Nelineární analýza materiálů a konstrukcí (V-132YNAK) Přednáška 2 Princip metody konečných prvků

Transkript

1 Nelineární analýza materiálů a konstrukcí (V-132YNAK) Přednáška 2 Princip metody konečných prvků Petr Kabele petr.kabele@fsv.cvut.cz people.fsv.cvut.cz/~pkabele Petr Kabele,

2 Obsah Variační principy Princip metody konečných prvků Příklad jednoosá napjatost Petr Kabele,

3 Variační principy (vybrané) Uvažujme deformovatelné těleso vystavené působení vnějších objemových sil bv objemu V, vnějších povrchových sil t na části povrchu S t a předepsaným posunům na části povrchu S u. u t b V t S t t b Princip virtuálních prací S u S u Virtuální práce je práce, kterou vykonají všechny vnější síly působící na deformovatelné těleso, je-li tomuto tělesu uděleno malé hypotetické přemístění u, které je v souladu s předepsanými kinematickými vazbami virtuální přemístění. Předpokládáme, že síly zůstávají během virtuálního přemístění konstantní. T T Wvirt bu dv tuds V S t Petr Kabele,

4 Nutná a dostačující podmínka rovnováhy pole napětí : virtuální práce staticky kompatibilních vnějších sil ( tb, ) je rovna virtuální práci sil vnitřních (napětí) pro jakékoliv kinematicky přípustné a kompatibilní pole virtuálního přemístění a deformace (u, ). uε, u: T T T σε tu bu dv ds dv V S V t virt. práce vnitř. sil virt. práce vnějších sil Pozn.: staticky kompatibilní síly mechaniky tuhých těles. tb, - v celkové rovnováze z pohledu Petr Kabele,

5 Princip celkové potenciální energie Definujeme potenciální energii vnějších sil (zatížení): Postulujeme existenci pozitivně definitní hustoty energie deformace : Definujeme energii deformace tělesa: Definujeme celkovou potenciální energii tělesa: Aby těleso bylo v rovnováze, musí být první variace E pot rovna nule: 0 E E E pot int ext Nutnou a dostačující podmínkou, aby bylo těleso v rovnováze je: 1. tb, jsou staticky kompatibilní T T Eext b u dv t u ds V St σ T ε E dv d dv 2. Pole deformace, jehož vztah k poli napětí je určen fyzikálními rovnicemi int elastického materiálu, minimalizuje celkovou potenciální energii E pot vzhledem k všem kinematicky kompatibilním a přípustným polím deformace. V V σ ε E E E pot int ext Petr Kabele,

6 geometrické rovnice statické rovnice Princip metody konečných prvků (MKP) Řídící rovnice pro úlohu elasticity přemístění u b vnější síly εu T σb0 deformace (zobecněná deformace) σdε fyzikální rovnice napětí (zobecněné napětí) Petr Kabele,

7 Úloha s okrajovými podmínkami u T Dub0 silný tvar b uu nσt on S u on S okrajové podmínky t t b t S t t b řešením úlohy s o.p. je/jsou funkce přemístění definované na oblasti úlohy pole, např. u(x, y, z), v(x, y, z), w(x, y, z) MKP nám umožňuje vypočítat přibližné numerické řešení úlohy s okrajovými podmínkami S u S u Petr Kabele,

8 Řešení úlohy s o. p. pomocí MKP uxnxd Oblast řešení se rozdělí na prvky konečné velikosti (diskretizace) Na každém prvku se přemístění aproximuje vhodnými funkcemi (např. lineárními, kvadratickými)... tvarové funkce N(x) Koeficienty těchto funkcí d (obyčejně jejich hodnoty v jistých bodech prvku uzlech) budou primárními neznámými úlohy Petr Kabele,

9 uxnxd ε u Deformace se vyjádří z aproximovaného přemístění pomocí geometrických rovnic Protože pouze tvarové funkce závisí na x, derivace se vztahují pouze na ně a nikoliv na d εx Bxd Petr Kabele,

10 uxnxd ε u Z aproximované deformace se vypočte napětí pomocí fyzikálních rovnic εx Bxd σ Dε σx DBxd Petr Kabele,

11 uxnxd ε Statické rovnice se nepoužijí přímo. Místo nich se podmínky rovnováhy vyjádří pomocí některého z variačních principů (např. principu virtuálních prací, principu u celkové potenciální energie, atd.) bx T σb0 εx Bxd σ Dε σx DBxd Petr Kabele,

12 uxnxd Tím získáme tzv. slabý tvar úlohy bx ε u u, ε u: T T T σ ε dv t uds b udv V S V t εx Bxd σ Dε σx DBxd Petr Kabele,

13 Po dosazení aproximací, získáme diskretizovaný uxnxd slabý tvar bx d : TTT T T dbdbdtndbnd dv ds dv V S V t εx Bxd σ Dε σx DBxd Petr Kabele,

14 matice uxtuhosti Nxd K T konstrukce vektor vnějších uzlových sil f T ext bx d : TTT T T dbdbdtndbnd dv ds dv V S V t εx Bxd σ Dε σx DBxd Petr Kabele,

15 uxnxd Kd f ext bx d : TTT Diskretizovaný slabý tvar Tvede na soustavu T dbdbdtndbnd dv ds dv lineárních algebraických rovnic... jejich V S V primárním řešením jsou t diskrétní uzlové hodnoty d (přemístění) εx Bxd σ Dε σx DBxd Petr Kabele,

16 Příklad 1 jednoosá napjatost Úloha s okrajovými podmínkami y x pro jednoduchost označíme z bx x x bbtt,,, x x x x Petr Kabele,

17 Řídící rovnice dσ x b x = 0 dx du x x dx (1) (2) E x (3) x t okrajové podmínky, např. n 1 x x x ul=u (4) 10 t (5)... silný tvar úlohy s o. p. Petr Kabele,

18 Princip virtuálních prací slabý tvar dv b u dv t u ds V V S t dv Adx L x0 x0 L Adx b u Adx t u A x x t virt. práce vnitř. sil virt. práce vnějších sil... musí být splněno pro libovolné virtuální přemístění a kompatibilní deformaci u, splňující řídící rovnice okrajové podmínky u x = u, u x = 0 u u Petr Kabele,

19 15 MN/m2 Konkrétní zadání úlohy Pomocí MKP určete pole přemístění, deformace a napětí. Uvažujte jednoosou napjatost. 12 MN/m3 bx x 2 m 36 MN/m3 E=konst.=2000 MPa x 0,3 m 0,3 m Petr Kabele,

20 Aproximace pole přemístění Oblast diskretizujeme pomocí 4 prvků: (1)u (2)u (3)u (4)u (5)u x Značení: el.1 el.2 el.3 el.4 (globální č. uzlu) glob. st. volnosti č. prvku č. prvku, st. v. na prvku č. prvku, (uzel prvku) d... stupeň volnosti (např. složka přemístění) Např.: udd d d (2)21,22,1223,T Petr Kabele,

21 Tvarové funkce a prvková matice tvarových funkcí (s... lokální souřadnice prvku) N N N e,1 e,2 s s s 1 l s l s N s, N s e e e,1 e,2 e s 1, le s l e 1.0 N1 N s Aproximace posunů na prvku u s s s de,1 Nesde 1, l l d e e e,2 Petr Kabele,

22 Matice derivací tvarových funkcí B d dx d ds ds dx s N s, N s N s, N s e e,1 e,2 e,1 e,2 d ds s s 1 1 1,, ds dx le l e le l e Aproximace přetvoření na prvku s 1 1 de,1 Besde, l l d e e e,2 Aproximace napětí na prvku 1 1 de,1 s Es EBesde E, l l d e e e,2 Petr Kabele,

23 Princip virtuálních prací L x0 x0 L Adx b u Adx t u A x x t L 4 el dx x0 e 1s0.. ds... integrační oblast je rozdělena na prvky 1d 2d 3d 4d 5d el.1 el.2 el.3 el.4 x Petr Kabele,

24 L x0 x0 L Adx b u Adx t u A x x t 1d 2d 3d 4d 5d el.1 el.2 el.3 el.4 x např. na prvku 1: d1,1 1d d1,2 2d d1,1 1d d1,2 2d u s s s 1 N 2d s d 1 B 2d d d u s s 1d 2d s 2d 1 T N, N d 2d 1 T s Bs d, db s 1 2 s E s d 1 B 2d Petr Kabele,

25 L x0 x0 L Adx b u Adx t u A x x t 1d 2d 3d 4d 5d el.1 el.2 el.3 el.4 x např. na prvku 1: 1 2 T, B 1 2 l 1 d d B s EA s ds s0 T d, d N s b ( s) Ads 1 2 l e s0 1 2 d d 3 d, d 1 2 At 0 Petr Kabele,

26 L x0 x0 L Adx b u Adx t u A x x t 1d 2d 3d 4d 5d el.1 el.2 el.3 el.4 x např. na prvku 2: d2,1 2d d2,2 3d d2,1 2d d2,2 3d u s s s 2 N 3d s d 2 B 3d d d u s s 2d 3d s 3d 2 T N, N d 3d 2 T s Bs d, db s 2 3 s E s d 2 B 3d Petr Kabele,

27 27 L x0 x0 L Adx b u Adx t u A x x t 1d 2d 3d 4d 5d el.1 el.2 el.3 el.4 x např. na prvku 2: T, B 2 3 l 1 d d B s EA s ds s0 T d, d N s b ( s) Ads 2 3 d, d 2 3 l e s d d Petr Kabele,

28 Matice tuhosti prvku T, B 1 2 l e d d B s EA s ds s0 le T K e B s EAB s0 1 s ds 1 le l e 1 1 EA, ds 1 l s 0 e l e l e EA EA le l e EA EA le l e 1 2 d d Petr Kabele,

29 Prvkové vektory vnějších uzlových sil 2 transform s x T d, d N s Ab ( s) ds 1 2 l e s0 el. node 1 el. node 2 3 d, d 1 2 At 0 el. node 1 el. node 2 Petr Kabele,

30 L x0 x0 L Adx b u Adx t u A x x t L... dx... ds x0 e1 s0 4 l e d d 1 d dk d d 2 1, 2 1 2, 3 K2... 2d d 3 1 f1 1 f 1 f f d d d d b t b t , 2 2, 3... b t b t 2 f1 2 f1 3 f2 3 f2 1d 1 f d f d f d, d,..., dk d, d,..., d Petr Kabele,

31 Lokalizace prvkových matic/vektorů do globální matice tuhosti konstrukce a globálního vektoru uzlových sil vynulování lokalizace Petr Kabele,

32 Globální matice tuhosti K EA EA le l e EA 2EA EA 0 0 le le l e EA 2EA EA 0 0 le le l e EA 2EA EA 0 0 le le l e EA EA le l e Globální vektor vnějších uzlových sil f Petr Kabele,

33 Zohlednění okrajových podmínek 1d 1 f d f d f d, d,..., dk d, d,..., d musí být splněno pro libovolné d splňující kinematické okr. podm. ( 5 d = 0) d d d d d... soustava lineárních algebraických rovnic Petr Kabele,

34 Řešení soustavy rovnic Petr Kabele,

35 Výpočet přetvoření a napětí Přetvoření a napětí řešíme lokálně na každém prvku s s e B d... přetvoření je na každém prvku konstantní (důsledek zvolené aproximace přemístění pomocí lineárních funkcí) Petr Kabele,

36 Přetvoření a napětí řešíme lokálně na každém prvku e s E s... napětí je na každém prvku konstantní (důsledek zvolené aproximace přemístění pomocí lineárních funkcí) Petr Kabele,

37 Porovnání MKP s analytickým řešením Přemístění x Petr Kabele,

38 Deformace x Napětí x Petr Kabele,

39 Závěrečné poznámky Volba primárních stupňů volnosti Primární stupně volnosti závisí na zvolené idealizaci úlohy, např: rovinná napjatost/deformace: 2 posuny v rovině 3-D kontinuum: 3 posuny příhrada (truss) v rovině: 2 posuny prostorová příhrada: 3 posuny nosník (beam) v rovině: 2 posuny, 1 pootočení nosník v prostoru: 3 posuny, 3 pootočení stěna (= rovinná napjatost): 2 posuny v rovině deska (plate): 1 posun kolmo na rovinu, 3 pootočení stěnodeska pozn.: existují i formulace MKP, ve kterých se primárně aproximují statické veličiny, případně přemístění a statické veličiny (tzv. smíšené formulace) Petr Kabele,

40 Přesnost řešení primárních neznámých závisí na schopnosti zvolené aproximace přiblížit se přesnému řešení řídících diferenciálních rovnic možno ovlivnit: volbou aproximačních (tvarových) funkcí např. stupněm polynomu hustotou dělení na jednotlivé prvky Petr Kabele,

41 Výpočet deformace a napětí průběhy deformací a napětí řešíme na každém prvku lokálně pro výpočet se použijí derivace aproximovaného pole přemístění přesnost vypočtených průběhů deformací a napětí je vždy horší než přesnost primární neznámé (přemístění) v závislosti na použitých bázových funkcích: existují body v prvku, kde je výpočet deformací a napětí nejpřesnější vypočtené průběhy deformace a napětí mohou být mezi prvky nespojité hodnoty deformace a napětí vypočtené na okrajích prvků a v uzlech mohou mít velmi malou přesnost Petr Kabele,

42 Tento dokument je určen výhradně jako doplněk k přednáškám a cvičením z předmětu Nelineární analýza materiálů a konstrukcí pro studenty Stavební fakulty ČVUT v Praze. Dokument je průběžně doplňován, opravován a aktualizován a i přes veškerou snahu autora může obsahovat nepřesnosti a chyby. Datum poslední aktualizace: Petr Kabele,