MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii"

Transkript

1 MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Řešené příklad na etrém a průběh funkce se zaměřením na ekonomii Bakalářská práce Veronika Kruttová Brno 008

2 Prohlášení: Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou práci Řešené příklad na etrém a průběh funkce se zaměřením na ekonomii vpracovala samostatně pod vedením RNDr. Jana Osičk, CSc. a uvedla v seznamu literatur všechn použité zdroje. V Brně dne Veronika Kruttová 1

3 Poděkování: Ráda bch poděkovala vedoucímu bakalářské práce RNDr. Janu Osičkovi, CSc za metodické vedení, cenné rad při jejím vpracování a čas strávený při konzultacích.

4 Obsah Úvod 4 1 Teorie 5 Řešené příklad na lokální a absolutní etrém 9 3 Etrém v ekonomii 14 4 Řešené příklad na průběh funkce Polnom Racionálnílomenéfunkce Goniometrickéacklometrickéfunkce Eponenciálníalogaritmickéfunkce Mocninnéfunkce Literatura 34 3

5 Úvod Hledání etrémů a všetřování průběhu funkcí je jednou ze základních aplikací diferenciálního počtu. Proto se student matematick zaměřených oborů seznamuje s řešením úloh na etrém a průběh funkcí zpravidla již v prvním semestru. Tato oblast matematik bývá probírána i na ekonomických oborech z důvodů širokého vužití etrémů v ekonomii. Tato práce je zaměřena pouze na všetřování funkcí jedné reálné proměnné. U čtenářů se předpokládá znalost diferenciálního počtu. V první kapitole naleznete tvrzení a definice užívané při řešení úloh na etrém a průběh funkcí. Použila jsem znění ze základní literatur[1], vět jsemuvádělabezdůkazůjensodkazemnaknihu,kdemůžepřípadnýzájemce důkaz nalézt. Druhá a čtvrtá kapitola obsahují řešené příklad na lokální a absolutní etrém a průběh funkcí. Zaměřila jsem se na složitější příklad ze zadání bakalářskýchzkoušekzminulýchletadoplnilajsemjepříkladz[1]a[]. Čtvrtá kapitola je rozdělena podle tpů všetřovaných funkcí. Třetí kapitola je věnována užití etrémů v ekonomii. Graf funkcí jsou vtvořen v programu MAPLE. Celá práce je vsázena sstémeml A TEXε. 4

6 Kapitola 1 Teorie V této kapitole budou uveden základní definice a tvrzení týkající se všetřování etrémů a průběhu funkce. Věta1.NechťmáfunkcefnaotevřenémintervaluIvlastníderivaci.Pak platí: 1.FunkcefjeneklesajícínaIprávětehd,kdž f () 0naI..FunkcefjerostoucínaIprávětehd,kdž f () 0naI,přičemž rovnost f ()=0neplatínažádnémpodintervaluintervaluI. Analogická tvrzení platí pro nerostoucí a klesající funkce Důkaz. Důkaz naleznete v[1] na straně 113. Důsledek. Nechť f má konečnou derivaci na otevřeném intervalu I. (a)je-li f () >0prokaždé I,pakjefrostoucínaI. (b)je-li f () <0prokaždé I,pakjefklesajícínaI. Definice3.Řekneme,žefunkce fmávbodě 0 : lokálnímaimum,eistuje-li O( 0 )tak,žeprokaždé O( 0 )je f() f( 0 ), lokálníminimum,eistuje-li O( 0 )tak,žeprokaždé O( 0 )je f() f( 0 ), ostrélokálnímaimum,eistuje-li O( 0 )tak,žeprokaždé O( 0 ) \ { 0 } je f() < f( 0 ), ostrélokálníminimum,eistuje-li O( 0 )tak,žeprokaždé O( 0 ) \ { 0 } je f() > f( 0 ). Lokální maima a minima nazýváme souhrnně lokální etrém. 5

7 Věta4.Nechťmáfunkce fvbodě 0 lokálníetrémanechť f ( 0 )eistuje. Pak f ( 0 )=0. Důkaz. Důkaz naleznete v[1] na straně 116. Věta5.Nechťjefunkce f spojitávbodě 0 amávlastníderivacivnějakémrzímokolí O( 0 ) \ { 0 }.Jestližeprovšechna O( 0 ), < 0,je f ( 0 ) > 0aprovšechna O( 0 ), > 0,je f ( 0 ) <0,pakmáfunkce fvbodě 0 ostrélokálnímaimum.(obdobnétvrzeníplatíproostrélokální minimum). Důkaz. Důkaz naleznete v[1] na straně 117. Věta6.Nechť f ( 0 )=0.Je-li f ( 0 ) >0,pakmáfunkce fvbodě 0 ostré lokálníminimum.je-li f ( 0 ) <0,pakmáfunkce fvbodě 0 ostrélokální maimum. Důkaz. Důkaz naleznete v[1] na straně 118. Definice7.Buďfunkce fdefinovanánamnožině M.Eistuje-lina Mnejvětší(nejmenší) hodnota funkce f, nazýváme ji absolutním maimem(absolutním minimem) funkce f na M. Absolutní minima a maima souhrnně nazýváme absolutními etrém. Jestližeted 0 Maplatí f() f( 0 )provšechna M,říkáme,že funkce f mána Mabsolutnímaimumvbodě 0.Podobněproabsolutní minimum. Definice8.Řekneme,žefunkce fjekonvenínaintervalui,jestližeprolibovolnétřibod 1,, 3 Itakové,že 1 < < 3,platí f( ) f( 1 )+ f( 3) f( 1 ) 3 1 ( 1 ). Řekneme, že funkce f je konkávní na intervalu I, jestliže pro libovolné tři bod 1,, 3 Itakové,že 1 < < 3,platí f( ) f( 1 )+ f( 3) f( 1 ) 3 1 ( 1 ). Pokud v definici nahradíme neostré nerovnosti ostrými, dostáváme definice pojmů ostré konvenosti a ostré konkávnosti na intervalu I. 6

8 Věta9.Nechť f mávlastníderivacinaotevřenémintervalu I.Pakje f konvení(ostřekonvení)na I právětehd,kdžjefunkce f neklesající (rostoucí) na I. Analogickétvrzeníplatípro fkonkávní(ostřekonkávní)na Ia f nerostoucí (klesající) na I. Důkaz. Důkaz naleznete v[1] na straně 14. Důsledek10.Nechť Ijeotevřenýintervalafmávlastnídruhouderivaci na I. (a)je-li f () >0prokaždé I,pakje fostřekonvenína I. (b)je-li f () <0prokaždé I,pakje fostřekonkávnína I. Definice11.Nechťmáfunkce fderivacivbodě 0 R.Je-litatoderivace nevlastní,předpokládámenavíc,žeje fspojitávbodě 0. Řekneme,že 0 jeinflenímbodemfunkce f,jestližeeistujeokolí O δ ( 0 ) takové,žefunkce f jeostřekonkávnínaintervalu( 0 δ, 0 )ajeostře konvenínaintervalu( 0, 0 +δ)anebonaopak.stručněříkáme,žefunkce f mávbodě 0 inflei. Věta 1. 1.Nechť 0 jeinfleníbodanechťeistuje f ().Pak f ()=0..Nechť f () =0aeistujeokolí O δ ( 0 )takové,žeplatí f () <0 prokaždé ( 0 δ, 0 )af () >0prokaždé ( 0, 0 + δ),nebo naopak.pakje 0 inflenímbodemfunkce f. 3.Nechť f ()=0af () 0.Pakje 0 inflenímbodemfunkce f. Důkaz. Důkaz naleznete v[1] na straně 17. Definice13.Buď 0 R.Přímka = 0 senazýváasmptotoubezsměrnice funkce f,jestližemá fv 0 alespoňjednujednostrannoulimitunevlastní,tj. lim f()=± nebo lim f()=± Přímka =a+b, a, b Rsenazýváasmptotousesměrnicífunkce f, jestliže platí lim (f() (a+b))=0nebo lim (f() (a+b))=0. + 7

9 Věta14.Přímka = a+bjeasmptotoufunkce fpro tehd, kdž + právě f() lim + = a a lim (f() a)=b. + Analogickétvrzeníplatípro. Důkaz. Důkaz naleznete v[1] na straně 19. Důsledek15.Přímka = bjeasmptotoufunkce fpro + právě tehd, kdž lim f()=b.analogickétvrzeníplatípro. + 8

10 Kapitola Řešené příklad na lokální a absolutní etrém Příklad.1. Najděte lokální etrém funkce f: =lncos. Řešení:Funkcejedefinovánanamnožině,kdecos ( >0.Jednáseointerval π +kπ, π+kπ) pro k Z. Prvníderivacefunkce fje = sin. cos Bod,vekterýchbmohlnastatlokálníetrém,jsou =k π,kde k Z. Všetříme monotónnost funkce f- stačí na intervalu(0, π), funkce je totiž periodická. ( ( 0, π π ), π) ( ) ( π, 3π 3π,π) + + klesající klesající rostoucí rostoucí Lokálníetrémtedmohounastatvbodech =kπ, k Z.Pro klichéale není funkce definována, proto jsou lokální etrém pouze v bodech = kπ, k Z.Jdeolokálnímaimaajejichfunkčníhodnota f(kπ)=lncoskπ=0. 9

11 Příklad.. Najděte lokální a absolutní etrém funkce f na intervalu [ 3,3], f: =( )e. Řešení:Funkcejedefinovánanacelém R,jeteddefinovánainazkoumaném intervalu. Prvníderivacefunkceje = e (+1)( ).Nulovébodderivace jsou = 1a=.Všetřímeznaménkaderivacenazadanémintervalu: ( 3, 1) ( 1,) (,3) + klesající rostoucí klesající Lokálníetrémnastávajívbodech = 1a=.Jejichfunkčníhodnot jsou f( 1)= e. = 7,389(lokálníminimum)af()=e 4. =0,037 (lokální maimum). Abchom nalezli absolutní etrém, musíme vpočítat funkční hodnot v krajních bodech intervalu a porovnat je s nalezenými funkčními hodnotami lokálních etrémů. f( 3)=7e 6. =84 a f(3)=7e 6. =0,017 Absolutnímaimumfunkce fjevbodě = 3aabsolutníminimumfunkce fjevbodě = 1. Příklad.3.Najděteabsolutníetrémfunkce fnaintervalu[1,e], f: = ln. Řešení:Definičnímoboremfunkce fjemnožina D(f)=(0, ). Prvníderivacefunkce fje = (ln+1).nulovébodderivacejsou =0 a =e 1.Prvníztěchtobodůneležívdefiničnímoborufunkce fadruhý není ve zkoumaném intervalu. Funkčníhodnotvkrajníchbodechjsou f(1)=0af(e)=e.absolutní minimumnastávávbodě =1aabsolutnímaimumvbodě =e. 10

12 Příklad.4. Najděte lokální a absolutní etrém funkce f na intervalu [0,5], f: = Řešení: Funkce je definována v každém bodě intervalu. Prvníderivacefunkce fje =5 ( 1)( 3).Bod,vekterých =0, jsou =0, =1a=3.Nnívšetřímemonotónnostfunkce f : (0,1) (1,3) (3,5) + + rostoucí klesající rostoucí Vbodě = 1jelokálnímaimum, jehožfunkční hodnota f(1) =,a vbodě =3jelokálníminimum,jehožfunkčníhodnota f(3)= 6.Zbývá vpočítat funkční hodnot v krajních bodech: f(0)=1 a f(5)=66. Absolutnímaimumnastávávbodě =5aabsolutníminimumvbodě =3. Příklad.5. Najděte lokální a absolutní etrém funkce f na intervalu [ 1,6], 3 f: = +. Řešení: Definičním oborem funkce je množina R \ { }. První derivace funkce f je rovna = (4 ) 3 3 (+). Bod,vekterýchjeprvníderivacerovna0nebonenídefinovaná,jsou =0 a = 4. Všetříme znaménka derivace: ( 1,0) (0,4) (4,6) + klesající rostoucí klesající Vbodě =0jelokálníminimumsfunkčníhodnotou f(0)=0.vbodě =4jelokálnímaimum,jehofunkčníhodnotaje f(4). =0,4. V krajních bodech intervalu nabývá funkce hodnot: f( 1)=1 a f(6). =0,41. 11

13 Absolutnímmaimemfunkcenazadanémintervalujebod[, ]=[ 1,1] aabsolutnímminimemjebod[0,0]. Příklad.6. Najděte lokální a absolutní etrém funkce f na intervalu [,], f: =(+1) 3 +( 1) 3. Řešení: Definičním oborem funkce f je celá množina R. Funkce je sudá, protože f( )=( +1) 3+( 1) 3=( 1) 3( 1) 3+( 1) 3(+1) 3= =( 1) 3+(+1) 3= f(). První derivace funkce je rovna = 3 (+1) ( 1)+ 3 ( 1) (+1). 3 (+1)( 1) Bod,vekterýchjeprvníderivacerovna0nebonenídefinovaná,jsou = 1, =0a=1.Všetřímeznaménkaderivace: (, 1) ( 1,0) (0,1) (1,) + + klesající rostoucí klesající rostoucí Vbodech = 1a=1jsoulokálníminimaseshodnýmifunkčnímihodnotami f( 1)=f(1)= 3 4. =1,59.Vbodě =0jelokálnímaimum,jehož funkčníhodnotajerovna f(0)=. Zbývá vpočítat funkční hodnot v krajních bodech zadaného intervalu. Protože je funkce sudá, budou obě hodnot stejné. f( )=f(). =3,08. Funkcemáabsolutnímaimavbodech = a=aabsolutníminima vbodech = 1a=1. Příklad.7. Najděte lokální a absolutní etrém funkce f na intervalu [ 3,4], f: = Řešení: Definičním oborem funkce je množina R \ {1}. První derivace funkce f je rovna = ( )( +1) ( 1). Nulovýmbodempředchozírovnicejenazadanémintervalupouzebod =. 1

14 Všetříme znaménka derivace: ( 3,) (,4) + klesající rostoucí Bod =jelokálnímminimemfunkce f.jehofunkčníhodnotajerovna f()=3. Nní vpočítáme hodnot funkce v krajních bodech intervalu: f( 3 )=4,5 a f(4). =9,67. Z vpočítaných hodnot snadno určíme, že absolutní minimum funkce f na intervalu[ 3,4]jevbodě =aabsolutnímaimumjevbodě =4. Příklad.8. Najděte lokální a absolutní etrém funkce f na intervalu [ 5, 1], f: = 1 3. Řešení: Definičním oborem funkce je množina R \ {0}. První derivace funkce f je rovna = 3 3. Nulovým bodem předchozí rovnice je na zadaném intervalu pouze bod = 3. = 1,6.Všetřímeznaménkaderivace: ( 5, 3 ) ( 3, 1) + klesající rostoucí Vbodě = 3 jelokálníminimumsfunkčníhodnotou f( 3 ). =1,89. Zbývá vpočítat hodnot funkce v krajních bodech: f( 5)=5,04 a f( 1)=. Lokálníminimumvbodě = 3 jezároveňabsolutnímminimem.absolutnímaimumnastávávbodě = 5. 13

15 Kapitola 3 Etrém v ekonomii Modelovým příkladem užití etrémů v ekonomii může být problém maimalizace užitku spotřebitele. Každého spotřebitele lze podle jeho preferencí charakterizovat nějakou užitkovou funkcí, která vjadřuje, jaký užitek mu přináší různé kombinace spotřebních statků. Jeho cílem je tento užitek maimalizovat. Ale spotřeba statkůjespojenaisurčitouújmou(obětí)veforměplatbzatentostatek. Množství peněžních prostředků spotřebitele je přitom omezené. Formální zápis této úloh b mohl vpadat například takto: ma[u( 1,..., n ); n p i i M, i 0], i=1 1,..., n množstvíjednotlivýchspotřebníchstatků u( 1,..., n ) užitkováfunkcespotřebitele p i jednotkovácenai téhostatku M množství peněžních prostředků spotřebitele Řešenímtétoúlohbblakombinacestatků 1,..., n,kterábudespotřebiteli při daném rozpočtovém omezení přinášet největší užitek. Eistuje mnoho dalších problémů k řešení- např. minimalizace nákladů firm, maimalizace zisku společnosti atd. V těchto úlohách jsou vesměs všetřován funkce více reálných proměnných, navíc s určitými podmínkami, tzn. jde o vázané etrém. Tto úloh se řeší jinými metodami, které přesahují rámec mé bakalářské práce, jež je primárně zaměřena na hledání etrémů a průběhu funkcí jedné reálné proměnné. Proto zde nebudu uvádět konktrétní řešené příklad. 14

16 Kapitola 4 Řešené příklad na průběh funkce V této kapitole budou řešen některé obtížnější úloh na průběh funkce. Pro přehlednost budou dělen podle tpu funkce. 4.1 Polnom Příklad 4.1. Všetřete průběh funkce Řešení: f: = ( 4) 3. 1.Definičníobordanéfunkceje D(f)=R.Snadnourčímeprůsečíkgrafu funkcesosami a.jezřejmé,žefunkceprocházípočátkem[0,0]a bodem[4,0].protože f( )= ( 4) 3 = (+4) 3,funkcenení ani sudá ani lichá.. Pro počítání derivací je vhodné zadanou funkci upravit = ( 4) 3 = První derivace funkce potom bude = =4( 1)( 4), odtudplne =0pro =1a=4.Všetřímeznaménkoderivace: (,1) (1,4) (4, ) + + klesající rostoucí rostoucí 15

17 Lokálníetrémnastávápouzevbodě =1,jdeolokálníminimuma jehofunkčníhodnota f(1)= Dále budeme všetřovat konvenost, konkávnost a hledat inflení bod. K tomu je potřeba vpočítat druhou derivaci. =1 7+96=1( 6+8)=1( )( 4). Všetříme znaménka derivace: (,) (,4) (4, ) + + konvení konkávní konvení Infleníbodjsouvbodech =a=4,jejichfunkčníhodnotjsou f()= 16af(4)=0. 4. Funkce nemá žádné asmptot. 5.Graffunkceje:

18 4. Racionální lomené funkce Příklad 4.. Všetřete průběh funkce f: = (+1)(4 3) + 3. Řešení: 1.Definičním oboremfunkce jemnožina R \ { 1,1} = (, 1) ( 1,1) (1, ).Průsečíksosou jsou [ 1,0] a [ 3,0] aprůsečík 4 sosou jebod[0,1].. V zadání funkce se vsktuje absolutní hodnota, proto je nutné funkcivšetřovatsohledemnato,zdaje 0nebo 0. (a)pro 0a 1mámefunkci Její derivace f 1 : = (+1)(4 3). + 3 = 6(3 7+) ( + 3). Bod,vekterýchjeprvníderivacerovnanule,jsou = 1 3 a =. Všetříme znaménka derivace: (0, 1) 3 (1,) (, ) rostoucí klesající rostoucí Vidíme,ževbodě = 1nastáválokálnímaimum,jehožfunkční 3 hodnota f( 1)= 5,avbodě =nastáválokálníminimum,jehož 3 4 funkčníhodnotaje f()=5. (b)pro 0, 1mámefunkci Její derivace f : = (+1)(4 3). 3 = 14(+3) ( 3). Bod,vekterýchmůženastatlokálníetrém,jsou = 3a=0. 17

19 Opět všetříme znaménka derivace: (, 3) ( 3,0) + klesající rostoucí Vbodě = 3tednastáválokálníminimumsfunkčníhodnotou f( 3)= Pro všetřování infleních bodů, konvenosti a konkávnosti je rovněž potřeba rozlišovat, zda jsme na intervalu(, 0] nebo[0, ). (a)pro 0jedruháderivace = ( + 3) 3. Bod,vekterýchmůženastatinflee,jsou =1a = 1 6 ( ). =3,08.Znaménkaderivace: (0,1) (1, 1 6 ( )) ( 1 6 ( ), ) + konkávní konvení konkávní (b)pro 0jedruháderivace = 14( ) ( 3) 3. Bod,vekterýchmůženastatinflee,jsou = 1a = 1 ( ). = 4,7.Znaménkaderivace: (, 1 ( )) ( 1 ( ), 1) ( 1,0) + konkávní konvení konkávní 18

20 4.Vzhledemkdefiničnímuoborufunkce,kterýje(, 1) ( 1,1) (1, ), je jasné, že funkce bude mít dvě asmptot bez směrnice ato = 1, =1.Průběhfunkcevokolítěchtoasmptotvšetříme pomocí limit: lim f()=, 1 lim f()=, 1 + lim f()=, 1 lim f()=. 1 + Zbývázjistit,zdamáfunkceasmptotsesměrnicí =a+b: lim ± f() lim ± Asmptotasesměrnicíjeted =8. 5. Nní můžeme sestrojit graf: =0=a, [ f() a]= lim f()=8=b. ±

21 Příklad 4.3. Všetřete průběh funkce Řešení: f: = 3 (+). 1. Definičním oborem funkce je množina R \ { }, funkce prochází počátkem.. Ve funkci se vsktuje absolutní hodnota, proto ji musíme všetřovat naintervalech(,0]a(0, )zvlášť. (a)pro >0mámefunkci Její první derivace je f 1 : 3 (+). = (+6) (+) 3. Bod,vekterýchjeprvníderivacerovna0nebobod,vekterých prvníderivaceneeistuje,jsou = 6, = a=0.protože anijedenztěchtobodůnesplňujepodmínku >0,budederivace na celém intervalu(0, ) buď pouze záporná nebo pouze kladná. Dosazenímlibovolnéhočíslaztohotointervaluzjistíme,že >0, zčehožplne,žefunkce fbudenaintervalu(0, )rostoucí. (b)pro 0mámefunkci Její první derivace je f : 3 (+). = (+6) (+) 3. Bod,vekterýchjeprvníderivacerovna0nebobod,vekterých prvníderivaceneeistuje,jsou = 6, = a=0.všetříme znaménka derivace: (, 6) ( 6, ) (,0] + klesající rostoucí klesající 0

22 Lokálníetrémnastávávbodě = 6.Jetolokálníminimum, jehožfunkčníhodnotaje f( 6)= 16 =13,5.Vbodě = 16 lokální etrém nastat nemůže, protože funkce f není v tomto bodě definovaná.vbodě = 0nastáválokálníminimumsfunkční hodnotou f(0)=0. 3. Nní budeme všetřovat konvenost, konkávnost a inflení bod. (a)pro >0jedruháderivacefunkce = 4 (+) 4. Bod,vekterýchjedruháderivacerovna0nebobod,vekterých druháderivaceneeistuje,jsou = a=0.protožetto bodnespadajídointervalu(0, ),budefunkce fnacelémtomto intervalu buď pouze konkávní nebo pouze konvení. To zjistíme dosazením libovolného čísla z tohoto intervalu do druhé derivace funkce.jelikož >0,budefunkce fnaintervalu(0, )konvení. (b)pro 0mámedruhouderivacifunkce = 4 (+) 4. Bod,vekterýchjedruháderivacerovna0nebobod,vekterýchdruháderivaceneeistuje,jsou = a=0.všetříme znaménka derivace: (, ) (,0) + + konvení konvení 4. Asmptotou bez směrnice bude vzhledem k definičnímu oboru funkce přímka =. Všetříme chování funkce v okolí této přímk: lim f()=, lim f()=. + Zbývázjistit,zdamáfunkceasmptotsesměrnicí =a+b. Pro vpočítámelimit: lim f() lim =1=a, [ f() ]= 4=b. 1

23 Takžeasmptotasesměrnicípro jepřímka = 4. Pro vpočítámelimit: f() lim = 1=a, lim [ f()+]=4=b. Asmptotasesměrnicípro jepřímka = Nní můžeme sestrojit graf:

24 4.3 Goniometrické a cklometrické funkce Příklad 4.4. Všetřete průběh funkce Řešení: f: =sin3 3sin. 1. Definičním oborem funkce je R, funkce je periodická s periodou π, protože f(+π)=sin(3+6π) 3sin(+π)=sin3 3sin=f(). Funkce je lichá, protože f( )=sin( 3) 3sin( )= sin3+3sin= f(). Průsečíksosou jsouvbodech =kπpro k Z.. První derivace funkce je =3cos3 3cos. Nulovébodtétorovnicejsou =k π derivace(stačí na intervalu(0, π)): pro k Z.Všetřímeznaménka ( ( 0, π π ), π) ( ) ( π,3 π 3 π,π) + + klesající rostoucí rostoucí klesající Takželokálníminimanastanouvbodech = π +kπ, k Z,jejich funkčníhodnota f( π +kπ)= 4alokálnímaimanastanouvbodech = 3π+kπ, k Z,jejichfunkčníhodnota f(3π+kπ)=4. 3. Druhá derivace funkce je = 9sin3+3sin. Nulovébodtétorovnicejsou =kπpro k Zabod,prokteréplatí sin =± 3,cožjsounaintervalu(0,360 )bod =55., =15., =35., =

25 Všetříme znaménka derivace: (0,55 ) (55,15 ) (15,180 ) (180,35 ) (35,305 ) (305,360 ) konkávní konvení konkávní konvení konkávní konvení Funkčníhodnotinfleníchbodůjsou f(k180 )=0,kde k Z, f(55 )=f(15 ). =,0, f(35 )=f(305 ). =,0. 4. Funkce f nemá žádné asmptot. 5. Nní můžeme sestrojit graf: 6 4 π π π π 4 6 4

26 Příklad 4.5. Všetřete průběh funkce Řešení: f: = +arccotg. 1.Definičnímoboremfunkceje R,průsečíksosou jebod[0, π].. První derivace funkce je =1 +1, bod,vekterýchjeprvníderivacerovna0,jsou = 1a = 1. Všetříme znaménka derivace: (, 1) ( 1,1) (1, ) + + rostoucí klesající rostoucí Vidíme,ževbodě =1nastáválokálníminimum,jehožhodnotaje f(1)=1+ π,avbodě = 1nastáválokálnímaimum,jehožhodnota je f( 1)= 1+ 3π. 3. Druhá derivace funkce je = 4 ( +1), rovnicejerovnanulepouzevbodě =0. (,0) (0, ) + konkávní konvení Bod =0jeinflenímbodem,zároveňiprůsečíkemsosou,jeho funkční hodnotu jsme spočítali výše. 4.Nníbudemezjišťovat,zdamáfunkceasmptot.Pro vpočítáme limit: lim f() lim =1=a, [ f() ]=0=b. 5

27 Takžeasmptotasesměrnicípro jepřímka =. Pro vpočítámelimit: lim f() lim =1=a, [ f() ]=π= b. Asmptotasesměrnicípro jepřímka = +π. 5. Nní sestrojme graf:

28 4.4 Eponenciální a logaritmické funkce Příklad 4.6. Všetřete průběh funkce Řešení: f: = ln. 1. Definičním oborem funkce je množina(0, ), funkce prochází bodem [1,0].. První derivace funkce je =ln +ln =ln (ln +). Jejínulovébodjsou =e. =0,14a=1.Všetřímeznaménka derivace na definičním oboru funkce: (0,e ) (e,1) (1, ) + + rostoucí klesající rostoucí Vbodě =e. =0,14nastáválokálnímaimum,jehofunkčníhodnota je f(e )=4e.Vbodě =1jelokálníminimum,jehožfunkční hodnotajerovna f(1)=0. 3. Druhá derivace funkce je rovna = 1 (ln +1). Předchozírovnicenabývánulvbodě = e 1. = 0,37.Všetříme konvenost a konkávnost: (0,e 1 ) (e 1, ) + konkávní konvení 4. Funkce nemá žádné asmptot. K sestrojení funkce je vhodné všetřit její chování v krajním bodě definičního oboru. Vpočteme proto limitu funkcepro 0zprava: lim ln =

29 5. Nní můžeme sestrojit graf: Příklad 4.7. Všetřete průběh funkce Řešení: f: =( )e 1. 1.Definičnímoboremfunkcemnožina R\{0}.Průsečíksosou jevbodě =.. První derivace funkce je rovna =e 1 +. Nulovébodjsou = a = 1.Všetřímeznáménkaderivace nadefiničnímoborufunkce f: (, ) (,0) (0,1) (1, ) + + rostoucí klesající klesající rostoucí 8

30 Lokálnímaimumnastávávbodě =,jehofunkčníhodnotaje f( )= 4e 1. = 6,6.Vbodě =1jelokálníminimumsfunkční hodnotou f(1)= e 1. = 0,4. 3.Druháderivacefunkce fje = 1 4e 1 (5 ). Nulovýboddruhéderivaceje = 5.Všetřímeznáménkaderivace nadefiničnímoborufunkce f: Vbodě = 5 nastáváinflee. (,0) (0, 5 ) ( 5, ) + konkávní konkávní konvení 4.Budemehledatasmptotsesměrnicívetvaru = a+b: lim ± f() lim ± =1=a, [ f() ]= 3=b. Asmptotasesměrnicífunkce fje = 3.Zbývávšetřitchování funkcevbodě =0,vekterémnenífunkce fdefinovaná. lim f()=0, 0 + lim f()=. 0 9

31 5. Nní můžeme sestrojit graf: Mocninné funkce Příklad4.8.Všetřeteprůběhfunkce fnaintervalu[0,3], Řešení: f: =(3 ). 1.Funkcemádvaprůsečíksosou atobod =0a=3.Funkceje spojitávkaždémboděintervalu[0,3].. První derivace funkce je tvaru = 3(1 ). Bod,vekterémmůženastatnazadanémintervaluetrém,je =1. 30

32 Všetříme monotónnost funkce: (0,1) (1,3) + rostoucí klesající Vbodě =1jelokálnímaimumsfunkčníhodnotou f(1)=. 3. Druhá derivace funkce je rovna = 3 4 (+1). Předchozí rovnice nemá na všetřovaném intervalu žádné nulové bod. Dosazenímlibovolnéhočíslazintervalu[0,3]zjistíme,že <0.To znamená,žefunkce fbudenacelémintervalu[0,3]konkávní. 4. Funkce nemá žádné asmptot. 5. Nní můžeme sestrojit graf:

33 Příklad 4.9. Všetřete průběh funkce 3 f: =. Řešení: 1.Vpočítámedefiničníoborfunkce f.vjdemeztoho,ževýrazpododmocninou musí být nezáporný a jmenovatel ve zlomku se nesmí rovnat nule.definičníoborbudemnožina(,0] (, ).. První derivace funkce je tvaru = ( 3) ( ) ( ). Bod, ve kterých je první derivace nulová nebo ve kterých není definovaná,jsoukrajníboddefiničníhooboru =0a=abod =3. Všetříme monotónnost funkce na D(f): (,0) (,3) (3, ) + klesající klesající rostoucí V bodě = 3 nastává lokální minimum. Jeho funkční hodnota je. f(3) = 5,. 3. Druhá derivace funkce je rovna = 3 ( ) 5. Druhá derivace není definovaná v krajních bodech definičního oboru. Všetříme znaménka derivace na D(f): (,0) (, ) + + konvení konvení 3

34 4.Budemehledatasmptotsesměrnicífunkce fvetvaru = a+b: Pro vpočítámelimit: lim f() lim =1=a, [ f() ]=1=b. Takžeasmptotasesměrnicípro jepřímka = +1. Pro vpočítámelimit: f() lim = 1=a, lim [ f()+]= 1=b. Asmptotasesměrnicípro jepřímka = 1. Nní všetříme, jak se bude funkce f chovat v krajních bodech definičníhooboru D(f): lim f()=0, 0 lim f()=. + Z poslední počítané limit plne, že funkce f bude mít asmptotu bezsměrnicevetvaru =. 5. Nní můžeme sestrojit graf:

35 Literatura [1] Došlá Z., Kuben J.: Diferenciální počet funkcí jedné proměnné, Masarkova univerzita, Brno 004 [] Jirásek F., Kriegelstein E., Tichý Z.: Sbírka řešených příkladů z matematik, 3.vdání, SNTL, Praha 1987, s [3] Studijní materiál předmětu Kvantitativní ekonomie vučovaného na Přírodovědecké fakultě pod kódem E5340. [4]RbičkaJ.:L A TEXprozačátečník,3.vdání,KONVOJ,Brno003 [5]LomtatidzeL.,PlchR.:SázímevL A TEXudiplomovouprácizmatematik, 1.vdání, Masarkova univerzita, Brno

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007 20. srpna 2007 1. f = 3 12 2. f = 2 e 3. f = ln Příklad 1. Nakreslete graf funkce f() = 3 12 Příklad 1. f = 3 12 Nejprve je třeba určit definiční obor. Výraz je vždy definován. Příklad 1. f = 3 12 f =

Více

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak

Více

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Funkce RNDR. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Derivace funkce VY INOVACE_05 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Definice Mějme funkci f definovanou v okolí bodu 0. Eistuje-li

Více

2.7. Průběh funkce. Vyšetřit průběh funkce znamená určit (ne nutně v tomto pořadí): 1) Definiční obor; sudost, lichost; periodičnost

2.7. Průběh funkce. Vyšetřit průběh funkce znamená určit (ne nutně v tomto pořadí): 1) Definiční obor; sudost, lichost; periodičnost .7. Průběh unkce Všetřit průběh unkce znamená určit ne nutně v tomto pořadí: deiniční obor; sudost, lichost; periodičnost, interval spojitosti a bod nespojitosti, průsečík grau unkce s osami, interval,

Více

Seminární práce z matematiky

Seminární práce z matematiky Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Seminární práce z matematiky Vyšetřování průběhu funkcí Autor: Vyučující: Ondřej Vejpustek RNDr Eva Davidová Ostrava, 0 Taylorův polynom pro

Více

PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ

PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny

Více

Definice derivace v bodě

Definice derivace v bodě Definice derivace v bodě tgϕ = f ( ) f () f () : = tgϕ = lim f f () tgϕ = f f () Obecně: f f f ( ) ( ) : = lim f ( + h) f f : = lim h h Derivace zleva (zprava): f ( ) : = lim f f ( ) f ( ) : = lim + +

Více

Aplikace derivace ( )

Aplikace derivace ( ) Aplikace derivace Mezi aplikace počítáme:. LHospitalovo pravidlo. Etrémy funkce (růst a pokles funkce) 3. Inflee (konávnost a konvenost). Asymptoty funkce (se i bez směrnice) 5. Průběh funkce 6. Ekonomické

Více

Rolleova věta. Mějme funkci f, která má tyto vlastnosti : má derivaci c) f (a) = f (b). a) je spojitá v a, b b) v každém bodě a,b

Rolleova věta. Mějme funkci f, která má tyto vlastnosti : má derivaci c) f (a) = f (b). a) je spojitá v a, b b) v každém bodě a,b Průběh unkce Rolleova věta Mějme unkci, která má tto vlastnosti : a) je spojitá v a, b b) v každém bodě a,b má derivaci c) (a) = (b). b Potom eistuje v a, alespoň jeden bod c, v němž ( c) : 1, 3 0 1 1

Více

[ 5;4 ]. V intervalu 1;5 je funkce rostoucí (její první derivace je v tomto intervalu

[ 5;4 ]. V intervalu 1;5 je funkce rostoucí (její první derivace je v tomto intervalu 1..1 Průběh funkce III (prohnutí Předpoklad: 111 Pedagogická poznámka: Při poctivém probírání b tato látka zabrala dvě celé vučovací hodin. Studenti z toho nebudou příliš nadšení, je zde příliš mnoho definic

Více

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 4. Derivace funkce 4.3. Průběh funkce 2 Pro přesné určení průběhu grafu funkce je třeba určit bližší vlastnosti funkce. Monotónnost funkce Funkce monotónní =

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

1. Určíme definiční obor funkce, její nulové body a intervaly, v nichž je funkce kladná nebo záporná.

1. Určíme definiční obor funkce, její nulové body a intervaly, v nichž je funkce kladná nebo záporná. Matmatika I část II Graf funkc.. Graf funkc Výklad Chcm-li určit graf funkc můžm vužít přdchozích znalostí a určit vlastnosti funkc ktré shrnm do níž uvdných bodů. Můž s stát ž funkc něktrou z vlastností

Více

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce)

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce) Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. srpna Název zpracovaného celku: LOKÁLNÍ EXTRÉMY LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maimum a minimum funkce) Lokální etrémy jsou body, v nichž funkce

Více

PRŮBĚH FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ

PRŮBĚH FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ Dierenciální počet unkcí jedné reálné proměnné - 5 - PRŮBĚH FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ Cílem vyšetřování průběhu unkce je umět nakreslit její gra Obvykle postupujeme tak že nalezneme její maimální deiniční

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Univerzita Karlova v Praze Pedagogická akulta DRUHÁ SEMINÁRNÍ PRÁCE Z DIFERENCIÁLNÍHO POČTU PRŮBĚH FUNKCE 000/001 Cirik, M-ZT Zadání: Vyšetřete průběh unkce ( ) : y Vypracování: ( ) : y Předně určíme deiniční

Více

y = 1/(x 3) - 1 x D(f) = R D(f) = R\{3} D(f) = R H(f) = ( ; 2 H(f) = R\{ 1} H(f) = R +

y = 1/(x 3) - 1 x D(f) = R D(f) = R\{3} D(f) = R H(f) = ( ; 2 H(f) = R\{ 1} H(f) = R + Funkce. Vlastnosti funkcí Funkce f proměnné R je zobrazení na množině reálných čísel (reálnému číslu je přiřazeno právě jedno reálné číslo). Z grafu poznáme, zda se jedná o funkci tak, že nenajdeme žádnou

Více

7.1 Extrémy a monotonie

7.1 Extrémy a monotonie KAPITOLA 7: Průběh funkce [ZMA13-P38] 7.1 Extrémy a monotonie Řekneme, že funkce f nabývá na množině M Df svého globálního maxima globálního minima A v bodě x 0, jestliže x 0 M, fx 0 = A a pro každé x

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Vyšetřování průběhu funkce pomocí programu MatLab. 1. Co budeme potřebovat?

Vyšetřování průběhu funkce pomocí programu MatLab. 1. Co budeme potřebovat? Vyšetřování průběhu funkce pomocí programu MatLab K práci budeme potřebovat následující příkazy pro 1. Co budeme potřebovat? (a) zadání jednotlivých výrazů symbolicky (obecně) (b) řešení rovnice f()=0,

Více

IX. Vyšetřování průběhu funkce

IX. Vyšetřování průběhu funkce IX. Vyšetřování průběhu funkce Úvodní poznámky: Cíl: vyšetřit průběh dané funkce f. Zahrnuje: základní vlastnosti: D(f), spojitost, limity v krajních bodech, průsečíky s osami souřadnic, intervaly, kde

Více

METODICKÝ NÁVOD MODULU

METODICKÝ NÁVOD MODULU Centrum celoživotního vzdělávání METODICKÝ NÁVOD MODULU Název Základy matematiky modulu: Zkratka: ZM Počet kreditů: 4 Semestr: Z/L Mentor: Petr Dolanský Tutor: Petr Dolanský I OBSAH BALÍČKU STUDIJNÍCH

Více

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Vlastnosti funkcí Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Definiční obor Definiční obor funkce je množina všech čísel,

Více

Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce f (x) = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 2 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (0, )

Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce f (x) = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 2 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (0, ) Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (, ) a konkávní na intervalu (, ). Inflexní bod c =. 3 1 1 y = x 3 9x

Více

Kapitola 4: Průběh funkce 1/11

Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Funkce monotonní 2/11 Věta: Necht je f spojitá a má derivaci na intervalu I. Potom platí (i) Je-li f (x) > 0 na I, je f rostoucí na I. (ii) Je-li f (x) 0 na I, je f neklesající

Více

Cvičení 1 Elementární funkce

Cvičení 1 Elementární funkce Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = 3. 3 3 = > 3 3 + =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z ÚVODU DO MATEMATICKÉ ANLÝZY FUNKCE 999/000 CIFRIK Funkce F a) Zadání: Vyšetřete bez užití limit a derivací funkci : y = { x } f Definice:

Více

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Průběh funkce Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Průběh funkce Průběhem funkce rozumíme určení vlastností funkce

Více

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x. 1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle

Více

Derivace funkce. existuje limita lim 0 ) xx xx0. Jestliže tato limita neexistuje nebo pokud funkce ff

Derivace funkce. existuje limita lim 0 ) xx xx0. Jestliže tato limita neexistuje nebo pokud funkce ff Derivace funkce Derivace je základním pojmem v diferenciálním počtu. Má uplatnění tam, kde se zkoumá povaha funkčních závislostí určitých proměnných (veličin). V matematice, ekonomii, fyzice ale i v jiných

Více

Zlín, 23. října 2011

Zlín, 23. října 2011 (. -. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 3. října 0 Postup při vyšetřování průběhu funkce. Definiční obor funkce,

Více

Aplikace derivace a průběh funkce

Aplikace derivace a průběh funkce Aplikace derivace a průběh funkce Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

Funkce. Vlastnosti funkcí

Funkce. Vlastnosti funkcí FUNKCE Funkce zobrazení (na číselných množinách) předpis, který každému prvku z množiny M přiřazuje právě jeden prvek z množiny N zapisujeme ve tvaru y = f () značíme D( f ) Vlastnosti funkcí 1. Definiční

Více

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Užití derivací. x, x a, b : x x f x f x MATA P12. Funkce rostoucí a klesající: Definice rostoucí a klesající funkce

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Užití derivací. x, x a, b : x x f x f x MATA P12. Funkce rostoucí a klesající: Definice rostoucí a klesající funkce MATA P1 Užití derivací Funkce rostoucí a klesající: Deinice rostoucí a klesající unkce Funkce je rostoucí v intervalu (a,b), právě když platí: ( ) ( ) ( ), a, b : 1 1 1 Funkce je klesající v intervalu

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací

Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací Vyšetřete průběh následuících funkcí. Příklad. = x +arctg( x ). D(f) =R.. Funkce e spoitá na R. 3. Funkce není lichá, sudá, ani periodická.. lim x ±

Více

Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné LOKÁLNÍ A GLOBÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ LOKÁLNÍ EXTRÉMY

Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné LOKÁLNÍ A GLOBÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ LOKÁLNÍ EXTRÉMY Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné - 4.1 - LOKÁLNÍ A GLOBÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ LOKÁLNÍ EXTRÉMY Při hledání lokálních etrémů postupujeme podle následujícího programu Nalezneme

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6 Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly

Více

Stručný přehled učiva

Stručný přehled učiva Stručný přehled učiva TU1M2 Matematika 2 pro LP17, LP18 4. Aplikace diferenciálního počtu 4.1 Rovnice tečny a normály Má-li funkce v bodě vlastní derivaci, pak je to směrnice tečny grafu funkce v tečném

Více

Mocninná funkce: Příklad 1

Mocninná funkce: Příklad 1 Mocninná funkce: Příklad 1 Zadání: Vyšetřete průběh mocninné funkce. Řešení: 1. Jako první si určíme definiční obor: D(f)=R. 2. Nyní si spočítáme zda je daná funkce sudá nebo lichá: Daná funkce je lichá.

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/ Anotace. Diferenciální počet VY_32_INOVACE_M0216.

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/ Anotace. Diferenciální počet VY_32_INOVACE_M0216. Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ.1.07/1.5.00/34.0211 Zlepšení podmínek

Více

MATEMATIKA I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

MATEMATIKA I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Evropský polytechnický institut, s.r.o.. soukromá vysoká škola na Moravě Kunovice MATEMATIKA I. Dierenciální počet unkcí jedné proměnné RNDr. Jitka Jablonická Doc. RNDr. Daniela Hricišáková, CSc. Evropský

Více

Prbh funkce Jaroslav Reichl, 2006

Prbh funkce Jaroslav Reichl, 2006 rbh funkce Jaroslav Reichl, 6 Vyšetování prbhu funkce V tomto tetu je vzorov vyešeno nkolik úloh na vyšetení prbhu funkce. i ešení úlohy jsou využity základní vlastnosti diferenciálního potu.. ešený píklad

Více

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní

Více

Matematika I (KMI/PMATE)

Matematika I (KMI/PMATE) Přednáška první aneb Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Úvod do matematické analýzy Osnova přednášky pojem funkce definice funkce graf funkce definiční obor funkce obor hodnot funkce

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

Průběh funkce pomocí systému MAPLE.

Průběh funkce pomocí systému MAPLE. Průběh funkce pomocí systému MAPLE. Vyšetřování průběhu funkce je komplení a někdy velmi obtížná úloha. V konkrétních aplikacích nás většinou zajímají jen některé otázky týkající se průběhu dané funkce.

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Pojem funkce Vlastnosti funkcí Inverzní funkce 4 Základní elementární funkce Mocninné Eponenciální Logaritmické

Více

Průběh funkce pomocí systému MAPLE.

Průběh funkce pomocí systému MAPLE. Průběh funkce pomocí systému MAPLE. Vyšetřování průběhu funkce je komplení a někdy velmi obtížná úloha. V konkrétních aplikacích nás většinou zajímají jen některé otázky týkající se průběhu dané funkce.

Více

Matematika B 2. Úvodní informace

Matematika B 2. Úvodní informace Matematika B 2 MIROSLAV KUČERA Úvodní informace Kontakt miroslav.kucera@vsfs.czvsfs.cz Studijní středisko Kladno IT oddělení 306B (kanceláře studijního oddělení) Konzultační hodiny Po Pá 8:30 15:00 možno

Více

DERIVACE FUKNCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

DERIVACE FUKNCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH DERIVACE FUKNCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH Reálná funkce dvou proměnných a definiční obor Kartézský součin R R značíme R 2 R 2 je množina všech uspořádaných dvojic reálných čísel (rovina) Prvk R 2 jsou bod v rovině

Více

Průběh funkce II (hledání extrémů)

Průběh funkce II (hledání extrémů) .. Průběh funkce II (hledání etrémů) Předpoklad: Pedagogická poznámka: Poslední příklad v běžné vučovací hodině nestíháme. Rchlost postupu je možné značně ovlivnit tím, kolik času dáte studentům na výzkumné

Více

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Funkce více proměnných 6 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Ve čtvrté kapitole jsme studovali vlastnosti funkcí jedné nezávisle proměnné K popisu mnoha reálných situací však s jednou nezávisle

Více

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření

Více

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:

Více

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor. Matematika. Funkce. Vlastnosti funkce. Text a příklady.

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor. Matematika. Funkce. Vlastnosti funkce. Text a příklady. Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název škol Moravské gmnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika. Funkce. Vlastnosti funkce. Tet a příklad. Ročník.

Více

1 Množiny, výroky a číselné obory

1 Množiny, výroky a číselné obory 1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/1 BA06 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2014 1 (1) Určete rovnici kručnice o

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/ Anotace. Diferenciální počet VY_32_INOVACE_M0217.

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/ Anotace. Diferenciální počet VY_32_INOVACE_M0217. Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ.1.07/1.5.00/34.0211 Zlepšení podmínek

Více

Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava.

Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava. SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY JIŘÍ BOUCHALA Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala 3 Předmluva Cílem této sbírky je poskytnout studentům vhodné

Více

Číselné množiny. Přirozená čísla (N) Množina všech přirozených čísel N={1,2,3 } Celá čísla (Z) Množina všech celých čísel Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3, }

Číselné množiny. Přirozená čísla (N) Množina všech přirozených čísel N={1,2,3 } Celá čísla (Z) Množina všech celých čísel Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3, } ÚVOD DO MATEMATIKY Číselné množin Přirozená čísla (N) Množina všech přirozených čísel N={1,2,3 } Celá čísla (Z) Množina všech celých čísel Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3, } Racionální čísla (Q) Čísla která lze vjádřit

Více

VII. Limita a spojitost funkce

VII. Limita a spojitost funkce VII. Limita a spojitost funkce VII.1. Limita funkce Úvodní poznámky: Limita funkce f v bodě c R hodnota a R, k níž se přibližují hodnoty f(x), jestliže x se blíží k hodnotě c; funkce f nemusí být definovaná

Více

x (D(f) D(g)) : (f + g)(x) = f(x) + g(x), (2) rozdíl funkcí f g znamená: x (D(f) D(g)) : (f g)(x) = f(x) g(x), (3) součin funkcí f.

x (D(f) D(g)) : (f + g)(x) = f(x) + g(x), (2) rozdíl funkcí f g znamená: x (D(f) D(g)) : (f g)(x) = f(x) g(x), (3) součin funkcí f. 1. Funkce Deinice 1.1. Zobrazení nazýváme reálná unkce, jestliže H() R. Další speciikaci můžeme provést podle deiničního oboru zobrazení. Deinice 1.2. Reálná unkce se nazývá (1) unkce jedné reálné proměnné,

Více

Aplikační úlohy z diferenciálního počtu jedné proměnné

Aplikační úlohy z diferenciálního počtu jedné proměnné Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Fakulta Katedra Bakalářská práce Aplikační úlohy z diferenciálního počtu jedné proměnné Vypracoval: Michaela Jelínková Vedoucí práce: RNDr. Vladimíra Petrášková,

Více

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava I Úprav algebraických výrazů zlomk, rozklad kvadratického trojčlenu,

Více

Lineární funkce, rovnice a nerovnice

Lineární funkce, rovnice a nerovnice Lineární funkce, rovnice a nerovnice 1. Lineární funkce 1.1 Základní pojmy Pojem lineární funkce Funkce je předpis, který každému číslu x z definičního oboru funkce přiřadí právě jedno číslo y Obecně je

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

2 Reálné funkce jedné reálné proměnné

2 Reálné funkce jedné reálné proměnné 2 Reálné funkce jedné reálné proměnné S funkcemi se setkáváme na každém kroku, ve všech přírodních vědách, ale i v každodenním životě. Každá situace, kd jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určen

Více

0.1 Úvod do matematické analýzy

0.1 Úvod do matematické analýzy Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Pojem funkce Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost

Více

DIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE,

DIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE, DIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE, LIMITA FUNKCE, DERIVACE FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století

Více

REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ

REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ 5 přednáška S funkcemi se setkáváme na každém kroku ve všech přírodních vědách ale i v každodenním životě Každá situace kdy jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určeny

Více

Význam a výpočet derivace funkce a její užití

Význam a výpočet derivace funkce a její užití OPAKOVÁNÍ ZÁKLADŮ MATEMATIKY Metodický list č. 1 Význam a výpočet derivace funkce a její užití 1. dílčí téma: Výpočet derivace přímo z definice a pomocí základních vzorců. K tomuto tématu je třeba zopakovat

Více

Přehled funkcí. Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo. přehled fcí.

Přehled funkcí. Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo. přehled fcí. Přehled funkcí Martina Hetmerová Gymnázium Přípotoční 1337 Praha 10 Vlastnosti funkcí Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo Zapisujeme: f:y=f(x)

Více

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH 1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH V minulém semestru jsme studovali vlastnosti unkcí jedné nezávislé proměnné. K popisu mnoha reálných situací obvkle s jednou proměnnou nevstačíme. FUNKCE DVOU

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015 Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj

Více

Použití derivací. V této části budou uvedena některá použití derivací. LEKCE08-PRU. Použití derivací. l Hospital

Použití derivací. V této části budou uvedena některá použití derivací. LEKCE08-PRU. Použití derivací. l Hospital V této části budou uvedena některá použití derivací. a derivace a derivace -zbytek L HOSPITALOVO PRAVIDLO POČÍTÁNÍ LIMIT Tvrzení je uvedeno pro jednostrannou limitu zprava. Samozřejmě obdobné tvrzení platí

Více

MATEMATIKA I DIFERENCIÁLNÍ POČET I FAKULTA STAVEBNÍ MODUL BA01 M06, GA01 M05 DERIVACE FUNKCE

MATEMATIKA I DIFERENCIÁLNÍ POČET I FAKULTA STAVEBNÍ MODUL BA01 M06, GA01 M05 DERIVACE FUNKCE VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL BA0 M06, GA0 M05 DIFERENCIÁLNÍ POČET I DERIVACE FUNKCE STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA 0 Typeset by L

Více

WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 2017

WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 2017 Matematika I - Sbírka příkladů WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 7 Obsah Limity a spojitost. l Hôpitalovo pravidlo zakázáno............................ 4. l Hôpitalovo pravidlo povoleno............................

Více

1.1 Příklad z ekonomického prostředí 1

1.1 Příklad z ekonomického prostředí 1 1.1 Příklad z ekonomického prostředí 1 Smysl solidního zvládnutí matematiky v bakalářských oborech na Fakultě podnikatelské VUT v Brně je především v aplikační síle matematiky v odborných předmětech a

Více

10. Derivace, průběh funkce

10. Derivace, průběh funkce Moderní technologie ve studiu aplikované yziky CZ..07/..00/07.008 0. Derivace, průběh unkce Před mnoha lety se matematici snažili o obecné vyřešení úlohy, jak sestrojit tečnu k dané křivce a také yzici

Více

RNDr. Jiří Dočkal, CSc. MATEMATIKA I. Řešené příklady

RNDr. Jiří Dočkal, CSc. MATEMATIKA I. Řešené příklady RNDr. Jiří Dočkal, CSc. MATEMATIKA I Řešené příklady Uváděné řešené příklady jsou vybrány a řazeny v návaznosti na orientační učební pomůcku Doc.RNDr.Ing. Josef Nedoma, CSc.: MATEMATIKA I. Tato sbírka

Více

MATEMATIKA B. Lineární algebra I. Cíl: Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a

MATEMATIKA B. Lineární algebra I. Cíl: Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a MATEMATIKA B metodický list č. 1 Lineární algebra I Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a poukázat na jejich vzájemnou souvislost. Posluchači se seznámí

Více

MATEMATIKA A Metodický list č. 1

MATEMATIKA A Metodický list č. 1 Metodický list č. 1 Název tématického celku: Lineární algebra I Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a poukázat na jejich vzájemnou souvislost. Posluchači

Více

Funkce dvou a více proměnných

Funkce dvou a více proměnných Funkce dvou a více proměnných. Motivace V praxi nevstačíme s funkcemi jedné proměnné, většina veličin závisí více než na jedné okolnosti, např.: obsah obdélníka: S( ) kinetická energie: Ek = = x mv ekonomika:

Více

LOKÁLNÍ A GLOBÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCÍ A JEJICH UŽITÍ

LOKÁLNÍ A GLOBÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCÍ A JEJICH UŽITÍ Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/3.098 IV- Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol LOKÁLNÍ

Více

4. PRŮBĚH FUNKCE. = f(x) načrtnout.

4. PRŮBĚH FUNKCE. = f(x) načrtnout. Etrém funkc 4. PRŮBĚH FUNKCE Průvodc studim V matmatic, al i v fzic a tchnických oborch s často vsktn požadavk na sstrojní grafu funkc K nakrslní grafu funkc lz dns většinou použít vhodný matmatický softwar.

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

Úloha určit průběh funkce znamená nakreslit graf funkce na zadaném intervalu, nejčastěji na celé množině reálných čísel R.

Úloha určit průběh funkce znamená nakreslit graf funkce na zadaném intervalu, nejčastěji na celé množině reálných čísel R. @034 3. Průběhy funkcí Úloha určit průběh funkce znamená nakreslit graf funkce na zadaném intervalu, nejčastěji na celé množině reálných čísel R. Abychom nakreslili dobře průběh funkce (její graf) musíme

Více

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 2. prosince 2014 Předmluva

Více

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y = 0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika AA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika AA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika AA0 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2005 () Jsou dány matice A = AB BA. [ AB BA

Více

13. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET

13. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET . DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET Dovednosti: Chápat pojem limita funkce v bodě a ovládat výpočet jednoduchých limit.. Na základě daného grafu funkce umět odhadnout limity v nevlastních bodech a nevlastní

Více

a r Co je to r-tá mocnina čísla a, za jakých podmínek má smysl, jsme důkladně probrali v kurzu ČÍSELNÉ MNOŽINY. Tam jsme si mj.

a r Co je to r-tá mocnina čísla a, za jakých podmínek má smysl, jsme důkladně probrali v kurzu ČÍSELNÉ MNOŽINY. Tam jsme si mj. @121 12. Mocninné funkce a r Co je to r-tá mocnina čísla a, za jakých podmínek má smysl, jsme důkladně probrali v kurzu ČÍSELNÉ MNOŽINY. Tam jsme si mj. řekli: 1. Je-li exponent r přirozené číslo, může

Více

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10.

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10. MA. cvičení průběh funkce Lukáš Pospíšil,202 Průběh funkce Pod úkolem vyšetřete průběh funkce budeme rozumět nalezení všech kvalitativních vlastností zadané funkce - tedy bude potřeba zjistit o funkci

Více

Matematická analýza pro informatiky I.

Matematická analýza pro informatiky I. Matematická analýza pro informatiky I. 2. přednáška Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 17. února 2010 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz

Více

CVIČENÍ Z MATEMATIKY I

CVIČENÍ Z MATEMATIKY I Slezská univerzita v Opavě Filozoficko-přírodovědecká fakulta Ústav fyziky CVIČENÍ Z MATEMATIKY I Sbírka příkladů Andrea Kotrlová Opava Obsah Příklady k opakování středoškolské látky. Úprava algebraických

Více

Funkce. b) D =N a H je množina všech kladných celých čísel,

Funkce. b) D =N a H je množina všech kladných celých čísel, Funkce ) Napište funkční předpisy a najděte definiční obory funkcí f pro které platí: f ( ) je povrch krychle o straně b) f ( ) je objem kvádru s čtvercovou podstavou o straně a povrchem rovným c) f (

Více

Organizace. Zápočet: test týden semestru (pátek) bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část

Organizace. Zápočet: test týden semestru (pátek) bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část Matematika I 1/15 2/15 Organizace Zápočet: test 6. + 11. týden semestru (pátek) 80 bodů 50 79 bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část www.vscht.cz/mat Výuka www.vscht.cz/mat/jana.nemcova

Více