkce jedné proměnné.
INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ NEURČITÝ INTEGRÁL NEURČITÝ INTEGRÁL Průvodce studiem V kapitole Diferenciální počet funkcí jedné proměnné jste se seznámili s derivováním funkcí Jestliže znáte derivace
VíceSPECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ INTEGRACE RACIONÁLNÍCH FUNKCÍ
VÝPOČET PEIÁLNÍH PRIMITIVNÍH FUNKÍ Obecně nelze zadat algoritmus, který by vždy vedl k výpočtu primitivní funkce. Nicméně eistují jisté třídy funkcí, pro které eistuje algoritmus, který vždy vede k výpočtu
VíceAlgebraické výrazy-ii
Algebraické výrazy-ii Jednou ze základních úprav mnohočlenů je jejich rozklad na součin mnohočlenů nižšího stupně. Ne všechny mnohočleny lze na součin rozložit. Pro provedení rozkladu můžeme použít: 1.
VíceVzorce na integrování. 1. x s dx = xs+1. dx = ln x +C 3. e x dx = e x +C. 4. a x dx = ax. 14. sinhxdx = coshx+c. 15. coshxdx = sinhx+c.
Vzorce na inegrování. s d s+ s+. d ln. e d e. a d a lna, s 5. sind cos 6. cosd sin 7. cos d g 8. d cog sin 9. d arcsin arccos+k 0. + d arcg arccog+k. a + d a arcg a. + d ln(+ +. d ln +. sinhd cosh 5. coshd
VícePOŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY
TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy
VíceMatematika a 2. března 2011
Přednáška č. 3 Matematika 2 Jiří Fišer 1. a 2. března 2011 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT2 Přednáška č. 3 1. a 2. března 2011 1 / 68 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT2 Přednáška č. 3 1.
VícePetr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce MA I (M1101) 1 / 125
Množiny, číselné obory, funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce MA I (M1101) 1 / 125 Obsah 1 Množiny a číselné obory Množinové operace Reálná
Více. je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy platit = 0
Příklad 1 Určete definiční obor funkce: a) = b) = c) = d) = e) = 9 f) = Řešení 1a Máme určit definiční obor funkce =. Výraz je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy
Více4C. Polynomy a racionální lomené funkce. Patří mezi tzv. algebraické funkce, ke kterým patří také funkce s odmocninami. Polynomy
4C. Polynomy a racionální lomené funkce Polynomy a racionální funkce mají zvláštní význam zejména v numerické a aplikované matematice. Patří mezi tzv. algebraické funkce, ke kterým patří také funkce s
VíceKOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE
VícePolynomy. Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1.1 Teorie Zavedení polynomů Operace s polynomy...
Polynomy Obsah Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1 Základní vlastnosti polynomů 2 1.1 Teorie........................................... 2 1.1.1 Zavedení polynomů................................
Více2 Fyzikální aplikace. Předpokládejme, že f (x 0 ) existuje. Je-li f (x 0 ) vlastní, pak rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [x 0, f(x 0 )] je
Derivace funkce a jej geometrický význam Je dána funkce f) 3 6 + 9 + a naším úkolem je určit směrnici tečny v bodě [; f)] Pro libovolné lze směrnici sečny danou body [; f)] a [; f)] spočítat jako f) f)
VíceKapitola1. Lineární lomená funkce Kvadratická funkce Mocninná funkce s obecným reálným exponentem Funkce n-tá odmocnina...
Kapitola1 Základní soubor funkcí v R Lineární funkce.......................................................... 1-1 Kvadratická funkce...................................................... 1-2 Mocninná
VíceM - Příprava na 3. čtvrtletní písemnou práci
M - Příprava na 3. čtvrtletní písemnou práci Určeno pro třídu ODK VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete
VíceExponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1.
Eponenciální rovnice Eponenciální rovnice jsou rovnice, ve kterých se neznámá vsktuje v eponentu. Řešíme je v závislosti na tpu rovnice několika základními metodami. A. Metoda převedení na stejný základ
VícePetr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Neurčitý integrál Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
Více2 Reálné funkce jedné reálné proměnné
2 Reálné funkce jedné reálné proměnné S funkcemi se setkáváme na každém kroku, ve všech přírodních vědách, ale i v každodenním životě. Každá situace, kd jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určen
VíceAlgebraické výrazy - řešené úlohy
Algebraické výrazy - řešené úlohy Úloha č. 1 Určete jeho hodnotu pro =. Určete, pro kterou hodnotu proměnné je výraz roven nule. Za proměnnou dosadíme: = a vypočteme hodnotu výrazu. Nejprve zapíšeme rovnost,
VícePřehled funkcí. Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo. přehled fcí.
Přehled funkcí Martina Hetmerová Gymnázium Přípotoční 1337 Praha 10 Vlastnosti funkcí Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo Zapisujeme: f:y=f(x)
Více1 Množiny, výroky a číselné obory
1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou
Více