MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii"

Transkript

1 MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Řešené příklad na etrém a průběh funkce se zaměřením na ekonomii Bakalářská práce Veronika Kruttová Brno 008

2 Prohlášení: Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou práci Řešené příklad na etrém a průběh funkce se zaměřením na ekonomii vpracovala samostatně pod vedením RNDr. Jana Osičk, CSc. a uvedla v seznamu literatur všechn použité zdroje. V Brně dne Veronika Kruttová 1

3 Poděkování: Ráda bch poděkovala vedoucímu bakalářské práce RNDr. Janu Osičkovi, CSc za metodické vedení, cenné rad při jejím vpracování a čas strávený při konzultacích.

4 Obsah Úvod 4 1 Teorie 5 Řešené příklad na lokální a absolutní etrém 9 3 Etrém v ekonomii 14 4 Řešené příklad na průběh funkce Polnom Racionálnílomenéfunkce Goniometrickéacklometrickéfunkce Eponenciálníalogaritmickéfunkce Mocninnéfunkce Literatura 34 3

5 Úvod Hledání etrémů a všetřování průběhu funkcí je jednou ze základních aplikací diferenciálního počtu. Proto se student matematick zaměřených oborů seznamuje s řešením úloh na etrém a průběh funkcí zpravidla již v prvním semestru. Tato oblast matematik bývá probírána i na ekonomických oborech z důvodů širokého vužití etrémů v ekonomii. Tato práce je zaměřena pouze na všetřování funkcí jedné reálné proměnné. U čtenářů se předpokládá znalost diferenciálního počtu. V první kapitole naleznete tvrzení a definice užívané při řešení úloh na etrém a průběh funkcí. Použila jsem znění ze základní literatur[1], vět jsemuvádělabezdůkazůjensodkazemnaknihu,kdemůžepřípadnýzájemce důkaz nalézt. Druhá a čtvrtá kapitola obsahují řešené příklad na lokální a absolutní etrém a průběh funkcí. Zaměřila jsem se na složitější příklad ze zadání bakalářskýchzkoušekzminulýchletadoplnilajsemjepříkladz[1]a[]. Čtvrtá kapitola je rozdělena podle tpů všetřovaných funkcí. Třetí kapitola je věnována užití etrémů v ekonomii. Graf funkcí jsou vtvořen v programu MAPLE. Celá práce je vsázena sstémeml A TEXε. 4

6 Kapitola 1 Teorie V této kapitole budou uveden základní definice a tvrzení týkající se všetřování etrémů a průběhu funkce. Věta1.NechťmáfunkcefnaotevřenémintervaluIvlastníderivaci.Pak platí: 1.FunkcefjeneklesajícínaIprávětehd,kdž f () 0naI..FunkcefjerostoucínaIprávětehd,kdž f () 0naI,přičemž rovnost f ()=0neplatínažádnémpodintervaluintervaluI. Analogická tvrzení platí pro nerostoucí a klesající funkce Důkaz. Důkaz naleznete v[1] na straně 113. Důsledek. Nechť f má konečnou derivaci na otevřeném intervalu I. (a)je-li f () >0prokaždé I,pakjefrostoucínaI. (b)je-li f () <0prokaždé I,pakjefklesajícínaI. Definice3.Řekneme,žefunkce fmávbodě 0 : lokálnímaimum,eistuje-li O( 0 )tak,žeprokaždé O( 0 )je f() f( 0 ), lokálníminimum,eistuje-li O( 0 )tak,žeprokaždé O( 0 )je f() f( 0 ), ostrélokálnímaimum,eistuje-li O( 0 )tak,žeprokaždé O( 0 ) \ { 0 } je f() < f( 0 ), ostrélokálníminimum,eistuje-li O( 0 )tak,žeprokaždé O( 0 ) \ { 0 } je f() > f( 0 ). Lokální maima a minima nazýváme souhrnně lokální etrém. 5

7 Věta4.Nechťmáfunkce fvbodě 0 lokálníetrémanechť f ( 0 )eistuje. Pak f ( 0 )=0. Důkaz. Důkaz naleznete v[1] na straně 116. Věta5.Nechťjefunkce f spojitávbodě 0 amávlastníderivacivnějakémrzímokolí O( 0 ) \ { 0 }.Jestližeprovšechna O( 0 ), < 0,je f ( 0 ) > 0aprovšechna O( 0 ), > 0,je f ( 0 ) <0,pakmáfunkce fvbodě 0 ostrélokálnímaimum.(obdobnétvrzeníplatíproostrélokální minimum). Důkaz. Důkaz naleznete v[1] na straně 117. Věta6.Nechť f ( 0 )=0.Je-li f ( 0 ) >0,pakmáfunkce fvbodě 0 ostré lokálníminimum.je-li f ( 0 ) <0,pakmáfunkce fvbodě 0 ostrélokální maimum. Důkaz. Důkaz naleznete v[1] na straně 118. Definice7.Buďfunkce fdefinovanánamnožině M.Eistuje-lina Mnejvětší(nejmenší) hodnota funkce f, nazýváme ji absolutním maimem(absolutním minimem) funkce f na M. Absolutní minima a maima souhrnně nazýváme absolutními etrém. Jestližeted 0 Maplatí f() f( 0 )provšechna M,říkáme,že funkce f mána Mabsolutnímaimumvbodě 0.Podobněproabsolutní minimum. Definice8.Řekneme,žefunkce fjekonvenínaintervalui,jestližeprolibovolnétřibod 1,, 3 Itakové,že 1 < < 3,platí f( ) f( 1 )+ f( 3) f( 1 ) 3 1 ( 1 ). Řekneme, že funkce f je konkávní na intervalu I, jestliže pro libovolné tři bod 1,, 3 Itakové,že 1 < < 3,platí f( ) f( 1 )+ f( 3) f( 1 ) 3 1 ( 1 ). Pokud v definici nahradíme neostré nerovnosti ostrými, dostáváme definice pojmů ostré konvenosti a ostré konkávnosti na intervalu I. 6

8 Věta9.Nechť f mávlastníderivacinaotevřenémintervalu I.Pakje f konvení(ostřekonvení)na I právětehd,kdžjefunkce f neklesající (rostoucí) na I. Analogickétvrzeníplatípro fkonkávní(ostřekonkávní)na Ia f nerostoucí (klesající) na I. Důkaz. Důkaz naleznete v[1] na straně 14. Důsledek10.Nechť Ijeotevřenýintervalafmávlastnídruhouderivaci na I. (a)je-li f () >0prokaždé I,pakje fostřekonvenína I. (b)je-li f () <0prokaždé I,pakje fostřekonkávnína I. Definice11.Nechťmáfunkce fderivacivbodě 0 R.Je-litatoderivace nevlastní,předpokládámenavíc,žeje fspojitávbodě 0. Řekneme,že 0 jeinflenímbodemfunkce f,jestližeeistujeokolí O δ ( 0 ) takové,žefunkce f jeostřekonkávnínaintervalu( 0 δ, 0 )ajeostře konvenínaintervalu( 0, 0 +δ)anebonaopak.stručněříkáme,žefunkce f mávbodě 0 inflei. Věta 1. 1.Nechť 0 jeinfleníbodanechťeistuje f ().Pak f ()=0..Nechť f () =0aeistujeokolí O δ ( 0 )takové,žeplatí f () <0 prokaždé ( 0 δ, 0 )af () >0prokaždé ( 0, 0 + δ),nebo naopak.pakje 0 inflenímbodemfunkce f. 3.Nechť f ()=0af () 0.Pakje 0 inflenímbodemfunkce f. Důkaz. Důkaz naleznete v[1] na straně 17. Definice13.Buď 0 R.Přímka = 0 senazýváasmptotoubezsměrnice funkce f,jestližemá fv 0 alespoňjednujednostrannoulimitunevlastní,tj. lim f()=± nebo lim f()=± Přímka =a+b, a, b Rsenazýváasmptotousesměrnicífunkce f, jestliže platí lim (f() (a+b))=0nebo lim (f() (a+b))=0. + 7

9 Věta14.Přímka = a+bjeasmptotoufunkce fpro tehd, kdž + právě f() lim + = a a lim (f() a)=b. + Analogickétvrzeníplatípro. Důkaz. Důkaz naleznete v[1] na straně 19. Důsledek15.Přímka = bjeasmptotoufunkce fpro + právě tehd, kdž lim f()=b.analogickétvrzeníplatípro. + 8

10 Kapitola Řešené příklad na lokální a absolutní etrém Příklad.1. Najděte lokální etrém funkce f: =lncos. Řešení:Funkcejedefinovánanamnožině,kdecos ( >0.Jednáseointerval π +kπ, π+kπ) pro k Z. Prvníderivacefunkce fje = sin. cos Bod,vekterýchbmohlnastatlokálníetrém,jsou =k π,kde k Z. Všetříme monotónnost funkce f- stačí na intervalu(0, π), funkce je totiž periodická. ( ( 0, π π ), π) ( ) ( π, 3π 3π,π) + + klesající klesající rostoucí rostoucí Lokálníetrémtedmohounastatvbodech =kπ, k Z.Pro klichéale není funkce definována, proto jsou lokální etrém pouze v bodech = kπ, k Z.Jdeolokálnímaimaajejichfunkčníhodnota f(kπ)=lncoskπ=0. 9

11 Příklad.. Najděte lokální a absolutní etrém funkce f na intervalu [ 3,3], f: =( )e. Řešení:Funkcejedefinovánanacelém R,jeteddefinovánainazkoumaném intervalu. Prvníderivacefunkceje = e (+1)( ).Nulovébodderivace jsou = 1a=.Všetřímeznaménkaderivacenazadanémintervalu: ( 3, 1) ( 1,) (,3) + klesající rostoucí klesající Lokálníetrémnastávajívbodech = 1a=.Jejichfunkčníhodnot jsou f( 1)= e. = 7,389(lokálníminimum)af()=e 4. =0,037 (lokální maimum). Abchom nalezli absolutní etrém, musíme vpočítat funkční hodnot v krajních bodech intervalu a porovnat je s nalezenými funkčními hodnotami lokálních etrémů. f( 3)=7e 6. =84 a f(3)=7e 6. =0,017 Absolutnímaimumfunkce fjevbodě = 3aabsolutníminimumfunkce fjevbodě = 1. Příklad.3.Najděteabsolutníetrémfunkce fnaintervalu[1,e], f: = ln. Řešení:Definičnímoboremfunkce fjemnožina D(f)=(0, ). Prvníderivacefunkce fje = (ln+1).nulovébodderivacejsou =0 a =e 1.Prvníztěchtobodůneležívdefiničnímoborufunkce fadruhý není ve zkoumaném intervalu. Funkčníhodnotvkrajníchbodechjsou f(1)=0af(e)=e.absolutní minimumnastávávbodě =1aabsolutnímaimumvbodě =e. 10

12 Příklad.4. Najděte lokální a absolutní etrém funkce f na intervalu [0,5], f: = Řešení: Funkce je definována v každém bodě intervalu. Prvníderivacefunkce fje =5 ( 1)( 3).Bod,vekterých =0, jsou =0, =1a=3.Nnívšetřímemonotónnostfunkce f : (0,1) (1,3) (3,5) + + rostoucí klesající rostoucí Vbodě = 1jelokálnímaimum, jehožfunkční hodnota f(1) =,a vbodě =3jelokálníminimum,jehožfunkčníhodnota f(3)= 6.Zbývá vpočítat funkční hodnot v krajních bodech: f(0)=1 a f(5)=66. Absolutnímaimumnastávávbodě =5aabsolutníminimumvbodě =3. Příklad.5. Najděte lokální a absolutní etrém funkce f na intervalu [ 1,6], 3 f: = +. Řešení: Definičním oborem funkce je množina R \ { }. První derivace funkce f je rovna = (4 ) 3 3 (+). Bod,vekterýchjeprvníderivacerovna0nebonenídefinovaná,jsou =0 a = 4. Všetříme znaménka derivace: ( 1,0) (0,4) (4,6) + klesající rostoucí klesající Vbodě =0jelokálníminimumsfunkčníhodnotou f(0)=0.vbodě =4jelokálnímaimum,jehofunkčníhodnotaje f(4). =0,4. V krajních bodech intervalu nabývá funkce hodnot: f( 1)=1 a f(6). =0,41. 11

13 Absolutnímmaimemfunkcenazadanémintervalujebod[, ]=[ 1,1] aabsolutnímminimemjebod[0,0]. Příklad.6. Najděte lokální a absolutní etrém funkce f na intervalu [,], f: =(+1) 3 +( 1) 3. Řešení: Definičním oborem funkce f je celá množina R. Funkce je sudá, protože f( )=( +1) 3+( 1) 3=( 1) 3( 1) 3+( 1) 3(+1) 3= =( 1) 3+(+1) 3= f(). První derivace funkce je rovna = 3 (+1) ( 1)+ 3 ( 1) (+1). 3 (+1)( 1) Bod,vekterýchjeprvníderivacerovna0nebonenídefinovaná,jsou = 1, =0a=1.Všetřímeznaménkaderivace: (, 1) ( 1,0) (0,1) (1,) + + klesající rostoucí klesající rostoucí Vbodech = 1a=1jsoulokálníminimaseshodnýmifunkčnímihodnotami f( 1)=f(1)= 3 4. =1,59.Vbodě =0jelokálnímaimum,jehož funkčníhodnotajerovna f(0)=. Zbývá vpočítat funkční hodnot v krajních bodech zadaného intervalu. Protože je funkce sudá, budou obě hodnot stejné. f( )=f(). =3,08. Funkcemáabsolutnímaimavbodech = a=aabsolutníminima vbodech = 1a=1. Příklad.7. Najděte lokální a absolutní etrém funkce f na intervalu [ 3,4], f: = Řešení: Definičním oborem funkce je množina R \ {1}. První derivace funkce f je rovna = ( )( +1) ( 1). Nulovýmbodempředchozírovnicejenazadanémintervalupouzebod =. 1

14 Všetříme znaménka derivace: ( 3,) (,4) + klesající rostoucí Bod =jelokálnímminimemfunkce f.jehofunkčníhodnotajerovna f()=3. Nní vpočítáme hodnot funkce v krajních bodech intervalu: f( 3 )=4,5 a f(4). =9,67. Z vpočítaných hodnot snadno určíme, že absolutní minimum funkce f na intervalu[ 3,4]jevbodě =aabsolutnímaimumjevbodě =4. Příklad.8. Najděte lokální a absolutní etrém funkce f na intervalu [ 5, 1], f: = 1 3. Řešení: Definičním oborem funkce je množina R \ {0}. První derivace funkce f je rovna = 3 3. Nulovým bodem předchozí rovnice je na zadaném intervalu pouze bod = 3. = 1,6.Všetřímeznaménkaderivace: ( 5, 3 ) ( 3, 1) + klesající rostoucí Vbodě = 3 jelokálníminimumsfunkčníhodnotou f( 3 ). =1,89. Zbývá vpočítat hodnot funkce v krajních bodech: f( 5)=5,04 a f( 1)=. Lokálníminimumvbodě = 3 jezároveňabsolutnímminimem.absolutnímaimumnastávávbodě = 5. 13

15 Kapitola 3 Etrém v ekonomii Modelovým příkladem užití etrémů v ekonomii může být problém maimalizace užitku spotřebitele. Každého spotřebitele lze podle jeho preferencí charakterizovat nějakou užitkovou funkcí, která vjadřuje, jaký užitek mu přináší různé kombinace spotřebních statků. Jeho cílem je tento užitek maimalizovat. Ale spotřeba statkůjespojenaisurčitouújmou(obětí)veforměplatbzatentostatek. Množství peněžních prostředků spotřebitele je přitom omezené. Formální zápis této úloh b mohl vpadat například takto: ma[u( 1,..., n ); n p i i M, i 0], i=1 1,..., n množstvíjednotlivýchspotřebníchstatků u( 1,..., n ) užitkováfunkcespotřebitele p i jednotkovácenai téhostatku M množství peněžních prostředků spotřebitele Řešenímtétoúlohbblakombinacestatků 1,..., n,kterábudespotřebiteli při daném rozpočtovém omezení přinášet největší užitek. Eistuje mnoho dalších problémů k řešení- např. minimalizace nákladů firm, maimalizace zisku společnosti atd. V těchto úlohách jsou vesměs všetřován funkce více reálných proměnných, navíc s určitými podmínkami, tzn. jde o vázané etrém. Tto úloh se řeší jinými metodami, které přesahují rámec mé bakalářské práce, jež je primárně zaměřena na hledání etrémů a průběhu funkcí jedné reálné proměnné. Proto zde nebudu uvádět konktrétní řešené příklad. 14

16 Kapitola 4 Řešené příklad na průběh funkce V této kapitole budou řešen některé obtížnější úloh na průběh funkce. Pro přehlednost budou dělen podle tpu funkce. 4.1 Polnom Příklad 4.1. Všetřete průběh funkce Řešení: f: = ( 4) 3. 1.Definičníobordanéfunkceje D(f)=R.Snadnourčímeprůsečíkgrafu funkcesosami a.jezřejmé,žefunkceprocházípočátkem[0,0]a bodem[4,0].protože f( )= ( 4) 3 = (+4) 3,funkcenení ani sudá ani lichá.. Pro počítání derivací je vhodné zadanou funkci upravit = ( 4) 3 = První derivace funkce potom bude = =4( 1)( 4), odtudplne =0pro =1a=4.Všetřímeznaménkoderivace: (,1) (1,4) (4, ) + + klesající rostoucí rostoucí 15

17 Lokálníetrémnastávápouzevbodě =1,jdeolokálníminimuma jehofunkčníhodnota f(1)= Dále budeme všetřovat konvenost, konkávnost a hledat inflení bod. K tomu je potřeba vpočítat druhou derivaci. =1 7+96=1( 6+8)=1( )( 4). Všetříme znaménka derivace: (,) (,4) (4, ) + + konvení konkávní konvení Infleníbodjsouvbodech =a=4,jejichfunkčníhodnotjsou f()= 16af(4)=0. 4. Funkce nemá žádné asmptot. 5.Graffunkceje:

18 4. Racionální lomené funkce Příklad 4.. Všetřete průběh funkce f: = (+1)(4 3) + 3. Řešení: 1.Definičním oboremfunkce jemnožina R \ { 1,1} = (, 1) ( 1,1) (1, ).Průsečíksosou jsou [ 1,0] a [ 3,0] aprůsečík 4 sosou jebod[0,1].. V zadání funkce se vsktuje absolutní hodnota, proto je nutné funkcivšetřovatsohledemnato,zdaje 0nebo 0. (a)pro 0a 1mámefunkci Její derivace f 1 : = (+1)(4 3). + 3 = 6(3 7+) ( + 3). Bod,vekterýchjeprvníderivacerovnanule,jsou = 1 3 a =. Všetříme znaménka derivace: (0, 1) 3 (1,) (, ) rostoucí klesající rostoucí Vidíme,ževbodě = 1nastáválokálnímaimum,jehožfunkční 3 hodnota f( 1)= 5,avbodě =nastáválokálníminimum,jehož 3 4 funkčníhodnotaje f()=5. (b)pro 0, 1mámefunkci Její derivace f : = (+1)(4 3). 3 = 14(+3) ( 3). Bod,vekterýchmůženastatlokálníetrém,jsou = 3a=0. 17

19 Opět všetříme znaménka derivace: (, 3) ( 3,0) + klesající rostoucí Vbodě = 3tednastáválokálníminimumsfunkčníhodnotou f( 3)= Pro všetřování infleních bodů, konvenosti a konkávnosti je rovněž potřeba rozlišovat, zda jsme na intervalu(, 0] nebo[0, ). (a)pro 0jedruháderivace = ( + 3) 3. Bod,vekterýchmůženastatinflee,jsou =1a = 1 6 ( ). =3,08.Znaménkaderivace: (0,1) (1, 1 6 ( )) ( 1 6 ( ), ) + konkávní konvení konkávní (b)pro 0jedruháderivace = 14( ) ( 3) 3. Bod,vekterýchmůženastatinflee,jsou = 1a = 1 ( ). = 4,7.Znaménkaderivace: (, 1 ( )) ( 1 ( ), 1) ( 1,0) + konkávní konvení konkávní 18

20 4.Vzhledemkdefiničnímuoborufunkce,kterýje(, 1) ( 1,1) (1, ), je jasné, že funkce bude mít dvě asmptot bez směrnice ato = 1, =1.Průběhfunkcevokolítěchtoasmptotvšetříme pomocí limit: lim f()=, 1 lim f()=, 1 + lim f()=, 1 lim f()=. 1 + Zbývázjistit,zdamáfunkceasmptotsesměrnicí =a+b: lim ± f() lim ± Asmptotasesměrnicíjeted =8. 5. Nní můžeme sestrojit graf: =0=a, [ f() a]= lim f()=8=b. ±

21 Příklad 4.3. Všetřete průběh funkce Řešení: f: = 3 (+). 1. Definičním oborem funkce je množina R \ { }, funkce prochází počátkem.. Ve funkci se vsktuje absolutní hodnota, proto ji musíme všetřovat naintervalech(,0]a(0, )zvlášť. (a)pro >0mámefunkci Její první derivace je f 1 : 3 (+). = (+6) (+) 3. Bod,vekterýchjeprvníderivacerovna0nebobod,vekterých prvníderivaceneeistuje,jsou = 6, = a=0.protože anijedenztěchtobodůnesplňujepodmínku >0,budederivace na celém intervalu(0, ) buď pouze záporná nebo pouze kladná. Dosazenímlibovolnéhočíslaztohotointervaluzjistíme,že >0, zčehožplne,žefunkce fbudenaintervalu(0, )rostoucí. (b)pro 0mámefunkci Její první derivace je f : 3 (+). = (+6) (+) 3. Bod,vekterýchjeprvníderivacerovna0nebobod,vekterých prvníderivaceneeistuje,jsou = 6, = a=0.všetříme znaménka derivace: (, 6) ( 6, ) (,0] + klesající rostoucí klesající 0

22 Lokálníetrémnastávávbodě = 6.Jetolokálníminimum, jehožfunkčníhodnotaje f( 6)= 16 =13,5.Vbodě = 16 lokální etrém nastat nemůže, protože funkce f není v tomto bodě definovaná.vbodě = 0nastáválokálníminimumsfunkční hodnotou f(0)=0. 3. Nní budeme všetřovat konvenost, konkávnost a inflení bod. (a)pro >0jedruháderivacefunkce = 4 (+) 4. Bod,vekterýchjedruháderivacerovna0nebobod,vekterých druháderivaceneeistuje,jsou = a=0.protožetto bodnespadajídointervalu(0, ),budefunkce fnacelémtomto intervalu buď pouze konkávní nebo pouze konvení. To zjistíme dosazením libovolného čísla z tohoto intervalu do druhé derivace funkce.jelikož >0,budefunkce fnaintervalu(0, )konvení. (b)pro 0mámedruhouderivacifunkce = 4 (+) 4. Bod,vekterýchjedruháderivacerovna0nebobod,vekterýchdruháderivaceneeistuje,jsou = a=0.všetříme znaménka derivace: (, ) (,0) + + konvení konvení 4. Asmptotou bez směrnice bude vzhledem k definičnímu oboru funkce přímka =. Všetříme chování funkce v okolí této přímk: lim f()=, lim f()=. + Zbývázjistit,zdamáfunkceasmptotsesměrnicí =a+b. Pro vpočítámelimit: lim f() lim =1=a, [ f() ]= 4=b. 1

23 Takžeasmptotasesměrnicípro jepřímka = 4. Pro vpočítámelimit: f() lim = 1=a, lim [ f()+]=4=b. Asmptotasesměrnicípro jepřímka = Nní můžeme sestrojit graf:

24 4.3 Goniometrické a cklometrické funkce Příklad 4.4. Všetřete průběh funkce Řešení: f: =sin3 3sin. 1. Definičním oborem funkce je R, funkce je periodická s periodou π, protože f(+π)=sin(3+6π) 3sin(+π)=sin3 3sin=f(). Funkce je lichá, protože f( )=sin( 3) 3sin( )= sin3+3sin= f(). Průsečíksosou jsouvbodech =kπpro k Z.. První derivace funkce je =3cos3 3cos. Nulovébodtétorovnicejsou =k π derivace(stačí na intervalu(0, π)): pro k Z.Všetřímeznaménka ( ( 0, π π ), π) ( ) ( π,3 π 3 π,π) + + klesající rostoucí rostoucí klesající Takželokálníminimanastanouvbodech = π +kπ, k Z,jejich funkčníhodnota f( π +kπ)= 4alokálnímaimanastanouvbodech = 3π+kπ, k Z,jejichfunkčníhodnota f(3π+kπ)=4. 3. Druhá derivace funkce je = 9sin3+3sin. Nulovébodtétorovnicejsou =kπpro k Zabod,prokteréplatí sin =± 3,cožjsounaintervalu(0,360 )bod =55., =15., =35., =

25 Všetříme znaménka derivace: (0,55 ) (55,15 ) (15,180 ) (180,35 ) (35,305 ) (305,360 ) konkávní konvení konkávní konvení konkávní konvení Funkčníhodnotinfleníchbodůjsou f(k180 )=0,kde k Z, f(55 )=f(15 ). =,0, f(35 )=f(305 ). =,0. 4. Funkce f nemá žádné asmptot. 5. Nní můžeme sestrojit graf: 6 4 π π π π 4 6 4

26 Příklad 4.5. Všetřete průběh funkce Řešení: f: = +arccotg. 1.Definičnímoboremfunkceje R,průsečíksosou jebod[0, π].. První derivace funkce je =1 +1, bod,vekterýchjeprvníderivacerovna0,jsou = 1a = 1. Všetříme znaménka derivace: (, 1) ( 1,1) (1, ) + + rostoucí klesající rostoucí Vidíme,ževbodě =1nastáválokálníminimum,jehožhodnotaje f(1)=1+ π,avbodě = 1nastáválokálnímaimum,jehožhodnota je f( 1)= 1+ 3π. 3. Druhá derivace funkce je = 4 ( +1), rovnicejerovnanulepouzevbodě =0. (,0) (0, ) + konkávní konvení Bod =0jeinflenímbodem,zároveňiprůsečíkemsosou,jeho funkční hodnotu jsme spočítali výše. 4.Nníbudemezjišťovat,zdamáfunkceasmptot.Pro vpočítáme limit: lim f() lim =1=a, [ f() ]=0=b. 5

27 Takžeasmptotasesměrnicípro jepřímka =. Pro vpočítámelimit: lim f() lim =1=a, [ f() ]=π= b. Asmptotasesměrnicípro jepřímka = +π. 5. Nní sestrojme graf:

28 4.4 Eponenciální a logaritmické funkce Příklad 4.6. Všetřete průběh funkce Řešení: f: = ln. 1. Definičním oborem funkce je množina(0, ), funkce prochází bodem [1,0].. První derivace funkce je =ln +ln =ln (ln +). Jejínulovébodjsou =e. =0,14a=1.Všetřímeznaménka derivace na definičním oboru funkce: (0,e ) (e,1) (1, ) + + rostoucí klesající rostoucí Vbodě =e. =0,14nastáválokálnímaimum,jehofunkčníhodnota je f(e )=4e.Vbodě =1jelokálníminimum,jehožfunkční hodnotajerovna f(1)=0. 3. Druhá derivace funkce je rovna = 1 (ln +1). Předchozírovnicenabývánulvbodě = e 1. = 0,37.Všetříme konvenost a konkávnost: (0,e 1 ) (e 1, ) + konkávní konvení 4. Funkce nemá žádné asmptot. K sestrojení funkce je vhodné všetřit její chování v krajním bodě definičního oboru. Vpočteme proto limitu funkcepro 0zprava: lim ln =

29 5. Nní můžeme sestrojit graf: Příklad 4.7. Všetřete průběh funkce Řešení: f: =( )e 1. 1.Definičnímoboremfunkcemnožina R\{0}.Průsečíksosou jevbodě =.. První derivace funkce je rovna =e 1 +. Nulovébodjsou = a = 1.Všetřímeznáménkaderivace nadefiničnímoborufunkce f: (, ) (,0) (0,1) (1, ) + + rostoucí klesající klesající rostoucí 8

30 Lokálnímaimumnastávávbodě =,jehofunkčníhodnotaje f( )= 4e 1. = 6,6.Vbodě =1jelokálníminimumsfunkční hodnotou f(1)= e 1. = 0,4. 3.Druháderivacefunkce fje = 1 4e 1 (5 ). Nulovýboddruhéderivaceje = 5.Všetřímeznáménkaderivace nadefiničnímoborufunkce f: Vbodě = 5 nastáváinflee. (,0) (0, 5 ) ( 5, ) + konkávní konkávní konvení 4.Budemehledatasmptotsesměrnicívetvaru = a+b: lim ± f() lim ± =1=a, [ f() ]= 3=b. Asmptotasesměrnicífunkce fje = 3.Zbývávšetřitchování funkcevbodě =0,vekterémnenífunkce fdefinovaná. lim f()=0, 0 + lim f()=. 0 9

31 5. Nní můžeme sestrojit graf: Mocninné funkce Příklad4.8.Všetřeteprůběhfunkce fnaintervalu[0,3], Řešení: f: =(3 ). 1.Funkcemádvaprůsečíksosou atobod =0a=3.Funkceje spojitávkaždémboděintervalu[0,3].. První derivace funkce je tvaru = 3(1 ). Bod,vekterémmůženastatnazadanémintervaluetrém,je =1. 30

32 Všetříme monotónnost funkce: (0,1) (1,3) + rostoucí klesající Vbodě =1jelokálnímaimumsfunkčníhodnotou f(1)=. 3. Druhá derivace funkce je rovna = 3 4 (+1). Předchozí rovnice nemá na všetřovaném intervalu žádné nulové bod. Dosazenímlibovolnéhočíslazintervalu[0,3]zjistíme,že <0.To znamená,žefunkce fbudenacelémintervalu[0,3]konkávní. 4. Funkce nemá žádné asmptot. 5. Nní můžeme sestrojit graf:

33 Příklad 4.9. Všetřete průběh funkce 3 f: =. Řešení: 1.Vpočítámedefiničníoborfunkce f.vjdemeztoho,ževýrazpododmocninou musí být nezáporný a jmenovatel ve zlomku se nesmí rovnat nule.definičníoborbudemnožina(,0] (, ).. První derivace funkce je tvaru = ( 3) ( ) ( ). Bod, ve kterých je první derivace nulová nebo ve kterých není definovaná,jsoukrajníboddefiničníhooboru =0a=abod =3. Všetříme monotónnost funkce na D(f): (,0) (,3) (3, ) + klesající klesající rostoucí V bodě = 3 nastává lokální minimum. Jeho funkční hodnota je. f(3) = 5,. 3. Druhá derivace funkce je rovna = 3 ( ) 5. Druhá derivace není definovaná v krajních bodech definičního oboru. Všetříme znaménka derivace na D(f): (,0) (, ) + + konvení konvení 3

34 4.Budemehledatasmptotsesměrnicífunkce fvetvaru = a+b: Pro vpočítámelimit: lim f() lim =1=a, [ f() ]=1=b. Takžeasmptotasesměrnicípro jepřímka = +1. Pro vpočítámelimit: f() lim = 1=a, lim [ f()+]= 1=b. Asmptotasesměrnicípro jepřímka = 1. Nní všetříme, jak se bude funkce f chovat v krajních bodech definičníhooboru D(f): lim f()=0, 0 lim f()=. + Z poslední počítané limit plne, že funkce f bude mít asmptotu bezsměrnicevetvaru =. 5. Nní můžeme sestrojit graf:

35 Literatura [1] Došlá Z., Kuben J.: Diferenciální počet funkcí jedné proměnné, Masarkova univerzita, Brno 004 [] Jirásek F., Kriegelstein E., Tichý Z.: Sbírka řešených příkladů z matematik, 3.vdání, SNTL, Praha 1987, s [3] Studijní materiál předmětu Kvantitativní ekonomie vučovaného na Přírodovědecké fakultě pod kódem E5340. [4]RbičkaJ.:L A TEXprozačátečník,3.vdání,KONVOJ,Brno003 [5]LomtatidzeL.,PlchR.:SázímevL A TEXudiplomovouprácizmatematik, 1.vdání, Masarkova univerzita, Brno

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007 20. srpna 2007 1. f = 3 12 2. f = 2 e 3. f = ln Příklad 1. Nakreslete graf funkce f() = 3 12 Příklad 1. f = 3 12 Nejprve je třeba určit definiční obor. Výraz je vždy definován. Příklad 1. f = 3 12 f =

Více

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak

Více

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Funkce RNDR. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Derivace funkce VY INOVACE_05 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Definice Mějme funkci f definovanou v okolí bodu 0. Eistuje-li

Více

Seminární práce z matematiky

Seminární práce z matematiky Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Seminární práce z matematiky Vyšetřování průběhu funkcí Autor: Vyučující: Ondřej Vejpustek RNDr Eva Davidová Ostrava, 0 Taylorův polynom pro

Více

2.7. Průběh funkce. Vyšetřit průběh funkce znamená určit (ne nutně v tomto pořadí): 1) Definiční obor; sudost, lichost; periodičnost

2.7. Průběh funkce. Vyšetřit průběh funkce znamená určit (ne nutně v tomto pořadí): 1) Definiční obor; sudost, lichost; periodičnost .7. Průběh unkce Všetřit průběh unkce znamená určit ne nutně v tomto pořadí: deiniční obor; sudost, lichost; periodičnost, interval spojitosti a bod nespojitosti, průsečík grau unkce s osami, interval,

Více

PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ

PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny

Více

[ 5;4 ]. V intervalu 1;5 je funkce rostoucí (její první derivace je v tomto intervalu

[ 5;4 ]. V intervalu 1;5 je funkce rostoucí (její první derivace je v tomto intervalu 1..1 Průběh funkce III (prohnutí Předpoklad: 111 Pedagogická poznámka: Při poctivém probírání b tato látka zabrala dvě celé vučovací hodin. Studenti z toho nebudou příliš nadšení, je zde příliš mnoho definic

Více

Aplikace derivace ( )

Aplikace derivace ( ) Aplikace derivace Mezi aplikace počítáme:. LHospitalovo pravidlo. Etrémy funkce (růst a pokles funkce) 3. Inflee (konávnost a konvenost). Asymptoty funkce (se i bez směrnice) 5. Průběh funkce 6. Ekonomické

Více

Rolleova věta. Mějme funkci f, která má tyto vlastnosti : má derivaci c) f (a) = f (b). a) je spojitá v a, b b) v každém bodě a,b

Rolleova věta. Mějme funkci f, která má tyto vlastnosti : má derivaci c) f (a) = f (b). a) je spojitá v a, b b) v každém bodě a,b Průběh unkce Rolleova věta Mějme unkci, která má tto vlastnosti : a) je spojitá v a, b b) v každém bodě a,b má derivaci c) (a) = (b). b Potom eistuje v a, alespoň jeden bod c, v němž ( c) : 1, 3 0 1 1

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

1. Určíme definiční obor funkce, její nulové body a intervaly, v nichž je funkce kladná nebo záporná.

1. Určíme definiční obor funkce, její nulové body a intervaly, v nichž je funkce kladná nebo záporná. Matmatika I část II Graf funkc.. Graf funkc Výklad Chcm-li určit graf funkc můžm vužít přdchozích znalostí a určit vlastnosti funkc ktré shrnm do níž uvdných bodů. Můž s stát ž funkc něktrou z vlastností

Více

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce)

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce) Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. srpna Název zpracovaného celku: LOKÁLNÍ EXTRÉMY LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maimum a minimum funkce) Lokální etrémy jsou body, v nichž funkce

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

PRŮBĚH FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ

PRŮBĚH FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ Dierenciální počet unkcí jedné reálné proměnné - 5 - PRŮBĚH FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ Cílem vyšetřování průběhu unkce je umět nakreslit její gra Obvykle postupujeme tak že nalezneme její maimální deiniční

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Univerzita Karlova v Praze Pedagogická akulta DRUHÁ SEMINÁRNÍ PRÁCE Z DIFERENCIÁLNÍHO POČTU PRŮBĚH FUNKCE 000/001 Cirik, M-ZT Zadání: Vyšetřete průběh unkce ( ) : y Vypracování: ( ) : y Předně určíme deiniční

Více

Vyšetřování průběhu funkce pomocí programu MatLab. 1. Co budeme potřebovat?

Vyšetřování průběhu funkce pomocí programu MatLab. 1. Co budeme potřebovat? Vyšetřování průběhu funkce pomocí programu MatLab K práci budeme potřebovat následující příkazy pro 1. Co budeme potřebovat? (a) zadání jednotlivých výrazů symbolicky (obecně) (b) řešení rovnice f()=0,

Více

7.1 Extrémy a monotonie

7.1 Extrémy a monotonie KAPITOLA 7: Průběh funkce [ZMA13-P38] 7.1 Extrémy a monotonie Řekneme, že funkce f nabývá na množině M Df svého globálního maxima globálního minima A v bodě x 0, jestliže x 0 M, fx 0 = A a pro každé x

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

METODICKÝ NÁVOD MODULU

METODICKÝ NÁVOD MODULU Centrum celoživotního vzdělávání METODICKÝ NÁVOD MODULU Název Základy matematiky modulu: Zkratka: ZM Počet kreditů: 4 Semestr: Z/L Mentor: Petr Dolanský Tutor: Petr Dolanský I OBSAH BALÍČKU STUDIJNÍCH

Více

Kapitola 4: Průběh funkce 1/11

Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Funkce monotonní 2/11 Věta: Necht je f spojitá a má derivaci na intervalu I. Potom platí (i) Je-li f (x) > 0 na I, je f rostoucí na I. (ii) Je-li f (x) 0 na I, je f neklesající

Více

Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce f (x) = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 2 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (0, )

Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce f (x) = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 2 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (0, ) Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (, ) a konkávní na intervalu (, ). Inflexní bod c =. 3 1 1 y = x 3 9x

Více

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x. 1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle

Více

Zlín, 23. října 2011

Zlín, 23. října 2011 (. -. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 3. října 0 Postup při vyšetřování průběhu funkce. Definiční obor funkce,

Více

Derivace funkce. existuje limita lim 0 ) xx xx0. Jestliže tato limita neexistuje nebo pokud funkce ff

Derivace funkce. existuje limita lim 0 ) xx xx0. Jestliže tato limita neexistuje nebo pokud funkce ff Derivace funkce Derivace je základním pojmem v diferenciálním počtu. Má uplatnění tam, kde se zkoumá povaha funkčních závislostí určitých proměnných (veličin). V matematice, ekonomii, fyzice ale i v jiných

Více

Aplikace derivace a průběh funkce

Aplikace derivace a průběh funkce Aplikace derivace a průběh funkce Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Průběh funkce Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Průběh funkce Průběhem funkce rozumíme určení vlastností funkce

Více

Cvičení 1 Elementární funkce

Cvičení 1 Elementární funkce Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = 3. 3 3 = > 3 3 + =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné LOKÁLNÍ A GLOBÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ LOKÁLNÍ EXTRÉMY

Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné LOKÁLNÍ A GLOBÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ LOKÁLNÍ EXTRÉMY Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné - 4.1 - LOKÁLNÍ A GLOBÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ LOKÁLNÍ EXTRÉMY Při hledání lokálních etrémů postupujeme podle následujícího programu Nalezneme

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6 Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly

Více

Stručný přehled učiva

Stručný přehled učiva Stručný přehled učiva TU1M2 Matematika 2 pro LP17, LP18 4. Aplikace diferenciálního počtu 4.1 Rovnice tečny a normály Má-li funkce v bodě vlastní derivaci, pak je to směrnice tečny grafu funkce v tečném

Více

Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací

Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací Vyšetřete průběh následuících funkcí. Příklad. = x +arctg( x ). D(f) =R.. Funkce e spoitá na R. 3. Funkce není lichá, sudá, ani periodická.. lim x ±

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

Mocninná funkce: Příklad 1

Mocninná funkce: Příklad 1 Mocninná funkce: Příklad 1 Zadání: Vyšetřete průběh mocninné funkce. Řešení: 1. Jako první si určíme definiční obor: D(f)=R. 2. Nyní si spočítáme zda je daná funkce sudá nebo lichá: Daná funkce je lichá.

Více

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní

Více

Prbh funkce Jaroslav Reichl, 2006

Prbh funkce Jaroslav Reichl, 2006 rbh funkce Jaroslav Reichl, 6 Vyšetování prbhu funkce V tomto tetu je vzorov vyešeno nkolik úloh na vyšetení prbhu funkce. i ešení úlohy jsou využity základní vlastnosti diferenciálního potu.. ešený píklad

Více

Průběh funkce pomocí systému MAPLE.

Průběh funkce pomocí systému MAPLE. Průběh funkce pomocí systému MAPLE. Vyšetřování průběhu funkce je komplení a někdy velmi obtížná úloha. V konkrétních aplikacích nás většinou zajímají jen některé otázky týkající se průběhu dané funkce.

Více

Průběh funkce pomocí systému MAPLE.

Průběh funkce pomocí systému MAPLE. Průběh funkce pomocí systému MAPLE. Vyšetřování průběhu funkce je komplení a někdy velmi obtížná úloha. V konkrétních aplikacích nás většinou zajímají jen některé otázky týkající se průběhu dané funkce.

Více

MATEMATIKA I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

MATEMATIKA I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Evropský polytechnický institut, s.r.o.. soukromá vysoká škola na Moravě Kunovice MATEMATIKA I. Dierenciální počet unkcí jedné proměnné RNDr. Jitka Jablonická Doc. RNDr. Daniela Hricišáková, CSc. Evropský

Více

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Funkce více proměnných 6 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Ve čtvrté kapitole jsme studovali vlastnosti funkcí jedné nezávisle proměnné K popisu mnoha reálných situací však s jednou nezávisle

Více

DERIVACE FUKNCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

DERIVACE FUKNCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH DERIVACE FUKNCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH Reálná funkce dvou proměnných a definiční obor Kartézský součin R R značíme R 2 R 2 je množina všech uspořádaných dvojic reálných čísel (rovina) Prvk R 2 jsou bod v rovině

Více

Číselné množiny. Přirozená čísla (N) Množina všech přirozených čísel N={1,2,3 } Celá čísla (Z) Množina všech celých čísel Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3, }

Číselné množiny. Přirozená čísla (N) Množina všech přirozených čísel N={1,2,3 } Celá čísla (Z) Množina všech celých čísel Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3, } ÚVOD DO MATEMATIKY Číselné množin Přirozená čísla (N) Množina všech přirozených čísel N={1,2,3 } Celá čísla (Z) Množina všech celých čísel Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3, } Racionální čísla (Q) Čísla která lze vjádřit

Více

Lineární funkce, rovnice a nerovnice

Lineární funkce, rovnice a nerovnice Lineární funkce, rovnice a nerovnice 1. Lineární funkce 1.1 Základní pojmy Pojem lineární funkce Funkce je předpis, který každému číslu x z definičního oboru funkce přiřadí právě jedno číslo y Obecně je

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/1 BA06 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2014 1 (1) Určete rovnici kručnice o

Více

Průběh funkce II (hledání extrémů)

Průběh funkce II (hledání extrémů) .. Průběh funkce II (hledání etrémů) Předpoklad: Pedagogická poznámka: Poslední příklad v běžné vučovací hodině nestíháme. Rchlost postupu je možné značně ovlivnit tím, kolik času dáte studentům na výzkumné

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

0.1 Úvod do matematické analýzy

0.1 Úvod do matematické analýzy Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Pojem funkce Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost

Více

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava I Úprav algebraických výrazů zlomk, rozklad kvadratického trojčlenu,

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/ Anotace. Diferenciální počet VY_32_INOVACE_M0217.

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/ Anotace. Diferenciální počet VY_32_INOVACE_M0217. Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ.1.07/1.5.00/34.0211 Zlepšení podmínek

Více

2 Reálné funkce jedné reálné proměnné

2 Reálné funkce jedné reálné proměnné 2 Reálné funkce jedné reálné proměnné S funkcemi se setkáváme na každém kroku, ve všech přírodních vědách, ale i v každodenním životě. Každá situace, kd jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určen

Více

1.1 Příklad z ekonomického prostředí 1

1.1 Příklad z ekonomického prostředí 1 1.1 Příklad z ekonomického prostředí 1 Smysl solidního zvládnutí matematiky v bakalářských oborech na Fakultě podnikatelské VUT v Brně je především v aplikační síle matematiky v odborných předmětech a

Více

Funkce dvou a více proměnných

Funkce dvou a více proměnných Funkce dvou a více proměnných. Motivace V praxi nevstačíme s funkcemi jedné proměnné, většina veličin závisí více než na jedné okolnosti, např.: obsah obdélníka: S( ) kinetická energie: Ek = = x mv ekonomika:

Více

DIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE,

DIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE, DIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE, LIMITA FUNKCE, DERIVACE FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století

Více

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH 1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH V minulém semestru jsme studovali vlastnosti unkcí jedné nezávislé proměnné. K popisu mnoha reálných situací obvkle s jednou proměnnou nevstačíme. FUNKCE DVOU

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

Význam a výpočet derivace funkce a její užití

Význam a výpočet derivace funkce a její užití OPAKOVÁNÍ ZÁKLADŮ MATEMATIKY Metodický list č. 1 Význam a výpočet derivace funkce a její užití 1. dílčí téma: Výpočet derivace přímo z definice a pomocí základních vzorců. K tomuto tématu je třeba zopakovat

Více

MATEMATIKA B. Lineární algebra I. Cíl: Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a

MATEMATIKA B. Lineární algebra I. Cíl: Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a MATEMATIKA B metodický list č. 1 Lineární algebra I Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a poukázat na jejich vzájemnou souvislost. Posluchači se seznámí

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

Funkce. b) D =N a H je množina všech kladných celých čísel,

Funkce. b) D =N a H je množina všech kladných celých čísel, Funkce ) Napište funkční předpisy a najděte definiční obory funkcí f pro které platí: f ( ) je povrch krychle o straně b) f ( ) je objem kvádru s čtvercovou podstavou o straně a povrchem rovným c) f (

Více

10. Derivace, průběh funkce

10. Derivace, průběh funkce Moderní technologie ve studiu aplikované yziky CZ..07/..00/07.008 0. Derivace, průběh unkce Před mnoha lety se matematici snažili o obecné vyřešení úlohy, jak sestrojit tečnu k dané křivce a také yzici

Více

WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 2017

WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 2017 Matematika I - Sbírka příkladů WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 7 Obsah Limity a spojitost. l Hôpitalovo pravidlo zakázáno............................ 4. l Hôpitalovo pravidlo povoleno............................

Více

MATEMATIKA I DIFERENCIÁLNÍ POČET I FAKULTA STAVEBNÍ MODUL BA01 M06, GA01 M05 DERIVACE FUNKCE

MATEMATIKA I DIFERENCIÁLNÍ POČET I FAKULTA STAVEBNÍ MODUL BA01 M06, GA01 M05 DERIVACE FUNKCE VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL BA0 M06, GA0 M05 DIFERENCIÁLNÍ POČET I DERIVACE FUNKCE STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA 0 Typeset by L

Více

Použití derivací. V této části budou uvedena některá použití derivací. LEKCE08-PRU. Použití derivací. l Hospital

Použití derivací. V této části budou uvedena některá použití derivací. LEKCE08-PRU. Použití derivací. l Hospital V této části budou uvedena některá použití derivací. a derivace a derivace -zbytek L HOSPITALOVO PRAVIDLO POČÍTÁNÍ LIMIT Tvrzení je uvedeno pro jednostrannou limitu zprava. Samozřejmě obdobné tvrzení platí

Více

a r Co je to r-tá mocnina čísla a, za jakých podmínek má smysl, jsme důkladně probrali v kurzu ČÍSELNÉ MNOŽINY. Tam jsme si mj.

a r Co je to r-tá mocnina čísla a, za jakých podmínek má smysl, jsme důkladně probrali v kurzu ČÍSELNÉ MNOŽINY. Tam jsme si mj. @121 12. Mocninné funkce a r Co je to r-tá mocnina čísla a, za jakých podmínek má smysl, jsme důkladně probrali v kurzu ČÍSELNÉ MNOŽINY. Tam jsme si mj. řekli: 1. Je-li exponent r přirozené číslo, může

Více

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10.

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10. MA. cvičení průběh funkce Lukáš Pospíšil,202 Průběh funkce Pod úkolem vyšetřete průběh funkce budeme rozumět nalezení všech kvalitativních vlastností zadané funkce - tedy bude potřeba zjistit o funkci

Více

RNDr. Jiří Dočkal, CSc. MATEMATIKA I. Řešené příklady

RNDr. Jiří Dočkal, CSc. MATEMATIKA I. Řešené příklady RNDr. Jiří Dočkal, CSc. MATEMATIKA I Řešené příklady Uváděné řešené příklady jsou vybrány a řazeny v návaznosti na orientační učební pomůcku Doc.RNDr.Ing. Josef Nedoma, CSc.: MATEMATIKA I. Tato sbírka

Více

4. PRŮBĚH FUNKCE. = f(x) načrtnout.

4. PRŮBĚH FUNKCE. = f(x) načrtnout. Etrém funkc 4. PRŮBĚH FUNKCE Průvodc studim V matmatic, al i v fzic a tchnických oborch s často vsktn požadavk na sstrojní grafu funkc K nakrslní grafu funkc lz dns většinou použít vhodný matmatický softwar.

Více

MATEMATIKA A Metodický list č. 1

MATEMATIKA A Metodický list č. 1 Metodický list č. 1 Název tématického celku: Lineární algebra I Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a poukázat na jejich vzájemnou souvislost. Posluchači

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika AA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika AA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika AA0 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2005 () Jsou dány matice A = AB BA. [ AB BA

Více

Matematická analýza pro informatiky I.

Matematická analýza pro informatiky I. Matematická analýza pro informatiky I. 2. přednáška Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 17. února 2010 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz

Více

Organizace. Zápočet: test týden semestru (pátek) bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část

Organizace. Zápočet: test týden semestru (pátek) bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část Matematika I 1/15 2/15 Organizace Zápočet: test 6. + 11. týden semestru (pátek) 80 bodů 50 79 bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část www.vscht.cz/mat Výuka www.vscht.cz/mat/jana.nemcova

Více

2. FUNKCE Funkce 31

2. FUNKCE Funkce 31 Základ matematik FUNKCE 0 Základní vlastnosti Ohraničená a neohraničená funkce Monotónnost funkce, funkce rostoucí a klesající Prostá funkce Sudá a lichá funkce 7 Periodická funkce 9 Inverzní funkce 0

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

a základ exponenciální funkce

a základ exponenciální funkce Předmět: Ročník: Vtvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. červenec 0 Název zpracovaného celku: EXPONENCIÁLNÍ A LOGARIMICKÁ FUNKCE EXPONENCIÁLNÍ FUNKCE Eponenciální unkce o základu a je každá

Více

CVIČENÍ Z MATEMATIKY I

CVIČENÍ Z MATEMATIKY I Slezská univerzita v Opavě Filozoficko-přírodovědecká fakulta Ústav fyziky CVIČENÍ Z MATEMATIKY I Sbírka příkladů Andrea Kotrlová Opava Obsah Příklady k opakování středoškolské látky. Úprava algebraických

Více

7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy

7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/..00/07.0018 7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy V této chvíli jsme již ve výkladu přikročili ke kapitole, kterou můžeme považovat za

Více

Očekávaný výstup Pracovní list se skládá ze dvou částí teoretické, kde si žák připomene vlastnosti funkcí a praktické, kde tyto funkce určuje.

Očekávaný výstup Pracovní list se skládá ze dvou částí teoretické, kde si žák připomene vlastnosti funkcí a praktické, kde tyto funkce určuje. Číslo projektu Škola Autor Číslo materiálu Název Téma hodiny Předmět Ročník/y/ Anotace CZ.1.07/1.5.00/34.0394 Střední odborná škola a Střední odborné učiliště, Hustopeče, Masarykovo nám. 1 Mgr. Renata

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základ matematik pro FEK 7. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 06/07 Blanka Šedivá (KMA) Základ matematik pro FEK zimní semestr 06/07 / 5 Jednostranné limit Definice: Vlastní limita ve vlastním

Více

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

Přijímací zkouška pro nav. magister. studium, obor učitelství F-M, 2012, varianta A

Přijímací zkouška pro nav. magister. studium, obor učitelství F-M, 2012, varianta A Přijímací zkouška pro nav. magister. studium, obor učitelství F-M, 1, varianta A Příklad 1 (5 bodů) Koule o poloměru R1 cm leží na vodorovné rovině. Z jejího nejvyššího bodu vypustíme s nulovou počáteční

Více

Výsledky Př.1. Určete intervaly monotónnosti a lokální extrémy funkce a) ( ) ( ) ( ) Stacionární body:

Výsledky Př.1. Určete intervaly monotónnosti a lokální extrémy funkce a) ( ) ( ) ( ) Stacionární body: Výsledky Př.. Určete intervaly monotónnosti a lokální extrémy funkce a) y < y > y < y > -2 0 3 Funkce je rostoucí v intervalech. Funkce je klesající v intervalech b) y < y > y < - Funkce je rostoucí v

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie. PC a dataprojektor, učebnice. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky

Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie. PC a dataprojektor, učebnice. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie 2. ročník a sexta 4 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice Planimetrie II. Konstrukční úlohy Charakterizuje

Více

Funkce pro učební obory

Funkce pro učební obory Variace 1 Funkce pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,

Více

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. U. 4. Goniometrie Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. 4.. Orientovaný úhel a jeho velikost. Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek

Více

f jsou osově souměrné podle přímky y = x. x R. Najdi

f jsou osově souměrné podle přímky y = x. x R. Najdi Nechť je prostá unkce v pořád klesá) a zobrazuje D na H deinovaná vztahem: D = a) b) Gra unkcí a H, H = D INVERZNÍ FUNKCE D (tj. v celém svém deiničním oboru pořád roste nebo. Pak k této unkci eistuje

Více

Matematika I pracovní listy

Matematika I pracovní listy Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 2. Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3. c) (, ) = d) (, ) =

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 2. Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3. c) (, ) = d) (, ) = Příklad 1 Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3 c) (, ) = d) (, ) = e) (, ) = ln f) (, ) = 1 +1 g) (, ) = arcsin( + ) Poznámka V těchto úlohách máme nalézt největší

Více

INTERNETOVÉ ZKOUŠKY NANEČISTO - VŠE: UKÁZKOVÁ PRÁCE

INTERNETOVÉ ZKOUŠKY NANEČISTO - VŠE: UKÁZKOVÁ PRÁCE INTERNETOVÉ ZKOUŠKY NANEČISTO - VŠE: UKÁZKOVÁ PRÁCE. Součin 5 4 je roven číslu: a) 4, b), c), d), e) žádná z předchozích odpovědí není správná. 5 5 5 5 + + 5 5 5 5 + + 4 9 9 4 Správná odpověď je a) Počítání

Více

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9.

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Školní rok 2013/2014 Mgr. Lenka Mateová Kapitola Téma (Učivo) Znalosti a dovednosti (výstup)

Více

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy

Více

Diferenciální počet funkcí více proměnných

Diferenciální počet funkcí více proměnných Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická

Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická Variace 1 Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu

Více

MATEMATIKA. Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik

MATEMATIKA. Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik MATEMATIKA Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik P. Rádl, B. Černá, L. Stará: Základy vyšší matematiky, skriptum MZLU Text přednášky na user.mendelu.cz/marik,

Více