POROVNÁNÍ NUMERICKÝCH METOD PRO ANALÝZU NEJISTOT
|
|
- Otakar Havlíček
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ POROVNÁNÍ NUMERICKÝCH METOD PRO ANALÝZU NEJISTOT Autorka: ELIŠKA JANOUCHOVÁ Vedoucí práce: Ing. ANIČKA KUČEROVÁ, Ph.D. 25. dubna 23
2 Abstrakt Značný vývoj efektivních metod pro stochastické modelování umožnil propagaci nejistot u složitých modelů. Cílem této soutěžní práce je shrnout a porovnat několik přístupů využívaných pro analýzu nejistot jako je polynomiální regrese založená na metodě Latin hypercube sampling, stochastická kolokační metoda nebo stochastická Galerkinova metoda. Výhody a nevýhody těchto metod jsou demonstrovány v porovnání s tradiční metodou Monte Carlo na jednoduchém ilustrativním příkladu rámové konstrukce. Abstract An extensive development of efficient methods for stochastic modeling enabled uncertainty propagation through complex models. The aim of this competitive work is to review and compare several approaches for uncertainty analysis such as polynomial regression based on Latin hypercube sampling, stochastic collocation method or stochastic Galerkin method. The advantages and disadvantages of these methods are demonstrated within the comparison with the traditional Monte Carlo method on a simple illustrative example of a frame structure. Klíčová slova propagace nejistot, stochastické modelování, polynomiální regrese, stochastická kolokace, stochastická Galerkinova metoda, metoda Monte Carlo Keywords uncertainty propagation, stochastic modeling, polynomial regression, stochastic collocation,stochastic Galerkin method, Monte Carlo method
3 Úvod Vzhledem k životnosti staveb se musí zohlednit mnoho důležitých faktorů. Náležitá analýza spolehlivosti vyžaduje určit nejistoty, které se týkají jak podmínek okolního prostředí, tak materiálových vlastností. Vývoj nových technologií a s ním spjaté zvyšování výkonu výpočetní techniky umožnily aplikovat nedávno vyvinuté postupy v oblasti stochastické mechaniky na reálné inženýrské problémy. Metody vyhodnocující nejistoty mohou být rozděleny do dvou skupin: i metody analýzy spolehlivosti, jako je spolehlivostní analýza prvního či druhého řádu (FORM/SORM z angl. first (second) order reliability method) určující pravděpodobnost poruchy na základě mezních stavů (Ditlevsen, 996), ii metody zaměřené na vyhodnocování vyšších statistických momentů odezvy konstrukce jako je stochastická metoda konečných prvků (SFEM - z ang. stochastic finite element methods), o níž pojednávají práce (Matthies, 27; Stefanou, 29). SFEM je výkonný nástroj ve výpočetní stochastické mechanice rozšířující klasickou metodu konečných prvků (FEM) do stochastického systému obsahujícího konečné prvky, jejichž vlastnosti jsou náhodné (Ghanem, 99). Tato práce se zaměřuje na SFEM založený na polynomiálním chaosu (PCE - z angl. polynomial chaos expansion) použitém pro aproximaci odezvy modelu ve stochastickém prostoru. Po získání aproximace může být nejistota odezvy modelu spočtena pomocí metody Markov chain Monte Carlo využité pro vzorkování parametrů modelu a vyhodnocení PCE místo plného numerického modelu. Účinnost této metody závisí na výpočetních požadavcích sestavení PCE a z nich vyplývající přesnosti aproximace. Existuje několik přístupů pro vytvoření aproximace odezvy modelu pomocí PCE: lineární regrese (Blatman a Sudret, 2), stochastická kolokační metoda (Babuska et al., 27; Xiu, 29) a stochastická Galerkinova metoda (Babuska et al., 24; Matthies a Keese, 25). Dále jsou popsány základní rozdíly mezi jednotlivými metodami. Lineární regrese se sestavuje pomocí sady simulací provedé na základě návrhu experimentů, který se obvykle získává pomocí metody Latin hypercube sampling. Koeficienty PCE se poté obdrží regresí výstupů modelu v návrhových bodech, která vede na řešení soustavy rovnic. Další dvě metody jsou obě deterministické. Stochastická kolokace používá sadu simulací modelu provedenou pro řídkou mřížku (z angl. sparse grid), jež se sestaví pro zvolenou úroveň přesnosti. Výpočet koeficientů PCE je pak založen na explicitním vzorci. Stochastická Galerkinova metoda se především odlišuje od předchozích dvou tím, že vyžaduje modifikaci samotného numerického modelu. Další její nevýhodou je řešení velké soustavy rovnic pro získání koeficientů PCE. Cílem této práce je porovnat tyto metody z hlediska výpočetní náročnosti a výsledné přesnosti na jednoduchém ilustrativním příkladu rámové konstrukce. 2
4 2 Motivace Pro prozkoumání vlastností popsaných metod na inženýrské konstrukci byla vybrána jednoduchá rámová konstrukce převzatá z (Marek et al., 23). Geometrie, rozmístění zatížení a podpor rámu jsou patrné z Obrázku. F ϕ HEB ϕ HEB D D A A u D u A B 2 w A 3. m q 3 HEB 2 C 3. m 2.5 m 2.5 m Obrázek : Schéma rámové konstrukce. Geometrické parametry jednotlivých nosníků jsou považovány za nejisté. Jejich hodnota se stanoví pomocí nominální hodnoty a nejisté odchylky definované předepsaným histogramem uvedeným v (Marek et al., 23) a zobrazeným na Obrázku 2. Všechny nominální hodnoty, odpovídající náhodné proměnné a typy histogramů jsou uvedeny v Tabulce. Geometrický parametr Nominální hodnota Proměnná Histogram Moment setrvačnosti I = cm 4 I σ N-5 Moment setrvačnosti I 2 = cm 4 I σ2 N-5 Moment setrvačnosti I 3 = cm 4 I σ3 N-5 Délka l = 3 m l σ N- Délka l 2 = 5 m l σ N- Délka l 3 = 4 m l σ N- Tabulka : Geometrické parametry a odchylky. Předepsaná zatížení jsou lineární kombinací vlastní tíhy, stálého a krátkodobého zatížení dle následujících vzorců: q = D D σ + S S σ + L L σ [kn/m], () F = D 2 D σ2 + S 2 S σ2 + L 2 L σ2 [kn], (2) kde jednotlivá zatížení jsou statisticky nezávislá a jsou popsána náhodnými proměnnými. Všechna zatížení jsou tvořena extrémními hodnotami a proměnnými odchylkami definovanými pomocí histogramů uvedených v Tabulce 2 a znázorněných na Obrázku 2. 3
5 Zatížení Extrémní hodnota Proměnná Histogram Vlastní tíha D = kn/m D σ DEAD2 Krátkodobé zatížení S = 9 kn/m S σ SHORT Dlouhodobé zatížení L = 5.5 kn/m L σ LONG Vlastní tíha D 2 = 3.5 kn D σ2 DEAD2 Krátkodobé zatížení S 2 = 2.2 kn S σ2 SHORT Dlouhodobé zatížení L 2 =.7 kn L σ2 LONG Tabulka 2: Zatížení a odchylky N- N-5 DEAD2 LONG SHORT Obrázek 2: Histogramy nejistých parametrů a odpovídající kumulativní distribuční funkce. Narozdíl od příkladu uvedeném v (Marek et al., 23), se tato práce zaměřuje na výpočet přetvoření ve styčníku A. Jelikož je předpokládáno lineárně elastické chování konstrukce, může být neznámé přetvoření r spočteno metodou konečných prvků nebo deformační metodou, které jsou obě velmi dobře známé. Použitím druhé z nich lze přímo zapsat diskretizovanou formu rovnic rovnováhy: Kr = f, (3) které po zavedení okrajových podmínek mají následujicí podobu: A I σ 2l A I σ 2l I I σ I 3l I σ I I σ 2l 2 lσ 6l A I σ A 2l I σ 2l + A 2I σ2 2l 2 + I 3I σ3 I 3 I σ3 l3 3l2 σ 2l3 2lσ I I σ I I σ + I 2I σ2 + A 3I σ3 I I σ 2l 2lσ l 3l2 σ l2 3l2 σ 2l 3 2l 2lσ I I σ I 3 I σ3 I I σ I 2I σ2 I I σ 6l 2l3 2lσ 2l 2lσ 2l2 2lσ 3l + I 2I σ2 3l 2 u D ϕ D 2E l σ u A w A = (D D σ +S S σ +L L σ ))l 3 l σ 2 D 2 D σ2 +S 2 S σ2 +L 2 L σ2 2 ϕ A (D 2D σ2 +S 2 S σ2 +L 2 L σ2 )l 2 l σ + (D D σ +S S σ +L L σ )(l 3 l σ) I 2I σ2 2l 2 2 lσ + I 3I σ3 3l 3. (4) 4
6 3 Polynomiální chaos Pro urychlení procesu vzorkování při analýze nejistot může být vyhodnocování numerického modelu zahrnující řešení rovnice (3) nahrazeno vyhodnocováním tzv. náhradního modelu (z angl. surrogate model). V této práci se konkrétně jedná o hledání aproximace odezvy modelu r pomocí rozvoje polynomiálního chaosu (PCE) (Matthies, 27; Stefanou, 29). PCE může být použit pro aproximaci odezvy s ohledem na pravděpodobnostní rozdělení náhodných proměnných, kdy je aproximace odezvy vážená vzhledem k rozdělení pravděpodobnosti proměnných. Pro lepší představu to například znamená, že aproximace je přesnější v oblastech s vyšší pravděpodobností výskytu proměnné. Konvergence chyby aproximace s rostoucím počtem členů polynomu je optimální v případě užití takového typu ortogonálních polynomů, který odpovídá danému pravděpodobnostnímu rozdělení uvažovaných proměnných (Xiu a Karniadakis, 22). Kupříkladu Hermiteovy polynomy jsou určeny pro normální (Gaussovo) rozdělení, Legendreovy polynomy pro rovnoměrné rozdělění pravděpodobnosti atd. Seznam všech náhodných proměnných, které se vyskytují v příkladu řešeném v této práci a představeném v předchozí kapitole, je uveden v Tabulkách a 2. Pro zjednodušení budou jednotlivé proměnné v následujícím textu označovány jako m i a dohromady tvoří vektor m = (..., m i,... ) T = (I σ, I σ2, I σ3, l σ, D σ, S σ, L σ, D σ2, S σ2, L σ2 ) T. (5) Vzhledem k tomu, že žádná z těchto proměnných nemá spojitou funkci hustoty pravděpodobnosti (PDF - z angl. probability density function), ale jejich rozdělení je popsáno pomocí diskrétních histogramů, je nutné zavést nové standardní náhodné proměnné ξ = (..., ξ i,... ) T se spojitou PDF. Původní proměnné m i lze vyjádřit pomocí transformačních funkcí t jk nových proměnných ξ i vycházejících z daného histogramu j a typu k rozdělení proměnné ξ i, tzn. m i = t jk (ξ i ). (6) Transformační funkce nejsou v případě diskrétních histogramů hladké. Konkrétní příklady transformačních funkcí budou rozebrány v kapitole 4. Ve chvíli, kdy jsou původní proměnné m vyjádřeny funkcemi standardních proměnných ξ, stává se i odezva modelu funkcí těchto nových proměnných. Proto může být tato funkce aproximována pomocí konkrétního typu PCE odpovícího danému pravděpodobnostního rozdělení ξ, tzn. r(ξ) = β α ψ α (ξ), (7) α kde β α je vektor polynomiálních koeficientů β α,i odpovídajících jednotlivým složkám odezvy r i. ψ α (ξ) jsou polynomy více proměnných. Polynomiální rozvoj (7) je obvykle ukončen na limitním počtu členů n β, který je velmi často spjat s počtem náhodných proměnných n ξ a nejvyšším stupněm polynomů n p podle vztahu n β = (n p + n ξ )!. (8) n p!n ξ! 5
7 3. Lineární regrese Základní metodou pro výpočet koeficientů PCE podle rovnice (7) je velmi známá lineární regrese (Blatman a Sudret, 2). Základním předpokladem lineární regrese je, že náhradní r je lineární kombinací parametrů β, ale nemusí být lineární vůči nezávislým proměnným ξ. Použití metody je založeno na třech následujících krocích: i příprava dat Ξ R n ξ n d, které se získají jako nd vzorků vektoru parametrů ξ i, ii vyhodnocení modelu pro vzorky ξ i a uspořádání získaných odezev r i do matice R R nr n d, kde nr je počet složek odezvy, iii výpočet polynomiálních koeficientů β α uspořádaných v matici B R nr n β např. obyčejné metody nejmenších čtverců. použitím Časově nejnáročnější část této metody spočívá ve vyhodnocení modelu pro vzorky náhodných proměnných. Proto představuje volba těchto vzorků velmi důležitý krok, který zásadně ovlivňuje výpočetní náročnost celé metody. Nejjednodušší způsob jak vybrat hledané vzorky je metoda Monte Carlo, kdy se vzorky náhodně vybírají z předepsaného pravděpodobnostního rozdělení. Ovšem přesnost výsledného náhradního modelu závisí na pokrytí definičního oboru proměnných, proto musí být pro dosažení dostatečné přesnosti touto metodou zvoleno mnohem větší množství vzorků než v případě sofistikovanějších metod. Výběr vzorků se poté nazývá návrh experimentů (DOE - z angl. design of experiments). Velmi rozšířený postup pro tvorbu DOE je metoda Latin hypercube sampling (), která umožňuje dodržovat předepsaná pravděpodobnostní rozdělení. Existuje také mnoho různých metod, jak lze optimalizovat a tím ještě zvyšovat jeho kvalitu (viz např. (Janouchová a Kučerová, 23)), ale to není předmětem současného zkoumání, a proto byla pro tuto práci zvolena základní forma bez jakékoliv optimalizace. Po zvolení sady vzorků je dalším krokem výpočet příslušných odezev r i, který zahrnuje nejprve vyhodnocení transformací (6) a následně vyhodnocení samotného modelu (3). Výpočet koeficientů PCE B začíná vyhodnocením všech členů polynomu ψ α pro všechny vzorky ξ i a jejich uložením do matice Z R n d n β. Obyčejná metoda nejmenších čtverců poté vede na Z T ZB T = Z T R T, (9) což je soustava n β lineárních rovnic. 3.2 Stochastická kolokace Stochastická kolokační metoda je založena na explicitním vyjádření koeficientů PCE: β α,i = r i (ξ)ψ α (ξ) dp(ξ), () které může být řešeno numericky použitím příslušného integračního pravidla (kvadratury) na R n ξ. Rovnice () má pak tvar n d β α,i = r i (ξ j )ψ α (ξ j )w j, () j= 6
8 kde ξ j představuje integrační bod a w j je odpovídající váha. V této práci bylo použito několik forem Smolyakových kvadraturních vzorců, konkrétně kvadratury s Gaussovými kvadraturními formulemi jako základ pro rovnoměrné (GQU) a normální () rozdělení a kvadratury s vnořenými Kronrod-Pattersonovými kvadraturními formulemi pro rovnoměrné (KPU) a normální () rozdělení (Heiss a Winschel (28)). Stochastická kolokační metoda je očividně podobná lieární regresi, protože obě tyto metody vyžadují časově náročné vyhodnocení sady simulací modelu pro vybrané vzorky. Základní rozdíl je při volbě sady vzorků, kdy se v případě stochastické kolokace používají předem optimalizované řídkě mřížky (z angl. sparse grids), zatímco lineární regrese je založena na stochastickém. 3.3 Stochastická Galerkinova metoda Stochastická Galerkinova metoda se principiálně liší od předchozích metod, které jsou založeny na sadě nezávislých simulací modelu. Stochastická Galerkinova metoda je intruzivní metoda, tzn. vyžaduje přeformulování základních rovnic modelu (3). Za tímto účelem se převede rovnice (7) do následujícího tvaru v maticovém zápisu r(ξ) = (I ψ(ξ))β, (2) kde I R nr nr je jednotková matice, je Kroneckerův součin, ψ(ξ) je n β -dimensionální vektor polynomů a β je (n β n r )-dimensionální vektor koeficientů PCE uspořádáných jako β = (..., β i,... ) T, kde β i se skládá z koeficientů PCE odpovídajících i-té složce odezvy. Náhradou odezvy modelu r v rovnici (3) její polynomiální aproximací r uvedenou v rovnici (2) a aplikováním Galerkinových podmínek se získá ψ(ξ) K(ξ) ψ T (ξ) dp(ξ) β = ψ(ξ) f(ξ) dp(ξ), (3) což je soustava (n β n r ) lineárních rovnic. Integrace může být provedena numericky nebo analyticky. Analytické řešení je možné za určitých podmínek jako například, pokud jsou všechny členy v matici tuhosti a vektoru zatížení polynomy vzhledem ke ξ. V tomto případě se metoda nazývá plně intruzivní. V řešeném příkladu lze základní rovnici (4) vynásobit l 3 σ, a tak získat polynomy parametrů modelu m. Nejedná se ale o polynomy vzhledem k parametrům ξ kvůli transformacím (6) způsobeným diskrétní povahou histogramů předepsaných parametrům modelu m. Z tohoto důvodu je v takovém případě nutné přistoupit k numerické integraci, metoda se poté nazývá semi-intruzivní. 7
9 4 Výsledky Výstupem této práce je porovnání popsaných metod pro aproximaci odezvy modelu a urychlení metody Monte Carlo () použité pro vyhodnocení rozdělení pravděpodobnosti posunů u A, w A a pootočení ϕ A. 4. Hermiteovy polynomy Nejprve jsou ξ uvažovány jako standardní normální proměnné, a proto se použijí pro tvorbu náhradního modelu Hermiteovy polynomy. Výsledky náhradních modelů jsou porovnány s referenčním odhadem průměru µ a směrodatné odchylky σ jednotlivých složek odezvy obdrženým pomocí metody s 7 simulacemi modelu. Tabulka 3 obsahuje potřebný výpočetní čas a relativní chyby v odhadech stanovených lineární regresí a stochastickou kolokační metodou pro čtyři stupně polynomu p. Relativní chyby v odhadech průměru jsou stanoveny jako ε µ = µ PCE µ µ, (4) kde µ je průměr odhadnutý pomocí metody a µ PCE je průměr získaný na základě vybraného náhradního modelu. Relativní chyby v odhadech směrodatné odchylky se stanoví stejným způsobem. Metoda n d p Čas [s] w A [mm] ϕ A [mrad] µ σ µ σ µ σ ε µ [%] ε σ [%] ε µ [%] ε σ [%] ε µ [%] ε σ [%] Tabulka 3: Časová náročnost a chyby v odhadech průměru a směrodatné odchylky odezvy pro případ předepsaných histogramů pro parametry modelu m. Výsledky ukazují velmi dobré odhady získané lineární regresí, zatímco stochastická kolokace založená na pravidlech vede ke značným chybám v odhadu směrodatných odchylek a se zdá, že dokonce diverguje. Z Obrázku 3, kde jsou zobrazeny obdržené funkce pravděpodobnostního rozdělení posunu u A, je patrné, že i výsledky lineární regrese nejsou uspokojivé. 8
10 p = p = 2 p = 3 p = 4 Obrázek 3: Funkce pravděpodobnostního rozdělení posunu u A pro případ předepsaných histogramů pro parametry modelu m. Důvodem takto neuspokojivých výsledků je pravděpodobně vysoká nelinearita transformace (6) parametrů s předepsanými histogramy LONG a SHORT, jak je vidět z Obrázku 4. Normální Normální Normální Normální Normální mi mi mi mi mi ξ i ξ i ξ i N- N-5 DEAD2 LONG SHORT Obrázek 4: Transformační vztahy pro předepsané histogramy. Za účelem prozkoumání těchto předpokladů se nahradily tyto dva předepsané histogramy dvěma novými histogramy, které se více blíží normálnímu rozdělení pravděpodobnosti, viz Obrázek 5. Pro tuto variantu získané nové chyby v odhadech průměrů a směrodatných odchylek jsou uvedeny v Tabulce 4. ξ i ξ i Normální.4 Normální mi mi.5.5 ξ i ξ i LONGnew.4 SHORTnew Obrázek 5: Nové histogramy parametrů modelu s odpovídajícími funkcemi hustoty pravděpodobnosti a transformačními vztahy. Je zřetelné, že nahrazení těchto dvou histogramů vede ke značnému zlepšení výsledků obdržených všemi metodami. Dále si lze všimnout, že výsledky kolokace založené na podmínkách jsou celkově nejhorší a také nadále přetrvávají problémy s konvergencí u této metody. Na druhou stranu nejhorší odhady při použití polynomů prvního stupně předvádí lineární regrese, ale chyba této metody rychle konverguje s rostoucím stupněm polynomů. 9
11 Metoda n d p Čas [s] w A [mm] ϕ A [mrad] µ σ µ σ µ σ ε µ [%] ε σ [%] ε µ [%] ε σ [%] ε µ [%] ε σ [%] Tabulka 4: Časová náročnost a chyby v odhadech průměru a směrodatné odchylky odezvy pro případ nových histogramů pro parametry modelu m. Stejné zlepšení lze pozorovat také v odhadech celé funkce pravděpodobnostního rozdělení posunu u A zachycené na Obrázku 6. p = p = 2 p = 3 p = 4 Obrázek 6: Funkce pravděpodobnostního rozdělení posunu u A pro případ nových histogramů pro parametry modelu m. Aby se také prozkoumalo chování plně intruzivní Galerkinovy metody, bylo nutné znovu změnit předepsaná rozdělení parametrů modelu. Tentokrát jsou všechny proměnné považovány za normálně rozdělené s původními hodnotami průměru a směrodatné odchylky vycházejícími z předepsaných histogramů. V tomto případě se transformace (6) stává polynomem prvního stupně, což umožňuje použití analytické integrace. Obrázek 7 ukazuje funkční závislost posunu u A pro popsané typy pravděpodobnostního rozdělení předepsaného parametrům modelu. Na Obrázku 7a je vidět, že vztah mezi u A a parametry modelu m je lineární, zatímco v případě předepsaných histogramů je vztah ke standardním proměnným ξ vysoce nelineární, viz Obrázek 7b. Náhrada dvou histogramů LONG a SHORT novými, více podobnými normálnímu rozdělení vede k téměř lineárnímu u A ξ vztahu, a to zvlášt v oblasti vysoké pravděpodobnosti výskytu proměnných, jak je patrné z Obrázku 7c. Poslední Obrázek 7d zobrazuje případ, kde je parametrům modelu předepsáno normální rozdělení a vztah u A ξ je lineární.
12 ua[mm] ua[mm] ua[mm] ua[mm] m i [-] ξ i [-] ξ i [-] ξ i [-] (a) (b) (c) (d) l σ I σ I σ2 I σ3 D σ S σ L σ D σ2 S σ2 L σ2 Obrázek 7: Funkční závislost u A na parametrech modelu m (a), na standardních proměnných ξ v případě předepsaných histogramů (b), nových histogramů (c) a normálního rozdělení (d). Chyby v odhadu průměru, směrodatné odchylky a celé PDF jsou ukázány v Tabulce 5 a na Obrázku 8 zahrnující výsledky obdržené plně intruzivní stochastickou Galerkinovou metodou. Metoda n d p Čas [s] w A [mm] ϕ A [mrad] µ σ µ σ µ σ ε µ [%] ε σ [%] ε µ [%] ε σ [%] ε µ [%] ε σ [%] GM Tabulka 5: Časová náročnost a chyby v odhadech průměru a směrodatné odchylky odezvy pro případ normálního rozdělení parametrů modelu m. p = p = 2 p = 3 p = 4 GM GM GM GM Obrázek 8: Funkce pravděpodobnostního rozdělení posunu u A pro případ normálního rozdělení parametrů modelu m.
13 Výsledky potvrzují, že vztah u A ξ je v tomto případě lineární, a proto jsou polynomy prvního stupně dostatečné pro vynikající náhradní modely. Rozdíly mezi jednotlivými metodami jsou nyní zanedbatelné z hlediska přesnosti i časové náročnosti. 4.2 Legendreovy polynomy Se záměrem doplnit porovnání různých metod pro proměnné s normálním rozdělením byla dále zařazena varianta s použitím rovnoměrně rozdělených standardních proměnných ξ. Proměnné s tímto rozdělením se pojí s náhradními modely založenými na Legendreových polynomech. Jsou opět vyzkoušeny dvě situace, první s předepsanými histogramy a druhá s předepsaným rovnoměrným rozdělením. Výsledky jsou uvedeny v Tabulce 6 a na Obrázku 9 a ukazují celkově horší chování náhradních modelů sestavených na Legendreových polynomech. Histogramy Metoda n d p Čas [s] w A [mm] ϕ A [mrad] µ σ µ σ µ σ ε µ [%] ε σ [%] ε µ [%] ε σ [%] ε µ [%] ε σ [%] ε µ [%] ε σ [%] ε µ [%] ε σ [%] ε µ [%] ε σ [%] Tabulka 6: Časová náročnost a chyby v odhadech průměru a směrodatné odchylky odezvy pro náhradní modely založené na Legendreových polynomech. p= p= 2 p= 3 Histogramy Obrázek 9: Funkce pravděpodobnostního rozdělení posunu u A obdržené použitím náhradních modelů založených na Legendreových polynomech. 2
14 5 Závěr Tato práce představuje přehled a porovnání třech metod pro konstrukci náhradního modelu založeného na polynomiálním chaosu a nahrazujícího numerický model s náhodnými parametry. Konkrétně zkoumané metody jsou stochastiská Galerkinova metoda, stochastická kolokační metoda a polynomiální regrese zakládající se na metodě Latin hypercube sampling. V práci jsou probrány specifické rysy těchto metod. Pro získání kvalitního náhradního modelu je nutné použít pro jeho tvorbu ortogonální polynomy typu odpovídajícího předepsanému rozdělení pravděpodobnosti parametrů. V této práci byly použity Hermiteovy polynomy pro normální rozdělení a Legrendeovy polynomy pro rovnoměrné rozdělení parametrů. Kvalita obdržených náhradních modelů je demonstrována z hlediska přesnosti i časové náročnosti na jednoduchém ilustrativním příkladu rámové konstrukce v porovnání s tradiční metodou Monte Carlo. U aproximace pomocí Hermiteových polynomů se s dobrými výsledky osvědčila lineární regrese, zatímco stochastická kolokační metoda měla problémy s konvergencí. Stochastická Galerkinova metoda byla aplikována ve své plně intruzivní formě pro variantu normálně rozdělených parametrů modelu. Její výsledky byly dobré, ale je nutno zmínit, že tato metoda je z hlediska aplikace náročnější, protože vyžaduje přeformulování samotného modelu. Pro rovnoměrně rozdělené parametry byly náhradní modely vytvořeny pouze pomocí lieární regrese a ty nebyly příliš úspěšné v odhadech rozdělení pravděpodobnosti odezvy. Z hlediska časové náročnosti jsou jednotlivé metody srovnatelné a ve srovnání s metodou Monte Carlo jsou méně časově náročné. 3
15 6 Poděkování Tato práce vznikla za finanční podpory Grantové agentury České republiky v rámci projektu číslo 5//4 a 5/2/46 a Studentské grantové soutěže ČVUT č. SGS OHK-42/3. 7 Reference Babuska, I. & Tempone, R. & Zouraris, G. E. 24: Galerkin Finite Element Approximations of Stochastic Elliptic Partial Differential Equations. SIAM Journal on Numerical Analysis 42(2), Babuska, I. & Nobile F. & Tempone, R. 27: A Stochastic Collocation Method for Elliptic Partial Differential Equations with Random Input Data. SIAM Journal on Numerical Analysis 45(3), Blatman, G. & Sudret, B. 2: An adaptive algorithm to build up sparse polynomial chaos expansions for stochastic finite element analysis Probabilistic Engineering Mechanics 25(2), Ditlevsen, O. & Madsen, H. O. 996: Structural Reliability Methods, John Wiley & Sons Ltd, Chichester, England. Ghanem, R. G. & Spanos, P. D. 99 Stochastic finite elements: A spectral approach, Springer- Verlag New York, Inc. Heiss, F. & Winschel, V. 28: Likelihood approximation by numerical integration on sparse grids. Journal of Econometrics 44(), Janouchová, E. & Kučerová, A. 23: Competitive Comparison of Optimal Designs of Experiments for Sampling-based Sensitivity Analysis. Accepted for publication in Computers & Structures, eprint: arxiv: Marek, P. & Brozzetti, J. & Guštar, M. & Tikalsky, P. editors. 23 : Probabilistic assessment of structures using Monte Carlo simulation, Institute of Theoretical and Applied Mechanics, Academy of Sciences of the Czech Republic, Prague, second edition. Matthies, H. G. & Keese, A. 25: Galerkin methods for linear and nonlinear elliptic stochastic partial differential equations. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 94(2 6), Matthies, H. G. 27: Uncertainty quantification with stochastic finite elements. In Erwin Stein, René de Borst, and Thomas J. R. Hughes, editors, Encyclopaedia of Computational Mechanics. John Wiley & Sons, Chichester. Stefanou, G. 29: The stochastic finite element method: Past, present and future. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 98(9 2), 3 5. Xiu, D. & Karniadakis, G. E. 22: The Wiener Askey Polynomial Chaos for Stochastic Differential Equations. SIAM Journal on Scientific Computing 24(2), Xiu, D. 29: Fast Numerical Methods for Stochastic Computations: A Review. Communications in Computational Physics 5(2 4),
Bayesian identification of computational model parameters
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta stavební Katedra mechaniky Bayesovská identifikace parametrů výpočetních modelů Bayesian identification of computational model parameters Diplomová práce Studijní
VíceVYUŽITÍ PRAVDĚPODOBNOSTNÍ METODY MONTE CARLO V SOUDNÍM INŽENÝRSTVÍ
VYUŽITÍ PRAVDĚPODOBNOSTNÍ METODY MONTE CARLO V SOUDNÍM INŽENÝRSTVÍ Michal Kořenář 1 Abstrakt Rozvoj výpočetní techniky v poslední době umožnil také rozvoj výpočetních metod, které nejsou založeny na bázi
VíceTéma 1: Spolehlivost a bezpečnost stavebních nosných konstrukcí
Téma 1: Spolehlivost a bezpečnost stavebních nosných konstrukcí Přednáška z předmětu: Spolehlivost a bezpečnost staveb 4. ročník bakalářského studia Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební Vysoká škola
VíceSTANOVENÍ SPOLEHLIVOSTI GEOTECHNICKÝCH KONSTRUKCÍ. J. Pruška, T. Parák
STANOVENÍ SPOLEHLIVOSTI GEOTECHNICKÝCH KONSTRUKCÍ J. Pruška, T. Parák OBSAH: 1. Co je to spolehlivost, pravděpodobnost poruchy, riziko. 2. Deterministický a pravděpodobnostní přístup k řešení problémů.
VíceSPOLEHLIVOSTNÍ ANALÝZA STAVEBNÍCH KONSTRUKCÍ - APLIKACE
IV. ročník celostátní konference SPOLEHLIVOST KONSTRUKCÍ Téma: Posudek - poruchy - havárie 163 23.až 24.4.2003 Dům techniky Ostrava ISBN 80-02-01551-7 SPOLEHLIVOSTNÍ ANALÝZA STAVEBNÍCH KONSTRUKCÍ - APLIKACE
VícePARAMETRICKÁ STUDIE VÝPOČTU KOMBINACE JEDNOKOMPONENTNÍCH ÚČINKŮ ZATÍŽENÍ
PARAMETRICKÁ STUDIE VÝPOČTU KOMBINACE JEDNOKOMPONENTNÍCH ÚČINKŮ ZATÍŽENÍ Ing. David KUDLÁČEK, Katedra stavební mechaniky, Fakulta stavební, VŠB TUO, Ludvíka Podéště 1875, 708 33 Ostrava Poruba, tel.: 59
VíceTéma 4: Stratifikované a pokročilé simulační metody
0.007 0.006 0.005 0.004 0.003 0.002 0.001 Dlouhodobé nahodilé Std Distribution: Gumbel Min. EV I Mean Requested: 140 Obtained: 141 Std Requested: 75.5 Obtained: 73.2-100 0 100 200 300 Mean Std Téma 4:
VíceTéma 1: Spolehlivost a bezpečnost stavebních nosných konstrukcí
Téma 1: Spolehlivost a bezpečnost stavebních nosných konstrukcí Přednáška z předmětu: Pravděpodobnostní posuzování konstrukcí 4. ročník bakalářského studia Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební Vysoká
VíceCvičení 3. Posudek únosnosti ohýbaného prutu. Software FREET Simulace metodou Monte Carlo Simulace metodou LHS
Spolehlivost a bezpečnost staveb, 4. ročník bakalářského studia (všechny obory) Cvičení 3 Posudek únosnosti ohýbaného prutu Software FREET Simulace metodou Monte Carlo Simulace metodou LHS Katedra stavební
Více1 ÚVOD - PRAVDĚPODOBNOST PORUCHY JAKO NÁHODNÁ VELIČINA
Sborník vědeckých prací Vysoké školy báňské - Technické univerzity Ostrava číslo 1, rok 2009, ročník IX, řada stavební článek č.23 Petr KONEČNÝ 1 VLIV POČTU PROMĚNNÝCH NA PŘESNOST ODHADU PRAVDĚPODOBNOSTI
VíceTéma 3 Metoda LHS, programový systém Atena-Sara-Freet
Spolehlivost a bezpečnost staveb, 4.ročník bakalářského studia Téma 3 Metoda LHS, programový systém Atena-Sara-Freet Parametrická rozdělení Metoda Latin Hypercube Sampling (LHS) aplikovaná v programu Freet
VíceSborník vědeckých prací Vysoké školy báňské - Technické univerzity Ostrava číslo 1, rok 2010, ročník X, řada stavební článek č. 20
Sborník vědeckých prací Vysoké školy báňské - Technické univerzity Ostrava číslo 1, rok 2010, ročník X, řada stavební článek č. 20 Jakub VALIHRACH 1, Petr KONEČNÝ 2 PODMÍNKA UKONČENÍ PRAVDĚPODOBNOSTNÍHO
VíceCvičení 9. Posudek únosnosti ohýbaného prutu metodou LHS v programu FREET. Software FREET Simulace metodou LHS
Pravděpodobnostní posuzování konstrukcí 4. ročník bakalářského studia obor Konstrukce staveb Cvičení 9 Posudek únosnosti ohýbaného prutu metodou LHS v programu FREET Software FREET Simulace metodou LHS
VíceSystém rizikové analýzy při sta4ckém návrhu podzemního díla. Jan Pruška
Systém rizikové analýzy při sta4ckém návrhu podzemního díla Jan Pruška Definice spolehlivos. Spolehlivost = schopnost systému (konstrukce) zachovávat požadované vlastnos4 po celou dobu životnos4 = pravděpodobnost,
VícePOSUDEK PRAVDĚPODOBNOSTI PORUCHY OCELOVÉ NOSNÉ SOUSTAVY S PŘIHLÉDNUTÍM K MONTÁŽNÍM TOLERANCÍM
I. ročník celostátní konference SPOLEHLIVOST ONSTRUCÍ Téma: Rozvoj koncepcí posudku spolehlivosti stavebních konstrukcí 5..000 Dům techniky Ostrava ISBN 80-0-0- POSUDE PRAVDĚPODOBNOSTI PORUCHY OCELOVÉ
VíceKlasická a robustní ortogonální regrese mezi složkami kompozice
Klasická a robustní ortogonální regrese mezi složkami kompozice K. Hrůzová, V. Todorov, K. Hron, P. Filzmoser 13. září 2016 Kompoziční data kladná reálná čísla nesoucí pouze relativní informaci, x = (x
VíceSPOLEHLIVOST KONSTRUKCÍ & TEORIE SPOLEHLIVOSTI část 5: Aproximační techniky
SPOLEHLIVOST KONSTRUKCÍ & TEORIE SPOLEHLIVOSTI část 5: Aproximační techniky Drahomír Novák Jan Eliáš 2012 Spolehlivost konstrukcí, Drahomír Novák & Jan Eliáš 1 část 5 Aproximační techniky 2012 Spolehlivost
Více1 ÚVOD - PRAVDĚPODOBNOST PORUCHY JAKO NÁHODNÁ VELIČINA
Sborník vědeckých prací Vysoké školy báňské - Technické univerzity Ostrava číslo, rok 2008, ročník VIII, řada stavební článek č. 33 Petr KONEČNÝ PŘESNOST ODHADU PRAVDĚPODOBNOSTI PORUCHY Abstrakt Článek
VíceGlobální matice konstrukce
Globální matice konstrukce Z matic tuhosti a hmotnosti jednotlivých prvků lze sestavit globální matici tuhosti a globální matici hmotnosti konstrukce, které se využijí v řešení základní rovnice MKP: [m]{
VíceANALÝZA SPOLEHLIVOSTI STATICKY NEURČITÉHO OCELOVÉHO RÁMU PRAVDĚPODOBNOSTNÍ METODOU SBRA
III. ročník celostátní konference SPOLEHLIVOST KONSTRUKCÍ 51 Téma: Cesty k uplatnění pravděpodobnostního posudku bezpečnosti, provozuschopnosti a trvanlivosti konstrukcí v normativních předpisech a v projekční
VíceChyby měření 210DPSM
Chyby měření 210DPSM Jan Zatloukal Stručný přehled Zdroje a druhy chyb Systematické chyby měření Náhodné chyby měření Spojité a diskrétní náhodné veličiny Normální rozdělení a jeho vlastnosti Odhad parametrů
VíceTeorie náhodných matic aneb tak trochu jiná statistika
Teorie náhodných matic aneb tak trochu jiná statistika B. Vlková 1, M.Berg 2, B. Martínek 3, O. Švec 4, M. Neumann 5 Gymnázium Uničov 1, Gymnázium Václava Hraběte Hořovice 2, Mendelovo gymnázium Opava
VíceRovnovážné modely v teorii portfolia
3. září 2013, Podlesí Obsah Portfolio a jeho charakteristiky Definice portfolia Výnosnost a riziko aktiv Výnosnost a riziko portfolia Klasická teorie portfolia Markowitzův model Tobinův model CAPM - model
Více1 Přesnost metody konečných prvků
1 PŘESNOST METODY KONEČNÝCH PRVKŮ 1 1 Přesnost metody konečných prvků Metoda konečných prvků je založena na diskretizaci původní spojité konstrukce soustavou prvků (nebo obecněji na diskretizaci slabé
VíceNáhradní ohybová tuhost nosníku
Náhradní ohybová tuhost nosníku Autoři: Doc. Ing. Jiří PODEŠVA, Ph.D., Katedra mechaniky, Fakulta strojní, VŠB - Technická univerzita Ostrava, e-mail: jiri.podesva@vsb.cz Anotace: Výpočty ocelových výztuží
Více7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice
7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,
VíceTéma 10: Spolehlivost a bezpečnost stavebních nosných konstrukcí
Téma 10: Spolehlivost a bezpečnost stavebních nosných konstrukcí Přednáška z předmětu: Pravděpodobnostní posuzování konstrukcí 4. ročník bakalářského studia Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební
VíceEva Fišerová a Karel Hron. Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky Přírodovědecká fakulta Univerzity Palackého v Olomouci.
Ortogonální regrese pro 3-složkové kompoziční data využitím lineárních modelů Eva Fišerová a Karel Hron Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky Přírodovědecká fakulta Univerzity Palackého v Olomouci
VíceSPOLEHLIVOST KONSTRUKCÍ & TEORIE SPOLEHLIVOSTI část 8: Normové předpisy
SPOLEHLIVOST KONSTRUKCÍ & TEORIE SPOLEHLIVOSTI část 8: Normové předpisy Drahomír Novák Jan Eliáš 2012 Spolehlivost konstrukcí, Drahomír Novák & Jan Eliáš 1 část 8 Normové předpisy 2012 Spolehlivost konstrukcí,
VíceSYSTÉM SWITCH-EARTH PRO EFEKTIVNÍ MODELOVÁNÍ ZEMĚTŘESENÍ. Abstrakt. 1 Importance Sampling v metodě SBRA
SYSTÉM SWITCH-EARTH PRO EFEKTIVNÍ MODELOVÁNÍ ZEMĚTŘESENÍ V PROSTŘEDÍ SBRA-IMPORTANCE SAMPLING Pavel Praks 1, Leo Václavek, Radim Briš 3 Abstrakt Náhodný charakter účinků zemětřesení je v metodě SBRA vyjádřen
VíceAproximace posuvů [ N ],[G] Pro každý prvek se musí nalézt vztahy
Aproimace posuvů Pro každý prvek se musí nalézt vztahy kde jsou prozatím neznámé transformační matice. Neznámé funkce posuvů se obvykle aproimují ve formě mnohočlenů kartézských souřadnic. Například 1.
VíceStavební fakulta Katedra mechaniky. Jaroslav Kruis, Petr Štemberk
České vysoké učení technické v Praze Stavební fakulta Katedra mechaniky Fuzzy množiny, fuzzy čísla a jejich aplikace v inženýrství Jaroslav Kruis, Petr Štemberk Obsah Nejistoty Teorie pravděpodobnosti
VíceCvičení 8. Posudek spolehlivosti metodou SBRA. Prostý nosník vystavený spojitému zatížení
Pravděpodobnostní posuzování konstrukcí 4. ročník bakalářského studia obor Konstrukce staveb Cvičení 8 Posudek spolehlivosti metodou SBRA Prostý nosník vystavený spojitému zatížení Katedra stavební mechaniky
VíceCvičení 2. Posudek spolehlivosti metodou SBRA. Prostý nosník vystavený spojitému zatížení
Spolehlivost a bezpečnost staveb, 4. ročník bakalářského studia (všechny obory) Cvičení 2 Posudek spolehlivosti metodou SBRA Prostý nosník vystavený spojitému zatížení Katedra stavební mechaniky Fakulta
VíceAnalytické metody v motorsportu
Analytické metody v motorsportu Bronislav Růžička školitel : Doc. Ing. Ivan Mazůrek, CSc. Ústav konstruování Odbor konstruování strojů Fakulta strojního inženýrství Vysoké učení technické v Brně 12.listopadu
VíceModelování a simulace Lukáš Otte
Modelování a simulace 2013 Lukáš Otte Význam, účel a výhody MaS Simulační modely jsou nezbytné pro: oblast vědy a výzkumu (základní i aplikovaný výzkum) analýzy složitých dyn. systémů a tech. procesů oblast
VíceInterpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť
VíceVLIV STATISTICKÉ ZÁVISLOSTI NÁHODNÝCH VELIČIN NA SPOLEHLIVOST KONSTRUKCE
IV. ročník celostátní konference SPOLEHLIVOST KONSTRUKCÍ Téma: Posudek - poruchy - havárie 25 23.až 24.4.2003 Dům techniky Ostrava ISBN 80-02-055-7 VLIV STATISTICKÉ ZÁVISLOSTI NÁHODNÝCH VELIČIN NA SPOLEHLIVOST
VíceTéma 22. Ondřej Nývlt
Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené
VíceOdhad parametrů N(µ, σ 2 )
Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný
VíceOdhad stavu matematického modelu křižovatek
Odhad stavu matematického modelu křižovatek Miroslav Šimandl, Miroslav Flídr a Jindřich Duník Katedra kybernetiky & Výzkumné centrum Data-Algoritmy-Rozhodování Fakulta aplikovaných věd Západočeská univerzita
VíceKombinatorická minimalizace
Kombinatorická minimalizace Cílem je nalézt globální minimum ve velké diskrétní množině, kde může být mnoho lokálních minim. Úloha obchodního cestujícího Cílem je najít nejkratší cestu, která spojuje všechny
VíceSborník vědeckých prací Vysoké školy báňské - Technické univerzity Ostrava číslo 1, rok 2009, ročník IX, řada stavební článek č.4
Sborník vědeckých prací Vysoké školy báňské - Technické univerzity Ostrava číslo 1, rok 2009, ročník IX, řada stavební článek č.4 Kristýna VAVRUŠOVÁ 1, Antonín LOKAJ 2 POŽÁRNÍ ODOLNOST DŘEVĚNÝCH KONSTRUKCÍ
VíceAVDAT Klasický lineární model, metoda nejmenších
AVDAT Klasický lineární model, metoda nejmenších čtverců Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Lineární model y i = β 0 + β 1 x i1 + + β k x ik + ε i (1) kde y i
VíceCvičení 2. Vyjádření náhodně proměnných veličin, Posudek spolehlivosti metodou SBRA, Posudek metodou LHS.
Spolehlivost a bezpečnost staveb 4. ročník bakalářského studia Cvičení 2 Vyjádření náhodně proměnných veličin, Posudek spolehlivosti metodou SBRA, Posudek metodou LHS. Zpracování naměřených dat Tvorba
VícePožadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory
Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory Zkouška ověřuje znalost základních pojmů, porozumění teorii a schopnost aplikovat teorii při
VíceMETODOU SBRA Miloš Rieger 1, Karel Kubečka 2
OHYBOVÁ ÚNOSNOST ŽELEZOBETONOVÉHO MOSTNÍHO PRŮŘEZU METODOU SBRA Miloš Rieger 1, Karel Kubečka 2 Abstrakt The determination of the characteristic value of the plastic bending moment resistance of the roadway
VíceSpolehlivostní a citlivostní analýza vrtule. Západočeská univerzita v Plzni Katedra mechaniky Bc. Lukáš Němec 18. září 2017
Spolehlivostní a citlivostní analýza vrtule Západočeská univerzita v Plzni Katedra mechaniky Bc. Lukáš Němec 8. září 27 Obsah Spolehlivostní a citlivostní analýza vrtule 3. Citlivostní analýza...............................
Více1. Přednáška. Ing. Miroslav Šulai, MBA
N_OFI_2 1. Přednáška Počet pravděpodobnosti Statistický aparát používaný ve financích Ing. Miroslav Šulai, MBA 1 Počet pravděpodobnosti -náhodné veličiny 2 Počet pravděpodobnosti -náhodné veličiny 3 Jevy
VíceTeorie tkaní. Modely vazného bodu. M. Bílek
Teorie tkaní Modely vazného bodu M. Bílek 2016 Základní strukturální jednotkou tkaniny je vazný bod, tj. oblast v okolí jednoho zakřížení osnovní a útkové nitě. Proces tkaní tedy spočívá v tvorbě vazných
VíceSTATISTICAL DESIGN OF EXPERIMENT FOR SOLDER JOINTS QUALITY EVALUATION STATISTICKÉ PLÁNOVÁNÍ EXPERIMENTŮ PRO ÚČELY VYHODNOCOVÁNÍ KVALITY PÁJENÝCH SPOJŮ
STATISTICAL DESIGN OF EXPERIMENT FOR SOLDER JOINTS QUALITY EVALUATION STATISTICKÉ PLÁNOVÁNÍ EXPERIMENTŮ PRO ÚČELY VYHODNOCOVÁNÍ KVALITY PÁJENÝCH SPOJŮ Bc. Radim Havlásek Magisterský studijní program, Fakulta
VíceRovinná úloha v MKP. (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v. prostorové úlohy: u, v, w
Rovinná úloha v MKP Hledané deformační veličiny viz klasická teorie pružnosti (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v desky: w, ϕ x, ϕ y prostorové úlohy: u,
VíceFaculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
1 / 40 regula Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague regula 1 2 3 4 5 regula 6 7 8 2 / 40 2 / 40 regula Iterační pro nelineární e Bud f reálná funkce
VíceU Úvod do modelování a simulace systémů
U Úvod do modelování a simulace systémů Vyšetřování rozsáhlých soustav mnohdy nelze provádět analytickým výpočtem.často je nutné zkoumat chování zařízení v mezních situacích, do kterých se skutečné zařízení
VíceCitlivost kořenů polynomů
Citlivost kořenů polynomů Michal Šmerek Univerzita obrany v Brně, Fakulta ekonomiky a managementu, Katedra ekonometrie Abstrakt Článek se zabývá studiem citlivosti kořenů na malou změnu polynomu. Je všeobecně
VíceVýpočet nejistot metodou Monte carlo
Výpočet nejistot metodou Monte carlo Mgr. Martin Šíra, Ph.D. (ČMI, Brno) červen 2012 Tato prezentace je spolufinancována Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. p. 1 Výpočty nejistot
Vícepřesnost (reprodukovatelnost) správnost (skutečná hodnota)? Skutečná hodnota použití různých metod
přesnost (reprodukovatelnost) správnost (skutečná hodnota)? Skutečná hodnota použití různých metod Měření Pb v polyethylenu 36 různými laboratořemi 0,47 0 ± 0,02 1 µmol.g -1 tj. 97,4 ± 4,3 µg.g -1 Měření
Více2 Hlavní charakteristiky v analýze přežití
2 Hlavní charakteristiky v analýze přežití Předpokládané výstupy z výuky: 1. Student umí definovat funkci přežití, rizikovou funkci a kumulativní rizikovou funkci a zná funkční vazby mezi nimi 2. Student
Více1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.
Prostá regresní a korelační analýza 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Problematika závislosti V podstatě lze rozlišovat mezi závislostí nepodstatnou, čili náhodnou
VíceTestování změn v binárnách autoregresních modelech Šárka Hudecová 1/ 36
Testování změn v binárnách autoregresních modelech Šárka Hudecová KPMS MFF UK ROBUST 2012 Němčičky 9. 14.9.2012 Testování změn v binárnách autoregresních modelech Šárka Hudecová 1/ 36 Uvažovaná situace
VíceMATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST
MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST 1. Úvod. Matematická statistika (statistics) se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného
VícePozn. 1. Při návrhu aproximace bychom měli aproximační funkci vybírat tak, aby vektory ϕ (i) byly lineárně
9. Řešení typických úloh diskrétní metodou nejmenších čtverců. DISKRÉTNÍ METODA NEJMENŠÍCH ČTVERCŮ použití: v případech, kdy je nevhodná interpolace využití: prokládání dat křivkami, řešení přeurčených
Více8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak.
8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) e, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá normované
VíceRNDr. Eva Janoušová doc. RNDr. Ladislav Dušek, Dr.
Analýza dat pro Neurovědy RNDr. Eva Janoušová doc. RNDr. Ladislav Dušek, Dr. Jaro 2014 Institut biostatistiky Janoušová, a analýz Dušek: Analýza dat pro neurovědy Blok 7 Jak hodnotit vztah spojitých proměnných
Více8 Coxův model proporcionálních rizik I
8 Coxův model proporcionálních rizik I Předpokládané výstupy z výuky: 1. Student umí formulovat Coxův model proporcionálních rizik 2. Student rozumí významu regresních koeficientů modelu 3. Student zná
VíceÚvod do problematiky měření
1/18 Lord Kelvin: "Když to, o čem mluvíte, můžete změřit, a vyjádřit to pomocí čísel, něco o tom víte. Ale když to nemůžete vyjádřit číselně, je vaše znalost hubená a nedostatečná. Může to být začátek
VíceRozdíly mezi MKP a MHP, oblasti jejich využití.
Rozdíly mezi, oblasti jejich využití. Obě metody jsou vhodné pro určitou oblast problémů. základě MKP vyžaduje rozdělení těles na vhodný počet prvků, jejichž analýza je poměrně snadná a pro většinu částí
VíceNelineární analýza materiálů a konstrukcí (V-132YNAK) Přednáška 2 Princip metody konečných prvků
Nelineární analýza materiálů a konstrukcí (V-132YNAK) Přednáška 2 Princip metody konečných prvků Petr Kabele petr.kabele@fsv.cvut.cz people.fsv.cvut.cz/~pkabele Petr Kabele, 2007-2014 Obsah Variační principy
VíceVÝPOČET STĚNY METODOU KONEČNÝCH PRVKŮ A POSUDEK SPOLEHLIVOSTI STĚNY METODOU SBRA
VŠB-Technická univerzita Ostrava Fakulta stavební Studentská vědecká odborná činnost školní rok 2005-2006 VÝPOČET STĚNY METODOU KONEČNÝCH PRVKŮ A POSUDEK SPOLEHLIVOSTI STĚNY METODOU SBRA Předkládá student
Více4. Na obrázku je rozdělovací funkce (hustota pravděpodobnosti) náhodné veličiny X. Jakou hodnotu musí mít parametr k?
A 1. Stanovte pravděpodobnost, že náhodná veličina X nabyde hodnoty menší než 6: P( X 6). Veličina X má rozdělení se střední hodnotou 6 a směrodatnou odchylkou 5: N(6,5). a) 0 b) 1/3 c) ½ 2. Je možné,
VíceMgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc.
Náhodné veličiny III Mgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Rudolf Blažek, Roman
Více23.až Dům techniky Ostrava ISBN
IV. ročník celostátní konference SPOLEHLIVOST KONSTRUKCÍ Téma: Posudek - poruchy - havárie 5 23.až 24.4.2003 Dům techniky Ostrava ISBN 80-02-01551-7 REÁLNÉ PEVNOSTNÍ HODNOTY KONSTRUKČNÍCH OCELÍ A ROZMĚROVÉ
VíceX = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní
..08 8cv7.tex 7. cvičení - transformace náhodné veličiny Definice pojmů a základní vzorce Je-li X náhodná veličina a h : R R je měřitelná funkce, pak náhodnou veličinu Y, která je definovaná vztahem X
VíceAplikovaná numerická matematika
Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních
VíceOptimalizace vláknového kompozitu
Optimalizace vláknového kompozitu Bc. Jan Toman Vedoucí práce: doc. Ing. Tomáš Mareš, Ph.D. Abstrakt Optimalizace trubkového profilu z vláknového kompozitu při využití Timošenkovy hypotézy. Hledání optimálního
VíceNavrženy v 60. letech jako experimentální optimalizační metoda. Velice rychlá s dobrou podporou teorie
Evoluční strategie Navrženy v 60. letech jako experimentální optimalizační metoda Založena na reálných číslech Velice rychlá s dobrou podporou teorie Jako první zavedla self-adaptation (úpravu sebe sama)
VíceEKONOMICKÁ APLIKACE KOMPOZIČNÍHO REGRESNÍHO MODELU
EKONOMICKÁ APLIKACE KOMPOZIČNÍHO REGRESNÍHO MODELU Klára Hrůzová 1,2, Karel Hron 1,2 1 Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky, Přírodovědecká fakulta, Univerzita Palackého v Olomouci 2 Katedra
VíceZáklady tvorby výpočtového modelu
Základy tvorby výpočtového modelu Zpracoval: Jaroslav Beran Pracoviště: Technická univerzita v Liberci katedra textilních a jednoúčelových strojů Tento materiál vznikl jako součást projektu In-TECH 2,
VíceČasové řady, typy trendových funkcí a odhady trendů
Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz Stochastický proces Posloupnost náhodných veličin {Y t, t = 0, ±1, ±2 } se nazývá stochastický proces
VíceAPROXIMACE KŘIVEK V MATLABU NEWTONŮV INTERPOLAČNÍ POLYNOM CURVE FITTING IN MATLAB NEWTON INTERPOLATION POLYNOMIAL
APROXIMACE KŘIVEK V MATLABU NEWTONŮV INTERPOLAČNÍ POLYNOM CURVE FITTING IN MATLAB NEWTON INTERPOLATION POLYNOMIAL Jiří Kulička 1 Anotace: Článek se zabývá odvozením, algoritmizací a popisem konstrukce
VíceČasové řady, typy trendových funkcí a odhady trendů
Časové řady, typy trendových funkcí a odhady trendů Jiří Neubauer Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz Jiří Neubauer (Katedra ekonometrie UO Brno) Časové
VíceMartin NESLÁDEK. 14. listopadu 2017
Martin NESLÁDEK Faculty of mechanical engineering, CTU in Prague 14. listopadu 2017 1 / 22 Poznámky k úlohám řešeným MKP Na přesnost simulace pomocí MKP a prostorové rozlišení výsledků má vliv především:
VíceANALÝZA STABILITY SVAHU POMOCÍ RANDOM FINITE ELEMENT METHOD
ANALÝZA STABILITY SVAHU POMOCÍ RANDOM FINITE ELEMENT METHOD Mgr. Radek Suchomel Univerzita Karlova v Praze Mgr. David Mašín, MPhil., PhD. Univerzita Karlova v Praze Slope stability analysis using random
VíceDisperzní chyby B-spline varianty. Ing. Radek Kolman, Ph.D.
Disperzní chyby B-spline varianty metody konečných prvků Ing. Radek Kolman, Ph.D. Ústav termomechaniky AV Praha ČR, v. v. i. SIGA 20 Spliny a IsoGeometrická Analýza 20 9. únor 20 Ústav termomechaniky AV
VíceUNIVERZITA PARDUBICE. 4.4 Aproximace křivek a vyhlazování křivek
UNIVERZITA PARDUBICE Licenční Studium Archimedes Statistické zpracování dat a informatika 4.4 Aproximace křivek a vyhlazování křivek Mgr. Jana Kubátová Endokrinologický ústav V Praze, leden 2012 Obsah
VíceP13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod.
P13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod. Matematický přístup k výsledkům únavových zkoušek Náhodnost výsledků únavových zkoušek. Únavové
VíceFAKULTA STAVEBNÍ. Telefon: WWW:
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STAVEBNÍ ZÁKLADY METODY KONEČNÝCH PRVKŮ Jiří Brožovský Kancelář: LP H 406/3 Telefon: 597 321 321 E-mail: jiri.brozovsky@vsb.cz WWW: http://fast10.vsb.cz/brozovsky/
VíceMetoda backward výběru proměnných v lineární regresi a její vlastnosti
Metoda backward výběru proměnných v lineární regresi a její vlastnosti Aktuárský seminář, 13. dubna 2018 Milan Bašta 1 / 30 1 Metody výběru proměnných do modelu 2 Monte Carlo simulace, backward metoda
VíceSPOLEHLIVOST KONSTRUKCÍ & TEORIE SPOLEHLIVOSTI část 4: FReET úvod
SPOLEHLIVOST KONSTRUKCÍ & TEORIE SPOLEHLIVOSTI část 4: FReET úvod Drahomír Novák Jan Eliáš 2012 Spolehlivost konstrukcí, Drahomír Novák & Jan Eliáš 1 část 4 FReET - úvod 2012 Spolehlivost konstrukcí, Drahomír
VíceFaster Gradient Descent Methods
Faster Gradient Descent Methods Rychlejší gradientní spádové metody Ing. Lukáš Pospíšil, Ing. Martin Menšík Katedra aplikované matematiky, VŠB - Technická univerzita Ostrava 24.1.2012 Ing. Lukáš Pospíšil,
VíceZjednodušená deformační metoda (2):
Stavební mechanika 1SM Přednášky Zjednodušená deformační metoda () Prut s kloubově připojeným koncem (statická kondenzace). Řešení rovinných rámů s posuvnými patry/sloupy. Prut s kloubově připojeným koncem
VíceCharakterizují kvantitativně vlastnosti předmětů a jevů.
Měřicí aparatura 1 / 34 Fyzikální veličiny Charakterizují kvantitativně vlastnosti předmětů a jevů. Můžeme je dělit: Podle rozměrů: Bezrozměrné (index lomu, poměry) S rozměrem fyzikální veličiny velikost
VíceLibor Kasl 1, Alois Materna 2
SROVNÁNÍ VÝPOČETNÍCH MODELŮ DESKY VYZTUŽENÉ TRÁMEM Libor Kasl 1, Alois Materna 2 Abstrakt Příspěvek se zabývá modelováním desky vyztužené trámem. Jsou zde srovnány různé výpočetní modely model s prostorovými
VíceRegresní analýza 1. Regresní analýza
Regresní analýza 1 1 Regresní funkce Regresní analýza Důležitou statistickou úlohou je hledání a zkoumání závislostí proměnných, jejichž hodnoty získáme při realizaci experimentů Vzhledem k jejich náhodnému
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Regresní analýza - motivace Základní úlohou regresní analýzy je nalezení vhodného modelu studované závislosti. Je nutné věnovat velkou pozornost tomu aby byla modelována REÁLNÁ
VíceStatistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup
Statistika Regresní a korelační analýza Úvod do problému Roman Biskup Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Ekonomická fakulta (Zemědělská fakulta) Katedra aplikované matematiky a informatiky 2008/2009
VíceKontraktantní/dilatantní
Kontraktantní/dilatantní plasticita - úhel dilatance směr přírůstku plastické deformace Na základě experimentálního měření dospěl St. Venant k závěru, že směry hlavních napětí jsou totožné se směry přírůstku
VícePOSUDEK POLOTUHÝCH STYČNÍKŮ METODOU SBRA
IV. ročník celostátní konference SPOLEHLIVOST KONSTRUKCÍ Téma: Posudek - poruchy - havárie 119 23.až 24.4.2003 Dům techniky Ostrava ISN 80-02-01551-7 POSUDEK POLOTUHÝCH STYČNÍKŮ METODOU SRA Abstract Vít
VíceSimulace. Simulace dat. Parametry
Simulace Simulace dat Menu: QCExpert Simulace Simulace dat Tento modul je určen pro generování pseudonáhodných dat s danými statistickými vlastnostmi. Nabízí čtyři typy rozdělení: normální, logaritmicko-normální,
VíceOTÁZKY K PROCVIČOVÁNÍ PRUŽNOST A PLASTICITA II - DD6
OTÁZKY K PROCVIČOVÁNÍ PRUŽNOST A PLASTICITA II - DD6 POSUZOVÁNÍ KONSTRUKCÍ PODLE EUROKÓDŮ 1. Jaké mezní stavy rozlišujeme při posuzování konstrukcí podle EN? 2. Jaké problémy řeší mezní stav únosnosti
Více